Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT CÁT NGẠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ ỨNG DỤNG

BỘ MƠN: TỐN.
TÁC GIẢ : ĐẶNG THỊ LOAN
TỔ: TOÁN - TIN

NĂM HỌC 2020 - 2021


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Viết tắt

Viết đầy đủ

ĐC

Đối chứng

TN

Thực nghiệm

GV

Giáo viên

GVG

Giáo viên giỏi

HS

Học sinh

HSG

Học sinh giỏi

THPT

Trung học phổ thông

THPT QG

Trung học phổ thông quốc gia

TNSP

Thực nghiệm sư phạm

SKKN

Sáng kiến kinh nghiệm

GTTĐ

Giá trị tuyệt đối

BBT

Bảng biến thiên

ĐTHS

Đồ thị hàm số

GTLN

Giá trị lớn nhất

GTNN

Giá trị nhỏ nhất

GD&ĐT

Giáo dục và đào tạo

CĐ

Cực đại

CT

Cực tiểu

MỤC LỤC
Phần I: Mở đầu

1

1.1. Lý do chọn đề tài.

1

1.2. Mục đích nghiên cứu.

1

1.3. Đối tượng nghiên cứu.

2

1.4. Cơ sở nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu.

2

1.5. Phương pháp nghiên cứu.

2

1.6. Điểm mới của đề tài.

2

Phần II: Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.

4

2.1. Cơ sở lý luận của đề tài.

4

2.1.1. Định nghĩa giá trị tuyệt đối

4

2.1.2. Các phép biến đổi đơn giản

4

2.1.3. Các phép biến đổi đồ thị

4

2.2. Cơ sở thực tiễn của đề tài.

5

2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

9

2.3.1. Đồ thị hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối.

9

2.3.1.1. Đồ thị hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối.

9

2.3.1.2. Nhận dạng đồ thị hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối.

17

2.3.2. Ứng dụng của đồ thị hàm số chứa dấu GTTĐ vào bài toán liên
quan đến cực trị hàm số.

19

2.3.3.Ứng dụng của đồ thị hàm số chứa dấu GTTĐ vào bài toán tương
giao.

31

2.3.4.Ứng dụng của đồ thị hàm số chứa dấu GTTĐ trong một số bài
toán khác.

44

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.

48

2.4.1. Chọn bài thực nghiệm.

48

2.4.2. Cách thức tiến hành thực nghiệm sư phạm.

49


2.4.3. Kết quả thực nghiệm sư phạm.

49

2.4.4. Hiệu quả của SKKN.

52

Phần III: Kết luận và kiến nghị.

53

1. Kết luận chung.

53

2. Kiến nghị.

53

Tài liệu tham khảo.

55


PHẦN I: MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Từ năm học 2016 - 2017, trong kì thi THPT QG đề thi mơn tốn chuyển từ
hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan. Chính điều đó đã tạo ra
một sự chuyển biến đáng kể trong cách dạy và học ở các trường THPT. Để đạt
được kết quả cao học sinh cần phải nắm vững các kiến thức cơ bản, thuần thục các
dạng toán và quan trọng hơn thế nữa phải linh hoạt, sáng tạo để chọn được cách
giải quyết vấn đề tốt nhất.
Trong các đề thi THPT QG những năm gần đây không thể thiếu các câu hỏi
về khảo sát hàm số và các vấn đề liên quan đến đồ thị hàm số. Đặc biệt những bài
toán ở mức độ vận dụng, vận dụng cao thường xuất hiện hàm hợp, trong số đó
nhiều bài tốn liên quan đến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Những dạng tốn
này thường gây khó khăn cho cả người dạy và người học. Thực tiễn dạy học cho
thấy khi gặp bài toán liên quan đến hàm số chứa dấu GTTĐ học sinh thường e
ngại. Nhưng nếu học sinh được học tập đầy đủ có hệ thống, giáo viên xây dựng
được một số dạng bài tập phù hợp thì các em sẽ có khản năng tốt hơn để giải bài
tập tốn. Đồng thời các em thấy hứng thú u thích mơn học hơn, góp phần nâng
cao hiệu quả dạy và học ở trường phổ thơng.
Trong q trình giảng dạy ơn thi và làm đề tơi thấy rất nhiều bài tốn khó về
hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Bản thân tôi đã rút ra được những phương pháp
chung để giải quyết một số bài toán liên quan đến đồ thị hàm số chứa dấu giá trị
tuyệt đối. Tôi đã viết thành SKKN "Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và
ứng dụng".
Nội dung của đề tài nhằm rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng giải bài tập
liên quan đến đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ngồi ra góp phần hình
thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học
cho học sinh.

