Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải tốt một số dạng bài toán cơ bản trong chương nđường thẳng và mặt phẳng song song trong không gian quan hệ song song

MỤC LỤC
Trang
1. MỞ ĐẦU

2

1.1. Lí do chọn đề tài

2

1.2. Mục đích nghiên cứu

2

1.3. Đối tượng nghiên cứu

3

1.4. Phương pháp nghiên cứu

3

1.5. Điểm mới trong sáng kiến kinh nghiệm

3

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

3

2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

3

2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

4

2.3. Giải pháp tiến hành để giải quyết vấn đề

4

*Dạng tốn 1:Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( ) .

4

*Dạng toán 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) và (  ) .

8

*Dạng toán 3:Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng ( )

14

*Dạng toán 4: Chứng minh hai mp ( ) và mp (  ) song song.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục,với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

17
20

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.

20

3.1. Kết luận

20

3.2. Kiến nghị

20

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
1


Trong vài năm gần đây khi bài thi mơn tốn chuyển sang hình thức thi trắc
nghiệm, địi hỏi học sinh ngồi việc phải tìm hiểu tất cả các kiến thức cơ bản
trong sách giáo khoa cịn phải tự mình rèn luyện kĩ năng xử lí các bài tập một
cách chính xác nhất và nhanh nhất.
Nội dung câu hỏi được khai thác ở nhiều khía cạnh khác nhau, nhiều dạng câu
hỏi thực sự gây khó cho thí sinh, đặc biệt trong phân mơn hình học. Nhiều em khi
gặp một số loại bài tốn về quan hệ song song trong khơng gian cịn khá lúng túng,
đơi khi khơng biết bắt đầu từ đâu.
Qua một thời gian giảng dạy, tôi nhận thấy rằng, nguyên nhân ở đây là do các
em chưa nắm vững hệ thống lý thuyết, phương pháp chứng minh cho từng dạng
toán và cách vận dụng chúng như thế nào . Khi giải một bài toán về quan hệ song
song trong khơng gian ngồi u cầu đọc kỹ đề bài, phân tích giả thuyết bài tốn,
vẽ hình đúng các em cịn phải chú ý đến nhiều yếu tố khác như: Có cần xác định

thêm các yếu tố khác trên hình vẽ hay khơng? hình vẽ như thế có tốt chưa ? Có
thể hiện được hết các yêu cầu của đề bài hay chưa ? Để giải quyết vấn đề này ta
phải bắt đầu từ đâu ? Nội dung kiến thức nào liên quan đến vấn đề được đặt ra,
trình bày nó như thế nào cho đúng đắn…..
Có rất nhiều ý tưởng, nhiều phương pháp mới nhằm nâng cao khả năng tư
duy của học sinh giúp học sinh có thể tự tin hơn và có khả năng giải quyết tốt hơn
câu hỏi về quan hệ song song trong không gian trong các bài thi
Với lý do đó, tơi chọn đề tài:
“KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI TỐT MỘT SỐ DẠNG
BÀI TOÁN CƠ BẢN TRONG CHƯƠNG “ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT
PHẲNG SONG SONG TRONG KHƠNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG”
1.2.

Mục đích nghiên cứu

- Giúp học sinh biết cách tiếp cận và có thể giải quyết tốt một số bài toán cơ bản
về quan hệ song song trong không gian.
-Tài liệu tham khảo cho học sinh lớp 11 và đồng nghiệp.
2


1.3. Đối tượng nghiên cứu
 Học sinh trường THPT Thọ Xuân 5
 Các dạng bài tập về quan hệ song song trong khơng gian.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
 Tìm hiểu những khó khăn của học sinh khi làm các dạng bài toán cơ bản
trong chương “Đường thẳng và mặt phẳng song song trong khơng gian. Quan


hệ song song.”

Tìm tài liệu, phần mềm để vẽ hình ảnh trực quan.



Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn



Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua q
trình giảng dạy.



Thơng qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 11 trong các năm vừa
qua.

