Nhóm con sylow và tích bện của hai nhóm

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG
KHOA TỐN
----------------

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
Tên đề tài:

NHĨM CON SYLOW VÀ TÍCH BỆN
CỦA HAI NHĨM

Sinh viên thực hiện :
Thuộc nhóm ngành :
Lớp
:
Giáo viên hướng dẫn :

Phạm Thoại Vy
Toán học
10ST
TS. Nguyễn Ngọc Châu

Đà Nẵng – 2014
1


MỞ ĐẦU
1 – Lý do chọn đề tài
Với hai nhóm G và H cho trước, có nhiều cách xây dựng từ chúng một
nhóm thứ ba, chẳng hạn bằng cách lấy tích trực tiếp, tích nửa trực tiếp, tích tâm,
tích bện của hai nhóm đó … Mỗi cách như vậy đều có những ứng dụng hữu ích

trong lý thuyết nhóm. Nhằm tìm hiểu tích bện của hai nhóm, tơi chọn đề tài cho
luận văn của mình là : “Nhóm con Sylow và tích bện của hai nhóm”
2 – Bố cục của luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm hai phần
Phần 1 : Cấu trúc nhóm và p – nhóm
Phần này sẽ trình bày sơ lược các khái niệm, kết quả của cấu trúc nhóm và
p – nhóm để làm cơ sở cho phần sau là nội dung chính của luận văn.
Phần 2 : Nhóm con Sylow và tích bện của hai nhóm
Phần này trình bày khái niệm p – nhóm con Sylow và tích bện của hai
nhóm cùng những thí dụ minh họa. Mục cuối của phần này trình bày ứng dụng
của tích bện để xây dựng một p – nhóm con Sylow của nhóm đối xứng hữu hạn.
Xin cảm ơn các thầy, cô giáo thuộc khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm –
Đại Học Đà Nẵng, đã giảng dạy, hướng dẫn và tạo điều kiện để tơi hồn thành
được đề tài này.

2


PHẦN 1: CẤU TRÚC NHÓM VÀ p – NHÓM
Phần này sẽ trình bày sơ lược các khái niệm, kết quả của cấu trúc nhóm và
p – nhóm để làm cơ sở cho phần sau. Các chi tiết liên quan có thể tìm xem trong
tài liệu về lý thuyết nhóm.
1.1. Nhóm và p - nhóm
1.1.1. Định nghĩa. Một nhóm là một cặp ( G; * ) trong đó G là một tập hợp
không rỗng và * là một luật hợp thành trên G, thỏa mãn ba điều kiện sau đây:
( G1 ) Luật hợp thành là kết hợp, tức là:
(x * y) * z = x * (y * z),
với mọi x, y, z ∈ G.
( G2 ) Có một phần tử e ∈ G, được gọi là phần tử trung lập, có tính chất
x*e = e*x = x,

với mọi x ∈ G.
( G3 ) Với mọi x ∈ G, có một phần tử x’ ∈ G, được gọi là nghịch đảo của x,
sao cho :
x * x’ = x’ * x = e.
Nếu luật hợp thành * đã rõ ràng và khơng sợ nhầm lẫn gì thì người ta
cũng nói G là một nhóm.
Mệnh đề sau đây là một hệ quả của định nghĩa trên.
1.1.2. Mệnh đề. [ 5 ] Giả sử ( G; * ) là một nhóm. Khi đó,
( i ) Phần tử trung lập của G là duy nhất.

3


( ii ) Với mọi x ∈ G, phần tử nghịch đảo của x là duy nhất.
Chứng minh
( i ) Giả sử e1 , e2 là các phần tử trung lập của G. Khi đó
e1 = e1 * e2 ( vì e2 là trung lập )
= e2

( vì e1 là trung lập ).

( ii ) Giả sử x1 = x1 * e = x1 * ( x * x2 )
= ( x1 * x * x2 ) ( do tính chất kết hợp của * )
= e * x2 = x2
Nhận xét: Luật hợp thành của một nhóm thường được kí hiệu bởi các dấu .
,+,*…
Khi luật hợp thành của một nhóm cũng được kí hiệu bởi . , hợp thành của
cặp phần tử ( x, y ) ∈ G × G được kí hiệu là x.y, hay đơn giản là xy, và được
gọi là tích của x và y. Phần tử trung lập của nhóm được gọi là phần tử đơn vị, kí
hiệu e. Phần tử nghịch đảo của x được kí hiệu là x-1 . Khi luật hợp thành được

kí hiệu bởi + , hợp thành của hai phần tử x, y của G được kí hiệu là x + y và
được gọi là tổng của x và y. Phần tử nghịch đảo của x sẽ được gọi là phần tử
đối, kí hiệu ( -x ). Khi đó, các điều kiện ( G1 ) – ( G2 ) trong định nghĩa nhóm
con được viết thành
(x + y) + z = x + (y + z)
x + 0 = 0 + x = x
x + (-x) = (-x) + x = 0

4


1.1.3. Định nghĩa. Nhóm ( G, * ) được gọi là giao hoán ( hay abel ) nếu
x * y = y * x,
với mọi x, y ∈ G.
1.1.4. Thí dụ. Giả sử K là một trường và n là một số nguyên dương, ký hiệu
GL(n, K) là tập gồm tất cả các ma trận khả nghịch cấp n trên trường K. Khi đó
tập GL(n, K) cùng với phép nhân hai ma trận là một nhóm. ( nhóm này khơng
giao hoán nếu n > 1 ).
1.1.5. Định nghĩa. Cấp của một nhóm G, kí hiệu bởi |G|, là số phần tử của G
nếu G có hữu hạn phần tử, và bằng ∞ nếu G có vơ hạn phần tử.
Nếu cấp của nhóm G bằng 1 thì nó là nhóm tầm thường.
1.1.6. Định nghĩa. Giả sử G là một nhóm. Một tập con không rỗng S ⊂ G
được gọi là một nhóm con của G nếu S khép kín đối với luật hợp thành trong
G ( tức là xy ∈ S với mọi x, y ∈ S ) và khép kín đối với phép lấy nghịch đảo
trong G ( tức là 𝑥 −1 ∈ S ) .
Kí hiệu : Ta dùng kí hiệu S ≤ G để chỉ S là một nhóm con của G.
Đối với nhóm G bất kì, { e } và G ln ln là các nhóm con của G. Các
nhóm con khác ( nếu có ) được gọi là các nhóm con thực sự ( hay khơng tầm
thường ) của G.
1.1.7. Hệ quả. [ 7 ] Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của một nhóm G.

