Chuyen de giai PT bac hai on thi L10 nam 2012Le Hoa

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (370.98 KB, 17 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

A.Lý thuyÕt

1. Định nghĩa: Phơng trình bậc hai là phơng trình có dạng: ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1) 
trong đó a, b, c là các hệ s bit, x l n.

2. Cách giải bằng công thức nghiệm :

Tổng quát( Nếu b là số lẻ ) Thu gọn (Nếu b là số chẵn )

= b2 4ac

< 0 phơng trình vô nghiệm

= 0 phơng trình có nghiệm kép:
x1= x2 = - b

2a

Δ > 0 p/trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 ¿− b+√Δ

2a ; x2 ¿

− b −√Δ

2a .

Δ ’ = b’2 – ac. ( b'

=b/2 )

Δ ’ < 0 phơng trình vô nghiệm.

= 0 phơng trình có nghiệm kép:
x1= x2 = - b'

a

> 0 p/trình có hai nghiệm phân biÖt:
x1=− b

'

√

Δ'

a ; x2 ¿

− b ' −√Δ'

a .

3. Điều kiện để PT ax2 + bx + c = 0 có :
a. Nghim kộp:

0
( ) 0
a

ỡù ạ

ùớ

ù D D =

ùợ b. NghiƯm pb: /

0
( ) 0
a

ìï ¹
ïí

ï D D >
ùợ

c. Vô nghiệm:

0
( ) 0
a

ỡù ạ
ùớ

ù D D <

ùợ d. PT cã nghiƯm: /

0
( ) 0
a

ìï ¹
ïí

ï D D ³
ïỵ

e. VSNghiệm

a 0
b 0
c 0
 

  

 


4. HÖ thøc Vi-Ðt:
* HÖ thøc vi – Ðt:

NÕu x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) th×

x1+x2=−b
a
x1.x2=c

a

¿{

*øng dơng :
+ NhÈm nghiƯm:

- NÕu a + b + c = 0 th× (1) cã hai nghiƯm x1 = 1; x2 = c

a

- NÕu a - b + c = 0 th× (1) cã hai nghiÖm x1 = - 1; x2 = − c

a

+ Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Hai số có tổng bằng S và tích bằng P.
- Nếu S2 4P thì hai số đó là hai nghiệm của phơng trình x2 – S.x + P = 0 .

- NÕu S2 < 4P thì phơng trình vô nghiệm, không tồn tại hai số ma tổng là S, tích là P. 
5. Xét dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0)

Cho phương trình ax2bx c 0(2)  . Đặt 1 2 1 2

b c

S x x ;P x .x

a a

    

trong đó x ;x1 2là 2 
nghiệm của phương trình (2)

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

b) Pt(2) có 2 nghiệm dương

1 2

0 x x P 0

S 0
 

     
 


c) Pt(2) có 2 nghiệm âm

1 2

x x 0 P 0

S 0
 

     
 


d) Pt(2) có đúng 1 nghiệm dương

1 2

a 0

a 0; x>0 a 0 0

x 0 x c S 0

x 0

x x 0 b

P 0
P 0

x 0 x 0

S 0
  
       


    
 
   
      
    
    

  
   


 


e) Pt(2) có đúng 1 nghiệm âm

1 2

a 0

a 0; x<0 a 0 0

x 0 x c S 0

x 0

x x 0 b

P 0
P 0

x 0 x 0

S 0
  
       


    
 
   
      
    
    

  
   



 


g) Pt(2) có ít nhất 1 nghiệm dương

1 2

a 0 a 0

a 0; x>0 x c 0 0

x 0 x b

S 0
P 0

x x 0

P 0
S 0
  
 


   
   
 

       

 
    

   

  


h) Pt(2) có nghiệm kép

a 0
0
 
 
 


k) Pt(2) có ít nhất 1 nghiệm âm

1 2

a 0 a 0

a 0; x>0 x c 0 0

x 0 x b

S 0
P 0

x x 0

P 0
S 0
  
 


   
   
 
       

 
    

   

  


6. NÕu Pt (1) cã hai nghiƯm x1, x2 th× tam thøc ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)

7.Mét sè bµi to¸n øng dơng hƯ thøc Vi- Ðt:
a) 1

x1

+ 1

x2

=x1+x2

x1.x2

=S

P ;

b) x12+x

22=x

12+2x1.x2+x

22−2x1.x2=(x1+x2)

−2x1.x2=S2−2P ;
c)

x1.x2¿
2

¿
¿

x12

+ 1
x22

=x12+x22

;

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

e) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p

f) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22

g) x1

x2+
x2

x1=

x12+x22

x1x2 =

S2−2p
p

h) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2

k) 1

x1−a

+ 1
x2−a

= x1+x2−2a
(x1− a)(x2−a)=

S −2a
p −aS+a2

(Chó ý : các giá trị của tham số rút ra từ ®iỊu kiƯn cho tríc ph¶i tho¶ m·n ®iỊu kiƯn 0 )

