Giải pháp để giải nhanh các bài toán nguyên hàm và tích phân hàm ẩn trong chương trình THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI NHANH CÁC BÀI TỐN
NGUN HÀM VÀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN TRONG
CHƯƠNG TRÌNH THPT

Người thực hiện: Phạm Thị Nga
Chức vụ: Tổ phó chun mơn
SKKN thuộc mơn: Tốn

THANH HĨA NĂM 2021

MỤC LỤC


MỤC LỤC

Trang
1. MỞ ĐẦU
1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.....................................................................
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU........................................................ ...
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.........................................................
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ...................................................
2. NỘI DUNG SKKN
2.1. CƠ SỞ LÝ LUẬN............................................................................
2.1.1. Định nghĩa nguyên hàm, tích phân...............................................
2.1.2.

Tính
chất
tích
phân……………………........................................
2.1.3. Một số phương pháp tính tích phân..............................................
2.2.THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SKKN............
2.3. GIẢI PHÁP.................................................................................. ...
2.3.1. Dạng toán sử dụng định nghĩa và các tính chất của nguyên hàm
và
tích
phân
........
………………….......................................................
2.3.1.1. Sử dụng các tính chất tích phân.................................................
2.3.1.2. Sử dụng định nghĩa nguyên hàm, tích phân...............................
2.3.1.3. Sử dụng định nghĩa nguyên hàm, tích phân kết hợp với các
cơng thức tính đạo hàm...........................................................................
2.3.2. Dạng tốn sử dụng phương pháp đổi biến số để giải...................
2.3.3. Dạng tốn sử dụng phương pháp tích phân từng phần để
giải...............................................................................................................
.
2.3.4. Dạng tốn sử dụng bài tốn phụ về tích phân hàm liên tục
không âm để giải.....................................................................................
2.4. HIỆU QUẢ CỦA SKKN ................................................................
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. KẾT LUẬN.....................................................................................
3.2. KIẾN NGHỊ....................................................................................
Tài liệu tham khảo
Danh mục các đề tài sáng kiến kinh nghiệm
PHỤ LỤC

1
1
1
2
2
2
2
2
4
5
5
5
5
6
13
16
17
19
20
20


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Đề thi thử THPTQG, thi KSCL mơn Tốn 12 của các trường THPT, các Sở
GD&ĐT trên toàn quốc từ năm 2017- 2020.
[2] Đề minh họa, đề chính thức THPTQG của Bộ GD&ĐT từ năm 2017- 2020.
[3] Giải tích 12 – Tác giả: Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương,
Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất – Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam năm 2006.
[4] Website: toanmath.com.

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Phạm Thị Nga.
Chức vụ: Tổ phó chuyên môn.
Đơn vị công tác: Trường THPT Vĩnh Lộc, huyện Vĩnh Lộc, tỉnh Thanh Hóa.

TT

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá xếp
loại
(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh; Tỉnh...)

Nhìn nhận mới về bài tốn so
sánh nghiệm của phương trình
bậc hai với một số

Sở GD và ĐT
Thanh Hóa.

Phân loại bài tập giải phương
trình và bất phương trình vơ tỷ

Sở GD và ĐT
Thanh Hóa.

Một số sai lầm thường gặp khi
áp dụng bất đẳng thức Cauchy

Sở GD và ĐT
Thanh Hóa.

Hướng dẫn học sinh giải bài
tốn hình học tọa độ phẳng Oxy
bằng nhiều cách

Sở GD và ĐT
Thanh Hóa.

Sử dụng các phương pháp dạy
học tích cực để hướng dẫn học
sinh giải bài tốn tính khoảng

cách và thể tích trong hình học
khơng gian

Sở GD và ĐT
Thanh Hóa.

Phát triển tư duy cho học sinh
thơng qua việc xây dựng
phương pháp giải bài tốn đếm
trong chương trình THPT

Sở GD và ĐT
Thanh Hóa.

