Tài liệu : DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN ppt

Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 1
Tiết:
Ngày sọan: Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
A. Mục đích yêu cầu:
1. Kiến thức: Học sinh nắm vững:
- Thế nào là phương pháp quy nạp tóan học.
- Các bước tiến hành để giải bài tóan quy nạp.
2. Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng:
- Giải tóan bằng phương pháp quy nạp.
B. Lên lớp:
B1. Ổn định và điểm danh:
B2. Bài cũ:
B3. Bài mới: Trọng tâm: Cách giải các bài tóan bằng phương pháp quy nạp.
Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TÓAN HỌC
NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP
I. Mở đầu:
Trong nhiều bài tóan, đôi lúc ta thường gặp phải chứng minh
những mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n
∈ ¥
.
Để chứng minh những mệnh đề như thế, ta không thể thử trực
tiếp được mà dùng phương pháp chứng minh bằng quy nạp như
sau:
II. Phương pháp chứng minh bằng quy nạp:
Để chứng minh một mệnh đề bằng phương pháp quy nạp tóan
học (hay phương pháp quy nạp), ta làm như sau:
III. Một số ví dụ:
1. Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n
≥
1, ta có:

( )
( )
n n 1
1 2 3 ... n 1
2
+
+ + + + =
Giải:
+ Khi n = 1, ta có:
( )
VT 1
1 1 1
VP
2
=


⇒
+

=


(1) đúng với n = 1
+ Giả sử (1) đúng với một số tự nhiên n = k ≥ 1, tức là:
( )
( )
k k 1
1 2 3 ... k 1'
2

+
+ + + + =
Ta chứng minh (1) cũng đúng khi n = k+1, tức phải chứng minh:
+ GV giới thiệu phương pháp quy nạp tón học.
+ Kiểm tra với n nào?
+ Cách kiểm tra?
+ Cách thiết lập giả thiết quy nạp?
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 0.
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ
n = k
≥
0 (gọi là giả thiết quy nạp). Ta hãy chứng minh mệnh
đề cũng đúng với n = k+1.
Kết luận: Mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n.
Chú ý. Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự
nhiện n
≥
p thì:
- Trong bước 1 ta phải thử với n = p.
- Trong bước 2, ta giả sử mệnh đề đúng với một số tự
nhiên n = k≥ p.
Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 2
NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP
( )
( ) ( )
( )
k 1 k 2
1 2 3 ... k k 1 1"
2
+ +

+ + + + + + =
Cm:
( ) ( )
( )
( )
k k 1
VT 1 2 3 ... k k 1 k 1
2
+
= + + + + + + = + +

( )
( ) ( )
k 1 k 2
k
k 1 . 1 VP
2 2
+ +
 
= + + = =
 ÷
 
Vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1
2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n
≥
2, ta có:

( )
( )
( )

n n n 1 n 2 n 2 n 1
a b a b a a b ... ab b 2
− − − −
− = − + + + +
Giải:
+ Khi n = 2:

( ) ( )
2 2
2 2
VT a b
VP a b a b a b

= −

⇒

= − + = −


(2) đúng với n = 2
+ Giả sử (2) đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ 2, tức là:

( )
( )
( )
k k k 1 k 2 k 2 k 1
a b a b a a b ... ab b 2'
− − − −
− = − + + + +

Ta chứng minh (2) cũng đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:

( )
( )
( )
k 1 k 1 k k 1 k 1 k
a b a b a a b ... ab b 2"
+ + − −
− = − + + + +
Cm:
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
k 1 k 1 k 1 k k k 1 k k k
k k 1 k 2 k 2 k 1
k k 1 k 1 k
a b a a b a b b a a b b a b
a a b b a b a a ... ab b
a b a a b ... ab b VP
+ + + +
− − − −
− −
− = + − + = − + −
= − + − + + + +
= − + + + + =
Vậy (2) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 2
IV. Bài tập:

Chứng minh rằng với
*
n∀ ∈ ¥
, ta có:
( ) ( )
2 2 3 2
n n 1 2n 1
1 2 3 ... n
6
+ +
+ + + + = (*)
Giải:
+ Khi n = 1, ta có:
( ) ( )
VT 1
1 1 1 2 1
VP 1
6
=


⇒
+ +

= =


(*) đúng với n = 1
+ Giả sử (*) đúng với một số tự nhiên n = k > 0, tức là:
( ) ( )