8) Ph ơng pháp giải một số dạng PT :

a). Phơng trình bậc nhất

- Phơng trình bậc nhất là phơng trình có dạng ax + b = 0 (a0)
- Phơng trình có nghiệm duy nhất: x =

b
a

b). Phơng trình tích

- Phơng trình tích là phơng trình có dạng: A(x).B(x) = 0
- Cách giải: A(x).B(x) = 0 <=> A(x) = 0 hc B(x) = 0

- Trình bày gọn: A(x).B(x) = 0 <=>

A( x ) 0
B( x ) 0








- Më réng: A(x).B(x).C(x) = 0 <=>

A( x ) 0
B( x ) 0
C( x ) 0

c). Phơng trình chứa ẩn ở mẫu

- Giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu ta thực hiện theo 4 bớc:

Bớc 1: Tìm ĐKXĐ của phơng trình

Bc 2: Quy đồng mẫu hai vế của phơng trình rồi khử mẫu
 Bớc 3: Giải phơng trình vừa nhận đợc

 Bíc 4: (kÕt luËn)

Trong các giá trị của ẩn tìm đợc ở bớc 3, các giá trị thỏa mãn ĐKXĐ chính là
nghiệm của phơng trình đã cho, giá trị của x khơng thuộc ĐKXĐ là nghiệm ngoại
lai (loại đi)

Ví dụ 1: Giải phương trình 2x 5 3x 2 5x 3 x

 

 



Giải

Điều kiện: x 3 x 0

Pt (2x 5)x (3x 2)(x 3) 4x(x 3)
x 6(nhan)

x 6

x 6(nhan)

      

 

   

 


Nghiệm phương trình x 6

Bài tập: Giải các phương trình

1/ 2

2x 1 x 1 3x 7
x 2 x 3 x 5x 6

  

 

    2/ 2

2x 1 x 1 5x 1
x 4 x 1 x 5x 4

  

 

   

d). Ph¬ng trình trùng phơng

Phơng trình trùng phơng là phơng trình có dạng:

4 2

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Đặt x2 = t (t0), phơng trình trùng phơng trở thành phơng trình bậc hai ẩn t

at bt c 0 (*)

Giải phơng trình (*), lấy những giá trị thích hợp thỏa mÃn t0

Thay vào đẳng thức: x2 = t và tìm x = ?

9) Các dạng phơng trình chứa tham số

Dạng 1: Giải phơng trình khi biết giá trị của tham số

Thay giá trị của tham số vào phơng trình và giải phơng trình

Dng 2: Tỡm iu kin ca tham s để phơng trình có nghiệm

- XÐt hai trêng hỵp cđa hƯ sè a:

 Trờng hợp 1: a = 0, ta tìm đợc một vài giá trị của m, sau đó thay trực tiếp vào phơng
trình rồi kết luận với những giá trị nào của m thì phơng trình cú nghim

Trờng hợp 2: a 0, phơng trình bËc hai mét Èn cã nghiÖm <=>  0



 ' 0



Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phơng trỡnh cú hai nghim phõn bit

Phơng trình bậc hai một Èn cã hai nghiƯm ph©n biƯt : <=>

0( ' 0 )
a




   


Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x2 + 5x + ( m - 4 ) = 0 có hai nghiệm phân biệt
Giải

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì





25 4 4 0 41 4 0

4
   m    m  m

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham s phng trỡnh cú nghim kộp

Phơng trình bậc hai mét Èn cã nghiÖm kÐp <=>

0( ' 0)
a




   


Ví dụ 1:Tìm m để pt x2  3mx(2m2  m 1) 0 có nghiệm kép tìm nghiƯm kép đó

Giải

Phương trình có nghiệm kép khi  0





2 2 2 2 2

9 4 2 1 9 8 4 4 ( 2)

 m  m  m  m  m  m  m

=0  m2
Nghiệm kép đó là 1 2

3 6

2 2

m

x x   

Bài tập: Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau có nghiệm kép tìm nghiệm kép đó

2
2

2 3 2

) 2( 2) 9 0

)( 4) 2 2 0

)( 1) ( 1) 0

)( 3) 0

a mx m

b m x mx m

c m x m x m m

d m x mx m

   

    

    

   

Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình vơ nghiệm

- XÐt hai trêng hỵp cđa hƯ sè a:

 Trờng hợp 1: a = 0, ta tìm đợc một vài giá trị của m, sau đó thay trực tiếp vào phơng
trình rồi kết luận với những giá trị nào của m thì phơng trình vơ nghiệm

 Trêng hỵp 2: a # 0, phơng trình bậc hai một ẩn vô nghiệm <=> 0

' 0

Dạng 6: Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Cách 1: Chøng minh:
0
0
a
ac






 C¸ch 2: Chøng minh:




 

0
0
a

Chó ý: Cho tam thøc bËc hai  = am2 bmc

§Ĩ chøng minh  0, m ta cÇn chøng minh

2
m
a 0

b 4ac 0





   


