Đề thi và đáp án Đại số tuyến tính đề số 2 kỳ 1 năm học 2020-2021 – UET

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Đề thi Kết thúc môn học, Học kỳ 1 năm học 2020-2021</b>

<b>Mơn: Đại số tuyến tính</b>

Trường Đại học Công nghệ - Đại học Quốc gia Hà Nội
(Thời gian làm bài: 120 phút)

<b>Bài 1.</b> (2 điểm) Cho hệ phương trình với tham sốm:








(m−1)x+3y+3z =3
6x+6y+12z =13
12x+9y−z =2

(a) Giải hệ phương trình vớim=3.

(b) Biện luận số nghiệm của hệ phương trình trên theo tham sốm.
<b>Bài 2.</b> (2 điểm) Cho ma trận hàngv= 1 −1 a

,trong đóalà một tham số.

(a) Tìm kích cỡ (hay cấp) của các ma trận vvT và vTv (trong đó vT là ma trận
chuyển vị củav). TínhvTv.

(b) Tính định thức của ma trận vTv−I,trong đó I là ma trận đơn vị cấp 3. Tìm
điều kiện củaađểvTv−I khả nghịch.

(c) Tìm ma trận nghịch đảo củavTv−I trong trường hợpa=0.

<b>Bài 3</b> (2 điểm) Cho ánh xạ tuyến tínhT :<b>R</b>3 →<b>R</b>2_{được xác định như sau:}

T(x,y,z) = (2x−y+z,−x+2y+4z).

(a) Tìm ma trận chuẩn tắc củaT(tức là ma trận củaTđối với cặp cơ sở chuẩn tắc
(hay chính tắc) của<b>R</b>3và<b>R</b>2).

(b) Tìm một cơ sở của khơng gian hạch (hạt nhân)ker(T)củaT.
(c) Tìm số chiều của khơng gian ảnhim(T)(range(T)).

(d) Tập{(x,y,z) ∈ <b>R</b>3 _| _T₍_x_,_y_,_z_{) = (}_1,₋₁₎_}_{có phải là một không gian con của}

<b>R</b>3_{không? Tại sao?}

<b>Bài 4</b> (2 điểm) Xét khơng gian<b>R</b>3với tích vơ hướng thơng thường (tích chấm)h·,·i.Cho
hệ vectơ

{v1 := (a, 1, 0), v2 := (2, 2a, 2), v3 := (1, 2, 3a)},

với alà một tham số.

(a) Với những giá trị nào củaathì

hv1,v2i.hv1,v3i =hv2,v3i

(b) Với giá trị angun tìm được ở câu (a) (nếu có), dùng phương pháp
Gram-Schmidt để đưa tập vectơ trên về một tập trực chuẩn.

<b>Bài 5.</b> (2 điểm) Cho

A=





2 0 0
0 1 −1
0 −1 1



.

(a) Tìm tất cả các giá trị riêng và khơng gian riêng tương ứng của A.

(b) Tìm một ma trận trực giao Pvà một ma trận đường chéoD(nếu có) sao cho
PTAP= D.

<i>Khơng sử dụng tài liệu, máy tính bảng, điện thoại thông minh. Cán bộ coi thi không giải thích</i>
<i>gì thêm.</i>

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Đáp án: Đề số 2</b>

<b>Bài 1.</b> (a) Vớim=3, hệ phương trình đã cho tương đương với

2x+3y+3z=3
6x+6y+12z=13

12x+9y−z=2

Ta có:
A =





2 3 3 3
6 6 12 13
12 9 −1 2



→_R₂−₃_R₁→R₂_,_R₃−₆_R₁→R₃




2 3 3 3

0 −3 3 4
0 −9 −19 −16





→R3−3R2→R3





2 3 3 3

0 −3 3 4
0 0 −28 −28





Do vậy, hệ có nghiệm là:x = 1₂,y = −₃1,z=1.
(b) Ta có:

(1) A=





m−1 3 3 3
6 6 12 13
12 9 −1 2





R3−2R2→R3

−→




m−1 3 3 3

6 6 12 13

0 −3 −25 −24





R1↔R2;16R2→R2;−R3→R3

−→





1 1 2 13₆

m−1 3 3 3
0 3 25 24





R2−(m−1)R1→R2

−→





1 1 2 13₆

0 4−m 5−2m 31−₆13m

0 3 25 24





R2↔R3;13R2→R2

−→





1 1 2 13₆

0 1 25₃ 8

0 4−m 5−2m 31−₆13m




R3+(m−4)R2→R3

−→





1 1 2 13₆
0 1 25₃ 8
0 0 19m−₃ 85 35m−₆161





Vớim= 85₁₉ hệ vô nghiệm.

Vớim6= 85₁₉ hệ có nghiệm duy nhất.

<b>Bài 2.</b> (a) (0.5 điểm) Kích cỡ của ma trậnvvT vàvTvlần lượt là1×1và3×3.