Các điều kiện sau đây là tương đương
( i ) A là một nhóm con của G
( ii ) Với mọi x, y ∈ A, xy ∈ A và 𝑥 −1 ∈ A.

5


( iii ) Với mọi x , y ∈ A, xy-1 ∈ A.
1.1.8. Định nghĩa. Nhóm chỉ có một số hữu hạn phần tử, được gọi là các nhóm
hữu hạn.
1.1.9. Định nghĩa. Nhóm G được gọi là một nhóm xyclic nếu nó chứa một
phần tử a sao cho mọi phần tử của G đều bằng một lũy thừa nguyên nào đó của
a . Phần tử a có tính chất như thế được gọi là một phần tử sinh của nhóm xyclic
G.
1.1.10. Định nghĩa Giả sử G là một nhóm với đơn vị e và a ∈ G.
Nếu 𝑎𝑚 ≠ e với mọi m > 0 thì ta nói a có cấp vơ hạn. Nếu trái lại, thì số
ngun dương nhỏ nhất m sao cho 𝑎𝑚 = e được gọi là cấp của a.
Ta dùng kí hiệu ord ( a ) để chỉ cấp của phần tử a.
Theo định nghĩa, ord ( e ) = 1 ⇔ a = e.
1.1.11. Định lí. [ 5 ]

Nếu a là một phần tử sinh của nhóm xyclic G thì cấp

của a xác định G chính xác tới một đẳng cấu. Nói rõ hơn,
( i ) Nếu cấp của a là vơ hạn, thì G đẳng cấu với Z.
( ii ) Nếu cấp của a là số n hữu hạn, thì G đẳng cấu với Z / n.
1.1.12. Hệ quả. [ 5 ] Hai phần tử sinh bất kì của cùng một nhóm xyclic đều có
cùng cấp. Cấp của mọi nhóm xyclic bằng cấp của mọi phần tử sinh của nó. Hai
nhóm xyclic đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng cấp.
1.1.13. Mệnh đề. [ 5 ] Giả sử T là một tập hợp nào đó. Khi đó tập hợp S ( T )

tất cả các song ánh trên T cùng với phép hợp thành các ánh xạ lập thành 1 nhóm.
Phần tử đơn vị của S ( T ) chính là ánh xạ đồng nhất i𝑑 𝑇 trên T.
Phần tử nghịch đảo của ∝ ∈ S ( T ) chính là ánh xạ ngược ∝−1 .

6


1.1.14. Định nghĩa. Nhóm S( T ) được gọi là nhóm đối xứng trên tập hợp T .
Mỗi nhóm con của S (T ) được gọi là một nhóm các phép thế trên T.
Đặc biệt, nếu T = { 1, 2, 3…,n } thì nhóm S ( T ) được kí hiệu đơn giản là Sn
và được gọi là nhóm đối xứng trên n phần tử.
1.1.15. Mệnh đề. [ 5 ] Sn là nhóm đối xứng hữu hạn và | Sn | = n!
Mỗi phép thế 𝛼 ∈ Sn có thể biểu thị như sau:
𝛼 = (

1
2
…
𝑛
)
𝛼(1) 𝛼(2) … 𝛼(𝑛)

1.1.16. Định nghĩa.
( i ) Giả sử x1,…, xk là các phần tử đôi một khác nhau trong { 1, 2,…, n }.
Ta kí hiệu bởi ( x1, x2,…, xk ) phép thế giữ nguyên các phần tử khác x1, x2,…,
xk và tác động trên x1,…, xk như sau:
x1 ↦ x2, x2 ↦ x3,…, xk – 1 ↦ xk, xk ↦ x1
Nó được gọi là một xích với độ dài k trên tập nền { x1, x2,…, xk }.
( ii ) ( x1,…, xk ) được gọi là một xích của phép thế 𝛼 ∈ Sn nếu 𝛼 tác
động giống như ( x1,…, xk ) trên các phần tử x1, x2,…, xk . ( 𝛼 có thể tác động

khơng tầm thường trên các phần tử khác x1,…, xk . )
1.1.17. Định lí. [ 5 ]

Mọi phép thế 𝛼 ∈ Sn đều là tích của tất cả các xích

khác nhau của nó. Các tập nền của các xích này là các tập con rời nhau của tập
{ 1, 2,…, n }.
Thí dụ : Phép thế 𝛼 =

(14

2 3 4 5 6
) ∈ S6 có thể viết thành tích của 3
1 6 2 5 3

xích 𝛼 = ( 5 ) ( 3, 6 ) ( 1, 4, 2 )

7


1.1.18. Quy ước. [ 5 ]

Để cho gọn, khi viết mỗi phép thế thành tích của các

xích ta sẽ bỏ qua các xích với độ dài bằng 1.
Chẳng hạn phép thế ở ví dụ trên được viết thành
𝛼 = ( 3, 6 ) ( 1, 4, 2 ).
Phép thế này có thể xem là một phần tử của Sn với n ≥ 6, nó cố định mọi
i ∈ { 1,…,n } \ { 1, 2, 3, 4, 6 }. Cách quan niệm như thế phù hợp với phép
nhúng Sn ⊂ Sn + 1.

