Các phép biến hình trong giải toán hình học phổ thông

B

GIÁO D C VÀ ðÀO T O
ð I H C ðÀ N NG

PHAN TH THANH PHƯ NG

CÁC PHÉP BI N HÌNH TRONG GI I TỐN
HÌNH H C PH THƠNG

LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C

ðà N ng – Năm 2014


B

GIÁO D C VÀ ðÀO T O
ð I H C ðÀ N NG

PHAN TH THANH PHƯ NG

CÁC PHÉP BI N HÌNH TRONG GI I TỐN
HÌNH H C PH THƠNG

CHUN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P
MÃ S : 60.46.0113

LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C
Ngư i hư ng d n khoa h c: TS. NGUY N NG C CHÂU

ðà N ng – Năm 2014


B NG CÁC KÍ HI U ðƯ C DÙNG TRONG LU N VĂN
∆ ABC

: Tam giác ABC

(O; R)

: ðư ng trịn tâm O, bán kính R.

(ABC)

: ðư ng trịn ngo i ti p tam giác ABC.

(O)

: ðư ng tròn tâm O.

ABC

: Góc ABC .

SABCD

: Di n tích t giác ABCD.

AB

: ð dài ñ i s c a vectơ AB .

f(M) = M’

: Phép bi n hình f bi n M thành M’.

PM/(O)

: Phương tích c a đi m M đ i v i đư ng trịn (O).

a // b

: ðư ng th ng a song song v i ñư ng th ng b.

a⊥b

: ðư ng th ng a vng góc v i ñư ng th ng b.

A↔B

: Bi n ñi m A thành ñi m B và ngư c l i.


L I CAM ðOAN
Tơi cam đoan đây là cơng trình nghiên c u c a riêng tôi.
Các s li u, k t qu nêu trong lu n văn là trung th c và chưa t ng đư c
ai cơng b trong b t kỳ cơng trình nào khác.
Tác gi lu n văn.

Phan Th Thanh Phư ng

M CL C
M

ð U............................................................ .............................................. 1
1. Sơ lư c v l ch s Hình h c.................................................................. 1
2. Lí do ch n ñ tài.................................................................................... 2
3. M c tiêu và nhi m v nghiên c u......................................................... 2
4. ð i tư ng và ph m vi nghiên c u ........................................................ 3
5. Phương pháp nghiên c u ...................................................................... 3
6. C u trúc c a lu n văn............................................................................ 3

CHƯƠNG 1: CÁC PHÉP BI N HÌNH TRONG HÌNH H C PH
THƠNG ............................................................................................................ 4
1.1. ð I CƯƠNG V PHÉP BI N HÌNH....................................................... 4
1.1.1. Khái ni m phép bi n hình ............................................................... 4
1.1.2. M t s

phép bi n hình trong chương trình hình h c ph

thơng…….................................................................................................. 6
1.1.3. Tích c a hai phép bi n hình ............................................................ 6
1.2. PHÉP D I HÌNH....................................................................................... 7
1.2.1. ð nh nghĩa và tính ch t ................................................................... 7
1.2.2. M t s phép d i hình cơ b n .......................................................... 8
1.3. PHÉP V" T# ............................................................................................ 14
1.3.1. ð nh nghĩa và tính ch t ................................................................. 14
1.3.2. Tâm v t$ c a hai đư ng trịn ....................................................... 15
1.4. PHÉP ð%NG D NG............................................................................... 16

1.4.1. ð nh nghĩa và tính ch t ................................................................. 17
1.4.2. M i quan h gi&a phép ñ'ng d ng, phép v t$ và phép d i hình . 17
1.5. PHÉP NGH"CH ð(O.............................................................................. 18


CHƯƠNG 2: !NG D NG C"A PHÉP BI N HÌNH ð# GI I TỐN
HÌNH H C SƠ C P .................................................................................... 21
2.1. M)T S* D NG TỐN CĨ TH+ GI(I ðƯ,C B-NG CÁC PHÉP
BI N HÌNH..................................................................................................... 21
2.1.1. D ng 1 - Ch ng minh hai ño n th ng b.ng nhau và áp d ng ...... 21
2.1.2. D ng 2 - Ch ng minh các góc b.ng nhau..................................... 21
2.1.3. D ng 3 - Ch ng minh ba ñi m th ng hàng................................... 21
2.1.4. D ng 4 - Ch ng minh các ñư ng th ng ñ'ng quy........................ 21
2.1.5. D ng 5 – Các bài tốn v đi m c đ nh ........................................ 22
2.1.6. D ng 6 – Các bài toán c$c tr ........................................................ 22
2.1.7. D ng 7 – D$ng hình...................................................................... 22
2.1.8. D ng 8 – Tìm t p h p đi m .......................................................... 23
2.2. /NG D0NG C1A CÁC PHÉP D I HÌNH............................................ 23
2.2.1. Ch ng minh hai đo n th ng b.ng nhau và áp d ng...................... 24
2.2.2. Các bài toán th ng hàng, các ñư ng th ng ñ'ng quy, các ñi m c
ñ nh ....................................................................................................... 29
2.2.3. C$c tr

........................................................................................ 33

