Một số vấn đề cơ sở trong phép tính biến phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

VŨ THANH TÙNG

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ
TRONG PHÉP TÍNH BIẾN PHÂN
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60. 46. 0113

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN DUY THÁI SƠN

Đà Nẵng, Năm 2014


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là hoàn toàn trung thực và
chưa được ai cơng bố trong bất kì cơng trình nào khác.

Tác giả luận văn

Vũ Thanh Tùng


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ................................................................................... 1

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................ 2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ......................................................... 2
4. Phương pháp nghiên cứu ....................................................................... 2
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài .............................................. 2
6. Cấu trúc luận văn ................................................................................... 2
CHƯƠNG 1: BIẾN PHÂN ............................................................................. 4
1.1. BIẾN PHÂN THỨ NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH EULER- LAGRANGE ..... 4
1.2. BIẾN PHÂN THỨ HAI ............................................................................. 8
1.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE ...................................................... 10
1.3.1. Các phương trình Euler-Lagrange .................................................. 10
1.3.2.Các Lagrangian khơng ..................................................................... 12
1.3.3. Ứng dụng ........................................................................................ 15
CHƯƠNG 2: CỰC TIỂU HÓA PHIẾM HÀM NĂNG LƯỢNG TÍNH
CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM ..................................................................... 18
2.1. ĐIỀU KIỆN CƯỠNG BỨC, TÍNH NỮA LIÊN TỤC DƯỚI ................. 18
2.1.1. Điều kiện cưỡng bức ....................................................................... 18
2.1.2. Nữa liên tục dưới ............................................................................ 19
2.2.TÍNH LỒI .................................................................................................. 21
2.3. NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH EULER-LAGRANGE .......... 27
2.4. TRƯỜNG HỢP HỆ PHƯƠNG TRÌNH .................................................. 31
2.4.1. Tính lồi ............................................................................................ 31
2.4.2. Tính đa lồi ....................................................................................... 33
2.5. TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM ...................................................... 37
2.5.1. Những ước lượng đạo hàm cấp hai ................................................. 38
2.5.2. Những nhận xét trên quy tắc cao hơn ............................................. 42


CHƯƠNG 3: MỘT SỐ CHỦ ĐỀ LIÊN QUAN ......................................... 45
3.1. BÀI TỐN GIÁ TRỊ RIÊNG PHI TUYẾN TÍNH ................................. 45
3.2. RÀNG BUỘC MỘT BÊN, BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN .............. 49

3.3. ĐỊNH LÝ QUA NÚI ................................................................................ 54
3.3.1. Các điểm tới hạn, sự biến dạng....................................................... 54
3.3.2. Định lý qua núi ............................................................................... 59
3.3.3. Ứng dụng trong phương trình elliptic nửa tuyến tính..................... 61
KẾT LUẬN .................................................................................................... 68
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................... 69
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (bản sao)


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Chúng ta đều biết: khơng có lý thuyết tổng qt cho phép giải mọi
phương trình đạo hàm riêng; nhất là với các phương trình phi tuyến

A[u] = 0;

(1)

trong đó, A[×] ký hiệu tốn tử đạo hàm riêng (nói chung là phi tuyến) đã
cho, cịn u ký hiệu ẩn hàm. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp (chẳng hạn, với
phương trình Hamilton – Jacobi và các luật bảo tồn), tốn tử phi tuyến A[×]
có thể biểu diễn được như là một kiểu “đạo hàm” của một phiếm hàm “năng
lượng” I [×] thích hợp, và (1) trở thành

I '[u] = 0.
Lúc này, thay vì giải phương trình (1) một cách trực tiếp – một việc khó,
người ta quan tâm đến việc tìm các “điểm tới hạn” của phiếm hàm I [×] - một
việc dường như là dễ hơn, nhờ vào các cơng cụ của giải tích hàm phi tuyến:

phép tính biến phân.
Rất nhiều bài tốn – trên thực tế – được đưa về bài toán “cực trị của
phiếm hàm”. Có thể nói: Phép tính biến phân được sử dụng rộng rãi trong các
lĩnh vực khác nhau của tốn học, cơ học và kỹ thuật. Vì lý do đó, dưới sự
hướng dẫn của thầy Nguyễn Duy Thái Sơn, tơi chọn “Một số vấn đề cơ sở
trong phép tính biến phân” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ khoa
học của mình.