1.5. Điểm mới trong sáng kiến kinh nghiệm
Áp dụng trong các bài toán trong các đề thi thử THPT Quốc gia.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cở sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong q trình học mơn tốn, khả năng tiếp thu và vận dụng kiến thức; sự
thơng minh, tính sáng tạo của học sinh được đánh giá thơng qua q trình giải
bài tập. Nhờ q trình giải bài tập mà học sinh nhớ và vận dụng được các kiến
thức đã học, từ đó rút ra được các phương pháp giải; các phương pháp biến đổi
linh hoạt hoặc nhận dạng nhanh các dạng bài tập.
Tuy nhiên, q trình nhận thức đó địi hỏi nhiều thời gian và phụ thuộc vào thái
độ học tập, năng lực, sự cố gắng của từng học sinh. Chính vì vậy, hệ thống các
dạng bài tập mức độ phù hợp, kiến thức lý thuyết vừa sức là việc làm cần thiết
của giáo viên và học sinh để kết quả học tập như mong muốn.
2.2.

Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Chủ đề quan hệ song song trong không gian là một trong những kiến thức cơ
bản trong chương trình Hình học lớp 11. Việc dạy và học vấn đề này giúp học
sinh hiểu rõ hơn các tính chất của đường thẳng và mặt phẳng. Nhìn chung khi
học vấn đề này đại đa số học sinh thường gặp những khó khăn, sai lầm sau:
3


- Kĩ năng vẽ hình khơng gian cịn hạn chế.
- Hình vẽ minh họa ở sách giáo khoa cũng như sách bài tập cịn ít, “chưa đủ” để
giúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng.
- Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác khó hiểu.
- Học sinh chưa biết cách phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải.
2.3.

Giải pháp tiến hành để giải quyết vấn đề

Trong phần này tôi trình bày bốn dạng tốn
* Dạng tốn 1: Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( ) .
* Dạng tốn 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) và (  ) .
* Dạng toán 3: Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng ( )
.
* Dạng toán 4: Chứng minh hai mp ( ) và mp (  ) song song.
Là các dạng toán thường gặp nhất và định hướng cách giải:
* Dạng tốn 1: Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( ) .

Hình 1

Hình 2

* Phương pháp: Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ( ) ta
tìm giao điểm của đường thẳng d với một đường thẳng a nằm trên mp ( ) ( hình 1)
�A �d
�
Tóm tắt: Nếu �A �a �mp( ) thì A  d I mp( )
4


* Chú ý: Nếu đường thẳng a chưa có trên hình vẽ thì ta tìm a như sau:
- Tìm mp (  ) chứa d sao cho mp (  ) cắt mp ( )
- Tìm giao tuyến a của hai mp ( ) và mp (  ) (hình 2)
* Nhận xét: Vấn đề của bài toán là xác định cho được đường thẳng a . Nhiệm
vụ của giáo viên là hướng dẫn, gợi mở cho học sinh biết cách tìm đường thẳng
và chọn mp (  ) sao cho phù hợp với từng yêu cầu của bài toán trong trường
hợp đường thẳng a chưa có trên hình vẽ
a

* Ví dụ:
Bài 1: Cho tứ diện ABCD . Gọi I là trung điểm của AB , J là một điểm trên AD
AJ=

sao cho

2
AD
3
. Tìm giao điểm của đường thẳng IJ với mp ( BCD)

Nhận xét: Với bài tốn này thì học sinh dễ dàng phát hiện được đường thẳng a
cần tìm chính là đường thẳng BD . Nhiệm vụ của giáo viên là cần lưu ý cho học
sinh điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng đó phải cùng
nằm trên một mặt phẳng và khơng song song.
A

A

I

I

J
B

D

C

Hình 3

J
K

B

D

C

Hình 4

Lời giải:
Từ giả thiết � IJ và BD đồng phẳng và không song song.
�K �IJ
��
Gọi K  IJ �BD �K �BD �(BCD)