2.2.4. D$ng hình...................................................................................... 38
2.2.5. Tìm t p h p đi m (qu2 tích) ......................................................... 42
2.3. /NG D0NG C1A PHÉP ð%NG D NG............................................... 49
2.3.1. Ch ng minh ba ñi m th ng hàng .................................................. 49
2.3.2. Ch ng minh các ñư ng th ng ñ'ng quy....................................... 53

2.3.3. Ch ng minh m t ñư ng th ng ñi qua m t ñi m c ñ nh.............. 56
2.3.4. D$ng hình...................................................................................... 59
2.3.5. Tìm t p h p đi m (qu2 tích) ......................................................... 62
2.4. /NG D0NG C1A PHÉP NGH"CH ð(O.............................................. 69
2.4.1. Ch ng minh hai góc b.ng nhau .................................................... 69


2.4.2. Các bài tốn v th ng hàng, đi m c đ nh .................................... 71
2.4.3. D$ng hình...................................................................................... 74
2.4.4. Tìm t p h p đi m (qu2 tích) ......................................................... 78
K T LU N.................................................................................................... 82
Tài li$u tham kh%o...................................................................... .................. 83
QUY T ð NH GIAO ð& TÀI LU N VĂN (B%n sao)


1

M

ð U

1. Sơ lư c v l ch s Hình h c
Cùng v i S h c, Hình h c là m t trong hai nhánh lâu ñ i nh t c a l ch
s phát tri n Toán h c [23]. Hình h c c đi n t p trung ch y u vào vi c t o
hình, bư c ñ u phát tri n m nh m b i ngư i Ai c p c ñ i và ngư i Babylon
c đ i. Th m chí h cịn bi t công th c Pythagore trư c Pythagore 1500 năm,
hay có th tính b ng cơng th c m t cách chính xác th tích c a m t hình
chóp. Các thành t u ban đ u đó v sau ñã ñư c ghi chép và lưu tr cho t i t n
ngày nay. Nh ng đóng góp l n lao có đư c cịn ph i k đ n cơng c a Thales,
Pythagore và Euclid. Thales đã nghĩ ra ý tư ng tài tình đo chi u cao m t v t

khi m t tr i chi u ch ch m t góc sao cho bóng dài b ng v t. Tuy v y n u ño
chi u cao Kim t tháp, lúc bóng dài v i v t thì cái bóng q dài, ơng đã c i
ti n b ng cách ño chi u cao d a trên t l cái bóng v i chi u dài th c c a m t
v t, do đó ch c n đo cái bóng ng n là có th tính đư c chi u cao. T! đó, ð nh
lý Thales tr danh “Các ñư ng th#ng song song ch n trên nh ng ñư ng th#ng
khác thành các ño n th#ng tương

ng t l ” ñã ra ñ i. Sau Thales là

Pythagore, ngư i ñã ch ng minh ñư c cơng th c mang tên mình. Chú ý r ng
dù cơng th c tính bình phương c nh huy n c a m t tam giác vng đã có t!
lâu ñ i nhưng Pythagore m i là ngư i ñ u tiên ch ng minh ñư c công th c
y. ð n th k th III TCN, hình h c đã đư c cách m ng hóa b i nhà tốn h c
Hy L p là Euclid. Ơng đã t ng h p các cơng trình c a nh ng ngư i ñi trư c
trong tác ph%m “Nguyên lý” (có nơi d ch là “Căn b n” ti ng Anh c a tác
ph%m là “Elements”, nghĩa là “Các thành t ”) [22], h th ng l i toàn b ki n
th c, ghi chép các ñ nh lý và các ch ng minh, b sung các ch ng minh cịn
thi u d a trên 5 tiên đ mà trong ñó tiên ñ cơ b n và n i ti ng nh t mang tên


2

ơng là tiên đ Euclid: “Qua m t đi m ngồi m t đư ng th#ng, ch có th k&
đư c duy nh t m t ñư ng th#ng song song v i đư ng th#ng đó”. Tiên đ này
đ n nay v'n chưa ch ng minh ñư c và d a trên nó, m t h hình h c hồn
ch nh đã đư c phát tri n, chính là hình h c Euclid quen thu c sau này. Trong
lo i hình h c này, Phép bi n hình là m t ph n quan tr ng c a hình h c sơ c p,
là cơng c( đ c l c, hi u qu đ nghiên c u các hình và các quan h hình h c.
Nó đóng vai trị giúp ta hi u rõ hơn v Hình h c và gi i quy t đư c nhi u bài
tốn m t cách ñơn gi n so v i cách ti p c n thơng thư ng.

