Áp dụng tính chất ar và tính chất điểm bất động để phân loại topo một số lớp tập

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG
KHOA TOÁN
−−− −−−

PHẠM THỊ QUỲNH ANH

ÁP DỤNG TÍNH CHẤT AR VÀ
TÍNH CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỂ
PHÂN LOẠI TOPO MỘT SỐ LỚP TẬP

Chuyên ngành: Cử Nhân Tốn - Tin

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn
Th.S NGUYỄN HOÀNG THÀNH

Đà Nẵng, 5/2013


Mục lục

Lời mở đầu

2

Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

4

1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Không gian topo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4. Phép co rút . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Chương 2. TÍNH CHẤT AR, TÍNH CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNG
VÀ ÁP DỤNG PHÂN LOẠI TOPO MỘT SỐ LỚP TẬP 27
2.1. Tính chất AR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2. Tính chất điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3. Mối quan hệ giữa tính chất AR và tính chất điểm bất động 34
2.4. Áp dụng phân loại topo một số lớp tập . . . . . . . . . . . 38
Kết luận

54

Tài liệu tham khảo

55


LỜI MỞ ĐẦU
Người ta bắt đầu nghiên cứu topo vào những năm đầu của thế kỉ 20. Từ
khoảng 1925 đến 1975 nó đã trở thành lĩnh vực lớn mạnh quan trọng bậc
nhất của tốn học. Các khơng gian topo được tìm thấy sẵn có trong giải
tích tốn học. Điều này đã làm cho ngành nghiên cứu các không gian topo
trở thành đối tượng quan trọng trong việc thống nhất toán học. Topo
nghiên cứu những đặc tính hữu dụng của các khơng gian và các ánh xạ
như là tính AR, tính liên thơng, tính compact, tính liên tục.
Tính chất AR là một tính chất được nghiên cứu rất nhiều trong lĩnh
vực topo. Nó cũng là tâm điểm gây sự chú ý và được nhiều nhà Tốn học
trong và ngồi nước quan tâm. Nó có ứng dụng rất nhiều trong tốn học.
Trong đó, đáng chú ý là định lí Borsuk, một định lí rất thú vị.

Tính chất điểm bất động cũng có sức thu hút rất lớn đối với nhiều nhà
Toán học. Bắt đầu là nguyên lý Brouwer năm 1910, được xem là định lý
trung tâm của lý thuyết điểm bất động. Sau đó người ta tìm cách mở rộng
trên các khơng gian khác, như vào năm 1930, Schauder đã mở rộng kết
quả của Brouwer đối với khơng gian Banach.
Các tính chất AR cũng như tính chất điểm bất động đều bất biến qua
các phép đồng phơi. Điều đó nghĩa là một tập đồng phôi với một không
gian AR hay một không gian điểm bất động thì cũng là AR hay là một
khơng gian điểm bất động. Áp dụng tính chất này để chỉ ra hai tập trong
R2 , R3 hay Rn là không đồng phôi với nhau là một cách làm rất hiệu quả.
Và với mục đích tìm hiểu về tính chất AR, tính chất điểm bất động em đã
chọn đề tài:"Áp dụng tính chất AR và tính chất điểm bất động để phân
loại topo một số lớp tập" làm khóa luận kết thúc bốn năm đại học của
mình.
Khóa luận sẽ trình bày một cách hệ thống những vấn đề liên quan đến
tính AR, tính chất điểm bất động và áp dụng chúng để phân loại topo một
số lớp tập.
Khóa luận được chia làm hai chương:
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị.
−2−


Chương này chủ yếu trình bày lại các kiến thức trong giải tích cơ sở
nhằm phục vụ cho chương 2.
Chương 2: Tính chất AR, tính chất điểm bất động và áp dụng phân loại
topo một số lớp tập.
Chương này trình bày theo 4 mục chính:
- Tính chất AR.
- Tính chất điểm bất động.
- Mối liên hệ giữa tính chất AR và tính chất điểm bất động.

- Áp dụng tính chất AR, tính chất điểm bất động để phân loại topo
một số lớp tập.
Do thời gian thực hiện khóa luận khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế
vì vậy em thật sự mong đợi sự góp ý, sữa chữa của tất cả các thầy cô và
các bạn để bài luận văn của em được hồn thiện hơn.
Cuối cùng em xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến ThS. Nguyễn Hoàng
Thành đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành luận
văn.
Xin cảm ơn tập thể các thầy cô khoa Tốn đã tận tình giúp đỡ em suốt
thời gian qua.
Đà Nẵng, ngày.....tháng.....năm.....
Sinh viên
Phạm Thị Quỳnh Anh

−3−


Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.

Không gian metric

Định nghĩa 1.1. Cho X là một tập khác rỗng, ánh xạ d : X × X → R
thỏa mãn các điều kiện sau
1. d (x, y) ≥ 0 ∀ x , y ∈ X và d (x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y .
2. d (x, y) = d (y, x) ∀ x , y ∈ X .
3. d (x, z) d (x, y) + d (y, z) ∀ x , y , z ∈ X .
Khi đó d được gọi là metric trong X và (X, d) được gọi là khơng gian

metric.

