Phát triển năng lực toán học cho học sinh thông qua các bài toán sử dụng đồ thị của hàm đạo hàm chương trình giải tích 12 nhằm nâng cao chất lượng ôn thi tốt nghiệp THPT môn toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT LÊ VIẾT THUẬT
=====*=====

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Tên đề tài:

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỐN HỌC CHO HỌC SINH THƠNG
QUA CÁC BÀI TỐN SỬ DỤNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM ĐẠO HÀM
CHƯƠNG TRÌNH GIẢI TÍCH 12 NHẰM NÂNG CAO CHẤT
LƯỢNG ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MƠN TỐN

Đề tài thuộc lĩnh vực: TỐN HỌC
Họ tên người thực hiện:
1) Nguyễn Mạnh Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật
2) Hoàng Thị Hương Huyền - Trường THPT Nghi Lộc 4
3) Phan Thị Thu Huyền – Trường THPT Nguyễn Trường Tộ

Tháng 12/2020


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Tốn học là mơn khoa học cơ bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều
lĩnh vực khác nhau. Dạy toán học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri
thức khoa học phổ thông cơ bản tạo điều kiện cho các em được hình thành và
phát triển các phẩm chất, năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ
thống tri thức đảm bảo đủ để nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh.
Trong chương trình mơn Tốn bậc THPT, các em học sinh được học đạo
hàm từ cuối học kỳ II của lớp 11, nhưng đại đa số các em khi học xong những
kiến thức về đạo hàm thì chỉ biết vận dụng công thức để giải các bài tốn về tính

đạo hàm, hoặc khảo sát hàm số. Cịn việc ứng dụng đạo hàm để khai thác và giải
các bài toán như: Bài toán đồ thị hàm đạo hàm và sự biến thiên của hàm số, bài
toán đồ thị hàm đạo hàm và cực trị của hàm số, bài toán đồ thị hàm đạo hàm và
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, bài toán đồ thị hàm đạo hàm và sự
tương giao của đồ thị các hàm số… qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở bậc
THPT và tìm hiểu về tâm lý của đối tượng học sinh tơi thấy học sinh cịn rất
lúng túng, bỡ ngỡ. Nhằm giúp các em học sinh hứng thú trong học tập, biết cách
khai thác, vận dụng các kiến thức liên quan đến đạo hàm để giải quyết các bài
toán đồ thị hàm đạo hàm và các bài toán liên quan tơi đã chọn viết chun đề
này trình bày một số kinh nghiệm của bản thân đã tích luỹ khi giảng dạy: “Phát
triển năng lực toán học cho học sinh thơng qua các bài tốn sử dụng đồ thị
của hàm đạo hàm chương trình Giải tích 12 nhằm nâng cao chất lượng ơn
thi tốt nghiệp THPT mơn Tốn” nhằm phục vụ công tác dạy và học trong nhà
trường.
Trong quá trình giảng dạy tơi cố gắng làm sáng tỏ mối quan hệ giữa hàm

y = f '( x)

y = f ( x)

số
và hàm số
thơng qua một số bài tốn liên quan. Bằng cách
sắp xếp các dạng toán, phương pháp truyền thụ phù hợp với đối tượng học sinh,
phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các em, tôi đã giúp học
sinh hiểu đây là là phần bài tập có thuật giải rõ ràng, chính xác, có nhiều nội
dung ứng dụng phong phú và giúp học sinh định hướng được năng lực tư duy và
tiếp cận kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2021.
2. Mục đích nghiên cứu
y = f '( x)

Đề tài giúp học sinh thấy được mối quan hệ giữa hàm số
và hàm
2


y = f ( x)

số
thơng qua một số bài tốn liên quan. Từ đó, học sinh định hướng
được năng lực tư duy và tiếp cận kỳ thi THPT mối quan hệ giữa hàm số

y = f '( x)

y = f ( x)

và hàm số
thơng qua một số bài tốn liên quan. Bằng cách
sắp xếp các dạng toán, phương pháp truyền thụ phù hợp với đối tượng học sinh,
phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các em, tôi đã giúp học
sinh hiểu đây là là phần bài tập có thuật giải rõ ràng, chính xác, có nhiều nội
Quốc Gia năm 2021.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt được mục đích nghiên cứu, đề tài có nhiệm vụ:
+ Hình thành cách giải một số bài tốn về đồ thị hàm đạo hàm.
+ Đề xuất một số bài toán mới liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm.
y = f ( x)
+ Làm sáng tỏ mối quan hệ giữa hàm số
và hàm đạo hàm của nó là

y = f '( x)

