Tài liệu Bài giảng: Ứng dụng đồ họa máy tính và phim hoạt hình doc

TRẦN AN HẢI


 







 TUẦN 10 











Ứng dụng: Đồ họa máy tính và Phim hoạt hình

Một hình trên mặt phẳng có thể lưu trữ trong máy tính như một tập các đỉnh. Sau đó những đỉnh có
thể đánh dấu và nối lại bằng các đường để tạo ra hình. Nếu có n đỉnh, chúng được lưu trữ trong một
ma trận 2×n. Tọa độ x và y của đỉnh lần lượt được lưu trữ trong hàng thứ nhất và trong hàng thứ hai.
Mỗi cặp điểm liền kề được nối với nhau bởi một đường thẳng.
Chẳng hạn để tạo một tam giác với các đỉnh (0, 0), (1, 1), (1, -1) ta lưu trữ chúng như những
cột của một ma trận

G =






− 0
0
1
1
1
1
0
0

Bản sao lại của đỉnh (0, 0) được lưu trữ trong cột cuối cùng của G để điểm (1, -1) được nối vòng lại
(0,0) (Xem hình (a))


(a) Tam giác xác định bởi T (b) Phép dãn 1.5 lần



(c) Phép lấy đối xứng qua trục Oy (d) Phép quay một góc 60
0



Ta có thể biến đổi một hình bằng cách thay đổi vị trí của các đỉnh và sau đó vẽ lại hình. Nếu

phép biến đổi là tuyến tính nó có thể thực hiện như một phép nhân ma trận. Nhìn một dãy những
hình vẽ như thế ta sẽ có cảm giác về sự di động trong phim hoạt hình.
Bốn phép biến đổi hình học đơn giản mà được sử dụng trong đồ họa máy tính là:

1. Phép co dãn. Một phép biến đổi tuyến tính có dạng
T(v) = cv
là một phép dãn nếu c>1 và là một phép co nếu 0< c <1. Phép biến đổi T được biểu diễn bởi ma trận
cI, trong đó I là ma trận đơn vị 2×2. Một phép dãn làm tăng kích thước của hình lên c lần, còn một
phép co làm rút hình lại c lần. Hình (b) thể hiện phép dãn 1.5 lần tam giác lưu trữ trong ma trận G.

2. Phép đối xứng trục. Nếu T
x
là phép lấy đối xứng vectơ v qua trục Ox, thì T
x
là một phép biến đổi
tuyến tính và do đó nó có thể biểu diễn bởi một ma trận A cỡ 2×2. Từ
T
x
(e
1
) = e
1
và T
x
(e
2
) = -e
2

suy ra rằng

A =






−10
01

Tương tự, nếu T
y
là phép biến đổi tuyến tính mà lấy đối xứng một vectơ qua trục Oy, thì T
y
được
biểu diễn bởi ma trận






−
10
01

Hình (c) cho thấy ảnh của tam giác G sau khi lấy đối xứng qua trục Oy.

3. Phép quay. Cho T là một phép biến đổi mà quay một vectơ xung quanh gốc tọa độ một góc
θ

theo hướng ngược chiều kim đồng hồ. Ta đã thấy trong Ví dụ 2 rằng T là một phép biến đổi tuyến
tính và T(v) = Av, trong đó
A =






−
θθ
θθ
cossin
sincos

Hình (d) cho thấy kết quả của phép quay tam giác một góc 60
0
theo hướng ngược chiều kim đồng
hồ.

