Phân tích những lỗi thường gặp của học sinh khi tính nguyên hàm, tích phân trong chương III lớp 12 trường THPT quảng xương 4

A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong nhiều năm gần đây, nền giáo dục đang có nhiều thay đổi và chuyển
biến rất mạnh mẽ như: Điều chỉnh nội dung mơn học, giảm tải chương trình mơn
học, thay đổi cách đánh giá học sinh, thay đổi cách thi cử, thay đổi các tuyển
sinh, thay đổi môn thi, thay sách giáo khoa, thay đổi ban học và sắp tới áp dụng
trương trình giáo dục tổng thể...chính sự chuyển biến đó đòi hỏi học sinh phải
thay đổi cách học đồng thời kéo theo giáo viên cũng phải tự thay đổi cách dạy
cho phù hợp. Để làm được điều đó địi hỏi giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian
tự trau dồi chuyên môn mới đáp ứng được yêu cầu trong quá trình dạy học. Giáo
viên khơng chỉ đơn thuần dạy phương pháp cho học sinh mà phải chỉ ra được
những lỗi thường mắc của học sinh khi giải tốn. Từ đó học sinh hiểu rõ nguồn
gốc của vấn đề.
Hơn nữa môn tốn học là mơn học vơ cùng khó với nhiều học sinh. Trong
thâm tâm các em thường sợ học môn tốn bởi các lí do như sau: Mơn tốn địi
hỏi tư duy cao, học sinh không chỉ nhớ kiến thức đã học mà cịn phải biết vận
dụng kiến thức đó một cách thành thạo. Các em cịn cho rằng mơn tốn là mơn
học khơ khan, đơn thuần chỉ là các phép tính máy móc với những con số nên
khơng tạo được hứng thú cho các em khi học. Hơn nữa các em thấy học tốn
khơng có tác dụng nhiều cho học môn khác và không ứng dụng được nhiều vào
cuộc sống. Vì vậy, để nâng cao được chất lượng giáo dục nói chung, giáo dục
mơn tốn nói riêng trước hết phải làm thơng tư tưởng học sinh. Từ đó các em có
thái độ u thích mơn tốn và thấy được vai trị của mơn tốn với mơn học khác
và cuộc sống.
Đặc biệt trong các đề thi tốt nghiêp trung học phổ thơng quốc gia hiện nay
nội dung ngun hàm, tích phân và các bài toán ứng dụng chiếm tỉ lệ rất cao do
đó nhu cầu giải quyết các bài tốn tích phân là rất thiết yếu với đa số học sinh.
Trong khi đó bài tốn tích phân là một trong những bài tốn khó vì nó cần đến
sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất, các phương pháp tính của tích
phân. Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó
là: Tìm một ngun hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của

tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần
mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là ngun
hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay khơng? Phép đặt biến mới trong
phương pháp đổi biến số có nghĩa khơng? Phép biến đổi hàm số có tương đương
khơng? vì thế trong q trình tính tích phân học sinh thường mắc phải những sai
lầm dẫn đến lời giải sai qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhận thấy rất rõ yếu
điểm này của học sinh vì vậy tơi mạnh dạn đề xuất sáng kiến:
“ Phân tích những lỗi thường gặp của học sinh khi tính nguyên hàm, tích
phân trong chương III lớp 12 trường THPT Quảng Xương 4 " để nghiên cứu.
Tơi rất mong được sự đóng góp ý kiến của hội đồng khoa học trường THPT
Quảng Xương 4 và hội đồng khoa học sở GD&ĐT Thanh Hóa để sáng kiến
được hoàn chỉnh hơn.
1


II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Chỉ ra cho học sinh thấy những lỗi thường mắc phải khi tính tích phân và ứng
dụng tính tích phân vào tính diện tích, thể tích. Từ đó giúp học sinh hiểu đúng
bản chất và nguồn gốc của vấn đề.
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải tốn tích phân. Từ đó
nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo của học sinh.
- Đề tài còn là tài liệu để học sinh và đồng nghiệp nghiên cứu và tham khảo.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
- Đề tài nghiên cứu cách tính tích phân và ứng dụng của tích phân (chương III,
giải tích lớp 12).
- Đề tài chỉ ra những lỗi thường mắc của học sinh khi tính tích phân và cách
khắc phục những lỗi đó.
- Áp dụng cho học sinh lớp 12B và 12I trường THPT Quảng xương 4.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

Nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến nội dung của đề tài như các định
nghĩa, các định lí và các quy tắc làm cơ sở lý thuyết cho quá trình làm đề tài.
2. Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
Điều tra thực nghiệm từ học sinh và các đồng nghiệp nhằm thu thập
thông tin, bổ sung cho kết quả nghiên cứu để tăng độ tin cậy.
3. Phương pháp thống kê, xử lý số liệu
Các kết quả, số liệu thu được sẽ được thống kê, xử lý, so sánh nhằm thấy
được hiệu quả của đề tài nghiên cứu.
4. Phương pháp đối chứng.
So sánh chất lượng giáo dục trước khi thực nghiệm đề tài và sau khi thực
nghiệm đề tài. So sánh các đối tượng thực nghiệm đề tài với nhau (lớp 12B và
12I)
5. Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
Tìm hiểu chắt lọc các thơng tin qua: Sách nâng cao, sách tham khảo,
mạng internet