2. Lí do ch n đ tài
Vi c d y và h c Hình h c nói chung và Phép bi n hình nói riêng

ph

thông là r t c n thi t, không ch cung c p cho h c sinh h th ng ki n th c, kĩ
năng tốn h c mà cịn cịn rèn luy n cho h c sinh đ c tính, ph%m ch t c a
m t ngư i có tính c%n th n, chính xác, có tính k lu t, tính sáng t o, và c
đư c b)i dư*ng óc th%m mĩ. Hi n nay trong chương trình THPT, phép bi n
hình đư c đưa vào gi ng d y

hai kh i l p là 11 và 12. ðây là m t mơn h c

hay nhưng khá khó và tr!u tư ng ñ i v i h c sinh. Chương trình đào t o và
sách giáo khoa hình h c cũng có nêu m t vài ng d(ng c a phép bi n hình,
tuy nhiên v'n cịn r t ít, hơn n a chưa ñ nh hư ng rõ cách ti p c n vi c ng
d(ng c a phép bi n hình trong gi i tốn hình h c.
Nh m tìm hi u đ h th ng m t tài li u tham kh o t t cho h c sinh ph
thông khi h c các phép bi n hình cùng nh ng ng d(ng c a nó, tơi ch n đ
tài lu n văn Th c sĩ c a mình là: “Các phép bi n hình trong gi i tốn hình
h c ph thơng”.
3. M c tiêu và nhi m v nghiên c u
- Các phép bi n hình trong hình h c cùng nh ng tính ch t liên quan.
- H th ng và phân lo i m t s l p bài toán gi i ñư c b ng phép bi n
hình.


3

- Cách ti p c n và quy trình gi i cho t!ng d ng toán.

4. ð i tư ng và ph m vi nghiên c u
- Các phép bi n hình trong chương trình hình h c ph thơng.
- Các l p bài tốn hình h c gi i ñư c b ng phép bi n hình.
- Quy trình v cách ti p c n vi c ng d(ng phép bi n hình đ gi i tốn.
5. Phương pháp nghiên c u
- Thu th p các tài li u v phép bi n hình như sách giáo khoa, sách giáo
viên, các tài li u chuyên ñ v phép bi n hình, …
- ð c, phân tích, t ng h p các tài li u ñ h th ng và phân lo i các
d ng tốn gi i đư c b ng các phép bi n hình.
- Trao đ i, th o lu n, tham kh o ý ki n c a ngư i hư ng d'n ñ th c
hi n ñ tài.
6. C u trúc c a lu n văn
Ngồi ph n m đ u và k t lu n, n i dung c a lu n văn ñư c chia thành
hai chương:
Chương 1: CÁC PHÉP BI,N HÌNH TRONG HÌNH H-C PH. THƠNG.
Chương này trình bày sơ lư t v các phép bi n hình, phép d i
hình, phép v t , phép ñ)ng d ng và phép ngh ch ñ o, ñ làm cơ s cho
chương sau.
Chương 2: /NG D0NG C1A PHÉP BI,N HÌNH ð2 GI3I TỐN HÌNH
H-C SƠ C5P.
Chương này trình bày ng d(ng c a phép bi n hình đ gi i m t s
l p bài tốn hình h c thu c chương trình Trung h c ph thông.


4

CHƯƠNG 1: CÁC PHÉP BI N HÌNH TRONG HÌNH H C

PH

THƠNG

Chương này trình bày sơ lư t v các phép bi n hình, phép d i hình,
phép v t , phép ñ ng d ng và phép ngh ch ñ o, ñ làm cơ s cho chương
sau. Các chi ti t liên quan có th tìm xem trong [7], [14], [15].
1.1. ð I CƯƠNG V PHÉP BI N HÌNH
1.1.1. Khái ni m phép bi n hình
Thơng thư ng, đ đ nh nghĩa Hình H c ngư i ta thư ng b t ñ u t! khái
ni m ði m, ðư ng, M t, V t th trư c. Sau đó ngư i ta đ nh nghĩa m t
"Hình" là m t t p g)m có ði m, ðư ng, M t, V t th đ t trong khơng gian
v i cách th c thông thư ng. T! các khái ni m đó, đ nh nghĩa Hình H c đư c
phát bi u như sau: "Hình H c là ngành khoa h c nghiên c u các tính ch t c a
các Hình". Tuy nhiên, đ nh nghĩa như v y v'n chưa phù h p. M t ví d( đưa
ra là màu c a hình đó khi đư c v trong khơng gian cũng là tính ch t mà rõ
ràng v i ý ni m chúng ta đang có thì Hình H c khơng nghiên c u lo i tính
ch t này. Nh ng tính ch t ki u như kho ng cách t m t ñ nh c a tam giác t i
c nh đ i c a nó, thì ph thu c cũng như khơng ph thu c vào cách t o ra tam
giác m i là ñ i tư ng nghiên c u c a Hình H c. Hơn n a, khi Lobachevsky
đưa ra Hình H c phi Euclid, ngư i ta m i b t ñ u nh n th c rõ ràng r ng
không ch có m t lo i Hình H c mà ngư i ta t!ng bi t, và do đó vi c ñ nh
nghĩa Hình H c ñúng ñ n là c n thi t hơn. Khi đó, đ nh nghĩa m i đư c vi t
l i: "Hình H c là m t ngành khoa h c nghiên c u các tính ch t hình h c c a
các Hình, trong đó tính ch t hình h c c a m t Hình là t t c các tính ch t
chung c a các Hình đ ng d ng v i nó". ð n đây đ nh nghĩa Hình H c ch cịn
vư ng l i khái ni m đ ng d ng v i phát bi u: "hai Hình đư c g i là ñ ng
d ng n u m t Hình này có th t o ra m t Hình m i trùng kh p v i Hình cịn
l i