Khẳng định sau đây là một ứng dụng của việc viết các phép thế thành tích
của các xích rời rạc.
1.1.19. Định lí. [ 5 ] Cấp của một phép thế 𝛼 bằng bội số chung nhỏ nhất của
độ dài các xích rời rạc của 𝛼.
1.1.20. Định nghĩa. Giả sử p là một số nguyên tố.
( i ) Nhóm H được gọi là p - nhóm nếu cấp của nó là một lũy thừa của p.
( ii ) Nhóm H được gọi là một p - nhóm con của G nếu H vừa là một nhóm
con của G vừa là một p - nhóm.
1.2 Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương
1.2.1. Định nghĩa. Các bộ phận xA gọi là các lớp kề trái của nhóm con A
trong G. Tương tự, các lớp kề phải Ax của A trong G là các bộ phận mà các
phần tử có dạng là ax , với a ∈ A.
1.2.2 . Hệ quả. [ 7 ] Giả sử x và y là hai phần tử tùy ý của nhóm X, thế thì :
( i ) xA = yA nếu và chỉ nếu x-1y ∈ A.
( ii ) xA ∩ yA = ∅ nếu và chỉ nếu x-1 ∉ A

8


Tập hợp thương của G trên quan hệ tương đương ~ gọi là tập hợp thương
của nhóm G trên nhóm con A , kí hiệu là G / A . Các phần tử của G / A là các
lớp kề trái xA.
1.2.3. Định nghĩa. Một nhóm con A của một nhóm G gọi là chuẩn tắc nếu và
chỉ nếu x-1ax ∈ A, với mọi a ∈ A và x ∈ G.
1.2.4. Mệnh đề. [ 7 ] Giả sử A là một nhóm con của nhóm G. Các điều kiện
sau đây là tương đương:
(i)

A là chuẩn tắc.

( ii ) xA = Ax, với mọi x ∈ G.
Do mệnh đề trên, nếu A là nhóm con chuẩn tắc thì các lớp kề trái, lớp kề
phải của A, được gọi là các lớp kề của A .
1.2.5. Mệnh đề. [ 7 ]

Mọi nhóm con của một nhóm abel đều là nhóm con

chuẩn tắc của nhóm.
1.2.6 . Định lí. [ 7 ] ( Định lí Lagrange ). Cấp của một nhóm G hữu hạn là bội
của cấp của mọi nhóm con của nó.
Chứng minh
Giả sử G là một nhóm có cấp n, và A là một nhóm con bất kì của nó, có
cấp m. Trước hết ta chứng minh mọi lớp trái xA, x ∈ G, đều có số phần tử là
m. Muốn vậy ta xét
A = { x1, x2, …, xm }
và các phần tử
xx1, xx2, …, xxm

9


Các phần tử này là phân biệt, vì nếu có xx1 = xx2 chẳng hạn, thì x1 = x2 .
Đó là tất cả các phần tử của lớp trái xA. Như vậy xA có m phần tử. Vì G hữu
hạn nên số lớp trái xA là hữu hạn, gọi l là số các lớp trái xA. Do các lớp trái
là rời nhau nên ta có n = ml.
Tương tự ta cũng có l là số các lớp phải Ax.
Số l các lớp trái xA ( hay các lớp phải Ax ) gọi là chỉ số của nhóm con A
trong G, và kí hiệu [ G : A ].
1.2.7. Hệ quả. [ 7 ] Cấp của một phần tử tùy ý của một nhóm hữu hạn G là
ước của cấp của G.

1.2.8. Định lí. [ 7 ] Nếu A là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm G, thì :
( i ) Quy tắc cho tương ứng với cặp ( xA, yA ) lớp trái xyA là một ánh xạ từ
G / A × G / A đến G / A.
( ii ) G / A cùng với phép toán hai ngơi
( xA, yA ) ↦ xyA
là một nhóm, gọi là nhóm thương của G trên A.
Chứng minh
( i ) Để chứng minh quy tắc đó là một ánh xạ thì ta phải chứng minh rằng nếu
x1A = xA và y1A = yA thì x1y1A = xyA, hay theo hệ quả, nếu x-1x1 ∈ A
và y-1y1 ∈ A thì ( xy )-1 ( x1y1 ) = y-1x-1x1y1 ∈ A.
Đặt x-1x1 = a, ta có a ∈ A theo giả thiết.
Xét tích y-1x-1x1y1 = y-1ay1. Ta có thể viết: y1ay1 = ( y-1ay ) ( y-1y1 ).
Nhưng y-1ay ∈ A vì A là chuẩn tắc, và y-1y1 ∈ A theo giả thiết, vậy

10


( y-1ay ) ( y-1y1 ) ∈ A, tức là ( xy )-1 ( x1y1 ) ∈ A. ta kí hiệu hợp thành của xA
và yA là xA.yA.
( ii ) Lấy tùy ý ba phần tử x, y, z của G. Thế thì
( xA.yA ).zA = xyzA = xA.( yA.zA).
Do đó phép tốn hai ngơi đã cho là kết hợp.
Xét lớp trái eA = A, trong đó e là phần tử trung lập. Ta có
eA.xA = axA = xA
với mọi lớp trái xA ∈ G / A. Vậy eA = A là một đơn vị trái.
Cuối cùng với mọi xA ∈ G / A, ta có x-1A.xA = x-1xA = eA.
Vậy G / A cùng với phép tốn hai ngơi
( xA, yA ) ↦ xyA
là một nhóm.
Định lí đã được chứng minh.

1.2.9. Định nghĩa. Giả sử A và B là các nhóm ( với luật hợp thành viết theo
lối nhân ). Trên tập hợp tích
G = A × B = { (a, b) : a ∈ A, b ∈ B }
Ta định nghĩa một luật hợp thành như sau :
( a1, b1 ) ( a2, b2 ) = ( a1a2 , b1b2 ).
Dễ kiểm tra lại rằng G cùng với phép tốn đó lập nên một nhóm, có phần tử đơn
vị là e = ( eA, eB ) và phần tử nghịch đảo của ( a, b ) là ( a, b )-1 = ( a-1, b-1 )

