- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 9
Bộ 8 đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9 cấp trường có đáp án
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.4 MB, 33 trang )
BỘ 8 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MƠN TỐN LỚP 9
CẤP TRƯỜNG CÓ ĐÁP ÁN
MỤC LỤC
1. Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 9 cấp trường năm 2020-2021 có đáp án Trường THCS Thường Thới Hậu A, Hồng Ngự
2. Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 9 cấp trường năm 2020-2021 có đáp án Trường THCS Bắc Hồng
3. Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 9 cấp trường năm 2019-2020 có đáp án Trường THCS Đại An
4. Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 9 cấp trường năm 2019-2020 có đáp án Trường THCS Gia Hòa, Gia Viễn
5. Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 9 cấp trường năm 2019-2020 có đáp án Trường THCS Lương Thế Vinh
6. Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 9 cấp trường năm 2019-2020 có đáp án Trường THCS Ngũ Đoan
7. Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 9 cấp trường năm 2019-2020 có đáp án Trường THCS Xã Mađagi
8. Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 9 cấp trường năm 2019-2020 - Trường THCS
Phúc Trạch
UBND HUYỆN HỒNG NGỰ
TRƯỜNG THCS-THƯỜNG THỚI HẬU A
ĐỀ THAM KHẢO HỌC SINH GIỎI KHỐI 9 VỊNG TRƯỜNG
MƠN :TỐN 9 Năm học : 2020 – 2021
Thời gian :120 phút ( không kể thời gian phát đề )
Đề :
Câu 1: (4điểm)
a
1
Cho biểu thức P
2 2 a
2
a 1
a 1
.
với a>0 và a ≠ 1.
a 1
a 1
a. Rút gọn biểu thức P;
b. Tìm giá trị của a để P < 0.
Câu 2: (3 điểm)
Chứng minh rằng 200300 > 300200
Câu 3: (3 điểm)
Chứng minh đẳng thức sau
a a a a
1
1
1 a với a 0, a 1
a 1
a 1
Câu 4 : (5đ)
3
x 3 4 x2 4
x 1
2
Cho biểu thức :
.
5
2x 2 x 1 2x 2
a. Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức xác định.
b Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức xác định thì nó khơng phụ thuộc vào giá trị của
biến x
Câu 5: (5đ)
Cho tam giác ABC, AC = 5cm, AB =12 cm, BC = 13 cm. Gọi N là trung điểm BC, lấy D đối
xứng của A qua N.
a. Chứng minh ABDC là hình chữ nhật.
b. Tính diện tích tứ giác ABDC.
-----hết-----
ĐÁP ÁN ĐỀ THAM KHẢO HSG TOÁN 9
Câu 1: (4điểm)
NỘI DUNG
a
1
a. P
2 2 a
2
ĐIỂM
a 1
a 1
.
a 1
a 1
a. a
1
2 a
2 a
2
( a 1)2 ( a 1) 2
.
( a 1)( a 1)
2
a 1 a 2 a 1 a 2 a 1
.
a 1
2 a
(a 1)(4 a)
(2 a ) 2
(1 a).4 a
4a
1 a
a
1 a
Vậy P
với với a>0 và a ≠ 1.
a
1.0đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
b. Do với a>0 và a ≠ 1 nên P <0 Khi và chỉ khi
1 a
<0 1-a <0
a
a >1
0.5đ
0.5đ
Câu 2: (3.điểm)
NỘI DUNG
(200 ) 8000000
300 (3002 )100 90000100
200300 > 300200
300
Ta có 200
3 100
100
200
ĐIỂM
1.0đ
1.0đ
1.0đ
Câu 3: (3.điểm)
NỘI DUNG
với a 0, a 1 ta có
a a a a
1
1 a 1
a
1
a 1 a a a 1 a a
=
a 1
a 1
a 2 a 1 a 2 a 1
=
a 1
a 1
( a 1)2 ( a 1) 2
=
a 1
a 1
= ( a 1)( a 1)
ĐIỂM
1.0đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
= [( a )2 12 ]
= - a +1
=1-a
Câu 4(5 điểm)
0.5đ
NỘI DUNG
3
x 3 4x 4
x 1
a.
2
.
5
2x 2 x 1 2x 2
2 x 2 0
x 1
2
Biểu thức xác định khi x 1 0 x 1 x 1
2 x 2 0
x 1
ĐIỂM
2
1.0-0.5-0.5
3
x 3 4 x2 4
x 1
2
b.
.
