Góp phần hình thành và phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học thông qua dạy học chủ đề đồ thị hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

----

SÁNG KIẾN KHOA HỌC GIÁO DỤC

TÊN ĐỀ TÀI
GĨP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ
DUY VÀ LẬP LUẬN TỐN HỌC THƠNG QUA DẠY HỌC
CHỦ ĐỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
LĨNH VỰC: TOÁN HỌC
MƠN: TỐN

NĂM HỌC 2020 – 2021


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT HÀ HUY TẬP

----

SÁNG KIẾN KHOA HỌC GIÁO DỤC

TÊN ĐỀ TÀI
GÓP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ
DUY VÀ LẬP LUẬN TỐN HỌC THƠNG QUA DẠY HỌC
CHỦ ĐỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
LĨNH VỰC: TỐN HỌC
MƠN: TỐN

GIÁO VIÊN: NGUYỄN TRUNG THÀNH
SỐ ĐIỆN THOẠI: 0902029789

NĂM HỌC 2020 - 2021


MỤC LỤC
PHẦN I - MỞ ĐẦU .................................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................................. 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................................. 2
4. Giả thuyết khoa học .................................................................................................. 3
5. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu............................................................. 3
6. Phương pháp nghiên cứu........................................................................................... 3
7. Đóng góp của đề tài .................................................................................................... 3

PHẦN II. NỘI DUNG ............................................................................................... 3
A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÍ LUẬN VỀ NĂNG LỰC TỐN HỌC ............................ 3
I. MỤC TIÊU CHƯƠNG TRÌNH MƠN TỐN THPT ............................................. 3
II. YÊU CẦU CẦN ĐẠT VỀ NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN ..................... 4
III. MỘT SỐ KẾT QUẢ KHẢO SÁT THỰC TRẠNG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÀM
SỐ HIỆN NAY................................................................................................................ 6

B. GĨP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ
LẬP LUẬN TỐN HỌC THƠNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ĐỒ THỊ CỦA
HÀM SỐ.................................................................................................................... 7
I. THIẾT KẾ MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP DƯỚI DẠNG CÁC TÌNH
HUỐNG CĨ VẤN ĐỀ, QUA ĐĨ GĨP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN
NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ, NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN
TOÁN HỌC .................................................................................................................... 7

1. Thiết kế một số tình huống dạy học về đọc hiểu, nhận dạng hình dáng đồ thị hàm số,
nhằm rèn luyện kĩ năng đọc hiểu đồ thị, kĩ năng vẽ đồ thị ...................................................... 8
2. Thiết kế một số tình huống dạy học theo định hướng dạy học giải quyết vấn đề liên quan
đến bài toán đồng biến, nghịch biến ....................................................................................... 13
3. Thiết kế một số tình huống dạy học theo định hướng dạy học giải quyết vấn đề liên quan
đến bài toán cực trị ................................................................................................................. 21
4. Thiết kế một số tình huống dạy học theo định hướng dạy học giải quyết vấn đề liên quan
đến bài toán max, min của hàm số ......................................................................................... 28
4. Thiết kế một số tình huống dạy học theo định hướng dạy học giải quyết vấn đề liên quan
đến bài toán tiệm cận của đồ thị hàm số ................................................................................ 30

II. TẬP LUYỆN CHO HỌC SINH THĨI QUEN KHƠNG SUY NGHĨ RẬP
KHN, MÁY MĨC, KHƠNG BỊ PHỤ THUỘC VÀO CÁC DẠNG BÀI CÓ
SẴN ĐỂ HỌC SINH CÓ TƯ DUY LOGIC, XỬ LÍ LINH HOẠT TRƯỚC
NHỮNG TÌNH HUỐNG MỚI .................................................................................... 32
III. HƯỚNG DẪN VÀ TẬP LUYỆN CHO HỌC SINH NHÌN BÀI TỐN DƯỚI
NHIỀU GĨC ĐỘ KHÁC NHAU ĐỂ TÌM NHIỀU LỜI GIẢI KHÁC NHAU...... 39


IV. KHUYẾN KHÍCH VÀ HƯỚNG DẪN HỌC SINH XÂY DỰNG BÀI TỐN
MỚI VỀ CHỦ ĐỀ HÀM SỐ NHẰM HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG
LỰC SÁNG TẠO ......................................................................................................... 47
1. Xây dựng bài toán mới bằng thao tác tư duy tương tự hóa ................................................ 47
2. Xây dựng bài tốn mới từ bài tốn cơ bản nâng dần mức độ có sự hỗ trợ của phần mềm
Geogebra ................................................................................................................................ 52

V. XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TỐN MANG TÍNH THỰC TIỄN VỀ CHỦ ĐỀ
ĐỒ THỊ HÀM SỐ NHẰM TẠO CƠ HỘI HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN
NĂNG LỰC MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC, QUA ĐĨ RÈN LUYỆN TƯ DUY VÀ
LẬP LUẬN TOÁN HỌC ............................................................................................. 56

C. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI KẾT QUẢ CỦA ĐỀ TÀI........ 58
1. Khả năng ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm ................................................... 58
2. Thực nghiệm sư phạm ............................................................................................. 59

PHẦN III - KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ............................................................. 62
1. Kết luận trong quá trình nghiên cứu, triển khai SKKN ..................................... 62
2. Kiến nghị và đề xuất ............................................................................................... 63

TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 64


PHẦN I - MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, những kiến thức và
kĩ năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc
sống một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển.
Mơn Tốn ở trường phổ thơng góp phần hình thành và phát triển phẩm chất, nhân
cách học sinh; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được
trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn; tạo dựng sự kết nối giữa các
tư tưởng toán học, giữa Toán học với thực tiễn, giữa Toán học với các mơn học khác.
Nội dung mơn Tốn thường mang tính trừu tượng, khái qt. Do đó, để hiểu và học
được Tốn, chương trình Tốn ở trường phổ thơng cần bảo đảm sự cân đối giữa
“học” kiến thức và “áp dụng” kiến thức vào giải quyết vấn đề cụ thể.
Trong q trình học và áp dụng tốn học, học sinh ln có cơ hội sử dụng các phương
tiện cơng nghệ, thiết bị dạy học hiện đại, đặc biệt là máy tính điện tử và máy tính
cầm tay hỗ trợ quá trình biểu diễn, tìm tịi, khám phá kiến thức, giải quyết vấn đề
tốn học.
Ở cấp THPT mơn Tốn giúp học sinh có cái nhìn tương đối tổng qt về Tốn học,
hiểu được vai trị và những ứng dụng của Tốn học trong đời sống thực tế, những