11


Nhóm G = A × B được xây dựng như trên được gọi là tích trực tiếp của
hai nhóm A và B.
1.2.10. Định nghĩa. Xét đa giác đều n cạnh Pn với n > 2. Gọi a là phép
quay mặt phẳng xung quanh tâm của Pn một góc ( có hướng ) bằng 2𝜋/n, còn
b là phép đối xứng qua một đường thẳng đi qua tâm của Pn và một đỉnh của nó.
Khi đó, tất cả các phép đối xứng của Pn ( tức là các biến đổi đẳng cự của mặt
phẳng biến Pn thành chính nó ) được liệt kê như sau:
e, a, a2, …, an-1, b, ab, an-1b
Chúng lập thành một nhóm với phép tốn hợp thành ( hay là tích ) của hai
phép đối xứng, ký hiệu Dn và được gọi là nhóm Dihedral. Nhóm khơng giao
hốn, có cấp 2n và có thể biểu thị
Dn = < a, b | an = e, b2 = e, (ab)2 = e >
1.3. Đồng cấu nhóm
1.3.1. Định nghĩa. Giả sử G và G’ là các nhóm ( với luật hợp thành viết theo
lối nhân ). Một ánh xạ 𝜑: G → G’ được gọi là một đồng cấu nhóm nếu 𝜑 (xy )
= 𝜑 ( x ) 𝜑 ( y ), với mọi x, y ∈ G. Nếu G = G’ thì đồng cấu 𝜑 gọi là một tự
đồng cấu của G
1.3.2. Định nghĩa.
( i ) Một đồng cấu nhóm đồng thời là một đơn ánh được gọi là một đơn cấu

nhóm, hay một phép nhúng của nhóm.
( ii ) Một đồng cấu nhóm đồng thời là một tồn ánh được gọi là một tồn cấu
nhóm.
( iii ) Một đồng cấu nhóm đồng thời là một song ánh được gọi là đẳng cấu nhóm.
Một tự đồng cấu và song ánh gọi là một tự đẳng cấu.

12


1.3.3. Định nghĩa. Giả sử f : G

→ K là một đồng cấu nhóm từ một nhóm

G đến một nhóm K, các phần tử trung lập của G và K được kí hiệu theo thứ
tự là eG và eK . Ta kí hiệu
Imf = f ( G )
Kerf = { x ∈ G | f ( x ) = eK } = f-1 ( eK )
Và gọi Imf là ảnh của đồng cấu f, Kerf là hạt nhân của đồng cấu f.
1.3.4. Định lí. [ 7 ] Giả sử f : G → K là một đồng cấu nhóm từ một nhóm G
đến một nhóm K, H là một nhóm con của G và S là một nhóm con chuẩn tắc
của K. Thế thì:
( i ) f ( A ) là một nhóm con của K.
( ii ) f-1 ( S ) là một nhóm con chuẩn tắc của G.
1.3.5. Hệ quả. [ 7 ] Giả sử f : G → K là một đồng cấu nhóm từ một nhóm G
đến một nhóm K. Khi đó Imf là một nhóm con của K và Kerf là một nhóm
con chuẩn tắc của G.
1.3.6. Định lí. [ 7 ] Giả sử f : G → K là một đồng cấu nhóm từ một nhóm G
đến một nhóm K. Khi đó,
( i ) f là một toàn cấu nếu và chỉ nếu Imf = K.
( ii ) f là một đơn cấu nếu và chỉ nếu Kerf = { eG }.

Giả sử G là một nhóm. Gọi Aut ( G ) là tập hợp tất cả các đẳng cấu nhóm từ G
vào chính nó.
1.3.7. Định lí. [ 7 ] Giả sử f : X → Y là một đồng cấu từ một nhóm X đến
một nhóm Y, p : X → X / Kerf là tồn cấu chính tắc từ nhóm X đến nhóm
thương của X trên hạt nhân của f. Thế thì:
13


( i ) Có một đồng cấu duy nhất 𝑓 ̅ : X / Kerf → Y sao cho tam giác sau
f
X

Y
f̅

p

X / Ker f
là giao hoán, tức là f = 𝑓 ̅ p
( ii ) Đồng cấu 𝑓 ̅ là một đơn cấu và Im𝑓 ̅ = f ( X ).
1.3.8. Hệ quả. [ 7 ] Với mọi đồng cấu f : X → Y từ một nhóm X đến một
nhóm Y, ta có
f ( X ) = X / Kerf
1.3.9. Định nghĩa. Dãy các nhóm và các đồng cấu nhóm
𝜑𝑖−1

…→ Gi – 1 →

𝜑𝑖

Gi → Gi + 1 →….

được gọi là một dãy khớp nếu Im𝜑𝑖−1 = Ker𝜑𝑖 với mọi i.

14


PHẦN 2: NHĨM CON SYLOW VÀ TÍCH BỆN CỦA HAI NHĨM
Phần này trình bày khái niệm p – nhóm con Sylow và tích bện của hai
nhóm cùng những thí dụ minh họa. Mục cuối của phần này trình bày ứng dụng
của tích bện để xây dựng một p – nhóm con Sylow của nhóm đối xứng hữu hạn.
Nội dung của mục này được tham khảo trong [ 5 ] , các chi tiết liên quan có thể
xem trong [ 5 ].
2.1. p – nhóm con Sylow
2.1.1. Định nghĩa. Nhóm H được gọi là một p - nhóm con Sylow của G nếu
H là một p - nhóm con của G và | H | = pn là lũy thừa cao nhất của p chia hết
cho | G |.
2.1.2. Thí dụ .
Thí dụ 1. Phép thế xích 𝛼 = ( 1, 2, …, p ) sinh ra một nhóm con xyclic Cp
cấp p trong nhóm đối xứng Sp . Nhắc lại rằng, | Sp | = p!. Vì thế, nếu p là
một số nguyên tố thì Cp = < 𝛼 > là một p – nhóm con Sylow của Sp .
Thí dụ 2. Gọi T là tập hợp các ma trận tam giác trên của GLn = GL(n,Zp) với
các phần tử trên đường chéo bằng 1, tức là các ma trận có dạng
1 ∗ ∗ …. ∗
0 1 ∗ …. ∗
( 0 0 1 …. ∗ )
……………..
0 0 0 …. ∗
Trong đó kí hiệu * dùng để chỉ một phần tử bất kì trong Z/p
2.1.3. Mệnh đề. [ 5 ] Nếu p là một số nguyên tố, thì T là một p – nhóm con