2


B. PHẦN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Cơ sở pháp lí liên quan đến nguyên hàm và tích phân.
G.Polya đã viết "Con người phải biết học từ những sai lầm và những
thiếu sót của mình"[2]. Thơng qua những sai lầm, nếu ta biết cách nhìn nhận ra
nó, kịp thời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã
được học, đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự; bồi dưỡng
thêm về mặt tư duy. Những kiến thức căn bản về ngun hàm và tích phân là
kiến thức hồn tồn mới mẻ đối với học sinh nhưng sự hình thành ít nhiều liên
quan đến kiến thức về đạo hàm, các em có thể dựa vào các cơng thức đạo hàm
để hình thành cơng thức ngun hàm, tuy vậy đa phần các em hay nhầm lẫn giữa

hai loại công thức này. Những em có lực học trung bình, yếu kém đều bị mất
gốc phần kiến thức này do đó các em thường bế tắc khi thực hiện lời giải. Còn
với đa phần các em có học lực khá, giỏi tâm lí chung khi gặp một bài tốn là
nóng vội lao vào tìm phương pháp giải, tìm ra phương pháp rồi thì vội vàng
trình bày lời giải, tìm ra đáp số, thấy kết quả gọn, đẹp là yên tâm mà quên mất
các thao tác quen thuộc: Phân tích đề, kiểm tra các điều kiện, kiểm tra các phép
tính…Vì vậy những sai sót xảy ra là điều tất yếu. Kinh nghiệm cũng cho thấy
việc phát hiện ra lỗi sai của người khác thì dễ cịn việc phát hiện ra lỗi sai của
chính mình là rất khó. Trong q trình dạy về phần kiến thức này, tôi cho các em
chủ động tự làm theo lối tư duy logic của riêng mình, để các em theo dõi nhận
xét lời giải của nhau từ đó phát hiện những lỗi sai và từ đó phân tích để các em
hiểu được bản chất của vấn đề khắc phục sai sót và tổng kết thành kinh nghiệm.
Tuy nhiên, nếu cứ lúc nào cũng chỉ ra những sai lầm của học sinh dễ khiến các
em thấy nhàm chán, mất đi hứng thú học tập. Vì vậy, tơi vận dụng nó linh hoạt
trong các tiết dạy và có những gợi ý cần thiết hỗ trợ cho các em tìm kiếm lời
giải.
Một khó khăn nữa mà tơi cũng gặp trong q trình giảng dạy nội dung
ngun hàm - tích phân đó là năng lực của các em ở trong cùng một lớp hay
giữa các lớp với nhau cũng khơng đồng đều, có sự phân hóa rất rõ nét gây khó
khăn cho thực nghiệm đề tài chính vì vậy các giáo án, các ví dụ và bài tập của
tơi cũng phải phân hướng vào hai loại đối tượng học sinh, trước tiên là ưu tiên
các em diện trung bình và yếu sau đó nâng cao lên những bài tốn mở rộng với
tính chất khó hơn và phức tạp hơn dành cho các học sinh khá, giỏi.
2. Cơ sở thực tiễn các kiến thức liên quan đến nguyên hàm và tích phân.
2.1. Nguyên hàm
a. Định nghĩa: [1]
Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng).
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'  x  = f  x 
với mọi x thuộc K.
b. Định lí: [1]

+ Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng
số C, hàm số G(x) = F(x) +C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
3


+ Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi
nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x)+C với C là một hằng số.
f  x  dx .
Kí hiệu họ nguyên hàm của f(x) là �
f  x  dx =F  x  +C (C: hằng số)
Khi đó: �
c. Tính chất của nguyên hàm [1]
f'  x  dx =f  x  +C
Tính chất 1: �

Tính chất 2:

kf  x  dx =k �
f  x  dx (k là hằng số khác 0)
�
�
f  x  ±g  x  �
dx = �
f  x  dx ± �
g  x  dx
�
�
�

Tính chất 3:

d. Sự tồn tại của nguyên hàm [1]
Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K
e. Bảng cơng thức tính ngun hàm của một số hàm thường gặp [3]
x α+1
x dx =
+C
�
α+1
1
dx =ln x +C
�
x
α

x
x
e
dx
=e
+C
�

a x dx =
�

ax
+C
lna

cosx.dx =sinx+C

�
sinx.dx =-cosx+C
�
1
.dx = �
(1+tan 2 x)dx=tanx+C
2
�
cos x
1
.dx= �
(1+cot 2 x)dx =-cotx+C
2
�
sin x

1 (ax+b)α+1
(ax+b) dx =
+C
�
aα+1
1
1
dx
=
ln ax+b +C
�
ax+b
a
1

eax+b dx = eax+b +C
�
a
1 a mx+n
mx+n
a
dx
=
+C
�
m lna
1
cos(ax+b)dx = sin(ax+b)+C
�
a
1
sin(ax+b)dx =- cos(ax+b)+C
�
a
1
1
dx = tan(ax+b)+C
2
�
cos (ax+b)
a
1
1
dx
=cot x+C

2
�
sin (ax+b)
a
α

f. Phương pháp tính nguyên hàm
+ Phương pháp đổi biến số [3]
f  t  dt = F  t  +C và t = u  x  là hàm số có đạo hàm liên tục
Định lí: Nếu �
f  u  x   .u'  x  dx = F  u  x   +C
thì �
+ Phương pháp nguyên hàm từng phần
[3]
Định lí: Nếu hai hàm số u = u  x  và v = v  x  có đạo hàm liên tục trên K

thì

u  x  .v'  x  dx = u  x  .v  x  - �
u'  x  .v  x  dx
�
udv = uv- �
vdu
Hay viết gọn là �

2.2. Tích phân
a. Định nghĩa tích phân [1]
4

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử F(x) là một nguyên
hàm của f(x) trên đoạn [a ; b]. Hiệu số F(b) − F(a) được gọi là tích phân từ a
đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a ; b]) của hàm số f(x), kí hiệu là
b

f  x  dx
�
a

b

f  x  dx = F  x  a = F  b  - F  a  (Công thức Newton – Leibnitz)
Khi đó: �
b

a

b. Tính chất của tích phân [1]
Tính chất 1:
Tính chất 2:
Tính chất 3:

b

b

a
b

a

kf  x  dx = k �
f  x  dx
�

(k là hằng số)

b

b

�
f  x ± g x �
dx = �
f  x  dx ± �
g  x  dx
�
�
�
a
b

c

a

b

a

a

a

c

f  x  dx = �
f  x  dx + �
f  x  dx
�

với a
c. Phương pháp tính tích phân
+ Phương pháp đổi biến số [3]
Cho hàm số f  x  liên tục trên  a; b  . Giả sử hàm số x=φ  t  có đạm hàm
liên tục trên  ;  sao cho a = φ  α  , b = φ  β  và a �  t  �b với mọi t � ; 
β

b

f  x  dx = �
fφ t .φ'

 t .dt
Khi đó: �
aα

+ Phương pháp tích phân từng phần
[3]