ngành nghề có liên quan đến tốn học để học sinh có cơ sở định hướng nghề nghiệp,
cũng như có đủ năng lực tối thiểu để tự tìm hiểu những vấn đề có liên quan đến toán
học trong cuộc đời.
Bên cạnh nội dung giáo dục cốt lõi, trong mỗi năm, những học sinh có định hướng
khoa học tự nhiên và công nghệ được chọn học một số chuyên đề. Các chuyên đề
này nhằm tăng cường kiến thức về Toán học, kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực
tiễn, đáp ứng sở thích, nhu cầu và định hướng nghề nghiệp của học sinh.
Chủ đề ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số là mảng kiến thức quan trọng
trong mơn Tốn, có nhiều ứng dụng trong các môn khoa học khác cũng như trong
thực tiễn cuộc sống. Trong kì thi THPTQG, mơn Tốn được thi theo hình thức trắc
nghiệm. Qua thực tế giảng dạy và qua tìm hiểu các đề thi THPTQG, đề minh họa đề
thi THPTQG, đề thi thử THPTQG của các trường trên cả nước, chúng tơi thấy có rất
nhiều dạng tốn mới, lạ về chủ đề ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, đặc biệt là
các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số, cần người học phải có kiến thức vững vàng
và có các năng lực Tốn học mới có thể giải quyết được.
Tuy các bài tốn trong chủ đề phong phú và đa dạng, có nhiều phương pháp
giải khác nhau và chiếm một phần đáng kể về điểm số trong các kì thi THPTQG thì
thời gian để dạy phần này lại khá ít, đồng thời việc khai thác các tiềm năng của chủ
đề phát triển các năng lực cho học sinh cũng còn khá eo hẹp. Các bài tập về ứng
dụng đạo hàm để khảo sát hàm số trong sách giáo khoa chỉ đơn thuần là các bài toán
1


rất cơ bản, chủ yếu vận dụng trực tiếp các kiến thức ở mức độ nhận biết và thông
hiểu. Cũng đã có một số đề tài đã đề cập đến chủ đề ứng dụng đạo hàm để khảo sát
hàm số, nhưng việc dạy học chủ đề này theo định hướng hình thành và phát triển
năng lực người học thì vẫn cịn mới và chưa có những đề tài cụ thể để làm sáng tỏ
vấn đề này. Với nguồn tài liệu tham khảo cịn khá hạn hẹp như thế, rất khó để các
em học sinh có thể tự nâng cao kỹ năng giải các loại bài về ứng dụng đạo hàm để
khảo sát hàm số, đặc biệt các bài toán về đồ thị hàm số, càng khó khăn hơn khi mục

tiêu là giành được điểm tối đa của những em học sinh khá, giỏi.
Do vậy, để giải được các bài toán về hàm số và các vấn đề liên quan hiện nay
trong các kỳ thi, học sinh cần được trang bị các kiến thức, kỹ năng và phát triển năng
lực tương ứng. Để tất cả các em học sinh có thể học tốt phần ứng dụng đạo hàm để
khảo sát hàm số, làm chủ được kiến thức của chủ đề này thì các em cần được rèn
luyện các kỹ năng giải toán về hàm số theo định hướng phát triển năng lực, góp phần
hình thành và phát triển một số năng lực Toán học cũng như các năng lực chung cốt
lõi. Đó chính là lý do mà tơi chọn viết đề tài:
“ Góp phần hình thành và phát triển năng lực tư duy và lập luận Tốn học
thơng qua dạy học chủ đề đồ thị hàm số”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của đề tài là đề xuất một số biện pháp dạy học kiến thức, rèn luyện
kỹ năng giải toán trong chủ đề đồ hàm số cho học sinh theo định hướng hình thành
và phát triển một số năng lực tư duy và lập luận, dưới đây là một số biện pháp:
- Thiết kế và tổ chức các hoạt động học tập cho học sinh dưới dạng các tình
huống có vấn đề qua đó góp phần hình thành và phát triển một số năng lực toán học,
như năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực GQVĐ.
- Luyện tập và hướng dẫn cho HS thói quen khơng suy nghĩ rập khn, máy
móc, khơng phụ thuộc vào các dạng tốn có sẵn để hình thành tư duy logic, xử linh
hoạt, mềm dẻo các vấn đề mới.
- Hướng dẫn và luyện tập cho HS nhìn nhận một bài tốn dưới nhiều góc độ
khác nhau để xây dựng nhiều phương án giải quyết khác nhau.
- Khuyến khích và tạo điều kiện để học sinh tự xây dựng bài toán mới dựa
trên các bài tốn cơ bản, nhằm mục đích rèn luyện tư duy sáng tạo.
- Xây dựng một số bài toán mang tính thực tiễn về chủ đề hàm số nhằm tạo
cơ hội hình thành và phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận về kỹ năng, năng lực tốn học. Kĩ năng thiết kế các hoạt động
học tập theo định hướng phát triển năng lực.
- Nghiên cứu các kỹ năng, năng lực chủ yếu khi giải toán về đồ thị hàm số.

- Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài.
2


4. Giả thuyết khoa học
Với cơ sở lý luận trên, nếu thiết kế được các hoạt động học tập phù hợp, hệ
thống được các kỹ năng giải toán hàm số, lựa chọn được các ví dụ, phân tích, tìm ra
phương pháp giải và xây dựng được hệ thống câu hỏi bài tập theo hướng phát triển
năng lực thì sẽ giúp học sinh học tốt phần hàm số, góp phần phát triển năng lực cho
học sinh, nâng cao chất lượng dạy học ở trường phổ thông.
5. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu
- Dạy học theo định hướng phát triển năng lực.
- Học sinh lớp 12.
- Giáo viên giảng dạy toán và THPT.
6. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp nghiên cứu được sử dụng bao gồm: Nghiên cứu lý luận, điều
tra quan sát và thực nghiệm sư phạm tại các trường THPT trên địa bàn thành phố
Vinh là vùng lân cận.
7. Đóng góp của đề tài
- Về mặt lý luận: Đưa ra được các căn cứ và một số kỹ năng cần rèn luyện cho
học sinh trong giải toán hàm số.
- Về mặt thực tiễn: Sử dụng sáng kiến để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên
và học sinh khi dạy học chủ đề Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nhằm nâng
cao hiệu quả dạy học mơn Tốn ở trường THPT.
- Tính mới của đề tài là đưa ra được hệ thống các biện pháp nhằm hình thành
và phát triển một số năng lực Tốn học, đặc biệt là năng lực tư duy và lập luận của
học sinh thông qua học chủ đề đồ thị hàm số. Trong mỗi biện pháp, tác giả đã trình
bày các ví dụ minh họa, phân tích để làm rõ những lưu ý, hiệu quả trong quá trình
sử dụng các biện pháp sư phạm đã đề xuất. Các biện pháp này cần được thực hiện
đồng bộ trong quá trình dạy học để bổ sung, hỗ trợ cho nhau trong việc phát triển

năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS.
PHẦN II. NỘI DUNG
A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÍ LUẬN VỀ NĂNG LỰC TỐN HỌC
I. MỤC TIÊU CHƯƠNG TRÌNH MƠN TỐN THPT
Chương trình mơn Tốn giúp học sinh đạt các mục tiêu chủ yếu sau:
– Hình thành và phát triển năng lực toán học, biểu hiện tập trung nhất của năng lực
tính tốn. Năng lực tốn học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: năng lực tư duy và
lập luận tốn học; năng lực mơ hình hố tốn học; năng lực giải quyết vấn đề toán
3