.
+ Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
Từ đó, xây dựng được phương pháp dạy học phù hợp tiếp cận kỳ thi THPT
Quốc Gia năm 2021.
4. Đối tương và phạm vi nghiên cứu
4.1Đối tương nghiên cứu
Đề tài đã nghiên cứu các bài toán về đồ thị hàm đạo hàm và các bài tốn
liên quan nhằm mục đích để học sinh hiểu sâu sắc hơn về vấn đề khảo sát hàm
số như: hình dạng đồ thị, sự biến thiên, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của hàm số và sự tương giao của các đồ thị hàm số. Từ đó, giúp học sinh hồn
thiện kỹ năng và tiếp cận kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2021.
4.2 Phạm vi nghiên cứu
y = f '( x)
Nghiên cứu các bài toán về đồ thị của hàm số
và giải các bài toán
liên quan.
5. Phương pháp nghiên cứu
5.1Phương pháp nghiên cứu lý luận:
Nghiên cứu các tài liệu:
+ Sách giáo khoa, sách giáo viên, nội dung giảm tải chương trình, hướng dẫn
3


thực hiện chương trình Tốn 12.
+ Sách tham khảo và các tài liệu trên Internet về các vấn đề liên quan đến đề tài.
5.2Phương pháp điều tra, quan sát:
Dự giờ, quan sát, lập phiếu điều tra thực trạng việc giải quyết bài toán đồ
thị hàm đạo hàm và các bài toán liên quan.
5.3Phương pháp thực nghiệm sư phạm:

Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
6. Dự kiến những đóng góp của đề tài
+ Góp phần củng cố hệ thống kiến thức về khảo sát hàm số và các bài toán liên
quan.
+ Có thể sử dụng đề tài để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh
trong giảng dạy nội dung khảo sát.
7. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu
7.1Về mặt lý luận
Đề tài đã hệ thống kiến thức nền tảng theo từng bài tốn liên quan. Hình
thành cách tư duy giải các bài toán.
7.2 Về mặt thực tiễn
Giải quyết được tình huống thực tiễn khi nghiên cứu về đồ thị hàm số

y = f '( x)

. Xây dựng được hệ thống bài tập nhằm rèn luyện kỹ năng cho học

sinh.

4


NỘI DUNG
ĐỒ THỊ HÀM ĐẠO HÀM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
1. Đồ thị hàm đạo hàm và sự biến thiên của hàm số
1.lKiến thức cơ bản
a) Đinh nghĩa

y = f ( x)

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số
xác
đinh trên K. Ta nói
y = f ( x)
x1 , x2
x1
+) Hàm số
đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi
K mà nhỏ
hơn

x2

thì

+) Hàm số
x1

nhỏ hơn

x2

f ( x1 )

nhỏ hơn

y = f ( x)

thì

f ( x2 )

, tức là
x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 );

nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi

f ( x1 )

x1 , x2

thuộc K mà

f ( x2 )

lớn hơn
, tức là
x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ).

Hàm số đồng biến hoặc nghich biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điêu
trên K.
b) Tính đơn điêu và dấu của đạo hàm
y = f ( x)
Cho hàm số
có đạo hàm trên K.
f '( x) > 0
f ( x)
x
+) Nếu
với mọi thuộc K thì hàm số

đồng biến trên K.
f '( x) < 0
f ( x)
x
+) Nếu
với mọi thuộc K thì hàm số
nghịch biến trên K.
Tóm lại, trên K
ng biế
n
 f '( x) > 0 ⇒ f ( x) đồ

n.
 f '( x ) < 0 ⇒ f ( x ) nghòch bieá

f '( x) = 0, ∀x ∈ K

f ( x)

Chú ý: Nếu
thì
khơng đổi trên K.
1.2 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1 ( Câu 39 mã đề 123 đề thi THPT quốc gia năm 2019).
5


Cho hàm số

f ( x)

Bất phương trình
khi và chỉ khi
A.
B.
C.
D.

, hàm số

y = f ′( x )

f ( x) < x + m m

(

¡

liên tục trên

và có đồ thị như hình vẽ bên.

là tham số thực) nghiệm đúng với mọi

x ∈ (0; 2)

m ≥ f (2) − 2.
m > f (0).

m > f (2) − 2.

m ≥ f (0).

Lời giải.
Ta có

f ( x) < x + m, ∀x ∈ (0;2) ⇔ m > f ( x) − x, ∀x ∈ (0;2)(*)
y = f '( x )

x ∈ (0;2)

Dựa vào đồ thị của hàm số
ta có với
g ( x) = f ( x) − x
(0;2)
Xét hàm số
trên khoảng
.
g '( x) = f '( x) − 1, ∀x ∈ (0;2).

g ( x)

thì

f '( x) < 1

.