5
2x 2 x 1 2x 2
x 1
3
x 3 (2 x) 2 22
=
.
5
2( x 1) ( x 1)( x 1) 2( x 1)
( x 1)( x 1) 6 ( x 3)( x 1) (2 x 2)(2 x 2)
=
.
2( x 1)( x 1)
5
2
2
x 2 x 1 6 x 2 x 3 4( x 1)( x 1)
=
.
2( x 1)( x 1)
5
10.4( x 1)( x 1)
=
10( x 1)( x 1)
40( x 1)( x 1)
=
10( x 1)( x 1)
= 4 (đpcm)
Câu 5(5 điểm)
NỘI DUNG
a. Chứng minh ABDC là
B
hình chữ nhật
Ta có N là trung điểm BC
(gt)
N là Trung điểm AD (A, D
đối xứng qua N)
A
Nên tứ giác ABDC là hình
bình hành
(1)
Mặt khác :
AB2 AC 2 122 52
= 144 + 25
= 169
2
BC 169
Do đó AB2 AC 2 BC 2
ABC vuông tại A (Pitago đảo)
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
D
ĐIỂM
0.5
0.5
0.5
N
C
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Hay BAC 900
(2)
Từ (1) và (2) ABDC là hình chữ nhật.
b. Diện tích tứ giác ABDC
S = AB.AC = 12.5 =60 cm2
1.0
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THCS BẮC HỒNG
******************
Năm học 2020-2021
Mơn : TỐN – Lớp 9 (Thời gian 120 phút)
PHẦN I: Thí sinh chỉ ghi kết quả vào bài làm:
Câu 1: Giá trị biểu thức: T
5 3 29 12 5 là:
Câu 2: Tính giá trị biểu thức N x2019 3x 2020 2 x 2021
Với x
52
5 2
3 2 2
5 1
Câu 3: : Cho a b, là hai số tự nhiên. Biết rằng a chia cho 5 dư 3 và b chia cho 5 dư 2.
Hỏi tích a b. chia cho 5 dư bao nhiêu ?
Câu 4: Tìm số nguyên dương n để n +1 và 4n+29 là số chính phương.
Câu 5: Cho tam giác ABC có AB=1; 𝐴̂ =1050 ; 𝐵̂ =600.Trên cạnh BC lấy điểm E sao
cho BE=1. Vẽ ED//AB(D∈AC).
Tính giá trị biểu thức:
1
𝐴𝐶 2
+
1
𝐴𝐷2
Câu 6: Tính diện tích của một tam giác vng có chu vi 72cm, hiệu giữa dduongf
trung tuyến và đường cao ứng với cạnh huyền bằng 7cm.
PHẦN II: Thí sinh trình bày bài làm vào tờ giấy thi
Câu 7: Giải phương trình
5 3x x 1
x 3 3 2x
=4
Câu 8: Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x2 + xy + y2 = x2y2
Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
a) Tính AH, BH biết BC = 50 cm và
AB
3
AC
4
b) Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh rằng:
AH3 = BC.BD.CE
c) Giả sử BC = 2a là độ dài cố định. Tính giá trị nhỏ nhất của: BD 2 + CE2
Câu 10: Cho ba số thực x , y , z dương thỏa mãn xy yz zx 2xyz 1 . Chứng minh:
x2 y y 2 z z 2 x
2 xyz
x 1 y 1 z 1
Hết.
HƯỚNG DẪN CHẤM THI TOÁN
HƯỚNG DẪN
CÂU
1
1
2
x 2 ( 2 1)2 = 2 - ( 2 + 1) = -1
với x = -1 ta có N = -1 + 3 + 2 = 4
3
a chia cho 5 dư 3 nên tồn tại số tự nhiên m sao cho a m = + 5 3 (1) b chia
cho 5 dư 2 nên tồn tại số tự nhiên n sao cho b n = + 5 2 (2) Từ (1) và (2)
suy ra a b m n . 5 3 5 2 ... 5 5 2 3 1 1 = + + == + + ++ ( )( ) ( mn m n ) Suy
ra a b. chia cho 5 dư 1.
4
n = 35.