Định lý: Nếu u = u  x  và v = v  x  là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên

 a; b

b

thì

b

u  x  .v'  x  .dx =  u  x  .v  x   - �
u'  x  .v  x  .dx
�
b

a

a

b

b

a

b

u.dv = uv a - �
vdu
Hay viết gọn là �

a

a

II. THỰC TRẠNG VỀ ÁP DỤNG NỘI DUNG NGUYÊN HÀM, TÍCH
PHÂN Ở TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 4
Hiện tại sau một số lần thi thử THPT quốc gia đa số học sinh khi gặp các
bài tốn về ngun hàm - tích phân các em thường gặp phải những khó khăn
nhất định. Chính những khó khăn đó nhiều học sinh khơng vượt qua được nên
rất dễ dẫn đến những lỗi và lựa chọn phương án sai, các lỗi đó thường là:
1. Những lỗi khi tính nguyên hàm mà học sinh vẫn thường mắc phải như:
- Không nắm vững định nghĩa nguyên hàm
- Vận dụng sai công thức nguyên hàm cơ bản
2. Những lỗi khi tính tích phân mà học sinh thường mắc phải như:
+ Các lỗi khi vận dụng cơng thức và tính chất tích phân.
- Nhầm lẫn giữa cơng thức ngun hàm và đạo hàm
- Nhớ nhầm công thức hàm hợp
5


- Nhớ nhầm tính chất tích phân
- Hàm số khơng liên tục nhưng vẫn sử dụng công thức Newtơn- Leibnitz
+ Các lỗi thường gặp khi đổi biến số
- Đổi biến mà không đổi cận.
- Đổi biến mà không vi phân.
- Đổi biến mà khó khăn khi đổi cận.
- Đổi biến số t = u(x) nhưng u(x) không phải là một hàm số liên tục và có đạo
hàm liên tục trên [a; b]
+ Các lỗi do biến đổi không tương đương
III. CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TẠI

TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 4
1. Các giải pháp chung.
a. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt
- Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được bản
chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó.
- Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí.
- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và
khác nhau giữa chúng.
- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải.
b. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp...
- Thao tác tư duy: Phân tích, so sánh, ...;
- Kỹ năng: Lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề;
- Phương pháp: Phương pháp giải toán.
c. Đổi mới phương pháp dạy học (lấy học sinh làm trung tâm)
- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế.
- Tạo hứng thú, đam mê, u thích mơn học cho học sinh.
- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng
sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn
sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử
kết hợp với việc trình chiếu để học sinh thấy được hình động liên quan trực tiếp
tới bài giảng. (ví dụ như ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình thang
cong, diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay).
d. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá
- Ra đề kiểm tra với 6 mức độ nhận thức: Nhận biết, thông hiểu, vận
dụng, phân tích, tổng hợp, đánh giá.
- Giáo viên đánh giá học sinh.
- Học sinh đánh giá học sinh.
e. Đổi mới phương pháp dạy học.
Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù hợp
với từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai lầm thường mắc

phải khi giải các bài toán về nguyên hàm, tích phân. Hướng dẫn cho học sinh tự
học, tự làm bài tập.
f. Phân dạng bài tập và phương pháp giải
- Hệ thống kiến thức cơ bản.
6


- Phân dạng bài tập và phương pháp giải.
- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.
- Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra
kết quả mới, bài tốn mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
2. Giải pháp cụ thể để giải quyết vấn đề tại trường THPT Quảng Xương 4
Trong quá trình thực tế giảng dạy tại trường trung học phổ thông Quảng
Xương 4 tôi nhận thấy các em học sinh cho rằng nội dung nguyên hàm - tích
phân là nội dung dễ nên các em rất chủ quan khi giải các bài tập. Chính tâm lí
chủ quan đó nên các em rất hay mắc các lỗi khi giải toán. Sau đây là tổng hợp
các ví dụ thực tế tơi giảng dạy mà đa số học sinh trường trung học phổ thơng
Quảng Xương 4 thường mắc lỗi khi giải tốn.
2.1. Những lỗi của học sinh khi tính nguyên hàm và cách khắc phục
2.1.1. Lỗi không nắm vững định nghĩa nguyên hàm
 Ví dụ 1. Cho F ( x)  xe x là một nguyên hàm của hàm f ( x)  ( x  1)e x trên R.
Từ đó nguyên hàm của g ( x)  ( x  1)e x bằng:
A. ( x  2)e x
B. ( x  2)e x  C
* Lời giải có sai lầm:

C. ( x  2)e x

g  x  dx  �
( x  1)e dx  �

2e dx  �
xe
 x  1 e dx  �
�
�
x

x

x

D. ( x  2)e x  C
x

 C�
2e x  C �
� �
�
�

 xe x  2e x  ( x  2)e x .

Nên chọn A
* Phân tích: Học sinh viết chung hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm
* Lời giải đúng:
g  x  dx  �
( x  1)e dx  �
2e dx  �
xe
 x  1 e dx  �

�
�
x

x

x

x

 C1 �
2e x  C2 �
� �
�
�

 xe x  2e x  C1  C2  ( x  2)e x  C .

với C = C1 – C2 Nên đáp án đúng là B
tan xdx bằng:
 Ví dụ 2. Nguyên hàm �
A.  ln cos x  C B. ln cos x  C

C.  ln sin x  C

D. Không tồn tại

sin x
dx .
cos x

1
sin x
�
�
u
du 
dx
�
�
cos 2 x
Đặt � cos x � �
�
�
dv  sin xdx
v   cos x
�
�
1
cos x s inx
�I 
.(  cos x )  � 2
dx  1  I � 0  1 (Vô lý) Chọn D
cos x
cos x

tan xdx  �
* Lời giải có sai lầm: I  �

* Phân tích: Học sinh viết chung hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm

d  cos x 
s inx
dx   �
  ln cos x  C Đáp án A
cosx
cosx

tan xdx  �
* Lời giải đúng: I  �

2.1.2. Lỗi vận dụng sai bảng nguyên hàm cơ bản
4
 3x  1 dx
 Ví dụ 3. Tính nguyên hàm I  �
7


(3 x  1)5
C
9
5
3x  1

4
* Lời giải có sai lầm: I  �
 C Chọn A
 3x  1 dx 
5

A.

