Một số biện pháp rèn luyện thao tác phân tích và tổng hợp cho học sinh qua việc tìm lời giải phương trình lượng giác

Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CẢM ƠN
♣≈♣
Tơi bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đối với cô giáo hướng dẫn: Thạc sĩ Ngơ
Thị Bích Thủy đã tận tình hướng dẫn tơi trong suốt thời gian làm luận văn.
Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đối với các thầy cơ giáo trong khoa
Toán Trường Đại học Sư Phạm – Đại học Đà Nẵng đã đóng góp ý kiến quý
báu để bản luận văn của tơi được hồn thiện hơn.
Tơi xin cảm ơn phòng Thư viện Trường Đại học Sư Phạm – Đại học Đà
Nẵng đã tạo điều kiện để tôi có tài liệu làm tốt luận văn.
Cuối cùng tơi xin cảm ơn những lời động viên, khích lệ tinh thần của các
bạn để tơi hồn thành tốt luận văn này.

Đà Nẵng, tháng 05 năm 2014
Sinh viên thực hiện

Huỳnh Thị Thoa

SVTH: Huỳnh Thị Thoa

Trang 2


Khóa luận tốt nghiệp

MỤC LỤC
Lời cảm ơn

Trang

Phần 1: Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài.................................................................................... 4
2. Phạm vi nghiên cứu............................................................................... 5
3. Mục đích đề tài...................................................................................... 5
4. Phương pháp nghiên cứu....................................................................... 6
5. Nội dung................................................................................................ 6
Phần 2: Nội dung
Chương 1: Cơ sở lý luận
1.1. Thao tác tư duy phân tích và tổng hợp........................................... 8
1.1.1. Thao tác phân tích................................................................... 8
1.1.2. Thao tác tổng hợp ................................................................. 10
1.1.3. Mối liên hệ giữa hai thao tác tư duy phân tích và tổng hợp..11
1.1.4. Tác dụng của thao tác phân tích và tổng hợp trong dạy học
Tốn................................................................................................. 12
1.1.5. Một vài biện pháp thực hiện ................................................. 13
1.2. Những kiến thức cơ bản để giải phương trình lượng giác trong
Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao (hiện hành) ............ 17
1.2.1. Các công thức lượng giác ..................................................... 17
1.2.2. Phương trình lượng giác cơ bản............................................ 22
SVTH: Huỳnh Thị Thoa

Trang 3


Khóa luận tốt nghiệp
1.2.3. Một số phương trình lượng giác đơn giản ............................ 26
Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện thao tác phân tích và tổng
hợp cho học sinh qua việc tìm lời giải phương trình lượng giác
2.1. Tập cho học sinh nhìn bao quát một cách tổng hợp, xem bài tốn

đã cho thuộc loại nào? Phân tích cái đã biết và cái cần tìm................ 36
2.2. Tập cho học sinh thực hiện phân tích và tổng hợp xen kẽ nhau.
Sau khi phân tích được một ý thì tổng hợp lại ta có thu được điều gì
bổ ích hay khơng? Còn thiếu yếu tố nào nữa...................................... 39
2.3. Tập cho học sinh tách bài tốn đã cho (thường là khó hơn) thành
nhiều bài tốn thành phần, có hướng giải đơn giản hơn, sau đó tổng
hợp lại cho kết quả .............................................................................. 43
Kết luận .................................................................................................. 47
Tài liệu tham khảo ................................................................................ 48

SVTH: Huỳnh Thị Thoa

Trang 4


Khóa luận tốt nghiệp

PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Tốn học có nguồn gốc trong thực tiễn, là khoa học về cấu trúc tổng
quát, các quan hệ được trừu tượng hóa từ các đối tượng thực tế nên có điều
kiện đi sâu vào thực tế. Do đó Tốn học đóng một vai trị to lớn trong đời
sống và khoa học kĩ thuật.
Mơn Tốn góp phần giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất
trí tuệ, rèn luyện cho học sinh các tư duy trừu tượng, tư duy chính xác,
phương pháp khoa học suy luận trong học tập. Đồng thời bồi dưỡng những
đức tính, phẩm chất của người lao động như cẩn thận, chính xác, tính kỉ luật,
tính phê phán, bồi dưỡng óc thẩm mỹ.
Ở trường phổ thông, cùng với những bộ môn khoa học khác, môn Tốn
đã góp phần đắc lực vào việc thực hiện mục tiêu của ngành là: “Nâng cao chất