(0;2)

Suy ra hàm số

nghịch biến trên khoảng
.
⇔ m ≥ g (0) = f (0).
Do đó (*)
Chọn phương án D.
Ví dụ 2 (Đề KSCL HK1, Chuyên Đại học Vinh, Nghệ An 2018).
f ( x)
f '( x)
¡
Hàm số
xác định trên
có đồ thị
là đường
cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
f ( x)
(−1;2).
A. Hàm số
nghịch biến trên khoảng
f ( x)
(1;2).
B. Hàm số
đồng biến trên khoảng
f ( x)
( −2;1).
C. Hàm số
đồng biến trên khoảng
f ( x)
(0;2).
D. Hàm số
nghịch biến trên khoảng

Lời giải.
y = f '( x ),
Cách 1: Dựa vào đồ thị của hàm số
suy ra rằng
6


−1

 −2 < x < 0
0 < x < 2
O
f '( x) > 0 ⇔ 
vaøf '( x) < 0 ⇔ 
 x>2
 x < −2

1

4

(0;2).
Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng

Chọn phương án D.

y = f '( x ),

Cách 2: Từ đồ thị hàm số
suy ra

2
f '( x) = a( x + 2).x.( x − 2) = a.x.( x − 4)
a>0
với
. Lập bảng biến thiên của hàm
y = f ( x)
số
như sau
x
f J (x)
f (x)

−∞

−2
0

−
+∞

+

f (−2)

f
(−2)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số

y = f ( x)

0
−
0
f (0)

2
0

+∞
+
+∞

f f (2)
(2)

, suy ra hàm số nghịch biến trên

(0;2).
khoảng
Nhận xét:

Chìa khóa trong bài tốn này, chính là kỹ năng đọc đồ thị hàm số

y = f '( x )

, từ đó xác định dấu đạo hàm và cuối cùng là đưa ra được bảng

f '( x).


xét dấu của biểu thức
ở cách 2, học sinh cần có kĩ năng xét sự tương giao của đồ thị hàm số

y = f '( x )

và trục hồnh. Từ đó, xây dựng được dạng của hàm số

y = f ( x).
Ví dụ 3 (THPTQG - Minh họa lần 1 - 2018 - Câu 39).
y = f ( x)
y = f '( x )
Cho hàm số
. Hàm số
có đồ thị như hình vẽ. Hàm số

y = f (2 − x)

đồng biến trên khoảng
7

x


( 1;3) .

B.

A.
C.

( −2;1) .

D.

( 2; +∞ ) .
( −∞;2 ) .

Lời giải. Cách 1: Dựa vào đồ thị hàm số

y = f '( x )

, suy ra:

 −1 < x < 1
 x < −1
f '( x) > 0 ⇔ 
vaøf '( x) < 0 ⇔ 
 x>4
1 < x < 4
Suy ra rằng:
 −1 < 2 − x < 1 1 < x < 3
f '(2 − x) > 0 ⇔ 
⇔
 2− x>4
 x < −2
 2 − x < −1
 x>3
f '(2 − x) < 0 ⇔ 
⇔

1 < 2 − x < 4
 −2 < x < 1
g ( x) = f (2 − x).
y = g ( x)
¡
Đặt
Hàm
số
xác
định
trên
g '( x) = − f (2 − x), ∀x ∈ ¡ .
y =và
g ( xcó
) đạo hàm
Lập bảng biến thiên của hàm số
như sau

f '(2X− x )
g (x)
g(x)

−∞

J

+

∞

+
−

−2
0
0

−
+

( −2;1)

Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số
với

a>0

Do đó,

+
−

3
0
0
g(3)

g(-2)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số

đồng biến trên các khoảng

1
0
0
g(1)

y = g ( x)

, suy ra hàm số

+∞
−
+
+

∞

y = f (2 − x)

( 3; +∞ ) .

và
y = f '( x)

Chọn phương án C.
f '( x) = a( x + 1).( x − 1).( x − 4)
, suy ra

.

y = f ( x ) = ∫ f '( x ) d x = ∫ (ax 3 + 4ax 2 − ax − 4a )dx

8


=

với

C

a 4
a
a
x + 4 x 3 − x 2 − 4ax + C
4
3
2

là hằng số

Do đó:
Suy ra

a
a
a
g ( x) = (2 − x)4 + 4 (2 − x)3 − (2 − x) 2 − 4a(2 − x) + C
4
3

2

g '( x) = a ( x 3 − 2 x 2 − 5 x + 6) = a( x − 1)( x + 2)( x − 3),

của hàm số

y = g ( x)

X
gJ (x)
g(x)

lập bảng biến thiên

như sau
−∞

−2
0

−
+∞

1
0
g(1)

+

g(−2)

−

3
0

+∞
+
+∞

g(3)

g '( x )
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số
hàm số

y = g ( x)

Cách 3: Đặt

( −2;1)

là khoảng
g ( x) = f (2 − x).

và

, suy ra các khoảng đồng biến của

( 3; +∞ ) .

Ta có

g '( x) = [ f (2 − x) ] ' = (2 − x)'. f '(2 − x) = − f (2 − x).