học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn,
góp phần hình thành và phát triển năng lực chung cốt lõi.
– Có những kiến thức, kĩ năng tốn học phổ thơng, cơ bản, thiết yếu; phát triển khả
năng giải quyết vấn đề có tính tích hợp liên mơn giữa mơn Tốn và các mơn học
khác như Vật lí, Hố học, Sinh học, Địa lí, Tin học, Cơng nghệ,...; tạo cơ hội để học
sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tế.
– Hình thành và phát triển các đức tính kỷ luật, kiên trì, chủ động, linh hoạt, độc lập,
sáng tạo, hợp tác, thói quen tự học, hứng thú và niềm tin trong học Tốn.
– Có hiểu biết tương đối tổng quát về những ngành nghề liên quan đến toán học làm
cơ sở định hướng nghề nghiệp, cũng như có đủ năng lực tối thiểu để tự tìm hiểu
những vấn đề liên quan đến tốn học trong suốt cuộc đời.
Mơn Tốn cấp trung học phổ thơng nhằm giúp học sinh đạt các mục tiêu chủ yếu
sau:
a) Góp phần hình thành và phát triển năng lực toán học với yêu cầu cần đạt: sử dụng
được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức
khác nhau nhằm giải quyết vấn đề; sử dụng được các mơ hình tốn học để mơ tả các
tình huống, từ đó đưa ra các cách giải quyết vấn đề tốn học đặt ra trong mơ hình
được thiết lập; thực hiện và trình bày được giải pháp giải quyết vấn đề và đánh giá
được giải pháp đã thực hiện, phản ánh được giá trị của giải pháp, khái quát hoá cho

vấn đề tương tự; sử dụng thành thạo công cụ, phương tiện học toán, biết đề xuất ý
tưởng để thiết kế, tạo dựng phương tiện, học liệu mới phục vụ việc tìm tịi, khám
phá và giải quyết vấn đề tốn học.
b) Hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chung và những phẩm
chất đặc thù mà giáo dục tốn học đem lại: tính kỉ luật, kiên trì, chủ động, linh hoạt;
độc lập, hợp tác; thói quen tự học, hứng thú và niềm tin trong học tốn.
c) Góp phần giúp học sinh có những hiểu biết làm cơ sở cho định hướng nghề nghiệp
sau Trung học phổ thông.
II. YÊU CẦU CẦN ĐẠT VỀ NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN
Thơng qua chương trình mơn Tốn, học sinh cần hình thành và phát triển các
đức tính kiên trì, kỉ luật, trung thực, hứng thú và niềm tin trong học Toán; đồng thời
hình thành và phát triển được các năng lực tự chủ và tự học, giao tiếp và hợp tác,
giải quyết vấn đề và sáng tạo.
Đặc biệt, học sinh cần hình thành và phát triển được năng lực tốn học, biểu hiện tập
trung nhất của năng lực tính tốn.
Năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập
luận toán học; năng lực mơ hình hố tốn học; năng lực giải quyết vấn đề toán học;
năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn.
Theo Từ điển Tiếng Việt, “Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những
thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính chất quy luật của sự vật, hiện tượng”
4


(Hoàng Phê, 1998). Nguyễn Thanh Hưng (2019, tr 184-187) cho rằng: “tư duy là
giai đoạn cao của nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra quy luật của sự
vật bằng các hình thức như biểu tượng, phán đốn, suy lí,... Đối tượng của tư duy là
những hình ảnh, biểu tượng, kí hiệu. Các thao tác tư duy chủ yếu gồm: phân tích,
tổng hợp, so sánh, tương tự, khái qt hóa, trừu tượng hóa,...”.
Theo Chương trình Giáo dục phổ thơng mơn Tốn, một trong những biểu hiện quan
trọng của năng lực tư duy và lập luận toán học là “thực hiện được tương đối thành

thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự tương đồng và khác biệt trong
những tình huống tương đối phức tạp và lí giải được kết quả của việc quan sát” (Bộ
GD-ĐT, 2018). Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:
– So sánh; phân tích; tổng hợp; đặc biệt hoá, khái quát hoá; tương tự; quy nạp; diễn
dịch.
– Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trước khi kết luận.
– Thực hiện thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt biết quan sát, tìm kiếm sự tương
đồng và khác biệt trong nhiều tình huống và biết khẳng định kết quả của việc quan
sát.
– Biết lập luận hợp lí khi giải quyết vấn đề.
– Biết rút ra kết luận từ giả thiết đã cho.
– Chứng minh được mệnh đề tốn học khơng q phức tạp.
– Biết sử dụng các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách
thức khác nhau để giải quyết vấn đề.
– Biết giải thích, chứng minh hoặc điều chỉnh giải pháp về phương diện toán.
Từ các bài tốn đếm quen thuộc, HS có thể tự tìm lời giải cho các bài tốn
tương tự, tìm ra được sự khác nhau giữa các bài toán, và cao hơn là có thể phát biểu
các bài tốn mới.
Trong nghiên cứu này, chúng tôi xem lập luận là một thành phần, một phương
thức đặc thù của tư duy toán học và là một thành phần của năng lực toán học, tập
trung vào khả năng của HS thực hiện hoạt động suy luận và chứng minh (hoặc bác
bỏ) - từ đó lựa chọn được đúng đắn đối tượng, cách thức và kết quả quy luật tốn
học... khi học Tốn.
Từ đó, chúng tôi xác định cấu trúc của năng lực tư duy và lập luận toán học
của HS trong học Toán bao gồm 05 thành tố:
- Kĩ năng lập luận để xác định cấu trúc bài toán và phân chia các trường hợp;
- Kĩ năng lập luận để nhận diện bài toán và kiến thức có liên quan;
- Kĩ năng lập luận để tìm đốn và lựa chọn đường lối giải;
- Kĩ năng lập luận để thực hiện quá trình giải bài tốn;
- Kĩ năng lập luận để đánh giá q trình giải và nghiên cứu sâu bài toán.

5


III. MỘT SỐ KẾT QUẢ KHẢO SÁT THỰC TRẠNG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ
HÀM SỐ HIỆN NAY
Để có tìm hiểu vần đề này, chúng tơi đã tiến hành khảo sát tìm hiểu về phía học
sinh. Chúng tơi đã phát phiếu khảo sát cho hơn 400 học sinh của trường và các
trường lân cận trên địa bàn để các em phát biểu những ý kiến, nguyện vọng của mình
khi học chủ đề hàm số. Nội dung khảo sát như sau:
Phiếu khảo sát
Họ và tên học sinh.................................................
Lớp 12…….. Trường THPT:……………………………………………………….
Hãy trả lời câu hỏi dưới đây bằng cách đánh dấu x vào ô trống trong bảng có câu
trả lời phù hợp với em
Nội dung

Có

Khơng/
chưa

(1) Em có u thích học mơn Tốn khơng ?
(2) Em có thấy rằng mơn Tốn có nhiều ứng dụng thiết thực
trong cuộc sống không ?
(3) Khi học chủ đề hàm số, em có gặp khó khăn khi giải các
bài tốn về đồ thị hàm số khơng ?
(4) Em thường học và giải các bài toán theo các dạng đã có
sẵn phải khơng ?
(5) Em có thành thạo kĩ năng đọc hiểu đồ thị của hàm số
khơng?