(3 x  1)5
C
5

B.

(3 x  1)5
C
6

C.

D.

(3 x  1)5
C
15

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:
x n 1
x dx 
 c với n ≠ – 1
Học sinh vận dụng công thức �
n 1
n

* Lời giải đúng:
Đặt 3x + 1 = t

dt
dt t 5
 3x  1  C Chọn D
4
� dt  3dx � dx  � �
t4   C 
 3x  1 dx  �
3
3 15
15
5

* Bài tập tương tự.
Bài 1. Cho F ( x )  x sinx là một nguyên hàm của hàm f ( x)  s inx  x cos x trên
R. Từ đó nguyên hàm của g ( x)  ( x  1) cos x bằng:
A. ( x  1)sinx  cos x  C
B. ( x  1)sinx-cos x  C
C. ( x  1)sinx  cos x  C
D. ( x  1) sinx+ cos x
2x
Bài 2. Cho F ( x)  xe là một nguyên hàm của hàm f ( x )  (2 x  1)e 2 x trên R.
Từ đó nguyên hàm của g ( x)  ( x  1)e 2 x bằng:
1
1
(2 x  1)e 2 x  C
C. (2 x  1)e 2 x  C
4
4
3
 2x  1 dx

Bài 3. Tính nguyên hàm I  �

A.

1
(2 x  1)e 2 x
4

B.

A.

(2 x  1) 4
C
4

(2 x  1) 4
C
8
sin 3x.dx
Bài 4. Tính nguyên hàm I  �

A.

cos 3x
C
3

B.

B.  cos3x  C

C.

C.

(2 x  1) 4
C
12

cos 3x
C
3

D. 

D.

D.

1
(2 x  1)e 2 x
4
(2 x  1) 4
C
16

cos 3 x
C
3

1
dx
2x  1

Bài 5. Tính nguyên hàm I  �
A.

ln 2 x  1
C
2

B. ln 2 x  1  C

C.

ln 2 x  1
C
2

D. 2.ln 2 x  1  C

2.2. Những lỗi của học sinh khi tính tích phân và cách khắc phục
2.2.1. Những lỗi khi vận dụng cơng thức tích phân và tính chất tích phân.
2.2.1.1. Lỗi do nhầm lẫn giữa cơng thức ngun hàm và đạo hàm
7

 Ví dụ 4. Biết I  �x  2dx 
2

A. 11

a
Trong đó (a, b �Z ) . Tính S  a  b
b

C. 31

B. 21
7

7

D. 41
7

1
1

+ Lời giải có sai lầm: I  �x  2dx  �x  2.d  x  2  
2 x  2 2 12
2
2
� S  1  12  11 nên chọn A

8


+ Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Sự hình thành nguyên hàm ít nhiều cũng liên
quan đến kiến thức đạo hàm, các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này

+ Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ
bản. Giúp các em tạo thói quen kiểm tra cơng thức: lấy đạo hàm của ngun
hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho?
7

1
2

7

7

3
2
38
+ Lời giải đúng: I  �x  2dx  �
 x  2  .d  x  2    x  2  2 
3
3
2
2
2
� S  38  3  41 nên chọn D

2.2.1.2. Lỗi do nhớ nhầm cơng thức tích phân cơ bản của hàm hợp
2

 2x  1 dx 
 Ví dụ 5. Cho tích phân I  �
5

0

Tính S  a  b
A. 367

a
a
Trong đó (a, b �N * ; và tối giản).
b
b

B. 166

C. 185

2

6 2

+ Lời giải có sai lầm: I  �
 2x  1 dx 
5

 2x  1

0

6


0

D. 54
364
� S  364  3  367 nên
3

chọn A
+ Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh vận dụng sai công thức nguyên hàm
x α+1
1 (ax+b)α+1
α
x dx =
+C thay vì �
(ax+b) dx =
+C
của hàm hợp, đã dùng �
α+1
aα+1
α

2

+ Lời giải đúng: I  �
 2x  1

5

 2x  1

dx 
2.6

0

6 2


0

182
� S  182  3  185 nên chọn C
3

(Có thể hướng dẫn các em giải cách khác: Đặt t = 2x-1 )
+ Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ
bản và nguyên hàm hàm hợp tương ứng, tự lặp ra bảng nguyên hàm của hàm hợi
tưng ứng với u = ax+b . Giúp các em khắc sâu thói quen kiểm tra cơng thức: lấy
đạo hàm của ngun hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho?
2.2.1.3. Lỗi do nhớ nhầm tính chất tích phân
1

(x  2)e x dx 
 Ví dụ 6. Cho tích phân I  �
0

a  b.e
Trong đó (a, b, c �Z ; và a, b, c
c

đơi một ngun tố cùng nhau). Tính S  a  b  c
A. 2
B. 3
C. 4
+ Lời giải có sai lầm :
1

1

D. 5

1

1

1
x2
1
5  4e
I�
(x  2)e dx  �
xdx  2 �
e dx 
 2e x   2  e  1 
0
2 0
2
2
0
0

0
� a  5; b  4; c  2 � S  a  b  c  5  4  2  3 chọn B
x

x

+ Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh tự “sáng tạo” ra quy tắc ngun hàm
của một tích thay vì sử dụng cơng thức tích phân từng phần
1

x
e x dx  e  2  e x  3  2e
+ Lời giải đúng: I   x  2  e 0  �
0
1

1

0

9


� a  3; b  2; c  1 � S  a  b  c  3  2  1  2 chọn A

+ Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc các tính chất của nguyên hàm và
tích phân. Giúp các em tổng quát hố các dạng tốn sử dụng phương pháp tích
phân từng phần
2.2.1.4. Mắc lỗi khi hàm số dưới dấu tích phân khơng liên tục trên khoảng
tính tích phân.

