Tích phân hệ phương trình đạo hàm riêng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN
——————– * ———————

TRẦN HỒNG HẠNH

TÍCH PHÂN HỆ PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠO HÀM RIÊNG

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Cử nhân Toán - Tin

Giảng viên hướng dẫn :
TS. NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG

- Đà Nẵng, 5/2014 -


1

Mục lục
MỤC LỤC

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

LỜI MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
MỘT SỐ KÝ HIỆU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2
4

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Ánh xạ Affine của không gian Affine . . . . . . . . . . . . . .

5
6

1.2

1.3

Phép biến đổi của không gian Affine
1.2.1 Đẳng cấu Affine . . . . . . . .
1.2.2 Phép biến đổi Affine . . . . .
Đường cong đồng nhất Affine . . . .

.
.
.
.

6
6
6
7

1.4
1.5

1.6

Nhóm Lie - Đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Các khái niệm cơ bản. Tính đồng nhất của đa tạp . . . . . . .
Định lí Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12
14
18

2 Hệ phương trình đạo hàm riêng
2.1 Xây dựng họ các siêu diện thực . . . . . . . . . . . . . . . . .

20
21

2.2
2.3

.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . .
Xây dựng cách giải hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . .

27
29

KẾT LUẬN

45

TÀI LIỆU THAM KHẢO

46

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Trần Hồng Hạnh


2

LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Nhiều vấn đề tốn học đưa đến phương trình đạo hàm riêng và hệ các
phương trình đạo hàm riêng.
Trong khóa luận này, tơi xem xét các vấn đề liên quan đến việc nghiên cứu
và mô tả các siêu diện thực đồng nhất Affine của không gian phức 3 chiều.
Thảo luận các vấn đề về tính đồng nhất cho chúng ta một hệ phương trình
đạo hàm riêng tựa tuyến tính. Mỗi phương trình của hệ mô tả tác động của
trường vector lên đa tạp đồng nhất được nghiên cứu, mà đa tạp này cho bởi
phương trình ban đầu chưa biết.
Bài tốn mơ tả đa tạp đồng nhất trong lớp các đa tạp thảo luận đưa ta
đến việc nghiên cứu các tập hợp nghiệm của các hệ phương trình đạo hàm
riêng tương ứng.
Các kết quả đã biết về mối quan hệ của các phương trình đạo hàm riêng
với các bài tốn hình học được sử dụng trong khóa luận của tơi là cơ sở cho

những nghiên cứu đặc biệt.
2. Cấu trúc của bài nghiên cứu:
Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, nội dung chính của khóa luận gồm
hai chương:

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Trần Hồng Hạnh


3

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này, tôi giới thiệu một số khái niệm cơ bản liên quan đến phần
nội dung chính của khóa luận.
Cụ thể chúng tơi tóm tắt khái niệm, kí hiệu của phép biến đổi Affine, đường
cong đồng nhất Affine, nhóm Lie, đại số Lie, đa tạp đồng nhất và định lí
Frobenius.
Chương 2 Hệ phương trình đạo hàm riêng.
Trong chương này, tôi đề cập đến ba nội dung chính. Nội dung thứ nhất trình
bày về việc xây dựng họ các siêu diện thực. Nội dung thứ hai là sự tồn tại và
tính duy nhất nghiệm, nội dung này là cơ sở để đi đến nội dung cuối là cách
giải hệ phương trình đạo hàm riêng.
Khóa luận được hoàn thành tại trường Đại học Sư Phạm Đà Nẵng, dưới
sự hướng dẫn của giảng viên, Tiến sĩ Nguyễn Thị Thùy Dương. Tơi xin bày
tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cơ, người đã hướng dẫn tận tình, chu đáo và động
viên tơi rất nhiều trong suốt q trình hồn thành khóa luận.
Tơi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cơ giáo, cán bộ Khoa
Tốn đã giúp đỡ tơi rất nhiều trong q trình học tập tại trường. Xin cảm
ơn các bạn sinh viên ngành Tốn đã động viên và có nhiều ý kiến đóng góp

cho tơi trong suốt q trình thực hiện khóa luận.
Do trình độ và thời gian có hạn nên khóa luận khơng tránh được những
thiếu sót. Tơi rất mong nhận được sự góp ý chỉ bảo của thầy cơ và các bạn.
Đà nẵng, tháng 5 năm 2014
Sinh viên thực hiện
Trần Hồng Hạnh
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Trần Hồng Hạnh


4

rank(A)
dimE

MỘT SỐ KÝ HIỆU
hạng của ma trận A
số chiều của E

{x1 , x2 , ..., xn }
f :A→A
→
−
→
−
ϕ: A → A
∼
=

hệ n vectơ
ánh xạ Affine

An
−
→
An
φo ϕ
[., .]

không gian Affine n chiều
khơng gian vectơ n chiều
tích của hai phép Affine
tích Lie

Re(zk )
Im(zk )
E1 , ..., Er
[Ei , Ej ]

phần thực của số phức zk
phần ảo của số phức zk
hệ r các trường vectơ
đại số Lie với phép toán ngoặc