2
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Chúng tơi mong muốn tìm kiếm được nhiều tài liệu từ các nguồn khác
nhau, nghiên cứu kỹ càng các tài liệu đó, cố gắng lĩnh hội đầy đủ các kiến
thức cũ và mới về phép tính biến phân để có thể trình bày lại các kiến thức cơ
sở – theo cách mình hiểu – trong luận văn này với các chứng minh chi tiết và
các ví dụ minh họa.
Hy vọng luận văn có thể được sử dụng như một tài liệu tham khảo bổ ích
cho sinh viên các trường cao đẳng, đại học.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu: phép tính biến phân.
3.2. Phạm vi nghiên cứu: các khái niệm, các định lý cơ sở và một số bài
toán liên quan.
4. Phương pháp nghiên cứu
Cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, báo và các tài
liệu trên internet có liên quan đến đề tài của luận văn) để thu thập thông tin
nhằm hệ thống lại các vấn đề lý thuyết một cách logic, chi tiết hóa các chứng
minh và tìm hiểu các bài tốn, các ví dụ minh họa.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Mong muốn đề tài sẽ là tài liệu bổ ích cho sinh viên ngành tốn trong
việc tiếp cận với một số vấn đề cơ sở trong phép tính biến phân.

6. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3 chương
Chương 1 giới thiệu biến phân thứ nhất, phương trình Euler-Lagrange,
biến phân thứ hai và hệ phương trình Euler-Lagrange.


3
Chương 2 trình bày điều kiện cưỡng bức, tính nửa liên tục dưới, tính lồi,
nghiệm yếu của phương trình Euler-Lagrange, trường hợp hệ phương trình và
tính chính quy của nghiệm.
Chương 3 trình bày về bài tốn giá trị riêng phi tuyến, ràng buộc một
bên, bất đẳng thức biến phân, định lý qua núi và ứng dụng trong phương trình
elliptic nửa tuyến tính.


4
CHƯƠNG 1

BIẾN PHÂN
1.1. BIẾN PHÂN THỨ NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH EULER- LAGRANGE
Giả sử U ⊂ℝ là một tập mở, bị chặn với biên

trơn,

là một tập

compact và cho trước một hàm trơn

Ta gọi
Kí hiệu .

à

á

ử

∶ℝ ×ℝ×
.

= ( , , )=

Ta viết

→ℝ.

( ,…,

, ,

,…,

) với

∈ .Như vậy " " là biến sốdưới đây được thế chỗ bởi

và

biến sẽ được thế chỗ bởi

( ) . Ta cũng đặt
=(
=
=

,…,

∈ ℝ , ∈ ℝ,
( ), và

là

)

,…,

.

Kí hiệu này sẽ làm cho phần lí thuyết sau dễ hiểu.
Bây giờ để chính xác hố ý tưởng đã nói trong lời mở đầu, ta giả sử rằng
phiếm hàm [∙]có dạng

(1)

với các hàm trơn

(2)

∶

[ ]≔

(

→ ℝ thỏa mãn điều kiện biên
=

Giả sử thêm rằng một hàm trơn
thiết:

=

cả các hàm

trên

( ), ( ), )

trên

,

.

nào đó thỏa mãn điều kiện biên cần

, và là điểm đạt cực tiểu của phiếm hàm [∙] trong số tất

thỏa mãn (2). Khi đó, ta chứng minh rằng

nghiệm của một phương trình đạo hàm riêng nào đó.

tự động là một


5
Để khẳng định điều này, trước tiên ta chọn tuỳ ý hàm trơn
xét hàm giá trị thực
( )≔ [ +

(3)

là một điểm cực tiểu của phiếm hàm [∙] và

Vì

(4)

] ( ∈ ℝ).

, dễ dàng ta thấy (∙) có một cực tiểu tại
(0) = 0.

+

= 0. Do đó

( ) và

∈

=

=

trên

Đạo hàm trên được gọi là biến phân thứ nhất và ta tính tốn nó một cách
tường minh bằng cách viết
(5)

( )=

Do đó
( )=

Cho

(

+

= 0, từ (4) suy ra rằng

(

, )

, +

0 = (0) =

Cuối cùng, vì

+

(

, , )

, )

, +
(

+

+

+

(

.
, )

, +

, , )

.

có tính compact nên ta có thể lấy tích phân từng phần và

thu được
0 = (0) =

−

(

(

, , )) +

(

, , )

Vì đẳng thức này đúng với mọi hàm thử , do đó ta kết luận
đúng phương trình đạo hàm riêng phi tuyến
(6)

−

(

(

, , )) +

(

, , ) = 0 trong .