2

 Ví dụ 7. Tích phân: I =

dx

(x  1)

2

bằng

0

A.  2

B. 1
2

C. 0

D. Không xác định

2

dx
d ( x  1)
1

2

2 
x 1
0 (x  1)
0 ( x  1)

+ Sai lầm thường gặp: I  

2
0

 2 chọn A

+ Nguyên nhân sai lầm :
1

Hàm số y  ( x  1) 2 không xác định tại x 1  0;2 suy ra hàm số không
liên tục trên  0;2 nên không sử dụng được công thức newtơn – leibnitz như cách
giải trên.
+ Lời giải đúng
1

Hàm số y  ( x  1) 2 không xác định tại x 1  0;2 suy ra hàm số khơng
liên tục trên  0;2 do đó tích phân trên không tồn tại nên chọn D
+ Chú ý với học sinh:
b

Khi tính

 f ( x)dx cần

chú ý xem hàm số y  f (x) có liên tục trên  a; b

a

khơng? Nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho cịn
nếu khơng thì kết luận ngay tích phân này khơng tồn tại.
* Bài tập tương tự.
0

x ln  x  2  dx 
Bài 1. Cho tích phân I  �
1

a  2b ln 2
Trong đó (a, b, c �N ; và a, b, c
c

đơi một ngun tố cùng nhau). Tính S  a 2  b 2  c 2
A. 30
B. 40
C. 50

D. 60


2

a

Bài 2. Cho tích phân I   2x  1 sin xdx  a Trong đó (a, b �N ; và tối giản).

�
b
b
0

Tính S  a  b
A. 0

B. 1

C. 2

D. 3


2

Bài 3. Cho tích phân I   x 2  x  cos xdx  a2  b  c Trong đó (a, b, c �R) . Tính
�
0

S  8a  2b  c

A.  2

B.  1

C. 0

D. 1

10




 x  ecos x  sin xdx  A  Be 
Bài 4. Cho tích phân I  �
0

C
Trong đó ( A, B, C �Z ) .
e

Tính S  A  B  C
A.  2

B.  1

C. 0



e x sin xdx 
Bài 5. Cho tích phân I  �
0

S  a  b  2c
2

2

D. 1



a.e  b
Trong đó (a, b, c �N ) . Tính
c

2

A. 10

B. 20

C. 30

2

D. 40

Bài 6. Cho tích phân I= �x+4dx= a 6-

a
a
2 Trong đó (a, b �N ; và tối giản).
b
b

Tính S  a  b

A. 1

C. 9

-2

2

2

B. 5

D. 7

4

dx
a c
a c
  ln Trong đó (a, b, c, d �N ; và ; tối giản).
b d
1-3x
b d
1

Bài 7. Cho tích phân I= �
Tính S  a  b  c  d
A. 10

B. 15

5

Bài 8. Tích phân

dx

(x  4)

C. 17

D. 20

bằng

4

0

A.

21
64

21
64

B. 
π
12

�π
�6

�
�

cos � -4x �
dx=
Bài 9. Tích phân I= �
π
6

C.

21
32

D. Khơng xác định

aπ
a
Trong đó (a, b �Z ; và tối giản). Tính
b
b

S  a2  b2

bằng
A. 63

B. 65

Bài 10. Tích phân


2
0

A.

1

cos

1
2

4

x

C. 67

D. 69

dx bằng

B.

3
2

C.

5
2

D. Không xác định

2.2.2. Các lỗi thường gặp khi đổi biến số.
2.2.2.1. Lỗi khi đổi biến số mà khơng đổi cận.
1

2
 Ví dụ 8. Tích phân I  �1  x dx bằng:
0

A.

1 1
 sin 2
2 4


4

B.

C.

1 1
 sin 2
2 4

D.

+ Lời giải có sai lầm: Đặt x = sint � dx = costdt
1

1

1


4

1

1  cos2t
t sin 2t
1 1
� I  �1  sin t .cos t.dt  �
cos t.dt  �
.dt  ( 
)   sin 2 chọn A
2
2
4 0 2 4
0

0
0
2

2

11


+ Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh đổi biến nhưng không đổi cận
* Lời giải đúng: Đặt x = sint � dx = cost.dt
Đổi cận: x  0 � t  0; x  1 � t 

2


2


2


2



1  cos2t
t sin 2t 2  chọn D
� I  �1  sin 2 t .cos t.dt  �
cos 2t.dt  �

.dt  ( 
) 
2
2
4
4
0
0
0
0

+ Cách khắc phục: Yêu cầu các em thực hiện từng tự cách bước tính tích phân
theo phương pháp đổi biến số (đổi biến và đổi cận). Khi gặp tích phân dạng
b

I  �c2  x 2 dx , nếu tích phân tồn tại thì thơng thường ta tính tích phân bằng cách
a

đặt x = c.sint( hoặc x = c.cost) đổi cận, chuyển về tính tích phân theo t
2.2.2.2. Lỗi khi đổi biến số mà khơng vi phân.
1

 Ví dụ 9. Biết tích phân I  �
0

dx

 3x  1

3



a
a
Trong đó (a, b �N * ; và tối giản).
b
b

Tính S  b  a
A.  27
B.  17
C. 17
+ Lời giải có sai lầm: Đặt t  3x  1
Đổi cận: x  0 � t  1; x  1 � t  4

D. 27

4

4

dt t 2
15
� I  �3 
 � a  15; b  32 � S  b  a  32  15  17 chọn C
t 2 1 32
1

+ Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: : Khi thực hiện đổi biến số học sinh đã qn

khơng tính vi phân dt
+ Lời giải đúng: Đặt t = 3x+1 � dt = 3dx ; Đổi cận: x  0 � t  1; x  1 � t  4
4

4

dt t 2
5
� I  �3 
 � a  5; b  32 � S  b  a  32  5  27 chọn D
3t 6 1 32
1

+ Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc các bước thực hiện phương pháp
đổi biến số. Giúp các em tạo thói quen kiểm tra lại bài làm, kiểm tra kết quả
bằng phép tính gần đúng trên máy tính bỏ túi
2.2.2.3. Lỗi khi đổi biến số mà khó khăn khi đổi cận
1
4

x3
 Ví dụ 10. Cho I 

0

1 x

2

dx 

a 15  b Trong đó (a, b, c �Z ; và a, b, c đơi một
c

ngun tố cùng nhau). Tính S  2a  b  c
A.  4
B.  2

C. 0

D. 2

+ Suy luận sai lầm: Đặt x = sint , dx = costdt
Đổi cận: với x = 0 thì t = 0
với x=