M atn (K)
grad(Φ)|(i,0,0)

tập hợp các ma trận vuông cấp n trên K
độ biến đổi của Φ tại điểm (i, 0, 0)

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

ánh xạ tuyến tính liên kết
đẳng cấu

SVTH: Trần Hồng Hạnh


5

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Định nghĩa 1.1. (Hạng của ma trận)
Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của tất cả các định thức con khác 0 của
ma trận A. Kí hiệu: rank(A).
Định nghĩa 1.2. (Hệ sinh)
Hệ vectơ {x1 , x2 , ..., xn } được gọi là hệ sinh của T - không gian vectơ E nếu
với mọi vectơ x ∈ E, x là một tổ hợp tuyến tính của x1 , x2 , ..., xn .
Nghĩa là: ∀x ∈ E tồn tại α1 , α2 , ..., αn ∈ T sao cho : x = α1 x1 + ... + αn xn .
Định nghĩa 1.3. (Cơ sở của không gian vectơ)
Hệ vectơ {x1 , x2 , ..., xn } được gọi là một cơ sở của không gian vectơ E trên
trường số T nếu:
i) {x1 , x2 , ..., xn } là một hệ sinh của E.
ii) {x1 , x2 , ..., xn } độc lập tuyến tính.
Định nghĩa 1.4. (Số chiều của khơng gian vectơ)
Cho khơng gian vectơ E trên trường số T, số vectơ có trong cơ sở nào đó của
E được gọi là số chiều của E. Kí hiệu: dim(E).

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Trần Hồng Hạnh


6

1.1

Ánh xạ Affine của không gian Affine

Định nghĩa 1.5. Cho A và A là hai không gian Affine trên trường K liên
kết với hai không gian vector V và V’.
Ánh xạ f : A → A được gọi là ánh xạ Affine nếu có ánh xạ tuyến tính
ϕ : V → V’ sao cho với mọi cặp điểm M,N
−−−→
−−→
N = f (N ). Ta có: M N = ϕ(M N ).

A và ảnh M = f (M ),

Ánh xạ tuyến tính ϕ : V → V’ được gọi là ánh xạ tuyến tính liên kết với
ánh xạ Affine f.
→
−
→
− →
−
Chú ý: Người ta cịn có thể ký hiệu ánh xạ tuyến tính ϕ = f : A → A
1.2

1.2.1

Phép biến đổi của không gian Affine
Đẳng cấu Affine

Định nghĩa 1.6. Nếu ánh xạ Affine f : A → A của không gian Affine A là
một song ánh thì nó gọi là phép đẳng cấu Affine của không gian Affine A lên
không gian Affine A .
Định nghĩa 1.7. Không gian Affine A được gọi là đẳng cấu với không gian
Affine A nếu tồn tại một đẳng cấu Affine f : A → A sao cho f (A) = A . Ký
hiệu: A ∼
=A.
Hệ quả 1.1. A ∼
=A ⇔V∼
= V’ ⇔ dimA = dimA với A là không gian hữu
hạn chiều.
1.2.2

Phép biến đổi Affine

Định nghĩa 1.8. Phép đẳng cấu Affine f : A → A của khơng gian Affine A
lên chính nó được gọi là phép biến đổi Affine f của không gian Affine A và
→
−
→
−
được gọi tắt là phép Affine. Khi đó ánh xạ tuyến tính liên kết ϕ : A → A
của f là một phép tự đẳng cấu tuyến tính và cịn được gọi là phép biến đổi
tuyến tính.
KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Trần Hồng Hạnh


7

Định lí 1.1. Tích của hai phép Affine là một phép Affine có phép biến đổi
tuyến tính liên kết là tích các phép biến đổi tuyến tính liên kết của hai phép
Affine đã cho.
Đảo ngược của một phép Affine là một phép Affine có phép biến đổi tuyến
tính liên kết là đảo ngược của phép biến đổi tuyến tính liên kết với phép Affine
đã cho.
Chứng minh:
Cho hai phép Affine f : A → A và g : A → A có các phép biến đổi tuyến tính
→
−
→
−
→
−
→
−
liên kết lần lượt là ϕ : A → A và φ : A → A .
∀M, N A và M = f (M ), N = f (N ), M ” = g(M ) = go f (M ),
N ” = g(N ) = go f (N )
−−−→
−−−−→
−−→
Ta có: M ”N ” = φ(M N ) = φo ϕ(M N ).
Tích go f : A → A là một ánh xạ Affine có ánh xạ tuyến tính liên kết φo ϕ.