Ví dụ 1.1. Khơng gian Euclide Rk là không gian metric với metric
k
1

|ξi − ηi |2 ) 2

d(x, y) = (
i=1

(x = (ξ1 , ..., ξk ), y = (η1 , ..., ηk ) ∈ Rk )
Thật vậy, hiển nhiên d thỏa mãn các tiên đề 1), 2).
Ta kiểm tra tiên đề 3).
Lấy x = (ξ1 , ..., ξk ) ∈ Rk , y = (η1 , ..., ηk ) ∈ Rk , z = (ζ1 , ..., ζk ) ∈ Rk , ta có:
k
2

k
2

i=1
k

i=1
k

2

|ξi − ηi | + 2

=
i=1

(|ξi − ηi | + |ηi − ζi |)2

|ξi − ζi |

(d(x, y)) =

k

|ηi − ζi |2

|ξi − ηi ||ηi − ζi | +
i=1

i=1


Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có
k

k

|ξi − ηi ||ηi − ζi |

1
2

1

|ηi − ζi |2 ) 2

|ξi − ηi | ) (

(

i=1

k
2

i=1

i=1

Vì vậy:
k
2

k
2

|ξi − ηi | + 2(

(d(x, y))

i=1

1
2

k
2

|ξi − ηi | ) (
i=1

k

1
2

|ηi − ζi |2

|ηi − ζi | ) +
i=1

i=1

k
2

1
2

1

|ηi − ζi |2 ) 2 ]2 = [d(x, y) + d(y, z)]2

|ξi − ηi | ) (

= [(

k
2

i=1

i=1

Định nghĩa 1.2. Cho (X, d) là không gian metric, dãy {xn } các phần tử
của không gian metric (X, d) được gọi là hội tụ đến phần tử x0 của X nếu

lim d(xn , x0 ) = 0

n→∞

hay với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n ≥ n0 d(xn , x0 ) < ε.
Kí hiệu lim xn = x0 hoặc xn → x0 , x0 gọi là giới hạn của dãy {xn }.
n→∞

Tính chất 1.1. (Về sự hội tụ trong khơng gian metric) Cho {xn }, {yn }
là các dãy trong khơng gian metric X . Ta có
a. Nếu dãy {xn } hội tụ đến x ∈ X thì mọi dãy con {xnk } của dãy {xn }
cũng hội tụ đến x.
b. Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.
c. Nếu xn → x và yn → y thì d(xn , yn ) → d(x, y) khi n → ∞.
Chứng minh

a. Do lim xn = x nên
n→∞

Với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho: ∀n ≥ n0 thì d(xn , x) < ε .
Vậy với mọi k ≥ n0 thì nk ≥ k ≥ n0 , ta có d(xnk , x) < ε.
Hay lim xnk = x
n→∞

−5−


b. Giả sử lim xn = x ; lim xn = x .
n→∞

n→∞

Khi đó, từ bất đẳng thức tam giác ta có

d(x, x ) ≤ d(xn , x) + d(xn , x ).
Cho n → ∞ thì

0 ≤ d(x, x) ≤ lim d(xn , x) + lim d(xn , x ) = 0
n→∞

n→∞

Vậy d(x.x ) = 0 hay x = x .
c.Với mọi n ta có:

d(x, y) ≤ d(x, xn ) + d(xn , yn ) + d(yn , y)

Suy ra

d(x, y) − d(xn , yn ) ≤ d(x, xn ) + d(yn , y)
Tương tự ta có:

d(xn , yn ) − d(x, y) ≤ d(x, xn ) + d(yn , y)
Vì vậy

|d(xn , yn ) − d(x, y) ≤ d(x, xn ) + d(yn , y)|
Vì lim d(x, xn ) = 0 và lim d(y, yn ) = 0
n→∞

n→∞

Suy ra: lim d(xn , yn ) = d(x, y)
n→∞

Định nghĩa 1.3. Cho (X, d), A ⊂ X, B ⊂ X .
A trù mật trong B nếu B ⊂ A¯.
Nếu A¯ = X thì ta nói tập A trù mật khắp nơi trong X.

Định nghĩa 1.4. Không gian metric được gọi là khả ly nếu tồn tại một
tập hữu hạn hay đếm được A ⊂ X trù mật khắp nơi trong X.

−6−


Định nghĩa 1.5. Cho(X, d) là không gian metric, A là một tập hợp con
của không gian metric (X, d).
Điểm x0 của X gọi là một điểm trong của tập hợp A nếu tồn tại một

hình cầu B(x0 , r) tâm x0 chứa trong A.

Định nghĩa 1.6. Cho (X, d) là không gian metric, x0 ∈ X và r > 0.
Tập hợp B(x0 , r) = x ∈ X | d(x, x0 ) < r được gọi là hình cầu mở tâm x0
bán kính r.
Tập hợp B[xo , r] = x ∈ X | d(x, x0 ) ≤ r được gọi là hình cầu đóng tâm x0
bán kính r.

Định nghĩa 1.7. Cho (X, d) là không gian metric, hai tập A và F là hai
tập con của không gian metric (X, d).
Tập A được gọi là tập mở nếu mọi điểm x0 thuộc A đều là điểm trong,
hay với mọi x0 ∈ A, tồn tại r > 0 mà B(x0 , r) ⊂ A.
Tập F được gọi là tập đóng nếu X \ F mở.

Ví dụ 1.2. Chứng minh hình cầu mở B(x0 , r) là tập mở.
Chứng minh
Với mọi x1 ∈ B(x0 , r) thì d(x0 , x1 ) < r
Chọn r1 = r − d(x0 , x1 ) > 0
Với mọi B(x1 , r1 ) thì d(x1 , x) > r1
Suy ra

d(x1 , x) < r − d(x1 , x0 )
Suy ra

d(x0 , x) ≤ d(x0 , x1 ) + d(x1 , x) < r
Do đó x ∈ B(x0 , r).
Vậy

B(x1 , r1 ) ⊂ B(x0 , r)
−7−

Vậy hình cầu mở B(x0 , r) là tập mở.