1
1
thì t arcSin
4
4

12


1
4

I 
0

x

rc sin

3

1 x2

dx 

1
4


0

sin 3 t
. cos t.dt đến đây học sinh khó khăn tính ra được
cos t

đáp án theo yêu cầu bài toán.
+ Nguyên nhân sai lầm:
Khi gặp tích phân của hàm số có chứa

1  x 2 thì thường đặt x = sint
1
nhưng đối với tích phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x = khơng
4

tìm được chính xác t = ?
+ Lời giải đúng:
Đặt t = 1  x 2  dt =

x
1  x2

Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x =
1
4

3
I = x
0

15
4

1  x2

15
4

1
thì t =
4

15
4

=

dx

 t 
1  t tdt
 t  1  t dt  t  3 
2

dx  tdt  xdx

3

15
4

 15 15 15  2 128  33 15
 


 3
4
192
192


1
1



� a  33; b  128; c  192 � S  2a  b  c  2 chọn B
2

1

+ Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 1  x 2 thì
thường đặt x = sint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa 1+x 2 thì đặt x = tant
nhưng cần chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc
đặc biệt thì mới làm được theo phương pháp này cịn nếu khơng thì phải nghĩ
đếnphương pháp khác.
2.2.2.4. Lỗi khi đổi biến t = u(x) nhưng u(x) không liên tục trên khoảng lấy
tích phân.


 Ví dụ 11: Tính tích phân: I =

dx

1  sin x
0

A. 2

B. 1

C.  2

D. Không xác định

1 t2

x
2dt
1

+ Sai lầm thường gặp: Đặt t tan thì dx  2 ;
2
1  t 1  sin x (1  t ) 2

Đổi cận: x 0  t 0 ; x   t tan không xác định
2

nên tích phân trên khơng tồn tại chọn D
+ Nguyên nhân sai lầm:
Đặt t tan

x
x
x   0;   tại x  thì tan khơng có nghĩa.
2
2

+ Lời giải đúng:

13




I=

dx

1  sin x
0



=

dx


0
1  cos x  
2




x 
d  

2 4
x 
  
 
 tan   0  tan  tan
 2 .

2 4

4
4 


2 x
0
cos   
2 4


+ Chú ý với học sinh:
Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số
liên tục và có đạo hàm liên tục trên  a; b .
* Bài tập tương tự.
2

2
Bài 1. Tính tích phân I  �4  x dx bằng
0

A.


4

B.


2

3

1
x
1

C. 

D. 2

a
b

b
Bài 2. Cho tích phân I  �. ln x  dx  ln c Trong đó (a, b, c �N ; và a, b, c đơi một
3

ngun tố cùng nhau). Tính S  a 2  b 2  c 2
A. 20
B. 26


2

C. 30

D. 35

cos xdx

 a ln b Trong đó (a, b �N ; và a, b nguyên tố cùng
�
1  sin x

Bài 3. Cho tích phân I 

0

nhau). Tính S  a  b
A. 5
2

2

B. 10
7

Bài 4. Cho tích phân

C. 15
x

3

 1 x
0

2

dx 

a b 2
c

D. 20
Trong đó (a, b, c �N ) .Tính

S  2a  b  2c

A.  5

B. 0


Bài 5. Tính tích phân

dx

sin x

C. 5

D. 10

bằng

0

A.

1  1
ln
2 1

B.

1
ln 
2

C. 

1  1
ln
2 1

D. Không xác định

2.2.3. Lỗi khi phép biến đổi tích phân khơng tương đương
4

 Ví dụ 12. Tính I =



x 2  6x  9 dx bằng

0

A.  4

+ Lỗi thường gặp:
4

I=


0

B. 1
4

C. 5
4

x 2  6x  9 dx =   x  3 dx  x  3 d  x  3 
0

2

0

D. 10

 x  3 2
2

4
0

1 9

   4 chọn A
2 2

+ Nguyên nhân:
2
Phép biến đổi  x  3 x  3 với x   0;4 là không tương đương.
+ Lời giải đúng:
14


4

I=



x 2  6x  9 dx

0

4

4

3

4

0

3

=   x  3 dx x  3 d  x  3   x  3 d  x  3   x  3 d  x  3
2

0

=-

0

 x  3

2
3
0

2



 x  3

2

2

9 1
  5 chọn C
2 2

4
3

+ Chú ý đối với học sinh:
2n

 f  x   2n
b

I=

 n 1, n  N 

 f  x

  f  x
2n

2n

a

b

  f  x  dx ta phải xét dấu hàm số f(x) trên  a; b rồi dùng tính chất
a

tích phân tách I thành tổng các phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối.
1

x2  1
b
dx a ln Trong đó (a, b, c �R ; b,c là số vô tỉ) .
4

c
 11  x

 Ví dụ 13: Cho I =
Tính S  a 2  b  c

9
2
1 

1
1  2 
1 1
1
2
x 

x 
dx
+ Các lỗi thường mắc: I =  1

2
2
1



1

1
x
x   2
x2
x

1
1 

Đặt t = x+  dt 1  2  dx
x
x 


A.

7
2

B. 8

C.