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B, hoặc
C)

Năm học
đánh giá
xếp loại

C

2011

C

C

C

2013

2014

2015

C

2017

C

2020


PHỤ LỤC
2.3.1 Dạng tốn sử dụng định nghĩa và tính chất nguyên hàm, tích phân.
2.3.1.1. Sử dụng các tính chất tích phân:
Bài tập tương tự:
��
0;
Bài 1: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn �
và thỏa mãn
� 2�
�


2


2


2

0

0

0

. Đáp số: I  0
f '  x  .sin xdx  1, �
f  x  .cos xdx  1 . Tính I  �
�
�f  x  .sin x �
�'dx
�

Bài 2: Cho f ,

g

là hai hàm liên tục trên

3

 1;3 thỏa

điều kiện

3

dx  10
�
�f  x   3g  x  �
�
�

đồng

2 f  x  g  x �
dx  6 .
�
�
�
�

thời

1
3

Tính

1

dx .Đáp số: 6
�
�f  x   g  x  �
�
�
1

Bài 7: Cho
2

2

2

1

1

3 f  x   2g  x  �
dx  1 , �
2 f  x  g  x �
dx  3 .
�
�
�
�
�
�
�

f  x  dx bằng. Đáp số:
�
1

2

Khi đó,

5

f  x  dx  
�
7
1

2.3.1.2. Sử dụng định nghĩa nguyên hàm, tích phân:
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hàm số f  x  xác định trên �\  2;2 và thỏa mãn
4
f�
 x   2 ; f  3  0, f  0  1 và f  3  2 .Tính giá trị biểu thức P  f  4  f  1  f  4  .
x 4
1
Bài 2: Cho hàm số f  x  xác định trên �\  2;1 thỏa mãn f �
 x  2
;
x x2
1
f  3  f  3  0 và f  0   . Tính giá trị của biểu thức f  4   f  1  f  4 
3

2.3.1.3. Sử dụng định nghĩa tích phân kết hợp với các cơng thức tính đạo
hàm:
Dạng 1: Sử dụng định nghĩa tích phân kết hợp với đạo hàm hàm tích.
Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thức u  x  . f �
 x   u�
 x . f  x  g  x .
Biết trước u  x  , g  x  . Tìm f  x  ?
Bài tập tương tự:


Bài 1: [Mức độ 3] Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa
1

ex �
dx  ae  b . Tính a 2018  b 2018 ?
mãn f  0   f  1  1 . Biết rằng �
�f  x   f '  x  �
�
0

Bài 2: [Mức độ 3] Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;4 , thỏa
mãn f  x   f �
 x   e x 2 x  1 với mọi x � 0;4 . Tính e4 f  4   f  0 
Bài 3: [Mức độ 3] Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên �, thỏa mãn
f '  x   2018 f  x   2018 x 2017 e 2018 x với mọi x �� và f  0   2018 . Tính giá trị f  1 . ?
Tổng quát ta có cơng thức giải nhanh cho một số dạng sau
+ f�
 x   kf  x   k �� � f  x   Cekx .

+ f�

 x  g  x f  x  k  x � e



� e

G x 

f  x

� f  x  e

G x 

f�
 x  g  x e

G x 

f  x  k  x e

G x 

.

k  x  e   dx
 � k  x  e   � e   f  x   �

G x 

G x

k  x e
�

G x 

G x

G x

dx (trong đó G ( x) là một nguyên hàm của g ( x ) )

Bài tập tương tự:
Bài 1:[Mức độ 4] Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0; � thỏa mãn
f  1  2ln 2 và x  x  1 . f �
 x   f  x   x 2  x . Giá trị
điều kiện
9
f  2   a  b ln 3 , với a, b ��. Tính a 2  b 2 . Đáp số a 2  b 2  .
2
f
(
x
)
Bài 2: [Mức độ 3] Tìm hàm
có đạo hàm trên � và thỏa mãn

f�
( x)  xf ( x)  xe

 x2

x2
2

; f (0)  2020. Đáp số: f ( x)  e  x  2021.e
Bài 3: [Mức độ 3 ] Tìm hàm f ( x) có đạo hàm trên � và thỏa mãn
f�
( x)  cosx. f ( x)  x sin x.e  s inx . Đáp số: f ( x)   cos x  sin x  C  e  sin x .
2