Các đề thi THPT QG, đề tham khảo của bộ, đề thi thử THPTQG của các tỉnh,
các trường trong những năm gần đây thì xuất hiện nhiều bài toán liên quan đến đồ
thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Đề tài này cung cấp cho học sinh một số
phương pháp để giải bài toán liên quan đến đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
và cung cấp cho giáo viên thêm một tài liệu tham khảo để hướng dẫn học sinh giải
quyết trọn vẹn và nhanh gọn khi gặp bài toán dạng này, góp phần nâng cao kết quả
dạy học, ơn thi THPT QG.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Giúp các em học sinh lớp 12 tiếp cận một số dạng đồ thị hàm số chứa dấu giá
trị tuyệt đối và một số bài toán liên quan. Đồng thời rèn luyện cho HS kĩ năng giải
và trình bày các dạng tốn này, góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất
chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho học sinh.
1


Cung cấp tài liệu cho giáo viên và học sinh nhằm nâng cao hiệu quả ôn thi
THPT QG và chất lượng dạy học mơn tốn ở trường THPT.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu của đề tài tập trung chủ yếu vào kiến thức về đồ thị
hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và phương pháp giải một số dạng bài toán liên
quan đến đồ thị hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối.
1.4. Cơ sở nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu.
Trong thực tiễn giảng dạy về hàm số ta hay gặp bài toán về hàm số chứa dấu
giá trị tuyệt đối. Nếu người giáo viên có thể hệ thống được ngắn gọn nhưng đầy đủ
lý thuyết. Đồng thời xây dựng được hợp lí các phương pháp áp dụng lí thuyết đó
vào việc giải các bài tập điển hình thì sẽ giúp học sinh chủ động, tự tin tiếp cận và
giải quyết tốt các bài tập dạng này, từ đó khơi dậy khản năng vận dụng sáng tạo các
kiến thức đã học của học sinh vào việc giải toán, gây hứng thú, đam mê học tập
cho các em.
Để nghiên cứ đề tài này tôi đã nghiên cứu các tài liệu viết về hàm số và đồ

thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối cũng như các dạng toán liên quan thường xuất
hiện trong các đề thi THPT QG, đề minh họa của bộ, đề thi thử của các trường. Có
rất nhiều vấn đề liên quan đến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối tuy nhiên trong
giới hạn của đề tài tôi chỉ tập trung nghiên cứu về một số dạng liên quan đến đồ thị
hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng của nó.
1.5. Phương pháp nghiên cứu:
Trong q trình nghiên cứu đề tài tôi đã sử dụng các phương pháp sau:
 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết.
 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn.
 Phương pháp thống kê toán học.
Trên cơ sở phân tích kĩ chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, phân tích
kĩ đối tượng học sinh. Bước đầu mạnh dạn thay đổi từng tiết học, sau mỗi nội dung
đều rút kinh nghiệm về kết quả thu được và đi đến kết luận.
Lựa chọn các bài tập phù hợp từ dễ đến khó, vận dụng hoạt động năng lực tư
duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng cho
bài tốn.
1.6. Điểm mới của đề tài.
Trong nhiều đề thi những năm gần đây thì những bài tốn liên quan đến hàm
hợp đặc biệt là hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối xuất hiện khá nhiều. Vấn đề này
đã gây không ít khó khăn cho giáo viên và học sinh trong quá trình giảng dạy và
học tập. Sáng kiến kinh nghiệm "Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và
ứng dụng" bắt kịp xu thế đổi mới hình thức ra đề, thi cử, đổi mới hoạt động dạy
học trong những năm gần đây, tạo thêm nguồn tài liệu cho giáo viên và học sinh
2


tham khảo. Đề tài của tôi đã cung cấp được hệ thống kiến thức lý thuyết và phương
pháp cụ thể cho các dạng toán được nêu ra. Đồng thời cập nhật được các bài tập
mới nhất trong đề thi THPT QG, đề minh họa của bộ và trong các đề thi thử THPT
QG của nhiều tỉnh thành trong cả nước. Qua đó HS thấy được sự cần thiết phải học

tập chuyên đề này.
Trong thực tiễn giảng dạy của bản thân tơi đã áp dụng đề tài của mình vào
giảng dạy và đã thu được kết quả rất khả quan, hầu hết các em sau đó đã rất chủ
động và hứng thú khi tiếp cận với những bài toán liên quan hàm số chứa dấu giá trị
tuyệt đối. Từ đó phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo của mình trong học tập.
Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong bồi dưỡng
HSG, ôn thi THPT quốc gia cho HS khá giỏi, ôn thi GVG trường.

3


PHẦN II: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của đề tài.
2.1.1. Định nghĩa giá trị tuyệt đối.
 Giá trị tuyệt đối của một số thực A, ký hiệu A là:
A khi A �0
�
A �
 A khi A  0
�

 Mở
rộng khái niệm này thành giá trị tuyệt đối của một
A(x)
A
x


biểu thức
, kí hiệu

là:

2.1.2.

�
A x 
A x   �
 A x 
�

khi A  x  �0

khi A  x   0
Các phép biến đổi đơn giản.