Vì φ và ϕ là những phép biến đổi tuyến tính nên φo ϕ cũng là một phép biến
đổi tuyến tính. Do đó tích go f là phép biến đổi Affine.
Đảo ngược của phép Affine f là phép Affine f −1 có phép biến đổi
tuyến tính liên kết là ϕ−1 .
1.3

Đường cong đồng nhất Affine

Định nghĩa 1.9. Đường cong γ ∈ R2 được gọi là đường cong đồng nhất
Affine nếu cho hai điểm bất kì của đường cong tồn tại một phép biến đổi
Affine chuyển điểm này sang điểm kia (cùng với lân cận của nó).
Những đường cong đồng nhất Affine là những đường
bằng các phép biến đổi Affine thích hợp.
Phép biến đổi tọa độ sau là phép biến đổi Affine :

a b
∗
∗
x = a1 x + b1 y + c1
 1 1
, với ∆ = 
∗
∗
 a2 b2
y = a2 x + b2 y + c2
Trong đó : (x,y) - tọa độ gốc,
KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

cong được bảo tồn




=0


(1.1)

(x∗ , y ∗ ) - tọa độ chuyển đổi
SVTH: Trần Hồng Hạnh


8

Lưu ý :
Phép biến đổi Affine (1.1) cùng với điều kiện ∆ cũng có thể được viết:
x∗ = a1 x + b1 y + c1
y ∗ = a2 x + b2 y + c2
Bài tốn: Mơ tả các đường cong đồng nhất Affine trong mặt phẳng.
Lưu ý : Các đường cong đồng nhất Affine trong mặt phẳng là các đường
cong có thể biến đổi thành chính nó bằng các phép biến đổi Affine.
Ví dụ 1. Đường cong S 1 = x2 + y 2 = 1 là đường cong đồng nhất Affine .
Thật vậy, phép quay mặt phẳng với một góc ϕ :
x∗ = xcosϕ − ysinϕ
y ∗ = xsinϕ + ycosϕ
là một phép biến đổi Affine và nó bảo tồn đường trịn.
Chọn góc ϕ = ϕB − ϕA thì ta sẽ thu được phép biến đổi cần tìm như trong
định nghĩa 1.9.
Định lí 1.2. Tất cả các đường cong không suy biến cấp hai, như là : ellip,
hyperbolic, parabolic đều là đường cong đồng nhất Affine.

Chứng minh:
x2 y 2
a) Xét các đường Ellip : 2 + 2 = 1
a
b
Được biết, đường ellip là đường trịn bị "nén".
Điều này có nghĩa rằng việc nén dọc theo trục tọa độ có phương trình:
x∗ = cx
y∗ = y

(1.2)

Thay (1.2) vào phương trình của đường tròn x2 + y 2 = R2 , ta nhận được:
(x∗ )2
+ (y ∗ )2 = R2
2
c
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Trần Hồng Hạnh


9

(y ∗ )2
(x∗ )2
+
=1
(cR)2
R2

: phương trình Ellip.

Tồn tại phép biến đổi Affine (tuyến tính) biến đường ellip thành đường trịn.
Điểm A và B sẽ đi đến điểm A∗ và B ∗ tương ứng. Trong đó các điểm nằm
trên cùng một đường tròn cũng thuộc đường tròn.
Mà đường tròn là đường cong đồng nhất Affine. Vì vậy, tồn tại một phép đổi
affine, mà điểm A∗ di chuyển đến điểm A∗∗ = B ∗ . Và những điểm chuyển đến
các điểm mới trong đường tròn vẫn thuộc đường tròn.
Việc chuyển đổi ngược biến đường trịn thành ellip trong đó điểm A∗∗ di
chuyển đến điểm A∗∗∗ = B
Sự kết hợp của các phép biến đổi Affine biến điểm A thành điểm B.
Lưu ý : Giữa đường cong đang nghiên cứu và đường cong đồng nhất đã
biết tồn tại một song ánh Affine thì đường cong đó cũng là đường cong đồng
nhất Affine.
x2 y 2
b) Xét các đường Hyperbolic : 2 − 2 = 1
a
b
Ta sử dụng phép biến đổi :
x = x∗ a
y = y∗b
Để biến hyperbolic thành:
(x∗ a)2 (y ∗ b)2
−
= 1 ⇔ x2 − y 2 = 1
2
2
a
b

Chúng ta sử dụng các hàm của hyperbolic (cht và sht)

(1.3)

Như ta đã biết, các hàm sinϕ, cosϕ là các hàm lượng giác cơ bản thỏa mãn:
sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1
Các hàm hyperbolic : ch2 t − sh2 t = 1
Xét các phép biến đổi Affine (tuyến tính) được gọi là phép quay hyperbolic:
x∗
y∗
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

=A

x
y

(1.4)
SVTH: Trần Hồng Hạnh


10

hoặc
x
y
với A =

cht sht
sht cht

−1

=A

x∗
y∗

cht −sht
−sht cht

, A−1 =

(1.5)
=

ch(−t) sh(−t)
sh(−t) ch(−t)

Phép biến đổi này biến đổi hyperbolic (1.3) thành chính nó vì nó thực hiện
việc biến đổi các điểm của đường cong này và ảnh của chúng:
x
y

=A

−1

x∗
y∗

x∗ ch(−t) + y ∗ sh(−t)
x∗ sh(−t) + y ∗ ch(−t)

=

x2 − y 2 = (x∗ )2 ch2 (−t) + (y ∗ )2 sh2 (−t) + 2x∗ y ∗ ch(−t)sh(−t)
− (x∗ )2 sh2 (−t) − (y ∗ )2 ch2 (−t) − 2x∗ y ∗ ch(−t)sh(−t) = 1 ⇔ (x∗ )2 − (y ∗ )2 = 1
Điểm

x∗
y∗

∈ Γ, chuyển thành điểm

x
y

, cũng nằm trên hyperbolic.

