Phu dao toan 10 Dai so

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.02 MB, 34 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHẦN 1 HÀM SỐ BẬC NHẤT

y



ax b



I.

Kiến thức cơ bản:

1. Hàm số yax b a



0



:

- Tập xác định DR.

- Hàm số yax b đồng biến trên Ra0
- Hàm số yax b nghịch biến trên Ra0
- Đồ thị là đường thẳng qua A



0;b B



, b; 0

a

 



 

 .

2. Hàm số hằng yb:

- Tập xác định DR.

- Đồ thị hàm số yb là đường thẳng song song với trục hoành Oxvà đi qua A



0;b



3. Hàm số y x :

- Tập xác định DR.

- Hàm sốy x là hàm số chẵn.
- Hàm số đồng biến trên



0;



.
- Hàm số nghịch biến trên



; 0



4. Định lý:

 

d :yax b và

 

d' :ya x b'  '
-

 

d song song

 

d'  aa' và bb'.

 

d trùng

 

d' aa' và bb'.
-

 

d cắt

 

d' aa'.

Bài tập ví dụ:

1) Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một hệ trục tọa độ: y2x; y2x2; y  x 3; y2
Hàm số y2x Hàm số y2x2 Hàm số y  x 3

Chox 0 y0, O



0; 0



cho x 0 y 2, B



0; 2



cho x 0 y3, D



0;3



Chox 1 y2, A



1; 2



cho x 1 y0 , C



1; 0



cho x 1 y2, A



1; 2



Hàm số y2 là đường thẳng song song với trục hoànhOx và đi qua điểm E



0; 2



(Học sinh tự vẽ hình)

2) Tìm a,b để đồ thị hàm số yax b đi qua hai điểmA



2;1



vàB



1;3



Giải: Vì đồ thị hàm số yax b đi qua hai điểmA



2;1



vàB



1; 4



nên ta có hệ phương trình 2 1
4
a b
a b

 




  


Giải hệ ta đượca 1vàb3. Vậy hàm số cần tìm là y  x 3.

3) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số bậc nhất: tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của đồ thị
hai hàm số bậc nhất sau đây y2x1 và y 3 2x.

Giải: Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ 2 1 2 1 3 2 1

3 2 3 2 1

y x x x x

y x y x y

     

  

 

  

    

  

.

Vậy giao điểm cần tìm là điểm M

 

1;1

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2
Vì yax b đi qua M



1;1



nên ta có 1 1.ab, thế a3 ta tìm được b4

Vậy đường thẳng cần tìm là y3x4.
5) Vẽ đồ thị hàm số cho bởi nhiều công thức: 
Vẽ đồ thị hàm số

 

1, khi 1

2 , khi 1

x x

y f x

x x

 



  

 



Với x1 ta có yx1 Với x1 ta có y 2 x
Cho x 1 y2, A



1; 2



cho x 0 y2,C



0; 2



Cho x2y3, B



2;3



cho x  1 y3,D



1;3



BÀI TẬP

1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một hệ trục tọa độ: y 2 x ; y2 ; x y2x3 ; y2.

2. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) 1, khi 0

2 , khi 0

x x

y

x x

 


 

 



b) 3 1, khi 1
1, khi 1

x x

y

x x

  


 

   



c) 2 4, khi 2
4 2 , khi 2

x x

y

x x

 



 

 



d)
2, khi 1

2 1, khi 1

x x

y

x x

  


 

 



e) y x1 f) y 2x3 g) y x 1 h) y x 1 2

3. Tìm m để các hàm số:

a) y



m1



x3đồng biến trên R. b) y



2m3



x6 nghịch biến trên R.
c) y



m1



x3x2m tăng trên R. d) y



2m3



x2xm giảm trên R.

4. Tìm a,b để đồ thị hàm số yax b :

a) Đi qua hai điểm A



1; 3



và B



2;3



. c) Đi qua điểm M



2; 1



và song song với
3

y x

b) Đi qua gốc tọa độ và A



2;1



. d) Đi qua gốc tọa độ và song song với

2 2009

y x

5. Tìm m để:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

3
b) Đồ thị hàm số y2x2 song song với đồ thị hàm số y



m21



x2m.

c) Đồ thị hàm số y x 2 trùng với đồ thị hàm số ym x2 2m.

6. Tìm tọa độ giao điểm nếu có của đồ thị hai ham số:

a) y3x1 và yx1 b) y3x1 và yx1 c) y5x6 và y x 6
7. Tìm m để đồ thị của ba hàm số sau đồng quy (cùng đi qua một điểm):

a) y2x và y  x 3 và ymx1

b) y x 1 và y 3 x và ym x2 3m2
c) y 2 x và y x m3 và y



m2



x5

8. Cho hàm số ym x



1



2

a) Chứng minh rằng đồ thị hàm số trên luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.

b) Tìm m0 để đồ thị hàm số ym x



1



2 cắt Ox Oy, tại hai điểm A B, sao cho OAB cân tại O.

PHẦN 2

Hàm số bậc hai - một số dạng toán liªn quan



Dạng 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a)y= x2

- 6x+ 3 b)y= x2

- 4x+ 3 c)y= -x2

+ 5x- 4
d) y= 3x2+ 7x+ 2 e) y= -x2- 2x+ 4

Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) yx24 x 3

b) 2

y x 4 x 3 c) 2

yx 4 x 3

d) y x24 x 3 e) 2

y x 4 x 3

Bµi 3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
a) y = x2

-5x + 7 trên đoạn [-2;5] b) y = -2x2

+ x -3 trên đoạn [1;3]
c) y = -3x2

- x + 4 trên đoạn [-2;3] d) y = x2

+ 3x -5 trên đoạn [-4; -1]

Bài 4. Tìm m để các bất phương trình sau đúng với mọi giá trị của m:
a) x2

- 3x + 1 > m b) -x2

+2x - 1 > 4m c) 2

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

d) 3x2  x 3 3m



x 1 x



2



x 3



x4



m f) x22x 1 m2m



x 3



x 5



x 2



x 4



3m 1

Dạng 2. Lập phương trình của parabol khi biết các yếu tố của nó 
Bài 5. Xác định phương trình các parabol:

a) y= x2

+ ax+ b ®i qua S(0; 1)
b) y= ax2

+ x+ b ®i qua S(1; -1)
c) y= ax2

+ bx- 2 ®i qua S(1; 2)
d) y= ax2

+ bx+ c ®i qua ba ®iĨm A(1; -1), B(2; 3), C(-1; -3)
e) y= ax2

+ bx+ c cắt trục hoành tại x1= 2và x2= 3, cắt trục tung tại: y= 6

f) y= ax2+ bx+ c đi qua hai điểm m(2; -7), N(-5; 0) và có trục đối xứng x= -2

g) y= ax2

+ bx+ c đạt cực tiểu bằng –6 tại x= -3 và qua điểm E(1; -2)
h) y= ax2

+ bx+ c đạt cực đại bằng 7 tại x= 2 và qua điểm F(-1; -2)
i) y= ax2+ bx+ c qua S(-2; 4) và A(0; 6)

Bài 6. Tìm parabol y=ax2+ bx+ 2 biết rằng parabol đó:

a) Đi qua hai điểm A(1; 5) và B(-2; 8) b)Cắt trục hoành tại x1= 1 và x2= 2

c) Đi qua điểm C(1; -1) và có trục đối xứng x= 2 d)Đạt cực tiểu bằng 3/2 tại x= -1
e) Đạt cực đại bằng 3 ti x= 1

Bài 7. Tìm parabol y= ax2

+ 6x+ c biết rằng parabol đó

a) §i qua hai điểm A(1; -2) và B(-1; -10) b)Cắt trục hoành tại x1= -2 và x2= -4

c) i qua điểm C(2; 5) và có trục đối xứng x= 1 d)Đạt cực tiểu bằng -1 tại x= -1
e) Đạt cực đại bằng 2 tại x= 3

Bài 8. Lập phương trình của (P) y = ax2

+ bx + c biết (P) đi qua A(-1;0) và tiếp xúc với đường
thẳng (d) y = 5x +1 tại điểm M có hồnh độ x = 1

Dạng 3. Sự tương giao của parabol và đường thẳng

Bài 9. Tìm toạ độ giao điểm của các hàm số sau:

a) y= x- 1 vµ y= x2- 2x- 1 b) y=-x+ 3 vµ y= -x2- 4x +1

c) y= 2x- 5 vµ y=x2

- 4x+ 4 d) y= 2x+ 1 vµ y=x2

- x- 2

e) y= 3x- 2 vµ y= -x2

- 3x+ 1 f) y=

-4
1

x+ 3 vµ y=

2
1

+ 4x+ 3

Bài 10. Tìm toạ độ giao điểm của các hàm số sau:

a) y= 2x2

+3x+ 2 vµ y= -x2

+ x- 1 b) y= 4x2

- 8x+ 4 vµ y= -2x2

+ 4x- 2
c) y= 3x2

+ 10x+ 7 vµ y= -4x2

+ 3x+ 1 d)y= x2

- 6x+ 8 vµ y= 4x2

- 5x+ 3
e)y= -x2

+ 6x- 9 vµ y= -x2

+ 2x+ 3 f) y= x2

- 4 vµ y= -x2

+ 4

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

a) (d): y= mx- 1 vµ (P): y= x2

- 3x+ 2
b) (d): y= x- 3m+ 2 vµ (P): y= x2

- x
c) (d): y= (m- 1)x+ 3 vµ (P): y= -x2

+ 2x+ 3
d) (d): y= 5x+ 2m+ 5 vµ (P): y= 5x2

+ 3x- 7

Bµi 12. Cho hä (Pm) y = mx
2

+ 2(m-1)x + 3(m-1) với m0. Hãy viết phương trình của parabol
thuộc họ (Pm) tiếp xúc với Ox.