.

nghiệm


6
Đây là phương trình Euler-Lagrange liên quan với phiếm hàm năng
lượng [∙] được định nghĩa bởi (1). Nhận thấy rằng (6) là một phương trình
đạo hàm riêng cấp hai tựa tuyến tính ở dạng phân tán.

Tóm lại, mọi cực tiểu trơn của phiếm hàm [∙] là một nghiệm của

phương trình đạo hàm riêng Euler-Lagrange (6) vì thế đảo lại ta có thể tìm
được một nghiệm của (6) bằng cách tìm các cực tiểu của (1).
Ví dụ 1(Nguyên lý của Dirichlet).
Cho

Khi đó

=

1
( , , )= | | .
2

( = 1, … , ),

Lagrange liên kết với phiếm hàm

[ ]≔

là

1
2

= 0; vì thế phương trình Euler|

|

∆ = 0 trong .

Đây là nội dung của nguyên lý Dirichlet.
Ví dụ 2 (Nguyên lý Dirichlet suy rộng).
Xét

Trong đó
1, … , ),

hàm

=

( , . )=

1

2

,

( )

( , = 1, … , ). Khi đó

−

( ),

=∑

( ) ( =

= − ( ). Do đó phương trình Euler- Lagrange liên kết với phiếm


7

[ ]: =

(

1
2

−

)

trong

.

,

là phương trình tuyến tính cấu trúc phân tán
−

,

Điều kiện eliptic đồng đều trên

=

( , = 1, … , ) là một giả thiết xa

hơn mà ta sẽ áp đặt một cách tự nhiên để chứng minh được sự tồn tại của
điểm cực tiểu của phiếm hàm năng lượng. Vì vậy cho nên trên quan điểm phi
tuyến tính của phép tính biến phân, dạng cấu trúc phân tán của một phương
tình đạo hàm riêng eliptic cấp hai là hồn tồn tự nhiên.
Ví dụ 3 (Phương trình Poisson phi tuyến).
Cho một hàm trơn

( )=∫

∶ ℝ → ℝ và

trình Euler- Lagrange liên kết với phiếm hàm
[ ]: =

1
( |
2

là phương trình Poisson phi tuyến

| − ( ))

−∆ = ( )trong

Ví dụ 4 (Các mặt cực tiểu).

.

Cho

vì thế

( , , ) = (1 + | | ) ;
[ ]≔

(1 + |

| )

/

( )

. Khi đó phương


8
∶

là diện tích của đồ thị của hàm
được liên kết là
(7)
div

(1 + |

| )

→ ℝ. Phương trình Euler-Lagrange
= 0 trong

/

.

Phương trình đạo hàm riêng này là phương trình mặt cực tiểu. Biểu thức
(

|

| ) /

ở vế trái của (7) là n lần độ cong trung bình của đồ thị của .

Do đó một mặt cực tiểu có độ cong trung bình bằng 0.
Diện tích mặt của đồ thị =I[u]

u

Một mặt cực tiểu
1.2. BIẾN PHÂN THỨ HAI
Biến phân thứ hai của phiếm hàm [∙] tại hàm

được tính tốn dựa trên

phép tính của biến phân thứ nhất. Ta bắt đầu bằng nhận xét quan trọng rằng vì
là một cực tiểu đối với phiếm hàm [∙], nên ta cần phải có
(0) ≥ 0,

với (∙) được định nghĩa bởi (3)như ở trên. Từ (5) ta có thể tính
( )=

+2

(

,

(

+

+

, +

, +

, )

, )


9

Lấy
sau đây:

+

, )

, +

.

= 0, ta thu được bất đẳng thức đúng với mọi hàm thử
(0) =

0≤
(8)

(

+

(

,

(

+2

∈

( )

, , )

, , )

(

+

, , )

Từ bất đẳng thức (8) ta có thể rút ra một số thong tin hữu ích như sau.

.