Chỉ ra rằng, bằng một phép biến đổi Affine (tuyến tính), bất kì điểm nào
trên hyperbolic cũng có thể được dịch sang bất kì điểm nào khác trên đường
cong đó.
Để làm được điều này, ta cho điểm M(1;0) thuộc một hyperbolic giác đều.
Cho N (x0 ; y0 ) (với x0 = cht, y0 = sht), là điểm chuyển đổi của M qua phép
biến đổi Affine.

x∗
y∗

=A

1
0

N (cht; sht) =

=

cht
sht

et + e−t et − e−t
,
2
2

Tại t = arcshy0 (hoặc t = arcchx0 ) là các điểm lần lượt được tìm.
Trên đường cong lấy thêm một điểm K(x1 , y1 ). Dùng phép biến đổi (1.5) có
thể biến K → M

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Trần Hồng Hạnh


11

N →K
ϕn

:M →N
(ϕn )−1 : N → M
ϕk

:M →K

Kết hợp các phép biến đổi ϕm = ϕk (ϕn )−1 : N → K biến hyperbolic thành
hyperbolic. Vì vậy, đường cong này là đồng nhất.
c) Xét các đường parabolic : y = x2
Xét phép biến đổi Affine tùy ý :
x = a1 x∗ + b1 y ∗ + c1
y = a2 x∗ + b2 y ∗ + c2
Và chọn các hệ số để parabolic biến đơỉ thành chính nó.
a2 x∗ + b2 y ∗ + c2 = (a1 )2 (x∗ )2 + (b1 )2 (y ∗ )2 + (c1 )2 + 2a1 b1 x∗ y ∗ + 2a1 c1 x∗ + 2b1 c1 y ∗
Chọn a1 = 1, b1 = 0, b2 = 1. Khi đó :
a2 x∗ + y ∗ + c2 = (x∗ )2 + c21 + 2c1 x∗ , suy ra y ∗ .
y ∗ = (x∗ )2 + 2c1 x∗ + c21 − c2 − a2 x∗ hoặc y ∗ = (x∗ )2 + 2(c1 − a2 )x∗ + (c21 − c2 )
Ta có:
a2 = 2c1
2c2 − a2 = 0
,
hoặc
c2 = c21
c21 − c2 = 0
Khi đó, phép biến đổi Affine trở thành :
x = x∗ + c
y = 2cx∗ + y ∗ + c2

(1.6)

parabolic bảo toàn, với c tùy ý.
Xét điểm M(1;1) trên parabolic. Giả sử N (x0 ; y0 ) là một điểm cũng nằm trên
parabolic. Ta sử dụng phép biến đổi Affine (1.6) một cách phù hợp để biến
điểm M thành điểm N (x0 ; y0 ).
Điều này có nghĩa rằng, cần phải giải hệ phương trình sau:
1 = x0 + c
1 = 2cx0 + y0 + c2
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

(1.7)
SVTH: Trần Hồng Hạnh


12

Từ phương trình đầu ta có c = 1 − x0 , khi đó ta có thể giải được phương
trình thứ hai của hệ phương trình (1.7).
Tương tự với cách lập luận được áp dụng cho đường hyperbolic ta chứng minh
được parabolic là đường cong đồng nhất.
1.4

Nhóm Lie - Đại số Lie

Định nghĩa 1.10. (Nhóm) Nhóm là một tập G, được trang bị ánh xạ tích
G × G → G, (x, y) → x ∗ y và một ánh xạ một ngôi G → G, x → x−1
thỏa mãn các tiên đề:
(i) Tính kết hợp: x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z ∀x, y, z ∈ G.
(ii) Tồn tại phần tử đơn vị e ∈ G sao cho: e ∗ x = x ∗ e = x,∀x ∈ G.
(iii) Tồn tại phần tử nghịch đảo sao cho: x ∗ x−1 = x−1 ∗ x = e.
Định nghĩa 1.11. (Nhóm Lie)Nhóm Lie G được gọi là một nhóm sao cho

ánh xạ tích:
G×G→G
(x, y) → x ∗ y
và ánh xạ lấy phần tử ngược:
G→G
x → x−1
là ánh xạ trơn.
Nhận xét 1.1. Định nghĩa trên tương đương với định nghĩa:
G được gọi là nhóm Lie nếu nó là đa tạp trơn (đồng thời là một nhóm) sao
cho ánh xạ sau là ánh xạ trơn:
G×G→G
(x, y) → x ∗ y −1
Định nghĩa 1.12. Cho K là một trường và L là một K khơng gian vector.
Ta nói L là một K - đại số Lie nếu L được trang bị thêm một phép nhân gọi
là tích Lie (hay móc Lie).
KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Trần Hồng Hạnh


13

[., .] :
thỏa mãn các tiên
(i) (L1 ) : [., .]
(ii) (L2 ) : [., .]
(iii) (L3 ) : [., .]