m i chi ti t b ng các cách th c phóng l n, thu nh6 hay di chuy n trong

5

khơng gian". Và, các cách th c này đư c g i là các phép bi n hình. Phép bi n
hình do đó tr thành m t m ng đư c đào sâu đ hi u bi t v Hình H c ñư c
rõ ràng hơn và ñ n lư t mình, nh ng tính ch t c a các phép bi n hình l i
đóng góp tích c c trong vi c nghiên c u Hình H c. C( th hơn, Phép bi n
hình đư c đ nh nghĩa như sau:
ð nh nghĩa 1.1
Ta kí hi u t p h p t t c các ñi m c a m t ph#ng (hay không gian) là
T M t song ánh t! T lên chính nó đư c g i là phép bi n hình trong m t

ph#ng (hay khơng gian).
Nói cách khác, quy t c đ t tương ng m7i đi m M trong m t ph#ng
(hay khơng gian) v i m t ñi m xác ñ nh duy nh t M’ trong m t ph#ng (hay
khơng gian) đó ñư c g i là phép bi n hình trong m t ph#ng (hay khơng gian).
N u kí hi u phép bi n hình là f thì ta vi t f ( M ) = M ' hay M ' = f ( M )
và g i ñi m M ' là nh c a ñi m M qua phép bi n hình f .
N u H là m t hình nào đó trong m t ph#ng (hay khơng gian) thì ta kí
hi u H ' = f ( H ) là t p các ñi m M ' = f ( M ) , v i m i ñi m M thu c H . Khi
đó ta nói f bi n hình H thành hình H ' , hay hình H ' là nh c a hình H
qua phép bi n hình f .
ð nh nghĩa 1.2
M t đi m M thu c T ñư c g i là ñi m b t ñ ng (ho c là ñi m kép)
đ i v i phép bi n hình f n u f (M) = M.
ð nh nghĩa 1.3
Phép bi n hình bi n m7i đi m M thu c T thành chính nó đư c g i là
phép bi n hình đ)ng nh t, kí hi u là Id .
ð nh nghĩa 1.4
Cho phép bi n hình f , song ánh ngư c f −1 c a f cũng là phép bi n

6

hình, và g i là phép bi n hình đ o ngư c c a f .
T! ñ nh nghĩa 1.1 ta suy ra f −1 ( M ') = M n u f ( M ) = M ' . Hơn n a,
m7i phép bi n hình f có duy nh t m t phép bi n hình đ o ngư c f −1 th6a
mãn tính ch t f −1 f = f f −1 = Id .
ð nh nghĩa 1.5
M t phép bi n hình f g i là có tính đ i h p n u nó có phép đ o ngư c
trùng v i chính nó, nghĩa là f là phép bi n hình có tính ñ i h p n u và ch
n u f = f −1 .
1.1.2. M t s phép bi n hình trong chương trình hình h c ph thơng
Trong khơng gian Euclid, có nh ng phép bi n hình gi nguyên ñư c
kho ng cách c a các ñi m trên Hình (phép d i hình), và nh ng phép bi n
hình khơng gi ngun đư c các kho ng cách này (phép ñ)ng d ng, phép
ngh ch ñ o). Lu n văn này s trình bày c hai lo i phép bi n hình đó, c( th
là:
- Phép t nh ti n.
- Phép ñ i x ng tr(c.
- Phép ñ i x ng tâm.
- Phép quay.
- Phép v t .
- Phép ñ)ng d ng.
- Phép ngh ch ñ o.
1.1.3. Tích c a hai phép bi n hình
ð nh nghĩa 1.6
Trong hình h c ta thư ng ph i th c hi n nhi u phép bi n hình liên ti p
nhau. N u th c hi n phép bi n hình f1 : T → T đ bi n m t đi m M b t kì c a
t p T thành m t đi m M’, sau đó th c hi n phép bi n hình th hai f 2 : T → T

7

ñ bi n M’ thành M’’, nghĩa là M ' = f1 ( M ) và M '' = f 2 ( M ' ) . Khi đó phép
bi n hình f bi n M thành M’’ g i là tích (hay h p thành) c a hai phép bi n
hình f1 và f 2 , và kí hi u f = f 2 f1 . Ta có:
f (M ) =

( f2

f1 )( M ) = f 2  f1 ( M )  = f 2 ( M ') = M ''

Chú ý 1.1: Kí hi u tích f 2 f1 là k t qu c a vi c th c hi n liên ti p hai phép
bi n hình: phép th nh t là f1 và phép th hai là f 2 . Nói chung tích f 2 f1 và
tích f1 f 2 là hai phép bi n hình khác nhau.
Ta cũng xác đ nh đư c tích f 3 f 2 f1 = f 3 ( f 2 f1 ) là tích c a phép bi n
hình ( f 2 f1 ) và phép bi n hình f 3 theo th t đó. Tương t ta cũng th c hi n
ñư c nhi u phép bi n hình liên ti p nhau.
Tính ch t 1.1 [12]
Gi s

f1 , f 2 , f 3 là 3 phép bi n hình trong m t ph#ng ho c trong khơng

gian. Khi đó
1. f 3 ( f 2 f1 ) = ( f 3 f 2 ) f1 = f 3 f 2 f1
2. Tích các phép bi n hình khơng có tính giao hốn: f 2 f1 ≠ f1 f 2
3. Trong t p h p các phép bi n hình c a m t m t ph ng ho c khơng
gian, phép bi n hình đ ng nh t Id là ph n t trung hịa trong phép tốn h p
thành:

Id f = f Id

4. Phép bi n hình ñ o ngư c c a tích f 2 f1 là f1−1 f 2 −1 :

( f2

f1 )

−1

= f1−1 f 2 −1

1.2. PHÉP D!I HÌNH
1.2.1. ð nh nghĩa và tính ch t
ð nh nghĩa 1.7
Phép d i hình là phép bi n hình b o tồn kho ng cách gi a 2 ñi m b t


8

kì. Nghĩa là v i phép d i hình f và hai đi m A, B b t kì trong khơng gian,
ta có: f ( A ) = A ' và f ( B ) = B ' thì AB = A’B’, ∀ A, B.
Tính ch t 1.2 [8]
- Phép d i hình bi n ba đi m th ng hàng thành ba ñi m th ng hàng và
b o tồn th t gi a các đi m y.
- Phép d i hình bi n đư ng th ng thành ñư ng th ng, bi n tia thành
tia, bi n ño n th ng thành ño n th ng b ng nó.
- Phép d i hình bi n tam giác thành tam giác b ng nó, bi n góc thành
góc b ng nó.
- Phép d i hình bi n đư ng trịn thành đư ng trịn có cùng bán kính.

M nh đ 1.1 [15]
N u phép d i hình f có ba đi m b t đ ng khơng th#ng hàng thì f là
phép bi n hình đ)ng nh t.
ð nh lý 1.1 [7]
Tích c a hai phép d i hình là m t phép d i hình.
H qu 1.1 [7]
1. Tích c a n phép d i hình là m t phép d i hình.
2. Tích c a m t phép d i hình và phép đ o ngư c c a nó là phép bi n
hình đ)ng nh t.
ð nh nghĩa 1.8
Hai hình đư c g i là b ng nhau n u có m t phép d i hình bi n hình này
thành hình kia.
1.2.2. M t s phép d"i hình cơ b n
a) Phép t nh ti n:
ð nh nghĩa 1.9
Trong m t ph#ng (hay không gian), cho vectơ v . Phép bi n hình bi n
m7i ñi m M thành ñi m M’ sao cho MM ' = v ñư c g i là phép t nh ti n theo


9

vectơ v .

v

Phép t nh ti n theo vectơ v

v

thư ng đư c kí hi u là Tv , như v y

Tv ( M ) = M ' ⇔ MM ' = v .

v

Vectơ v ñư c g i là vectơ t nh

Hình 1.1

ti n.
Phép t nh ti n theo vectơ 0 chính là phép bi n hình đ)ng nh t.
Tính ch t 1.3 [14]
- Phép t nh ti n là m t phép d i hình, và do đó nó có m i tính ch t c a
m t phép d i hình.
- Phép t nh ti n Tv bi n đi m M thành đi m M’ thì phép t nh ti n T− v
bi n ñi m M’ thành ñi m M. Nghĩa là, (Tv ) = T− v .
−1

- N u A’, B’ là nh c a hai ñi m A, B trong phép t nh ti n

Tv thì

A ' B ' = AB .
ð nh lý 1.2 [7]
Tích hai phép t nh ti n là m t phép t nh ti n.
b) Phép ñ i x ng tr c:
ð nh nghĩa 1.10
Trong m t ph#ng (hay khơng gian) cho đư ng
th#ng d. Phép bi n hình bi n m7i đi m M thu c d thành
chính nó, bi n m7i đi m M trong m t ph#ng (hay không
gian) không thu c d thành M’ sao cho d là ñư ng trung

tr c c a ño n th#ng MM’ ñư c g i là phép ñ i x ng qua
ñư ng th#ng d hay phép ñ i x ng tr(c d. Phép ñ i x ng
tr(c d thư ng đư c kí hi u là ðd.

Hình 1.2


10

Tính ch t 1.4 [7], [15]
- Phép đ i x ng tr c là m t phép d i hình, và do đó nó có m i tính ch t
c a m t phép d i hình.
- M i đi m n m trên tr c d ñ u là ñi m b t ñ ng.
- Phép ñ i x ng tr c có tính đ i h p, nghĩa là
ðd(M) = M’ ⇔ ðd(M’) = M.
- Tích hai phép ñ i x ng tr c có tr c song song là phép t nh ti n.
c) Phép ñ i x ng qua m t ph ng trong không gian:
ð nh nghĩa 1.11
Trong không gian, cho m t ph#ng
(P). Phép bi n hình bi n m7i đi m M
thành đi m M’ sao cho (P) là m t ph#ng
trung tr c c a ño n MM’ g i là phép ñ i
x ng qua m t ph#ng (P), kí hi u là ð(P).
M t ph#ng (P) g i là m t ph#ng đ i

Hình 1.3

x ng.
Tính ch t 1.5 [10], [12]
- Phép ñ i x ng qua m t ph ng là m t phép d i hình, và do đó nó có

m i tính ch t c a m t phép d i hình.
- M i đi m n m trong m t ph ng (P) ñ u là ñi m b t ñ ng.
- Phép ñ i x ng qua m t ph ng:
+ bi n ñư ng th ng thành ñư ng th ng song song, ho c c#t
nhau trên m t ph ng (P). Bi n đư ng th ng vng góc v i m t
ph ng (P) thành chính nó.
+ bi n m t ph ng vng góc v i m t ph ng (P) thành chính nó.
- Phép đ i x ng qua m t ph ng có tính đ i h p, nghĩa là:
ð(P)(M) = M’ ⇔ ð(P)(M’) = M.