Trước hết bằng cách lập luận xấp xỉ thông thường thì việc ước tính (8) là
đúng với mọi hàm liên tục Lipschitz v triệt tiêu trên
∈ ℝ và định nghĩa

(9)

trong đó ∈
( )=

1−

Vì vậy

.

( )≔

( ) và

( )( ∈ ),

∶ ℝ → ℝ là hàm tuần hoàn “zic-zắc” xác định bởi

nếu 0 ≤

nếu

≤

≤

,

≤1

| ′| = 1 hầu khắp nơi.

(10)

Xem xét kỹ ta thấy

thay thế (9) vào (8) ta được

Cho

0≤

,

. Khi đó, cố định

=
(

.

( + 1) = ( )( ∈ ℝ)

+ ( )

, , )( )

khi

→ 0, và vì vậy

+ ( ).

→ 0 và sử dụng (10) ta thu được bất đẳng thức


10

0≤

,

Vì ước lượng này đúng với mọi
(11)

(

,

(

, , )

∈

, , )

.

( ), ta suy ra

( ∈ℝ ,

≥0

∈ ).

Trong chương 2 ta sẽ thấy điều kiện cần (11) này chính là gợi ý cho giả

thiết lồi cơ bản được đặt trên toán tử Lagrange

cần thiết cho lý thuyết tồn tại

nghiệm.
1.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE
1.3.1. Các phương trình Euler-Lagrange
Các nhận xét trên nhìn chung khá dễ đối với trường hợp của hệ, chỉ duy
nhất sự phức tạp là có q nhiều kí hiệu. Giả sử cho trước hàm trơn Lagrange

Kí hiệu . Ta viết

với

∈

×

∶

= ( , , )= (
,

∈ ℝ , và
=

×

∈
⋮

×ℝ ×
,…,

,

→ℝ
,…,

trong đó
⋯
⋱
⋯

⋮

,

,…,

×

)

(Ta dùng chỉ số trên để kí hiệu các hàng, quy ước kí hiệu này sẽ đơn
giản hóa các cơng thức tiếp theo).
Vì trong 1.1 hàm
(12)

liên qua với phiếm hàm

[ ]≔

(

( ), ( ), )

,


11
với các hàm trơn
mãn điều kiện biên

được định nghĩa là :

= trên

,

( )=

là ma trận gradient của

∶

→ℝ ,

=(

,…

), thỏa

→ ℝ là cho trước. Từ đó, ta có

⋯
⋱
⋯

⋮

tại x.

⋮

×

Bây giờ ta chứng tỏ rằng bất kì cực tiểu trơn
hàm [∙] được lấy trong các hàm bằng trên

=(

,…

) của phiếm

, ta cần phải giải một hệ các

phương trình đạo hàm riêng phi tuyến tính nào đó. Do đó ta chọn
(

,…

( ; ℝ ), và viết

)∈

( )≔ [ +

Vì đã có

=

].

(0) = 0.

Từ điều này ta suy ra đẳng thức như trên
0 = (0) =

(

, , )

+

Vì đẳng thứcc này có giá trị với mọi cách chọn
phân từng phần ta được
(13)

−

(

(

, , )) +

(

(

, , )

,…,

, , ) = 0 trong

.

nên lấy tích

( = 1, …

).

Nói chung hệ phương trình đạo hàm riêng tựa tuyến tính bao gồm các

phương trình Euler-Lagrange với các phiếm hàm [∙] được định nghĩa bởi
(12).


12
1.3.2. Các Lagrangian không
Lagrangian không rất thú vị để nghiên cứu hệ phương trình đạo hàm
riêng phi tuyến nào đó mà mỗi hàm trơn là một nghiệm.
Định nghĩa.
Hệ phương trình Euler-Lagrange
(14)

−

(

(

, , )) +

(

, , )=0

Hiển nhiên được giải bởi tất cả hàm

gọi là một Lagrangian không.

∶

( = 1, …

)

→ ℝ . Khi đó hàm L được

Tầm quan trọng của Lagrangian không là khả năng tương ứng mà phiếm
hàm
[ ]=

(

chỉ phụ thuộc vào các điều kiện biên:

, , )

Định lý 1.( Các Lagrangian không và các điều kiện biên).