L×L →L
(x, y) → [x, y],

∀x, y ∈ L

đề sau:
song tuyến tính,
phản xứng : [x, x] = 0 ∀x ∈ L,
thỏa mãn đồng nhất Jacobi:[x, [y, z]] + [z, [x, y]] + [y, [z, x]] = 0.

Nhận xét 1.2. :
- Trên mỗi K bất kì, L đều có thể trang bị tích Lie tầm thường [x, y] = 0
∀x, y ∈ L để trở thành đại số Lie. Khi đó, L là một đại số Lie giao hoán.
- Trên cùng một K - khơng gian vector L ta có thể trang bị nhiều hay vô số
đại số Lie khác nhau khi thay đổi các tích Lie khác nhau.
- Mỗi đại số Lie là mỗi không gian vector nên số chiều của đại số Lie là số
chiều của khơng gian vector.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng: R3 với tích Lie là tích có hướng của hình sơ cấp
là một đại số Lie.
Chứng minh:
i) (L1 ) : [., .] song tuyến tính.
∀x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ), z = (z1 , z2 , z3 ) ∈ R3 và α, β ∈ K. Ta có:
[αx + βy, z] = (αx + βy) × z = α(x × z) + β(y × z) = α[x, z] + β[y, z]
[x, αy + βz] = x × (αy + βz) = α(x × y) + β(x × z) = α[x, y] + β[x, z]
ii) (L2 ) : [., .] phản xứng. Thật vậy, ∀x ∈ R3 thì [x, x] = x × x = 0.
iii) (L3 ) : [., .] thỏa mãn đồng nhất Jacobi.
∀x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ), z = (z1 , z2 , z3 ) ∈ R3 . Ta có:
[x, [y, z]] = x × (y × z)
[z, [x, y]] = z × (x × y)
[y, [z, x]] = y × (z × x)
Khi đó, [x, [y, z]] + [z, [x, y]] + [y, [z, x]] = 0.
Vậy R3 với tích Lie như trên là một đại số Lie.

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Trần Hồng Hạnh


14

Ví dụ 3. Xét tập hợp các ma trận vng cấp n trên K là M atn (K).
Trên M atn (K) ta trang bị tích Lie: [A, B] := AB − BA ∀A, B ∈ M atn (K).
Chứng minh rằng: M atn (K) với tích Lie như trên là một đại số Lie.
Chứng minh:
Ta có tích Lie:
[., .] : M atn (K) × M atn (K) → M atn (K)
.
(A, B) → [A, B] = AB − BA.
Khi đó, tích Lie thỏa mãn:
i) (L1 ) : [., .] song tuyến tính. Thật vậy: ∀A, B, C ∈ M atn (K) và α, β ∈ K.
[αA + βB, C] = (αA + βB)C − C(αA + βB) = α(AC − CA) + β(BC − CB)
.
= α[A, C] + β[B, C]
Tương tự: [A, αB + βC] = α[A, B] + β[A, C]
ii) (L2 ) : [., .] phản xứng. Thật vậy: vì [A, A] = AA−AA = 0, ∀A ∈ M atn (K)
iii) (L3 ) : [., .] thỏa mãn đồng nhất Jacobi. Thật vậy, ∀A, B, C ∈ M atn (K)
[A, [B, C]] = A(BC − CB) − (BC − CB)A = ABC − ACB − BCA + CBA
[C, [A, B]] = C(AB − BA) − (AB − BA)C = CAB − CBA − ABC + BAC
[B, [C, A]] = B(CA − AC) − (CA − AC)B = BCA − BAC − CAB + ACB
Khi đó, [A, [B, C]] + [C, [A, B]] + [B, [C, A]] = 0.
Vậy M atn (K) với tích Lie như trên là một đại số Lie.
1.5

Các khái niệm cơ bản. Tính đồng nhất của đa tạp

Trong khóa luận, xem xét các câu hỏi, mà chúng xuất hiện trong bài toán
(tuy nhiên chưa được giải quyết), mô tả các siêu diện đồng nhất Affine trong
không gian phức và liên quan đến phép lấy tích phân của hệ phương trình
đạo hàm riêng.
Để minh họa cho khái niệm về tính đồng nhất ta xét trường hợp đơn giản
của các đường cong trong mặt phẳng. Chúng ta quan tâm đến những đường
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Trần Hồng Hạnh


15

cong đồng nhất Affine. Đường cong được gọi là đồng nhất Affine, nếu cho
hai điểm bất kỳ A,B của đường cong , tồn tại một phép biến đổi Affine, mà
bằng phép biến đổi này thì điểm A biến thành điểm B và ngược lại (cùng với
lân cận của nó) thì đường cong được bảo toàn. Cố định một điểm trên đường
cong, và dần điểm thứ hai về điểm thứ nhất.
Trong trường hợp này chúng ta có được một họ các phép biến đổi với tham số
t thay đổi dọc theo đường cong. Nếu chúng ta lấy vi phân phép biến đổi theo
tham số này, thì có thể thu được phép biến đổi vi phân. Nó cho biết hướng
của các tiếp tuyến với đường cong tại điểm lấy vi phân. Do đó, việc thay đổi
điểm khởi đầu trên đường cong, ta có thể nhận được các trường hướng (hoặc
họ các đường thẳng). Tại mỗi điểm của đường cong sẽ có một vector tiếp
tuyến , trùng với hướng của đường thẳng tại điểm đó.
Bài tốn hình học xét trong khóa luận này là một sự tổng quát của ví dụ
sau và bài tốn này gắn liền với việc nghiên cứu tính chất đồng nhất của đa
tạp con nhúng. Đa tạp con nhúng là một tập hợp con của một đa tạp nào