 Hai điểm M  x; y  và M '  x;  y  đối xứng với nhau qua trục hoành .
 Hai điểm M  x; y  và M '   x; y  đối xứng với nhau qua trục tung .

 Hai điểm M  x; y  và M '   x;  y  đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O .
Từ các phép biến đổi đơn giản này ta có:
2.1.3 Các phép biến đổi đồ thị.
y  f  x
Lấy đối xứng đồ thị y  f  x  qua trục Oy .
y   f  x
Lấy đối xứng đồ thị y  f  x  qua trục Ox .
y   f  x
y f
y f
y f
y f

Lấy đối xứng đồ thị y  f  x  qua gốc tọa độ O .
r
 x   m với m  0 Tịnh tiến đồ thị hàm số theo v  0, m  (Dịch chuyển
thị theo phương Oy lên trên m đơn vị).
r
 x   m với m  0 Tịnh tiến đồ thị hàm số theo v  0, m  (Dịch chuyển
thị theo phương Oy xuống dưới m đơn vị).
r
 x  n  với n  0 Tịnh tiến đồ thị hàm số theo v   n,0  (Dịch chuyển
thị theo phương Ox sang trái n đơn vị).
r
 x  n  với n  0 Tịnh tiến đồ thị hàm số theo v  n,0  (Dịch chuyển
thị theo phương Ox sang phải n đơn vị).

y f x

đồ
đồ
đồ
đồ

Đồ thị gồm 2 phần:

+ Phần 1: Phần đồ thị của hàm số y  f  x  phía bên
phải Oy .
+ Phần 2: Lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thị của
4

hàm số y  f  x  phía bên phải Oy .
Đồ thị gồm 2 phần:
y  f  x

y f  x

+ Phần 1: Phần đồ thị của hàm số y  f  x  phía trên
Ox .
+ Phần 2: Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị của
hàm số y  f  x  phía dưới Ox .
Thực hiện liên tiếp biến đổi đồ thị y  f  x  thành đồ
y  f  x
y  f  x
thị
, sau đó biến đổi đồ thị
thành
y f  x
đồ thị
.
Đồ thị gồm 2 phần:

y  u  x  .v  x 
với
y  f  x   u  x  .v  x 

y  f  x  m

y  f  x  m

y f  xm

y f  x m

+ Phần 1: Phần đồ thị của hàm số y  f  x  trên miền
u  x  �0
.
+ Phần 2: Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị của
hàm số y  f  x  trên miền u  x   0 .
r y  f  x  trước sau đó tịnh tiến đồ thị hàm số theo
Vẽ
v  0, m 
.
r
v   m,0 
Tịnh tiến đồ thị hàm số theo
(Tịnh tiến đồ thị
m

0
m
sang trái
đơn vị nếu
hoặc phải m đơn vị nếu
m  0 ), sau đó lấy đối xứng qua trục Ox (Giữ nguyên
phần trên Ox ,bỏ phần dưới Ox , lấy đối xứng phần bị
bỏ qua trục Ox ).
r
v   m,0 
Tịnh tiến đồ thị hàm số theo
(Tịnh tiến đồ thị

m

0
m
sang trái
đơn vị nếu
hoặc sang phải m đơn vị
nếu m  0 ), sau đó lấy đối xứng qua trục Oy (Giữ
nguyên phần bên phải Oy , bỏ phần bên trái Oy , lấy
đối xứng phần giữ nguyên qua trục Oy ).
r y  f  x  trước sau đó tịnh tiến đồ thị hàm số theo
Vẽ
v  0, m 
(Tịnh tiến sang trái m đơn vị nếu m  0 hoặc
phải m đơn vị nếu m  0 )

Hệ quả 1. Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
Hệ quả 2. Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
2.2. Cơ sở thực tiễn và thực trạng vấn đề nghiên cứu.
Qua số liệu mà tôi đã thu thập được khi đi sâu khảo sát điều tra ở các trường
THPT Thanh chương 1, THPT Thanh chương 3, THPT Cát Ngạn với 26 giáo viên và
250 em học sinh được khảo sát bằng phiếu thăm dò (Phiếu thăm dò ở phụ lục 1).
5


 Kết quả nhận được từ phiếu tham khảo ý kiến giáo 26 giáo viên.
Số GV chọn
phương án
đưa ra.

Câu hỏi khảo sát
1. Trong q trình dạy A. Có
học thầy / cơ có gặp khó B . Khơng
khăn khi dạy kiến thức
về hàm số chứa dấu giá
trị tuyệt đối và bài tốn
liên quan?

18 (69%)

2.Thầy / cơ đã cho học A. Nhiều
sinh của mình rèn luyện B. Vừa
nhiều về kiến thức hàm
số chứa dấu giá trị tuyệt C. Ít
đối trong q trình
giảng dạy, ôn thi
THPTQG chưa?

3 (11,5%)

3.Thầy / cô đã tham
khảo được nhiều tài liệu
hay về kiến thức hàm số
chứa dấu giá trị tuyệt
đối và ứng dụng ?