Bµi 13Cho hä (Pm) y = x
2

+ (2m+1)x + m2

– 1. Chứng minh rằng với mọi m đồ thị (Pm) luôn cắt

đường thẳng y = x tại hai điểm phân biệt và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng hằng số.

Dạng 4. Phương trình tiếp tuyến của Parabol 
Bài 14. Viết phương trình tiếp tuyến của (P) y = x2

- 2x +4 biÕt tiÕp tun:

a) TiÕp ®iĨm là M(2;4) b) Tiếp tuyến song song với đường th¼ng (d1) y = -2x + 1

c) TiÕp tuyÕn ®i qua ®iĨm A(1:2) d) TiÕp tun vu«ng gãc víi (d2) y = 3x + 2

Bài 15. Viết phương trình tiếp tuyến của (P) y = -2x2

+ 3x -1 biết tiếp tuyến:

a) Tiếp điểm là M(-1;3) b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d1) y = 3x -2

c) TiÕp tun ®i qua ®iĨm A(-3:2) d) TiÕp tun vu«ng gãc víi (d2) y = -3x -1

Dạng 5. Điểm đặc biệt của Parabol 
Bài 16. Tìm điểm cố định của (Pm): y = mx

+ 2(m-2)x - 3m +1.

Bài 17. Tìm điểm cố định của (Pm): y = (m+1)x
2

- 3(m+1)x - 2m -1

Bài 18. Tìm điểm cố định của (Pm): y = (m
2

- 1)x2

- 3(m+1)x - m2

-3m + 2

Dạng 6. Quĩ tích điểm

Bi 19. Tỡm quĩ tích đỉnh của (Pm) y = x
2

- mx + m

Bài 20. Tìm quĩ tích đỉnh của (Pm) y = x
2

- (2m+1)x + m-1

Bµi 21. Cho (P) y = x2

a) Tìm quỹ tích các điểm mà từ đó có thể kẻ được đúng hai tiếp tuyến tới (P).

b) Tìm quỹ tích tất cả các điểm mà từ đó ta có thể kẻ được hai tiếp tuyến tới (P) và hai tiếp tuyến
đó vng góc với nhau.

Dạng 7. Khoảng cách giữa hai điểm liên quan đến parabol 
Bài 22. Cho (P)

2

x

y

4

 và điểm M(0;-2). Gọi (d) là đường thẳng qua M cã hÖ sè gãc k

a) Chứng tỏ với mọi m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
b) Tìm k để AB ngắn nhất.

Bµi 23. Cho (P) y = x2

, lấy hai điểm thuộc (P) là A(-1;1) và B(3;9) và M là một điểm thuộc cung
AB. Tìm toạ độ của M để diện tích tam giác AMB là lớn nhất.

Bµi 24. Cho hµm sè y = x2

+(2m+1)x + m2

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

a) Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị (P) luôn cắt đường thẳng y = x tại hai điểm phân biệt và
khoảng cách giữa hai điểm này không đổi.

b) Chứng minh rằng với mọi m, (P) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định. Tìm phương trình
đường thẳng đó.

Bµi 25. Cho (P) 2

y2x  x 3 . Gọi A và B là hai điểm di động trên (P) sao cho AB=4. Tìm quĩ
tích trung điểm I của AB.

Dạng 8. ứng dụng của đồ thị trong giải phương trình, bpt

Bài 26. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

a) x2

+ 2x + 1 = m b) x2

-3x + 2 + 5m = 0 c) - x2

+ 5x -6 - 3m = 0

Bài 27. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

a) 2

x 5x 6 3m 1 b) 2

x 4 x   3 2m 3 c) 2

2x  x 4m 3 0

Bài 28. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:



x22x



24 x



22x



 5 m
Bài 29. Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x2 x 2 4m 3

Bài 30. Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 2

x x 2 5 2m

    

Bµi 31. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của y f x( )x44x3x210 x 3 trên đoạn [-1;4]

Bi 32. Cho x, y, z thay đổi thoả mãn x2

+ y2

+ z2

= 1. Tìm giá trị lớn nhất vµ nhá nhÊt cđa P= x +
y + z + xy+ yz + zx

Bài 33. Tìm m để bất đẳng thức 2 2

x 2x 1 m  0 thoả mÃn với mọi x thuộc đoạn [1;2].

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Phương trình bậc hai & hệ thức Vi-ét

Bài tập 1 :

Định giá trị của tham số m để phương trình

( 1) 5 20 0

x m m x m 

Cã mét nghiƯm x = - 5 . T×m nghiƯm kia.

Bài tập 2 :

Cho phương trình

3 0

x mx 

(1)

a)

Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b)

Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có một nghiệm bằng 1? Tìm nghiệm kia.

Bài tập 3 :

Cho phương trình

8 5 0

x  xm 

(1)

a)

Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b)

Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia? Tìm các

nghiệm của phương trình trong trường hợp này.

Bài tập 4 :

Cho phương trình

(m4)x 2mx m  2 0

(1)

a)

m = ? thì (1) có nghiệm là x =

.

b)

m = ? th× (1) cã nghiƯm kÐp.

Bài tập 5 :

Cho phương trình

2( 1) 4 0

x  m xm 

(1)

a)

Chøng minh (1) cã hai nghiƯm víi mäi m.

b)

m =? th× (1) cã hai nghiƯm tr¸i dÊu .

c)

Giả sử

x x1, 2

là nghiệm của phương trình (1) CMR : M =



1x2



x1



1x x1



không phụ

thuéc m.

Bài tập 6 :

Cho phương trình

2( 1) 3 0

x  m xm 

(1)

a)

Chøng minh (1) cã nghiƯm víi mäi m.

b)

Đặt M =

2 2

1 2

x x

(

x x1, 2

là nghiệm của phương trình (1)). Tìm min M.

Bài tập 7:

Cho 3 phương trình

2
2
2

1 0(1);
1 0(2);
1 0(3).
x ax b

x bx c
x cx a

   

Chứng minh rằng trong 3 phương trình ít nhất một phương trình có nghiệm.

Bài tập 8:

Cho phương trình

2 2

( 1) 2 0

x  a x a   a

(1)

a)

Chøng minh (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊuvíi mäi a.

b)

x x1, 2

là nghiệm của phương trình (1) . Tìm min B =

2 2

1 2

x x

.

Bài tập 9:

Cho phương trình

2( 1) 2 5 0

x  a x a 

(1)

a)

Chøng minh (1) cã hai nghiƯm víi mäi a

b)

a = ? thì (1) có hai nghiệm

x x1, 2

thoả m·n

x1 1 x2

.

c)

a = ? th× (1) cã hai nghiƯm

x x1, 2

tho¶ m·n

2 2

1 2

x x

= 6.

Bài tập 10:

Cho phương trình

2x2(2m1)x m  1 0

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

a)

m = ? thì (1) có hai nghiệm

x x1, 2

thoả mãn

3x14x2 11

.

b)

Chứng minh (1) khơng có hai nghim dng.

c)

Tìm hệ thức liên hệ giữa

x x1, 2

kh«ng phơ thc m.

Gợi ý:

Giả sử (1) có hai nghiệm dương -> vơ lý

Bài tập 11:

Cho hai phương trình

2
2

(2 ) 3 0(1)

( 3 ) 6 0(2)

x m n x m

x m n x

   

Tìm m và n để (1) và (2) tương đương .

Bài tập 12:

Cho phương trình

0( 0)

ax bx c  a

(1)

điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có nghiệm này gấp k lần nghiệm kia là

2 ( 1)2 0( 0)

kb  k ac k

Bài tập 13:

Cho phương trình

2( 4) 7 0

mx  m x m  

(1)

a)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

x x1, 2

.

b)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm

x x1, 2

thoả mãn

x12x20

.

c)

Tìm một hệ thức giữa

x x1, 2

độc lập với m.

Bài tập 14:

Cho phương trình

2 2

(2 3) 3 2 0

x  m x m  m 

(1)

a)

Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m.

b)

Tìm m để phưong trình có hai nghiệm đối nhau .

c)

Tìm một hệ thức giữa

x x1, 2

độc lập với m.

Bài tập 15:

Cho phương trình

(m2)x22(m4)x(m4)(m2)0

(1)

a)

Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm kép.

b)

Giả sử phương trình có hai nghiệm

x x1, 2

. Tìm một hệ thức giữa

x x1, 2

độc lập với m.

c)

Tính theo m biểu thức

1 2

1 1

A

x x

 

 

;

d)

Tìm m để A = 2.

Bài tập 16:

Cho phương trình

x2mx 4 0

(1)

a)

CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi .

b)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1 2

2 2

1 2

2(x x ) 7
A

x x

 





.

c)

Tìm các giá trị của m sao cho hai nghiệm của phương trình đều là nghiệm nguyên.

Bài tập 17:

Với giá trị nào của k thì phương trình

x2kx 7 0

có hai nghiệm hơn kém nhau

một đơn vị.

Bài tập 18:

Cho phương trình

( 2) 1 0

x  m xm 

(1)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

c) Tìm m để phương trình có nghiệm âm.

Bài tập 19:

Cho phương trình

x2(m1)x m 0

(1)

a)

CMR phương rình (1) ln có nghiệm phân biệt với mọi m

b)

Gọi

x x1, 2

là hai nghiệm của phương trình . Tính

2 2

1 2

x x

theo m.

c)

Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm

x x1, 2

thoả mãn

2 2

1 2

x x

= 5.

Bài tập 20:

Cho phương trình

2 2

(2 1) 3 0

x  m xm  m

(1)

a)

Giải phương trình (1) với m = -3.

b)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm và tích hai nghiệm đó bằng 4. Tìm hai nghiệm đó .

Bài tập 21:

Cho phương trình

12 0

x  xm

(1)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm

x x1, 2

toả mãn

2 1

x x

.