Sylow của GLn = GL(n,Z/p)
Chứng minh:

Mỗi phần tử * trong ma trận trên có thể nhận một trong p giá

trị tùy ý của Z/p. Do đó, dễ thấy rằng T là một nhóm con của GLn với cấp |T|
= p.p2 …pn – 1

15


Bây giờ ta tính cấp của GLn. Đồng nhất mỗi ma trận A ∈ GLn với dãy có
thứ tự các vectơ hàng của nó a1, a2,… , an ∈ (Z/p)n . Rõ ràng A ∈ GLn nếu
và chỉ nếu hệ a1, …, an độc lập tuyến tính. Gọi L(a1, …, ai) là không gian
vectơ sinh bởi a1, …, ai . Khi đó, để a1 độc lập tuyến tính, có thể chọn tùy ý a1
từ pn – 1 điểm của (Z/p)n\{0}. Giả sử đã có hệ a1, …, ai – 1 độc lập tuyến tính.
Để cho hệ a1, …, ai – 1, ai cũng độc lập tuyến tính, ta có thể chọn tùy ý ai từ
pn - pi – 1 điểm của (Z/p)n\ L(a1, …, ai - 1). Như thế,
|GLn| = (pn – 1) (pn – p)… (pn – pn – 1).
Lũy thừa cao nhất của p chia hết |GLn| chính là |T| = p.p2 …pn – 1. Vậy T
là một p – nhóm con Sylow của GLn.
2.1.4. Định nghĩa. Hai nhóm con S và T của một nhóm G được gọi là liên
hợp nhau, nếu có một phần tử g ∈ G sao cho g-1Sg = T. ( g-1Sg = { g-1Sg /
s ∈ S })
2.1.5. Định lí Sylow thứ nhất. [ 1 ] Cho G là nhóm hữu hạn, p là số nguyên
tố chia hết cấp của G. Khi đó tồn tại một p – nhóm con Sylow của G.
2.1.6. Định lí Sylow thứ hai. [ 1 ] Nếu H là một nhóm con của nhóm hữu hạn
G và H là một p – nhóm, khi đó H chứa trong một p – nhóm con Sylow của
G.
2.1.7. Định lí Sylow thứ ba. [ 1 ] Bất kì hai nhóm p – nhóm con Sylow của

một nhóm hữu hạn G đều liên hợp với nhau. Số sp các p – nhóm con Sylow
phân biệt của G đồng dư 1 modun p và sp chia hết | G |. ( sp đồng dư 1
modun p nếu sp = 1 + kp với k là một số nguyên nào đó ).
Mệnh đề sau là một ứng dụng của các định lí Sylow.
2.1.8. Mệnh đề. [ 1 ] Có duy nhất một nhóm cấp 15. Cụ thể là sai khác một
đẳng cấu có duy nhất một nhóm cấp 15 là nhóm xyclic cấp 15.

16


Chứng minh
Giả sử G là một nhóm cấp 15 theo định lí 2.1.5 G có ít nhất một nhóm
con cấp 3 và ít nhất một nhóm con cấp 5. Theo định lí 2.1.7 có s3 = 1 + 3k
nhóm con cấp 3 và s3 | 15. Nhưng (1 + 3k) | 15 nghĩa là k = 0. Tóm lại G
có một và chỉ một nhóm con cấp 3. Tương tự như vây G chỉ có một và một
nhóm con cấp 5. Những nhóm con này phải là nhóm xyclic. Cho H1 = { 1, 𝛼,
𝛼 2 } là nhóm con cấp 3 và H2 = { 1, b, b2, b3, b4 } là nhóm con cấp 5.
H1 ∩ H2 = { 1 }, bởi vì một phần tử khác đơn vị khơng thể nào đồng thời có
cấp 3 và 5. Xét phần tử ab thuộc G mà bậc của nó phải là 1, 3, 5 hoặc 15.
Nếu ab có cấp 1 thì ab = 1 và a = b-1 là điều khơng thể xảy ra, vì H1 ∩
H2 = { 1 }. Nếu ab có cấp 3 thì gp(ab) = H1, từ đó H1 là duy nhất. Trong
trường hợp ab = ai ( i = 0, 1 hoặc 2 ) và b = ai-1 là không thể xảy ra. Nếu
ab có cấp 5, gp(ab) = H2. Do đó ab = bi ( i = 0, 1, 2, 3 hoặc 4 ) và a = bi – 1
là khơng thể có. Cuối cùng ab có cấp 15 và G là nhóm xyclic cấp 15 sinh
bởi ab.
2.2. Tích bện của hai nhóm
2.2.1. Mệnh đề. [ 5 ]
Giả sử G là một nhóm, n là một số nguyên dương, n > 1, H là một nhóm
con của nhóm đối xứng Sn , và Gn = G ×.....× G (n lần) là lũy thừa Đêcac bậc n
của tập G. Xét tập hợp Gn × H = { (f ; ∝) = (f1,…,fn ; ∝) : fi ∈ G, ∝ ∈ H }

Trên tập hợp Gn × H ta xác định một phép tốn hai ngôi như sau:
(f1,…, fn ; ∝) (g1,…, gn ; 𝛽) = (f1 𝑔∝−1 (1),…, fn 𝑔∝−1(𝑛) ; ∝ 𝛽)
Khi đó tập Gn × H cùng với phép tốn ở trên lập thành một nhóm.
Chứng minh
17