Bài 4: [Mức độ 3 ]Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm và liên tục tục trên
2
2
� thỏa mãn f �
 x   2 xf  x   2 x.e x và f  0   1 . Tính f  1 . Đáp số f  1  e .
Dạng 2: Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thức
u  x f �
 x   u�
 x  f  x   h  x  ,  2  Biết trước u  x  , h  x  . Tìm f  x  ?

Bài tập tương tự:
Bài 1: [Mức độ 3] Cho hàm số f  x  liên tục và có đạo hàm trên đoạn
 0;1 thỏa mãn xf �
 x   f  x   x 2 , với mọi x � 0;1 và f  1  1 . Tính tích phân
1
1

1
xf
x
d
x
xf
x
d
x

.
Đáp
án
.




�
�
0
0
4
Bài 2: [Mức độ 3] Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  1;2
thỏa mãn f  1  4 và f  x   xf �
 x   2 x3  3x 2 . Tính f  2  . Đáp án: f  2   20 .


Đặc biệt: Bài tốn tích phân liên quan
f�

 x   p  x  . f ( x)  0 . Biết trước p( x) . Tìm f  x  ?
Bài tập tương tự:

đến

đẳng

thức

��
0; ,
Bài 1: [Mức độ 3] Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên đoạn �
� 2�
�
� �
thỏa mãn f  x   0, x �� và f '  x   2sin x. f  x   0 . Biết f � � 2 , tính
�2 �
� � 2
f  0  . Đáp số: f  0   f � �
.e  2e 2 .
�2 �
Bài 3: [ Mức độ 4] Cho hàm số f  x  có đạo hàm xác định, liên tục trên

�
 0   1 và �
đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện f �
 x �
 x .
�f �
� f �

Tính giá trị của biểu thức T  f  1  f  0  . Đáp án: T   ln 2 .
Dạng
3:
Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thức
f�
 x  g  f  x    k  x  . Biết trước g  x  ,k  x  và một nguyên hàm của hàm
2

g  x  . Tìm f  x  ?
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên � và thỏa mãn
3
2
2x
3f �
( x ).e f ( x ) x 1  2
 0 với x ��. Biết f (0)  1 , tính tích phân
f ( x)
7

I

x. f ( x)dx . Đáp số:
�
0

45
8

Bài 2: [Mức độ 3] Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên �; f  x   0 ,

100
f  1  1 và f �
 x   x. f  x  , x  0 . Tính giá trị f  4  . Đáp số: f  4   .
9
Dạng 4: Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thức
n
f�
 x  p  x .�
�f  x  �
� 0
Bài tập tương tự:
1
và
5
4
2
f
1
f
1


x
��




f�
f

x
�
với
mọi
.
Giá
trị
của
bằng?
Đáp
án:
.
 x   x3 �


�
�
5
Bài 2: [Mức độ 3] Cho hàm số f  x  �0, x ��, thỏa mãn điều kiện
1
f '  x    2 x  3 . f 2  x  và f  0    . Tính tổng f  1  f  2   ...  f  2018  .
2
1
1009
� f  1  f  2   ...  f  2018   
Đáp số: f  x   
 x  1  x  2 
2020
Bài 1: [Mức độ 4] Cho hàm số f  x  �0 thỏa mãn f  2   

Bài 3: [Mức độ 3] Cho hàm số f  x  có đạo hàm xác định và liên tục với
2
�
�
�
f
x
�


�
'
�
�  f " x 
mọi x � 0;1 , thỏa mãn f  0   1 và �
với mọi x � 0;1 .
 x  �0
�
�f �
Tính T  f  1  f  0  ? Đáp số f  1  f  0    ln 2 .