Định lý 1.1. Tập hợp con F của không gian metric X là đóng khi và chỉ
khi với mọi dãy bất kì {xn } là những phần tử của F mà lim xn = x0 thì
n→∞

x0 ∈ F .
Chứng minh

Giả sử F đóng và tồn tại một dãy {xn } ∈ F sao cho lim xn = x0 và
n→∞
x0 ∈
/ F suy ra x0 ∈ X\F .
Vì X\F là một tập hợp mở nên tồn tại một hình cầu B(x0 , ε) chứa
trong X\F .
Vì lim d(xn , x0 ) = 0 nên với n đủ lớn d(xn , x0 ) < ε tức là xn ∈ X\F
n→∞

với n đủ lớn. Điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Giả sử với một dãy bất kì {xn } những phần tử của F , nếu lim xn =
n→∞

0 ∈ X thì x0 thì x0 ∈ F và giả sử F không phải là một tập hợp đóng. Khi
đó X\F khơng phải là m tập hợp mở. Do đó tồn tại ít nhất một điểm x0
của X\F không phải là điểm trong của X\F .
Khi đó, với mọi số tự nhiên n, tồn tại một phần tử xn cuả F thuộc
hình cầu B(x0 , n1 ); {xn } là một dãy các phần tử của tập hợp F hội tụ đến
x0 ∈

/ F (Vì d(x0 , xn ) < n1 với mọi n). Điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy định lí đã được chứng minh.

Định nghĩa 1.8. Cho d(X, d) là không gian metric, A ⊂ X . Hợp tất cả
các tập mở chứa trong A được gọi là phần trong của A.
Kí hiệu : intA
Định nghĩa 1.9. Cho (X, d) là không gian metric, A ⊂ X . Giao tất cả
các tập đóng chứa A được gọi là bao đóng của A.
Kí hiệu : A.
Định nghĩa 1.10. Cho (X, dX ) và (Y, dY ) là hai không gian metric .
Ánh xạ f : X → Y gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu với mỗi số dương
ε, đều tồn tại một số dương δ sao cho với mọi x ∈ X , nếu dX (x, x0 ) < δ
−8−


thì dY (f (x), f (x0 )) < ε.
Ánh xạ f gọi là liên tục (hoặc liên tục trên X ) nếu nó liên tục tại mọi
điểm x của X .

Định nghĩa 1.11. Ánh xạ f : X → Y từ không gian metric (X, dX )
vào không gian metric (Y, dY ) gọi là liên tục đều nếu với mọi ε > 0,
tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x1 , x2 ∈ X , nếu dX (x1 , x2 ) < δ thì
dY (f (x1 ), f (x2 )) < ε.

Chú ý 1.1. Một ánh xạ liên tục đều thì liên tục nhưng điều ngược lại
khơng đúng.

Định lý 1.2. Ánh xạ liên tục f liên tục tại x0 ∈ X khi và chỉ khi mọi
dãy {xn } ⊂ X ,nếu xn → x0 thì f (xn ) → f (x0 ).
Chứng minh

* Điều kiện cần: Giả sử f liên tục tại x0 và {xn } ⊂ X là dãy trong

X sao cho xn → x0 . Ta chứng minh f (xn ) → f (x0 ) trong Y .
Vì f liên tục tại x0 nên ta có với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 để
(f (x), f (x0 )) < ε (*)
khi d(x, x0 ) < δ . Vì xn → x0 nên với mọi δ ở trên, tồn tại n0 để d(xn , x0 ) <

δ khi n ≥ n0 .
Khi đó:
(f (xn ), f (x0 )) < ε (**)
So sánh (*) và (**) ta được f (xn ) → f (x0 ).
*Điều kiên đủ: Giả sử X không liên tục tại x0 .
khi đó tồn tại ε > 0 sao cho với mọi δ > 0 tồn tại x ∈ X : d(x, x0 ) < δ
mà d(f (x), f (x0 )) ≥ ε.
Chọn δ = 1 tồn tại x1 ∈ X thỏa mãn d(x1 , x0 ) < 1 mà d(f (x1 ), f (x0 )) ≥ ε
δ = 21 tồn tại x2 ∈ X thỏa mãn d(x2 , x0 ) < 21 mà d(f (x2 ), f (x0 )) ≥ ε
−9−


δ=

1
3

tồn tại x3 ∈ X thỏa mãn d(x2 , x0 ) <

1
3

mà d(f (x3 ), f (x0 )) ≥ ε

..........................
Tiếp tục quá trình như trên
Chọn δ =
ε.

1
n

tồn tại xn ∈ X thỏa mãn d(xn , x0 ) <

1
n

mà d(f (xn ), f (x0 )) ≥

Như vậy ta có dãy xn ⊂ X , xn → x0 .
Mà f (xn ) → f (x0 )(Mâu thuẫn giả thiết).
Vậy định lí được chứng minh.
Định nghĩa 1.12. Song ánh f : X → Y từ không gian metric X vào
không gian metric Y gọi là một phép đồng phôi nếu f và f −1 : Y → X
đều là những ánh xạ liên tục.
Hiển nhiên, song ánh f : X → Y là một phép đồng phôi khi và chỉ khi
với mọi dãy {xn } những hần tử của X và với mọi x0 ∈ X thì

lim xn = x0 → lim f (xn ) = f (x0 )

x→∞

n→∞

Hai không gian metric X và Y gọi là đồng phơi với nhau nếu có một
phép đồng phôi từ không gian này lên không gian kia.
Định nghĩa 1.13. Song ánh f : X → Y từ không gian metric X, dX vào
không gian metric Y, dY gọi là một phép đẳng cự nếu với mọi x1 , x2 ∈ X ,
ta đều có

dY (f (x1 ), f (x2 )) = dX (x1 , x2 )
Hai không gian metric gọi là đẳng cự với nhau nếu tồn tại một phép
đẳng cự từ không gian này lên không gian kia.
Hiển nhiên, phép đẳng cự là một ánh xạ liên tục đều và hai không gian
metric đẳng cự là đồng phôi với nhau.