11

ð nh lý 1.3 [10]
1. Trong khơng gian, tích c a hai phép ñ i x ng qua hai m t ph#ng (P),
(Q) song song v i nhau là phép t nh ti n theo vectơ 2v , v i v là vectơ d i t!
m t ph#ng (P) ñ n m t ph#ng (Q).
2. Trong khơng gian, tích c a hai phép ñ i x ng qua hai m t ph#ng c t
nhau và vng góc v i nhau là m t phép ñ i x ng tr(c qua giao tuy n c a hai
m t ph#ng.
d) Phép ñ i x ng tâm:
ð nh nghĩa 1.12
Trong m t ph#ng (hay khơng gian),
cho đi m I. Phép bi n hình bi n đi m I
thành chính nó, bi n m7i ñi m M khác
ñi m I thành M’ sao cho I là trung ñi m
ño n th#ng MM’, ñư c g i là phép ñ i
x ng tâm I. ði m I ñư c g i là tâm ñ i
x ng. Phép ñ i x ng tâm I thư ng đư c

Hình 1.4

kí hi u là ðI.
Tính ch t 1.6 [7], [10], [14]
- Phép ñ i x ng tâm là m t phép d i hình, và do đó nó có m i tính
ch t c a m t phép d i hình.
- T đ nh nghĩa 1.8 ta suy ra: M’ = ðI(M) ⇔ IM ' = − IM .
- Phép đ i x ng tâm I có m t ñi m b t ñ ng duy nh t là tâm I.
- N u ðI(M) = M’ và ðI(N) = N’ thì M ' N ' = − MN
- Phép đ i x ng tâm có tính đ i h p, nghĩa là:
ðI(M) = M’ thì ðI(M’) = M.
ð nh lý 1.4 [10], [15]
1. Tích c a hai phép ñ i x ng tâm là m t phép t nh ti n.


12

2. Tích c a ba phép đ i x ng tâm v i ba tâm ñ i x ng phân bi t là m t
phép ñ i x ng tâm.
3. Tích c a m t phép đ i x ng tâm và m t phép t nh ti n là m t phép
đ i x ng tâm.
4. Tích hai phép đ i x ng tr(c có tr(c vng góc là phép ñ i x ng tâm,
tâm là giao ñi m c a hai tr(c.
5. Trong khơng gian, tích c a hai phép ñ i x ng qua hai ñư ng th#ng
c t và vng góc v i nhau là m t phép ñ i x ng tâm qua giao ñi m c a hai
ñư ng th#ng.
e) Phép quay trong m t ph ng:
ð nh nghĩa 1.13
Trong m t m t ph#ng ñ nh hư ng, cho ñi m O c ñ nh và góc ñ nh
hư ng α . Phép bi n hình bi n m7i đi m M thành ñi m M’ sao cho

OM ' = OM và ( OM , OM ' ) = α ñư c g i là phép quay tâm O góc α . Phép

quay tâm O, góc α thư ng đư c kí hi u Q(O ,α ) .
ði m O ñư c g i là tâm quay cịn α đư c g i là góc quay c a phép
quay đó.
Trong đ nh nghĩa trên ta kí hi u ( OM , OM ' ) là góc đ nh hư ng v i tia
ban ñ u là OM và tia cu i là OM’.
Phép Q(O ,k 2π ) là phép bi n hình đ)ng nh t. Phép Q(O ,(2 k +1)π ) là phép ñ i
x ng tâm O.
Ta thư ng ch n chi u dương là chi u ngư c chi u kim ñ)ng h), chi u
âm là chi u cùng chi u kim đ)ng h).
Tính ch t 1.7 [7], [14] , [15]
- Phép quay trong m t ph ng là m t phép d i hình, và do đó nó có m i
tính ch t c a m t phép d i hình.


13

- Phép quay Q(O ,α ) , v i α ≠ k2π ch có m t đi m b t ñ ng duy nh t là
tâm quay O.
- Phép quay Q(O ,α ) bi n ñư ng th ng ñi qua O thành ñư ng th ng ñi
qua O.
- Phép quay Q(O ,α ) bi n tia thành tia và góc t o b i hai tia b ng α.
- N u phép quay Q(O ,α ) bi n ñi m M thành đi m M’ thì phép quay
Q( O ,−α ) bi n ñi m M’ thành ñi m M, nghĩa là (Q( O ,α ) )−1 = Q( O ,−α ) .