4
5
3
6
144cm2
7
Điều kiện x – 3 + 3 2 x 0
Điêm
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Phương trình tương đương
3x 5 - x 1 - 4 2 x 3 - 4x + 12 = 0 (*)
3
2
Xét x < - Thì (*) - 3x + 5 + ( x – 1) + 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0
0,25
0,5
2x = -28
x = - 14 (Thỏa mãn đk)
3
2
Xét - ≤ x < 1 Thì (*)
0,25
- 3x + 5 + x – 1 – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0
x=
2
(Thỏa mãn đk)
7
Xét 1 ≤ x <
0,25
5
Thì (*)
3
- 3x + 5 – (x -1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0
0,25
x=
3
(loại)
8
Xét x ≥
5
Thì (*) 3x – 5 – (x – 1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0
3
0,25
x = -
2
(Loại)
5
0,25
2
7
Vậy phương trình có nghiệm x 14;
8
Ta có x2 + xy + y2 = x2y2
(x + y)2 = xy(xy + 1)
0,25
xy 0
+ Nếu x + y = 0 xy(xy + 1) = 0
xy 1
0,25
Với xy = 0. Kết hợp với x + y = 0 x = y = 0
x 1
x 1
hoặc
y 1
y 1
Với xy = -1. Kết hợp với x + y = 0
0,25
+ Nếu x + y 0 (x + y)2 là số chính phương
xy(xy + 1) là hai số nguyên liên tiếp khác 0 nên chúng ngun tố cùng nhau. Do
đó khơng thể cùng là số chính phương
0,25
Vậy nghiệm ngun của phương trình là (x; y) = (0; 0); (1; -1); (-1; 1)
A
9a
E
D
B
H
C
1
AB
3
AB
AC
k AB = 3k, AC = 4k
AC
4
3
4
(3k)2 + (4k)2 = 502 k2 = 100 k = 10
AB = 30 cm, AC = 40 cm
9b
9c
Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vng ta có
AB.AC = AH.BC 30.40 = AH.50 AH = 24cm
AB2 = BH.BC 302 = BH. 50 BH = 18 cm
Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vng ta có
AH2 = BH.CH
AH4 = BH2.CH2 = BD.AB.CE.AC=(BD.CE)(AB.AC)
= (BD.CE).(AH.BC)
AH3 = BC.BD.CE
Áp dụng định lí Pytago ta có:
BD2 + CE2 = BH2 – HD2 + HC2 – HE2 = BH2 + HC2 – ( HD2 +HE2 )
= (AB2 – AH2 )+ (AC2 – AH2 ) – AH2 = (AB2 + AC2 ) – 3AH2
= BC2 – 3AH2 = 4a2 – 3AH2
Gọi O là trung điểm của BC ta có. AH AO = a nên
BD2 + CE2 4a2 – 3a2 = a2.
Dấu = xẩy ra khi H trùng O ABC vuông cân tại A
1
1
Vậy GTNN của BD2 + CE2 bằng a2 khi ABC vuông cân tại A
10
xy yz zx
x2 y 2
y2 z2
z 2 x2
Xét VT
xy y yz z xz x
xy yz zx x y z
2
1
0.25
0,25
Ta có xy yz zx 3 3 x 2 y 2 z 2 .
Đặt t xy yz zx , từ giả thiết có: 1 t
xy yz zx
2
4t 3
3
4x y z
t
27
4
2
2 2
3
4
Thay vào giả thiết được: 2 xyz 1 xy yz zx
0,25
0.25
1
1
hay xyz
4
8
Do đó xy yz zx 6 xyz
0.25
xy yz zx 6 xyz xy yz zx
2
0,25
2
Mặt khác: xy yz zx 3 xy. yz yz.zx zx.xy
2
2 xy yz zx 6 xyz x y z
3
2
Cộng vế 2 và 3 có: 3 xy yz zx 6 xyz xy yz zx x y z 4
Kết hợp 1 và 4 ta có điều phải chứng minh.
2
Dấu bằng xảy ra khi x y z
1
2
Lưu ý: Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa
0.25
0,25
PHỊNG GD& ĐT THANH BA
TRƯỜNG THCS ĐẠI AN
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2019 - 2020
MƠN: TỐN - LỚP 9
Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức
1 2x x 1 2x x x x
1
A
:
x 1 x
1 x x
1 x
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi x 17 12 2
c) So sánh A với A .
Bài 2: (4,0 điểm)
1
Với x 0; x ; x 1
4
a) Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x3 + y3
b) Chứng minh rằng:
Biểu thức B 1 20082
20082 2008
có giá trị là một số tự nhiên.
20092 2009
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Giải phương trình
x 2 3x 2 x 3 x 2 x 2 2x 3
b) Cho 3 số thỏa mãn điều kiện:
x2+2y+1 = y2+2z+1 = z2+2x+1 = 0
Hãy tính giá trị của biểu thức: A = x2012 + y2012 + z2012
Bài 4.(7,0 điểm)
Cho tam giác ABC có AB = c; AC = b; BC = a, phân giác AD
a) Chứng minh hệ thức AD2 = AB.AC – BD.DC
b) Tính độ dài phân giác AD?