Với mọi fi , gi , hi ∈ G ( i = 1, 2, 3…, n ) và mọi 𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ H, ta có:
[(f1,…,fn ; ∝).(g1,…,gn ; 𝛽)].(h1,…,hn ; 𝛾) =
= (f1 𝑔∝−1 (1),…,fn𝑔∝−1(𝑛) ; ∝ 𝛽) (h1,…,hn ; 𝛾)
= (f1 𝑔∝−1 (1) ℎ𝛽−1𝛼−1 (1) ,…, fn 𝑔∝−1 (n) ℎ𝛽−1𝛼−1 (n) ; 𝛼𝛽𝛾 )
= (f1,…,fn ; ∝).( g1 ℎ𝛽−1(1) ,…, gnℎ𝛽−1(𝑛) ; 𝛽𝛾)
= (f1,…,fn ; ∝).[(g1,g2,…,gn ; 𝛽).(h1,h2,…,hn ; 𝛾)]
Vậy phép tốn có tính chất kết hợp.
Xét phần tử e = ( 𝑒𝐺 ,…, 𝑒𝐺 ; 𝑒𝐻 ) ∈ Gn × H ,với , eG , eH lần lượt là đơn vị
của G và H ,
ta có :
( f1,…,fn ; ∝ ).( 𝑒𝐺 ,…, 𝑒𝐺 , 𝑒𝐻 ) = ( f1,…,fn ; ∝ )
( 𝑒𝐺 ,…, 𝑒𝐺 , 𝑒𝐻 ). ( f1,…,fn ; ∝ ) = ( f1,…,fn ; ∝ )
Với mọi fi ∈ G ( i = 1, 2, 3…, n ) và mọi 𝛼 ∈ H.
Vậy e = ( 𝑒𝐺 ,…, 𝑒𝐺 ; 𝑒𝐻 ) là phần tử trung lập của phép toán.
−1
−1
Phần tử nghịch đảo của ( f1,f2,…,fn ; ∝) là : ( 𝑓𝛼(1)
,…, 𝑓𝛼(𝑛)
; 𝛼 −1 )
−1
−1
Thật vậy : ( f1,…,fn ; ∝ ). ( 𝑓𝛼(1)
, … , 𝑓𝛼(𝑛)

; 𝛼 −1 ) = (𝑒𝐺 ,…, 𝑒𝐺 , 𝑒𝐻 )
−1
−1
(f1 , … , fn ; ∝)−1 . ( 𝑓𝛼(1)
,…, 𝑓𝛼(𝑛)
; 𝛼 −1 ) = (𝑒𝐺 ,…, 𝑒𝐺 , 𝑒𝐻 )

Vậy Gn × H là một nhóm. Mệnh đề đã được chứng minh.

18


2.2.2. Định nghĩa tích bện.
Nhóm Gn × H được xác định như trên gọi là tích bện của nhóm G với
nhóm H, và kí hiệu G ∫ H.
Rõ ràng nếu G là một nhóm hữu hạn thì G ∫ H cũng vậy. Cụ thể hơn
| G ∫ H | = |Gn × H| = |Gn| .|H| = |G|𝑛 . |H|
2.2.3. Thí dụ.
Thí dụ 1. Giả sử G là nhóm xyclic cấp 2 sinh bởi phần tử a, và
H = S2
G = < a > = { e, a }, e là phần tử đơn vị của G
S2 = { idG , 𝛼 }, với idG là song ánh đồng nhất trên tập { 1, 2 }, và 𝛼 là song
ánh
𝛼 = (

1
2

2
) . Khi đó ta có:

1

G ∫ H = G2 × H = {(e, e; 1), (e, a; 1), (a, e; 1), (a, a; 1), (e, a; ∝), (e, e; ∝),
(a, e; ∝), (a, a; ∝)}.
Phần tử đơn vị của nhóm này là e = ( eG , eG ; idG )
Đặt x = ( e, a; 𝛼 ) và y = ( e, a; idG ) , ta dễ dàng kiểm tra được
Ord ( x ) = 4 , y2 = e , xy = yx-1
Khi đó nhóm G ∫ H có biểu diễn như sau
G ∫ H = < x, y / x4 = e , y2 = e , xy = yx-1 >

19


Nhóm này là một nhóm khơng giao hốn cấp 8, thường được kí hiệu D4 ,
và gọi là nhóm dihedral.
Thí dụ 2. Giả sử G là nhóm xyclic cấp 2 sinh bởi phần tử a, và H là
một nhóm con cấp 2 của nhóm đối xứng S3 , H = { idG , 𝛼 } với idG là song
ánh đồng nhất trên tập { 1, 2, 3 }, và 𝛼 là song ánh 𝛼 = (

1
3

2 3
)
2 1

G = < a > = { e, a }, a là phần tử đơn vị của G
G ∫ H = G3 × H = {(e, e, e; idG ), (e, e, a; idG), (e, a, e; idG), (a, e, e; idG),
(a, a, a; idG), (a, a, e; idG), (a, e, a; idG), (e, a, a; idG), (e, e, e; ∝), (e, e, a; ∝ ),
(e, a, e; ∝ ), (a, e, e; ∝), (a, a, a; ∝), (a, a, e; ∝ ), (a, e, a; ∝ ), (e, a, a; ∝ )}.

Phần tử đơn vị của nhóm này là e = ( eG , eG , eG ; idG ).
Đặt x = ( a , a , e ; 𝛼 ) , y = ( a , e , a ; idG ) và z = ( a , a , e ; idG), ta dễ
dàng kiểm tra được :
Ord ( x ) = 4 , y2 = x2 = z2 = e , xy = yx , zy = yz và zxz = x3
Khi đó nhóm G ∫ H có biểu diễn như sau
G ∫ H = < x , y , z / x4 = y2 = z2 = e , xy = yx , zy = yz , zxz = x3 >
Nhóm G ∫ H là một nhóm khơng giao hốn cấp 16.
Nhóm con sinh bởi hai phần tử x , z ∈ G ∫ H , là nhóm
D4 = < x , z / x4 = z2 = e , zxz = x3 >
Gọi C2 = < y > , khi đó có thể kiểm chứng được G ∫ H ≅ D4 × C2 .