D. 6

Đổi cận với x = -1 thì t = -2 ; với x=1 thì t=2;

2

2

dt
1
1

)dt =(ln t  2 -ln t 
I =2
= (
2 t 2
 2t  2
2 t 

= ln

2 2
2

2

 ln

 2 2
 2

2

2 ln

2)

2
2

ln

t 2
t

2

2
2

2 2
2

2

� a  2; b  2  2; c  2  2 � S  a 2  b  c  8 chọn B
1
1 2
2
x 1
x

+ Nguyên nhân:
là sai vì trong   1;1 chứa x = 0 nên không thể

1
1  x4
2
x
x2

chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được
+ Lời giải đúng:
xét hàm số F(x) =

1

ln

x2  x 2 1

x2  x 2 1
x2  x 2 1
x2  1
’

(ln 2
)  4
F (x) =
x 1
2 2
x  x 2 1
1
2
2

1
x 1
1
x  x 2 1 1
2 2
ln
ln 2
Do đó I =  4 dx =
1 
2 2 2
2 2 x  x 2 1
 11  x
2 2
1

15


�a

1
9
; b  2  2; c  2  2 � S  a 2  b  c  chọn C
2
2

+ Chú ý đối với học sinh: Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số
cho x cần để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải khơng chứa điểm x = 0 .
* Một số bài tập tương tự:
1

Bài 1. Cho tích phân

x

2

 4 x  4dx 

0

a
a
Trong đó (a, b �N ; và tối giản). Tính
b
b

S  a b

A. 0

B. 5

C. 10

3

x

Bài 2. Cho tích phân

3

 2 x 2  x dx 

0

D. 15

a b 3
Trong đó (a, b, c �N ) . Tính
c

S  abc

A. 45

B. 46
8

C. 47

D. 48

2

x  16
a 3  b
dx 
Trong đó (a, b, c �N ; và b, c nguyên

x
c
4
tố cùng nhau). Tính S  a  2b  c

Bài 3. Cho tích phân



A. 0

B. 1
1

Bài 4. Cho tích phân

C. 2

D. 3

3

2x  2x  3
dx a  b  c ln 2 Trong đó (a, b, c �R ) . Tính
x 2 1
0



S  2a  4b  2c

A. 2

B. 3
1

Bài 5. Cho tích phân

 1
0

nhau). Tính S  a  b
A. 3

x 3 dx
x8

B. 4

C. 4


D. 5

a
Trong đó (a, b �N ; và a, b nguyên tố cùng
b

C. 5

D. 6

Trên đây là một số sai lầm điển hình của học sinh mắc phải khi tính
nguyên hàm và tích phân, những sai lầm này phần lớn rơi vào trường hợp những
em có học lực trung bình trở xuống hoặc những em học khá nhưng mắc phải
tính nóng vội, cẩu thả. Đơi khi cũng gặp phải ở tình huống các em bị áp lực tâm
lí khi làm bài dẫn tới trạng thái khơng kiểm sốt nổi hành vi của bản thân. Trong
nhóm những sai lầm dạng này cịn một số kiểu lỗi khác về tính tốn và trình bày
như tính tốn sai, viết thiếu kí hiệu vi phân trong biểu thức tích phân, viết cả 2
biến trong cùng một biểu thức tích phân…Để khắc phục những sai lầm đó, ngồi
những biện pháp đã nêu, người giáo viên cần giúp các em học sinh rèn luyện các
đức tính cẩn thận, tỉ mỉ, kiên trì và đặc biệt là khắc phục những điểm yếu tâm lí
của bản thân. Giáo viên cũng nên tạo cho học sinh thói quen “tự vấn”, “tự phản
biện” khi làm bài để phát hiện và hạn chế tối đa các sai lầm mắc phải.
16


IV. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỐI VỚI HOẠT
ĐỘNG GIÁO DỤC Ở TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 4
1. Tác dụng của SKKN đến chất lượng giảng dạy và giáo dục bản thân:
Qua quá trình áp dụng sáng kiến vào thực tế dạy học tôi rút ra được một
số phương pháp dạy học hiệu quả cho bản thân như sau:
a. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt
- Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được bản
chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó.
- Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí.
- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và
khác nhau giữa chúng.
- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải.
b. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp.

- Thao tác tư duy: Phân tích, so sánh, ...
- Kỹ năng: Lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề.
- Phương pháp: Phương pháp giải toán.
c. Đổi mới phương pháp dạy học phải lấy học sinh làm trung tâm.
- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế.
- Tạo hứng thú, đam mê, u thích mơn học cho học sinh.
- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng sinh
động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn sử
dụng bảng phụ, phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử kết
hợp với việc trình chiếu đồ thị hàm số, các hình vẽ, hình động liên quan trực
tiếp tới bài giảng.
d. Tích cực đổi mới việc kiểm tra, đánh giá
- Kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm khách quan với 6 mức độ nhận thức: Nhận
biết - thông hiểu - vận dụng sau đó phân tích - tổng hợp - đánh giá.
- Giáo viên đánh giá học sinh.
- Học sinh đánh giá học sinh.
e. Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học phù hợp.
Tức là giáo viên phải tích cực tìm ra phương pháp sao cho phù hợp với
từng đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai lầm thường mắc
phải khi giải các bài toán. Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập.
f. Giáo viên phải phân dạng bài tập và phương pháp giải.
- Hệ thống kiến thức cơ bản.
- Phân dạng bài tập và phương pháp giải.
- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.
- Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết quả
mới, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
2. Tác dụng của sáng kiến kinh nghiệm đến đồng nghiệp:
SKKN là tài liệu để các đồng nghiệp trong trường tham khảo và nghiên
cứu từ đó định hình được phương pháp dạy học của bản thân.
SKKN là tài liệu ban đầu để các đồng nghiệp trong trường tham khảo

nghiên cứu sâu hơn các chuyên đề ôn thi THPT Quốc gia.
17


3. Tác dụng của sáng kiến kinh nghiệm đến bản thân học sinh:
Giúp học sinh có thêm phương pháp học hiệu quả để giải các bài tốn tích
phân trong các đề thi trung học phổ thông quốc gia.
Giúp học sinh rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo, rèn luyện kĩ năng phân
tích tìm lời giải và kĩ năng trình bày bài tốn.
Góp phần bổ sung, nâng cao kiến thức cho học sinh.
Giúp học sinh tự tin hơn khi gặp các bài tốn khó cũng như cơng việc khó
trong cuộc sống, hình thành ở các em tính kiên trì sáng tạo trong công việc.
* Tác dụng của sáng kiến kinh nghiệm đến phong trào giáo dục trong nhà trường
Nâng cao chất lượng giáo dục mơn tốn của nhà trường.
Góp phần nâng cao chất lượng thi THPT quốc gia mơn tốn nói riêng và
chất lượng giáo dục nhà trường nói chung. Điều đó thể hiện rõ qua kết quả khảo
sát sau khi áp dụng SKKN vào dạy học như sau:
Áp dụng với khối 12 gồm lớp 12B là lớp theo khối A,B và lớp 12I là lớp
theo khối C. Cả hai lớp có 73 học sinh (Đề bài hình thức trắc nghiệm 4 mã đề
gồm 50 câu, thời gian làm bài 90 phút). Sau khi chấm bài và tổng hợp, tôi thu
được kết quả như sau:
Từ
6,5
Từ 3,5 đến Từ 5 đến
Từ 8 trở
Điểm
Dưới 3,5
đến dưới
dưới 5
dưới 6,5

lên
Sĩ số
8
Năm/Lớp
SL %
SL %
SL %
SL %
SL %
24.
12B 41
0
0
0
0
10
15 36.6 16 39.0
4
20202021
43.
12I
32
0
0
2
6.3 14
11 34.4 5 15.6
7
32.
Tổng