Từ đồ thị hàm số

y = f '( x )

,

suy ra
 2 − x < −1
 x>3
g '( x) > 0 ⇔ − f '(2 − x) > 0 ⇔ f '(2 − x) < 0 ⇔ 
⇔
1 < 2 − x < 4
 −2 < x < 1

y = g ( x)

Hàm số
Nhận xét

đồng biến trên các khoảng

( −2;1)

và

( 3; +∞ ) .

f '( x)


Ở cách 1, học sinh cần có kĩ năng xét dấu của

bằng cách chỉ ra được

f '(2 − x).



phần đồ thị nằm phía trên, phía dưới trục hoành, suy ra dấu của
Ở cách 2, học sinh cần chỉ ra
được sự tương giao của đồ thị hàm số
9


y = f '( x )

với trục hồnh, từ đó xây dựng được dạng hàm số

đồ thị như hình vẽ, do đó suy ra được dạng của hàm số

y = f '( x)

y = g ( x)

có

. Việc xét

g '( x)



dấu của
là đơn giản chỉ cần dựa vào tích của các nhị thức bậc nhất
mà học sinh đã học ở lớp 10.
g'( x)
Ở cách 2, để tìm sự phân tích của
chúng ta có thể tịnh tiến nghiệm suy
ra



g'( x ) = a( x − 3)( x − 1)( x + 2).

Ở cách 3, học sinh xét dấu

f '(2 − x)

trực tiếp bằng cách dựa vào đồ thị

y = f '( x).



hàm số

Qua ba cách giải trên, các phương án gây nhiễu đều dựa vào những sai lầm
trong cách tư duy của học sinh. Chẳng hạn như phương án A,D dựa trên sai
lầm là học sinh chỉ đơn thuần là giải bất phương trình

g '( x )
chưa thấy được mối quan hệ giữa

g '( x) = − f '(2 − x).

và

f '(2 − x)

f '(2 − x) > 0

mà

bởi quan hệ ràng buộc

Phương án B chỉ là nhiễu số vì hàm số

y = f (2 − x)

(3; +∞) ⊂ (2; +∞).



đồng biến trên khoảng
Với những phân tích như trên, chúng ta hồn tồn có thể xây dựng được hàng
loạt các bài tập tương tự để học sinh rèn luyện kĩ năng cũng như tư duy một

y = f ( x)

cách trực quan qua đồ thị hàm số
như sau:
Bài toán tổng quát 1.
y = f ( x)
y = f '( x)
m
Cho hàm số
và a là một số thực bất kỳ. Hàm số
có đồ thị
O n
như hình bên. Hàm số
A.

y = f (a − x )

đồng biến trên khoảng

( a − n;a − m ) .

10

p


B.
C.

( a + m+ 1; +∞ ) .

m

p

n
O

( a − p;a − n ) .
( −∞; p ) .

D.
Bài toán tổng quát 2.
y = f ( x)
y = f '( x)
Cho hàm số
và a là một số thực bất kỳ. Hàm số
có đồ thị
như hình bên. Hàm số
A.
B.
C.
D.

y = f (a − x )

m

O

p

đồng biến trên khoảng

( a − n;a − m ) .
( a − p; +∞ ) .
( a − p − 1;a − n ) .
( a − m; + ∞ ) .

Bài toán tổng yquát
= f (3.x )
y = f '( x)
Cho hàm số
và
có đồ thị
y =af là(amột
− x) số thực bất kỳ. Hàm số
như hình bên. Hàm số
nghịch biến trên khoảng
( −∞;a − p ) .
A.
B.
C.

( −∞;a − m ) .
( a − p;a − m ) .
( a − m; +∞ ) .

D.

Ví dụ 4 (HK1-Chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị).
y
y = f ( x)
−112
¡
Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trênOx và đồ thị của hàm số

y = f '( x)
sai ?

cho ở hình bên. Xét hàm số

g ( x) = f ( x 2−2− 2).

Mệnh đề nào dưới đây

−4

11


g ( x)
A. Hàm số

đồng biến trên

(2; +∞).

g ( x)

B. Hàm số

nghịch biến trên

g ( x)
C. Hàm số

nghịch biến trên

g ( x)
D. Hàm số

(−1;0).
( −∞; −2).
(0;2).

nghịch biến tr ên

Lời giải.
Cách 1: Do

g ( x) = f ( x 2 − 2)

nên

g '( x) = [f ( x 2 − 2)]' = ( x 2 − 2)'. f '( x 2 − 2) = 2 x. f '( x 2 − 2).

Khi đó:



 x=0
 x =0
x=0


2
g '( x ) = 0 ⇔ 
⇔  x − 2 = 2 ⇔  x = ±2
2
f '( x − 2) = 0

 x 2 − 2 = −1  x = ±1

Mặt khác, từ đồ thị hàm số

y = f '( x)

suy ra rằng

f '( x 2 − 2) < 0 ⇔ x 2 − 2 < 2 ⇔ −2 < x < 2
 x>2
f '( x 2 − 2) > 0 ⇔ x 2 − 2 > 2 ⇔ 
 x < −2
Do đó hàm số
x
2x
f '( x 2 − 2)
g (x)
g(x)

−∞

J

+

∞

y = g ( x)
−

+
−

có bảng biến thiên như sau
-2
0
0

−
−

-1

+

−
−

0

+

−
g(0)