lượng giáo dục nhằm mục tiêu hình thành và phát triển tồn bộ nhân cách
XHCN của thế hệ trẻ, đào tạo đội ngũ lao động có văn hóa, có kỉ luật, giàu
tính sáng tạo, đồng bộ về ngành nghề, phù hợp với yêu cầu phân công lao
động của xã hội” (Nghị quyết Đại hội Đảng lần thứ VI). Để làm được việc
này thì nhà trường phổ thơng phải đề ra những mục đích cụ thể, cách đi phù
hợp, thực hiện đạt yêu cầu các mục tiêu sau của mơn Tốn:
- Phát triển tư duy và ngôn ngữ của học sinh thông qua việc dạy và học
Tốn ở phổ thơng, luyện tập cho học sinh diễn đạt được bằng lời nói và lập
luận của mình.
- Truyền thụ cho học sinh những tri thức, kỹ năng Toán học và kỹ năng
vận dụng Toán học vào đời sống.
- Làm cho học sinh nắm được một cách chính xác, vững chắc và có hệ
thống những kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản, hiện đại, sát với thực tiễn
Việt Nam và có kĩ năng vận dụng những tri thức đó vào những tình huống
SVTH: Huỳnh Thị Thoa

Trang 5


Khóa luận tốt nghiệp
khác nhau của đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập của các môn
khác.
- Phát triển ở học sinh những năng lực và phẩm chất trí tuệ, cần có u
cầu cao về một số phẩm chất như tính độc lập,tính tự giác, tính linh hoạt sáng
tạo.
Có thể nói việc rèn luyện và phát triển tư duy trong học sinh là một
nhiệm vụ quan trọng trong sự nghiệp giáo dục. Tốn học là một mơn học có
tính trừu tượng cao và mang tính hệ thống logic, tri thức trước chuẩn bị cho
tri thức sau và tri thức sau dựa vào tri thức trước. Nó địi hỏi người học phải
có một tư duy khoa học. Mơn Tốn có tiềm năng dồi dào và cũng là mơi

trường tốt nhất để rèn luyện và phát triển tư duy cho người học.
Qua quá trình nghiên cứu Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11-Nâng
cao, tơi nhận thấy Chương I: “Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác”
chứa nhiều yếu tố để rèn luyện các tư duy phân tích và tổng hợp.
Với những lí do trên, tơi quyết định lựa chọn đề tài: “Một số biện pháp
rèn luyện thao tác phân tích và tổng hợp cho học sinh qua việc tìm lời giải
phương trình lượng giác” trên phạm vi đại trà tác động đến cả lớp.
2. Phạm vi nghiên cứu
Các phương trình lượng giác nằm trong chuẩn kiến thức chương I: Hàm
số lượng giác và phương trình lượng giác_Sách giáo khoa Đại số và Giải tích
11 (Nâng cao).
3. Mục đích đề tài
Đề tài nêu lên một số biện pháp rèn luyện các thao tác tư duy cho học
sinh mà cụ thể là làm rõ hai thao tác tư duy phân tích và tổng hợp, vận dụng
vào việc tìm lời giải phương trình lượng giác trong chuẩn kiến thức Sách giáo
khoa Đại số và Giải tích 11 (Nâng cao).
SVTH: Huỳnh Thị Thoa

Trang 6


Khóa luận tốt nghiệp
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Việc nghiên cứu một đề tài cần rất
nhiều tài liệu liên quan. Do vậy cần phải thu thập phân tích, tổng hợp nguồn
tài liệu phù hợp với nội dung nghiên cứu, sau đó xử lí để tạo nên tính chính
xác, khoa học của đề tài.
- Phương pháp phi thực nghiệm: Là phương pháp thu thập thông tin dựa
trên việc quan sát các sự kiện đã và đang tồn tại. Đây là phương pháp cần
thiết đối với lượng giác.