Cho L là một Lagrangian không. Giả sử
trong
(15)

( , ℝ ) sao cho

Khi đó

≡ trên
[ ]= [ ]

(16)

Chứng minh. Định nghĩa

Khi đó

( )≔ [

+ (1 − ) ](0 ≤

≤ 1).

,

là hai hàm


13

( )=

+ (1 − )

(
+

=

(
−

+

(
(

+ (1 − )

+ (1 − )

,

+ (1 − ) , )(

,

+ (1 − )

(

+ (1 − ) , )(

,

)

−
−

)

+ (1 − ) , ))

,

+ (1 − ) , ) (

−

)

= 0,

phương trình cuối đúng vì hệ phương trình đạo hàm riêng Euler-Lagrange
+ (1 − ) . Từ đó suy ra đồng nhất thức (16).

được thỏa mãn bởi

Trong trường hợp vơ hướng, khi

= 1 thì chỉ các Lagranian khơng là

những ví dụ khơng hay mà L là tuyến tính với biến phân . Tuy nhiên đối với
trường hợp các hệ khi

> 1 thì có những ví dụ khơng tầm thường mà đóng

vai trị quan trọng cho các phần sau.
Kí hiệu. Nếu
cof
(−1)

là một ma trận vng ×

. Ta kí hiệu cof

– ma trận đồng nhân tố mà khi ta bỏ đi ( , )

thì (cof ) =

( ) , trong đó ( ) bằng định thức của ma trận ( − 1) × ( −

1)-thu được bằng việc bỏ đi hàng thứ k và cột thứ i của ma trận .
Bổ đề(Những hàng không phân kỳ)

(17)

Cho : ℝ → ℝ là một hàm trơn. Khi đó

Chứng minh

(cof

), =0

( = 1, … , ).

1. Trong đại số tuyến tính ta có đồng nhất thức


14

mà
(19)
(20)

(det )

Vì vậy

det

, ,

với = 1, … ,

3. Nếu det

tại

det(

=

ta tìm được
(cof

.

Nếu det

→ 0.

( )+

=

)

×

( ∈

(cof )

= (cof )

2. Trong (19) ta đặt

= 1, … ,

(21)

(cof )

(det ) =

(18)

( , = 1, … , )

( ,

= 1, … , )

, lấy vi phân với chú ý đến

=

(cof

,

) +

(cof

)

,

=0

( ) ≠ 0, từ (21) ta suy ra rằng
)

,

=0

)

,

( = 1, … , ).

( = 1, … , )

( ) = 0 thì ta chọn một số

> 0 rất nhỏ để mà

) ≠ 0, áp dụng vào bước 1-3 thì được

Định lý 2(Các định thức là những Lagrangian không ).
Hàm định thức

và tổng

(cof

. Rút gọn đồng nhất thức này ta được

(cof

);

≔

+

với


15
( )=

( ∈

là một Lagrangian khơng.

×

)

Chứng minh.
Ta cần chứng minh rằng với bất kì hàm trơn
(

Theo (20) ta có

(

)) = 0

= (cof )

hiệu và kết luận của bổ đề thì ta thấy
(

(

1.3.3. Ứng dụng

)) =

(cof

∶

→ ℝ , thì

( = 1, … , ).

(,

= 1, … , ). Nhưng khi đó theo kí
), =0

( = 1, … , ).

Một ứng dụng hay của hệ phương trình Euler-Lagrange là chứng minh
nhanh định lý điểm bất động tôpô.
Định lý 3. ( Định lý điểm Brouwer bất động)
Giả sử
∶ (0; 1) → (0; 1)

đó,

là hàm liên tục, trong đó (0; 1) là quả cầu đơn vị đóng trong ℝ . Khi
có một điểm cố định có nghĩa là tồn tại một điểm

( )= .

∈ (0; 1) với

Chứng minh
1. Kí hiệu

trơn
(22)

= (0; 1). Trước hết ta cho rằng không tồn tại một hàm
∶

→


16

Sao cho
( )= , ∀ ∈

(23)

Giả sử ngược lại rằng tồn tại một

.

như thế. Ta tạm thời viết

đồng nhất thức sao cho ( ) = , ∀ ∈ . Từ (23) suy ra

=

định thức là một Lagrangian không, theo định lý 1 ta có
(24)
(25)

det

=

trên

. Vì

= | | ≠ 0.

det

Mặt khác, theo (23) ý nói | | ≡ 1 ; vì thế lấy vi phân ta được
(

)

= 0.