2 2 3 2
k k 1 2k 1
1 2 3 ... k
6
+ +
+ + + + =
Ta chứng minh (*) cũng đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:
( )
( ) ( ) ( )
2 2 3 2 2
k 1 k 2 2k 3
1 2 3 ... k k 1
6
+ + +
+ + + + + + =
Cm:
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 3 2
2
k k 1 2k 1
VT 1 2 3 ... k k 1 k 1
6
k 2k 1 6 k 1

2k 7k 6
k 1 . k 1 .
6 6
k 1 k 2 2k 3
VP
6
+ +
= + + + + + + = + +
+ + +
+ +
= + = + =
+ + +
= =
B4. Củng cố: Phương pháp chứng minh bằng quy nạp?
B5. Dặn dò: BTVN trang 88
+ Phải chứng minh điều gì?
+ Dùng giả thiết quy nạp thay vào k số hạng đầu
tiên.
+ Kiểm tra với n = 2.
+ Thành lập giả thiết quy nạp?
+ Mệnh đề phải chứng minh?
+ Hướng dẫn chứng minh.
+ Kiểm tra (*) với n = 1
+ Thành lập giả thiết quy nạp?
+ Cách chứng minh?
+ Kết luận.
Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 3
Tiết:
Ngày sọan:
C. Mục đích yêu cầu:

1. Kiến thức: Học sinh nắm vững:
- Định nghĩa dãy số.
- Cách cho dãy số, biểu diễn hình học của dãy số.
- Dãy số đơn điệu, dãy số bị chặn.
2. Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng:
- Giải các bài tóan về dãy số như: Tính đơn điệu, tính bị chặn,...
- Rèn luyện kỹ năng tính tóan.
D. Lên lớp:
B1. Ổn định và điểm danh:
B2. Bài cũ:
B3. Bài mới: Trọng tâm: Định nghĩa, dãy đơn điệu, dãy số bị chặn.
Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa
NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP
I. Định nghĩa:
1. Định nghĩa 1: Cho tập hợp M = {0; 1; 2; …; m}
- Một hàm số u xác định trên M được gọi là một dãy số hữu hạn.
- Tập giá trị của dãy này là {u(1); u(2);…; u(m)}. Ký hiệu là:

( ) ( ) ( )
1 2 m
u 1 u ;u 2 u ;...;u m u= = =
- Viết dãy số như sau:
1 2 m
u ;u ;...;u
• u
1
là số hạng thứ nhất (số hạng đầu)
• u
2
là sồ hạng thứ hai,…

• u
m
là số hạng cuối (số hạng thứ m)
2. Định nghĩa 2: Một hàm số u xác định trên tập
*¥
được gọi là
một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số)
- Tập giá trị của dãy số gồm vô số phần tử được ký hiệu là:
1 2 n
u ;u ;...;u ;...
Dạng này được gọi là dạng khai triển của dãy số.
- u
1
là số hạng thứ nhất,…
- u
n
là số hạng tổng quát (số hạng thứ n) của dãy số u.
II. Cách cho dãy số
1. Cho số hạng tổng quát bằng công thức:
Ví dụ: Cho dãy số (u
n
), với
( )
n
n
2
1
u
n
−

=
Viết dưới dạng khai triển, ta có:
( )
n
2
1
1;1; 1;1;...; ;...
n
−
− −
2. Cho một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó:
3. Cho bằng phương pháp truy hồi:
Cách cho:
Ví dụ: Cho dãy số
( )
1 2
n n 2 n 1
u 1,u 2
u u u n 3
− −
= =



= + ≥


Ta có:
+ Giới thiệu định nghĩa.
+ Ví dụ: Cho dãy số hữu hạn 2; 4; 6 ;8 ;10

Ta có:
- Dãy số có 5 số hạng.
- Số hạng đầu: 2
- Số hạng cuối: 10
+ Ví dụ: Cho dãy số (u
n
), với
n
1
u
n
=
, ta có dạng
khai triển của nó là:
1 1 1
1; ; ;...; ;...
2 3 n
+ Thay các giá trị của n vào.
DÃY SỐ
- Cho một hay vài số hạng đầu của dãy.
- Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng
thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) trước nó.
Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 4
NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP
+ Cho n vài giá trị để thấy dãy số dần tiến về điểm 0
(nhưng không bằng 0)
+ Suy ra: Để khảo sát tính đơn điệu của dãy số ta
tính u
n+1
rồi xét hiệu u