5. Nội dung đề tài
Trong đề tài này tôi sẽ nghiên cứu các nội dung sau:
Phần 1: Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
2. Phạm vi nghiên cứu
3. Mục đích đề tài
4. Phương pháp nghiên cứu
5. Nội dung đề tài
Phần 2: Nội dung
Chương 1: Cơ sở lí luận
1.1. Thao tác tư duy phân tích và tổng hợp
1.1.1. Thao tác phân tích
1.1.2. Thao tác tổng hợp
1.1.3. Mối liên hệ giữa hai thao tác tư duy phân tích và tổng hợp
SVTH: Huỳnh Thị Thoa

Trang 7


Khóa luận tốt nghiệp
1.1.4. Tác dụng của thao tác tư duy phân tích và tổng hợp trong dạy
học Tốn
1.1.5. Một vài biện pháp thực hiện
1.2. Những kiến thức cơ bản để giải phương trình lượng giác trong
Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao (hiện hành)
1.2.1. Các cơng thức lượng giác
1.2.2. Phương trình lượng giác cơ bản
1.2.3. Một số phương trình lượng giác đơn giản
Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện thao tác phân tích và tổng
hợp cho học sinh qua việc tìm lời giải phương trình lượng giác

2.1. Tập cho học sinh nhìn bao quát một cách tổng hợp, xem bài
toán đã cho thuộc loại nào? Phân tích cái đã biết và cái cần tìm...
2.2. Tập cho học sinh thực hiện phân tích và tổng hợp xen kẽ nhau.
Sau khi phân tích được một ý thì tổng hợp lại ta có thu được điều gì
bổ ích hay khơng? Cịn thiếu yếu tố nào nữa?
2.3. Tập cho học sinh tách bài toán đã cho (thường là khó hơn) thành
nhiều bài tốn thành phần, có hướng giải đơn giản hơn, sau đó tổng
hợp lại cho kết quả.

SVTH: Huỳnh Thị Thoa

Trang 8


Khóa luận tốt nghiệp

PHẦN 2: NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Thao tác tư duy phân tích và tổng hợp
1.1.1. Thao tác phân tích
Phân tích là một q trình nhằm tách các bộ phận của những sự vật hoặc
hiện tượng của hiện thực với các dấu hiệu và thuộc tính của chúng, cũng như
các mối liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một hướng nhất định.
Q trình đó nhằm mục đích nghiên cứu chúng đầy đủ, sâu sắc hơn và
chỉ như vậy mới nhận thức được một cách trọn vẹn các sự vật, hiện tượng.
Phân tích ln ln là một việc làm có yêu cầu, diễn biến theo một
phương hướng nhất định nào đó.
Ví dụ:
- Khi học sinh cầm nắm một đồ vật và quan sát để nhận dạng hình học
của nó, đó là sự phân tích hành động thực tiễn.

- Khi quan sát một mơ hình hình học, học sinh tách một bộ phận nào đó
của hình để xem xét, đó là sự phân tích cảm tính.
- Trong q trình phân tích cảm tính học sinh có thể sử dụng các biểu
tượng hoặc các tri thức hình học đã được học từ trước để có được một bài
tốn hình học mới, đó là sự phân tích tiến tới hoạt động phân tích trí tuệ.
Như vậy, sự phân tích bằng hành động thực tiễn, sự phân tích cảm tính
và sự phân tích trí tuệ được thực hiện và hỗ trợ trong mối liên hệ tương hỗ với
nhau. Nhìn chung ở học sinh trung học thì sự phân tích trí tuệ là chủ yếu.
Q trình phát triển của sự phân tích đi từ phiến diện đến tồn diện, được
thực hiện thơng qua một loạt các hình thức ngày càng phức tạp hơn đó là sự
SVTH: Huỳnh Thị Thoa

Trang 9


Khóa luận tốt nghiệp
phân tích thử, sau đó là sự phân tích cục bộ hoặc từng phần, tiếp theo là phân
tích thức hợp và cuối cùng là sự phân tích có hệ thống.
Ví dụ 1: Khi dạy về “Điều kiện để hai mặt phẳng song song” ta có định lí:
“ Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a và b cắt nhau và cùng song song
với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q)”
Định lý được tóm tắt như sau:
, ( )
, ắ
a//(Q), b//(Q)

 ( P) //(Q)