Bài 5: (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau:
A
1
1
1
1
............
1 2
2 3
3 4
2009 2010
----- Hết -----
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2019-2020
MƠN TỐN LỚP 9
Bài 1 (4 điểm)
a) Rút gọn biểu thức (2 điểm)
1 2x x 1 2x x x x
1
1
A
x 0;x ;x 1
: 1 x
4
x
1 x x
1 x
x 2x x 1
x 1 x 2x 2 x x 1
:
x 1 x
1 x 1 x
1 x 1 x x
x x 1 2 x 1
2 x 1 x 1 2 x 1
:
x x 1 1 x 1 x
1 x 1 x x
1
2 x 1
x
: 2 x 1
x x 1
1 x 1 x x
2 x 1
x
x
x 1
1
: 2 x 1 :
1 x 1
1
:
1 x x x 1 x
1 x 1
x 1
x x
x x
0.5
0.5
0.25
0.25
0.5
1 x x
x
b) Tính giá trị của A khi x 17 12 2 (1 điểm).
Tính x 17 12 2 3 2 2
A
1 3 2 2 17 12 2
3 2 2
c) So sánh A với A (1 điểm).
2
x
3 2 2 3 2
2 5 3 2 2
5
15 10
3 2 2
2
2 3 2 2
0.5
0.5
3 2 2
1 x x
1
x
1
x
x
1
1
Chứng minh được x
2 với mọi x 0;x ;x 1
4
x
1
A x
1 1 A 1 A 1 0 A A 1 0
x
Biến đổi A
0.25
0.25
0.5
A A 0 A A
Bài 2 (4 điểm)
a) Ta có M = x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = x2 - xy + y2 ( vì x + y = 1)
0.25
x2 y 2 x2
y2 1 2
x
y 2
xy
(x y2 ) (
)
2
2
2
2 2
2
2
1
Suy ra M ( x 2 y 2 )
2
Mặt khác : x + y =1 x2 + y2 +2xy = 1 2(x2 + y2) – (x – y )2 = 1
2(x2 + y2) 1
1
Do đó : x2 + y2
2
1
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi x = y =
2
1
1
1 1 1
Ta có M ( x 2 y 2 ) và x2 + y2 M
2
2 2 4
2
1
1
1
Vậy M , nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức M bằng khi x = y =
4
2
4
M=
0.5
0.25
0.5
0.25
0.25
20082 2008
b) Biểu thức B 1 2008
có giá trị là một số tự nhiên ).
20092 2009
2
20082 2008
Ta có : B 1 2008
20092 2009
2
20082 2008
.
1 2008 2.1.2008
20092 2009
2
0.75
2
2008 20082 2008
2008 2008
.
2009 2.2009.
2009
2
2009 2009 2009
2009 2009
2008 2008
2008 2008
2009
2009
2009.
2009 2009
2009 2009
2
0.75
0.5
Vậy B có giá trị là một số tự nhiên.
Bài 3 (4điểm) Giải phương trình
x2 3x 2 x 3 x 2 x 2 2x 3
a)
x 1 x 2 x 3
x 1 x 2 0
x2
x 3 0
Điều kiện
x2
x
2
0
x 1 x 3 0
1
x2
x 1 1
x 1 1 x 3
x 1 x 3 1
0.5
0.25
x 1 1 0
x 1 1 0
x 1 1
x2 x3 0
x2
x 2 x 3 0 x 2 x 3
0.25
0.5
0.5
x = 2 thoả mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
b).Ta có x2+2y+1 = 0 (1); y2+2z+1 = 0 (2)
z2+2x+1 = 0 (3)
0.25
Cộng từng vế của (1),(2),(3) ta có
0.5
(x2+2x+1) +( y2+2y+1) + (z2+2z+1) = 0
( x 1) 2 ( y 1) 2 ( z 1) 2 0
x 1 0
y 1 x y z 1
z 1 0
0.75
0.5
Vậy: A = x2012 + y2012 + z2012 = (-1)2012+(-1)2012+(-1)2012 = 3
Bài 4 (7 điểm)
Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp ABC
Gọi E là giao điểm của AD và (O)
a) Ta có : ABD ~ CED (g –g)
A
0.5
0.5
BD AD
AD.ED = BD.CD
ED CD
AD(AE – AD) = BD.CD
AD2 = AD.AE – BD.CD
Lại có: ABD ~ AEC (g –g)
C
(1)
AB AD
AB.AC = AD.AE (2)
AE AC
Từ (1) và (2) suy ra: AD2 = AB.AC – BD.DC
b) Vì AD là phân giác
DB BA
DC CA
DB DC DB DC
a
cb
bc
c
b
DB =
ac
bc
và DC =
ab
bc
a 2 bc
AD = bc (b c) 2
B
D
E
1
0.5
0.5
0.5
1
0.5
0.5
0.5
2
1
Bài 5 (1,0 điểm)
Rút gọn biểu thức sau:
1
1
1
1
A
............