đó, mà nó cũng là một đa tạp. Ví dụ, một đường tròn trong mặt phẳng là đa
tạp con nhúng trong mặt phẳng này. Mặt cầu trong không gian cũng là một
ví dụ đa tạp con nhúng. Và hình trịn, mặt cầu là những ví dụ của siêu diện
trong khơng gian tương ứng. Tiền tố "siêu" nghĩa là , kích thước của một đối
tượng (vật) thì nhỏ hơn kích thước của không gian xung quanh của đối tượng
(vật) này 1 đơn vị. Như vậy, "đa tạp" có nghĩa là siêu diện. Sự nhúng trong
khóa luận này được hiểu là phép nhúng trong khơng gian phức C3 .
Tính đồng nhất Affine của bề mặt M (gần điểm xác định) được hiểu là
trong nhóm các phép biến đổi Affine của khơng gian C3 tồn tại một nhóm
con Lie G, mà nhóm con Lie G tác động bắc cầu trên M gần điểm đã chọn
(chính bề mặt M là quỹ đạo của điểm đó dưới tác động của G).

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Trần Hồng Hạnh


16

Trong hệ trục tọa độ không gian C3 các tác động của G được cho bởi:

 ∗ 
 

a11 (t) a12 (t) a13 (t)
z1
z1
a14 (t)

 ∗ 

 

(1.8)
 z2  =  a21 (t) a22 (t) a23 (t)   z2  +  a24 (t) 
z3∗
a31 (t) a32 (t) a33 (t)
z3
a34 (t)




a11 (t) a12 (t) a13 (t)
a14 (t)




Với  a21 (t) a22 (t) a23 (t)  - thành phần quay, a  a24 (t)  - thành phần
a31 (t) a32 (t) a33 (t)
a34 (t)
tịnh tiến các phép biến đổi trong nhóm G, t - tham số thực nhiều chiều thuộc
nhóm G.
Vì tính đồng nhất của bề mặt M mà họ các phép biến đổi sẽ tạo thành
một nhóm Lie có số chiều lớn hơn hoặc bằng năm chiều.
Xét trong trường hợp này mặt tiếp xúc năm chiều với M, có thể được khẳng
định rằng thành phần tịnh tiến của nhóm (1.8) cho phép di chuyển theo bất
kỳ hướng nào trong mặt phẳng .
Hơn nữa, cùng với nhóm Lie (1.8), chúng ta sẽ nghiên cứu các đại số Lie
tương ứng của biến đổi vi phân. Các yếu tố của đại số này là các trường

vector tuyến tính trong C3 dạng :
E = (a11 z1 + a12 z2 + a13 z3 + a14 ) ∂z∂ 1
+
(a21 z1 + a22 z2 + a23 z3 + a24 ) ∂z∂ 2
+

(1.9)

(a31 z1 + a32 z2 + a33 z3 + a34 ) ∂z∂ 3

Có một trường, mà ta có thể lấy vi phân của ba biến phức theo hướng của
trường này. Để thuận tiện ta thiết lập các trường ở dạng ma trận: trường
(1.9) được cho tương ứng với một ma trận vuông cấp 4 với hệ số phức (để ma
trận gốc có dạng ma trận vng ta thêm vào hàng 0 ở cuối).
KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Trần Hồng Hạnh


17



a11 a12 a13 a14

 a21 a22 a23 a24

a a a a
 31 32 33 34
0 0 0 0








Các hệ số của các ma trận (trường) là số phức .
Như được biết, các trường vectơ trên một bề mặt đồng nhất tạo thành một
đại số Lie, nghĩa là không gian tuyến tính đó đóng đối với phép tốn ngoặc.
Điều này có nghĩa rằng các ma trận, tương ứng với các trường vector trên bề
mặt, cũng tạo thành một đại số Lie đối với phép toán ngoặc:
[E1 , E2 ] = E1 E2 − E2 E1

(1.10)

Vì bề mặt đồng nhất thực được nói đến có số chiều thực bằng 5, nên các
nhóm tương ứng với các bề mặt, khơng thể có số chiều nhỏ hơn 5.
Trong khóa luận này, chúng ta chỉ quan tâm đến đại số của các trường
vectơ thực năm chiều. Chúng tương ứng với các đại số của ma trận vuông
phức cấp 4. Với sự tương ứng như vậy dấu ngoặc của trường sẽ chuyển thành
dấu ngoặc của ma trận.
Chúng ta sẽ nói về khái niệm siêu diện thực. Tại lân cận bất kỳ của một
điểm, một bề mặt như vậy có thể được xác định bởi phương trình :
Φ(z1 , z2 , z3 ) = 0

(1.11)

Với Φ - hàm trơn của biến phức z1 , z2 , z3 (có giá trị thực).