20


Thí dụ 3. Giả sử G là nhóm xyclic cấp 3 , và H là một nhóm con cấp
3 của nhóm đối xứng S3 , H = { idG, 𝛼, 𝛼 2 } với idG là song ánh đồng nhất
trên tập { 1, 2, 3 }, 𝛼 là song ánh 𝛼 = (

1 2 3
1 2
) , 𝛼2 = (
3 1 2
2 3

3
)
1

G = Z3 = { 0̅ , 1̅ , 2̅ }, 0̅ là phần tử đơn vị của G
G ∫ H = G3 × H = {( 0̅, 0̅, 0̅ ; idG), (1̅, 0̅, 1̅ ; idG), (2̅, 0̅, 2̅; idG),

(1̅, 2̅, 1̅; idG), (1̅, 1̅, 1̅ ; idG), ( 2̅, 1̅, 2̅; idG), (2̅, 2̅, 2̅; idG), (0̅, 2̅, 2̅; idG),
̅ 2̅, 1̅; idG), (1̅, 0̅, 2̅ ; idG), (2̅, 0̅, 1̅; idG),
(0̅, 1̅, 1̅; idG), (1̅, 1̅, 2̅ ; idG ), (2,
(1̅, 2̅, 0̅ ; idG), ( ̅0, 1̅, 2̅; idG), (0̅, 0̅, 1̅; idG), (0̅, 0̅, 2̅ ; idG), (0̅, 1̅, 0̅; idG),
(0̅, 2̅, 0̅; idG), (1̅, 0̅, 0̅; idG), ( 2̅, 0̅ , 0̅; idG), (1̅, 1̅, 0̅; idG), (1̅, 2̅, 0̅; idG),
( 2̅, 2̅ , 0̅; idG), ( 2̅, 1̅, 0̅; idG), ( 2̅, 1̅ , 1̅; idG), ( 0̅, 2̅ , 1̅; idG), ( 0̅, 0̅, 0̅ ; 𝛼),
(1̅, 0̅, 1̅ ; 𝛼), (2̅, 0̅, 2̅; 𝛼), (1̅, 2̅, 1̅; 𝛼), (1̅, 1̅, 1̅ ; 𝛼 ), ( 2̅, 1̅, 2̅; 𝛼 ), (2̅, 2̅, 2̅; 𝛼),
̅ 2̅, 1̅; 𝛼), (1̅, 0̅, 2̅ ; 𝛼 ), (2̅, 0̅, 1̅; 𝛼),
(0̅, 2̅, 2̅; 𝛼), (0̅, 1̅, 1̅; 𝛼 ), (1̅, 1̅, 2̅ ; 𝛼 ), (2,
(1̅, 2̅, 0̅ ; 𝛼), (0̅, 1̅, 2̅; 𝛼 ), (0̅, 0̅, 1̅; 𝛼 ), (0̅, 0̅, 2̅ ; 𝛼), (0̅, 1̅, 0̅; 𝛼), (0̅, 2̅, 0̅; 𝛼),
(1̅, 0̅, 0̅; 𝛼), (2̅, 0̅ , 0̅; 𝛼),(1̅, 1̅, 0̅; 𝛼 ), (1̅, 2̅, 0̅; 𝛼), ( 2̅, 2̅ , 0̅; 𝛼), ( 2̅, 1̅ , 0̅; 𝛼),
( 2̅, 1̅ , 1̅; 𝛼), ( 0̅, 2̅ , 1̅; 𝛼), ( 0̅, 0̅, 0̅ ; 𝛼 2 ), (1̅, 0̅, 1̅ ;𝛼 2 ), (2̅, 0̅, 2̅; 𝛼 2 ), (1̅, 2̅, 1̅;
𝛼 2 ), (1̅, 1̅, 1̅ ; 𝛼 2 ), ( 2̅, 1̅, 2̅; 𝛼 2 ), (2̅, 2̅, 2̅; 𝛼 2 ), (0̅, 2̅, 2̅; 𝛼 2 ), (0̅, 1̅, 1̅; 𝛼 2 ),
̅ 2̅, 1̅; 𝛼 2 ), (1̅, 0̅, 2̅ ; 𝛼 2 ), (2̅, 0̅, 1̅; 𝛼 2 ), (1̅, 2̅, 0̅ ; 𝛼 2 ),
(1̅, 1̅, 2̅ ; 𝛼 2 ), (2,
(0̅, 1̅, 2̅; 𝛼 2 ), (0̅, 0̅, 1̅; 𝛼 2 ), (0̅, 0̅, 2̅ ; 𝛼 2 ), (0̅, 1̅, 0̅; 𝛼 2 ), (0̅, 2̅, 0̅; 𝛼 2 ),
(1̅, 0̅, 0̅; 𝛼 2 ), (2̅, 0̅ , 0̅; 𝛼 2 ), (1̅, 1̅, 0̅; 𝛼 2 ), (1̅, 2̅, 0̅; 𝛼 2 ), ( 2̅, 2̅ , 0̅; 𝛼 2 ),
( 2̅, 1̅ , 0̅; 𝛼 2 ), ( 2̅, 1̅ , 1̅; 𝛼 2 ), ( 0̅, 2̅ , 1̅; 𝛼 2 )}
Phần tử đơn vị của nhóm này là e = ( ̅0, 0̅, 0̅; idG ).
Đặt x = ( 1̅, 0̅, 1̅ ; 𝛼 ),

y = ( 0̅, 2̅ , 1̅ ; idG ),

z = ( 2̅, 2̅, 1̅ ; idG ),

t = (2̅, 2̅, 2̅; idG), ta dễ dàng kiểm tra được :

21

Ord ( x ) = 9 , x3 = t , y3 = t3 = z3 = 1 , zy = yz , ty = yt ,
zt = tz ,

x-1yx = yt , x-1zx = yz , x-1tx = t

Khi đó nhóm G ∫ H có biểu diễn như sau
G ∫ H = < x , y , z , t / x3 = t , y3 = t3 = z3 = 1 , zy = yz ,
ty = yt , zt = tz ,

x-1yx = yt , x-1zx = yz , x-1tx = t >

Nhóm G ∫ H là một nhóm khơng giao hốn cấp 81.
2.3. Xây dựng p – nhóm con Sylow của nhóm đối xứng hữu hạn
Nội dung của mục này được tham khảo trong [ 5 ] , các chi tiết liên quan
có thể xem trong [ 5 ]
2.3.1 Mệnh đề. [ 5 ]
Giả sử G ∫ H là tích bện của một nhóm G với một nhóm con H của
nhóm đối xứng Sn , và Gn là nhóm tích trực tiếp G × G × G … G ( n lần ).
Khi đó các ánh xạ sau
𝜑:

Gn

→ G∫H

x = ( f1, f2,…, fn ) ↦ 𝜑 ( x ) = ( f1, f2,…, fn ; eH )
Ψ:

H → G∫H
𝛼

↦ Ψ (𝛼 ) = ( 𝑒𝐺 ,…, 𝑒𝐺 ; 𝛼 )

là các đơn cấu nhóm.
Chứng minh
∀ x, y ∈ Gn , x = ( f1, f2,…, fn ) , y = ( g1, g2,…, gn )
 xy = ( f1g1, f2g2, …, fngn ) ∈ Gn.