Kết luận: K  IJ �(BCD) (hình 4)
5


Bài 2: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB . Gọi I , J
lần lượt là trung điểm của SA và SB , M là một điểm tùy ý thuộc đoạn SD .
a) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mp ( SAC )
b) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với mp ( SBC )
c) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp ( IJM ) .
Nhận xét: Với giả thiết của bài tốn thì dựa vào hình vẽ ( hình 5) đối tượng học
sinh trung bình, khó có thể tìm được đường thẳng a nằm trên mp ( SAC ) bây giờ
là đường thẳng nào để cắt được đường thẳng BM , nếu không khéo léo hướng
dẫn sẽ có nhiều học sinh nhầm là đường thẳng SC . Vai trò của giáo viên là gợi
ý cho học sinh biết chọn mp ( SBD) chứa BM và tìm giao tuyến của hai mp ( SBD)
và ( SAC ) là đường thẳng SO . Từ đó kết luận giao điểm P của hai đường thẳng
BM và SO chính là giao điểm cần tìm. (hình 6)
S

S

I

I

J

M

J
P

M

A

A

B

D

C

B

O

D

Hình 5

C

S

S

I

I

J

J
P

M
A

P

M
A

B
F

B

O

D

D

Hình 6

C

O
C

Hình 7

E

Hình 8
6


Với câu b) (hình 7) thì học sinh cũng khó mà tìm được đường thẳng a nằm trên
mp ( SBC ) bây giờ là đường thẳng nào để cắt được đường thẳng IM nếu khơng
có sự hướng dẫn của giao viên. Giáo viên yêu cầu học sinh cho biết đường
thẳng IM nằm trên mp nào ? và đi tìm giao tuyến của mp đó với mp ( SBC ) . Từ
đó tìm được giao tuyến là đường thẳng SE và giao điểm cần tìm chính là điểm
F ( hình 8).
Tượng tự câu a) để tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp ( IJM ) ta phải
chọn mặt phẳng phụ chứa SC và đi tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ đó với mp
( IJM ) . Với bài tốn này thì có nhiều mặt phẳng chứa đường thẳng SC như mp
( SAC ) , mp ( SCD ) và mp ( SBC ) . Vấn đề là chọn mặt phẳng nào sao cho việc tìm

giao tuyến được thuận lợi là tùy thuộc vào khả năng của mỗi học sinh, giáo viên

khơng nên gị học sinh đi theo lời giải của mình.
S

S

I

I

J

A

H

A

B

B
F

F
O

D

P

M

P

M

J

C
E

E

Hình 9

O

D

C

Hình 10

* Lời giải:
a) Ta có BM �(SBD)
Xét 2 mp ( SAC ) và ( SBD) có
S là điểm chung thứ nhất.(1)

Gọi O  AC �BD � O là điểm chung thứ hai (2)
7

Từ (1) và (2) � SO  ( SAC ) �( SBD)
Trong mp ( SBD) , gọi P=BM �SO
Kết luận: P=BM �(SAC)
b) Ta có IM �( SAD)
Xét hai mp ( SAD) và ( SBC ) có:
S là điểm chung thứ nhất

Gọi E  AD �BC � E là điểm chung thứ hai
� SE  ( SAD) �( SBC )

Trong mp ( SAD) , gọi F  IM �SE � F  IM �( SBC ) ( Hình 8)
c) Ta có SC �( SBC )
Xét 2 mp ( IJM ) và ( SBC )
Ta có JF  ( IJM ) �( SBC )
Trong mp ( SBC ) , gọi H  JF �SC � H  SC �( IJM ) (Hình 10)
* Dạng tốn 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (  ) và (  ) .
* Phương pháp:
Cách 1: Xác định hai điểm chung của hai mp.
�A �( ) �(  )
�
Tóm tắt: Nếu �B �( ) �( ) thì AB=( ) �(  )

( Hình 11)

Hình 11
8


Cách 2: Xác định một điểm chung và song song với một đường thẳng cho trước:

Dựa vào các định lý sau :

* Đlý 2 ( SGK trang 57) : Nếu

( ) �( )  a
�
�
(  ) �( )=b
�
�
( ) �( )= c
�

thì a // b // c hoặc a, b, c đồng quy.