Vì nó là một siêu diện thực nên phương trình có thể viết ở dạng rõ ràng :
Φ(x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 ) = 0

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

(1.12)

SVTH: Trần Hồng Hạnh


18

Với xk = Re(zk ), yk = Im(zk ), k = 1, 2, 3.
Để thuận tiện cho các tính tốn tiếp theo ta hiểu z3 như w.
1.6

Định lí Frobenius

Trước khi nêu rõ định lí, tơi xin giới thiệu các khái niệm cần thiết.
Định nghĩa 1.13. Cho X - đa tạp trơn của lớp C∞ và dimX = n . Cho
E1 , ..., Er - hệ r các trường vectơ của C∞ trên X. Tóm lại, đối với bất kỳ
điểm x ∈ X ln có được bất đẳng thức :
0 ≤ rank[Ei (x)] = m ≤ inf (n, r)

(1.13)

Hệ các trường vectơ E1 , ..., Er có hạng h khi x ∈ X, nếu
rank[Ei (x)] = h ≤ m. Hệ E1 , ..., Er có hạng h trên một số tập hợp con
(đa tạp con) của đa tạp X, nếu nó có hạng h tại mỗi điểm của nó.
Định nghĩa 1.14. r – sự phân phối

trên đa tạp X - tương ứng mỗi điểm
x ∈ X là không gian con x - r chiều trong Tx .
Chúng ta chỉ xem xét những sự phân phối trên X có các tính chất sau:
+ Đối với mỗi điểm x ∈ X tồn tại một vùng lân cận U và r các trường vectơ
E1 , ..., Er xác định và độc lập trên U , mà tạo ra sự phân phối tại mỗi điểm
trong U .
+ Sự phân phối của các trường vectơ đó được gọi là chính quy ln có được
đẳng thức đối với sự phân phối này:
rank[Ei (x)] = r

(1.14)

tại tất cả các điểm x ∈ U
Định nghĩa 1.15. Cho E1 , ..., Er - hệ r trường vectơ trên X . Cho một tập
con mở bất kì X, trong đó hệ có cấp m = max rank[Ei (x)], nó sinh ra m –
x∈X

sự phân phối.

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Trần Hồng Hạnh


19

Ta nói rằng các trường vectơ E trên X là sự phân phối , nếu E(x) ∈ x
tại tất cả các điểm x ∈ X.
Sự phân phối chính quy trên X gọi là hữu hạn chiều, nếu trường vectơ [Ei , Ej ]
thuộc sự phân phối tại mọi điểm khi nó sở hữu trường Ei và Ej . Đặc biệt,

vùng lân cận U được xác định bởi đẳng thức :
[Ei , Ej ] = ckij (x)Ek

(1.15)

Với ckij (x) - hàm các giá trị thực trơn x ∈ X.
Siêu đa tạp R ⊂ X gọi là đa tạp không thể thiếu trong sự phân phối X,nếu
Tx (R) = x với tất cả x ∈ R.
Bây giờ hãy phát biểu định lý Frobenius.
Định lí 1.3. (Định lí Frobenius) Cho
là sự phân phối r chiều trên X.
Khi đó, qua mỗi điểm x ∈ X chỉ tồn tại một đa tạp tích phân duy nhất của
sự phân phối .
Định lí Frobenius cịn có thể được phát biểu như sau:
Định lí 1.4. Điều kiện cần và đủ để họ các trường vector có tính khả tích là
tính đóng của họ này đối với phép tốn ngoặc.

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Trần Hồng Hạnh


20

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Trần Hồng Hạnh


21

Chương 2

Hệ phương trình đạo hàm riêng
2.1

Xây dựng họ các siêu diện thực

Một họ ba tham số các đại số ma trận với các cơ sở sau:

1
0
0 −i(1 − 4ε22 )ω

1

0 2i(ζω + 2ε2 ζ¯ω
¯)
0
2

E1 = 
2
¯ ) 23
ω 2(1 − 4ε22 )(2ε2 ζω + ζ¯ω
0
 −4(1 − 4ε2 )¯
0


0

0
4i(ζω + 2ε2 ζ¯ω
¯)

0
1
0

 0
0
0 4i((1 − ζ 2 )ω + 2ε2 (1 − |ζ|2 )¯
ω)

E2 = 
2
ω 0
0
 a2 8(1 − 4ε2 )¯
0
0
0
0
¯¯ − 8(4ε2 − 1)ζ ω
¯
a2 = 16(ε
2
 2 − ε1 )ζω − 8(4ε1 ε2 − 1)ζ ω
0

i
0
−4(ζω + 2ε2 ζ¯ω
¯)

 0
0
0 4((1 + ζ 2 )ω − 2ε2 (1 − |ζ|2 )¯
ω)
E3 = 
 a 8i(1 − 4ε2 )¯
0
 3
2 ω 0
0
0
0
0
¯ + ε2 ζ) + (ζ¯ − ζ))¯
a3 = −8i(2(ε
ω) 
1 + ε2 )ζω + (4ε2 (ε1 ζ 