− 10 −


Bổ đề 1.1. (Bổ đề dán) Cho X, Y là các không gian metric và ánh xạ

f : X → Y . F1 , . . . , Fn là hữu hạn các tập đóng của X thỏa X = ∪nk=1 Fk .
Nếu f |Fk : Fk → Y liên tục với mọi k ∈ 1, 2, . . . , n thì f : X → Y lên tục.

Định nghĩa 1.14. Cho (X, d) là một không gian metric. Dãy phần tử

{xn } của X được gọi là một dãy Cauchy (hoặc là một dãy cơ bản) nếu với
mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi m, n ∈ N, nếu m, n ≥ n0 thì
d(xn , xm ) < ε.

Định nghĩa 1.15. Khơng gian metric X gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy
những phần tử của X đều hội tụ trong X.

Ví dụ 1.3. R và C là những không gian metric đầy đủ.

Định nghĩa 1.16. Tập con A của không gian metric X được gọi là tập
compact nếu với mọi dãy {xn } ⊂ A, tồn tại dãy con {xnk } hội tụ đến một
phần tử của A.
Tập con của một tập compact được gọi là tập compact tương đối.

Chú ý 1.2. Cho A là một tập con trong không gian metric X . Khi đó
a) A compact =⇒ A compact tương đối.
b) A compact =⇒ A đóng.

1.2.

Khơng gian vectơ

Định nghĩa 1.17. Một không gian vectơ X trên một trường K là một
tập hợp khác rỗng X, có trang bị hai phép tốn cộng và phép nhân ngồi
nghiệm đúng các tiên đề sau
1. (X, +) là một nhóm Abel, nghĩa là với mỗi cặp phần tử (x.y) ∈ X × X
− 11 −


cho ứng với một phần tử của X kí hiệu x + y , gọi là tổng của x và y, thỏa
mãn
a) (x + y) + z = x + (y + z) với mọi x, y, z ∈ X
b) Tồn tại phần tử 0 ∈ X , gọi là phần tử không sao cho ∀x ∈ X, x + 0 =
0 + x = x.
c) Với mọi x ∈ X tồn tại một phần tử kí hiệu −x ∈ X , gọi là phần tử đối
của x sao cho x + (−x) = 0.
d) x + y = y + x với mọi x, y ∈ X

2. X cùng phép nhân vectơ vô hướng trên X, tức là mỗi cặp (α, x) ∈
K × X ứng với một phần tử của X, kí hiệu αx, thỏa mãn:
a) α(x + y) = αx + αy với mọi α ∈ K, x, y ∈ X .
b) (α + β)x = αx + β với mọi α, β ∈ K, x ∈ X .
c) α(β) = (βα)x với mọi α, β ∈ K, x ∈ X .
d) ∀x ∈ X, 1.x = x.
Các phần tử của X gọi là các vectơ, α ∈ K gọi là vô hướng.

Định nghĩa 1.18. Cho X là không gian vectơ trên một trường K .Một
ánh xạ P : X → R được gọi là một chuẩn trên X nếu
1. Với mọi x ∈ X, P (x) ≥ 0 thì P (x) = 0 khi và chỉ khi x = 0.
2. Với mọi x ∈ X , với mọi λ ∈ K : P (λx) = |λ|P (x).
3. Với mọi x, y ∈ X , P (x + y) ≤ P (x) + P (y).
Và (X, p) gọi là khơng gian định chuẩn. Kí hiệu P (x) = ||x||.
Không gian định chuẩn (X, P ) cũng là một không gian metric với metric
cảm sinh từ chuẩn.
Đặt

d(x, y) = ||x − y||
Thật vậy, ta có
1. Với mọi x, y ∈ X
d(x, y) = ||x − y|| ≥ 0

d(x, y) = ||x − y|| = 0 khi và chỉ khi x − y = 0. Do đó x = y
2. Với mọi x, y ∈ X thì
− 12 −


d(x, y) = ||x − y|| = ||(−1)(y − x)|| = ||y − x|| = d(y, x)
3. Với mọi x, y, z ∈ X thì

d(x, z) = ||x − z|| = ||(x − y)(y − z)|| ≤ ||(x − y)|| + ||(y − z)|| =
d(x, y) + d(y, z)

Ví dụ 1.4. Tập hợp En các bộ n số thực (hoặc số phức) x1 . . . xn là một
không gian định chuẩn với chuẩn:
n

|xi |2

||x|| =
i=1

Chuẩn này được gọi là chuẩn Euclide trong En . Khi đó En được gọi là
khơng gian Euclide n chiều.

Ví dụ 1.5. Tập hợp C[a,b] các hàm số liên tục trên [a, b] với các phép toán
cộng và nhân với một số nhất định theo cách thông thường là một không
gian vecto. Hơn nữa nếu đặt

||x|| = max |x(t)|
t∈[a,b]

thì nó trở thành một khơng gian định chuẩn.

Định nghĩa 1.19. Cho {xn } là một dãy trong không gian định chuẩn X .
Nhắc lại rằng {xn } là một dãy Cauchy nếu ||xn −xm || → 0 khi m, n → ∞.
Nếu với metric sinh từ chuẩn, X trở thành khơng gian metric đầy đủ thì
X được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội
tụ về một điểm của nó.