Bài tập 22:

Cho phương trình

(m2)x 2mx 1 0

(1)

a)

Giải phương trình với m = 2.

b)

Tìm m để phương trình có nghiệm.

c)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt .

d)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm

x x1, 2

thoả mãn



1 2 x1



1 2 x2



 1

.

Bài tập 23:

Cho phương trình

2( 1) 3 0

x  m x m  

(1)

a)

Giải phương trình với m = 5.

b)

CMR phương trình (1) ln có hai nghiêm phân biệt với mọi m.

c)

Tính A =

3 3

1 2

1 1

x  x

theo m.

d)

Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm đối nhau.

Bài tập 24:

Cho phương trình

(m2)x22mxm 4 0

(1)

a)

Tìm m để phương trình (1) là phương trình bậc hai.

b)

Giải phương trình khi m =

.

c)

Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khơng âm.

Bài tập 25:

Cho phương trình

x2pxq0

(1)

a)

Giải phương trình khi p =





3 3



; q =

3 3

.

b)

Tìm p , q để phương trình (1) có hai nghiệm :

x1 2,x2 1

c)

CMR : nếu (1) có hai nghiệm dương

x x1, 2

thì phương trình

1 0

qx px 

có hai nghiệm

dương

x x3, 4

d)

Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là

3x va x1 3 2

;

2

1
1

x

vµ

2
2
1

x

;

1
2

x
x

vµ

2
1

x
x

Bài tập 26:

Cho phương trình

(2 1) 0

x  m x m 

(1)

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

c)

Tìm m để

2 2
1 2 6 1 2

x x  x x

đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài tập 27:

Cho phương trình

2( 1) 2 10 0

x  m x m 

(1)

a)

Giải phương trình với m = -6.

b)

Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm

x x1, 2

. Tìm GTNN của biểu thức

2 2

1 2 10 1 2
Ax x  x x

Bài tập 28:

Cho phương trình

(m1)x2(2m3)x m  2 0

(1)

a)

Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu.

b)

Tìm m để (1) có hai nghiệm

x x1, 2

. Hãy tính nghiệm này theo nghiệm kia.

Bài tập 29:

Cho phương trình

x22(m2)x(m22m3)0

(1)

Tìm m để (1) có hai nghiệm

x x1, 2

phân biệt thoả mãn

1 2

1 1

x x
x x



 

Bài tập 30:

Cho phương trình

x2mx n 0

cã 3

m2

= 16n.

CMR hai nghiệm của phương trình , có một nghiệm gấp ba lần nghiệm kia.

Bài tập 31 :

Gọi

x x1, 2

là các nghiệm của phương trình

2x23x 5 0

. Khơng giải phương trình ,

h·y tÝnh : a)

1 2

1 1

x  x

; b)

2
1 2

(x x )

;

c)

3 3

1 2

x  x

d)

x1x2

Bài tập 32 :

Lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng :

a)

vµ 2

; b) 2 -

vµ 2 +

.

Bài tập 33 :

CMR tồn tại một phương trình có các hệ số hữu tỷ nhận một trong các nghiệm là :

a)

3 5





; b)

2 3





; c)

2 3

Bài tập 33 :

Lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng

:

a)

Bình phương của các nghiệm của phương trình

2 1 0

x  x 

;

b)

Nghịch đảo của các nghiệm của phương trình

2 0

x mx 

Bài tập 34 :

Xác định các số m và n sao cho các nghiệm của phương trình

x mx n 

cịng lµ m vµ n.

Bài tập 35:

Cho phương trình

2 3

2 ( 1) 0

x  mx m 

(1)

a)

Giải phương trình (1) khi m = -1.

b)

Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt , trong đó một nghiệm bằng bình

phuơng nghiệm cịn lại.

Bài tập 36:

Cho phương trình

2x 5x 1 0

(1)

Tính

x1 x2 x2 x1

( Với

x x1, 2

là hai nghiệm của phương trình)

Bài tập 37:

Cho phương trình

(2m1)x22mx 1 0

(1)

a)

Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( -1; 0 ).

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Bµi tËp 38 :

Cho phương trình x2 - (2k - 1)x +2k -2 = 0 (k là tham số).

Chứng minh rằng phương trình ln ln có nghiệm.

Bµi tËp 39

:

Tìm các giá rị của a để ptrình:
(a2a3)x2 



a2



x3a2 0

NhËn x=2 lµ nghiƯm .Tìm nghiệm còn lại của ptrình?

Bi tp 40

Xác định giá trị của m trong phương trình bậc hai :

8 0

x  x m 

để 4 +

là nghiệm của phương trình . Với m vừa tìm được , phương trình đã cho cịn một

nghiệm nữa . Tìm nghiệm cịn lại ấy?

Bài tập 41:

Cho phương trình : x22(m1)x m  4 0 (1) , (m là tham số).
1) Giải phương trình (1) với m = -5.

2) Chứng minh rằng phương trình (1) ln có hai nghiệm x x1, 2 phân biệt mọi m.

3) Tìm m để x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất (x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình (1) nói trong phần 2/ ) .

Bµi tËp 42:

Cho phương trình

1. Giải phương trình khi b= -3 và c=2

2. Tìm b,c để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và tích của chúng bằng 1

Bµi tËp 43:

Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0 với m là tham số và x là ẩn số.
a) Giải phương trình với m = 1.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2.

c) Với điều kiện của câu b hãy tìm m để biểu thức A = x1 x2 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Bµi tËp 44:

Cho phương trình ( ẩn x) : x

- 2mx

+ m

– 3 = 0

1)

Giải phương trình với m =

2) Tìm m để phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt

Bài tập 45:

Cho phương trình ( ẩn x) : x

-

2mx + m

–

2
1

=

0 (1)

1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm và các nghiệm của ptrình có giá trị tuyệt đối bằng nhau

2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm và các nghiệm ấy là số đo của 2 cạnh góc vng của một

tam giác vng có cạnh huyền bằng 3.

Bài tập 46:

Lập phương trình bậc hai với hệ số nguyên có hai nghiệm là:

5
3

4
1




x

vµ

5
3

4
2



x

1)

TÝnh : P =

4
4

5
3

4
5

3
4






















</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Bài tập 48:

Cho hai phương trình sau :

2
2

(2 3) 6 0

2 5 0

x m x

x x m

   

   

( x lµ Èn , m lµ tham sè )

Tìm m để hai phương trình đã cho có đúng một nghiệm chung.

Bµi tËp 49:

Cho phương trình :

2 2

2( 1) 1 0

x  m xm  

với x là ẩn , m là tham số cho trước

1)

Giải phương trình đã cho kho m = 0.

2)

Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm dương

x x1, 2

phân biệt thoả mãn điều kiện

2 2

1 2 4 2

x x 

Bài tập 50:

Cho phương trình :









2 1 2 3 0

m x   m xm 

( x lµ Èn ; m lµ tham sè ).

1)

Giải phương trình khi m = -

2)

CMR phương trình đã cho có nghiệm với mọi m.

3)

Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp

ba lần nghiệm kia.

Bài tập 52:

Cho phương trình x

+ x – 1 = 0 .

a)

Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm trái dấu .

b) Gọi

x1

là nghiệm âm của phương trình . Hãy tính giá trị biểu thức :

1 10 1 13 1
P x  x  x

Bài tập 53:

Cho phương trình với ẩn số thực x:

x

- 2(m – 2 ) x + m - 2 =0. (1)

Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.

Bµi tËp 54:

Cho phương trình : x

+ 2(m-1) x +2m - 5 =0. (1)

a)

CMR phương trình (1) ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b)

Tìm m để 2 nghiệm

x x1, 2

của (1) thoả mãn

:

2 2

1 2 14
x x 

.

Bµi tËp 55:

a)

Cho a =

11 6 2 , b 11 6 2

. CMR a, ,b là hai nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số

nguyên.

b)

Cho

c36 3 10, d  36 3 10

. CMR

c d2, 2

là hai nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số

nguyªn.

Bài tập 56:

Cho phương trình bậc hai :

2 2

2( 1) 1 0

x  m x m m 

(x lµ Èn, m lµ tham sè).

1)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm.

2)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có 2 nghiệm

x x1, 2

thoả mãn :

x1  x2 3

.

3)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tập giá trị của hàm số

y=

x22(m1)x m 2m1

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Bài tập 57:

Cho phương trình :

x

- 2(m-1) x +2m - 3 =0.

a)

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu.

b)

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia.

Bài tập 58:

Cho phương trình :

2 2

6 6 0.

x  x aa 

1)

Với giá trị nào của a thì phương trình có nghiệm.

2)

Giả sử

x x1, 2

là nghiệm của phương trình này. Hãy tìm giá trị của a sao cho

3
2 1 8 1
x x  x

Bài tập 59:

Cho phương trình :

mx

-5x – ( m + 5) = 0 (1) trong đó m là tham số, x là ẩn.

a)

Giải phương trình khi m = 5.

b)

Chứng tỏ rằng phương trình (1) ln có nghiệm với mọi m.

c)

Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

x x1, 2

, hãy tính theo m giá trị của

biểu thức B =

2 2

1 2 1 2

10x x 3(x x )

. Tìm m để B = 0.

Bµi tËp 60:

a)

Cho phương trình :

2 2

2 1 0

x  mxm  

( m là tham số ,x là ẩn số). Tìm tất cả các giá trị ngun

của m để phương trình có hai nghiệm

x x1, 2

thoả mãn điều kiện

2000x1x22007

b)

Cho a, b, c, d



R . CMR ít nhất một trong 4 phương trình sau có nghiệm

2
2
2
2

2 0;

ax bx c

bx cx d

cx dx a

dx ax b

  

Bµi tËp 61:

1)

Cho a, b , c, là các số dương thoả mãn đẳng thức

2 2 2

a b abc

. CMR phương trình

2 ( )( ) 0

x  x ac b c 

có hai nghiệm phân biệt.