Ví dụ 2:
Khi dạy khái niệm “Hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 ” là: Giả sử hàm số

f(x) xác định trên khoảng (a,b) và x0  ( a , b ) , hàm số f(x) được gọi là liên tục
tại điểm x0 nếu:

lim f ( x)  f ( x0 )
x x0

Khi dạy khái niệm này thì cần cho học sinh phân tích để hiểu sâu sắc hơn
về thế nào là hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 , tức là:
 Hàm số phải xác định tại x0 tức là f ( x0 )



lim f ( x)  a

x  x0 

lim f ( x )  b

x  x0 

 Có đẳng thức a  b  f ( x)
Nhờ đó mà học sinh thấy được mối quan hệ giữa giới hạn của hàm số tại
điểm x0 và giá trị của hàm số tại điểm x0 .
SVTH: Huỳnh Thị Thoa

Trang 10


Khóa luận tốt nghiệp
Sau khi cho học sinh phân tích khái niệm đó thì giáo viên đặt câu hỏi:

“ Làm thế nào để xét một hàm số có liên tục hay khơng?”
Lúc đó học sinh sẽ tổng hợp lại các yếu tố vừa phân tích để có câu trả lời
đúng nhất.
1.1.2. Thao tác tổng hợp
Thao tác tổng hợp là một hoạt động nhận thức phản ánh của tư duy, dùng
trí óc hợp lại các phần của cái toàn thể hoặc kết hợp lại những thuộc tính hay
khía cạnh khác nhau đã được tách ra, nằm trong cái toàn thể.
Thao tác tổng hợp thể hiện dưới nhiều hình thức và mức độ khác nhau. Ở
tiểu học, chủ yếu học sinh tiến hành tổng hợp bằng hành động thực tiễn.
Chẳng hạn, từ các bộ phận khác nhau của đồ vật, trẻ em có thể ghép lại thành
nhiều hình khác nhau. Từ việc tổng hợp hành động thực tiễn được phát triển
thành tổng hợp trí tuệ và diễn ra trong mối quan hệ tương hỗ, chặt chẽ. Ở học
sinh trung học thì nhìn chung sự tổng hợp trí tuệ là chủ yếu.
Hoạt động tổng hợp bắt đầu từ sự tổng hợp cục bộ thơng qua sự chuyển
hóa tiến đến sự tổng hợp đầy đủ và cuối cùng là tổng hợp có hệ thống.
Ví dụ: Sau khi học xong bài “Hai mặt phẳng vuông góc”, giáo viên cho học
sinh tổng kết lại các cách để chứng minh hai mặt phẳng vng góc?
- Cách 1: Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 90 o
- Cách 2:

a  ( P) 
  ( P)  (Q)
a  (Q) 

- Cách 3:

( P ')  (Q) 
  ( P)  (Q)
( P) //( P ') 

SVTH: Huỳnh Thị Thoa

Trang 11


Khóa luận tốt nghiệp
1.1.3. Mối liên hệ giữa hai thao tác tư duy phân tích và tổng hợp
Phân tích và tổng hợp không bao giờ tách rời nhau, chúng là hai mặt đối
lập của một quá trình thống nhất, F.Ăngghen viết: “ Khơng có phân tích thì
khơng có tổng hợp”. Bởi vì trong phân tích đã có tổng hợp, phân tích một cái
tồn thể đồng thời là tổng hợp các phần của nó, vì phân tích một cái tồn thể
ra từng phần cũng chỉ nhằm mục đích làm bộc lộ mối liên hệ giữa các phần
của cái toàn thể ấy. Phân tích một cái tồn thể chính là con đường để nhận
thức cái toàn thể sâu sắc hơn.
Sự thống nhất giữa phân tích và tổng hợp cịn được thể hiện ở chỗ: cái
toàn thể ban đầu (tổng hợp I) - định hướng cho phân tích, chỉ ra cần phân tích
ở mặt nào, khía cạnh nào. Kết quả của sự phân tích là cái tồn thể ban đầu
được nhận thức sâu sắc hơn (tổng hợp II)
Tổng hợp I – Phân tích – Tổng hợp II
Các thao tác tư duy phân tích, tổng hợp có mặt trong mọi hành động trí
tuệ, chẳng hạn muốn so sánh hai hay nhiều đối tượng thì trước mắt phải tách
từng mặt của từng đối tượng (Tổng hợp II), xem chúng có những mặt nào
giống nhau, mặt nào khác nhau.
Ví dụ 1:
Khi học về khái niệm thế nào là hình chóp có đáy là đa giác đều, thế nào
là hình chóp đều thì học sinh sẽ có sự phân tích hai khái niệm để thấy sự
giống và khác nhau giữa chúng:
Chóp có đáy là đa giác đều