Ví dụ 1.6. Các không gian Rk , C[a,b] , l2 , . . . là các không gian Banach .
Không gain CL[a,b] không phải là không gian Banach.

− 13 −


Định nghĩa 1.20. Cho hai khơng gian tuyến tính X và Y trên trường P
(P là trường số thực R hoặc trường số phức C). Ánh xạ A từ không gian X
vào khơng gian Y gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ A thỏa mãn các điều kiện:
1.∀x, x ∈ X, A(x + x ) = Ax + Ax .
2. ∀x ∈ X, ∀a ∈ P, A(α) = αx.
Định nghĩa 1.21. Cho X là một khơng gian tuyến tính và ||.|| là một
chuẩn xác định trên X . Không gian X với metric d(x, y) = ||x − y|| được
gọi là một khơng gian tuyến tính định chuẩn .
Chú ý 1.3. Một khơng gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ được gọi là một
không gian Banach.
Mệnh đề 1.1. Nếu X là một khơng gian tuyến tính định chuẩn, Y là một
không gian Banach, Tn ∈ L(X, Y ); ∀n ∈ N, sup ||Tn || < ∞ và lim Tn (x)
n→∞

n∈N

tồn tại với mỗi x ∈ A, với cl(span)A = X thì tồn tại lim Tn (x) với mỗi
n→∞

x ∈ X . Ta đặt T (x) = lim Tn (x); ∀x ∈ X thì T ∈ L(X, Y ).
n→∞

Hệ quả 1.1. Nếu X là một không gian Banach, Y là một khơng gian tuyến
tính định chuẩn,Tn ∈ L(X, Y ) và tồn tại giới hạn lim Tn (x); ∀x ∈ X . Nếu

n→∞

ta đặt Tn (x) = lim Tn (x); ∀x ∈ X thì T là một tốn tử tuyến tính liên tục.
n→∞

Tính chất 1.2. (Tiêu chuẩn Cauchy).
Nếu chuỗi ∞
n=1 xn hội tụ thì với mọi ε > 0 đều tồn tại n0 ∈ N sao cho
nếu n ≥ n0 và p ∈ N ta có bất đẳng thức
n+p

||

xm ||

ε.

m=n+1

Ngược lại, nếu điều kiện này được thỏa mãn và X là khơng gian Banach
thì chuỗi

∞
n=1 xn

hội tụ.

− 14 −

Định nghĩa 1.22. Tập con A của một không gian vecto X được gọi là lồi
nếu ∀x, y ∈ A và ∀λ ∈ [0, 1] đều có λx + (1 − λ)y ∈ A.

1.3.

Không gian topo

Định nghĩa 1.23. Một không gian topo là một cặp (X, T ) gồm một tập
X và một lớp T các tập con của X thỏa các điều kiện:
(i) ø ∈ T và X ∈ T.
(ii) Nếu U, V ∈ T thì U ∩ V ∈ T.
(iii) Nếu Uα ∈ T ; ∀α ∈ A thì ∪a∈A ∪α ∈ T.
Mỗi phần tử của T được gọi là một tập mở của X.
Họ T được gọi là một topo trên X.
Ví dụ 1.7. + Cho X là tập hợp tùy ý khác rỗng. Họ T = (Ø, X) là một
topo trên X. (X, T ) được gọi là không gian topo thô (hoặc không gian phản
rời rạc).
+ Họ T = {A | A ⊂ X} là một topo trên X. (X, T ) được gọi là không gian
topo rời rạc.
+ Cho tập hợp X vô hạn T = {A ⊂ X | A = Ø hoặc X \ Ahữu hạn}.
T là một topo trên X. Tập X với topo này gọi là không gian topo bù hữu
hạn.
+ X tùy ý A ⊂ X , T = {Ø, A, X} là một topo trên X.
Định nghĩa 1.24. Cho (X, T ) là không gian topo. Tập G ⊂ X là tập hợp
mở trong (X, T ) nếu G ∈ T .

Nhận xét 1.1. G mở tương đương X \ G đóng.
Giao của hai tập mở là tập mở.
Hợp của một họ tùy ý tập mở là tập mở.

− 15 −


Định nghĩa 1.25. Cho (X, T ) là không gian topo. A ⊂ X và V ⊂ X .
V được gọi là một lân cận của tập hợp A nếu
Tồn tại G ∈ T : A ⊂ G ⊂ V.
Nếu A = {x} thì V được gọi là một lân cận của điểm x. Nếu V là tập
mở thì V là lân cận mở của A.
Định nghĩa 1.26. Cho (X, T ) là không gian topo.Tập F ⊂ X là tập hợp
đóng nếu X \ F ∈ T .
Nhận xét 1.2. F đóng tương đương X \ F mở.
Giao một họ bất kì các tập đóng là một tập đóng.
Hợp hữu hạn các tập đóng là một tập đóng.