Ví dụ : Cho phương trình x2 -2( m + 1 )x +4m = 0

a) Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của m
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 và x2 thoả mãn điều kiện

1 2

2 1

5
2

x x

x  x 

Giải

a) Ta có:









2 2 2

1 4 2 1 1 0

  m  m m  m  m  "m

VËy phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của m

b) V× phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của m

Theo vi ét ta có x .x1 2 2(m1);x1x2 4m



1 2



2 1 2

1 2

2 1 1 2

2
2
2
2
5 5
2 2

4 2.2( 1) 5

4 2.2( 1) 5( 1); 1

2( 1) 2

4 9 9 0; 81 144 225, 15

 
   
 
       

         

x x x x

x x

x x x x

m m

m m m m

m

m m

9 15 24
3;

8 8

m 

    2 9 15 3

8 4

m   

Dạng 7: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn một điều
kiện cho trớc nào đó.

a) Phơng trình có hai nghiệm là hai số đối nhau:

<=> 1 2

0
0

0
a

b

S x x

a




 


   



b) Phơng trình có 2 nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau:

<=> 1 2

0
0

1
a

c

P x x

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

c) phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn một biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm đó:

 Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm.

 Bíc 2: TÝnh x1 + x2 =

b

a vµ x1.x2 = 
c
a

 Bớc 3: Biểu thị đợc các biểu thức theo x1 + x1 và x1.x1 ; sau đó thay giá trị của x1 + x2 và

x1.x2 vào để tính giá trị của biểu thức.

Chú ý: Sử dụng hằng đẳng thức để biến đổi biểu thức cho trớc về dạng có chức tổng và tích 
các nghiệm (nếu cần).

Dạng 8: Tìm điều kiện để phơng trình có một nghiệm x = x1. Tìm nghiệm cịn lại

 Bíc 1: Thay x = x1 vào phơng trình, ta có:

1 1 0 ?

ax bx c m

Bớc 2: Để tìm nghiệm còn lại x2 ta thực hiện theo hai cách:

Cỏch 1: Thay giá trị của m vào phơng trình ban đầu. Từ đó có phơng trình bậc hai và

giải phơng trình này ta tìm đợc x2

Cách 2: Tính x2 nhờ định lí Vi-ét: x2 S x1 hoặc x = P : x2 1

Dạng 9: Tìm phơng trình bậc hai khi biết tríc hai nghiƯm sè

 Trêng hỵp 1: Cho tõng nghiƯm x1, x2 . Ta có phơng trình với ẩn x lµ :





1 2 1 2 1 2

(x x ) x x  0 x  (x x )xx x 0

Trờng hợp 2: Không có x1, x2 riêng

Bớc 1: Tìm S = x1 x2 và P = x x1 2

Bớc 2: Phơng trình với ẩn x là x2 SxP 0.
Phơng trình có nghiệm <=> S2 4P

Dạng 10: Tìm hai số khi biÕt tỉng vµ tÝch cđa chóng

NÕu hai sè u vµ v tho¶ m·n

 







u v S

u.v P (S2 4P). Thì u và v là nghiệm của phơng trình

x2 - Sx + P = 0 (*)

- Nếu phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt x , x1 2. Do u, v cã vai trß nh nhau nên có hai

cặp số thỏa mÃn là

1
2

u x
v x

hoặc

2
1

u x
v x

- Nếu phơng trình (*) cã nghiÖp kÐp x1 x2 a => u = v = a

- Nếu phơng trình (*) vơ nghiệm => Khơng tìm đợc cặp giá trị (u, v) nào thỏa món yờu cu
bi

Dạng 11: Tìm giá trị của tham số khi biết nghiệm của phơng trình
1/ Tìm giá trị của tham số khi biết một nghiệm của phơng trình.

Cho phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a0) có một nghiệm x = x
1.

Cách giải:

Bớc1: Thay x = x1 vào phơng trình ax12 + bx1 + c = 0.
Bớc 2: Giải phơng trình có ẩn là tham số.

2/ Tìm giá trị của tham số khi biết hai nghiệm của phơng trình.

Cho phơng trình ax2 + bx + c = 0 (1) (a0) cã hai nghiÖm x = x

1; x = x2.

C¸ch 1:

 Bíc 1: Thay x = x1; x = x2 vào phơng trình (1) ta có hệ phơng trình:






1 1

2 2

ax bx c 0

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

 Bíc 2: Giải hệ phơng trình có ẩn là tham số.

C¸ch 2:

 Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm.

 Bíc 2: Theo Vi-Ðt




 





 




1 2

x x

a
c

x .x

 Bớc 3: Thay x = x1; x = x2 vào hệ và giải ta đợc giá trị ca tham s.