(6) Em có tự tin giải được một bài toán mới lạ về đồ thị hàm
số, mà em chưa gặp dạng bao giờ không ?
Qua việc điều tra và tìm hiểu thực trạng hiện nay, thu được một số ý kiến sau:
- Nhiều GV đã bước đầu đổi mới phương pháp dạy học, chuyển dần từ truyền thụ
kiến thức sang hình thành và phát triển năng lực, nhưng vẫn còn nhiều GV ngại đổi
mới phương pháp dạy học, ngại tìm tịi cái mới.
- Đa số HS hiện nay học toán để thi THPTQG, thi đại học, chưa hiểu rõ tầm quan
trọng của Toán học với thực tiễn, chưa hiểu rõ thông qua học tập Tốn giúp các em
hình thành và một số năng lực cơ bản cần thiết để bước vào cuộc sống.
- Nhiều HS bị động trong việc học Tốn, nắm khơng vững kiến thức Tốn học, gặp
nhiều khó khăn khi học Tốn, có tâm lí sợ học Tốn.
- Nhiều HS chỉ làm theo các ví dụ có lời giải sẵn, các dạng tốn có sẵn, đứng trước
1 dạng tốn mới, các em gặp rất nhiều khó khăn, khơng có năng lực để giải quyết
những dạng tốn mới đó…
6


B. GĨP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ
LẬP LUẬN TỐN HỌC THƠNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ĐỒ THỊ CỦA
HÀM SỐ
I. THIẾT KẾ MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP DƯỚI DẠNG CÁC TÌNH
HUỐNG CĨ VẤN ĐỀ, QUA ĐĨ GĨP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT
TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ, NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP
LUẬN TỐN HỌC
Trong phần này tơi xin trình bày việc thiết kế một số hoạt động học tập của
học sinh dưới dạng các tình huống có vấn đề, học sinh cần tích cực và chủ động
trong q trình tiếp nhận nhiệm vụ, tri giác vấn đề, tìm cách giải quyết vấn đề, trình
bày lời giải và nghiên cứu lời giải, đề xuất phương pháp tối ưu hoặc khái quát hóa
bài tốn. Qua đó góp phần hình thành và phát triển năng lực giải quyết vấn đề, năng
lực tư duy và lập luận cho học sinh.

Theo quan điểm dạy học định hướng phát triển năng lực học sinh, quá trình dạy
học bao gồm một hệ thống các hành động có mục đích của giáo viên tổ chức hoạt
động trí óc và tay chân của học sinh, đảm bảo cho học sinh chiếm lĩnh được nội dung
dạy học, đạt được mục tiêu xác định. Trong quá trình dạy học, giáo viên tổ chức định
hướng hành động chiếm lĩnh tri thức của học sinh phỏng theo tiến trình của chu trình
sáng tạo khoa học. Như vậy, chúng ta có thể hình dung diễn biến của hoạt động dạy
học như sau:
- Giáo viên tổ chức tình huống, giao nhiệm vụ cho học sinh. Học sinh hăng
hái đảm nhận nhiệm vụ, gặp khó khăn, nảy sinh vấn đề cần tìm tịi giải quyết. Dưới
sự chỉ đạo của giáo viên, vấn đề được diễn đạt chính xác hóa, phù hợp với mục tiêu
dạy học và các nội dung cụ thể đã xác định.
- Học sinh tự chủ tìm tịi giải quyết vấn đề đặt ra. Với sự theo dõi, định hướng,
giúp đỡ của giáo viên, hoạt động học của học sinh diễn ra theo một tiến trình hợp lí,
phù hợp với những địi hỏi phương pháp luận.
- Giáo viên chỉ đạo sự trao đổi, tranh luận của học sinh, bổ sung, tổng kết,
khái quát hóa, thể chế hóa tri thức, kiểm tra kết quả học phù hợp với mục tiêu dạy
học các nội dung cụ thể đã xác định.
Tổ chức tiến trình dạy học như vậy, lớp học có thể được chia thành từng nhóm
nhỏ. Tùy mục đích, yêu cầu của vấn đề học tập, các nhóm được phân chia ngẫu nhiên
hay có chủ định, được duy trì ổn định hay thay đổi trong từng phần của tiết học,
được giao cùng một nhiệm vụ hay những nhiệm vụ khác nhau. Trong nhóm nhỏ,
mỗi thành viên đều phải làm việc tích cực, khơng thể ỷ lại vào một vài người hiểu
biết và năng động hơn. Các thành viên trong nhóm giúp đỡ nhau tìm hiểu vấn đề nêu
ra trong khơng khí thi đua với các nhóm khác. Kết quả làm việc của mỗi nhóm sẽ
đóng góp vào kết quả học tập chung của cả lớp. Các kĩ thuật dạy học tích cực sẽ
7


được sử dụng tốt trong nhóm nhỏ trên lớp để thực hiện các nhiệm vụ nhằm đạt mục
tiêu dạy học.

Như vậy, mỗi bài học bao gồm các hoạt động học theo tiến trình sư phạm của
phương pháp dạy học tích cực được sử dụng. Mỗi hoạt động học có thể sử dụng một
kĩ thuật dạy học tích cực nào đó để tổ chức nhưng đều được thực hiện theo các bước
như sau:
(1) Chuyển giao nhiệm vụ học tập: nhiệm vụ học tập rõ ràng và phù hợp với
khả năng của học sinh, thể hiện ở yêu cầu về sản phẩm mà học sinh phải hoàn thành
khi thực hiện nhiệm vụ; hình thức giao nhiệm vụ sinh động, hấp dẫn, kích thích được
hứng thú nhận thức của học sinh; đảm bảo cho tất cả học sinh tiếp nhận và sẵn sàng
thực hiện nhiệm vụ.
(2) Thực hiện nhiệm vụ học tập: khuyến khích học sinh hợp tác với nhau khi
thực hiện nhiệm vụ học tập; phát hiện kịp thời những khó khăn của học sinh và có
biện pháp hỗ trợ phù hợp, hiệu quả; khơng có học sinh bị "bỏ qn".
(3) Báo cáo kết quả và thảo luận: hình thức báo cáo phù hợp với nội dung học
tập và kĩ thuật dạy học tích cực được sử dụng; khuyến khích cho học sinh trao đổi,
thảo luận với nhau về nội dung học tập; xử lí những tình huống sư phạm nảy sinh
một cách hợp lí.
(4) Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập: nhận xét về quá trình thực
hiện nhiệm vụ học tập của học sinh; phân tích, nhận xét, đánh giá kết quả thực hiện
nhiệm vụ và những ý kiến thảo luận của học sinh; chính xác hóa các kiến thức mà
học sinh đã học được thông qua hoạt động.
1. Thiết kế một số tình huống dạy học về đọc hiểu, nhận dạng hình dáng đồ thị
hàm số, nhằm rèn luyện kĩ năng đọc hiểu đồ thị, kĩ năng vẽ đồ thị
Để giải quyết các bài toán liên quan tới đồ thị hàm số thì trước hết HS cần có
kĩ năng đọc hiểu đồ thị của các dạng hàm số quen thuộc. Thông qua đồ thị hàm số,
HS cần thu được các thông tin từ đồ thị, để từ đó mới có thể giải quyết các bài tốn
khác.
Ví dụ 1.1.1. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình
vẽ. Từ đồ thị, hãy cho biết về tính đơn điệu, cực trị
của hàm số đã cho ?
Những bài tốn dạng này giúp ích HS rèn luyện