2.3.2. Dạng toán sử dụng phương pháp đổi biến số để giải.
b

u (b)

a

u (a )

f(u ( x))u '( x) dx 
Dạng 1: Tích phân dạng I  �

�f(u)du.

Bài tập tương tự:
2017

�f  x  dx  2.

Bài 1. Cho

2017

Tính tích phân I 

1

I  2.

�f  2018  x  dx .

Đáp án:

1


2


2

0

0

Bài 2. Cho I  cos x. f  sin x  dx  2017 . Tính tích phân J  sin x. f  cos x  dx.
�
�
Đáp án J  2017 .


8

1

2017
f  x  dx  2017. Tính tích phân I  f  tan 2 x  dx. Đáp án I 
Bài 3. Cho �
.
�
4
0
1

cos
4
x
0

Bài

4.

Cho

hàm

số

f  x

có

đạo

hàm

liên

f  2016   a, f  2017   b  a, b�� . Tính tích phân I  2015

tục

trên

� và

2016

�f � x  . f

2014

 x  dx.

2017

Đáp số I  a

2015

b

2015

.

Bài 5. Cho hàm số f  x  liên tục trên � và
Đáp số I  3.
Bài 6. Cho hàm số f  x  liên tục trên � và

2

tích phân I  cos x. f  sin x  dx.
�

2

1

0

1

f  x  dx  3. Tính I  �
f  2 x  dx.
�
1
2

1
2

0

1
4

f  x  dx  3, �
f  2 x  dx  10. Tính
�

Đáp số I  23.

0

Bài 7. Cho hàm số f  x  liên tục trên � và



4

x2 f  x 
f  tan x  dx  4, �2
dx  2.
�
x

1
0
0

1

f  x  dx.
Tính tích phân I  �
0

Đáp số: I  6.

1


 

f x
Bài 8. Cho hàm số f  x  liên tục trên � và �
dx  4,
x
1

9


2

3

f  x  dx.
f  sin x  cos xdx  2. Tính tích phân I  �
�

Đáp án I  4.

0

0

Dạng 2: Kết hợp giữa việc khai thác tính chẵn lẻ của hàm số kết hợp
với phương pháp đổi biến số
Bài tập tương tự:
�  �
 ;
Bài 1: [Mức độ 3] Cho hàm số y  f  x  liên tục trên �
và thỏa mãn
�2 2�
�
2 f  x   f   x   cos x. Tính tích phân I 


2

�f  x  dx.




2

2
Đáp án: I  .
3

1
,
x  x4
f  1  a , f  2   b . Tính giá trị của biểu thức f  1  f  2  . Đáp số: b  a .
2.3.3. Dạng toán sử dụng phương pháp tích phân từng phần để giải.
Bài tập tương tự

 x 
Bài 2: Cho hàm số f  x  xác định trên �\  0 và thỏa mãn f �

2


2

Bài 1: Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên � thỏa mãn sin x. f  x  dx  f  0   1 .
�
0


2


2

0

0

Tính tích phân cos x. f �
cos x. f �
 x  dx  0 .
�  x  dx . Đáp số: �
��
0;
Bài 2: [Mức độ 2] Cho hàm số f  x  có đạo hàm đến cấp hai trên �
và
� 2�
�
� �
��
�
0;
 x   f  x  , x ��
thỏa mãn f  0   1, f �
. Tính
� � a, f �
�2 �

� 2�
�


2

f  x  .sin x dx
�
0


2

theo a . Đáp số: I  f  x  sin x dx  1  a .
�
2
0
��
0; thỏa mãn
Bài 3: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn �
� 4�
�




4
� �
 x  dx    ln 2 . Tính I  4 tan f x dx . Đáp số: I   ln 2 .
tan f � � 1 và x. f �

 
2
�
�
�4 �
2
cos
f
x
4
2


0
0
2.3.4. Dạng toán sử dụng bài toán phụ về tích phân hàm liên tục khơng âm
để giải.