12
73
0
0
2
2.7 24
26 35.6 21 28.8
9
* Qua kết quả khảo sát phân tích bảng số liệu cho thấy:
So sánh các mức điểm tổng thể hai lớp: Số học sinh đạt điểm dưới 5
khơng nhiều có 2 học sinh (chiếm 2.7%) và là học sinh lớp 12I. Đồng thời số
học sinh đạt điểm trên 8 khá cao có 21 học sinh (chiếm 28.8%). Đặc biệt số học
sinh đạt điểm khá giỏi nhiều có 47 học sinh (chiếm 64.4%). Như vậy kết quả
giáo dục được nâng lên rõ rệt. Nguyên nhân có kết quả trên là: Giáo viên có
phương pháp thực nghiệm đề tài rất bài bản nên học sinh dễ hiểu và nắm rõ bản
chất của vấn đề.
So sánh chất lượng hai lớp với nhau: Chất lượng học sinh lớp 12B cao
hơn chất lượng học sinh lớp 12I. Kết quả này phản ánh đúng thực tế lớp 12B là
lớp theo khối A,B còn lớp 12I theo khối C cụ thể: Số học sinh khá giỏi lớp 12B
là 31 học sinh (chiếm 75.6%) không có học sinh yếu kém. Số học sinh khá giỏi
lớp 12I là 15 học sinh (chiếm 46.8%) và có 2 học sinh yếu kém. Tuy nhiên so
sánh với kết quả khảo sát đầu năm chất lượng đại trà của hai lớp được nâng lên
rõ rệt. Điều này thể hiên sáng kiến phù hợp với nhiều đối tượng học sinh.
18


C. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
I. KẾT LUẬN
Trong cuộc sống con người phải biết học những sai lầm và những thiếu
sót của mình. Thơng qua những sai lầm, nếu ta biết cách nhìn nhận ra nó, kịp

thời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã được học,
đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự; bồi dưỡng thêm về mặt
tư duy.
Trước hết, đề tài này nhằm cung cấp cho các thầy cô giáo và các em học
sinh như một tài liệu tham khảo. Với lượng kiến thức nhất định về tích phân và
các ứng dụng của tích phân, với những kiến thức liên quan, người học sẽ có cái
nhìn sâu sắc hơn về những sai lầm thường mắc phải khi giải toán. Đồng thời,
qua những sai lầm ấy mà rút ra cho mình những kinh nghiệm và phương pháp
giải tốn cho riêng mình. Người học có thể quay trở lại để kiểm chứng những lí
thuyết đã được trang bị để làm tốn. Từ đó thấy được sự lơgic của tốn học nói
chung và của chương ứng tích phân nói riêng, thấy được rằng mối liên hệ giữa
tích phân và đạo hàm.
Nói riêng, với học sinh thì những kiến thức về tích phân đặc biệt là tích
phân hàm ẩn là tương đối khó, nhất là đối với những em có lực học trung bình
trở xuống. Các em thường quen với việc vận dụng hơn là hiểu rõ bản chất của
các khái niệm, định nghĩa, định lí cũng như những kiến thức liên quan đã được
học. Đó là chưa kể sách giáo khoa hiện nay đã giảm tải nhiều nội dung khó,
mang tính trừu tượng và thậm chí mang tính hàn lâm.
Ở trường trung học phổ thông Quảng Xương 4 đề tài có thể áp dụng để:
+ Cải thiện phần nào chất lượng bộ môn, củng cố phương pháp giải tốn, góp
phần nâng cao chất lượng dạy và học.
+ Giúp học sinh hiểu rõ hơn bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí cũng
như những kiến thức liên quan đã được học.
+ Giúp các em tránh khỏi lúng túng trước một bài tốn đặt ra và khơng mắc phải
những sai lầm thường gặp.
Trong khuôn khổ của bài viết này, tơi khơng có tham vọng sẽ phân tích
được hết những sai lầm của học sinh và cũng sẽ không tránh khỏi những sai sót.
Vì vậy, tơi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của Hội đồng khoa học
trường Trung học phổ thông Quảng Xương 4, của Hội đồng khoa học Sở Giáo
dục và Đào tạo Thanh Hóa để sáng kiến được hoàn thiện hơn.

II. KIẾN NGHỊ
Để nâng cao chất lượng mơn tốn trong các trường phổ thơng đề nghị
phịng giáo dục phổ thơng nên tổ chức nhiều hơn các buổi sinh hoạt chuyên môn
cho các Giáo viên dạy tốn trong Tỉnh trao đổi tìm ra những nội dung khó dạy
và những nội dung khó tiếp thu của học sinh. Tổ chức bằng cách cho từng
trường nghiên cứu những mảng kiến thức cụ thể để đưa ra những kinh nghiệm
khi dạy nội dung đó thơng qua các buổi sinh hoạt chuyên môn liên trường.
19


Đề nghị chuyên môn nhà trường bổ xung, mua nhiều sách tham khảo
trong thư viện để giáo viên nghiên cứu và học sinh mượn học tập.
Kiến nghị với các đồng nghiệp trong trường cần làm tốt hơn nữa công tác
xã hội hóa giáo dục để lơi cuốn học sinh đến trường đến lớp.

XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG

Quảng Xương, ngày 15 tháng 05 năm 2021
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.
Tác giả

Phạm Văn Tình

20