Cho phương trình

x  x p

có hai nghiệm dương

x x1, 2

. Xác định giá trị của p khi

4 4 5 5

1 2 1 2

x x x x

đạt giá trị lớn nhất.

Bài tập 62:

Cho phương trình :

(m + 1 ) x

– ( 2m + 3 ) x +2 = 0 , với m là tham số.

a)

Giải phương trình với m = 1.

b)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho nghiệm này gấp 4 lần nghiệm kia.

Bài tập 63:

Cho phương trình

:

2 2

3 2 2 10 4 0

x  y  xy x y 

(1)

1)

Tìm nghiệm ( x ; y ) của phương trình ( 1 ) thoả mãn

x2y210

2)

Tìm nghiệm nguyên của phương trình (1).

Bài tập 64:

Giả sử hai phương trình bậc hai ẩn x :

1 1 1 0

a x b xc 

vµ

2 2 2 0

a x b x c 

Cã nghiÖm chung. CMR

:



a c1 2a c2 1



2



a b1 2a b2 1



b c1 2b c2 1



</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

x22(m1)x2m23m 1 0

a) Chứng minh phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 0m1

b) Gọi x x1, 2 là nghiệm của phương trình , chứng minh : 1 2 1 2 9

x x x x 

Bài tập 66: Cho phương trình bậc hai ẩn x :

2x22mx m 2 2 0
a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm.

b) Gọi x x1, 2 là nghiệm của phương trình , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A 2x x1 2x1x24 .

Bài tập 67: Cho phương trình bậc hai ẩn x :

(m1)x22(m1)x m  3 0 víi m 1. (1)
a) CMR (1) lu«n cã hai nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m.

b) Gọi x x1, 2 là nghiệm của phương trình (1) , tìm m để x x1 2 0 và x12x2

Bài tập 68: Cho a , b , c là đọ dài 3 cạnh của 1 tam giác . CMR phương trình

x2(a b c x ab bc ac  )    0

v« nghiƯm .

Bài tập 69: Cho các phương trình bậc hai ẩn x :

2
2

0(1);
0(2).

ax bx c
cx dx a

  

Biết rằng (1) có các nghiệm m và n, (2) có các nghiệm p và q. CMR : m2n2p2q2 4.

Bài tập 70: Cho các phương trình bậc hai ẩn x :

x2bx c 0 cã c¸c nghiƯm 
1, 2

x x ; phương trình x2b x bc2  0 có các nghiệm 
3, 4
x x .
Biết x3x1x4x2 1. Xác định b, c.

Bài tập 71 : Giải các phương trình sau
a) 3x4 - 5x2 +2 = 0

b) x6 -7x2 +6 = 0

c) (x2 +x +2)2 -12 (x2 +x +2) +35 = 0

d) (x2 + 3x +2)(x2+7x +12)=24

e) 3x2+ 3x = x2x

+1
f) (x +

x
1

) - 4 ( 1 )
x

x +6 =0
g) 12x2  x1

h) 4x20 x20

i) 48 10(

3 2




x
x

)
4

3 x

x


Bài tập 72. giải các phương trình sau.

a) x2 - 5x - 5 =0 b) - 5.x2- 2 x +1=0

c) ( 1 - 3)x2( 31) 30 d)5x4 - 7x2 +2 = 0 e) (x2 +2x
+1)2 -12 (x2 +2x +1) +35 = 0 f) (x2 -4x +3)(x2-12x +35)=-16 g) 2x2+ 2x = x2 x

+1 .

Bài tập 73.Cho phương trình bậc hai 4x2-5x+1=0 (*) có hai nghiệm là x

1, x2.

1/ khơng giải phương trình tính giá trị của các biểu thức sau:

2
2
2
1

1
1

x
x

A  ; B 2
2

2
2

1
1 4
4

x
x
x

x 




; C x15 x25 ; D x17  x27
2/ lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng:

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

15
b) u =

1
x

1
1

, v =

1
x

1
2

Bài tập 74 . Cho hai phương trình : x2- mx +3 = 0 và x2- x +m+2= 0 .
a) Tìm m để phương trình có nghiệm chung.

b) Tìm m để hai phương trình tương đương.

Bài tập 75. Cho phương trình (a-3)x2- 2(a-1)x +a-5 = 0 .
a) tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
b) Tìm a sao cho

1
x

1
+

2
x

<3 .

c) Tìm một hệ thức độc lập giữa x1, x2.

Bài tập 76. Cho phương trình bậc hai: x2 +(m+2)x +m= 0 .
a) Giải phương trình với m =- 2.

b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của

C



x

12



x

22

Bµi tËp 77:

Cho phương trình:

mx2 – 2( m + 1) x + (m- 4) = 0 (1)

a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm m để PT(1) có hai nghiệm trái dấu . Khi đó trong hai nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn ?
c) Xác định m để nghiệm x1 ; x2 của PT (1) có hai nghiệm thoả mãn x1 + 4x2 = 3

d) T×m hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thc vµo m

Bài tập 78: Cho phương trình mx2 – 2( m -2) x + (m – 3) = Tìm các giá trị của m để nghiệm x

1 ;x2 của PT

thoả mÃn điều kiện x1
2 + x

2
2 = 1

Bài tập 79: Xác định giá trị m để PT sau có hai nghiệm phân biệt trái đấu
(m – 1)x2 – 2x + 3 = 0

Bài tập 80 Cho PT : x2 – 2(m-2) x + ( m2 + m – 3) = 0
Tìm các GT của m để PT có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn :

1 2

1 1

x x
x x



 

Bµi tËp 81 .Cho PT : x2 – (m+2) x + ( 2m – 1) = 0 cã c¸c nghiƯm x

1; x2 . Lập hệ thức liên hệ giữa x1; x2 độc

lËp víi m .

Bµi tËp 82Cho PT x2 – 2(a – 1) x + 2a – 5 = 0 (1)

a) Chøng minh (1) cã nghiƯm víi mäi a

b) Víi mäi gi¸ trị của a thì (1) có hai nghiệm x1; x2 tho¶ m·n x1 < 1 < x2

c) Với GT nào của a thì (1) có hai nghiƯm x1; x2 tho¶ m·n x1
2 + x

2
2 = 6. 
Bµi tËp 83: Cho PT : x2 – 10x – m2 = 0 (1)

mx2 + 10x – 1 = 0 (2) ( m khác không )

1) Chng minh rằng nghiệm PT (1) là nghịch đảo các nghiệm của PT hai

2) Với GT nào của m thì PT (1) cã hai nghiƯm x1 ; x2 tho¶ m·n ®iỊu kiƯn 6x1 + x2 = 5

Bài tập 84: Cho Phương trình x2 – 2(m+1) x – 3m2 – 2m – 1 = 0 (1)

1) C/mr với mọi m PT ln có hai nghiệm trái dấu
2) Tìm GT của m để PT (1) có một nghiệm x = -1

3) Tìm các GT của m để PT (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 + 3x2 = 5

4) Tìm các GT m để PT (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x1
2 + x

2 = m2 – 2m + 3 . 
Bµi tËp 85: Cho PT : x2 – (a- 1) x + a = 0

a) Tìm các GT của a sao cho tổng lập phương các nghiệm bằng 9
b) Với GT nào của a thì tổng các bình phương các nghiệm có GTNN

Bài 14: Cho PT x2 – 5x + 6 = 0 (1) . Không giải PT lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 ; y2

a) Đều là số đối các nghiệm của PT (1)
b) Đều lớn hơn các nghiệm cảu PT(1) là 2

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

16
a) Gi¶i PT khi m = 2

b) C/mr phgương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với mọi GT của m
c) Gọi hai nghiệm cảu PT đã cho là x1 ; x2 .Tìm m để hai nghiệm đó thoả mãn

3 3

1 2

2 1

x x

   



   

   

đạt GTLN

Bài tập 88: Cho Phương trình : x2 – mx – m – 1 = 0 (*)

a) C/mr PT (*) có nghiệm x1 ; x2 với mọi GT của m ; tính nghiệm kép ( nếu có ) của PT và GT m tng ng

b) Đặt A = x12 + x
2

2 – 6x
1.x2

1) Chøng minh A = m2 -8m + 8

2) T×m m sao cho A= 8

3) Tìm GTNN của a và GT m tương ứng .