�a // b
�
�a �( ), b �( )
�
* Hệ quả: Nếu �( ) �( )= d
thì d // a // b hoặc d trùng a hoặc d trùng với b

Hình 12

* Đlý 2:(SGK trang 61) Nếu

Hình 13
a //( )
�
�

a �( )
�
�
( ) �( )= b
�

Hình 14

thì a//b ( hình 15)

( ) // d
�
�
( ) // d
�
�
* Hệ quả: Nếu �( ) �( )= a thì a // d. ( hình 16)

9


Hình 15

Hình 16

Hình 17

( ) // ( )
�
�

* Đlý 3 (Sgk trang 67). Nếu �( ) �( )  a thì

( ) �( )  b
�
�
a // b
�
( hình 17)

* Nhận xét: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách 1 là tìm
hai điểm chung lần lượt nằm trên hai mặt phẳng đó bằng cách dựa vào hình vẽ.
Nếu trên hình vẽ chỉ có một điểm chung thì ta chuyển sang cách hai ( dựa vào
các định lý và hệ quả nêu trên)
* Ví dụ:
Bài 3:
Trong mp(  ) cho tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E, AC và BD cắt
nhau tại F. Gọi S là một điểm nằm ngoài mp(  ). Tìm giao tuyến của các mp sau:
a) mp (SAB) và mp(SCD)
b) mp(SAC) và mp(SBD)
c) mp(SEF) với hai mp(SAD) và (SBC).
* Nhận xét:
Với hai mp(SAB) và mp(SCD) thì học sinh dễ dàng tìm được hai điểm chung lần
lượt là S là E dựa vào hình vẽ (hình 18). Tương tự đối với hai mp(SAC) và
mp(SBD) thì học sinh cũng phát hiện được giao tuyến là đường thẳng SF. (hình
19)
S
S

B
A

E

B
A

F

C
D

Hình 18

E

C
D

Hình 19
10


Với câu c) giáo viên nên gợi ý cho học sinh phát hiện ra được điểm chung thứ
hai M, N bằng cách nối EF với BC và EF với AD. ( hình 20)
S

B
A

E

M
F
C

N
D

Hình 20
* Lời giải:
a) Ta có S �( SAB) �( SCD) (1)
E  AB �CD � E �( SAB) �( SCD) (2)

Từ (1) và (2) � SE  (SAB ) �(SCD)
b) Ta có S �( SAC ) �(SBD) (*)
F  AC �BD � F �( SAC ) �( SBD) (**)

Từ (*) và (**) � SF  (SAC ) �( SBD)
c) Gọi M  BC �EF , N  AD �EF
Xét hai mp(SAD) và (SEF) có: S �(SAD) �(SEF)
N �( SAD) �( SEF)

Kết luận : SN  ( SAD) �( SEF)
Tương tự: SM  ( SBC ) �( SEF)
Bài 4:
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA’ và
CC’, P là một điểm thuộc đoạn BB’. Tìm giao điểm Q của đường thẳng DD’ với
mp(MNP) .

11

Nhận xét: Để tìm giao điểm Q của đường thẳng DD’ với mp(MNP) thì giáo viên
phải gợi ý cho học sinh tìm giao tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng DD’
với mp(MNP). Giáo viên yêu cầu học sinh cho biết đường thẳng DD’ nắm trên
những mặt phẳng nào và cho biết số điểm chung của các mặt phẳng đó với
mp(MNP)?
A

B

D
x

A

C

D

M

A'

P

N

B'

D'

C
M

Q

Q
N

B

A'

D'

C'

Hình 21

P
B'

C'

Hình 22

Lời giải:
Ta có DD’ �(CC’D’D)
Xét 2 mp(MNP) và mp(CC’D’D) ta có:

N là một điểm chung (1)
MP //( mp(CC’D’D) (2)
MP �mp(MNP)

(3)

Từ (1), (2) và (3) � (MNP) �( CC’D’D) = Nx // MP
Gọi Q = DD’ �Nx � Q = DD’ � (MNP)

( hình 21)

* Chú ý: Ta có thể chọn mp(AA’D’D) chứa DD’ và tìm được giao tuyến của 2
mp(MNP) và mp(AA’D’D) là M y song song với đường thẳng NP ( hình 22)
Bài 5:
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên hai cạnh AB và CD,
(  ) là mặt phẳng chứa MN và song song với SA.
a) Tìm giao tuyến của mp(  ) với các mp(SAB) và mp(SAC).
b) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(  )
12