. B. Bài tập áp dụng.
Bài tập 1: Giải các phơng trình bậc hai sau:

TT PTBH TT PTBH

1 x2 - 11x + 30 = 0 13 x2 - 16x + 84 = 0
2 x2 - 10x + 21 = 0 14 x2 + 2x - 8 = 0
3 x2 - 12x + 27 = 0 15 5x2 + 8x + 4 = 0

4 5x2 - 17x + 12 = 0 16

x2 – 2( 2

√3+√¿ ¿ x + 4 √6

= 0

5 3x2 - 19x - 22 = 0 17 11x2 + 13x - 24 = 0
6 x2 - (1+

√2 )x + √2 = 0 18 x2 - 11x + 30 = 0
7 x2 - 14x + 33 = 0 19 x2 - 13x + 42 = 0
8 6x2 - 13x - 48 = 0 20 x4 - 13x2 + 36 = 0
9 3x2 + 5x + 61 = 0 21 9x4 + 6x2 + 1 = 0

10 x2 -

√3 x - 2 - √6 = 0 22 2x4 + 5x2 + 2 = 0
11 x2 - 24x + 70 = 0 23 2x4 - 7x2 - 4 = 0
12 x2 - 6x - 16 = 0 24 x4 - 5x2 + 4 = 0

Bµi tập 2. Tìm x, y trong các tr ờng hợp sau:

a) x + y = 17, x.y = 180 e) x2 + y2 = 61 , x.y = 30
b) x + y = 25, x.y = 160 f) x - y = 6, x.y = 40
c) x + y = 30, x2 + y2 = 650 g) x - y = 5, x.y = 66
d) x + y = 11 x.y = 28 h) x2 + y2 = 25 x.y = 12

Bài tập 3.Không giải phơng trình,hÃy tính tổng và tích các nghiệm của phơng trình sau.
a) x2 + 6x + 8 = 0 e) x2 + 13x + 42 = 0

b) 11x2 + 13x - 24 = 0 f) 11x2 - 13x - 24 = 0
II/ Dạng: Giải và biện luận phương trình:

Ví dụ: Giải và biện luận phương trình (m 2)x 2 2(m 1)x m 5 0   
Giải

1
m 2 0 m 2 : Pt 6x 3 0 x

         

* m 2 0   m 2 : ' (m 1)    2 (m 2)(m 5) 9m 9 9(m 1)     
+  ' 0 9(m 1) 0   m 1 : Phương trình vơ nghiệm.

+   ' 0 9(m 1) 0   m 1 : Phương trình có nghiệm kép

m 1

x 2

m 2


 

 .

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

m 1 3 m 1
x

m 2
m 1 3 m 1
x

m 2

   









   




 

Kết luận:

+ m < 1: Phương trình vơ nghiệm

+ m = 1: phương trình có nghiệm x = -2
+ m = 2: phương trình có nghiệm

1
x

2


+ 1 m 2 :  phương trình có 2 nghiệm phân biệt

m 1 3 m 1
x

m 2
m 1 3 m 1
x

m 2

   







   




 

Bµi tËp 4.a)Tìm một phơng trình bậc hai có hai nghiệm là: √3+√2
6 vµ

√3−√2

6 .

b)Không giải phơng trình, hÃy tìm tổng lập phơng các nghiệm của phơng trình sau:

3x2 - 5x - 2 = 0.

Bài tập 5.Với giá trị nào của b thì phơng trình:
a) 2x2 + bx - 10 = 0 cã mét nghiÖm b»ng 5.
b) bx2 - 15x - 7 = 0 cã mét nghiÖm b»ng 7.

c) ( b - 1 )x2 - ( b + 1 )x - 72 = 0 cã một nghiệm bằng 3, tìm nghiệm còn lại.
Bài tập 6.Chứng minh rằng với bất kì giá trị nào của k phơng trình:

a) 7x2 + kx - 23 = 0 cã hai nghiƯm tr¸i dÊu.

b) 12x2 + 70x + k2 + 1 = 0 kh«ng thĨ cã hai nghiƯm d¬ng.
c) x2 - ( k + 1 )x + k = 0 cã mét nghiÖm bằng 1.

Bài tập 7.Chứng tỏ rằng các phơng trình sau luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị cña
tham sè m:

a) x2 - 4x – m2 = 0 d) x2 + ( m + 3 )x + m + 1 = 0 
b) 2x2 - 3x + m - 1 = 0 e) x2 - ( 1 + 2m )x + m = 0

c) x2 + 2( m - 2 )x + m2 = 0 f) ( 2m2 +1 )x2 - 2( m2 + 2 )x + 1 = 0

Bài tập 8.Tìm điều kiện m để các ph ơng trình sau đây có nghiệm,vơ nghiệm.

a) x2 + x - m = 0 d) x2 - ( m - 1 )x + 1 = 0 
b) 2x2 - 3x + m - 1 = 0 e) x2 + 2x + m2 = 0

c) x2 + 2( m - 2 )x + m2 = 0 f) ( m2 +1 )x2 - 2( m + 3 )x + 1 = 0 
Bài tập 9.Với giá trị nào của m thì các phơng trình sau đây: có nghiệm,vô nghiƯm, cã hai
nghiƯm ph©n biƯt, cã nghiƯm kÐp.