Bài tập 89: Cho phương trình x2 – 2(a- 1) x + 2a – 5 = 0 (1)

a) C/mr PT(1) cã nghiƯm víi mäi a

b) Với giá trị nào của a thì (1) có nghiƯm x1 ,x2 tho¶ m·n x1 < 1 < x2

c) Với giá trị nào của a thì phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn

x1
2 + x

2
2 =6

Bài tập 90: Cho phương trình : x2 – 2(m+1)x + m – 4 = 0 ( *)

a) Chøng minh (*) cã hai nghiƯm víi mäi m

b) Tìm giá trị của m để PT (*) có hai nghiệm trái dáu
c) Giả sử x1 ; x2 là nghiệm của PT (*)

Chứn minh rằng : M = (1 – x1) x2 + (1 – x2)x1
Bài tập 91: Cho phương trình : x2 – (1- 2n) x + n – 5 = 0

a) Gi¶i PT khi m = 0

b) Chứng minh rằng PT có nghiệm với mọi giá trị của n
c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm cảu PT đã cho

Chứng minh rằng biểu thức : x1(1 + x2) + x2(1 +x1)
Bài tập 92: Các nghiệm của phương trình

x2 + ax + b + 1 = 0 (b khác -1) là những số nguyên

Chứng minh rằng a2 + b2 là hợp số

Bài tập 93: Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác .C/m:
x2 + ( a + b + c) x + ab + bc + ca = 0

v« nghiƯm

Bài tập 94: Cho các phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a.c 0) và cx2 + dx + a = 0 có các nghiệm x

1; x2 vµ y1 ;

y2 tương ướng C/m x1
2

+ x2
2

+ y1
2

+ y2
2

4

Bài tập 95: Cho các phương trình x2+ bx +c =0 (1) và x2 +cx +b = 0 (2)

Trong đó

2
1
1
1




c
b

Bài tập 96: Cho p,q là hai số dương .Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình

px2 + x +q = 0 và x3 ; x4 là nghiệm của phương trình qx
2

+ x + p = 0
C/m : x x1. 2  x x3. 4 2

Bài tập 97: Cho a,b,c là ba số thực bất kỳ .Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm
:

2 2 2

1 0; 1 0; 1 0

x ax b   x bx c   x cx  a

Bài tập 98: Cho phương trình bậc hai :x2 + (m+2) x + 2m = 0 (1)

a) C/m phương trình ln ln có nnghiệm

b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình . Tìm m để 2(x12 + x
2

2 ) = 5x
1x2
Bài tập 99: Cho phương trình x2 + a

1x + b1 = 0 (1) ;

x2 + a2x + b2 = 0 (2)

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Bài tập 100: Chứng minh rằng phương trình :





2 2 2 2 2 2

0
a x  b a c x b 

V« nghiƯm

NÕu a + b > c vµ a b c

Bài tập 101: Cho hai phương trình :

x2 + mx + 1 = 0 (1) x2 + x + m = 0 (2)

a) Tìm m để hai phương trình trên có ít nhất một nghiệm chung
b) Tìm m để hai phương trình trên tương đương

Bài tập 102: Cho phương trình:

x2 – 2( a + b +c) x + 3( ab + bc+ ca) = 0 (1)

a) C/mr phương trình (1) ln có nghiệm

Trong trường hợp phương trình (1) có nghiệm kép xác định a,b,c .Biết a2 + b2 + c2 = 14

Bài tập 103: Chứng minh rằng nếu phương trình :x2 + ax + b = 0 và x2 + cx + d = 0 có nghiệm chung thì : (b
– d)2 + (a- c)(ad – bc) = 0

Bài tập 104: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 .C/mr nếu b > a + c thì phương trình ln có 2 nghiệm phân
biệt

Bài tập 105: G/s x1 , x2 là hai nghiệm của hai phương trình x2 + ax + bc = 0 và x

2 , x3 lµ hai nghiƯm cđa

phương trình x2 + bx + ac = 0 ( với bc khác ac ) . Chứng minh x

1, x3 là nghiệm của phương trình x

2 + cx + ab =

0 .

Bài tập 106: Cho phương trình x2 + px + q = 0 (1) .Tìm p,q và các nghiệm của phương trình (1) biết rằng khi

thêm 1 vào các nghiệm của nó chúng chở thành nghiệm của phương trình : x2 – p2x + pq = 0 
Bài tập 107: Chứng minh rằng phương trình :

(x- a) (x- b) + (x-c) (x- b) + (x-c) (x- a) = 0
Lu«n cã nghiƯm víi mäi a,b,c.

Bài tập 108: Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình : 2x2 + 2(m +1) x + m2 +4m + 3 = 0

T×m GTLN cđa biĨu thøc A = x x1 22x12x2

Bài tập 109: Cho a 0 .G/s x1 ; x2 là nghiệm của phương trình 2

2
1

0
2
x ax

a

  

Chøng minh r»ng : x41x24  2 2

Bài tập 110 Cho phương trình 2

0
x ax

a

   .Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình
Tìm GTNN của E = x14x24

Bµi tËp 111: Cho pt x2 + 2(a + 3) x + 4( a + 3) = 0

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

D¹ng







'
'
'x b y c
a

c

by
ax

1. Giải hệ phương trình

1)











3
)
1
2
(
4
1
2
)
1
2
(
y

x
y
x
2)












5
3
1
7
3
1
3
2
5
3
y
x
y
x

2. Giải và biện luận hệ phương trình
1)







5
5
5
5
my
x
y
mx
2)










m

my
x
m
m
y
x
m
3
)
1
(
7
2
)
5
(
3. Tìm giá trị của tham số để
hệ phương trình có vơ số nghiệm
1)










2

3
)
1
2
(
3
)
1
2
(
m
my
x
m
m
y
m
mx
2)








mn
my
nx

n
m
ny
mx
2
2
2

4. Tìm m để hai đường thẳng sau song song

y m

m
x
m
y

x 40,( 1)  1 

5. Tìm m để hai đường thẳng sau cắt nhau trên Oy

xmy2m, x(2m3)y3m

Hệ gồm một phương trình bậc nhất vàmột phương trình bậc hai hai ẩn

D¹ng











)
2
(
)
1
(
2
2
k
hy
gx
ey
dxy
cx
c
by
ax

PP giải: Rút x hoặc y ở (1) rồi thế vào (2).
1. Giải hệ phương trình









4
2
3
5
3
2
2

2 y y

x
y
x
2)











5
)
(
3
0
1
4
3
y
x
xy
y
x
3)










100
12
10
5

2
1
3
2
2
2
y
x
y
xy
x
y
x

2. Giải và biện luận hệ phương trình
1)







2
2
1
2
2
2
y

x
y
mx
2)







2
2
1
2
2
2
y
x
y
mx

3. Tìm m để đường thẳng 8x8(m1)ym0
cắt parabol 2x2 yx0 tại hai điểm phân biệt.

Hệ phương trình đối xứng loại I

D¹ng






0
)
,
(
0
)
,
(
2
1
y
x
f
y
x
f

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

PP giải: đặt S P

P
xy
S
y
x
4

; 2 







1. Giải hệ phương trình
1)









7
5
2
2
xy
y
x
xy
y
x
2)









30
11
2
2
x
y
y
x
xy
y
x
3)












931
19
2
2
4
4
2
2
y
x
y
x
xy
y
x
4)









243
2
1
1

1
3
3 y
x
y
x
5)


























49
1
1
)
(
5
1
1
)
(
2
2
2
2
y
x
y
x
xy
y
x
6)










2
5
17
2
2
y
x
y
x
y
x

2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

1)









m
y
x

y
x
6
6
2
2
1
2)










m
xy
y
x
y
x
y
x
)
1
)(
1

(
8
)
2
2

3. Cho hệ phương trình










3
2
2

2 y xy

x

m
y

x

Giả sử



x;y



là một nghiệm của hệ. Tìm m để biểu thức F= x2 y2 xy đạt max, đạt min

Hệ phương trình đối xứng loại II

D¹ng





0
)
,
(
0
)
,
(
x
y
f
y
x
f

PP giải: hệ tương đương








0
)
,
(
)
,
(
0
)
,
(
x
y
f
y
x
f
y
x
f
hay








0
)
,
(
)
,
(
0
)
,
(
)
,
(
x
y
f
y
x
f
x
y
f
y
x
f

1. Giải hệ phương trình

1)









y
x
x
x
y
y
4
3
4
3
2
2
2)










y
xy
x
x
xy
y
3
3
2
2
3)









y
xy
x
x
yx
y
40
40

2
3
2
3
4)









y
x
x
x
y
y
8
3
8
3
3
3

2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

1)











m
y
x
x
m
y
x
y
2
)
(
2
)
(
2
2
2)












my
y
y
x
mx
x
x
y
2
3
2
2
3
2
4
4

Hệ phương trình đẳng cấp (cấp 2)
Dạng












)
2
(
'
'
'
'
)
1
(
2
2
2
2
d
y
c
xy
b
x

a
d
cy
bxy
ax

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

20
1)











9
3
2
2
2
2
2
2
2
2
y

xy
x
y
xy
x
2)











4
2
13
3
2
2
2
2
2
y
xy
x
y

xy
x
3)











16
17
2
4
3
2
2
2
2
y
x
y
xy
x
4)











1
3
7
1
5
2
2
2
xy
y
y
x

2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

1)













m
y
xy
x
y
xy
x
17
3
2
11
2
3
2
2
2
2
2)












m
y
xy
x
y
xy
x
2
2
2
2
5
4
1
3
2

Một số Hệ phương trình khác

1. Giải hệ phương trình
1)









7
1
2
2
y
xy
x
y
x
2)










180
49
2
2
x

y
y
x
xy
y
x
3)







7
2
)
(
3
3
y
x
y
x
xy
4)










0
)
(
9
)
(
8
0
1
2
3
3
y
x
y
x
xy
5)











2
1
1
2
2
y
x
y
x
6)









y
x
y
x
x
y
x
y

10
)
(
3
)
(
2
2
2
2
2

2. Giải hệ phương trình

1)













1
2

5
2
7
y
x
y
x
y
x
y
x
3)












7
14
2
2
2
2

z
y
x
y
xz
z
y
x
2)