−
−

1
+
0
0

+
−
−

0
0

+
+
+

g(2)

g(-2)

Từ bảng biến thiên của hàm số

+∞

2

y = g ( x)

, hàm số

y = g ( x)

+

∞

đồng biến trên

12


(−2;0)

y = g ( x)

( −1;0)

khoảng
nên khẳng định hàm số
nghịch biến trên khoảng
là sai. Chọn phương án B.

y = f '( x )
y = f '( x )
suy ra rằng hàm số
có
Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số

f '( x) = a.( x + 1) ( x − 2)
2

dạng

Do đó:

với

a>0

f ( x) =
, suy ra

a 4 3a 2
x − x − 2ax + C.
4
2

a
3a
g( x) = f ( x 2 − 2) = ( x 2 − 2) 4 − ( x 2 − 2) 2 − 2a( x 2 − 2) + C
4
2

g'( x) = a( x 2 − 2)3 .2 x − 3a ( x 2 − 2).2 x − 4ax = 2ax( x 2 − 1)( x 2 − 4)
Bảng biến thiên của hàm số
x
−∞
J
g (x)
+∞
g(x)

y = g ( x)

−2
− 0 +

−1
0

là:
0
+ 0
g(0)

−

1
0

−

2
0

+∞
+
+∞

g(−2)
g(2)
2
2
g ( x) = f ( x − 2)
g '( x ) = 2 xf '( x − 2).
Cách 3: Từ
suy ra
Khi đó

  x>0
x
>
0


 2
(1)
 x>2
  f '( x 2 − 2) > 0
 x − 2 > 2



g '( x) > 0 ⇔ 
⇔   x < 0 ⇔  −2 < x < 0

(2)
 2
x<0


x
≠
−
1
x
−
2
<
2





2
  f '( x − 2) < 0
 x 2 − 2 ≠ −1



 x > 0
x>0


 2
 0 < x < 2

 f '( x 2 − 2) < 0
 x − 2 < 2
(3)

2


g '( x) < 0 ⇔ 
⇔   x − 2 ≠ −1 ⇔   x ≠ −1


x<0
 x < −2
(4)

  x<0
2
f
'(
x
−
2)
>
0

  x2 − 2 < 2



Từ (1) suy ra rằng phương án A đúng.
13


Từ (4) suy ra phương án C đúng.
Từ (2) suy ra phương án B sai.

g '( x) = 0.

x =1

Từ (3) suy ra phương án D đúng vì
là một nghiệm của
Nhận xét
 Như vậy, trong tình huống cụ thể mức độ bài tốn sẽ thay đổi. Bài tốn có thể
tổng quát theo hướng tác động đồ thị của hàm số
hàm số

y = g ( x ) = f (k ( x)).

Chẳng hạn như chọn

y = f '( x )

hoặc tác động vào

g ( x) = f ( x 2 − x).

Ví dụ 5 (THPT Trần Hưng Đạo, TPHCM).
y = f ( x ).
y = f '( x )
Cho hàm số
Đồ thị của hàm số

như hình bên. Đặt
đây đúng?
y = h ( x)
A. Hàm số
y = h( x )
B. Hàm số
y = h ( x)
C. Hàm số
y = h ( x)
D. Hàm số

x2
h( x ) = f ( x ) − .
2

Mệnh đề nào dưới

đồng biến trên khoảng

( −2;3).
(0;4).

đồng biến trên khoảng

(0;1).
nghịch biến trên khoảng

(2;4).
nghịch biến trên khoảng

Lời giải.
h( x ) = f ( x ) −
Do

x2
.
2

nên

h '( x ) = f '( x) − x.

tương giao của đồ thị hàm số

y = f '( x)

Vẽ đường thẳng

và đường thẳng

y=x

y=x

, dựa vào sự

, ta có:

14


 −2 < x < 2
 x < −2
f '( x) > x ⇔ 
vaø f '( x) < x ⇔ 
 x>4
2 < x < 4
Từ đó ta có
 −2 < x < 2
 x < −2
h '( x) > 0 ⇔ 
vaø h '( x) < 0 ⇔ 
 x>4
2 < x < 4
Suy ra, hàm số

y = h( x )

x
h J (x)
h (x)

có bảng biến thiên như sau:

−∞
−
+∞

−2
0

2
0
h(2)

+

h(−2)

−

4
0

+∞
+
+∞

h(4)

y = h( x)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số
, chọn phương án D.

Nhận xét
 Trong các ví dụ 1, ví dụ 2 và ví dụ 3 dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số

y = f '( x)

g '( x).
và trục hoành để xét dấu biểu thức

Để xét dấu của biểu thức

h '( x)
trong ví dụ 4 lại dựa trên sự tương giao của đồ thị hàm số
y = x.
đường thẳng

y = f '( x )

và

2 Đồ thị hàm đạo hàm và cực trị của hàm số
2.1Kiến thức cơ bản

a) Đinh nghĩa
f ( x)
D⊂¡ .
Hàm số
xác đinh trên
x0 ∈ D
f ( x)
• Điểm

được gọi là điểm cực đại của hàm số
nếu tồn tại một

( a; b ) ⊂ D

x0 ∈( a; b)

f ( x0 ) > f ( x), ∀x ∈ (a; b) \ { x0 } .