n+1
– u
n
(
n *∀ ∈ ¥
). Nếu:
• u
n+1
– u
n
< 0 thì dãy số giảm
• u
n+1
– u
n >
>0 thì dãy số tăng
+ Cách chứng minh?
+ Lập hiệu u
n+1
– u
n
( n *∀ ∈ ¥ ).
+ Cách chứng minh dãy số bị chặn dưới, bị chặn
trên, bị chặn?
1 2 3 1 2 4 2 3 5 3 4
u 1, u 1, u u u 2,u u u 3,u u u 5= = = + = = + = = + =
Dãy số này được gọi là dãy Phibônaci.
III. Biểu diễn hình học của dãy số:
Người ta có thể biểu diễn hình học của dãy số trên trục số.
Ví dụ: Biểu diễn hình học của dãy số

1
n
 
 ÷
 
trên trục số

O
1
4
u
4
1
3
u
3
1
u
1?
1
2
u
2
IV. Dãy số tăng, dãy số giảm:
1. Các định nghĩa :
2. Ví dụ: Chứng minh dãy số (u
n
) với
n
n 1

u
n
+
=
giảm.
Giải:
Với n *∀ ∈ ¥ , ta có:
( )
n 1
n 1 1
n 2
u
n 1 n 1
+
+ +
+
= =
+ +
, do đó:
( )
( ) ( )
2 2
n 1 n
n 2n n 2n 1
n 2 n 1 1
u u 0
n 1 n n n 1 n n 1
+
+ − + +
+ + −

− = − = = <
+ + +
Vậy dãy số đã cho giảm (đpcm)
V. Dãy số bị chặn:
1. Các định nghĩa:
2. Ví dụ: Chứng minh rằng dãy số
1
n
 
 ÷
 
bị chặn.
Giải: Với
n *∀ ∈ ¥
, ta có:
1
0 1
n
< ≤
nên dãy số đã cho bị chặn trên bởi 1, bị chặn dưới bởi 0
Vậy dãy số đã cho bị chặn.
B4. Củng cố: Các định nghĩa.
B5. Dặn dò: BTVN trang 94 – 95
a) ĐN1:
( )
2
u
là dãy số tăng
⇔
n n 1

n *: u u
+
∀ ∈ <¥
b) ĐN2:
( )
2
u
là dãy số giảm
n n 1
n *: u u
+
⇔ ∀ ∈ >¥
c) ĐN3: Dãy số tăng và dãy số giảm được gọi chung là dãy
số đơn điệu.
Chú ý:
• Không phải mọi dãy số đều đơn điệu.
• Nếu mọi số hạng của dãy đều dương thì:
( )
n
u
tăng
n 1
n
u
n *, 1
u
+
⇔ ∀ ∈ >¥
( )
n

u
giảm
n 1
n
u
n *, 1
u
+
⇔ ∀ ∈ <¥
a) ĐN1:
( )
n
u
bị chặn trên
n
M : n *, u M⇔ ∃ ∈ ∀ ∈ ≤¥¡
b) ĐN2:
( )
n
u
bị chặn dưới
n
m : n *, u m⇔ ∃ ∈ ∀ ∈ ≥¥¡
c) ĐN3:
( )
n
u
bị chặn
n
m,M : n *, m u M⇔ ∃ ∈ ∀ ∈ ≤ ≤¥¡

Giỏo ỏn Gii tớch 11 GV: Bựi Quang Quyn THPT Hng Thy Nm hc: 2006 2007 5
Tit:
Ngy san:
E. Mc ớch yờu cu:
1. Kin thc: Hc sinh nm vng:
- nh ngha dóy s.
- Cỏch cho dóy s, biu din hỡnh hc ca dóy s.
- Dóy s n iu, dóy s b chn.
2. K nng: Hc sinh cú k nng:
- Gii cỏc bi túan v dóy s nh: Tớnh n iu, tớnh b chn,...
- Rốn luyn k nng tớnh túan.
F. Lờn lp:
B1. n nh v im danh:
B2. Bi c:
B3. Bi mi: Trng tõm: nh ngha, dóy n iu, dóy s b chn.
Phng phỏp: Vn ỏp Minh ha
( )
1
1
n 1 n n 1 n
u 3
u 11
a) b)
u 2u n 1 u 10u 1 9n, n
+ +
=
=