kĩ năng đọc hiểu đồ thị rất tốt. GV cần chú ý đến rèn
luyện cho HS kĩ năng này.
Từ đồ thị đã cho, chúng ta thu được một số kết
quả sau :
- Hàm số đồng biến trên các khoảng   ;  1 và 1;    , hàm số nghịch biến trên
khoảng  1;1 .
8


- Điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số lần lượt là  1; 4  , 1;0  .
- Dựa vào đồ thị chúng ta thấy f  x   0, x  2 và f  x   0, x, 2 .
Cũng đồ thị trên, nhưng chúng ta thay đổi hàm số y  f  x  bởi y  f   x  , ta
có bài tốn sau :
Ví dụ 1.1.2. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị của hàm
số y  f   x  như hình vẽ.
Từ đồ thị, hãy cho biết về tính đơn điệu, cực trị của
hàm số y  f  x  ?
Sai lầm thường gặp trong quá trình dạy học cho
thấy HS hay nhầm lẫn giữa hình dáng đồ thị hàm số
y  f  x  với y  f   x  . Để khắc phục vấn đề này,
GV cần có thời gian rèn luyện kĩ năng nhận dạng, đọc hiểu đồ thị hàm số.
Từ đồ thị hàm số y  f   x  ta có
-) f   x   0  x  2 , do đó hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng  2;    .
f  x   0  x  2 , do đó hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng   ;  2  .

-) Hàm số y  f  x  đạt cực tiểu tại x  2 .
Ngoài việc nhầm lẫn giữa đồ thị hàm số y  f   x  và y  f  x  , cịn có sai lầm về
việc nhầm lẫn x  1 cũng là một điểm cực trị của hàm số y  f  x  . Trong quá trình
dạy học, GV cần làm cho HS nắm vững được kiến thức đã học về hàm số. Qua x  1
giá trị f   x  khơng đổi dấu, do đó nó khơng phải là điểm cực trị của hàm số

y  f  x.

Sau khi HS đã có kĩ năng đọc hiểu đồ thị cơ bản, GV cần rèn luyện kĩ năng
đọc hiểu đồ thị có liên quan đến phép tịnh tiến đồ thị, đồ thị của hàm số hợp.
Ví dụ 1.1.3. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình
vẽ. Từ đồ thị, hãy cho biết về tính đơn điệu, cực trị
của hàm số y  f  x  3  ?
Đồ thị hàm số y  f  x  3  được suy ra từ đồ
thị y  f  x  bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số
y  f  x  sang trái 3 đơn vị.

9


Từ đó GV cho HS thực hiện việc vẽ đồ thị hàm
số y  f  x  3  .
Từ đồ thị của hàm số y  f  x  3  HS dễ dàng
rút ra được các kết luận tương tự như ví dụ 1.1.1.
Từ ví dụ 1.1.2 bằng cách kết hợp với phép tịnh
tiến đồ thị chúng ta có ví dụ sau :
Ví dụ 1.1.4. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị của hàm
số y  f   x  như hình vẽ.
Từ đồ thị, hãy cho biết về tính đơn điệu, cực trị của
hàm số y  f  x  2  ?
Nếu chúng ta kết hợp phép tịnh tiến ở cả 2 hàm số
y  f  x  và y  f   x  , chúng ta có bài tốn sau :
Ví dụ 1.1.5. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị của hàm
số y  f   x  1 như hình vẽ.
Từ đồ thị, hãy cho biết về tính đơn điệu, cực trị của
hàm số y  f  x  2  ?

Bản chất của ví dụ 1.1.5 là dùng phép tịnh tiến trực
tiếp đồ thị y  f   x  1 sang phải 3 đơn vị ta được
đồ thị y  f   x  2  .
Nếu thêm vào hàm số chứa dấu giá trị tuyệt
đối, thì chúng ta có thêm nhiều bài toán mới giúp rèn
luyện kĩ năng đọc hiểu đồ thị hàm số, chẳng hạn :
Ví dụ 1.1.6. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị của hàm
như hình vẽ.
Từ đồ thị, hãy cho biết về tính đơn điệu, cực trị của
hàm số y  f  x  2  ?
Trước hết, tịnh tiến đồ thị hàm số y  f  x 
sang bên phải 2 đơn vị ta được đồ thị hàm
số y  f  x  2  .
Tiếp theo, giữ nguyên phần đồ thị hàm số
y  f  x  2  nằm trên trục hoành, lấy đối
xứng phần đồ thị hàm số y  f  x  2  nằm
10


phía dưới trục hồnh qua Ox , xóa bỏ phần đồ thị nằm dưới trục hoành ta được đồ
thị hàm số y  f  x  2  .
Từ đồ thị hàm số y  f  x  2  HS dễ dàng cho các kết luận về tính đơn điệu và
cực trị của hàm số đó.
Dạng bài tập này rèn luyện rất tốt kĩ năng vẽ đồ thị của hàm số qua phép tịnh tiến và
phép lấy đối xứng qua trục. Khi HS đã thành thạo kĩ năng vẽ đồ thị thì HS dễ dàng
đọc hiểu đồ thị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Một dạng hàm số chứa dấu giá
trị tuyệt đối ở biến cũng thường gặp và gây nhiều khó khăn hơn cho HS.
Ví dụ 1.1.7. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị của hàm
như hình vẽ.
Từ đồ thị, hãy cho biết về tính đơn điệu, cực trị của

hàm số y  f  x  2  ?
Để vẽ được đồ thị hàm số y  f  x  2  cần thực hiện
2 bước :
Bước 1. Vì y  f  x  là hàm số chẵn nên đồ thị đối
xứng qua trục tung. Với x  0 thì f  x   f  x  nên
hai hàm số này có đồ thị trùng nhau. Từ đó ta có cách
vẽ đồ thị hàm số y  f  x  bằng cách giữ nguyên
phần đồ thị hàm số y  f  x  nằm bên phải trục
tung. Xóa bỏ tồn bộ phần đồ thị y  f  x  nằm bên
trái trục tung.
Cuối cùng lấy đối xứng qua Oy ta được đồ thị hàm số y  f  x  .
Bước 2. Thực hiện phép tịnh tiến sang phải 2 đơn vị ta được đồ thị hàm số
y  f  x  2  . Từ đây HS dễ dàng đọc hiểu về đồ thị hàm số y  f  x  2  , từ đó
đưa ra kết luận về tính đơn điệu và cực trị của nó.
Nếu thay x  2 bằng x  2  1 ta có bài tốn
khó hơn như sau :
Ví dụ 1.1.8. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị của hàm
như hình vẽ.
Từ đồ thị, hãy cho biết về tính đơn điệu, cực trị của
hàm số y  f  x  2  1 ?