Nhận xét: Với dạng toán trên học sinh thường hay gặp lúng túng ở chỗ xác định
mp(  ). Giáo viên nên lưu ý cho hoc sinh để xác định mp(  ) ta cần tìm thêm
một điểm nằm trên mp(  ) nữa ngoài hai điểm M và N mà đề bài đã cho. Từ đó
mà ta có thề tìm được giao tuyến của mp(  ) với các mp(SAB) , (SAC) và thiết
diện của hình chóp với mp(  )
Lời giải:

Hình 23

Hình 24

a) Xét 2 mp(SAB) và (  ) có:
M là điểm chung
Mặt khác: SA // mp(  )
SA � mp(SAB)
� (SAB) � (  )= Mx // SA

Xét 2 mp( SAC) và mp() :
Gọi O = MN � AC
O là điểm chung của hai mp
Mặt khác: SA // mp(  )
SA � mp(SAB)
� (SAC) � (  )= Oy // SA ( hình 23)

b) Gọi Q = Mx �SB , P = Oy �SC
Ta có (  ) � (ABCD) =MN
13


(  ) � (SAB) = MQ
(  ) � (SBC) = PQ
(  ) � (SCD) = NP
Kết luận: Thiết diện là tứ giác MNPQ. (hình 24)
*Dạng tốn 3: Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (  ).
* Phương pháp: (Đlý 1 SGK trang 61 ).
�d �( )
�
�d // a
�

Tóm tắt: Nếu �a �( ) thì d // (  )

Hình 25
* Nhận xét: Vấn đề nêu lên ở đây là đường thẳng a có trên hình vẽ hay chưa, nó
được xác định như thế nào, làm thế nào để xác được nó. Giáo viên cần làm cho
học sinh biết hướng giải quyết của bài toán là dựa vào giả thiết của từng bài
toán mà xác định đường thẳng a như thế nào cho phù hợp.
* Ví dụ:
Bài 6: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, K, G lần lượt là trọng tâm
của các tam giác ABC, A’B’C’ và ACC’. Chứng minh đường thẳng IG song song
với mp(BB’C’C).
* Nhận xét:
- Để chứng minh đường thẳng IG song song với mp(BB’C’C) ta phải chứng
minh được đường thẳng IG song song với một đường thẳng nằm trên
mp(BB’C’C)
- Điểm mấu chốt của bài toán là phải chứng minh đường thẳng IG song song
với đường thẳng MN nằm trên mặt phẳng (BB’C’C).

14


A

I

B

M

C

G
N

A'

C'
K

M'

B'

Hình 26
* Lời giải:
AI
2

Ta có: I là trọng tâm tam giác ABC nên AM 3 (1)
AG 2

G là trọng tâm tam giác ACC’ nên AN 3 (2)
AI
AG

Từ (1) và (2) suy ra AM AN

Theo định lý talet đảo � IG // MN �( BB ' C ' C )
Kết luận: IG // (BB’C’C)
Bài 7:

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng
a) Gọi O , O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO’ song song
với hai mp(ADF) và mp(BCE).
b) Gọi M, N là hai điểm lần lượt trên hai cạnh AE và BD sao cho

AM 

1
AE
3
,

1
BN  BD
3
. Chứng minh MN song song với mp(CDFE).

* Nhận xét :
- Với câu a) thì học sinh dễ dạng phát hiện được đường thẳng a cần tìm là
đường thẳng DF đối với mp(ADF), là đường thẳng CE đối với mp(BCE).
15


- Đối với câu b) thì học sinh khó mà phát hiện được đường thẳng a ở đây là
đường thẳng nào nếu khơng có sự hướng dẫn của giáo viên thì học sinh sẽ gặp
khó khăn.(Hình 27)
* Giải quyết vấn đề : Giáo viên yêu cầu học sinh tìm giao tuyến của hai
mp(AMN) và mp(CDFE). Có nhận xét gì về vị trí tương đối giữa đường thẳng
MN và đường giao tuyến mới vừa tìm được. Từ đó giúp cho học sinh thấy được
hướng giải quyết của bài tốn.