5
2
3
5
3
2
3
2
3 2

2
y
x
x
x
y
y

3. Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung
a) x13m và x2 4m2 12

b) (m1)x2 (m2)x10 vµ

x2 2xm10

4. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm











0
2

)
1
(
xy
y
x
xy
a
y
x











1
1
1
x
y
m
y
x

4. Tìm m, n để hệ phương trình sau có nhiều
hơn 5 nghiệm phân biệt















m
y
x
y
y
x
m
x
y
nxy
x
2

2
2
2
)
(
1

PHẦN 5

BẤT ĐẲNG THỨC

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

21
1.Cho a,b,c,d > 0

a) nếu a < b thì a
b <

a + c

b + c b) nếu a > b thì
a
b >

a + c
b + c
c) 1 < a

a + b +
b

b + c +

c + a < 2
d) 2 < a + b

a + b + c +
b + c
b + c + d +

c + d
c + d + a +

d + a
d + a + b < 3
2.Cho a

b <
c

d và b,d > 0, Chứng minh rằng
a

b <
a + c
b + d <

c
d

3.Chứng minh rằng  a , b ,c

a) a2 – ab + b2 ≥ ab b) a2 + 9 ≥ 6a

c) a2 + 1 > a d) (a3 – 1)(a – 1) ≥ 0 e) 2abc  a2 + b2c2
f) (a + b)2 ≥ 4ab g) a2 + ab + b2 ≥ 0 h) a4 + b4 ≥ a3b + ab3
i) 4ab(a – b)2 (a2 – b2)2 j) a2 + 2b2 + 2ab + b + 1 > 0

k) a
b +

a ≥ a + b l) 2 + a

2(1 + b2) ≥ 2a(1 + b)

m) a

1 + a4 
1

2 n) (
a + b

2 )

 a

+ b2
2 o)

a2 + b2 + c2
3 ≥ (

a + b + c
3 )

p) a

4 + b

2 + c2 ≥ ab – ac + 2bc q) a4 + b4 + c2 + 1 ≥ 2a(ab2 – a + c + 1)

r) a4 + b4 + c2 + 1 ≥ 2a(ab2 – a + c + 1) s) 2a2 + 4b2 + c2 ≥ 4ab + 2ac
t) a2 + ab + b2 ≥ 3

4 (a + b)

u) a + b + 2a2 + 2b2 ≥ 2ab + 2b a + 2a b
v) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)

4.Cho a ,b  [– 1;1] . Chứng minh rằng : |a + b|  |1 + ab|
4.a)Chứng minh rằng: nếu x ≥ y ≥ 0 thì x

1 + x ≥
y
1 + y
b)Chứng minh rằng: với hai số a và b tùy ý ta có |a – b|

1 + |a – b| ≤
|a|
1 + |a| +

|b|
1 + |b|
5.Cho a ≥ 2 , b ≥ 2. Chứng minh rằng : ab ≥ a + b

6.Cho x ≥ 0,chứng minh rằng: x4 – x5 + x – x + 1 > 0

6.Cho ba số a ,b ,c  [0;1],chứng minh rằng : a + b + c – ab – bc – ca  1
4.Cho 0 < a  b  c . Chứng minh rằng : b(1

a +
1
c ) +

b (a + c)  (
1
a +

c )(a + c)
5.Cho a > b > 0 và c ≥ ab . Chứng minh rằng c + a

c2 + a2 ≥
c + b
c2 + b2
5.Cho a + b + c  0. Chứng minh rằng : a

+ b3 + c3 – 3abc
a + b + c ≥ 0
5.Cho ba số dương a ,b ,c ,chứng minh rằng :

a3 + b3 + abc +
1

b3 + c3 + abc +
1

c3 + a3 + abc 

1
abc
4.Cho các số a,b,c,d thoả a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0. Chứng minh rằng :

a) a2 – b2 + c2 ≥ (a – b + c)2 b) a2 – b2 + c2 – d2 ≥ (a – b + c – d)2
5.a) Cho a.b ≥ 1,Chứng minh rằng : 1

1 + a2 +
1
1 + b2 ≥

2
1 + ab
a) Cho a ≥ 1, b ≥ 1 .Chứng minh rằng : 1

1 + a3 +
1
1 + b3 +

1
1 + c3 ≥

3
1 + abc
b) Cho hai số x ,y thoả x + y ≥ 0.Chứng minh rằng : 1

1 + 4x +
1
1 + 4y ≥

2
1 + 2x+y
6.  a,b,c,d chứng minh rằng

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

22
b) 1 < a

a + b + c +
b
a + b + d +

c
b + c + d +

a + c + d < 2

7.Cho a ,b ,c là độ dài các cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng :

a) a

b +
b
c +

c
a –

c –

c
b –

b
a < 1

b) abc < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)

c) a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2 > a3 + b3 + c3
d) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0
e) (a + b + c)2 9bc với a  b  c
f) (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)  abc

8. Cho hai số a ,b thoả a + b ≥ 2 ,chứng minh rằng : a4 + b4 ≥ a3 + b3
9.Cho a ,b ,c ≥ 0 , chứng minh rằng :

a) a3 + b3 + c3 ≥ 3abc

b) a3b + b3c + c3a ≥ a2bc + b2ca + c2ab
c) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0

10. Cho a ,b ,c là độ dài 3 cạnh một tam giác,với a  b  c
Chứng minh rằng : (a + b + c)2 9bc
*.Cho tam giác ABC,chứng minh rằng : aA + bB + cCa + b + c ≥ 3

*.Cho a ,b ,c  [0;2] . Chứng minh rằng : 2(a + b + c) – (ab + bc + ca)  4
. Chứng minh rằng : 1

1.2 +
1
2.3 +

3.4 + …+
1

n(n + 1) < 1  n  N
. Chứng minh rằng : 1

2! +
2
3! +

4! + …+
n – 1

n! < 1  n  N n ≥ 2
*.Cho ba số dương a ,b ,c thoả mãn: ab + bc + ca = 1 . Chứng minh rằng :

3  a + b + c  1
abc

.11.Cho 3 số a, b, c thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng :
a) a2 + b2 + c2 ≥ 3

b) a4 + b4 + c4 ≥ a3 + b3 + c3

Bất đẳng thức Cauchy

1.Cho hai số a ≥ 0 , b ≥ 0 Chứng minh rằng :
a) a

b +
b

a ≥ 2 a , b > 0 b) a

b + 1

b ≥ 2a b > 0 c)

2a2 + 1
4a2 + 1 ≥ 1
d) a3 + b3 ≥ ab(a + b) e) a4 + a3b + ab + b2 ≥ 4a2b

f) (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab g) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + ab )2
h) a

a4 + 1 
1

2 i)
1
a +

1
b ≥

4
a + b j)

1
a +

1
b +

1
c ≥

2
a + b +

2
b + c +

2
c + a
j) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + ab )2 h) a

+ 2

a2 + 1 ≥ 2 k)
a6 + b9

4 ≥ 3a

b3 – 16
l) a

+ 6

a2 + 2 ≥ 4 m)
a2
b2 +

b2
c2 +

c2
a2 ≥

a
c +

c
b +

b
a
2.Cho a > 0 , chứng minh rằng : (1 + a)2









1
a2 +

a + 1 ≥ 16
3. Cho 3 số a ,b ,c > 0 tùy ý . Chứng minh rằng:

a) a2b + 1

b ≥ 2a b) a + b + c ≤
1
2 ( a

b + b2c + c2a + 1
a +

1
b +

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

23
4.Cho 0 < a < b , chứng minh rằng: a < 2

1
a +

1
b

< ab < a +b
2

5.Cho hai số a ≥ 1, b ≥ 1 , chứng minh rằng : a b – 1 + b a – 1  ab
6.Cho các số a,b,c ≥ 0 Chứng minh rằng :

a) ab + c

b ≥ 2 ac (b  0) b) a + b + c ≥ ab + bc + ca

c) (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) ≥ 16abc d) ( a + b )2 ≥ 2 2(a + b) ab
e) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac f) a2 + b2 + c2 ≥ 1

3 (a + b + c)

g) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(a + c) ≥ 6abc

h) a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b i) a2 + b2 + c2 ≥ 2(a + b + c) – 3
i) (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + 3 abc)3

7. Chứng minh rằng x (0; /2) ta có:
cosx + sinx + tgx + cotgx + 1

sinx +
1
cosx > 6

8.Cho 3 số a ,b ,c thoả a + b + c = 1. Chứng minh rằng : a4 + b4 + c4 ≥ abc
9.Cho 3 số a,b,c không âm,Chứng minh rằng :

a)(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc b) bc
a +

ac
b +

c ≥ a + b + c
c)(ab + ba )( ac + ca )(bc + bc ) ≥ 8 d) (1 + ab )(1+ bc )(1+ ca ) ≥ 8
e) (a + b + c)(1

a +
1
b +

c ) ≥ 9 f) (a + b + c)(
1
a + b +

1
b + c +

1
c + a ) ≥

9
2
g) a + b

c +
b + c

a +
c + a

b ≥ 6 g)
a
b+ c +

b
c + a +

c
a + b ≥

2 h) 3a

+ 7b3 ≥ 9ab2
i) 3a + 2b + 4c ≥ ab + 3 bc + 5 ac

j) a + b + c + 6

2 ≥ a + b + 1 + c + 2
10.Cho 4 số dương a ,b ,c ,d ,chứng minh rằng :
a) (ab + cd)(1

ac +
1

bd ) ≥ 4 b) a

+ b2 + c2 + d2 ≥ (a + b)(c + d)

c) ab1 + cd1 ≥ (a + b)(c + d)8 d) (a2 + 1)(b2 + 2)(c2 + 4)(d2 + 8) ≥ (ac + 2)2(bd + 4)2
e) (a + b)(c + d) + (a + c)(b + d) + (a + d)(b + c) ≥ 64 abcd

f) 1
a +

1
b +

1
c ≥

a + b + c g)
1
a +

1
b +

1
c +

1
d ≥

16
a + b + c + d

h) a

+ b9
4 ≥ 3a

b3 – 16 i) (abc + 1)( 1
a +

1
b +

1
c )(

a
c +

c
b +

a ) ≥ a + b + c + 6
11.Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng: (1 + ba )n + (1 + ba )n ≥ 2n+1 n  N
12.Cho a + b = 1,Chứng minh rằng :

a) ab 1

4 b)a

+ b2 ≥ 1

2 c)a

+ b4 ≥ 1

8 d)a

+ b3 ≥ 1
4
13.Cho a > b và ab = 1 ,chứng minh rằng : a

+ b2

a – b ≥ 2 2
Chứng minh rằng – 1

2 

(a + b)(1 – ab)
(1 + a2)(1 + b2) 