11


GV cần hướng dẫn từng bước để HS nắm vững kĩ năng vẽ đồ thị hàm số chứa dấu
giá trị tuyệt đối dạng này.
Bước 1. Vẽ đồ thị hàm số y  f  x  1 .
Bước 2. Vẽ đồ thị hàm số y  g  x   f  x  1 bằng
cách giữ nguyên phần đồ thị y  f  x  1 nằm bên
phải trục tung, xóa bỏ phần đồ thị nằm bên trái Oy ,

cuối cùng lấy đối xứng qua Oy .
Bước 3. Vẽ đồ thị hàm số
y  g  x  2  f

 x  2  1 bằng cách tịnh tiến đồ

thị y  g  x  sang bên trái 1 đơn vị.
Qua khảo sát và thực tế dạy học có nhiều HS
khá, giỏi mắc sai lầm về cách vẽ đồ thị hàm số
y f

 x  2  1 .

Sai lầm phổ biến là nhầm lẫn cách vẽ đồ thị
y  f  x  2  1 được vẽ bằng cách tịnh tiến đồ thị
hàm số y  f  x  2  sang bên phải 1 đơn vị.
GV cần làm rõ sai lầm nêu trên để HS hiểu sâu
sắc hơn. Nếu thực hiện tịnh tiến sang phải 1 đơn vị
đồ thị hàm số y  f  x  2  thì chúng ta thu được đồ
thị hàm số y  f  x  3  .
Để đi đến các bài toán về đồ thị hàm số có liên quan đến hàm số hợp phức
tạp hơn, GV cần yêu cầu HS nhắc lại đạo hàm của hàm số hợp. Sau đó GV dẫn dắt
HS rèn luyện kĩ năng đọc hiểu đồ thị hàm số có liên quan đến hàm số hợp.
Ví dụ 1.1.9. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị của như
hình vẽ. Hãy cho biết về tính đơn điệu, cực trị của
2
hàm số y  g  x   f  x  2 x  ?

Từ đồ thị hàm số chúng ta có bảng biến thiên
x



f  x 

1



f  x

0



0





4




1

0

12


 x 2  2 x  1

2
Ta có g   x   f  x  2 x . 2 x  2  ; g   x   0   x 2  2 x  1 
x 1






x 1
.

x

1

2


Ta có bảng biến thiên của hàm số y  g  x  :


x

g x 

g  x

1


2

0

1

1


0



0





2




Từ bảng biến thiên ta có kết luận về tính đơn điệu và cực trị của hàm số y  g  x  .

2. Thiết kế một số tình huống dạy học theo định hướng dạy học giải quyết vấn
đề liên quan đến bài toán đồng biến, nghịch biến
Ví dụ 1.2.1. Cho hàm số y  f  x  . Hàm
số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ.
2
Hàm số y  g  x   f  x  đồng biến

trên khoảng nào sau đây ?

 1 1
A.   ;  .
 2 2

B.  0;2  .

 1 
C.   ;0  .
 2 

D.  2;  1 .

Bước 1. Chuyển giao nhiệm vụ: Hãy tìm lời giải cho bài tốn nói trên, để chọn
phương án đúng.
Bước 2. Thực hiện nhiệm vụ học tập:
- Tri giác vấn đề: Dựa vào đồ thị hàm số f   x  ta có các kết quả:
 x  1
1) f   x   0   x  1 ;

 x  4

2) f   x   0  x   ;  1  1; 4  ;
f   x   0  x   1;1   4;   .
2
3) Cần tìm khoảng đồng biến của hàm số y  f  x  .

- Tìm phương án giải quyết vấn đề:
Định hướng 1. (Dành cho lời giải tự luận)
13


+) Hàm số f  x 2  là hợp của hai hàm số y  f  u  và hàm số u  x 2 . Do đó nghĩ
tới việc tính đạo hàm của hàm hợp: g   x   f   u  .u  . Ta có g   x   2 x. f   x  .
2
+) Cần tìm khoảng đồng biến của hàm số g  x   f  x  tức là cần tìm khoảng mà

g x   0 .

+) Để biết dấu của g   x  ta lập bảng xét dấu của nó và lập bảng biến thiên. Từ đó
kết luận về khoảng đồng biến của hàm số y  g  x  .
Định hướng 2. (Dành cho giải toán hình thức trắc nghiệm)
+) Bài tốn khơng cho biết cơng thức hàm số f  x  cụ thể, nhưng kết quả bài tốn
lại chỉ có một, khơng phụ thuộc vào công thức của f  x  .
+) Nếu kết quả bài toán đúng cho hàm f  x  thỏa mãn các điều kiện trên thì cũng
thỏa mãn cho hàm g  x  thỏa mãn tính chất tương tự.
+) Chọn hàm f  x  là hàm số cụ thể thỏa mãn các yêu cầu giả thiết, sau đó tìm
2
khoảng đồng biến của hàm số f  x  .

Bước 3. Báo cáo kết quả và thảo luận:
- Quyết định phương án giải quyết vấn đề, trình bày phương án:

Lời giải 1. (Tự luận)
 x  1
x  4

Dựa vào đồ thị hàm số f   x  ta có: f   x   0  

và f   x   0  x   ;  1  1; 4  ; f   x   0  x   1;1   4;   .
2
Do đó g   x   2 x. f   x 

x  0
x  0
x

0

 2
; g x   0  
  x  1   x  1 .
2

 f   x   0
 x2  4
 x  2


Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án C .
Lời giải 2. (Trắc nghiệm)

Vì kết quả bài tốn khơng phụ thuộc đến cơng thức của hàm số f  x  , nên chỉ cần
chọn hàm số thỏa mãn yêu cầu, hình dáng đồ thị f   x  cho thấy nó có hình dáng
14


tương tự hàm số bậc ba cắt trục hoành tại 3 điểm x   1, x  1, x  4 và nó có hệ số
bậc ba là a  0 nên ta chọn f   x     x  1 x  1 x  4  .
2
Hàm số y  g  x   f  x  đồng biến khi và chỉ khi g   x   0

 x  0
  x  0

2

2
 1  x  1  x  2


f
x

0
   


  x2  4
  1  x  0 .