* Lời giải:
F

E

M

O'

A

B

O
D

N

C

Hình 27
a)CM OO’// (ADF) và OO’//(BCE)
Ta có: OO’ đường trung bình của tam giác BDF và tam giác ACE
� OO’//DF và OO’ // CE

Mà DF �( ADF ) , CE �( BCE )
Kết luận: OO’ // (ADF), OO’ // (BCE).
b) CM MN // (CDFE) .
* Tìm giao tuyến của hai mp( AMN) và (CDFE).

16


F

E

M

O'

A

B

O
D

N

J
C

I

Hình 28
Ta có: E là điểm chung thứ nhất của hai mp.(1)
Gọi I là giao điểm của AN và CD
� I là điểm chung thứ hai của hai mp (2)

Từ (1) và (2) suy ra đường thẳng EI là giao tuyến của hai mp(AMN) và (CDFE).
* CM MN // (CDFE)
Ta có:

AM 

1
AE
3
(*)

Xét tam giác ABC có:
1
2
BN  BD  BO
3
3
và BO là trung tuyến
� N là trọng tâm của tam giác ABC

Gọi J là giao điểm của AI và BC � J cũng là trung điểm của AI
�

AN 

2
1
AJ  AI
3

3
(**)

Từ (*) và (**) � MN // CE
Mà CE �( BCFE )
Kết luận : MN // (CDFE) (đpcm)
* Dạng toán 4: Chứng minh hai mp(  ) và mp(  ) song song.
* Phương pháp: (Đlý 1 SGK trang 64)

17


Tóm tắt: Nếu

�a, b �( )
�
�a �b  I
�a //(  ), b //(  )
�

thì mp(  ) // mp(  ).

�a, b �( )
�a �b  I
�
�
�a / / c, b / / d
�
Hoặc chứng minh: �c, d �(  ) thì mp(  ) // mp(  ).

* Nhận xét: Tương tự như bài toán chứng minh đường thẳng song song với mp,
vấn đề đặt ra là chọn hai đường thẳng a, b như thế nào? Nằm trên mặt phẳng (
 ) hay mp(  ). Nhiệm vụ của giáo viên là hướng dẫn, gợi mở cho hoc sinh phát

hiện ra được vấn đề của bài toán.
* Ví dụ:
Bài 8:
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC ,
ACD và ABD. Chứng minh hai mp(MNP) và mp(BCD) song song.
Nhận xét:
Với bài tốn này thì học sinh dễ dàng xác định hai đường thẳng a, b nằm trên
mặt phẳng này và song song với mặt phẳng kia. Vấn đề của bài toán là cách xác
định các trọng tâm, giáo viên nên lưu ý cho học sinh cách xác định trong tâm
dựa vào tính chất của phép chiếu song song.
A

P
N

M
B

D

K
I

J
C

Hình 29

* Lời giải:
18


Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, CD và BD.
AM AN 2


Ta có: AI AJ 3 � MN // IJ

Mà IJ �(BCD) � MN// (BCD) (1)
Tương tự MP // (BCD) (2)
Mà MN, MP � (MNP) (3)
Từ (1), (2), (3) � (MNP) // (BCD)
Bài 9:
Cho hai hình vng ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên
các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Qua
M, N dựng các đường thẳng song song với AB lần lượt cắt AD và AF tại M’và
N’.
a) Chứng minh mp( ADF) // mp(BCF).
b) Cứng minh mp(DEF) // mp(MM’N’N).
* Nhận xét:
Với câu a) thì học sinh dễ dàng chứng minh được nhưng đối với câu b) thì giáo
viên nên hướng dẫn cho học sinh biết cách vẽ hình, nhận xét được hai đường
thẳng AC và BF là bằng nhau, từ đó gợi mở cho học sinh biết chứng minh hai
đường thẳng MM’ và M’N” song song với mp (DEF) dựa vào định lý talét đảo.
* Lời giải:
a) Ta có AF // BE �mp( BCE)

AD // BC �mp (BCE)
Mà AF, AD �mp(ADF)
Kết luận mp( ADF) // mp(BCE).