8 (31%)

4 (15,4%)
19 (73,1%)

A. Rất nhiều.

3 (11,5%)

B. Nhiều.

4 (15,4%)

C. Ít

9 (34,6%)

D. Rất ít

10 (38,5%)

Tổng hợp kế quả
Nhiều giáo viên gặp khó
khăn khi dạy đến kiến
thức hàm số chứa dấu
giá trị tuyệt đối và bài
toán liên quan?
Rất ít giáo viên đã cho
học sinh của mình rèn
luyện nhiều về kiến thức
hàm số chứa dấu giá trị
tuyệt đối trong q trình
dạy học.
Ít giáo viên đã tham

khảo được các tài liệu
tham khảo hay về kiến
thức hàm số chứa dấu
giá trị tuyệt đối và ứng
dụng.

 Kết quả nhận được từ phiếu tham khảo ý kiến của 250 học sinh
Câu hỏi khảo sát
1.Khi gặp các bài
toán liên quan đến
hàm số chứa dấu giá
trị tuyệt đối các em
thấy như thế nào?
2.Trong quá trình học
tập các em đã được
rèn luyện nhiều về
các bài tập liên quan
đến hàm số chứa dấu
giá trị tuyệt đối chưa?

Số HS lựa
chọn phương
án đưa ra.

A. Rất khó.

128 (51,2%)

B. Khó.

91 (36,4%)

C.Bình
thường

24 (9,6%)

D. Dễ

7 (2,8%)

A. Nhiều.

35 (14%)

B. Vừa.

52 (20,8%)

C. Ít

86 (34,4%)

D. Rất ít

77 (30,8%)

Tổng hợp kết quả
Đa số các em học sinh
thấy khó khăn khi gặp bài

tốn liên quan đến hàm số
chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Số các em đã được rèn
luyện nhiều về các bài tập
liên quan đến hàm số chứa
dấu giá trị tuyệt đối chưa
nhiều.
6


3. Khi học đến kiến
thức về hàm số chứa
dấu giá trị tuyệt đối
và bài toán liên quan
em thấy như thế nào?

A. Rất thích.

5 (2%)

B. Thích

17 6,8%)

C.Bình
thường.

38 (15,2%)

D. Khơng
thích.

190 (76%)

4.Trong những năm A. Có
gần đây bài tốn về B. Khơng
hàm số chứa dấu giá
trị tuyệt đối xuất hiện
nhiều trong các đề thi
THPTQG, thi thử của
các trường em có
muốn được rèn luyện
nhiều về nội dung
này.

216 (86,4%)
34 (13,6%)

Đa số các em học sinh
không mấy hứng thú khi
học đến kiến thức về hàm
số chứa dấu giá trị tuyệt
đối và bài toán liên quan.

Hầu hết các em mong
muốn được học kiến thức
về về hàm số chứa dấu giá
trị tuyệt đối khi biết những
bài toán liên quan đến kiến

thức này xuất hiện nhiều
trong các đề thi THPTQG,
thi thử của các trường.

Từ tổng hợp kết quả phiếu tham khảo ý kiến giáo viên và học sinh đã chỉ ra
rằng :
 Về phía học sinh.
Trong thực tế hiện nay khi gặp các dạng toán về “Hàm số chứa dấu giá trị
tuyệt đối và ứng dụng” thường làm các học sinh kể cả những học sinh giỏi lúng
túng từ việc nhận dạng cho đến cách xử lý nhất là những bài toán ở mức độ vận
dụng cao.
Khi gặp các bài toán về vấn đề trên, hầu như học sinh khá e ngại khi khơng
nắm được phương pháp giải tốn. Một số học sinh do năng lực tư duy hạn chế hơn
nữa lại chưa được rèn luyện nhiều về phương pháp giải những dạng tốn này. Các
em khơng hứng thú khi giải những bài toán đến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
 Về phía giáo viên.
Nhiều giáo viên gặp khó khăn trong q trình giảng dạy kiến thức liên quan
đến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng. Nhiều giáo viên chưa dành thời
gian dạy cho học sinh của mình một cách đầy đủ có hệ thống các kiến thức về hàm
số chứa dấu giá trị tuyệt đối.Đa số các thầy cô chưa tham khảo được các tài liệu
hay đề cập đến vấn đề này.
Một thực tế nữa là trong các kì thi THPTQG, đề minh họa của Bộ
GD&ĐT,đề thi thử của các tỉnh, các trường thì bài tốn về “Hàm số chứa dấu giá
trị tuyệt đối và ứng dụng” xuất hiện khá nhiều. Ví dụ như:
Đề thi minh họa THPT QG của Bộ GD&ĐT năm 2018 có câu:
7


Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
có 7 điểm cực trị?

A. 3 .
B. 5 .
C. 6 .

y  3x 4  4 x 3  12 x 2  m
D. 4 .