Vì | | = 1 nên từ (25) ta nói 0 là một giá trị riêng của (

∈ . Vì thế

minh hàm trơn

thỏa mãn (22), (23) không thể tồn tại.

(23).Thật vậy nếu
đặt ( ) =

nếu

> 0 nhỏ để mà

liên tục nào kiểm tra (22),

là một hàm như thế, ta tiếp tục mở rộng

bằng việc

∈ ℝ − . Nhận xét rằng ( ) ≠ 0 ( ∈ ℝ ), chọn

≔

là radian nên ta có

Khi đó

) với mỗi

≡ 0 trong B, điều này mâu thuẫn với (24) và do đó chứng

2. Tiếp theo ta chứng minh khơng có hàm

vì

cho hàm

∗

thỏa mãn

( )=

nếu

:=

( ) ≠ 0 ( ∈ ℝ ). Chú ý rằng

∈ ℝ − (0; 2) với

2
| |

sẽ là một ánh xạ trơn thỏa mãn (22), (23) (với quả cầu
= (0; 1)) , mâu thuẫn với bước 1.
3. Cuối cùng giả sử hàm :

định.Bâygiờ ta xác định ánh xạ

:

→

> 0 đủ nhỏ.

(0; 2) thay thế cho

liên tục nhưng khơng có điểm cố
→

bằng việc đặt

( ) là điểm trên

thu được bởi tia tỏa ra từ ( ) và đi qua x. Vì ( ) ≠ , ∀ ∈

nên ánh


17

xạ này cũng được định nghĩa. Hơn nữa

là hàm liên tục và thỏa mãn (22),

(23). Nhưng chiều hướng này là một mâu thuẫn với bước 2.


18
CHƯƠNG 2

CỰC TIỂU HĨA PHIẾM HÀM NĂNG LƯỢNG
TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM
Trong chương này ta sẽ nhận biết vài điều kiện trên

Lagrangian mà

đảm bảo rằng phiếm hàm [∙] thật sự có một cực tiểu ít nhất ở trong khơng
gian Sobolev thích hợp.

2.1. ĐIỀU KIỆN CƯỠNG BỨC, TÍNH NỮA LIÊN TỤC DƯỚI
Chúng ta hãy bắt đầu với một số cách nhìn sâu sắc chủ yếu theo
kinh nghiệm như khi phiếm hàm
(1)

[ ]≔

(

( ), ( ), )

được định nghĩa cho các hàm thích hợp w:
(2)
nên có một cực tiểu.

=

trên

,

→ ℝ thỏa mãn

2.1.1. Điều kiện cưỡng bức
Trước hết ta chú ý rằng ánh xạ

∶ ℝ → ℝlà một hàm trơn và bị chặn

dưới mà khơng cần đạt tới infimum của nó. Ví dụ chẳng hạn
= (1 +

=

hoặc

) . Những ví dụ này gợi ý rằng chủ yếu ta sẽ cần một vài giả

thiết để làm điều kiện cho phiếm hàm [ ] đối với các hàm

“rộng”. Dĩ

nhiên cách hiệu quả nhất để chắc chắn điều này là sẽ giả thuyết rằng phiếm
hàm [ ] “mạnh hơn khi | | → ∞”.
Chính xác hơn, ta cho rằng

(3)
Khi đó ta giả sử

1<

< ∞ là cố định.


19
tồn tại các hằng số α > 0, ≥ 0
( , , )≥ | | −
∀ ∈ ℝ , ∈ ℝ, ∈

(4)
Vì thế

[ ]≥ ‖

(5)
với

≔ | |. Vì vậy [ ] → ∞ khi ‖

‖

( )

là điều kiện cưỡng bức trên phiếm hàm [∙].