1
2
13 .a) Chứng minh rằng nếu b > 0 , c > 0 thì : b + c

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

24
b)Sử dụng kết quả trên chứng minh rằng nếu a ,b ,c là ba số khơng âm có tổng

a + b + c = 1 thì b + c ≥ 16abc

14.Cho a + b = 1,Chứng minh rằng: (1 + 1
a )(1+

1
b ) ≥ 9
15.Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1 . Chứng minh rằng :

a) (1 + 1a )(1+ 1b )(1+ 1c ) ≥ 64 b) (a + b)(b + c)(c + a)abc 7298
16.Cho 4 số a ,b ,c ,d > 0 thoả mãn 1

1 + a +
1
1 + b +

1
1 + c +

1
1 + d ≥ 3
Chứng minh rằng abcd  1

17.Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng :
a) ab + bc + ca < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)

b) abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)
c) (p – a)(p – b)(p – c) abc

8 d)
1
p – a +

1
p – b +

p – c ≥ 2(
1
a +

1
b +

1
c )

e) p < p – a + p – b + p – c < 3p

18.Cho 3 số a ,b ,c ≥ 0 ,thoả mãn a.b.c = 1

Chứng minh rằng : (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8

19. Cho 3 số x, y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 = 1. Chứng minh rằng
– 1 ≤ x + y + z + xy + yz + zx ≤ 1 + 3

20 .Cho n số dương a1 ,a2 ,….,an. Chứng minh rằng

a) a1
a2 +

a3 + … +

a1 ≥ n b) (a1 + a2 + … + an)(

1
a1 +

a2 + …+

an ) ≥ n

c) (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n với a1.a2….an = 1

21.Cho n số a1 ,a2 ,….,an [0;1] ,chứng minh rằng :

(1 + a1 + a2 + …+ an)2 ≥ 4(a12 + a22 + …+ an2)

22.Cho a > b > 0 , chứng minh rằng : a + 1

b(a – b) ≥ 3 .Khi nào xảy ra dấu =
23. Cho hai số a ≥ 0 ; b ≥ 0 . Chứng minh rằng :

a) 2 a + 33 b ≥ 55 ab b) 5 12 17

ab
17
b
12
a

5  

c) a

+ b9
4 ≥ 3a

b3 – 16

24. Chứng minh rằng 1.3.5….(2n – 1) < nn
25.Cho ba số không âm a ,b ,c chứng minh rằng :

a + b + c ≥ m n k m n k m n k n k m m n k k m n
c
b
a
c

b
a
c

a    



  

26 .Cho 2n số dương a1 ,a2 ,….,an và b1 ,b2 ,….,bn.

Chứng minh rằng : n a1.a2....an +

b1.b2....bn 

(a1 + b1)(a2 + b2)….(an + bn)

27. Chứng minh rằng :
4

(a + 1)(b + 4)(c – 2)(d – 3)
a + b + c + d ≤

1
4
 a ≥ – 1 , b ≥ – 4 , c ≥ 2 ,d > 3

28*.  n  N chứng minh rằng :
a) 1. 1

. 1

…..1

nn <

2
)
1
n
(
n
1
n

2









 b) 1.2

.33.44…nn < 2
)
1
n
(
n
3

1
n
2










 

29*.Cho m,n  N ;m > n . Chứng minh rằng :
( 1 + 1

m )

> ( 1 + 1
n )

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

25
30*.Cho x1,x2,…xn > 0 và x1 + x2 + ….+ xn = 1 Chứng minh rằng

(1 + 1
x1 )(1+

x2 )…(1+

xn ) ≥ (n + 1)
n

31*.Cho các số x1,x2 ,y1,y2,z1,z2 thoả mãn x1.x2 > 0 ; x1.z1 ≥ y12 ; x2.z2 ≥ y22

Chứng minh rằng : (x1 + x2)(z1 + z2) ≥ (y1 + y2)2

32*.Cho 3 số a ,b ,c  (0;1). Chứng minh rằng trong 3 bất đẳng thức sau phải có một bất đẳng thức sai:
a(1 – b) > 1/4 (1) ; b(1 – c) > 1/4 (2) ; c(1 – a) > 1/4 (3)

33*.Cho 3 số a,b,c > 0. Chứng minh rằng :

2 a

a3 + b2 +

2 b
b3 + c2 +

2 c
c3 + a2 

1
a2 +

1
b2 +

1
c2

34** Cho x ,y ,z  [0;1] ,chứng minh rằng : (2x + 2y + 2z)(2– x + 2– y + 2– z) 81

8
(ĐHBK 78 trang 181,BĐT Trần Đức Huyên)

35*.Cho a , b , c > 1. Chứng minh rằng :
a) log2a + log2b  2 log2






a + b
2

b) 2









logba

a + b +
logcb

b + c +
logac

c + a ≥
9
a + b + c
36*Cho a ,b ,c > 0,chứng minh rằng :
a) a

b + c +
b
c + a +

c
a + b ≥

2 b)
a2
b + c +

b2
c + a +

c2
a + b ≥

a + b + c
2
c) a + bc + b + ca + c + ab ≥ 6 d) a

b +
b3

c +
c3

a ≥ ab + bc + ca
e) (a + b + c)(a2 + b2 + c2) ≥ 9abc f) bc

a +
ac

b +
ab

c ≥ a + b + c
g) a

b + c +
b2
c + a +

c2
a + b ≥

a + b + c
2 ≥

ab
a + b +

bc
b + c +

ca
c + a
37.Cho ba số a ,b ,c tuỳ ý . Chứng minh rằng :

a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 +ab2) ≥ 6abc

38*Cho a ,b ,c > 0 thoả : 1

a +
1
c =

b . Chứng minh rằng :
a + b
2a – b +

c + b
2c – b ≥ 4
39*Cho 3 số a, b, c thoả a + b + c ≤ 1. Chứng minh rằng :

a) 1
a +

1
b +

c ≥ 9 b)
1
a2 + 2bc +

1
b2 + 2ac +

c2 + 2ab ≥ 9
40*Cho a ,b ,c > 0 thoả a + b + c  k. Chứng minh rằng :

(1 + 1
a )(1 +

1
b )(1 +

c ) ≥ (1 +
3
k )

41*Cho ba số a ,b ,c  0. Chứng minh rằng : a

b2 +
b2
c2 +

c2
a2 ≥

a
b +

b
c +

c
a
42*Cho tam giác ABC,Chứng minh rằng :

a) ha + hb + hc ≥ 9r b)

a – b
a + b +

b – c
b + c +

c – a
c + a <

1
8

43.Dùng tam thức bậc hai

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

26
f) 3









x2
y2 +

y2
x2 – 8






x
y +

x + 10 ≥ 0
g) (xy + yz + zx)2 ≥ 3xyz(x + y + z)

2.Cho 4 số a ,b ,c ,d thoả b< c < d chứng minh rằng :
(a + b + c + d)2 > 8(ac + bd)

3. Chứng minh rằng : (1 + 2x + 3x)2 < 3 + 3.4x + 32x+1

4. Cho ax + by ≥ xy , x,y > 0. Chứng minh rằng : ab ≥ 1/4
*5. Cho – 1  x 1

2 và –
5
6 < y <

3 ,chứng minh rằng : x

+ 3xy + 1 > 0
6** Cho a3 > 36 và abc = 1.Xét tam thức f(x) = x2 – ax – 3bc + a

3
a) Chứng minh rằng : f(x) > 0 x

b) Chứng minh rằng: a

3 + b

+ c2 > ab + bc + ca

Cho hai số x , y thoả mãn: x  y . Chứng minh rằng x3 – 3x  y3 – 3y + 4
.Tìm Giá trị nhỏ nhất của các hàm số :

a) y = x2 + 4
x2
b) y = x + 2 + 1

x + 2 với x > – 2
c) y = x + 1

x – 1 với x > 1
d) y = x3 + x + 21 với x > – 2
e) y = x

2 + x + 1

x với x > 0
f) y = 4

x +
9

1 – x với x  (0;1)
.Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
y = x(2 – x) 0 x  2

y = (2x – 3)(5 – 2x) 32 x  52

y = (3x – 2)(1 – x) 2

3 x  1
y = (2x – 1)(4 – 3x) 1

2 x 
4
3
y = 4x3 – x4 với x  [0;4]

.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường
thẳng AB luôn luôn tiếp xúc với đường trịn tâm O bán kính R = 1. Xác định tọa độ của A và B để đoạn
AB có độ dài nhỏ nhất

*.Cho a ≥ 3 ; b ≥ 4 ; c ≥ 2 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A = ab c – 2 + bc a – 3 + ca b – 4

abc

*Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x – 1 + 5 – x

PHẦN 5

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Bài 1. Giải các bất phương trình sau

3 1 2 1 2

2 3 4

. (2 1)( 3) 3 1 ( 1)( 3) 5

x x x

a

b x x x x x x

  

 

        

2 2

. 8 3

. 1 2( 3) 5 4

c x x

d x x x

   

     

Bài 2 Giải các hệ bpt sau:

a. 3 1 2 7

4 3 2 19

x x

  




  



6 4 7

8 3

2 5

x x

x



  







  





§2. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT

Bài 1. Xét dấu các biểu thức sau:

. ( ) (2 1)( 3)

4 3

. ( )

3 1 2

a f x x x

b f x

x x

  



 

 

. ( ) (32 2)( 2)( 3)

. ( ) 9 1

c f x x x x

d f x x

    

 

Bài 2 Giải các bpt sau:

3 7

2 2 1

1 1

2 ( 2)

a

x x

b

x x



 



 

2
2

1 2 3

3 2

3 3

. 1

4
c

x x x

x x

d
x

 

 

 




2
3

. 1

2
2

. 1

1 2
e

x

x x

f x

x





 


Bài 3. Giải các bpt sau:

. 2 1 3 5

. 3 1 2

. 3 2 2

a x x

b x x

c x x

    

  

   

d.2x  1 x 1

§3.DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Bài 1. Xét dấu các biểu thức sau:

 

2 2

. ( ) 3 2 . ( ) 2 5 2

. ( ) 9 24 16 . ( ) 3 5

. ( ) 2 4 15 . 4 4

a f x x x b f x x x

c f x x x d f x x x

e f x x x f f x x x

      

      

      

Bài 2. Lập bảng xét dấu các biểu thức sau:

2 2

. ( ) (3 10 3)(4 5)

. ( ) (3 4 )(2 1)

. ( ) (4 1)( 8 3)(2 9)

(3 )(3 )

. ( )

4 3

a f x x x x

b f x x x x x

c f x x x x x

x x x

d f x

x x

   

   

     

 



 

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

28
2

2 2

1 3

.4 1 0 .