4. Phép tịnh tiến. Một phép tịnh tiến theo vectơ a là một phép biến đổi có dạng
T(v) = v + a
Nếu a ≠ 0, thì T không phải là phép biến đổi tuyến tính và do đó T không biểu diễn được bởi một
ma trận 2×2. Tuy nhiên, trong đồ họa máy tính đòi hỏi thể hiện tất cả những phép biến đổi bằng
phép nhân với ma trận. Người ta xử lý vấn đề này như sau: Đồng nhất mỗi vectơ (x
1
, x
2
) trong R

2

với một vectơ (x
1
, x
2
, 1) trong R
3
. Khi muốn đánh dấu một điểm được biểu diễn bởi vectơ (x
1
, x
2
, 1)
ta chỉ việc bỏ tọa độ thứ ba và đánh dấu cặp số (x
1
, x
2
). Bằng phép đồng nhất này ta có thể tìm được
một ma trận biểu diễn phép tịnh tiến theo vectơ a trong R
2
. Chẳng hạn, phép tịnh tiến theo vectơ a =
(6, 2) đạt được bằng phép nhân với ma trận
Ax =











100
210
601










1
2
1
x
x
=











+
+
1
2
6
2
1
x
x
.
Hình (A) thể hiện một hình người được tạo từ một ma trận S cỡ 3×81. Khi ta nhân ma trận A với S,
đồ họa của AS là hình được tịnh tiến, cho bởi (B). .

(A) Đồ họa của ma trận S (B) Đồ họa của hình tịnh tiến AS



Ma trận của ánh xạ đồng nhất và Phép chuyển cơ sở

Nhắc lại, khi V là một không gian vectơ, thì ánh xạ
I
xác định bởi
I
(v) = v đối với mọi v∈V,
được gọi là ánh xạ đồng nhất.
Bây giờ ta tìm hiểu xem ma trận của
I
như thế nào. Giả sử không gian V có hai cơ sở E =

{v
1
, v
2
, ... , v
n
} và F = {w
1
, w
2
, ... , w
m
}. Nếu E là cơ sở trong không gian nguồn, còn F là cơ sở
trong không gian đích, thì theo Định lý 7.2.1
I
có ma trận A theo các cơ sở E và F với cột thứ j là
a
j
= [
I
(v
j
)]
F
= [v
j
]
F
j = 1, 2, ... , n
Ví dụ 6 Cho hai cơ sở của R

2
là E = {e
1
, e
2
} và F ={w
1
= (3, 7), w
2
= (2, 5)}. Tìm ma trận của
I
:
R
2
→ R
2

a) theo các cơ sở E và F.
b) theo các cơ sở F và E.
Giải
a) (1, 0) = 5(3, 7) - 7(2, 5) và (0, 1) = -2(3, 7) + 3(2, 5), nên [e
1
]
F
= (5, -7), [e
2
]
F
= (-2, 3). Như vậy
ma trận của

I
là






−
−
37
25
.
b) w
1
= 3(1, 0) + 7(0, 1) và w
2
= 2(1, 0) + 5(0, 1), nên [w
1
]
E
= (3, 7) = w
1
, [w
2
]
E
= (2, 5) = w
2
. Như

vậy ma trận của
I
là







57
23
= [w
1
w
2
]. ☺
Chú ý
1) Nếu R
n
có hai cơ sở E = {e
1
, e
2
, ... , e
n
} (cơ sở chính tắc) và F = {w
1
, w
2

, ... , w
m
}. Do [w
j
]
E
= w
j

nên ma trận của ánh xạ đồng nhất theo cơ sở F và E là [w
1
w
2
... w
m
] (xem Ví dụ 6b)).
2) Nếu E trùng F, thì do a
j
= [v
j
]
F
= e
j
nên ma trận của
I
theo cơ sở E và F là ma trận đơn vị cỡ
n×n.
Giả sử không gian V có hai cơ sở E và F. Gọi A là ma trận của ánh xạ đồng nhất
I

: V → V
theo các cơ sở E và F. Cho vectơ v thuộc V có tọa độ theo cơ sở E và F lần lượt là [v]
E
và [v]
F
. Theo
Định lý 7.2.1
[v]
F
= A[v]
E


Đây chính là công thức liên hệ tọa độ của cùng một vectơ u theo hai cơ sở E và F. Vì vậy A còn
được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ F sang E.