a) 3x2 - 2x + m = 0 c) 4x2 + mx + m2 = 0 
b) 5x2 + 18x + m = 0 d) 4x2 + mx - 5 = 0 
Bài tập 10.Cho phơng trình: ( a - 3 )x2 - 2( a - 1 )x + a - 15 = 0 .

a)Giải phơng trình khi a = 13. b)Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài tập 11.Cho phơng trình: x2 + ( m + 1 )x + m = 0 .

a)Chøng minh r»ng ph¬ng trình luôn có nghiệm.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bài tập 12.Cho phơng tr×nh: x2 - 2( m + 1 )x + 2m + 10 = 0 .
a)Gi¶i và biện luận số nghiệm của phơng trình theo m.

b)Tìm m sao cho 10 x1 x2 + x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
Bài tập 13.Cho phơng trình: 3x2 + mx + 12 = 0 .

a)Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

b)Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 1, tìm nghiệm cịn lại.
Bài tập 14.Cho phơng trình: x2 - 2( k + 3 )x + 2k - 1 = 0 .

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm ph©n biƯt.

b) Chứng minh rằng tổng và tích hai nghiệm có một sự liên hệ khơng phụ thuộc vào k.
c)Tìm k để có hai nghiệm phơng trình thoả mãn hệ thức x1

+ 1
x2+

x1x2=2 .

Bài tập 15.Cho phơng trình: ( 2m - 1 )x2 - 2( m + 4 )x + 5m + 2 = 0 .
a)Xác định m để phơng trình có nghiệm.

b)Trong trêng hỵp cã nghiƯm h·y tÝnh theo m tỉng S và tích P của các nghiệm.
c)Tìm hệ thức liên hệ giữa tổng S và tích P.

Bài tập 16.Cho phơng trình: x2 - (2m + 3 )x + m - 3 = 0 .

a) Chứng minh rằng với mọi m phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghim i nhau.

Bài tập 17.Cho phơng trình: x2 - 2( m - 1 )x + m - 1 = 0 .

a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 3, tìm nghiệm cịn lại.
b) Xác định m để phng trỡnh cú hai nghim bng nhau.

Bài tập 19.Cho phơng tr×nh: x2 - 2(m + 1 )x + m - 4 = 0 .
a)Giải phơng tr×nh khi m = 1.

b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biƯt víi mäi m.
c) Gäi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình, chứng minh rằng biểu thức

A=x1(1 x2)+x2(1 x1) không phụ thuộc vào giá trị của m.
Bài tập 20.Cho phơng trình: x2 - m x + m - 1 = 0 .

a)Giải phơng trình khi m = 5.

b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị m.

c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình, tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức A = x12+x22 .

Bài tập 21.Cho phơng tr×nh: x2-2(m+1)x + m2+4m-3 = 0.

a)Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho có nghiệm?

b)Xác định m để hiệu giữa tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm đạt giá trị lớn nhất?
Bài tập 22. Cho phơng trình : x2+(2m-5)x-3n = 0

a)Giải phơng trình khi m=3 và n=2/3

b) Xác định m và n để phơng trình có hai nghiệm là 3 và -2
c) Khi m=4, xác định n để phơng trình có nghiệm dơng?
Bài tập 23. Cho phơng trình: x2 – 2(m-1)x +2m – 3 = 0
a) Chứng minh với với mọi m phơng trình ln cú nghim

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bài tập 24. Cho phơng tr×nh : x2 – 2(m+1)x +m2 + 2 =0

a)Với giá trị nào của m thì phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2
b)Tìm m để hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1- x2 =4

Bµi tËp 25. Cho phơng trình : x2 - 4x +m =0 (1)
a)Tính hoặc của phơng trình (1) theo m

b)Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) cã nghiƯm ?

c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 thảo mãn x12+x22=12

d) Khi phơng trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 , hãy tìm giá trị của m để biểu thức A=x12 +
x22 đạt giá trị nhỏ nht .

Bài tập 26. Cho phơng trình x2 -8x +m =0 (1) 
a)Giải phơng trình (1) khi m = 12

b)Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) cã nghiƯm kÐp ?

c)Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x1 - x2 =2
Bài tập 27. Cho phơng trình : x2 – 2(a-1)x + 2a – 5 = 0.

a) Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi a.

b) a bằng bao nhiêu thì phơng trình đã cho có hai nghiệm x1,, x2 thoả mãn : x1 < 1 < x2
Bài tập 28. Cho phơng trình : x2 + mx + m-2 =0.

a)Gi¶i phơng trình (1) với m=3.

b)Tỡm giỏ tr ca m các nghiệm x1, x2 của phơng trình (1) thoả mãn x12 + x22 = 4.
Bài tập 29. Cho phơng trình: x2+ ( m + 1 )x + m - 1 = 0 (1)

a. Chøng minh phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt víi mäi m.

b. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phơng trình (1), tìm m để biểu thức :A= x1 2x2+ x1 x22 + 4 x1
x2 đạt giá trị lớn nhất

Bài tập 30. Cho phơng trình x2- 2mx + m2 - m +1 =0(1)
a.Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép.

b. Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 2 +x22 - x1x2 = 15
Bài tập 31. Cho phơng trình x2 - (k+1)x+k = 0 (1) ( ẩn x, tham s k).

a. Chứng minh rằng phơng trình (1) lu«n cã nghiƯm víi mäi k ?

b. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phơng trình (1). Hãy tìm k để A= x1 2x2+ x1 x22 +2005 đạt
giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy ?