  x  0
1  x  2
 x  0
 f  x2  0

2
   
 1  x  4

Từ kết quả đó và đối chiếu các kết quả trong bốn phương án ta chọn đáp án C .
- Nghiên cứu sâu phương án, giải pháp, đề xuất các vấn đề mới, khái qt hóa,...
Bài tốn trên đề cập đến việc tìm tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số
hợp. Bản chất của nó là việc đi tìm đạo hàm của hàm số hợp, từ đó lập bảng biến
thiên của hàm số hợp để kết luận về tính đồng biến, nghịch biến.
Dựa trên ý tưởng đó có thể thay thế x 2 trong bài tốn nói trên bằng một hàm số khác
sẽ cho chúng ta bài toán mới. Chẳng hạn các bài toán sau:
Bài toán 1.2.1. Cho hàm số y  f  x  . Hàm số
y  f   x  có đồ thị như hình vẽ.
2
Hỏi hàm số y  g  x   f  x  4 x  7  đồng

biến trên những khoảng nào?
Bài toán 1.2.2 Cho hàm số y  f  x  . Hàm số
y  f   x  có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số y  g  x   f





x 2  4 x  19 đồng

biến trên các khoảng nào?
Nếu kết hợp với các phép biến đổi đồ thị chúng ta có thể có những bài tốn
phức tạp hơn.
Bài toán 1.2.3. Cho hàm số y  f  x  .
Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số y  g  x   f  x  1  đồng biến
trên các khoảng nào?
Bước 4. Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm
vụ học tập:

15


Giáo viên nhận xét về quá trình thực hiện nhiệm vụ học tập của học sinh; phân
tích, nhận xét, đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ và những ý kiến thảo luận của
học sinh; chính xác hóa các kiến thức mà học sinh đã học được thông qua hoạt động.
Ở các bài toán trên, giả thiết cho đồ thị của f   x  . Nếu chúng ta thay x bởi
1 biểu thức khác thì sẽ có được bài toán mới.
Bài toán 1.2.4. Hàm số y  f   x  3  có đồ
thị như hình vẽ.
Hàm số y  f  x  đồng biến trên các
khoảng nào?
Đây là bài tốn khơng q khó đối với HS sau
khi đã giải Ví dụ 2.1.1. Tuy nhiên từ bài toán
này sẽ gợi mở cho HS cách xây dựng nhiều bài toán mới lạ. Thay thế x  3 bởi một
hàm số bậc nhất ta có bài tốn:

x


Bài toán 1.2.5. Hàm số y  f    3  có đồ
2

thị như hình vẽ.
Hàm số y  f  x  đồng biến trên các
khoảng nào?
Ví dụ 1.2.2. Cho hàm số y  f  x  . Biết hàm
số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ. Hàm số

y  g  x   f  2 x  3 x 2  đồng biến trên khoảng

nào dưới đây?

1

A.  ;  .
3


1

B.  ;   .
2


1 1
C.  ;  .
3 2

1

D.  2;  .
2


Bước 1. Chuyển giao nhiệm vụ: Hãy tìm lời giải cho bài tốn nói trên, để chọn
phương án đúng.
Bước 2. Thực hiện nhiệm vụ học tập:
- Tri giác vấn đề: Dựa vào đồ thị hàm số f   x  ta có các kết quả:
x  1
.
x

2


1) f   x   0  

2) f   x   0  x   ;1   2;   ; f   x   0  x  1; 2  .
2
3) Cần tìm khoảng đồng biến của hàm số y  f  2 x  3 x  .

16


- Tìm phương án giải quyết vấn đề:
Định hướng 1. (Dành cho lời giải tự luận)
2
+) Hàm số f  2 x  3 x  là hợp của hai hàm số y  f  u  và hàm số u  2 x  3 x 2 .

Do đó nghĩ tới việc tính đạo hàm của hàm hợp: g   x   f   u  .u  .
Ta có g   x    2  6 x  . f   2 x  3 x 2  .
2
+) Cần tìm khoảng đồng biến của hàm số g  x   f  2 x  3 x  tức là cần tìm khoảng

mà g   x   0 .
+) Để biết dấu của g   x  ta lập bảng xét dấu của nó và lập bảng biến thiên. Từ đó
kết luận về khoảng đồng biến của hàm số y  g  x  .
Định hướng 2. (Dành cho giải tốn hình thức trắc nghiệm)
+) Bài tốn khơng cho biết cơng thức hàm số f  x  cụ thể, nhưng kết quả bài tốn
lại chỉ có một, khơng phụ thuộc vào cơng thức của f  x  .
+) Nếu kết quả bài toán đúng cho hàm f  x  thỏa mãn các điều kiện trên thì cũng
thỏa mãn cho hàm g  x  thỏa mãn tính chất tương tự.
+) Chọn hàm f  x  là hàm số cụ thể thỏa mãn các u cầu giả thiết, sau đó tìm
2
khoảng đồng biến của hàm số f  2 x  3 x  .

Bước 3. Báo cáo kết quả và thảo luận:
- Quyết định phương án giải quyết vấn đề, trình bày phương án:
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số f   x  ta có:

x  1
f ( x )  0  
x  2

và f   x   0  x   ;1   2;   ; f   x   0  x  1;2  .
1
2

Do đó g   x    2  6 x  . f   2 x  3 x  . Ta có 2 x  3 x 2  , x nên
3
1
f   2 x  3 x 2   0, x . Do đó g   x   0  x  .
3

Ta có bảng biến thiên

17


Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án A .
- Nghiên cứu sâu phương án, giải pháp, đề xuất các vấn đề mới, khái qt hóa,...
Bài tốn trên đề cập đến việc tìm tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số
hợp. Bản chất của nó là việc đi tìm đạo hàm của hàm số hợp, từ đó lập bảng biến
thiên của hàm số hợp để kết luận về tính đồng biến, nghịch biến.
Dựa trên ý tưởng đó có thể thay thế 2 x  3 x 2 trong bài tốn nói trên bằng một hàm
số khác sẽ cho chúng ta bài toán mới. Chẳng hạn các bài toán sau:
Bài toán 1.2.6. Cho hàm số y  f  x  . Biết hàm số
y  f  x  có đồ thị như hình vẽ.



y  g ( x)  f e x

Hàm số
khoảng nào?

2

4 x

3



đồng biến trên

Để ý rằng hàm số f   x  đi qua hai điểm  0;2  , 2;0 
, nếu chúng ta kết hợp với một hàm số bậc nhất đi qua
hai điểm đó thì chúng ta có bài tốn mới sau đây:
Bài toán 1.2.7. Cho hàm số y  f  x  . Biết hàm số
y  f  x  có đồ thị như hình vẽ.
x2
Hàm số y  g  x   f  x    2 x  2019 đồng
2

biến trên khoảng nào?
A.  ;0  .