22


𝜑 ( xy ) = ( f1g1, f2g2, …, fngn ; eH )
= ( f1, f2,…, fn ; eH ) ( g1, g2,…, gn ; eH )
= 𝜑 ( x ) .𝜑 ( y )
Suy ra 𝜑 là một đồng cấu.
Hơn nữa x = ( f1, f2,…, fn ) ∈ Ker 𝜑 ↔ ( f1, f2,…, fn ; eH ) =
= 𝑒G ∫

H

= ( 𝑒𝐺 ,…, 𝑒𝐺 ; eH )

⇔ fi = eG , ∀ i = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛
⇔ x = 𝑒𝐺 𝑛
Vậy 𝜑 là một đơn cấu.
Việc chứng minh Ψ đơn cấu là hoàn toàn tương tự.
Mệnh đề đã được chứng minh.
Hai đơn cấu ở mệnh đề trên cho phép ta đồng nhất Gn với nhóm con sau
đây của G ∫ H.

Gn ≡ { ( f1, f2,…, fn ) ; eH : fi ∈ G } ≤ G ∫ H.
và đồng nhất H với nhóm con sau đây của G ∫ H
H ≅ {( eG,…,eG ; 𝛼 ) : 𝛼 ∈ H } ≤ G ∫ H
2.3.2. Mệnh đề . [ 5 ]
i) Nhóm con Gn là một nhóm con chuẩn tắc của G ∫ H
ii) Ánh xạ sau đây

23


𝜋: G∫H

→ H

( f1, f2,…, fn ; ∝) ↦ 𝛼
là một đồng cấu nhóm, nó cảm sinh một đẳng cấu nhóm (G ∫ H) / Gn ≅ H.
Xem Gn và H là hai nhóm con của G ∫ H , ta có
G ∫ H = Gn . H
Gn ∩ H = {e} = {(eG,…, eG ; eH)}
Những tính chất nói trên của tích bện có thể diễn đạt qua ngơn ngữ dãy
khớp như sau
2.3.3. Mệnh đề. [ 5 ]

Dãy sau đây là một dãy khớp
𝑖

𝜋

1 → 𝐺 𝑛 → 𝐺 ∫ 𝐻 → 𝐻 → 1,
trong đó i là phép nhúng, 𝜋 là phép chiếu như trong mệnh đề 2.2.2, và 1 nhóm

tầm thường.
2.3.4. Mệnh đề. [ 5 ] Cho tích bện G ∫ 𝐻 . Kí hiệu diag Gn là tập con
{ ( g, …, g ; 𝑒𝐻 ) / g ∈ 𝐺 } ⊂ G ∫ 𝐻 . Khi đó
i)

diag 𝐺 𝑛 ≤ 𝐺 ∫ 𝐻 , và diag 𝐺 𝑛 ≅ 𝐺

ii)

( diag 𝐺 𝑛 ). H = { ( g, …, g ; 𝛼 ) : g ∈ G , ∝ ∈ 𝐻 } ≤ 𝐺 ∫ 𝐻

và

( diag 𝐺 𝑛 ). H ≅ 𝐺 × 𝐻

2.3.5. Mệnh đề. [ 5 ] Giả sử G ≤ Sm và H ≤ Sn , khi đó ánh xạ sau là đơn
cấu
𝛹∶

𝐺 ∫𝐻

→

𝑆𝑚𝑛

24


… ( j−1 )m + i …

( f1, …, fn ; ∝ ) ↦ ( ( α ( j )−1)m + f
)
α(j)(i)

1 ≤i ≤m ,1 ≤j ≤n

Đơn cấu ở mệnh đề trên cho chúng ta xem G ∫ H là một nhóm con của
nhóm Smn khi G ≤ Sm và H ≤ Sn .
Thí dụ. Với G = H = S3 , phần tử
( f1, f2, f3 ; ∝ ) = ( (1,2) , (1,2,3) , (1,3) ; (2,3) ) ∈ S3 ∫ 𝑆3 , được ánh xạ
𝛹 chuyển thành phép thế sau :
𝛹 ( f1, f2, f3 ; ∝ ) = 𝛹 ( f1, f2, f3 ; eH ) . 𝛹 ( eG, eG, eG ; ∝ )
= (1, 2). (4, 5, 6). (7, 9). (4, 7). (5, 8). (6, 9)
= (1, 2). (4, 9). (5, 8, 6, 7 ) ∈ 𝑆9
Bây giờ, ta xét nhóm xyclic Cp cấp p , sinh bởi phép thế ( 1, 2,…, p )
trong Sp
Cp = < (1, 2,…, p ) > ≤ Sp
Với phép nhúng 𝛹 xây dựng trong mệnh đề trên, ta có :
Cp ∫ 𝐶𝑝 ≤ 𝑆𝑝2 , ( Cp ∫ 𝐶𝑝 ) ∫ 𝐶𝑝 ≤ 𝑆𝑝3 …
Một cách tổng quát, ta kí hiệu
Wn : = (…
⏟ ( 𝐶𝑝 ∫ 𝐶𝑝 ) … ) ∫ 𝐶𝑝 ≤ 𝑆𝑝𝑛
𝑛 𝑙ầ𝑛

2.3.6. Mệnh đề. [ 5 ] Nếu p là một số nguyên tố thì Wn là một p – nhóm
con Sylow của Spn , với mọi n.
Chứng minh

25