ð nh lý 1.5 [7], [10]
1. Tích c a hai phép quay cùng tâm O là m t phép quay tâm O v i góc
quay b ng t ng hai góc quay c a hai phép quay ñã cho.
2. Tích c a hai phép quay khác tâm là m t phép quay v i góc quay

b ng t ng hai góc quay c a hai phép quay ñã cho, hay ñ c bi t là m t phép
t nh ti n n u hai phép quay ñã cho có các góc đ i nhau.
3. Trong m t ph#ng, tích c a hai phép đ i x ng tr(c d và d’ c t nhau t i
O là phép quay Q( O ,2α ) v i α = (d, d’).
f) Phép quay xung quanh m t tr c trong khơng gian:
ð nh nghĩa 1.14
Trong khơng gian, cho đư ng th#ng d đ nh hư ng và góc đ nh hư ng
α. Phép bi n hình bi n m7i ñi m M thành M’ sao cho M, M’ thu c m t ph#ng
đ nh hư ng vng góc v i d t i O, OM = OM’ và (OM , OM’) = α là phép
quay quanh tr(c d góc quay α. Kí hi u Q(d, α).
Chi u dương c a phép quay ñư c ch n sao cho m t ngư i ñ ng t i O,
hư ng t! chân ñ n ñ u là hư ng c a ñư ng th#ng d s th y chi u quay ñó
ngư c chi u kim ñ)ng h). Chi u ngư c l i v i chi u dương là chi u âm.
Tính ch t 1.8 [12]


14

- Phép quay xung quanh m t tr c trong khơng gian là m t phép d i
hình, và do đó nó có m i tính ch t c a m t phép d i hình.
- Qua phép quay xung quanh m t tr c d trong không gian, m i ñi m
n m trên ñư ng th ng d ñ u là ñi m b t ñ ng.
- Phép quay xung quanh m t tr c trong không gian bi n m t ph ng
vng góc v i d thành chính nó.
ð nh lý 1.6 [10]
Trong khơng gian, tích c a hai phép ñ i x ng qua m t ph#ng (P), (Q)
c t nhau theo giao tuy n d là phép quay Q(d, 2α) , v i α là góc c a hai m t
ph#ng (P) và (Q).
1.3. PHÉP V# T$
1.3.1. ð nh nghĩa và tính ch t

ð nh nghĩa 1.15
Trong m t ph#ng (hay không gian), cho ñi m O c ñ nh và m t s k ≠
0. Phép bi n hình bi n m7i đi m M thành ñi m M’ sao cho OM ' = k .OM g i
là phép v t tâm O, t s k, và kí hi u là V(O, k).
ði m O ñư c g i là tâm v t , k là t s v t .
Nh n xét 1.1
- Phép v t t s 1 là phép bi n hình đ)ng nh t.
- Phép v t t s -1 là phép đ i x ng tâm.
Tính ch t 1.9 [7], [10], [15], [19]
- Phép v t V(O, k) v i k ≠ 1 có duy nh t m t ñi m b t ñ ng là tâm v
t O.
- N u phép v t V(O, k) bi n hai ñi m M, N l n lư t thành M’, N’ thì
M ' N ' = k. MN .

- Phép v t :


15

+ bi n ba ñi m th ng hàng thành ba đi m th ng hàng và b o tồn th
t c a ba đi m đó.
+ bi n m t góc thành góc b ng nó.
+ bi n m t tam giác thành tam giác ñ ng d ng v i nó.
+ bi n đư ng trịn bán kính R thành đư ng trịn bán kính R’ = k R.
+ bi n m t ñư ng th ng thành m t ñư ng th ng song song ho c trùng
v i nó.
+ bi n b n đi m đ ng ph ng thành b n ñi m ñ ng ph ng.
+ bi n m t ph ng thành m t ph ng song song ho c trùng v i nó.
+ bi n t di&n thành t di&n.
+ bi n m t c u bán kính R thành m t c u bán kính R’ = k R.

- N u phép v t

V(O, k) bi n ñi m M thành M’ thì phép v t V(O, 1/k)

bi n đi m M’ thành M.
ð nh lý 1.7 [15]
1. Tích c a hai phép v t là m t phép v t .
2. Tích c a m t phép v t

V(O, k) (v i k ≠ 0 và k ≠ 1) và m t phép t nh

ti n Tv (v i v ≠ 0 ) là m t phép v t .
1.3.2. Tâm v t% c a hai đư"ng trịn [14]
Cho hai ñư ng tròn (I, R) và (I’, R’). N u phép v t V(O, k) bi n đư ng
trịn (I, R) thành đư ng trịn (I’, R’) thì đi m O ñư c g i là tâm v t c a hai
đư ng trịn (I, R) và (I’, R’).
Và ta có OI ' = k. OI
R’ = k R ⇔ k = ±

R'
R

Trên đư ng trịn (I, R), l y ñi m M. G i M’ là nh c a ñi m M qua
phép v t

V(O, k) , nghĩa là V(O, k)(M) = M’. Khi đó, ta có đi m O là giao


16

ñi m c a I’I và MM’. N u O n m trong ño n n i tâm I’I ta g i là tâm v t
trong, ngư c l i g i là tâm v t ngoài.
Ta xét các trư ng h p sau:
1. Hai đư ng trịn khác tâm (I, R) và (I’, R’)
- N u R ≠ R’
+ N u k > 0 thì I ' M ' =