( a; b ) ⊂ D

x1 ∈(a; b)

f ( x1 ) < f ( x), ∀x ∈ (a; b) \ { x1} .

khoảng
sao cho
và
x1 ∈ D
f ( x)
• Điểm
được gọi là điểm cực tiểu của hàm số
nếu tồn tại một
khoảng

sao cho

và

15

b) Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực tri Điều kiện cần
f ( x)
x0
x0
Nếu hàm số
đạt cực tri tại điểm
và hàm số có đạo hàm tại
, thì
f '( x0 ) = 0.
Tuy nhiên hàm số có thể đạt cực tri tại một điểm mà tại đó hàm số khơng có đạo

y= x
hàm, chẳng hạn với hàm
tại đó.
Điều kiện đủ
•
•

Nếu
Nếu

, đại cực tri tại

x0 = 0

nhưng khơng có đạo hàm

f '( x0 ) < 0, ∀x ∈ (a; x0 ) vaøf '( x0 ) > 0, ∀x ∈ ( x0 ; b) thì f ( x)đạt cực tiể

u taïi x0 .
f '( x0 ) > 0, ∀x ∈ (a; x0 ) vaøf '( x0 ) < 0, ∀x ∈ ( x0 ; b) thì f ( x)đạt cực ñaïi taïi x0 .

Tức là, nếu đạo hàm của hàm số
X
f J (x)

y = f ( x)

đổi dấu từ âm sang dương khi qua

x0

−∞
−

0

x0

+∞
+

+∞

+∞

f(x)

yCT

M ( x0 , yCT ).

Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là
y = f ( x)
x0
Nếu đạo hàm của hàm số
đổi dấu từ dương sang âm khi qua .
x
x
f J (x)

0

−∞
+

0

+∞
−

yC Ñ

f(x)
−∞

−∞
M ( x0 , yCD ).

Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực đại là

2.2 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1 (Đề KSCL lớp 12, Việt Trì, Phú Thọ 2018).

16


f ( x)
Cho hàm số

¡

xác định trên

f '( x)
và có đồ thị của hàm

như hình vẽ. Hỏi

f ( x)
hàm số
A. 4.

đã cho có bao nhiêu cực trị?
B. 2.
C. 3.
D. 1 .

Lời giải.
Dựa vào đồ thi hàm số

x

f(x)

, suy ra bảng biến thiên như sau:

x1

−∞

f J (x)

y = f '( x)

−
+∞

0
f ( x1 )

x2

+

0
f ( x2 )

x4

x3

−

0

+

0

+∞
+
+∞

f ( x3 )

y = f ( x)

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số
có 3 cực trị.
Ví dụ 2 (Thi thử THPTQG lần 1, 2017 - 2018, THPT Lương Văn Tụy, Ninh
Bình).
y = f ( x)
¡
Cho hàm số
liên tục trên , đồ thị

f '( x)
của đạo hàm
như hình vẽ bên. Trong
các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

f ( x)
x = 0.
A.
đạt cực tiểu tại
f ( x)
x = −2.
B.
đạt cực tiểu tại
f ( x)
x = −2.
C.
đạt cực đại tại
f ( x)
D. Cực tiểu của
nhỏ hơn cực đại.
Lời giải.
y = f '( x)
y = f ( x)
Dựa vào đồ thị hàm số
suy ra bảng biến thiên của hàm số
như sau:
17


x
f J (x)
f (x)

−∞

−2
+
0
f(−2)

+∞

0
0

−

+
+∞

−∞

f(0)

Từ bảng biến thiên suy ra:
•

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm

x = 0.

Phương án A đúng.

x = 0.
Hàm số đạt cực đại tại điểm

Phương án C đúng.
f (0) < f ( −2).
• Hàm số có
Phương án D đúng. Chọn phương án B.
•

Ví dụ 3 (Đề KT HK1 Sở GD Kiên Giang 2017).
y = f ( x)
f '( x)
¡
Cho hàm số đa thức
xác định, liên tục trên
và có đồ thị của
như hình sau. Chọn phát biểu đúng khi nói về hàm số

y = f ( x)

.

A. Hàm số

y = f ( x)

có 2 điểm cực trị.

f (0)

f (3).

B. Giá trị của

lớn hơn giá trị của
(−3; −2).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng
lim f ( x) = +∞ vaølim f ( x) = −∞.
x →+∞
x →−∞
D.
Lời giải.
y = f '( x)
y = f ( x)
Từ đồ thị hàm số
suy ra hàm số
có bảng biến thiên như sau
x
f J (x)
f(x)

−∞
−
+∞

−4
0
f(−4)

+

-2
0

f(−2)

−

3
0

+∞
+
+∞

f(3)

Từ bảng biến thiên, suy ra
18


•

Hàm số có 3 điểm cực trị là
•

Hàm số đồng biến trên khoảng

(−3; −2).

khoảng
lim f ( x) = +∞ .