Ví dụ 1.8. + Cho X với topo thơ. Khi đó chỉ có hai tập vừa đóng vừa mở
trong X là Ø và X.
+ Cho X với topo rời rạc trên X. Khi đó với mọi A ⊂ X suy ra A vừa mở
vừa đóng.
Định nghĩa 1.27. Cho (X, T ) là không gian topo, A ⊂ X .
Phần trong của A là tập hợp tất cả các điểm trong của tập A.
Kí hiệu: intA hoặc A0 .
Bao đóng của tập A là tập đóng bé nhất trong X chứa A.
Kí hiệu [A] hoặc A¯
Định nghĩa 1.28. Cho (X, T ) là không gian topo, điểm x ∈ X được gọi
là điểm dính của tập A ⊂ X nếu bất kì lân cận nào của x đều có chứa một
điểm của A.
Định lý 1.3. Cho (X, T ), A ⊂ X , x ∈ X , x ∈ A¯ ⇐⇒ x là điểm dính
của tập A.
− 16 −

Chứng minh

(=⇒) Giả sử x khơng là điểm dính của A.
Khi đó tồn tại một lân cận mở V của X sao cho V ∩ A = Ø.
=⇒ A¯ ⊂ X\ =⇒ A¯ ∩ V = Ø.
=⇒ x ∈
/ A¯ (Mâu thuẫn với giả thiết ).
Vậy x là điểm dính của A.
¯
(⇐=) Giả sử x ∈
/ A¯ =⇒ x ∈ X \ A.
Do x là điểm dính của A nên V ∩ A = Ø.(Mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy x ∈ A¯
Định nghĩa 1.29. Cho (X, T ), A, B ⊂ X .
¯
A được gọi là trù mật trong B nếu B ⊂ A.
A là trù mật khắp nơi trong X nếu A¯ = X.

Định lý 1.4. Cho (X, T ), A trù mật khắp nơi trong X ⇐⇒ với mọi
G ∈ T \ {Ø} =⇒ G ∩ A = Ø.
Chứng minh
(=⇒) Lấy G bất kì, G ∈ T {Ø} ⇒ G là lân cận của các phần tử y thuộc

G.
Vì A¯ = X nên ta có G ∩ A = Ø.

(⇐=)Lấy x bất kì x ∈ X và V là lân cận tùy ý của x.
Khi đó tồn tại G ∈ T : x ∈ G ⊂ V ⇒ Ø = G ∩ A ⇒ V ∩ A = Ø.
Vậy A¯ = X .

Định nghĩa 1.30. Cho (X, T ) . Họ ⊂T là một cơ sở topo của T nếu

∀x ∈ X, ∀V ∈ Vx , ∃B ∈ B : x ∈ B ⊂ V
Cơ sở topo B được gọi là đếm được nếu B gồm một số đếm được những
tập mở.

− 17 −


Định lý 1.5. Cho B ⊂ T. B là cơ sở topo của (X, T ) khi và chỉ khi mỗi
tập mở trong X là tập hợp của một họ các tập hợp nào đó thuộc B.
Chứng minh
(⇒) Giả sử G là tập mở. Ta có G là lân cận của mỗi điểm x thuộc G.
Do B là cơ sở topo nên mỗi x thuộc G đều tồn tại Bx ∈ B : x ∈ Bx ⊂

G ⇒ G = ∪x∈G Bx .
(⇐) ∀x ∈ X, ∀V ∈ Vx , ⇒ ∃G ∈ T : x ∈ G ⊂ V . Do G =
nên
∃Bα0 ∈ B : x ∈ Bα0 ⊂ V .
Vậy B là cơ sở topo của (X, T ).

α Bα ,Bα

∈B

Định nghĩa 1.31. B là một họ tập hợp mở của không gian topo (X, T ),
tức là B ⊂ T. B gọi là một cơ sở của không gian topo (X, T ) (hoặc cơ sở
của topo T) nếu mỗi tập hợp mở trong X là hợp của một họ nào đó những
tập hợp thuộc B.
Định lý 1.6. Họ B là cơ sở của một topo nào đó trên X = ∪{B1 , B2 ∈ B}

khi và chỉ khi với mỗi B1 , B2 ∈ B và với mỗi x ∈ B1 ∩ B2 đều tồn tại

B ∈ B sao cho x ∈ B ∈ B1 ∩ B2 .
Chứng minh
(⇒) Giả sử B là cơ sở topo của T. Khi đó với B1 , B2 ∈ B ⇒ B1 ∩ B2 ∈ T.
Với mỗi x ∈ B1 ∩ B2 thì B1 ∩ B2 là lân cận của x nên

∃b ∈ B : x ∈ B ⊂ B1 ∩ B2 .
(⇐) Trên X xây dựng một họ T như sau
T = {G = α Bα , Bα ∈ B}.
Ta có:
+ Ø ∈ T , X ∈ T.
+∀G1 , G2 ∈ T. Ta chứng minh G1 ∩ G2 ∈ T.
Do G1 ∈ T ⇒ G1 =

Gα1 và G2 ∈ T ⇒ G2 =
α1

Gα2 .
α2

− 18 −


Vậy

G1 ∩ G2 = (

Gα1 ) ∩ (
α1

Gα2 ) =
α2

(Bα1

Bα2 ).

α1 α2

Với mỗi x ∈ G1 ∩ G2 ⇒ ∃Bα1,2 ∈ B : x ∈ Bα1,2 ⊂ Bα1

Bα2 .

Từ đó:

G1 ∩ G2 ⊂ ∪Bα1,2 ⊂

(Bα1

Bα2 )

= G1 ∩ G2 .

α1 α2

⇒ G1 ∩ G2 = ∪Bα1,2 ⇒ G1 ∩ G2 ∈ T .
+ Giả sử {GB }B ∈ T. Ta chứng minh
GB ∈ T .
B

Do với mỗi B ta có GB ∈ T nên:

BαB ⇒

GB =
αB

BαB ∈ T .

GB =
B

B αB

Vậy T là một topo trên X , và B là cơ sở của topo này.
Định nghĩa 1.32. Cho hai không gian topo (X, TX ), (Y, TY ) và ánh xạ
f :X →Y.

f được gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu với mọi lân cận W của f (x0 )
(trong Y) luôn tồn tại một lân cận V của x0 (trong X) sao cho f (V ) ⊂ W .
f liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi điểm x thuộc X .