Đề Thi chính thức THPT QG năm học 2018 – 2019 có câu:
Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên.

Số nghiệm thực của phương trình
A. 3 .

f  x3  3x  

B. 8 .

4
3 là:
C. 7 .

D. 4 .

Đề Thi THPT QG năm học 2019-2020 (Mã 101 – Lần 2) có câu:
�
Cho hàm số f  x  có f  0   0. Biết y  f  x  là hàm số bậc bốn và có đồ thị là

đường cong trong hình bên. Số điểm cực trị của hàm số

g ( x)  f  x 3   x

là

A. 5 .
B. 4 .
C. 6 .
D. 3 .
Đề thi thử của trường THPT Quế Võ – Bắc Ninh 2021 có câu:



f�
x    x  2
x2  x  2

y

f
x


Cho hàm số
có đạo hàm
f x
điểm cực trị của hàm số   là
A. 5 .
B. 1 .
C. 2 .
2019

  x  3
2020

3

. Số

D. 3 .

8


Để giải được những bài toán về hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối đòi hỏi học
sinh phải được cung cấp hệ thống lí thuyết và phương pháp cụ thể. Đồng thời
hướng dẫn HS biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo vào giải quyết các bài tốn.
Chính những điều đó đã thơi thúc tơi nghiên cứu và áp dụng nội dung chủ đề
dạy học này trong năm học 2020 – 2021 để góp phần nâng cao chất lượng dạy học,
ôn thi THPTQG.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1. Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
2.3.1.1 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Để vẽ đồ thị của hàm số chứa dấu GTTĐ ta thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Xét dấu các biểu thức chứa bên trong dấu giá trị tuyệt đối.
Bước 2: Sử dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.Phân tích hàm đã cho
thành các phần không chứa dấu GTTĐ (Dạng hàm cho bởi nhiều công thức).
Bước 3: Vẽ đồ thị từng phần rồi ghép lại.
*Các kiến thức liên quan
1.Định nghĩa GTTĐ:
�A khi A �0
A �

� A khi A  0
2. Định lý cơ bản:
�B �0
A B��
�A = �B
3.Các phép biến đổi đồ thị cơ bản.
C ' : y  f  x
Dạng 1: Từ đồ thị  C  : y  f  x  vẽ đồ thị  
.
�
�f  x  khi x �0
y  f  x  �
� f  x  khi x  0 .
y  f  x
Từ đó ta có phương pháp vẽ đồ thị hàm số
:
Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số y  f  x  .
Bước 2:
+ Giữ nguyên phần đồ thị  C  nằm phía trên trục hồnh (cả những điểm nằm trên
trục hoành).
+ Lấy đối xứng với phần đồ thị   nằm phía dưới trục hồnh qua trục hồnh.
4
2
Hướng dẫn giải:
Ví dụ 1. Cho hàm số y  x  4 x  3
Đây là dạng bài từ đồ
C

thị
9

 C  : y  f  x   x 4  4 x 2  3 suy ra đồ

có đồ thị như hình vẽ.

thị

 C ' : y  f  x 

Đồ thị hàm số

 x4  4x2  3

y  f  x

.

bao gồm:
+ Phần đồ thị hàm số y  f  x  nằm phía
trên Ox (cả những điểm nằm trên Ox ).
+ Phần đối xứng với phần đồ thị hàm số
y  f  x  nằm phía dưới Ox qua Ox .
Khi đó, ta được đồ thị như hình vẽ:
Hãy

suy

ra

y  x4  4 x2  3

đồ

thị

hàm

số

?

y  f  x

�
nên toàn bộ phần đồ thị  C  đều nằm phía trên trục hồnh.
C' : y  f  x 
Dạng 2:Từ đồ thị  C  : y  f  x  , suy ra đồ thị  
.
�
�f  x  khi x �0
y f  x �
�f   x  khi x  0 .
y f  x
Từ đó ta có phương pháp vẽ đồ thị hàm số
.
Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số  C  : y  f  x  .

Nhận xét:

Bước 2:
C
+ Giữ nguyên phần đồ thị   nằm bên phải trục tung (cả những điểm nằm trên
trục tung).

+ Lấy đối xứng phần đồ thị   nằm bên phải trục tung qua trục tung.
3
Ví dụ 2. Cho hàm số y  2  3 x  x có đồ thị như hình vẽ.
C

10


Hãy suy ra đồ thị hàm số

y 23 x  x

3

?
Hướng dẫn giải:

3
Đây là dạng bài từ đồ thị  C  y  f  x   2  3x  x , suy ra đồ thị

 C ' y  f  x   2  3 x  x

Đồ thị hàm số

3

.

y 23 x  x

3

bao gồm:

3
+ Phần ĐTHS y  2  3x  x nằm bên phải Oy (cả những điểm nằm trên Oy ).
3
y

2

3
x

x
+ Phần đối xứng với phần ĐTHS
nằm bên phải Oy qua Oy .