= = +



Ơ
NI DUNG TG PHNG PHP
Gii:
a) Ta cú:
1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
u ;u ;u ;u ;u
2 2 8 16 32
= = = = =
b) Ta cú:
1 2 3 4 5
u 1;u 4;u 6;u 8;u 10= = = = =
c) Ta cú:
1 2 3 4 5
1 2 1 4
u 0;u ;u ;u ;u
2 3 4 5
= = = = =
Gii:
( ) ( )
( ) ( )
7 12
7 12
2n 2n 1
2n 2n 1
1 1 1 1

1
u 0, u
7 12 6
1 1 1 1
1 1 1
u ,u 0
2n n 2n 1 2n 1
+
+
+ +
= = = =
+ +

= = = = =
+ +
Gii:
a) Ta cú:
2 1
3 2
u 2u 2.3
u 2u 2.2.3
= =
= =
D úan :
n 1
n
u 3.2

=
( n * Ơ ) (1)

+ Ln lt cho n = 1; 2; 3; 4; 5 vo cụng thc ó
cho, tớnh cỏc giỏ tr tng ng.
+ Chỳ ý n chn, n l chn du ỳng.
Bi tp: DY S
Bi 1: Vớt 5 s hng u ca cỏc dóy s sau:
( )
= =



=





n
n n
n
n
1
a) u b) u 1 2n
2
1
neỏu n chaỹn
n
c) u
n 1
neỏu n leỷ

n
Bi 2: Cho
( )
n
n
1 1
u
n
+
=
. Tớnh u
7
, u
12
, u
2n
, u
2n+1
.
Bi 3: Tỡm s hng tng quỏt ca cỏc dóy s sau:
( )
1
1
n 1 n n 1 n
u 3
u 11
a) b)
u 2u n 1 u 10u 1 9n, n
+ +
=

=



= = +



Ơ
+ tỡm s hng tng quỏt ca dóy, ta cú th
lm nh sau:
- Cho n vi giỏ tr u tiờn.
- Xem th quy lut ca u
n
?
- D úan cụng thc u
n
.
- Chng minh cụng thc d úan l
ỳng bng phng phỏp quy np.
Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 6
CCCC
NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP
+ Nhắc lại cách chứng minh bằng phương pháp quy
nạp.
+ Thử với n = 1?
+ Biểu thức của giả thiết quy nạp?
+ Biểu thức cần chứng minh?
+ Kết luận công thức cần tìm?
b) Hướng dẫn học sinh giải.

+ Nhắc lại phương pháp xét tính đơn điệu của dãy
số?
a) Tính u
n+1
=?
+ Xét hiệu u
n+1
– u
n
= ?
+ Kết luận?
b) Tính u
n+1
=?
+ Xét hiệu u
n+1
– u
n
= ?
+ Kết luận?
+ Nhắc lại phương pháp xét tính bị chặn của dãy
số?
a) Vì sao u
n
không bị chặn trên?
b) Phân tích như thế nào?
+ Chú ý rằng
( )
1 1 1
n n 1 n n 1

= −
+ +
và
1 1 1
1, , n *
n n 1 2
≤ ≤ ∀ ∈
+
¥
d) Phân tích như thế nào?
Chứng minh:
+ Khi n = 1:
1
1 1
VT u 3
VP 3.2 3
−
= =


⇒

= =


(1) đúng với n = 1.
+ Giả sử (1) đúng với một số tự nhiên n = k ≥ 1, tức là:
k 1
k
u 3.2

−
=
Ta chứng minh (1) cũng đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:
k
k 1
u 3.2
+
=
Ta có:
( )
k 1 k 1 k
k 1 k
u 2u 2.3.2 3. 2.2 3.2 VP
− −
+
= = = = =
Vậy công thức tổng quát của dãy số đã cho là:
n 1
n
u 3.2
−
=
( n *∀ ∈ ¥ )
b) Ta có: 10
n
+ n ,
n∀ ∈ ¥
Bài 4: Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
n
n

n n n
2 n
1 2 1 1
a) u b) u c) u
2n 1 2
−
 
= = = −
 ÷
+
 
Giải:
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
n 1 n
2 2
2 2
2 2
1 1 n 1 n 2n 2
a) u u
n 1
n 1 n 2n 2
n 1 1
2n 1
0, n *
n 1 n 2n 2
+
+ − − −