•

x →−∞

•

x = −4, x = −2, x = 0
(−4; −2)

. Phương án A sai.

nên hàm số đồng biến trên

Phương án C sai.

Phương án D sai.

Hàm số liên tục trên đoạn

nghịch biến trên
phương án B.
Nhận xét

[ −2;3] .

[ −2;3] vaøf '( x) < 0 với∀x ∈ (−2;3)
Do đó

f (0) > f (3).

nên hàm số

Phương án B đúng. Chọn

f '( x ) = a .( x + 4)( x + 2)( x − 3) = a .( x 3 + 3 x 2 − 10 x − 24)
Có thể viết lại

⇒ f ( x) =

a 4
x + ax 3 − 5ax 2 − 24ax + C
4

với C là hằng số, a > 0. Với mỗi C và với mỗi a suy ra

f (0) = aC ; f (3) = −

279
a + aC.
4

f (0) − f (3) = aC − (−

279
279
a + aC ) =
a > 0.
4
4

Khi đó:

f (0) > f (3).
Vậy:
Ví dụ 4 (THPT Chun Hồng Văn Thụ, Hồ Bình, 2017).

19


Cho hàm số

y = f ( x)

xác định, liên tục trên

¡

và

f '( x)
có đồ thị của

như hình sau. Xác định điểm

g ( x) = f ( x) + x.

cực tiểu của hàm số
x = 2.
A.
B. Khơng có điểm cực tiểu.
x = 0.

x = 1.
D.
C.
Lời giải.
Cách 1
g '( x ) = f '( x) + 1
Vì
, nên tịnh tiến đồ thị hàm số

y = f '( x)

dọc theo trục tung lên trên 1 đơn vị, ta nhận

được đồ thị hàm số
vào đồ thị hàm số

y = g '( x )

(xem hình vẽ bên). Dựa

g'( x)
, ta thấy

đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua

y = g ( x)

x = 1.
đạt cực tiểu tại
y = f '( x)

Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số
, suy ra
g '( x) > 0 ⇔ f '( x) + 1 > 0 ⇔ f '( x) > −1 ⇔ 1 < x < 2
điểm

x = 1.

y = g '( x)

Vậy hàm số

0 ≠ x < 1
g '( x) < 0 ⇔ f '( x ) + 1 < 0 ⇔ f '( x) < −1 ⇔ 
 x>2

Lập bảng biến thiên của hàm số
x
g J (x)
g(x)

−∞
−

0
0

y = g ( x)

−

như sau:
1
0

+∞

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số

g(1)

y = g '( x )

+

2
0
g(2)

+∞
−
−∞

, suy ra rằng hàm số đạt cực tiểu
20


tại

x = 1.

Chọn phương án D.

Ví dụ 5 (TT-Chuyên Vĩnh Phúc lần 2 - 2018).
y = f ( x)
¡
Cho hàm số
xác định trên
và có đồ thị của

g ( x ) = f ( x) − x.

f '( x )

g ( x)

như hình vẽ. Đặt
Hàm số
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
x = 2.
x = 0.
.
B.
A

x = −1.

D.

C.

x = 1.

Lời giải.
g ( x) = f ( x) − x
g '( x) = f '( x) − 1.
Do
nên
Do đó đồ thị

g '( x)
của hàm số

có được bằng cách tịnh tiến đồ thị

f '( x)
của hàm số
vị.

dọc theo trục tung đi xuống 1 đơn

y = g '( x)
Từ đồ thị hàm số

g '( x)
ta thấy

dương sang âm khi đi qua điểm

x = −1.

đổi dấu từ

g ( x)
Do đó

đạt cực đại tại

x = −1.

Ví dụ 6 (Đề KSCL HK1, sở Thái Bình 2017 -2018).
y = f ( x)
y = f '( x)
¡
Cho hàm số
liên tục trên , hàm số
có
y = f ( x) +
đồ thị như hình vẽ. Hàm số
điểm cực trị là:
4.
3.
B.
A.
C.

2.

D.

2017 − 2018 x

2017

có số

1.
21


Lời giải.
y = f ( x) +
Do

2017 − 2018 x
2017

y ' = 0 ⇒ f '( x) −
Khi đó:

y ' = f '( x ) −
nên

2018
.
2017

2018
2018
= 0 ⇒ f '( x) =
.
2017

2017

y' = 0

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình
phân biệt.
Do hàm số đã chho có 4 nghiệm phân biệt.

có 4 nghiệm

Ví dụ 7 (Đề sát hạch lần 2, Đồn Thương, Hải Dương
2018).
y = f ( x)
¡
Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị hàm
số

y = f '( x)

như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số

y = f ( x − 2017) − 2018 x + 2019
A. 3.