R'
IM . Do đó, I ' M ' và IM cùng hư ng.
R

Khi đó O là tâm v t ngồi.
+ N u k < 0 thì I ' M ' = −

R'
IM . Do đó, I ' M ' và IM ngư c
R

hư ng. Khi đó O là tâm v t trong.
- N u R = R’. Khi đó k = ± 1
+ N u k = 1 thì I ' M ' = IM . Khi đó, khơng t)n t i phép v t
V(O, 1) bi n ñư ng trịn (I, R) thành (I’, R’) nên hai đư ng trịn khơng có tâm
v t ngồi.
+ N u k = - 1 thì I ' M ' = − IM . Khi đó, trung đi m O c a I’I là
tâm v t trong c a hai đư ng trịn.
V y hai đư ng trịn có tâm v t trong là trung ñi m O c a I’I.
2. Hai ñư ng trịn đ)ng tâm (I, R) và (I, R’) :
Khi ñó, phép v t

V( I , R '/ R ) và V( I ,− R '/ R ) ñ u bi n đư ng trịn (I, R)

thành đư ng trịn (I, R’). V y hai đư ng trịn có tâm v t là I.
Như v y, b t kỳ hai đư ng trịn nào cũng có tâm v t .
1.4. PHÉP ð&NG D NG
1.4.1. ð nh nghĩa và tính ch t
ð nh nghĩa 1.16
Phép bi n hình f đư c g i là phép ñ)ng d ng t s k ( k > 0 ), n u v i
hai ñi m M , N b t kì và M’ , N’ là nh tương ng c a chúng, ta luôn có
M’N’ = k .MN.


17

Tính ch t 1.10 [14]
- Phép đ ng d ng t s k bi n ba ñi m th ng hàng thành ba ñi m
th ng hàng và b o tồn th t gi a các đi m y.
- Phép ñ ng d ng t s k bi n ñư ng th ng thành ñư ng th ng, bi n
m t tia thành m t tia, bi n m t ño n th ng thành m t ño n th ng.
- Phép ñ ng d ng t s k bi n tam giác thành tam giác ñ ng d ng v i
nó, bi n góc thành góc b ng nó.
- Phép ñ ng d ng t s k bi n đư ng trịn bán kính R thành đư ng
trịn có bán kính k R.
Nh n xét 1.2 [12]
- Phép đ o ngư c c a phép ñ)ng d ng t s k là phép ñ)ng d ng v i t
s

1
.
k

- Tích c a m t phép đ)ng d ng t s k1 v i phép ñ)ng d ng t s k2 là
phép ñ)ng d ng t s k1.k2.
ð nh nghĩa 1.17
Hai hình g i là đ)ng d ng nhau n u có phép đ)ng d ng bi n hình này
thành hình kia.
1.4.2. M i quan h gi'a phép đ(ng d ng, phép v t% và phép d"i hình
Nh n xét 1.4: Phép d i hình là phép đ)ng d ng t s 1.
ð nh lý 1.8 [14]
M i phép ñ)ng d ng f t s k ñ u là h p thành c a m t phép v t
t s k và m t phép d i hình D.
ð nh lý 1.9 [14]
Phép v t t s k là phép ñ)ng d ng t s
H qu 1.2 [14]

k .

V


18

Phép v t tâm O, t s k là m t phép đ)ng d ng t s

k nên có các

tính ch t c a phép đ)ng d ng. Ngồi ra, phép v t V(O, k) có tính ch t đ c bi t
là: ñư ng th#ng n i m t đi m và nh c a nó ln ln đi qua tâm O ; nh d’
c a ñư ng th#ng d luôn song song ho c trùng v i d.
1.5. PHÉP NGH#CH ð)O
ð nh nghĩa 1.18

Cho ñi m O và s th c k khác 0, v i m7i ñi m M khác O ta d ng
ñi m M’ trên ñư ng th#ng OM sao cho OM .OM ' = k , khi đó ta nói M’ là nh
c a ñi m M trong phép ngh ch ñ o tâm O, phương tích k (ho c h s k ).
Ta kí hi u phép ngh ch đ o tâm O, phương tích k bi n đi m M thành
đi m M’ là I (O ,k ) (M ) = M ' .
Vì OM .OM ' = k khơng đ i nên n u M ti n l i càng g n O thì đi m M’
càng đi xa đi m O và ngư c l i.
Ta quy ư c nh c a đi m O là đi m vơ c c.
Tính ch t 1.11 [7], [15], [19]
1. Phép ngh ch đ o có tính đ i h p, nghĩa là I (O ,k ) (M ) = M ' thì
I ( O ,k ) ( M ') = M .

2. Phép bi n ñ'i I = I (O ,k ) I (O ,k ) là phép bi n hình đ ng nh t.
3. Cho I (O ,k ) ( M ) = M ' và I (O ,k ) ( N ) = N '
+ N u O, M, N th ng hàng thì khi đó O, M, M’, N, N’ cùng n m trên
m t ñư ng th ng.
+ N u O, M, N khơng th ng hàng thì khi đó O, M, M’, N, N’ cùng
n m trên m t đư ng trịn.
4. N u k > 0 thì hai đi m M và M’ = I (O ,k ) ( M ) cùng n m v m t phía
đ i v i đi m O. Khi đó nh ng ñi m M n m trên ñư ng tròn (O; k ) s( bi n