Bài tập tương tự
Bài 1: [Mức độ 4] Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và
1

1
f  0   f  1  0 . Biết �
�
�f  x  �
�dx  2 ,
0
2

1

f  x  dx. Đáp số:
Tính I  �
0

1



1

f�
 x  cos   x  dx  .
�
2
0

2

f  x  dx  .
�

0

��
0;
Bài 2: [Mức độ 4] Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên �
thỏa mãn

� 2�
�

2


2





2
2
,
 , f � � 0 . Tính 2
.
Đáp
số:
��
�
cos x. f  x  dx 
f  x  dx
f  x  dx  1
 x �
�f �
�dx  4 �
�
�
�

�2 �
4
0
0
0
0
Bài tập tổng hợp các phương pháp:
Ví dụ: Cho hàm số y  f  x  liên tục và có đạo hàm trên R \  1;0 thỏa mãn
x( x  1) f �
( x)  f ( x)  x 2  x với x �R \  1;0 và f (1)  2ln 2 . Tính tích
2

xf ( x)dx
phân �
1

1
dx
Phân tích: Trước hết ta đi tìm biểu thức u ( x) .Ta có ln u ( x)  �
x( x  1)
1 �
x
x
�1
� ln u ( x)  �
dx � ln u ( x) 
 c , nên ta chọn u ( x) 
, từ
�
�

x 1
x 1
�x x  1 �
đó ta có lời giải
� 1
x
x
1
Lời giải: � . f ( x) �
�
f
(
x
)

.
f
(
x
)

. f ( x)  x( x  1) f �
( x) 
2
�
�
x 1
( x  1) 2
�x  1
� ( x  1)

� 1
� x
x
x
�x
�
�x
�
2
�
. f ( x)  � dx
�
�
� � . f ( x) �
.
x

x
�
.
f
(
x
)

2
� �
�
x 1
�x  1

� ( x  1) �
�x  1
� x 1 x 1
x
1 �
x
�
�
. f ( x)  �
1
dx �
. f ( x)  x  ln x  1  c .
�
�
x 1
x 1
� x 1�
1
Do f (1)  2ln 2 � .(2ln 2)  1  ln 2  c � c  1
2
x 2  1  ( x  1).ln x  1
x
.
�
. f ( x)  x  ln x  1  1 � f ( x) 
x 1
x
2

2

xf ( x)dx  �
Khi đó I  �
 x 2  1  ( x  1).ln  x  1  .dx
1

1

2

2

�x3
� 2
4
Với I  ( x  1).ln x  1 .dx
 �  x�  �
( x  1).ln  x  1 .dx   I1.


1
�
3
1
�3
�
1
1

1
�
du

dx
2
2
�
u  ln( x  1)
�
� x 1
1
1
�
�
2
�� 2
� I1  � ( x  1) .ln( x  1) �  �
Đặt �
 x  1 dx
dv

(
x

1)
dx
x
1
1

2
2
2
�
�1
�
�v   x    x  1
1
� 2
2 2
2

� 9
9
1 �x 2
5
� I1  ln 3  2ln 2  �  x �  ln 3  2ln 2 
2
2 �2
2
4
�
1
4
4 �9
5 � 31 9
Khi đó I   I1   � ln 3  2ln 2  �  ln 3  2ln 2 .
3
3 �2
4 � 12 2

Bài 3: [Mức độ 4] Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên khoảng
�3�
1�

a
f
 0;1 và f  x  �0 , x � 0;1 . Biết rằng f �
,
� � b và
��
�2 �
�2 �
x  xf �
 x   2 f  x   4 , x � 0;1 .