Chóp đều

- Hình chóp

- Hình chóp

- Đáy là một đa giác đều

- Đáy là một đa giác đều
- Các cạnh bên bằng nhau

SVTH: Huỳnh Thị Thoa

Trang 12


Khóa luận tốt nghiệp
Khi đã phân tích như vậy thì học sinh sẽ không nhầm lẫn giữa hai khái
niệm này
Cũng như vậy, khi gặp một bài tốn thì trước hết học sinh sẽ phân tích
giả thiết của bài tốn; sau đó tổng hợp lại những điều đã phân tích được để tìm
ra mối liên hệ giữa các dữ kiện, từ đó có cách giải chính xác cho bài tốn đó.
1.1.4. Tác dụng của thao tác phân tích và tổng hợp trong dạy học Toán
- Giúp học sinh hiểu sâu và đầy đủ những thuộc tính, những trường hợp
riêng nằm trong một khái niệm, định lý.
Ví dụ 1:
Khi dạy khái niệm: “Hình thoi là hình bình hành có hai cạnh kề bằng
nhau”. Nếu gặp bài toán chứng minh tứ giác ABCD là hình thoi thì học sinh sẽ
dựa vào các dữ kiện của bài tốn để có cách chứng minh phù hợp. Cụ thể học
sinh sẽ phân tích như sau:
+ Ý thứ nhất: Tứ giác ABCD là hình bình hành thì có thể chứng minh một

trong 3 trường hợp:
- Có hai cặp cạnh đối song song
- Có một cặp cạnh đối vừa song song, vừa bằng nhau
- Có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
+ Ý thứ hai: Có hai cạnh kề bằng nhau thì có thể chứng minh:
AB=BC hoặc AB=AD hoặc AD=DC hoặc DC=BC
- Từ những thuộc tính riêng lẻ đó, học sinh tổng hợp lại để nhận biết chính
xác, đầy đủ một đối tượng.
- Đây là hai thao tác cơ bản được sử dụng để tiến hành các thao tác khác.
SVTH: Huỳnh Thị Thoa

Trang 13


Khóa luận tốt nghiệp
Ví dụ 2:
Phân tích để thấy được sự giống và khác nhau giữa các đối tượng (hay
phân tích để so sánh các đối tượng)
Khi học về phép quay và phép vị tự, học sinh sẽ phân tích để thấy sự
khác nhau như sau:
Phép quay

Phép vị tự

Phép quay tâm O, góc quay  biến

Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến M

M thành M’ thì ta có:

thành M’ thì ta có:

OM  OM '

(OM , OM ')  



OM  kOM '

1.1.5. Một vài biện pháp thực hiện
a. Khi dạy khái niệm
Khi dạy khái niệm, giáo viên nên tập cho học sinh phân tích các thuộc
tính bản chất để từ đó tổng hợp lại, để nhận biết và phân biệt với các khái
niệm khác hay để tìm ra mối liên hệ giữa các khái niệm gần gũi nhau.
Ví dụ 1:
Khi dạy khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp thì cần cho học sinh phân tích để
nhận biết khi nào dùng chỉnh hợp và khi nào thì dùng tổ hợp.


Giống nhau: Đều cho một tập A có n phần tử và lấy ra k phần tử của tập

A đó (1  k  n)


Khác nhau:

SVTH: Huỳnh Thị Thoa

Trang 14

Khóa luận tốt nghiệp
Chỉnh hợp

Tổ hợp

- Sắp xếp thứ tự k phần tử đó

- Khơng sắp xếp thứ tự k phần tử

- Kí hiệu là An k

- Kí hiệu là C n k

Ví dụ 2: Khi học về xác suất thống kê, có khái niệm tần số và tần suất:
- Tần số là số lần xuất hiện biến cố A trong N lần thực hiện phép thử
- Tần suất của biến cố A là tỉ số giữa tần số của A với số N (N: số lần thực
hiện phép thử T)
Do đó ta sẽ có mối liên hệ giữa Tần số và Tần suất là:
Tần suất = Tần số/N
b. Khi dạy định lý:
Khi dạy định lý thì giáo viên phải tập cho học sinh biết phân tích giả thiết
và kết luận, phân tích để thấy các bước, các ý trong chứng minh, để thấy và
phân biệt sự giống và khác nhau giữa các định lý gần gũi nhau.
Ví dụ 1:
Định lý về hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba: (Hệ quả
2/Trang 107 Sách giáo khoa hình học 11 Nâng cao)
“ Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vng góc với mặt phẳng thứ ba thì
giao tuyến của chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba”