1 2
2 3
3 4
2009 2010
Ta có:
1
1 2 1 2
2 1
1 2
1
1 2
1
2 3
2 3
3 2
23
1
2 3
1
3 4
3 4
4 3
=
43
1
3 4
0.5
Tương tự ta có
1
1
1
1
A
............
1 2
2 3
3 4
2009 2010
= 2 1 3 2 4 3 ... 2010 2009
(
= 1 2010 2010 1
Chú ý: . Nếu thí sinh làm bài bằng cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương đương.
0.25
0.25
PHÒNG GD&ĐT GIA VIỄN
TRƯỜNG THCS GIA HÒA
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2019 - 2020
MƠN: TỐN LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 05 câu; 01 trang)
Câu 1: (4,0 điểm)
x 3
x 2
x 2
x
Cho biểu thức A
: 1
; Với x 0; x 4; x 9 ;
x 1
x 2 3 x x 5 x 6
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của A khi x 6 2 5 .
c) Với giá trị nào của x thì
1
đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó?
A
Câu 2: (4,0 điểm)
1.Cho a; b là hai số dương thỏa mãn: a2 b2 6 .
Chứng minh: 3(a2 6) (a b) 2
2. Cho hàm số: y x 2m 1 ; với m tham số.
a, Xác định m để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O.
b, Tính theo m tọa độ các giao điểm A; B của đồ thị hàm số với các trục O x; Oy,
H là hình chiếu của O trên AB. Xác định giá trị của m để OH
2
2
Câu 3: (4,0 điểm)
a. Giải phương trình:
x 1 2 x 2 x 1 5 x 2
b. Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 xy 2008x 2009 y 2010 0
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R ). AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vng
góc với nhau. M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hình
chiếu của M trên CD và AB.
a. Tính sin 2 MBA sin 2 MAB sin 2 MCD sin 2 MDC
b. Chứng minh: OK 2 AH (2R AH )
c. Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất.
Câu 5: (2,0 điểm): Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn xyz=1. Chứng minh
rằng:
1
1
1
1
x y 1 y z 1 z x 1
……………………………………….. HẾT.………………………………………
Họ và tên thí sinh: …………………………………………… SBD: ………………
Họ và tên giám thị 1: ………………………………………... Chữ ký: ……………
Họ và tên giám thị 2: ………………………………………... Chữ ký: ……………
PHÒNG GD&ĐT GIA VIỄN
TRƯỜNG THCS GIA HÒA
HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2019-2020
MƠN: TỐN LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
I. Hướng dẫn chung
1. Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó.
2. Học sinh có thể sử dụng kết quả câu trước làm câu sau.
3. Đối với bài hình, nếu vẽ sai hình hoặc khơng vẽ hình thì khơng cho điểm.
4. Nếu thí sinh làm bài khơng theo cách nêu trong đáp án mà đúng vẫn cho điểm
đủ từng phần như hướng dẫn, thang điểm chi tiết do tổ chấm thống nhất.
5. Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải
đảm bảo không sai lệch và đảm bảo thống nhất thực hiện trong tồn hội đồng chấm.
6. Tuyệt đối khơng làm tròn điểm.
II. Hướng dẫn chi tiết
Đáp án
Câu
Điểm
a. (2,5 điểm)
a) Với điều kiện Với x 0; x 4; x 9 ta có:
x 3
x 2
x 2
x 3
A
1
(4,0điểm)
x
: x 1
x 1
x 3 x 1
x 2
x 2
x 9 x 4 x 2 1
:
x 2
x 3
x 1
x 3
x 2
0,5
1
:
x 3 x 1
1
1
:
x 2 x 1
0,5
0,5
x 1
.
x 2
0,5
b) Dễ thấy : x 6 2 5 5 1 thoả mãn điều kiện. Khi đó:
2
x
5 1
2
5 1 .