3

sin 2 x.cos x  2sin 2 x
I

dx theo a và b .
Tính tích phân
2
�
f
sin
x




6

 x   2 f  x   4 � x  4  2 f  x   xf �
 x
Lời giải x � 0;1 ta có: x  xf �
2
�
2
x

x 2  4 x 2 xf  x   x f �
� x2 �
2
2
x

4
x
� x  4 x  2 xf  x   x f �
 x � 2 
� 2
�
�
f  x
f 2  x
f  x  �f  x  �

3



3

sin x.cos x  2sin 2 x
sin 2 x.cos x  4sin x.cos x
dx  �
dx
Tính I  �
2
2
f
sin
x
f
sin
x






2

6

6


1


3
�t  , x  �t 
.
6
2
3
2
2
2
� 3 � �1 �
� � ��
2
3
1 3a  b
2


 � � ��
.
4ab
� 3 � �1 � 4b 4a
f� � f��
2
�2 � � �

Đặt t  sin x � dt  cos xdx , đổi cận x 

Ta có I 

3

2

t  4t
t
dt 
2
�
f  t
1 f  t
2

2

2

3
2
1
2

Câu 8. Cho hàm số f  x  liên tục trên � và thỏa mãn
e

2

f  ln 2 x 

�x ln x
e

f  2x 
I

� x dx.
dx  1. Tính tích phân
2

1
4


4

tan x. f  cos x  dx  1,
�
0

2



4

Lời giải. Xét A  tan x. f  cos 2 x  dx  1 . Đặt t  cos 2 x. Suy ra
�
0

dt  2sin x cos xdx  2cos 2 x tan xdx  2t.tan xdx � tan xdx  

dt

.
2t

�x  0 � t  1
�
Đổi cận: � 
1.
x

�
t

�
� 4
2
1
2

1
1
1
f  x
1 f  t
1 f  t
1 f  x
Khi đó 1  A   � dt  � dt  � dx � � dx  2.
21 t
21 t
21 x
x

1
2

f  ln x 
dx  1. Đặt u  ln 2 x.
Xét B  �
x ln x
e
e

2

2

2

2

2ln x
2ln 2 x
2u
dx
du
Suy ra du 
dx 
dx 
dx �
 .
x
x ln x

x ln x
x ln x 2u
�x  e � u  1
.
Đổi cận: � 2
�x  e � u  4

4
4
4
f  x
1 f  u
1 f  x
Khi đó 1  B  � du  � dx � � dx  2.
21 u
21 x
x
1

f  2x 
I

dx.
�
Xét tích phân cần tính
x
2

1
2

� 1
1
dx  dv
� 1
�
�
�x  � v 
2 .
2.
Đặt v  2 x, suy ra �
Đổi cận: � 4
v
�x 
�
�x  2 � v  4
� 2
4
4
1
4
f  v
f  x
f  x
f  x
I

d
v


d
x

d
x

dx  2  2  4.
�
�
�
�
Khi đó
v
x
x
x
1
1
1
1
2

2

2

[Mức độ 4] Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0;1 và thỏa mãn
1

f  x  dx.

x f  x   f  1  x   2 x  x . Tính tích phân I  �
2

4

0

Lời giải: Từ giả thiết, thay x bằng 1  x ta được

2
4
 1  x  f  1  x   f  x   2  1  x    1  x  �  x2  2 x  1 f  1  x   f  x   1  2 x  6 x 2  4 x3  x4  1
2
4
4
2
Ta có x f  x   f  1  x   2 x  x � f  1  x   2 x  x  x f  x  .
2
2
3
4
2 x  x4  x2 f  x  �
Thay vào  1 ta được  x  2 x  1 �
�
� f  x   1  2 x  6 x  4 x  x


�  1  x 2  2 x3  x 4  f  x   x 6  2 x 5  2 x 3  2 x 2  1

�  1  x 2  2 x3  x 4  f  x    1  x 2   1  x 2  2 x 3  x 4  � f  x   1  x 2 .

1

1

1

1 3� 2
f  x  dx  �
Vậy I  �
 1  x  dx  �
�x  x �  .
� 3 �0 3
0
0
2