Định lý 1.7. Cho X,Y là hai không gian topo và ánh xạ f : X → Y . Khi
đó ánh xạ f liên tục tại điểm x0 thuộc X khi và chỉ khi với mỗi lân cận W
của f (x0 ) trong Y thì f −1 (W ) là lân cận của x0 trong X.
− 19 −


Chứng minh

(⇒) Giả sử W là lân cận của của f (x0 ). Do f liên tục tại x0 nên tồn tại
V là lân cận của x0 với f (V ) ⊂ W → V ⊂ f −1 (W ) → f −1 (W ) là một
lân cận của x0 .
(⇐)
Giả sử W là lân cận của của f (x0 ). Theo giả thiết thì f −1 (W ) là một lân
cận của x0 .
Đặt V = f −1 (W ). Ta có V là một lân cận của x0 và f (V ) ⊂ W .
Vậy f liên tục tại x0 .
Định lý 1.8. Giả sử (X, TX ), (Y, TY ) là hai không gian topo và ánh xạ

f : X → Y . Các mệnh đề sau đây là tương đương:
a) Ánh xạ f liên tục trên X.
b) Nghịch ảnh của một tập mở là tập mở.
c) Nghịch ảnh của một tập đóng là tập đóng.
d)Với mọi A ⊂ X → f (A) ⊂ f (A).
e) Với mọi B ⊂ Y → f −1 (B 0 ) ⊂ [f −1 (B)]0 .
Chứng minh
a→b
Giả sử G ∈ TY , G = 0.

∀x ∈ f −1 (G) → G là lân cận của f (x) → f −1 (G) là lân cận của x.
Do đó f −1 (G) là tập mở trong X .
b→c
Giả sử F là tập đóng trong Y .
Do b ta có f −1 (Y \ F ) là tập mở trong X → f −1 (F ) đóng trong X .
c→d
Do c ta có ∀A ⊂ X → f −1 (f (A)) là tập đóng trong X .
Vì A ⊂ f −1 (f (A)) → A ⊂ f −1 (f (A)) → f (A) ⊂ f [f −1 (f (A))] ⊂
f (A).

d→e
Do d ta có ∀B ⊂ Y → f (X \ f −1 (B)) ⊂ f (X \ f −1 (B)).
Vì f (X \ f −1 (B)) ⊂ Y \ B nên:
f (X \ f −1 (B)) ⊂ Y \ B → X \ (f −1 (B))0 → f −1 (B 0 ) ⊂ [f −1 (B)]0 .
e→a
Lấy x bất kì thuộc X và giả sử là lân cận mở của f (x) .
ta có f (x) ∈ W = W 0 . Do e nên x ∈ f −1 (W 0 ) ⊂ (f −1 (W ))0 .
− 20 −


Đặt V = (f −1 (W ))0 . Ta có V là lân cận của X và f (V ) ⊂ W .
Vậy ánh xạ f liên tục tại x. Do x bất kì nên ta có f liên tục trên X .
Định nghĩa 1.33. Cho hai không gian topo X và Y. Ánh xạ f : X → Y
được gọi là một phép đồng phôi nếu f là một song ánh ,f liên tục và f −1
liên tục.
Khi đó hai không gian topo X và Y được gọi là đồng phơi với nhau.

Ví dụ 1.9. Hai khơng gian rời rạc cùng lực lượng thì đồng phơi với nhau.
Hai khơng gian thơ cùng lực lượng thì đồng phơi với nhau.
Nhận xét 1.3. Nếu f : X → Y là một phép đồng phơi thì ta có G ∈
TX ⇔ f (G) ∈ TY . Do đó ta có thể đồng nhất hai không gian đồng phôi.
Quan hệ đồng phôi là quan hệ tương đương.
Định nghĩa 1.34. Cho hai không gian topo X và Y. Ánh xạ f : X → Y
là ánh xạ đóng (mở) nếu mọi tập A đóng (mở) trong X đều có f (A) là tập
đóng (mở) trong Y.

Định nghĩa 1.35. Một không gian topo X được gọi là khả metric nếu tồn
tại một metric mà sinh ra topo của X.

Định nghĩa 1.36. Một không gian topo X được gọi là chính qui nếu mỗi

tập đóng A ⊂ X và với mỗi x ∈ X \ A thì tồn tại các tập mở U, V của X
mà x ∈ U, A ⊂ V và U ∪ V = ø.

Định nghĩa 1.37. Một không gian topo X được gọi là chuẩn tắc nếu hai
tập đóng A, B rời nhau bất kỳ của X thì tồn tại các tập U, V mở trong X
mà A ⊂ U, B ⊂ V và U ∪ V = ø

− 21 −


1.4.

Phép co rút

Định nghĩa 1.38. Cho f : X → Y liên tục gọi là r− ánh xạ nếu tồn
tại ánh xạ g : Y → X liên tục là nghịch phải của f .Nghĩa là hợp thành

f g : Y → Y là ánh xạ đơn vị i từ khơng gian Y lên chính nó.

Tính chất 1.3. Mỗi phép đồng phôi là r−ánh xạ.
gf (x) = x khi và chỉ khi x ∈ g(Y ).

g(Y ) là tập con đóng trong X.
Hợp của hai r−ánh xạ là r−ánh xạ.

Định nghĩa 1.39. Nếu tồn tại r−ánh xạ f : X → Y thì ta gọi khơng
gian Y là r−ảnh của X .

Tính chất 1.4. Mỗi r−ảnh của khơng gian X đồng phơi với tập con đóng
nào đó của nó.

Định nghĩa 1.40. Khơng gian topo tuyến tính Y được gọi là lồi địa phương
nếu với mỗi điểm y ∈ Y và với mỗi lân cận Vy của y tồn tại lân cận lồi U
của y và y ∈ U ⊂ Vy .