B.  1;   .

C.  0;2  .

D.  0;   .
Lời giải

Ta có g   x   f   x   x  2 ;

1

g x   0  f  x    x  2

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình 1 có hai
nghiệm x  0 và x  2 .
Dựa vào đồ thị trên ta có bảng biến thiên sau:
x

g x 



0


0



2


0



g x

18

x2
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y  g  x   f  x    2 x  2019 đồng
2
A
biến trên các khoảng  ;0  và  2;   . Chọn đáp án .

Với cách làm tương tự như trên nếu thay đường thẳng bởi một parabol đi qua hai
điểm  0;2  , 3;2  cho chúng ta bài toán sau:
Bài toán 1.2.8. Cho hàm số y  f  x  . Biết hàm số
y  f  x  có đồ thị như hình vẽ.
x3 3 2
y  g ( x)  f ( x) 
 x  2 x  2021
3 2
Hàm số

đồng biến trên khoảng nào?
A.  ;0  .

B.  1;   .

C.  0;2  .

D.  0;   .

Hình ảnh dưới đây cho chúng ta thấy rõ mối liên hệ
giữa đồ thị hàm số f   x  và đồ thị của hàm số
y   x 2  3 x  2 chính là đạo hàm của hàm số
y

x3 3 2
 x  2 x  2021 .
3 2

Ví dụ 1.2.3. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số
f   x  như hình vẽ.
x2
Hàm số y  g  x   f 1  x    x nghịch biến trên
2

khoảng nào sau đây?

3

A.  3;1 . B.  2;0  . C. 1;3 . D.  1;  .
2

Bước 1. Chuyển giao nhiệm vụ: Hãy tìm lời giải cho bài
tốn nói trên, để chọn phương án đúng.
Bước 2. Thực hiện nhiệm vụ học tập:
- Tri giác vấn đề: Dựa vào đồ thị hàm số f   x  ta có các kết quả sau:
Đồ thị hàm số f   x  đi qua các điểm  3;3  ,  1; 5 , 1; 1 , 3; 3  .
Đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất có hồnh độ a   3; 2  ,
f  x   0  x  a ; f  x   0  x  a

19


x2

Cần tìm khoảng nghịch biến của hàm số y  f 1  x    x .
2

- Tìm phương án giải quyết vấn đề:
x2
+) Để tìm các khoảng nghịch biến của hàm số y  f 1  x    x chúng ta cần
2

các khoảng mà đạo hàm của nó nhận giá trị âm.

+) Cần tính g   x  nên cần sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp.
+) Sau khi tính được g   x    f  1  x   x  1 cần giải phương trình g   x   0 để
tìm nghiệm của nó, từ đó lập bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Bước 3. Báo cáo kết quả và thảo luận:
- Quyết định phương án giải quyết vấn đề, trình bày phương án:
Lời giải
Ta có y    f  1  x   x  1    f  1  x   1  x 
Đặt t  1  x . Suy ra y     f   t   t 
Vẽ đường thẳng y   x trên cùng hệ trục với đồ thị hàm
số y  f   x  . Ta thấy chúng cắt nhau tại ba điểm
 3;3  , 1; 1 , 3; 3  .
 x  2
 t  3
Từ đồ thị ta thấy y   0   t  1   x  0 .


 x  4
 t  3

Lập BBT ta được

Dựa vào BBT ta chọn đáp án B .
- Nghiên cứu sâu phương án, giải pháp, đề xuất các vấn đề mới, khái qt hóa,...
Bài tốn trên đề cập đến việc tìm tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số
hợp. Bản chất của nó là việc đi tìm đạo hàm của hàm số hợp, từ đó lập bảng biến
thiên của hàm số hợp để kết luận về tính đồng biến, nghịch biến.
Dựa trên ý tưởng đó có thể thay thế 1  x trong bài tốn nói trên bằng một hàm số
khác sẽ cho chúng ta bài toán mới. Nếu kết hợp với các phép biến đổi đồ thị cho
chúng ta rất nhiều bài toán mới phức tạp hơn.
Bước 4. Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập:
20


Giáo viên nhận xét về quá trình thực hiện nhiệm vụ học tập của học sinh; phân
tích, nhận xét, đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ và những ý kiến thảo luận của
học sinh; chính xác hóa các kiến thức mà học sinh đã học được thông qua hoạt động.
Nhận xét. Trên đây là một số ví dụ được thiết kế dưới dạng các tình huống dạy học
giải quyết vấn đề. Trong quá trình dạy học giáo viên cần chú ý đến việc thiết kế các
tình huống có vấn đề và hướng dẫn, khuyến khích các em tiến hành giải bài toán
bằng phương pháp giải quyết vấn đề.
3. Thiết kế một số tình huống dạy học theo định hướng dạy học giải quyết vấn
đề liên quan đến bài toán cực trị
Trong phần này, tơi xin trình bày một số bài
tốn về đồ thị hàm số có liên quan đến cực trị của
hàm số. Một số ví dụ dưới đây xin được trình bày
dưới dạng là tình huống có vấn đề để học sinh được
tìm hiểu và giải quyết bài tốn theo phương pháp giải
quyết vấn đề. Qua đó hình thành và phát triển năng
lực giải quyết vấn đề cho người học.
Ví dụ 1.3.1. Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số

y  f  x  . Biết f  x  có đúng ba điểm cực trị. Gọi
S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số
m để hàm số

y  f  x  1  m có 5 điểm cực trị.

Tính tổng tất cả các phần tử thuộc S .
Bước 1. Chuyển giao nhiệm vụ: Hãy tìm lời giải cho bài tốn nói trên, để chọn
phương án đúng.
Bước 2. Thực hiện nhiệm vụ học tập:
- Tri giác vấn đề: Dựa vào đồ thị hàm số f  x  ta có các kết quả sau:
+) Hàm số có 3 điểm cực trị có hồnh độ lần lượt là 3, a   1;0  , 2
+) Giá trị cực trị lần lượt là 6,  3, 2 . Đồ thị cắt trục hồnh tại bốn điểm.
+) Cần tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  f  x  1  m có
5 điểm cực trị.
- Tìm phương án giải quyết vấn đề:
+) Để tìm cực trị của hàm số y  f  x  1  m khi đã biết đồ thị hàm số y  f  x 
thì ta nghĩ tới việc vẽ đồ thị hàm số y  f  x  1  m từ đồ thị đã cho. Bằng cách
thay đổi các giá trị của tham số m để làm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+) Từ đồ thị hàm số y  f  x  bằng cách tịnh tiến sang trái 1 đơn vị ta được đồ thị
hàm số y  f  x  1 .
+) Từ đồ thị hàm số y  f  x  1 ta vẽ được đồ thị hàm số y  f  x  1  m bằng
cách tịnh tiến lên trên m đơn vị nếu m  0 và xuống dưới m đơn vị nếu m  0 .
21