Khi đó, ta được đồ thị như hình vẽ:
3
ĐTHS y  2  3x  x

Nhận xét:
đối xứng.

y f  x

ĐTHS

y 23 x  x

3

�
là hàm số chẵn nên đồ thị  C  nhận trục tung làm trục

 C ' : y  f  x  .
Dạng 3: Từ đồ thị  C  : y  f  x  suy ra đồ thị
Phương pháp vẽ đồ thị hàm số


y f  x

.

Cách 1:
11


Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số  C  : y  f  x  .
y  f  x
Bước 2: Từ đồ thị  C  : y  f  x  vẽ đồ thị
.

Bước 3: Từ đồ thị



y  f  x

vẽ đồ thị

y f  x

.

Cách 2:
Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số  C  : y  f  x  .
y f  x
Bước 2: Từ đồ thị  C  : y  f  x  vẽ đồ thị
.

Bước 3: Từ đồ thị

y f  x

vẽ đồ thị

y f  x
3

2

y  x 3 x  4 x 2

Ví dụ 3. Hãy vẽ đồ thị của hàm số

Hướng dẫn giải:

?

 C�
:y f  x .
Đây là dạng bài từ đồ thị  C  : y  f  x  , suy ra đồ thị
3
2
y  x 3  3x 2  4 x  2 �
Từ đồ thị hàm số y  x  3x  4 x  2 � đồ thị hàm số
đồ thị

3

2

y  x 3 x  4 x 2

hàm số
Đồ thị hàm số

y  x3  3x 2  4 x  2

Nhận xét: Đồ thị
đối xứng.

y f  x

Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số

y  x3  3x 2  4 x  2

y  x 3 x  4 x 2

3

2

nằm phía trên trục hồnh và nhận trục tung làm trục

C ' : y  u  x v x
Dạng 4: Từ đồ thị  C  : y  u  x  v  x  , suy ra đồ thị  
.
u  x  khi u  x  �0
�
�
u  x  �
u  x  khi u  x   0
�
y  u  x v  x
Từ đó ta có phương pháp vẽ đồ thị hàm số
12


Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số  C  : y  u  x  v  x  .
Bước 2:

C
+ Giữ nguyên phần đồ thị   nằm trên miền u  x  �0 .
C
+ Lấy đối xứng với phần đồ thị   nằm trên miền u  x  �0 qua trục hồnh.

Ví dụ 4. Hãy vẽ đồ thị của hàm số
Hướng dẫn giải:

y  x  1  x2  4

?

C ' : y  u  x v x
Đây là dạng bài từ đồ thị  C  : y  u  x  v  x  , suy ra đồ thị  
�
x  1  x 2  4  khi x �1

�
x  1  x2  4  �
  x  1  x 2  4  khi x  1
�
�
Ta có:

Đồ thị hàm số

y  x  1  x2  4

+ Phần đồ thị hàm số

bao gồm:

y   x  1  x 2  4 

+ Phần đối xứng với phần đồ thị hàm số
ĐTHS

trên miền x �1 .

y   x  1  x 2  4 

y   x  1  x 2  4 

ĐTHS

trên miền x  1 qua Ox.

y  x  1  x2  4 

Một số dạng đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối khác:
y  f  x   m y  f  x  m y  f  x  m y  f  x   m
,
,
,
* Kiến thức liên quan:
Phép tịnh tiến đồ thị
Cho hàm y  f ( x ) có đồ thị (C), a  0 .
Đồ thị cần tìm
Cách biến đổi

Minh họa

13


Tịnh tiến đồ thị theo

r
v  0, a 

(C ) theo
(C1 ) : y  f ( x)  a (Tịnh tiến đồ thị
phương Oy lên phía trên a
đơn vị).

(C2 ) : y  f ( x)  a

Tịnh tiến đồ thị theo
r
v  0, a 
(Tịnh tiến đồ thị

(C3 ) : y  f ( x  a)

Tịnh tiến đồ thị theo
r
v   a,0 
(Tịnh tiến đồ thị

(C )

theo phương Oy xuống
phía dưới a đơn vị).

(C )

theo phương Ox qua trái
a đơn vị).

Tịnh tiến đồ thị theo

r
v  a,0 

(C ) theo
(C4 ) : y  f ( x  a) (Tịnh tiến đồ thị
phương Ox qua phải a đơn
vị).