Do vậy, giá trị của biểu thức A là:
5 1 1
5
5 1 2
5 3
3 5 5
.
4
c) Viết lại,
0,5
3
1
1
=1
. Để
có GTNN thì
A
A
x 1
0,5
0,25
3
có GTLN, hay
x 1
0,25
x 1 có GTLN
Ta có:
x 1 1 , dấu "=" xảy ra khi x = 0.
Giá trị nhỏ nhất của
3
1
1 3 2 , xảy ra khi x = 0.
là 1
A
0 1
0,5
1. Với a; b là hai số dương ta có:
2
1
1
2
a b 2.a. b.1 2a 2 b2 1 (Theo Bunhiacopski)
2
2
a b a2 6
2
3
(Vì a2 b2 6 ) Hay
2
3(a 2 6) (a b) 2
0,75
0,75
2a, y x 2m 1 ; với m tham số
Để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0)
2
(4,0điểm)
thì 2m 1 0 m
1
2
0,5
0,5
b, Tìm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox:
A 2m 1;0
0,5
Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B 0; 2m 1
Ta có: AOB vng tại O và có OH là đường cao nên:
m 0
1
1
1
1
1
2
Hay 2 2 2 2
2
2
2
2
OH
OA OB
x A yB
(2m 1)
m 1
Điều kiện: x 2
0,5
0,5
0,25
x 1 2 x 2 x 1 5 x 2 x 2 2 x 2 1 x 1 5 x 2
2
x 2 1 x 1 5 x 2 0 x 2 1 x 1 5 x 2 0
x 2 4 x 2 4 0 ( x 2 2) 2 0 x 6 2
0,5
0,5
0,5
Vậy nghiệm của pt là: x 6
3
(4,0điểm)
0,25
x 2 xy 2008 x 2009 y 2010 0
x 2 xy x 2009 x 2009 y 2009 1
0,5
x( x y 1) 2009( x y 1) 1 ( x 2009)( x y 1) 1
x 2009 1
x 2010
x y 1 1 y 2010
x 2009 1 x 2008
x y 1 1
y 2010
0,5
0,5
0,5
C
K
B
O
M
H
A
0,5
D
Vì M thuộc (O) nên các tam giác: BMA và CMD vuông tại M nên:
4
sin 2 MBA sin 2 MAB sin 2 MCD sin 2 MDC =
0,75
(sin 2 MBA cos2 MBA) (sin 2 MCD cos2 MCD) = 1 + 1 = 2
0,75
2
(6,0điểm) Chứng minh: OK AH (2R AH )
Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH)
0,5
0,5
0,5
0,5
P = MA. MB. MC. MD =AB.MH.CD.MK = 4R 2.OH.MH(Vì MK
= OH)
0,25
0,25
Thật vậy: KOHM là hình chữ nhật nên: OK = MH
Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng trong tam giác vng MAB có
MH đường cao) và BH = AB – AH = 2R - AH
Mà OH.MH
OH 2 MH 2 OM 2 R 2
(Pitago)
2
2
2
R2
Vậy P 4 R . 2 R 4 . đẳng thức xẩy ra MH = OH
2
2
OH =
R 2
2
Đặt x=a3 y=b3 z=c3 ,a,b,c >0 thì x, y, z >0 và abc=1. Ta có
0,25
0,25
0,25
5
a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab) (a+b)ab, do a+b>0 và a2+b2-ab ab
(2,0điểm)
a3 + b3+1 (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0
1
1
3
a b 1 ab a b c
3
Tương tự ta có
0,5
0,25
1
1
,
3
b c 1 bc a b c
3
1
1
3
c a 1 ca a b c
3
0,5
Cộng theo vế ta có
1
1
1
1
1
1
= 3
+ 3 3 + 3 3
3
x y 1 y z 1 z x 1 a b 1 b c 1 c a 1
1
1
1 1
1
c a b 1
=
a b c ab bc ca a b c
0,5
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
..............................................................Hết.................................................................
Gia Hòa, ngày
Xác nhận của BGH
tháng 9 năm 2019
Người ra đề
PHÒNG GD & ĐT HUYỆN IA PA
TRƯỜNG THCS LƯƠNG THẾ VINH
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2019-2020
MƠN TỐN LỚP 9
Thời gian: 120 phút
Bài 1 (1đ). Tính giá trị các biểu thức sau:
a) 0,04 + 0,25 ;
b) 5,4 + 7 0,36 .