Bài tập 32. Cho phơng trình (ẩn x tham số m): x2 + 4x – 2m = 0 (1)
a)Tìm m phng trỡnh (1) cú nghim kộp

b)Giải phơng trình với m = 6

Bài tập 33. Cho phơng trình : 2x2 + (2m - 1)x+ m - 1 =0 (1)

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

b) Chøng minh r»ng ph¬ng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m

c) Tỡm giỏ trị của m để phơng trình có nghiệm này gấp ụi nghim kia.

Bài 1: Giải và biện luận phơng trình : x2 2(m + 1) +2m+10 = 0

Giải.

Ta cã Δ❑ = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – 9

+ Nếu Δ❑ > 0 ⇔ m2 – 9 > 0 ⇔ m < - 3 hoặc m > 3 .Phơng trình đã cho có 2

nghiƯm ph©n biƯt:

x1 = m + 1 -

√

m2−9 x2 = m + 1 +

√

m2−9

+ NÕu Δ❑ = 0 ⇔ m = 3

- Với m =3 thì phơng trình có nghiệm là x1.2 = 4

- Với m = -3 thì phơng trình có nghiệm là x1.2 = -2

+ NÕu Δ❑ < 0 ⇔ -3 < m < 3 thì phơng trình vô nghiệm

Kết kuận:

Với m = 3 thì phơng trình có nghiƯm x = 4

 Víi m = - 3 th× phơng trình có nghiệm x = -2

Với m < - 3 hoặc m > 3 thì phơng trình có 2 nghiƯm ph©n biƯt
x1 = m + 1 -

√

m2−9 x2 = m + 1 +

√

m2−9

 Với -3< m < 3 thì phơng trình vô nghiệm

Bài 2: Giải và biện luận phơng trình: (m- 3) x2 – 2mx + m – 6 = 0

Híng dÉn

 Nếu m – 3 = 0 ⇔ m = 3 thì phơng trình đã cho có dạng
- 6x – 3 = 0 ⇔ x = - 1

* Nếu m – 3 0 ⇔ m 3 .Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số

Δ❑ = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18

- NÕu Δ❑ = 0 ⇔ 9m – 18 = 0 m = 2 .phơng trình cã nghiÖm kÐp

x1 = x2 = - b

❑
a =

2−3 = - 2

- NÕu Δ❑ > 0 ⇔ m >2 .Phơng trình có hai nghiệm phân biệt x

1,2 = m±3√m −2

m −3

- NÕu Δ❑ < 0 ⇔ m < 2 .Phơng trình vô nghiệm

Kết luận:

Với m = 3 phơng tr×nh cã nghiƯm x = - 1

Víi m = 2 phơng trình có nghiệm x1 = x2 = -2

Với m > 2 vµ m 3 phơng trình có nghiệm x1,2 = m3m 2

m 3

Với m < 2 phơng trình vô nghiệm

Bài 4 : Giải các phơng trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m lµ tham sè)
a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0

b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0

Híng dÉn :

a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 cã a + b + c = 1 + 3m – 5 – 3m + 4 = 0

Suy ra : x1 = 1; x2 = m+1
3

b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 (*)

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

* m – 3 0 ⇔ m 3 (*)

x1=1

x2=2m2

m 3

Bài 5: Gọi x1 , x2 là các nghịêm của phơng trình : x2 3x 7 = 0

a) TÝnh:

A = x12 + x22 B = |x1− x2|

C= x 1

1−1

+ 1

x2−1 D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)

b) lËp phơng trình bậc 2 có các nghiệm là x 1

11

và x 1

21

Giải ;

Phơng trình bâc hai x2 – 3x – 7 = 0 cã tÝch ac = - 7 < 0 , suy ra ph¬ng trình có hai

nghiệm phân biệt x1 , x2 .

Theo hÖ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = 3 vµ p = x1x2 = -7

a)Ta cã

+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = 9 – 2(-7) = 23

+ (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = |x1− x2| =

√

S2−4p=√37

+ C = x 1

1−1

+ 1

x2−1 =

(x1+x2)−2

(x1−1)(x2−1)=

S −2

p − S+1=−

+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2

= 10x1x2 + 3 (x12 + x22) = 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1

b)Ta cã :
S = x 1

1−1

+ 1
x2−1=−

9 (theo c©u a)

p = 1

(x1−1)(x2−1)

= 1

p − S+1=−

1
9

VËy x 1

1−1

vµ x 1

2−1

lµ nghiệm của hơng trình :
X2 SX + p = 0 ⇔ X2 + 1

9 X -
1

9 = 0 ⇔ 9X2 + X - 1 = 0

Bµi 6 : Cho phơng trình : x2 ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k lµ tham sè)

1. Chứng minh phơng trình (1 ) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
2. Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
3. Gọi x1 , x2 là nghệm của phơng trình (1) .Tìm k : x13 + x23 > 0

Giải.
1. Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có:

Δ = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + 9 = 5(k2 - 6
5 k +

5 )

= 5(k2 – 2. 3
5 k +

9
25 +

25 ) = 5(k -
3
5 ) +

5 > 0 víi mäi giá trị của k.