Cách vẽ đồ thị hàm số:

*
y f  x m
Hàm số
y  f  x  m

y  f  x  m

y  f  x  m y  f  x  m
,

,

y f  xm

,

Cách vẽ
Vẽ

y  f  x

r
v  0, m 

trước, sau đó tịnh tiến đồ thị theo
(Theo
phương Oy lên trên m đơn vị nếu m  0 hoặc xuống dưới m đơn
vị nếu m  0 .
r
v
Tịnh tiến đồ thị theo  m,0  (Theo phương Ox sang trái m đơn vị
nếu m  0 hoặc sang phải m đơn vị nếu m  0 ), sau đó lấy đối
xứng qua trục hoành. (Giữ nguyên phần trên Ox , bỏ phần dưới,
lấy đối xứng phần bị bỏ qua trục Ox ).
14


r
v
Tịnh tiến đồ thị theo  m,0  (Tịnh tiến đồ thị theo phương Ox qua

trái m đơn vị nếu m  0 hoặc sang phải m đơn vị nếu m  0 ), sau
đó lấy đối xứng qua đường thẳng x  m ( Giữ nguyên phần bên
phải đường thẳng x   m , bỏ phần bên trái đường thẳng x   m ,
lấy đối xứng phần giữ nguyên qua đường thẳng x   m ).
r
y f  x m
y f  x
v  0, m 
Vẽ
trước, sau đó tịnh tiến đồ thị theo
(Tịnh tiến
theo phương Oy lên trên m đơn vị nếu m  0 hoặc xuống dưới m
y f  xm

Ví dụ 5:

đơn vị nếu m  0 .
Cho hàm số y  f  x  có đồ thị là đường cong như trong hình vẽ.

Vẽ đồ thị hàm số

y  f  x  1

.
Hướng dẫn giải:

y  f  x
Đồ thị hàm số
được suy ra từ đồ thị hàm số y  f  x  bằng cách giữ
nguyên phần đồ thị trên trục hoành; lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị nằm

dưới trục hoành.
y  f  x  1
y  f  x
Đồ thị hàm số
là tịnh tiến đồ thị hàm số
lên trên theo
phương Oy 1 đơn vị.

ĐTHS y  f  x 

ĐTHS

y  f  x

ĐTHS

y  f  x  1

y  f  x  m
Nhận xét : Đây là dạng đồ thị hàm số
.
Ví dụ 6:
Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ:
15


Vẽ đồ thị hàm số

y f  x2

.
Hướng dẫn giải:

Đồ thị hàm số y  f  x  2  được suy ra từ đồ thị hàm số y  f  x  bằng cách
tịnh tiến đồ thị qua trái 2 đơn vị.
y f  x2
Đồ thị hàm số
được suy ra từ đồ thị hàm số y  f  x  2  bằng cách
Giữ nguyên phần bên phải đường thẳng x  2 , bỏ phần bên trái đường thẳng
x  2 , lấy đối xứng phần giữ nguyên qua đường thẳng x  2 .

ĐTHS y  f  x 

ĐTHS y  f  x  2 
y f  xm
Nhận xét : Đây là dạng đồ thị hàm số
.
Ví dụ 7:
Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ:

Vẽ đồ thị hàm số

y  f  x  2

ĐTHS

y f  x2

.
Hướng dẫn giải:

Đồ thị hàm số y  f  x  2  được suy ra từ đồ thị hàm số y  f  x  bằng cách
tịnh tiến sang phải 2 đơn vị.
16


y  f  x  2
Đồ thị hàm số
được suy ra từ đồ thị hàm số y  f  x  2  bằng
cách giữ nguyên phần đồ thị trên trục hoành. Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ
thị nằm dưới trục hoành.

ĐTHS y  f  x 

ĐTHS y  f  x  2 

ĐTHS

y  f  x  2

y  f  x  m
Nhận xét : Đây là dạng đồ thị hàm số
.
Ví dụ 8:
Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ với hai đường nét đứt là
hai đường tiệm cận:

Vẽ đồ thị hàm số

y  f  x  1

.
Hướng dẫn giải:

y f  x
Đồ thị hàm số
được suy ra từ đồ thị hàm số y  f  x  bằng cách giữ
nguyên phần đồ thị bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung. Sau đó lấy đối
xứng phần bên phải trục tung qua trục tung.
y  f  x  1
y f  x
Đồ thị hàm số
là tịnh tiến đồ thị hàm số
lên trên 1 đơn vị.

17


ĐTHS

y  f  x

ĐTHS

Nhận xét : Đây là dạng đồ thị hàm số

y f x

y f  x m

ĐTHS

y  f  x  1

.

2.3.1.2 Nhận dạng đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

x
2x  1 có đồ thị
Ví dụ 1: (THPTNguyễn KhuyếnTPHCM 2020) Cho hàm số
như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào trong các đáp án dưới đây?
y

Hình 1

y
A.

x
2 x 1

y

.

B.

Hình 2
x

2 x 1

y

x
2x  1 .

y

x
2 x 1

. C.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Đồ thị hình 2 nhận được từ hình 1 bằng cách: giữ nguyên phần đồ thị nằm bên trên
trục hoành. Lấy đối xứng phần đồ thị bên dưới trục hồnh qua trục hồnh. Sau đó
x
y
2x  1 .
xóa bỏ phần bên dưới trục hồnh. Đây chính là đồ thị hàm số
Chọn C.