Bài 2 (1đ). So sánh:
a) 7 15 và 7 ;
b) 17 5 1 và 45 .
Bài 3 (2đ). Trong các số sau đây, số nào là số nguyên ?
x = 74 3 74 3 ;
y = 74 3 74 3 .
Bài 4 (3đ). Giải các phương trình sau:
a) x 2 2 x 1 2 0 ;
b) ( 2 + x )(1 x ) x 5 .
Bài 5 (4đ). Cho biểu thức: A =
x 1
:
1
x x x x x2 x
a) Tìm những giá trị của x để A có nghĩa ;
b) Rút gọn A .
Bài 6 (3đ). Cho các hàm số:
y = x + 2 , y = -x + 2 .
a) Vẽ trên cùng một hệ trục toạ độ đồ thị các hàm số trên ;
b) Chứng tỏ rằng x = 0 là hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số trên.
Bài 7 ( 3đ) . Cho hàm số y = ( m – 2)x + 3m +1 có đồ thị là (d) .
a) Tìm m để (d) song song với đường thẳng y = 3x + 2 ;
b) Tìm m để (d) vng góc với đường thẳng y = -x .
Bài 8 (3đ) . Cho tam giác ABC vuuông tại A, biết tỉ số hai cạnh AB và AC là 3 : 4 và cạnh
huyền là 125cm. Tính độ dài các hình chiếu của các cạnh góc vng trên cạnh huyền.
-------------Hết--------------
ĐÁP ÁN
Bài 1: (1đ) Tính giá trị biểu thức sau:
a, 0,04 + 0,25 = 0,2 + 0,5 = 0,7
0,5đ
b, 5,4 + 7 0,36 = 5,4 + 7.0,6 =5,4 + 4,2 = 9,6.
0,5đ
Bài 2:(1đ) So sánh:
a, Có 7 9 3; 15 16 4 7 15 < 7.
0,5đ
b, 17 16 4; 5 4 2; 17 5 1 4 2 1 7 49 45 17 5 1 45
0,5đ
Bài 3:(2đ)
Trong các số sau đây, số nào là số nguyên ?
x = 7 4 3 7 4 3 (2 3 ) 2 (2 3 ) 2 2 3 2 3 4
Vậy x là số nghuyên.
1đ.
y = 7 4 3 7 4 3 (2 3 ) 2 (2 3 ) 2 2 3 2 3 2 3 .
Vậy y khơng là số nghun.
1đ.
Bài 4 :(3đ) Giải phương trình :
a, x 2 2 x 1 2 0
x 1 2 0
x 1 2
x 1 2
x 1 2
x 3
x 1
Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 3 hoặc x = -1.
b,( 2 + x )(1 x ) x 5
Điều kiện: x 0.
2+3 x + x = x +5
3 x
=3
x
=1
x
=1
Vậy phương trình có 1 nghiệm là x = 1.
x 1
Bài 5:(4đ) Cho biểu thức: A =
:
1
x x x x x x
x 0
a, Để A có nghĩa x ( x x 1) 0
x 1.
x ( x 1)( x x 1) 0
2
b, Rút gọn A.
A=
x 1
:
1
x x x x x x
2
=
x 1
x x x x
.( x 2 x )
=
x 1
x ( x x 1)
.. x ( x 1)( x x 1)
= ( x 1)( x 1)
= x – 1.
Bài 6: (3đ)
a, Vẽ trên cùng một hệ trục toạ độ, đồ thị các hàm số :
y = x + 2 (d) ;
y = -x + 2 (d’).
y
f(x)=x+2
5
y= x+ 2
f(x)=-x+2
y= x+ 2
4
3
2
A
1
B
-5
-4
-3
-2
x
C
-1
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
b, Nhận xét: Đường thẳng d vng góc với đường thẳng d’ tại tung độ là 2.
Chứng minh: ABC có : OA = OB = OC =
BC
2
=> O là trung tuyến của tam giác ABC
=> ABC vuông tại A
=> (d) (d’)
Hay hai đồ thị trên vng góc với nhau.
Bài 7:( 3đ)
Cho hàm số y = ( m – 2)x + 3m +1 có đồ thị là ( d).
a, Để (d) song song với đường thẳng y = 3x + 2 thì : m – 2 = 3
=> m = 5.
b, Để (d) vng góc với đường thẳng y = -x thì : a.a’ = -1
( m – 2 ). (-1) = -1
m = 3.
Bài 8:(3đ)
AB2 = AH.BH;
AC2 = AH.CH.