‖

ℎ

−

→ ∞. Thông thường ta gọi (5)

Trở lại một lần nữa nhiệm vụ cơ bản của ta là tìm những cực tiểu của

phiếm hàm [∙], từ bất đẳng thức (5) ta nhận xét rằng điều đó dường như hợp
lí để định nghĩa phiếm hàm [ ] khơng chỉ đối với các hàm trơn
đối với các hàm

trong không gian Sobolev

,

mà còn

( ) mà thỏa mãn điều kiện

biên (2) theo nghĩa vết. Để phiếm hàm [ ] được định nghĩa thì ta mở rộng
lớp của các hàm, càng nhiều lớp như vậy ta càng sẽ có một cực tiểu.
Từ phần này đến cuối luận văn ta dùng
≔{

∈

,

để kí hiệu cho lớp các hàm

( )⎸

=

trên

theo nghĩa vết}

được thừa nhận này. Từ (4) ta chú ý rằng phiếm

hàm [ ] được định nghĩa ( nhưng nó có thể bằng +∞) với mỗi
2.1.2. Nữa liên tục dưới

∈ .

Ta thấy rằng mặc dù một hàm liên tục ∶ ℝ → ℝ thỏa mãn điều kiện

cưỡng bức thì thật sự đạt tới infimum của nó, thơng thường tích phân phiếm
hàm [∙] sẽ khơng như vậy. Để hiểu vấn đề này ta đặt
[ ]
≔ inf
wỴ A

(6)

và chọn các hàm
(7)

∈

( = 1, … ) sao cho
[

]→

khi

→∞


20
Ta gọi {

}

là một dãy giảm.

Ta sẽ chứng tỏ rằng vài dãy con của {
,

Thật vậy, vì

}

hội tụ về một cực tiểu thực.

( ) có số chiều vơ hạn nếu ta sử dụng bất đẳng thức cưỡng

bức (5) thì ta chỉ có thể kết luận rằng dãy cực tiểu nằm trong một tập con bị
chặn của
tụ trong

,

,

( ). Nhưng điều này khơng có nghĩa là tồn tại một dãy con hội

( ).

Do đó ta hướng đến topo yếu. Vì ta giả sử 1 <

phản xạ nên ta kết luận rằng tồn tại một dãy con
hàm
(8)

∈

,

( ) thỏa

⇀

⇀

ta viết gọn (8) như sau
(9)
Hơn nữa, nó đúng với

yếu trong

⇀

=

yếu trong

yếu trong
trong

,

< ∞ sao cho
⊂{

}

( ) là

và một

( )

( ; ℝ ).

( ).

theo ý nghĩa về vết và vì thế ∈ .

Do vậy bằng cách thay topo yếu ta có được tính compact đầy đủ từ bất
đẳng thức (5) suy ra (9) với một dãy con thích hợp. Nhưng lúc này lại nảy
sinh vấn đề khó hơn cho tất cả các trường hợp của phiếm hàm [∙] mà nó

khơng liên tục tương ứng với sự hội tụ yếu. Nói một cách khác, từ (7) và (9)
ta khơng thể suy ra rằng
(10)
và do đó
là

→

[ ] = lim
jđ Ơ

l mt cc tiu. Vn đây là

⇀

khơng có nghĩa

hầu khắp nơi, nó có thể xảy ra trong trường hợp khi những

21
gradient

bị chặn trong

và mức độ sẽ càng ngày càng nhanh khi

→ ∞.

Nói tóm lại, nhận xét chính rằng ta khơng cần cơng thức đầy đủ của (10).

Thay vào đó ta chỉ cần dùng
(11)

[ ] ≤ lim inf

.

→

Khi đó từ (7) ta suy ra [ ] ≤ m nhưng mà từ (6) ta lại có

vậy cho nên

≤ [ ]. Vì

thật sự là một cực tiểu.

Định nghĩa.
,

Cho [∙] là một phiếm hàm trên
⇀

Mà

( ) với điều kiện là

[ ] ≤ lim inf [

yếu trong

,

→

( ).

]

Khi đó ta nói [∙] là( dãy) các nữa liên tục dưới yếu trong

,

( )

Bởi vậy mục tiêu của ta là xác định những điều kiện thích hợp trên

phi

tuyến tính mà chắc chắn [∙] là các nữa liên tục dưới yếu.

2.2. TÍNH LỒI

Ta tiếp tục trở lại giải tích biến phân thứ hai trong chương 1 và nhắc lại
bất đẳng thức ta đã thu được

,

(

, , )

là một điều kiện cần với bất kì

≥0

( ∈ℝ ,

là một cực tiểu trơn. Bất đẳng thức này

khẳng định một cách mạnh mẽ rằng việc giả sử
tiên của nó là hợp lí.

∈ )

là lồi trong argument đầu