− = − =
+
+ + +
+ +
+
= − < ∀ ∈
+ + +
¥
Vây dãy số đã cho giảm.
b) Ta có:
( )
n 1 n
n 1 n
n 1 n
n 1 n n 1 n 1
2 1 2 2 1
2 1 2 1 1
u u 0, n *
2 2 2 2
+
+
+
+ + +
− − −
− −
− = − = = > ∀ ∈ ¥

Vây dãy số đã cho tăng.
Bài 5: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
( )

n n
n
2n 1
n n
1
a) u 2n 1 b) u
n n 1
1
c) u 3.2 d) u
3
−
= − =
+
 
= = −
 ÷
 
Giải:
a) Với
n
n *: u 2n 1 1∀ ∈ = − ≥¥
Do đó dãy đã cho bị chặn dưới bởi 1.
b) Với
( )
n
1 1 1
n *: 0 0 u
n n 1 2 2
∀ ∈ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
+

¥
Do đó dãy đã cho bị chặn dưới bởi 0, bị chặn trên bởi
1
2
nên bị
chặn.
c) Với
2n 1
n *: 3.2 6
−
∀ ∈ ≥¥
n
u 6⇒ ≥
Do đó dãy đã cho bị chặn dưới bởi 6.
d) Với
n
n
1 1 1 1 1
n *: u
3 3 9 3 9
 
∀ ∈ − ≤ − ≤ ⇒ − ≤ ≤
 ÷
 
¥
b4. Củng cố: Các dạng.
b5. Dặn dó: Bài mới
Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 7
Tiết:
Ngày sọan:

A. Mục đích yêu cầu:
a. Kiến thức: Học sinh nắm vững:
i. Định nghĩa cấp số cộng.
ii. Số hạng tổng quát của cấp số cộng
iii. Tính chất của CSC, tổng n số hạng đầu của một CSC.
b. Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng:
i. Giải các bài tóan về cấp số cộng.
ii. Rèn luyện kỹ năng tính tóan.
B. Lên lớp:
B1. Ổn định và điểm danh:
B2. Bài cũ:
B3. Bài mới: Trọng tâm: Định nghĩa, các tính chất của CSC.
Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa
( )
1
1
n 1 n n 1 n
u 3
u 11
a) b)
u 2u n 1 u 10u 1 9n, n
+ +
=
 =


 
= ≥ = + − ∀ ∈




¥
NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP
I. Định nghĩa:
1. Định nghĩa:
(1)

Trong đó d là công sai của cấp số cộng. Ta có: d = u
n+1
– u
n
Nếu d = 0 thì CSC có tất cả các số hạng bằng nhau.
Ký hiệu CSC là
1 2 n
u ;u ;....;u ;...÷
2. Ví dụ:
a) Xét dãy số tự nhiên lẻ:
1, 3, 5, 7, …, 2n + 1, …
là một CSC với số hạng đầu bằng 1, công sai d = 2.
b) Gọi (u
n
) là CSC có số hạng đầu u
1
= –1, công sai d = –2. Hãy viết
5 số hạng đầu của CSC này.
Giải:
u
1
= -1, u
2

= u
1
+ d = –1 +(–2) = –3, u
3
= –5, u
4
= –7, u
5
= –9
Vậy ta có cấp số cộng là:

1; 3; 5; 7; 9÷ − − − − −
II. Số hạng tổng quát:
1. Định lý:
(2)
Chứng minh:
+ Khi n = 1: Rõ ràng (2) đúng.
+ Giả sử (2) đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ 1, tức là:

( )
k 1
u u k 1 .d= + −
Ta chứng minh (2) cũng đúng khi n = k+1, tức là:

k 1 1
u u k.d
+
= +
Cm: Ta có:

( )
k 1 k 1 1
VT u u d u k 1 d d u kd VP
+
= = + = + − + = + =
+ Học sinh nêu định nghĩa CSC.
+ GV tóm tắt công thức của định nghĩa.
+ Cách tìm công sai của CSC?
a) Tìm u
1
=?, d = ?
b) Cách tìm?
+ Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
+ Thử với n = 1.
+ Thành lập mệnh đề quy nạp?
+ Phải chứng minh ?
CẤP SỐ CỘNG
(u
n
) là CSC
n 1 n
u u d
+
⇔ = +
(n = 1, 2, …)
u
n
= u
1
+ (n – 1).d