2
AB 2 BH 3
9
Mà AB : AC = 3 : 4 nên
2
HC 4
16
AC
BH CH BH CH 125
Vậy:
5
9
16
9 16
25
=> BH = 45; CH = 80.
UBND HUYỆN KIẾN THỤY
TRƯỜNG THCS NGŨ ĐOAN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN 1
MƠN: TỐN 9
NĂM HỌC 2019-2020
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (2điểm)
1
1
2
1
1
1.1 Cho biểu thức A
:
.
y x y x y
x
a) Rút gọn A
b) Biết xy = 16. Tìm GTNN của A
1.2
Cho x 2016 x 2
y
x3 y x x y y 3
x 3 y xy 3
với x;y >0
2016 y2 2016 .
Tính giá trị của biểu thức T x 2017 y2017 .
.Bài 2 :(2điểm)
2.1. Cho các hàm số bậc nhất: y 0,5x 3 , y 6 x và y mx có đồ thị lần lượt
là các đường thẳng (d1), (d2) và (m). Với những giá trị nào của tham số m để;
a) Đường thẳng (m) cắt hai đường thẳng (d1) tại điểm có hồnh độ âm ?
b) Đường thẳng (m) cắt hai đường thẳng (d2) tại điểm có tung độ dương?
2.1. Cho ba đường thẳng:
x + y = 1 (d1);
x - 2y = 4 (d2);
(k+1)x + (k-1)y = k + 1 (d3); ( với k ≠1)
a) Tìm m để ba đường thẳng (d1); (d2); (d3) đồng quy.
b) Chứng minh rằng khi k thay đổi thì đường thẳng (d3) ln đi qua một điểm cố định
trong mặt phẳng Oxy.
2.2. Giải phương trình sau : 2 x 3 5 2x 3x2 12x 14
Bài 3: (2 điểm)
3.1. Cho A 10n 10n 1 10n 2 ..... 10 110n 1 5 1. Chứng minh rằng A là số chính
phương nhưng khơng là lập phương của một số tự nhiên.
3.2. Chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với x; y 0
x y
x2 y 2
2 4 3
2
y
x
y x
Bài 4: (3 điểm)
Gọi O là tâm đường trong ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Các
tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và B cắt nhau tại M; CM cắt AH tại I, OM cắt AB tại J.
4.1 Chứng minh I là trung điểm của AH.
4.2 Cho BC = 2R, OM = x. Tính AB, AH theo R và x.
4.3 Tính giá trị lớn nhất của AH khi x thay đổi.
Bài 5: (1 điểm)
Cho đa giác đều 36 đỉnh. Có bao nhiêu hình chữ nhật có 4 đỉnh đều là đỉnh của đa giác
đều trên?
.......................Hết..................
UBND HUYỆN KIẾN THỤY
TRƯỜNG THCS NGŨ ĐOAN
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do - Hạnh phúc
ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN 1
MÔN: TOÁN 9
NĂM HỌC 2019-2020
Đáp án
Bài
Bài 1
Biểu
điểm
1.1
a) Rút gọn được A
b) C/m
x y 2
x y
0,75
xy
xy
A
x
y
xy
2
xy
xy
1
Vậy Amin = 1 khi x = y = 4
0,75
1.2
Bài 2
Tính được T x 2017 y2017 = 0
2.1
Điều kiện để (m) là đồ thị hàm số bậc nhất là m 0
a) Phương trình hoành độ giao điểm của (d1) và (m) là:
0,5x 3 mx (m 0,5)x 3
Điều kiên để phương trình này có nghiệm âm là m 0,5 0 hay m 0,5
b) Phương trình hồnh độ giao điểm của (d2) và (m) là:
6 x mx (m 1)x 6
Với m = -1 PT vơ nghiệm
Với m ≠ -1; ta có: x
3.1
Có 10n1 1 10 110n 10n1 10n2 ..... 10 1
10 n 10 n1 10 n2 ..... 10 1
10 n 1 2
3
2
1 n1
10 1
9
1
10 n 1 1 10 n 1 5 1
9
1
10 2 n 2 410 n 1 5 9
9
1
10 2 n 2 410 n 1 4
9
A
0,75
6
6m
y
m 1
m 1
Vậy điều kiện cần tìm là: m > 0 hoặc m < -1
2.2
Giải phương trình sau : 2 x 3 5 2 x 3x2 12 x 14 Được x = 2
Bài 3
0,5
0,75
0,5
0,25
0,5