Vậy phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

2. Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p < 0
⇔ - k2 + k – 2 < 0 ⇔ - ( k2 – 2. 1

2 k +
1
4 +

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

⇔ -(k - 1

2 )2 -
7

4 < 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân

biƯt tr¸i dÊu víi mäi k

3. Ta cã x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2)

Vì phơng trình cã nghiƯm víi mäi k .Theo hƯ thøc viÐt ta cã
x1 + x2 = k – 1 vµ x1x2 = - k2 + k – 2

 x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1) = (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 +

k – 2)]

= (k – 1) (4k2 – 5k + 7)=(k – 1)[(2k - 5
4 )2 +

87
16 ]

Do đó x13 + x23 > 0 ⇔ (k – 1)[(2k - 5
4 )2 +

16 ] > 0

⇔ k – 1 > 0 ( v× (2k - 5

4 )2 +
87

16 > 0 víi mäi k) ⇔ k > 1

VËy k > 1 là giá trị cần tìm

Bài 7: Cho phơng trình : x2 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)

1. Giải phơng trình (1) với m = -5

3. Tìm m để |x1− x2| đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm ca phng trỡnh (1) núi

trong phần 2.)

Giải

1. Với m = - 5 phơng trình (1) trở thành x2 + 8x – 9 = 0 vµ cã 2 nghiƯm lµ x

1 = 1 , x2 =

- 9

2. Cã Δ❑ = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + 1 – m + 4 = m2 + m + 5

= m2 + 2.m. 1

2 +

1
4 +

4 = (m +
1
2 )2 +

4 > 0 với mọi m

Vậy phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2

3. Vì phơng trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thøc ViÐt ta cã:
x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m – 4

Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – 4 (m – 4)

= 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + 1
2 )2 +

19
4 ]

=> |x1− x2| = 2

m+1

2¿
2

+19

√¿

√

4 = √19 khi m +
1

2 = 0 ⇔ m = -
1
2

Vậy |x1− x2| đạt giá trị nhỏ nhất bằng √19 khi m = - 1

Bài 8 : Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m lµ tham sè)

1) Giải phơng trình khi m = - 9

2) Chng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m

3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và
nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia.

Giải:

1) Thay m = - 9

2 vào phơng trình đã cho và thu gọn ta đợc 5x2 - 20 x + 15 = 0

phơng trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2= 3

2) + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phơng trình đã cho trở thành;
5x – 5 = 0 ⇔ x = 1

+ Nếu : m + 2 0 => m - 2 .Khi đó phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có
biệt số :

Δ = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = 1 – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 > 0

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

x1 = 2m−1

2(m+2) =

2m+4

2m+4=1 x2 =

2m−1−5
2(m+2) =

2(m−3)

2(m+2)=

m−3

m+2
Tóm lại phơng trình đã cho ln có nghiệm với mọi m

3)Theo câu 2 ta có m - 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm
này gấp 3 lần nghiệm kia ta sét 2 trờng hợp

Trêng hỵp 1 : 3x1 = x2 ⇔ 3 = m−3

m+2 giải ra ta đợc m = -

2 (đã giải ở câu 1)

Trêng hỵp 2: x1 = 3x2 ⇔ 1= 3. m−3

m+2 ⇔ m + 2 = 3m – 9 ⇔ m =

2 (thoả

mÃn điều kiện m - 2)
KiĨm tra l¹i: Thay m = 11

2 vào phơng trình đã cho ta đợc phơng trình :

15x2 – 20x + 5 = 0 phơng trình này có hai nghiÖm

x1 = 1 , x2 = 5
15 =

3 (thoả mÃn đầu bài)

Bài 9: Cho phơng trình : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) víi m lµ tham sè .

1. Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình (1)
2. Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu.

3. Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai.