Ma trậnvvT = (2+a2).

vTv=





1 −1 a
−1 1 −a

t −a a2




(b) (1 điểm) Định thức củavTv−I là1+a2.[0.5 điểm]

Vìa2+1 > 0với mọi tnên ma trận vTv−I luôn khả nghịch với mọi a (0.5
<i>điểm)</i>

(c) (0.5 điểm) Thaya =0vàovTv−Ita được ma trận:




0 −1 0

−1 0 0
0 0 −1





</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Ma trận nghịch đảo cần tìm là:




0 −1 0

−1 0 0
0 0 −1





<b>Bài 3.</b> (a) (0,5 điểm) Ma trận chuẩn tắc của Tlà

2 −1 1

−1 2 4

.

(b) (0,5 điểm) Hạt nhân là không gian nghiệm của hệ:

2x−y+z=0

−x+2y+4z=0⇔

2x−y+z =0
3y+9z =0

Có nghiệm(x,y,z) = (−2t,−3t,t) với t ∈ <b>R.</b> Vậy hạt nhân có một cở sở là
{(−2,−3, 1)}.

(c) (0,5 điểm) Theo Định lý về số chiều, chiều của không gian ảnh bằngdimT(<b>R</b>3) =

3−dimkerT=2.

(d) (0,5 điểm) TậpT−1(1,−1)không phải là không gian con vì khơng chứa vec-tơ

(0, 0, 0).

<b>Bài 4.</b> (a) Ta có:

◦ hv1,v2i =4a;

◦ hv1,v3i =a+2;

◦ hv2,v3i =2+10a.

Vậy ()⇐⇒ 4a(a+2) =2+10a⇐⇒ 2a2−a−1 =0⇐⇒ a∈ {1;−1/2}.

(b) Vớia = 1, ta có hệ{v1 = (1, 1, 0),v2 = (2, 2, 2),v3 = (1, 2, 3)}. Ta trực chuẩn

hóa hệ này theo phương pháp Gram-Schmidt:
w1:=v1 := (1, 1, 0);

w2:=v2−

hv2,w1i

hw1,w1i

w1 = (2, 2, 2)−

4

2(1, 1, 0) = (0, 0, 2);

w3:=v3−

hv3,w1i

hw1,w1i

w1−

hv3,w2i

hw2,w2i

w2 = (1, 2, 3)−

3

2(1, 1, 0)−
6

4(0, 0, 2) =

−1

2,
1
2, 0

.

Vậy{u1,u2,u3}là một hệ trực chuẩn của<b>R</b>3với

u1=

w1

kw1k
=

1

√

2,
1

√

2, 0

;

u2= w2

kw2k

= (0, 0, 1);

u1= w1

kw1k

=

−√1

2,
1

√

2, 0

.

<b>Bài 5.</b> (a) Với

A=





2 0 0
0 1 −1
0 −1 1





</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

đa thức đặc trưng củaAlà

det(<i>λ</i>I3−A) =

<i>λ</i>−2 0 0

0 <i>λ</i>−1 1

0 1 <i>λ</i>−1

= (<i>λ</i>−2)

<i>λ</i>−1 1

1 <i>λ</i>−1

=<i>λ</i>(<i>λ</i>−2)2.

Suy ra đa thức đặc trưng củaAcó hai giá trị riêng0(bội 1) và2(bội 2).
Với<i>λ</i>1=0,

<i>λ</i>1I3−A=





−2 0 0
0 −1 1
0 1 −1



.
Hệ





−2 0 0
0 −1 1
0 1 −1





x
y
z


=<b>0</b>

có nghiệm (x,y,z) = (0,t,t), t ∈ <b>R</b>. Vậy không gian riêng tương ứng với
<i>λ</i>1 =0làspan{



0
1
1

}.
Với<i>λ</i>2=2,

<i>λ</i>I3−A=





0 0 0
0 1 1
0 1 1



.
Hệ





0 0 0
0 1 1
0 1 1





x
y
z



=<b>0</b>

có nghiệm(x,y,z) = (x,z,−z), x,z ∈ <b>R</b>. Do đó khơng gian riêng tương ứng
với<i>λ</i>2=2làspan{



1
0
0

,


0
1
−1

}.

(b) -Với<i>λ</i>1 =0ta lấy vector riêng đơn vị p1 =




0
1
√

2
1
√
2


.

-Với<i>λ</i>2 = 2 ta có các vector riêng



1
0
0

và


0
1
−1


. Hai vector này trực giao

với nhau, sau khi trực chuẩn hóa, ta được p2=




1
0
0


vàp₃ =



0
1
√
2
−1
√
2


.
ChọnPlà ma trận với các cột p1,p2,p3, tức là

P=





0 1 0

1/√2 0 1/√2

1/√2 0 −1/√2



.
Ta cóPlà ma trận trực giao và

PTAP=





0 0 0
0 2 0
0 0 2



= D.

</div>

<!--links-->