0
0

0
0
E4 = 

 0 2i(2ε ζω + ζ¯ω
¯)
2

0
0

0 ω
0 0



0 0 
 , E5 =  0 0
0 0
0 0 


0 0
0 0




,



0



,






,



0 0

0 0

0 1

0 0

(2.1)
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Trần Hồng Hạnh


22

Các tham số trong những ma trận có quan hệ:
|ω|= 1,

2(ε1 + ε2 ζ 2 )ω + (1 + |ζ|2 )¯
ω=0

(2.2)

Do đó 2 số phức ζ, ω và 2 tham số thực ε1 , ε2 thiết lập họ đại số 3 tham số.
Một trong những mục tiêu chính của khóa luận là phép lấy tích phân các
đại số này.
Trong các thiết lập ban đầu, bài toán rất phức tạp do sự hiện diện 2 tham
số phức trong họ (2.1). Mục đích lấy tích phân trực tiếp đại số đó chỉ có kết
quả trong một chừng mực nào đó (Đã lấy tích phân họ hai tham số, tương tự
như họ (2.1)). Do đó, họ các đại số 3 tham số (2.1) đã được chuyển thành họ
tương tự đơn giản hơn bằng một ma trận đồng dạng. Sự tiện lợi này sẽ đạt
được bằng cách đưa ma trận E1 về ma trận chéo.
Nhớ lại rằng những ma trận đồng dạng thu được bởi ma trận trong các hệ
tọa độ khác nhau khi cho một và chỉ một phép biến đổi tuyến tính. Nói cách
khác, các ma trận vng A và B được gọi là đồng dạng, nếu tồn tại một ma
trận không suy biến V cùng cấp sao cho:
B = V −1 AV

(2.3)

Ma trận V là ma trận chuyển đổi từ tọa độ này sang tọa độ khác. Trong
khóa luận này, ma trận chuyển được chọn sao cho trong kết quả của phép
biến đổi có thể thu được ma trận đường chéo trong hệ các ma trận cơ sở (2.1).
Để thuận tiện cho việc viết phép biến đổi ma trận cần thiết ta thảo luận
một số vấn đề.
Đầu tiên, lưu ý rằng một ma trận tùy ý, tương ứng với các trường vector,
có thể được viết dưới dạng khối. Ví dụ, ma trận:

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Trần Hồng Hạnh


23



A11 A12 A13

 A21 A22 A23
E=
A A A
 31 32 33
0
0
0


P1

P2 

P3 

0

(2.4)

có thể được viết thành hình thức thu gọn hơn:
E=


A11 A12 A13





A P
0 0


(2.5)

P1




với A =  A21 A22 A23  và P  P2 
A31 A32 A33
P3

Thứ hai, chúng ta dễ dàng có được khẳng định sau đây.
Mệnh đề 2.1. Trong hệ tọa độ X cho trường vectơ E tương ứng với
A P
ma trận E =
, được biểu diễn dưới dạng khối. Nếu di chuyển đến

0 0
hệ tọa độ mới X ∗ = W X + Γ, thì trường vector trong hệ X ∗ sẽ có dạng:
E ∗ = S −1 ES

(2.6)

Trong đó:
W - thành phần quay (ma trận khơng suy biến 3 × 3),
W Γ
Γ - thành phần tịnh tiến, và S =
.
0 1
Chứng minh : Vì W là ma trận vng khơng suy biến nên S khơng suy
biến. Do đó, tìm được ma trận nghịch đảo của S. Theo định nghĩa, tích của
ma trận với ma trận nghịch đảo của nó bằng ma trận đơn vị S −1 S = I. Ta
sử dụng giả thiết này, đặt ξ và η là các giá trị chưa biết trong ma trận nghịch
đảo, khi đó:
KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Trần Hồng Hạnh


24

ξ η
0 1

I = S −1 .S =

W Γ

0 1

=

ξW ξΓ + η
0
1

(2.7)

Dễ dàng suy ra được:
S

S −1 ES =

−1

=

W −1 −W −1 Γ
0
1

W −1 −W −1 Γ
0
1

A P
0 0

(2.8)
W Γ
0 1
(2.9)

=

W −1 AW W −1 AΓ + W −1 P
0
0

Lưu ý rằng ma trận sau cùng là một ma trận E ∗ trong hệ tọa độ mới X ∗ .
Và điều này đã được chứng minh.
Ngoài ra, chúng ta có được một cơng thức để tìm sự viết lại các trường
vector trong quá trình chuyển đổi từ một hệ tọa độ khác:
∗

E =

W −1 AW W −1 AΓ + W −1 P
0
0

(2.10)

Cần lưu ý rằng khi chuyển ma trận E1 về ma trận chéo thì các ma trận cịn
lại của cơ sở (2.1) cũng được đơn giản. Bỏ qua bước tính tốn cụ thể (Thực
hiện bởi Loboda A.V và Evchenko V.K) đi thẳng đến dạng thuận tiện của họ
đại số, họ đại số (2.1) tương đương với họ sau:

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Trần Hồng Hạnh