Gi¶i

1.+ NÕu m = 0 thay vµo (1) ta cã : 4x – 3 = 0 ⇔ x = 3

+ NÕu m 0 .LËp biÖt sè Δ❑

= (m – 2)2 – m(m-3)= m2- 4m + 4 – m2 + 3m = - m

+ 4

Δ❑ < 0 ⇔ - m + 4 < 0 ⇔ m > 4 : (1) v« nghiƯm
Δ❑ = 0 ⇔ - m + 4 = 0 ⇔ m = 4 : (1) cã nghiÖm kÐp

x1 = x2 = - b

❑
a =

m−2

m =

4−2
2 =

1
2

Δ❑ > 0 ⇔ - m + 4 > 0 ⇔ m < 4: (1) cã 2 nghiƯm ph©n biƯt

x1 = m−2−√− m+4

m ; x2 =

m−2+√− m+4

m

VËy : m > 4 : phơng trình (1) vô nghiệm

m = 4 : ph¬ng tr×nh (1) Cã nghiƯm kÐp x = 1

x1 = m−2−√− m+4

m ; x2 =

m−2+√− m+4

m

m = 0 : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x = 3

2. (1) cã nghiƯm tr¸i dÊu ⇔ c

a < 0 ⇔

m−3

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

⇔

¿m−3>0
m<0

¿
¿
¿

m −3<0

m>0

¿
¿
¿
¿
¿

m>3

m<0

m<3

m>0

Trờng hợp

m>3
m<0

{

không thoả m·n

Trêng hỵp
¿

m<3
m>0

¿{

⇔ 0 < m < 3

3. *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm

Δ❑ 0 ⇔ 0 m 4 (*) (ở cõu a ó cú)

- Thay x = 3 vào phơng tr×nh (1) ta cã :

9m – 6(m – 2) + m -3 = 0 ⇔ 4m = -9 ⇔ m = - 9

- §èi chiếu với điều kiện (*), giá trị m = - 9

4 tho¶ m·n

*) Cách 2: Khơng cần lập điều kiện Δ❑ 0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm đợc m =

-9

4 .Sau ú thay m =
-9

4 vào phơng trình (1) :

- 9

4 x2 –
2(-9

4 - 2)x -
9

4 - 3 = 0 ⇔ -9x2 +34x – 21 = 0

cã Δ❑ = 289 – 189 = 100 > 0 =>

x1=3

x2=7
9

¿
¿
¿
¿
VËy với m = - 9

4 thì phơng trình (1) có một nghiệm x= 3

*)Để tìm nghiệm thứ 2 ,ta có 3 cách làm

Cách 1: Thay m = - 9

4 vào phơng trình đã cho rồi giải phơng trình để tìm đợc x2 =
7

(Nh phần trên đã làm)

C¸ch 2: Thay m = - 9

4 vào công thức tính tổng 2 nghiệm:

x1 + x2 =

2(m−2)
m =

2(−9

4−2)

−9
4

=34

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

 x2 = 34

9 - x1 = 34

9 - 3 =
7
9

C¸ch 3: Thay m = - 9

4 vào công trức tính tÝch hai nghiÖm

x1x2 = m−3

m =
−9

4−3

−9

=21

9 => x2 =
21

9 : x1 =
21

9 : 3 =

Bµi 10: Cho phơng trình : x2 + 2kx + 2 5k = 0 (1) víi k lµ tham sè

1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép

2. Tim k để phơng trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện :

x12 + x22 = 10

Giải.

1.Phơng trình (1) có nghiệm kép ⇔ Δ❑ = 0 ⇔ k2 – (2 – 5k) = 0

⇔ k2 + 5k – 2 = 0 ( cã Δ = 25 + 8 = 33 > 0 )
 k1 = −5−√33

2 ; k2 =

−5+√33
2

VËy cã 2 giá trị k1 = 533

2 hoặc k2 =

5+33

2 thì phơng trình (1) Có nghiệm

kép.

2.Có 2 cách giải.

Cỏch 1: Lp iu kin phơng trình (1) có nghiệm:

Δ❑ 0 ⇔ k2 + 5k – 2 0 (*)

Ta cã x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2

Theo bµi ra ta cã (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10

Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trức vi Ðt: x1 + x2 = - b

a=¿ - 2k vµ x1x2 = 2 – 5k

VËy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 ⇔ 2k2 + 5k – 7 = 0

(Cã a + b + c = 2+ 5 – 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = - 7
2

Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào Δ❑ = k2 + 5k – 2

+ k1 = 1 => Δ❑ = 1 + 5 – 2 = 4 > 0 ; tho¶ m·n

+ k2 = - 7

2 => Δ

❑ = 49

4 −
35

2 −2=

49−70−8

4 =

8 không thoả mÃn

Vậy k = 1 là giá trị cần tìm

Cách 2 : Không cần lập điều kiện 0 .Cách giải là:

T iu kin x12 + x22 = 10 ta tìm đợc k1 = 1 ; k2 = - 7

2 (cách tìm nh trên)

Thay lần lợt k1 , k2 vào phơng trình (1)

+ Với k1 = 1 : (1) => x2 + 2x – 3 = 0 cã x1 = 1 , x2 = 3

+ Víi k2 = - 7

2 (1) => x2- 7x +
39

2 = 0 (cã Δ = 49 -78 = - 29 < 0 ) .Phơng trình vô

nghiệm

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17></div>

Chuyen de giai PT bac hai on thi L10 nam 2012Le Hoa

√





























√

√

√

√

√

√

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về