Chú ý Ma trận chuyển cơ sở A từ F sang E là ma trận khả nghịch và A
-1
là ma trận chuyển cơ sở từ
E sang F (Xem Ví dụ 6).
Ví dụ 7 Cho hai cơ sở của R
2
là E = {e
1
, e
2
} và F ={w
1
= (3, 7), w
2

= (2, 5)}. Biết u∈R
2
có tọa độ
theo cơ sở F là (1, -1). Tìm tọa độ của u theo cơ sở E.
Giải
Theo Ví dụ 6b), ma trận chuyển cơ sở từ E sang F là






57
23
.
Do công thức liên hệ tọa độ, ta có tọa độ của u theo cơ sở E bằng







57
23







−1
1
=






2
1
. ☺


Ma trận của phép biến biến đổi tuyến tính hợp

Cho các phép biến đổi tuyến tính S : U → V, T : V → W. Ta xác định phép biến đổi mới từ U vào
W, ký hiệu là TS, bằng cách thực hiện liên tiếp hai ánh xạ S và T, tức là TS xác định bởi
(TS)(u) = T(S(u)).
TS là phép biến đổi tuyến tính. Thật vậy, với mọi vectơ a và b thuộc U, với mọi vô hướng x và y, ta
có
(TS)(xa + yb) = T(S(xa + yb)) = T(xS(a) + yS(b)) = xT(S(a)) + yT(S(b)) = x(TS)(a) + y(TS)(b).
TS được gọi là phép biến đổi tuyến tính hợp của S với T.

Ví dụ 8 Các phép biến đổi tuyến tính S : R
2
→ R
3
, T : R

3
→ R
1
cho bởi
S((x
1
, x
2
)) = (x
1
-x
2
, x
1
-x
2
, 2x
1
) T((x
1
,x
2
, x
3
)) = x
1
+ x
2
- x
3

.
Ta có
(TS)((x
1
, x
2
)) = T(S((x
1
, x
2
))) = T((x
1
-x
2
, x
1
-x
2
, 2x
1
)) = x
1
-x
2
+ x
1
-x
2
- 2x
1

= - 2x
2
.

Định nghĩa Phép biến đổi tuyến tính T : V → W được gọi là phép biến đổi tuyến tính khả nghịch
nếu tồn tại một phép biến đổi tuyến tính L : W → V thỏa điều kiện
(TL)(w) = w và (LT)(v) = v với mọi w ∈W và với mọi v ∈V .
(Tức là TL và LT là những ánh xạ đồng nhất). Ta gọi L là phép biến đổi nghịch đảo của T, ký hiệu
là T
-1
.

Với hai phép biến đổi tuyến tính T và S cho trước mà có phép biến đổi hợp TS, câu hỏi đặt ra là ma
trận của TS liên hệ với ma trận của T và S như thế nào? Ngoài ra, nếu T khả nghịch, thì ma trận của
phép biến đổi T
-1
và ma trận của T liên hệ với nhau thế nào? Định lý dưới đây trả lời cho các câu
hỏi này.

Định lý 7.2.2 Cho H, E, F lần lượt là cơ sở của các không gian vectơ U, V, W. Giả sử A là ma trận
của phép biến đổi tuyến tính S : U → V theo các cơ sở H và E, B là ma trận của phép biến đổi tuyến
tính T : V → W theo các cơ sở E và F. Ta có ma trận của TS theo các cơ sở H và F là BA.

Ví dụ 9 Các phép biến đổi tuyến tính S : R
2
→ R
3
, T : R
3
→ R

1
cho bởi
S((x
1
, x
2
)) = (x
1
-x
2
, x
1
-x
2
, 2x
1
) T((x
1
,x
2
, x
3
)) = x
1
+ x
2
- x
3
.
Tìm ma trận chính tắc của TS.