19


F

E

N

N'

B

A
M'

M

D

C

Hình 30

b) Ta có MM’ // AB . Mà AB // EF � MM’ // EF � mp(DEF) (1)
AM ' AM


Mặt khác MM’ // CD � AD AC (*)

NN’ // AB �

AN ' BN

AF
BF (**)

AM BN

Mà AM = BN, AC = BF � AC BF (***)
AM ' AN '

Từ (*), (**) và (***) � AD AF � M’N’ // DE � mp(DEF) (2)

Mà MM’, M’N’ � mp(MM’N’N) (3)
Từ (1) , (2), (3) � (DEF) //(MM’N’N) (đpcm)
Ngoài ra, để giải được một bài tốn về hình học khơng gian ngồi việc nắm vững
các phương pháp, kỹ năng giải tốn thì hình vẽ đóng một vai trị quan trọng,
hình vẽ tốt giúp cho chúng ta nhìn ra được hướng giải quyết, phát hiện ra được
vấn đề của bài tốn. Hình vẽ tốt là một hình vẽ đảm bảo được các điều kiện sau:
- Đảm bảo được các quy tắc vẽ hình biểu diễn của một hình khơng gian.
- Hình vẽ phải rõ ràng, chính xác, thể hiện được tính thẩm mỹ .
- Biết cách xác định đối tượng trên hình vẽ sao cho phù hợp với u cầu của bài
tốn.
- Hình vẽ không thừa cũng không thiếu dữ kiện của đề bài.
- Ngồi ra để có được một hình vẽ tốt cần phải nắm vững các khái niệm về hình
khơng gian như: hình chóp, hình tứ diện, hình chóp đều, hình lăng trụ, hình hộp,

20


hình hộp chữ nhật, hình lập phương…, phân biệt được hình đa diện với hình đa
giác, tứ diện với tứ giác.
2.4.

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

Qua thực tế áp dụng đề tài trong việc ôn luyện cho các em, tơi nhận thấy rằng
các em đã thích thú và tự tin giải các bài toán về quan hệ song song trong không
gian, đã biết cách suy nghĩ để tiếp cận và giải khá tốt các bài loại này trong các đề
thi thử và đề thi THPT QG.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Sáng kiến này hi vọng góp phần thiết thực trong cơng tác dạy học, ơn thi của
giáo viên và học sinh. Trong quá trình viết chun đề này tơi đã cố gắng rất nhiều,
song vì trình độ hạn chế, thiếu sót là điều khơng thể tránh được. Rất mong được sự
góp ý, bổ sung của các thầy cô giáo trong hội đồng nhà trường để đề tài được hoàn
thiện hơn, được áp dụng rộng rãi và có hiệu quả hơn. Xin trân trọng cảm ơn.
3.2. Kiến nghị
Đề nghị SGD tập hợp các sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng tốt, in thành kỷ yếu
để giáo viên các trường THPT trong tỉnh có nguồn tài liệu tham khảo tốt, để các
sáng kiến có thể được áp dụng trong công tác giảng dạy.
XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 18 tháng 05 năm 2021

Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người
khác.
Người viết SKKN
Lê Mai Hương
21


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Các đề thi thử THPT QG của các trường THPT, các SGD trên cả nước
2. Một số tài liệu khác trên internet
3. Để học tốt hình học 11- Nhà xuất bản Đại học Quốc gia TP. HCM, năm
2007 của tác giả Trần Văn Hạo.
4. Giải bài tập hình học 11- Nhà xuất bản Đà Nẵng, năm 2001 của tác giả
Trần Đức Huy.
5.

Bài tập hình học 11- Nhà xuất bản giáo dục, năm 2007 của tác giả
Nguyễn Mộng Hy.
22


6. Tuyển chọn 400 bài tập tự luận và trắc nghiệm- Nhà xuất bản Đại học
Quốc gia Hà Nội, năm 2007 của các tác giả Nguyễn Cam - Nguyễn Văn
Phước - Nguyễn Hồng Ngun.
7.

Phương pháp giải tốn hình khơng gian 11- Nhà xuất bản Đà Nẵng, năm
1997 của tác giả Trần Quang Nghĩa – Nguyễn Anh Trường.

23