B. 1.

là:
C. 4.

D. 2.

Lời giải:
Từ đồ thị hàm số
nhất

y = f '( x)

, suy ra phương trình

f '( x) = 2018

có nghiệm duy

x0 > 1.

y = f ( x − 2017) − 2018 x + 2019

y ' = f '( x − 2017) − 2018.

Xét hàm số
, có
Suy ra
y ' = 0 ⇔ f '( x − 2017) − 2018 = 0 ⇔ f '( x − 2017) = 2018
⇔ x − 2017 = x0 ⇔ x = 2017 + x0 .

Từ đồ thị hàm số

y = f '( x)

suy ra:

f '( x ) − 2018 > 0 ⇔ x > x0 vaøf '( x) − 2018 < 0 ⇔ x < x0 .

Khi đó:

22


y ' > 0 ⇔ f '( x − 2017) − 2018 > 0 ⇔ x − 2017 > x0 ⇔ x > 2017 + x0 .
y ' < 0 ⇔ f '( x − 2017) − 2018 < 0 ⇔ x − 2017 < x0 ⇔ x < 2017 + x0 .

Lập bảng biến thiên của hàm số
x
f (x)

y = f ( x − 2017) − 2018 x + 2019
x0 + 2017

−∞
−

J

như sau

+∞
+

0

+∞

+∞

f(x)

y ( x0 + 2017)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số
hàm số đã cho có một điểm cực trị.

y = f ( x − 2017) − 2018 x + 2019

, suy ra

Ví dụ 8 (Chuyên Bắc Ninh, Lần 2, 2018).
y = f ( x)
y = f '( x)
Cho hàm số
với
có đồ thị như hình vẽ.

x3
g ( x) = f ( x) − + x 2 − x + 2
3

Hàm số
trong các điểm sau?
x = −1.

x = 1.
A.
B.
Lời giải.

g ( x ) = f ( x) −
Do

C.

x3
+ x2 − x + 2
3

đạt cực đại tại điểm nào

x = 0.

D.

x = 2.

nên

g '( x) = f '( x) − x 2 + 2 x − 1 = f '( x) − ( x − 1) 2 .
Vẽ parabol
số

y = ( x − 1)2 ,

y = f '( x)
x

dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm

và parabol ta có bảng biến thiên của hàm số
−∞

0

1

y = g ( x)
2

như sau.
+∞
23


g J (x)

−
+∞

g(x)

g(0)

g ( x)

Vạy, hàm số

+

0

đạt cực đại tại

x = 1.

−

0
g(1)

+

0

+∞
g(2)

Chọn phương án B.

3 Đồ thị hàm đạo hàm và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số
3.1Kiến thức cơ bản

a) Đinh nghĩa
Cho hàm số

•

y = f ( x)

xác đinh trên tạp D.

Số M được gọi là giá tri lớn nhất của hàm số
∀x ∈ D : f ( x) ≤ M ;

y = f ( x)

trên tập D nếu

i.

∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = M .
ii.

M = max f ( x).
D

Kí hiệu
•

Số m được gọi là giá tri nhỏ nhất của hàm số
∀x ∈ D : f ( x ) ≥ m;

y = f ( x)

trên tập D nếu

i.

∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = m.
ii.

m = min f ( x ).
D

Kí hiệu
b) Đinh lý
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá tri lớn nhất và giá tri nhỏ nhất
trên đoạn đó.
c) Quy tắc
Để tìm giá tri lớn nhất, giá tri nhỏ nhất của hàm số

y = f ( x)

trên đoạn

[ a; b]

ta

Làm như sau:

f '( x )
•

Tìm

và các điểm

x1 , x2 ,..., xn

trên khoảng

( a; b )

mà tại đó

f '( x) = 0
24


f '( x)
hoặc

không xác đinh.
f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ), f (a), f (b).

•

Tính

•

Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó

M = max f ( x); m = min f ( x).

[ a ;b ]

[ a ;b]

3.2 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1 (Sở GD và ĐT Phú Thọ, 2017).
Cho hàm số

y = f ( x)

xác định và liên tục trên đoạn

[ −2;2]

y = f '( x)

, có đồ thị của hàm số
như hình vẽ.
x0
y = f ( x)
Tìm giá trị để hàm số
đạt giá trị lớn nhất trên

[ −2;2] .

đoạn
x0 = 1.
A.

B.

x0 = −1.

C.

x0 = −2.

D.

x0 = 2.

Lời giải.
Cách 1: Dựa vào đồ thị hàm số

y = f ( x)

y = f '( x)

trên đoạn

[ −2;2]

, suy ra hàm số

có bảng biến thiên như sau:
x
f J (x)

−2
+

-1
0

+

1
0
f(1)

2
−

f(x)
f(-2)

f(-2)

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số
x0 = 1.

y = f ( x)

đạt giá trị lớn nhất tại điểm

Chọn phương án A.

Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số

y = f '( x)

, suy ra dạng của hàm số là
25