- Phân tích giả thiết và kết luận của bài tốn:

( P)  (Q)  

+ Giả thiết: ( P)  ( R)
(Q)  ( R)

SVTH: Huỳnh Thị Thoa

Trang 15


Khóa luận tốt nghiệp
+ Kết luận:    R
- Phân tích các bước nhỏ của q trình chứng minh:
+ Hiểu rõ giả thiết: ( P)  ( R)  a  ( P) và a  (R)

(Q)  ( R)  b  (P) và b  (R)
+ Tìm mối liên hệ giữa các yếu tố của giả thiết vừa phân tích được với
u cầu của bài tốn, phân tích thành các trường hợp sau:
 Trường hợp 1: a   hay b  
Theo giả thiết, ta có a  (R), b  (R) nên   ( R)
 Trường hợp 2: a   và b  
Lấy điểm A   ;từ điểm A kẻ đường thẳng 1 vng góc với (R)
Do ( P)  ( R) nên 1  ( P )
Và (Q)  ( R) nên 1  (Q )
Vậy: 1      ( R )
Ví dụ 2:
Phân tích để thấy sự giống và khác nhau giữa các định lý nhận biết hình
bình hành: tứ giác có hai cặp cạnh đối song song, tứ giác có hai cặp cạnh đối

bằng nhau từng đơi một, tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng
nhau, tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm chung của mỗi đường.
c. Khi dạy giải bài tập Toán
Khi dạy giải bài tập Tốn, giáo viên cần phải dạy cho học sinh:
- Nhìn bao quát một cách tổng hợp, xem bài Toán đã cho thuộc loại nào?
Phân tích cái đã cho và cái cần tìm...
- Thực hiện phân tích và tổng hợp xen kẽ nhau. Sau khi phân tích được
một ý thì tổng hợp lại để xem ta có thu được điều gì bổ ích hay khơng? Cịn
thiếu yếu tố nào?
SVTH: Huỳnh Thị Thoa

Trang 16


Khóa luận tốt nghiệp
- Tách bài tốn đã cho (thường là khó hơn) thành nhiều bài tốn thành
phần, có hướng giải đơn giản hơn, sau đó tổng hợp lại cho kết quả.
Ví dụ 1:
2

2

Tính giá trị của biểu thức A  z1  z2 , với z1 , z2 là 2 nghiệm phức của
phương trình z 2  2 z  10  0
Bước 1: Phân tích kết luận: Muốn có z1 và z2 thì ta phải có z1 và z2
Mà z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình

z2  2z 10  0 nên ta phải giải phương trình này trước
2
Bước 2: Giải phương trình z  2z 10  0

'
2
Có  110 9  9i

Do đó phương trình có hai nghiệm phức là: z1  1  3i và z 2   1  3i
Suy ra:

 z1 2  1  9  10
 2
 z 2  1  9  10

Hay: A=20
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng: x, y  0 ta có: x 2  y 2 

1 1
 2
x y



x

y



Giáo viên hướng dẫn cho học sinh:
- Bước 1: Phân tích vế phải 2





x  y 2 x 2 y

- Bước 2: Tìm ra mối quan hệ giữa vế trái và vế phải bằng cách nhóm
theo biến:

x2  y 2 

SVTH: Huỳnh Thị Thoa

1 1  2 1  2 1
 x  y  
x y 
x 
y

Trang 17


Khóa luận tốt nghiệp
+ Có nhận xét gì về x2 

1
với 2 x ở vế phải?
x

Theo bất đẳng thức Cauchy thì x 2 

1
1
 2 x2.  2 x
x
x

y2 

1
1
 2 y2.  2 y
y
y

- Bước 3: Tổng hợp sự phân tích thành bài tốn hồn chỉnh:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
x2 