Định lý 1.9. Cho A là tập con đóng của không gian metric (X, d), f là
ánh xạ liên tục, và f : a → R. Khi đó tồn tại thác triển liên tục f˜ của f
lên tồn bộ khơng gian X. Nghĩa là f˜|A = f.

Định lý 1.10. (Định lí Dugundji) Giả sử A là tập con đóng của khơng
gian metric (X, d) cịn Y là khơng gian lồi địa phương . Khi đó mỗi ánh
xạ f : A → Y có thác triển liên tục f˜ : X → Y .Hơn thế nữa tất cả các
giá trị f˜ có thể lấy từ bao lồi C(f (A)) của f (A).

− 22 −


Chứng minh
Do A là tập đóng nên X \ A là tập mở. Vì vậy tồn tại phủ chính tắc
{Gµ }, µ ∈ M của X \ A. Ta chọn trong mỗi Gµ một điểm xµ và chọn
tương ứng một điểm aµ ∈ A sao cho:

ρ(xµ , aµ ) < 2ρ(xµ , A)
f (aµ ) là điểm của khơng gian tuyến tính Y .
Ta xét Tµ (x) được xác định như trên. Ta thấy rằng tại x ∈ X \ A hàm
Tµ (x) = 0 chỉ với hữu hạn chỉ số µ ∈ X . Từ đó ta đặt :

f (x)với X ∈ A
˜
f (x) =


µ∈M Tµ (x)f (aµ )với x ∈ X \ A
Ta nhận được hàm f˜ : X → Y là ánh xạ thác triển của f : A → Y và
nhận giá trị trong C(f (A)). Ta cịn phải chứng minh f˜ liên tục.
Vì phủ {Gµ } của X \ A hữu hạn địa phương và A đóng suy ra tồn tại
mỗi điểm p ∈ X \ A tồn tại lân cận U ⊂ X \ A, chỉ giao với hữu hạn
dạng Gµ , ta có thể xem đó là Gµ1 , Gµ2 , ..., Gµn . Vì vậy với mỗi x ∈ U , hàm
Tµ (x) = 0 nếu µ trùng với µi nào đó 1 ≤ i ≤ n, vì mỗi hàm Tµ1 , Tµ2 , ..., Tµn
liên tục phụ thuộc x nên suy ra f˜ liên tục tại mọi điểm x ∈ X \ A. Ngồi
ra ta cịn có f˜ liên tục tại tất cả mọi điểm trong của A. Bây giờ ta chứng
minh hàm f˜ liên tục tại các điểm p ∈ A ∩ (X \ A). Giả sử V là lân cận
bất kì của f˜(p) = f (p)trong Y . Chúng ta cần tìm lân cận U0 của p trong
X sao cho f˜(U0 ) ⊂ V . Khơng mất tính tổng quát ta cho giả thiết V là
tập lồi, vì Y lồi địa phương.
Giả sử K(α) là hình cầu mở trong X với tâm tại p và bán kính α. Bởi
vì f liên tục trong A, khi đó tồn tại ε > 0, sao cho

f (A ∩ K(ε)) ⊂ V
Bởi vì {Gµ } là phủ chính tắc, ta tìm được lân cận U0 của p trong X,
được chứa trong K(ε) và thỏa mãn điều kiện: Từ Gµ ∩ U0 = Ø suy ra
Gµ ⊂ K( 31 ε). Với các điểm xµ ∈ Gµ đã chọn trên đây ta có:
− 23 −


1
ρ(p, aµ ) ≤ ρ(p, xµ ) + ρ(xµ , aµ ) < ε + 2ρ(xµ , A) < ε
3
Nghĩa là f˜(x) = f (x) ∈ V với x ∈ A ∩ U0 và đối với mỗi điểm x ∈
(X \ A) ∩ U0 ) có thể chỉ tìm được các chỉ số µ1 , ..., µn sao cho x thuộc giao
các tập Gµi , (1 ≤ i ≤ n) nhưng khơng thuộc một Gµ nào khác. Từ đó dễ

thấy rằng Tµi (x) > 0 với i = 1, 2, 3..., n và Tµ (x) = 0 đối với tất cả các
chỉ số µ khác.
Từ đó ta suy ra :
n
∼

Tµi (x)f (aµi )

f (x) =
i=1

Vì x ∈ Gµi ∩ U0 ta suy ra f (aµi ) ∈ V và do V lồi ta có f˜(x) ∈ V . Vậy
f˜(U0 ) ⊂ V .
Định lí được chứng minh.

Định lý 1.11. (Kuratowski - Woidyslawski) (Xem [3]) Đối với mỗi không
gian metric X tồn tại một không gian định chuẩn Z và đồng phơi h : X →

h(X) ⊂ Z và h(X) đóng trong bao lồi C(h(X)).

Ví dụ 1.10. Cho ánh xạ liên tục f : R → R, tập A = {(x, f (x)) : x ∈ R}.
Giả sử g0 là ánh xạ liên tục và g0 : A → R3 . Chứng minh rằng tồn tại thác
triển liên tục của g0 lên R2 :

g : R2 → R3
Chứng minh
Theo giả thiết f là ánh xạ liên tục nên nó có đồ thị đóng. Tức A đóng
3
2
trong R2 . R3 là khơng gian định chuẩn với chuẩn ||x|| =

i=1 |xi | với
x = (x1 , x2 , x3 ) . Do đó áp dụng đinh lí Dugundji về thác triển ta thu được

thác triển liên tục g : R2 → R3 của g0

− 24 −