18


Nhận xét: Bài toán này từ đồ thị hàm số

y  f  x

nên chỉ cần học sinh nắm được chất đồ thị hàm số
toán.

suy ra đồ thị hàm số y  f  x 

y  f  x

Ví dụ 2: (Đề tham khảo Bộ GD&ĐT 2017) Hàm số

y   x  2   x 2  1

như hình vẽ bên. Hình nào dưới đây là đồ thị của hàm số

Hình 1
A. Hình 1

Hình 2
B. Hình 2

là giải quyết được bài

y  x  2  x 2  1

Hình 3
C. Hình 3
Hướng dẫn giải:

có đồ thị
?

Hình 4
D. Hình 4

�
x  2   x 2  1 , x �2

�
y  x  2  x 2  1  �
  x  2   x 2  1 , x  2
�
�
. Đồ thị gồm 2 phần:
+) Giữ nguyên phần đồ thị đã cho ứng với x �2 .
+) Lấy đối xứng phần đồ thị đã cho ứng với x  2 qua trục Ox

Hình1 nhận vì đồ thị là hàm

y  x  2  x 2  1

Hình3 loại vì đồ thị hàm số

y   x  2   x 2  1

Hình2 loại vì đồ thị là hàm y   x  2  x  1  x  1

loại vì đồ thị hàm
Hình4
Đáp án A.

y   x  2   x 2  1

Nhận xét: Bài toán thuộc dạng đồ thị hàm số

y  u  x v x

.
19


Ví dụ 3: (Thi thử THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số y  f  x  có đồ thị
hàm số

y f  x

như hình vẽ.

Chọn kết luận đúng trong các kết luận sau:
f x   x3  x 2  4 x  4
f x  x3  x 2  4 x  4
A.  
B.  
f x   x3  x 2  4 x  4
f x  x3  x 2  4 x  4.
C.  
D.  
Hướng dẫn giải:
Từ đồ thị hàm số đã cho suy ra phần đồ thị bên phải trục Ox là đồ thị của hàm số
y  f  x  , vậy hàm số y  f  x  là hàm bậc ba y  ax3  bx 2  cx  d , a  0 .
Đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 0) nên chọn A.

: Bài toán thuộc dạng đồ thị hàm số
Nhận xét

y  f  x .

2.3.2. Ứng dụng của đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối vào các bài toán
liên qua đến cực trị của hàm số.
1. Kiến thức liên quan :
 Định nghĩa cực đại, cực tiểu của hàm số:
 a; b 
Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên khoảng
và điểm x0 � a, b  .
a) f  x  đạt CĐ tại x0 � h  0, f  x   f  x0  , x �S  x0 , h  \  x0  .
b) f  x  đạt CT tại x0 � h  0, f  x   f  x0  , x �S  x0 , h  \  x0  .
Chú ý:
a) Điểm cực trị của hàm số; Giá trị cực trị của hàm số; Điểm cực trị của đồ thị hàm
số.
b) Nếu y  f  x  có đạo hàm trên (a; b) và đạt cực trị tại x0 � a, b  thì f '  x0   0 .
 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị :
Định lí 1: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục trên khoảng K   x0  h; x0  h  và
có đạo hàm trên K hoặc K \  x0   h  0  .
a) f '  x   0 trên  x0  h; x0  , f '  x   0 trên  x0 ; x0  h  thì x0 là một điểm CĐ của

20


f  x .
b) f '  x   0 trên  x0  h; x0  , f '  x   0 trên  x0 ; x0  h  thì x0 là một điểm CT của
f  x .

Định lí 2: Giả sử y  f  x  có đạo hàm cấp hai trong  x0  h; x0  h   h  0  .
a) Nếu f '  x0   0 , f '  x0   0 thì x0 là điểm cực tiểu.
b) Nếu f '  x0   0 , f '  x0   0 thì x0 là điểm cực đại.
 Quy tắc tìm cực trị của hàm số y  f  x  .
Quy tắc 1:
1) Tìm tập xác định.
2) Tính f '  x  . Tìm các điểm tại đó f '  x   0 hoặc f '  x  không xác định.
3) Lập bảng biến thiên.
4) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2:
1) Tìm tập xác định.
2) Tính f '  x  . Giải phương trình f '  x   0 và kí hiệu xi là nghiệm.
3) Tìm f '  x  và tính f ''  x  .
4) Dựa vào dấu của f ''  x  suy ra tính chất cực trị của xi .
Nhận xét: Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm khơng xác
định.
 Phương pháp tìm số cực trị của hàm số

y  f  x

.

�
�f  x  khi f  x  �0
y  f  x  �
� f  x  khi f  x   0 .
Do đó, đồ thị
+ Phần đồ thị
trục hồnh).

 C�
 : y  f  x  bao gồm:
 C  : y  f  x  nằm phía trên trục hoành (cả những điểm nằm trên

+ Phần đối xứng với phần đồ thị  C  : y  f  x  nằm phía dưới trục hồnh qua trục
hồnh.
21