1
1
 2 x2.  2 x
x
x

y2 

1
1
 2 y2.  2 y

y
y

Cộng 2 bất đẳng thức trên theo vế ta được:
1 1
x 2  y 2    2 x  2 y  2 x  y (đpcm)
x y
1.2. Những kiến thức cơ bản để giải phương trình lượng giác trong Sách





giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao (hiện hành)
1.2.1. Các công thức lượng giác
a. Các công thức cơ bản:

tan x 

sin x
cosx

sin( x  k 2 )  sin x

cot x 

cosx
sin x

cos( x  k 2 )  cosx

sin2 x  cos2 x 1

tan( x  k )  tan x

1  tan 2 x 

1
cos2 x

cot( x  k )  cot x

1  cot 2 x 

1
sin 2 x

SVTH: Huỳnh Thị Thoa

Trang 18


Khóa luận tốt nghiệp
b. Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt:
0

x









6

4

3

2

sin x

0

1
2

2
2

3
2

1

co s x

1

3
2

2
2

1
2

0

ta n x

0

3
3

1

3

||

cot x

||

3

1

3
3

0

2
3

3
4

5
6



3
2

2
2

1
2

0



1
2



2
2

 3

-1

3
3

-1





3
2

-1



3
3

0

 3

||

c. Dấu của hàm số lượng giác:
Cung
Hàm lượng giác

0 x





2

2

 x 

3 3
 x  2
2

2
Cung

 x

sin x

+

+

-

-

co s x

+

-

-

+

tanx

+

-

+

-

cot x

+

-

+

-

d. Cung liên kết:
* Cung đối:
sin   x    sin x

cos   x   cosx
* Cung bù:
sin   x   sin x
cos   x   cosx
SVTH: Huỳnh Thị Thoa

tan   x    tan x
cot   x   cotx
tan   x    tan x
cot   x   cotx
Trang 19

Khóa luận tốt nghiệp
* Cung hơn kém  :

sin   x    sin x

tan   x   tan x

cos   x   cosx

cot   x   cotx

* Cung phụ:


sin   x   cosx
2



cos   x   sin x
2


* Cung hơn kém


2



tan   x   cotx
2



cot   x   tan x
2


:



sin   x   cosx
2



cos   x    sin x
2




tan   x   cotx
2




cot   x    tan x
2


e. Công thức cộng:
sin  a  b   sin acosb  cos a sin b
sin  a  b   sin acosb  cos a sin b
cos  a  b   cosacosb  sin a sin b
cos  a  b   cosacosb  sin a sin b

tan a  tan b
1  tan a tan b
tan a  tan b
tan  a  b  
1  tan a tan b
tan  a  b  

f. Công thức nhân đôi, nhân ba:
* Công thức nhân đôi:
sin 2 x  2sin x cos x
cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x  2cos 2 x  1  1  2sin 2 x

SVTH: Huỳnh Thị Thoa

Trang 20


Khóa luận tốt nghiệp
2 tan x

1  tan 2 x
cot 2 x  1
cot 2 x 
2cot x
tan 2 x 

* Công thức nhân ba:
sin 3 x  3sin x  4sin 3 x
cos3 x  4cos 3 x  3cos x
tan 3 x 

3 tan x  tan 3 x
1  3 tan 2 x

g. Công thức hạ bậc và cơng thức biểu diễn qua góc chia đơi:
* Cơng thức hạ bậc:

sin 2 x 

1  cos2x
2

cos2 x 

1  cos2x
2

sin3 x 

3sin x  sin3x

4

tan 2 x 

1  cos2 x
1  cos2 x

cos3 x 

3cosx  cos3x
4

* Cơng thức biểu diễn qua góc chia đơi:
Nếu đặt t  tan

sin x 

x
thì:
2

2t
1 t2

tan x 

1 t2
cosx 
1 t2

2t
1 t2

1 t2
cotx 
2t

h. Cơng thức biến đổi tổng thành tích

sin a  sin b  2sin

a b
a b
cos
2
2

sin a  sin b  2cos

a b a b
sin
2
2

SVTH: Huỳnh Thị Thoa

Trang 21


Khóa luận tốt nghiệp

cos a  cos b  2cos

a b
a b
cos
2
2

cos a  cos b  2sin

a b a b
sin
2
2

tan a  tan b 

sin  a  b 
cosacosb

cot a  cot b 

sin  a  b 
sin a sin b

tan a  tan b 

sin  a  b 
cosacosb

cot a  cot b 

sin  b  a 
sin a sin b





sin a  cos a  2 sin  a    2cos  a  
4
4






sin a  cos a  2 sin  a     2cos  a  
4
4






cos a  sin a  2 sin   a   2cos  a  
4

4


i. Công thức biến đổi tích thành tổng:

1
sin(a  b)  sin(a  b)
2
1
sin a sin b   cos(a  b)  cos(a  b)
2
1
cosacosb  cos(a  b)  cos(a  b)
2
k. Các định lý liên quan giữa các góc và các cạnh của tam giác
sin acosb 

* Định lý hàm số sin:

sinA sin B sin C 1



a
b
c
2R
* Định lý hàm số cos:

a 2  b 2  c 2  2bccosA

b 2  a 2  c 2  2accosB
c2  a 2  b 2  2abcosC
SVTH: Huỳnh Thị Thoa

Trang 22


Khóa luận tốt nghiệp
* Cơng thức tính diện tích tam giác:

1
1
1
S  absin C  ac sin B  bc sin A
2
2
2
* Định lý hình chiếu:
a  c.cosB+b.cosC

1.2.2. Các phương trình lượng giác cơ bản
a. Phương trình sin x  m (1)
Phương trình (1) ln có nghiệm khi m  1
Nếu  là một nghiệm của phương trình (1), nghĩa là sin   m thì

 x    k 2
sin x  m  
k  Z 
x






k
2



(Ia)

Ta nói rằng x    k 2 hoặc x      k 2 là 2 họ nghiệm của phương
trình (1)
Ví dụ 1: Giải phương trình: sin x  

3
(1)
2

3
 
Do sin     
nên
2
 3






 x   3  k 2
 x   3  k 2
(1)  

k  Z 
4


 x     k 2
x 
 k 2


3
3
Vậy nghiệm của phương trình là: x  


3

 k 2 hoặc x 

4
 k 2
3

k  Z 
Chú ý: + Khi m0, 1 thì cơng thức (Ia) có thể viết gọn như sau:
sin x  1  x 

SVTH: Huỳnh Thị Thoa


2

 k 2
Trang 23


Khóa luận tốt nghiệp



sin x  1  x    k 2
2
sin x  0  x  k

+ Với m cho trước m  1 , phương trình sin x  m có đúng một
 
nghiệm nằm trong đoạn   ,  . Người ta kí hiệu đó là
 2 2

arcsinm. Khi đó:

 x  arcsinm+k2
sin x  m  
k  Z 
x




arcsinm+k2


Ví dụ 2: Giải phương trình: sin x 

2
3

2

x

arcsin
 k 2

2
3
sin x   
k  Z 
2
3
 x    arcsin  k 2

3

b. Phương trình cos x  m (2)
Phương trình (2) ln có nghiệm khi m  1
Nếu  là một nghiệm của phương trình (1), nghĩa là c o s   m thì

 x    k 2
cosx  m  
k  Z 
x




k
2



(IIa)

Ta nói rằng x    k 2 hoặc x    k 2 là 2 họ nghiệm của phương
trình (2).
Ví dụ 1: Giải phương trình cosx 

1
(1)
2



x

 k 2

 1

3
Do cos  nên 1  
k  Z 

3 2
 x    k 2

3
SVTH: Huỳnh Thị Thoa

Trang 24


Khóa luận tốt nghiệp
Vậy nghiệm của phương trình là: x 


3

 k 2 hoặc x  


3

 k 2

k  Z 
Chú ý: + Khi m0, 1 thì cơng thức (IIa) có thể viết gọn như sau:
cosx  1  x  k 2
cosx  1  x    k 2

cosx  0  x 


2

 k

+ Với m cho trước m  1 , phương trình cosx  m có đúng một
nghiệm nằm trong đoạn  0,   . Người ta kí hiệu đó là arccosm.
Khi đó:

 x  arccosm+k2
cosx  m  
k  Z 
 x  arccosm+k2
Ví dụ 2: Giải phương trình: cosx 

2
3

2

x  arccos  k 2

2
3
cosx   
k  Z 
3
 x  arccos 2  k 2


3

c. Phương trình tanx  m (3)
Điều kiện xác định cosx  0
Nếu  là một nghiệm của phương trình (3), nghĩa là tan  m thì

tan x  m  x    k  k  Z 

(IIIa)

Ta nói rằng x    k là họ nghiệm của phương trình (3)

SVTH: Huỳnh Thị Thoa

Trang 25