4 3 4

. 3 4 0 . 6 0

a x x c

x x x

b x x d x x

   

  

      

§8.MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI

Giải các bất phương trình sau:

2 2 5

3
4
x x
x
x
 
 

 2)

2 3 1

2
x x
x
x
 
 
 3)

3 47 4 47

3 1 2 1

x x

 



  4)

9
4
2
x

x
 




 





 



3 4

3 2

1 2 6

7 2

x x x

x x

  



  6)





4 2

x  x  x 7)x27x100
8)



x23x2



x25x6



0 9)

2 3
0
1 2
x x
x
 

 10)

1

2 x



+
2
2

3 2 1

4 3 3

x x x

  

  
11)
2
2

2 3 4 15

1 1 1

x x x x

x x x

   

 

   12) 2

2 1 4

2 2 2

x x x



 

  13) 2 3

1 2 2 3

1 1 1

x

x x x x



 

   

14)

4 3 2

3 2

0
30

x x x

x x

 



  15)





3 2

3 3

0
2

x x x

x x
  

 16)
4 2
2
4 3
0
8 15
x x
x x
 


 

17)



 







3 4 5

1 2 3 6

0
7

x x x x

x x

   



 18)





42
1
1
x x
x x

 

  19)





2
2
2
15
1
1
x x
x x
  
 
Giải hệ bất phương trình sau:







2 3

1
1

2 2 4

0
1
x

x
x x
x



 


 
 
 

3)
2
12 0

2 1 0

x x
x
   

 

4)
2
2

3 10 3 0

6 16 0

x x
x x
   


  


5)
2
2

4 7 0

2 1 0

x x
x x
   


  


6)
2
2

5 0

6 1 0

x x
x x
   


  


7)
2
2

3 8 3 0

17 7 6 0

x x
x x
   


  


8)
2

2
2

4 3 0

2 10 0

2 5 3 0

x x
x x
x x
   

  

   

9)
2
2
2 7
4 1
1
x x
x
 
  
 10)
2

1 2 2

13 5 7

x x
x x
 
 
 
11)
2
2

10 3 2

1 1
3 2
x x
x x
 
  

   12)

2
2

2
3 4
0
3
2 0
x x
x
x x
  




   

13)
2
2
4 2
2
3
0
1
2 0
2 0

4 5 0

x x
x

x
x x
x x
 




  

   

   


Phương trình và bất phương trình có chứa trị tuyệt đối:

1) x25x4  x 4 2) x22x 8 x21 3) x25 x  1 1 0

4) 1x   1 x x3 5) x2 1 2x0 6) 1 4 x 2x1

7) x23x2x2 2x 8) 2x5  74x 9)
2
2
4
1
2
x x
x x



 
10)
2
2
5 4
1
4
x x
x
 

 11)
2 5
1 0
3
x
x

 

 12) 2

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

29
13) x 2 x 2

x

 

 14) x2 1 22

x

  15)

2
2

4 3

1
5

x x

 



 

16) 2 x  x3 3 17)





2 1 1

2
2

x x

x x

  



 18) x 2 x4  x 2

19) x3 x 1 2 20)
2
2

2 4

1
2

x x

 



  21) x x1 3x x

22)
2

6
2
2

x x

x
x

 



 23) x2  x 1 5 24) x 1 x  x 2

Phương trình và bất phương trình có chứa căn :

1) 2

2 4 2

x  x  x 2) 2

3x 9x 1 x2 3) 2

12 7
x  x  x
4) 21 4 xx2  x 3 5) 1 x 2x23x 5 0 6) 2 1 2





2
x
x

x


 



7)
2

16 5

3 3

x

x x



  

  8)

2 8 12 4

x x x

     9) 2 x 4x 3 2

x

  


10) x22x  2x24x3 11)



x1



x2



x23x4 12) x23x12x23x
13) 6



x2



x32



 x234x48 14) x x



3



 6 x23x

15)



x4



x1



3 x25x26 16) x24x 6 2x28x12
17) 2x x



1



 1 x2 x 1 18) 2 2

3x 5x7 3x 5x2 1 19)



x2



x24 x24

20)





2
2

3 4 9

2 3

3 3

x

x
x



 



21)





2 2

3 4 9

x x  x  22)
2

9 4

3 2

5 1

x

x
x



 



23) x64x34  x 32 24) x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1
25) x x



6



 9 x26x9 1 26) x 1 x2 x3 27) 4 1 3

1 4 2

x x



 



28) x 1 1 1 x 1

x x x



   

* tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

1) 2

3 4 8

y x  x  x 2)

2
1

2 1 2

x x

y

x x

 


   3) 2 2

1 1

7 5 2 5

y

x x x x

 

   

4) y x25x14 x 3 5) 23 3 1

2 15
x
y

x x



 

  

Các dạng tốn có chứa tham số:

Bài1: Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn dương:

a) x24xm5 b) x2



m2



x8m1 c)





2
2

4 2

x  x m



3m1



x2



3m1



xm4 e)



m1



x22



m1



x3



m2



Bài 2: Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn âm:

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

30
d) x24



m1



x 1 m2 e)x22m 2x2m21 f)



m2



x22



m3



xm1

Bài 3: Tìm các giá trị của tham số m để mỗi bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi giá trị x:
a)



m1



x22



m1



x3m 3 0 b)



m24m5



x22



m1



x 2 0
c)





2
2

8 20

2 1 9 4

x x

mx m x m

 



    d)









2
2

3 5 4

4 1 2 1

x x

m x m x m

 



    

Bài 4: Tìm các giá trị của m để phương trình:

a) x22



m1



x9m 5 0 có hai nghiệm âm phân biệt 
b)



m2



x22mxm 3 0 có hai nghiệm dương phân biệt.
c)



m 5



x23mxm 1 0 có hai nghiệm trái dấu

Bài 5: Tìm các giá trị của m sao cho phương trình :





4 2 2

1 2 1 0

x   m x m  

a) vô nghiệm b) Có hai nghiệm phân biệt c) Có bốn nghiệm phân biệt

Bài 6 : Tìm các giá trị của m sao cho phương trình:





4 2 2

1 1 0

m x mx m   có ba nghiệm phân biệt

Bài 7: Cho phương trình:



m2



x42



m1



x22m 1 0. Tìm các giá trị của tham số m để pt trên có:

a) Một nghiệm b) Hai nghiệm phân biệt c) Có bốn nghiệm

Bài 8: Xác định các giá trị của tham số m để mỗi bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:
a)

2
2

1
1

2 2 3

x mx

x x

 



  b)

2
2

2 4

4 6

x mx

x x

 

  

   c)

2
2

1 7

2 3 2

x x m

x x

 

  

 

Bài 9: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình sau vơ nghiệm:

10 16 0

3 1

x x

mx m

   



 



Bài 10: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình sau có nghiệm:
a)





2 2 15 0

1 3

x x

m x

   




 








2 3 4 0

1 2 0

x x

m x

   




  




PHƯƠNG TRÌNH, BPT VƠ TỶ

Bài 1. Giải các pt sau:

1) x 1  8 3x 1 2) x22x4 2-x
2

3) 3x 9x 1 x-2 4) 3x29x 1 x-2

5) 3x7- x 1 2 6) x2  x 5 x28x45

Bài 2. Giải các bpt sau:

1) x  x 127-x

2) 21-4x-x2 x3
2

3) 1-x 2x 3x 5 0 2

4) x 3x10x-2
2

5) 3 -x   x 6 2(2x-1)0 2

6) 3x 13x 4 2-x0
7) x3- 7-x  2x-8 8) 2x 3 x2 1

9) 2x x  1 x 1 10) 2-x  7-x - -3-2x

11) 11-x - x-12

12) 4 - 2-x 2

2-x 

x 16 5

13) x-3

3 x-3

x



 

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

31
2

1 3 1 1

16)

-x 4 x 2

1 1 4 3

17) -

x 2 x 4

18)

3x 5 3x6 3 2x 11

19)

3 x 1 33x 1 32x 1

20)

3x 1 3x23 x30

21)

3 3

1 x  1- x 2

23)





2 2

x



3 x



4 

x



9 24)

2 2

x



4x

 

3 2x



3x 1

 

x 1



25)

2 2 2

x



3x



2 

x



6x



5 

2x



9x



7 26)

2 2 2

x



3x



2 

x



4x

 

3 2 x



5x



4 27)

3 x

x 1

1

2 

 

28)

3x +1 2x -3

29)

x - 4x + 3 <2 2x - 10x + 112

30)

x - x - 12  3 - x

31)

4 - 1 - x > 2 - x

32)

x + 3 < 1 - x

33)

x + x - 6 < x - 12

34)

5x + 61x < 4x + 22

35)

2x - 1  2x - 3

36)

x + 6x + 82  2x + 3

37)

x - 4x - 122  x - 4

38)

x - 3. x + 1 + 3 > 0

39)

x - 3x - 10 < x - 22

40)

x - 162  2x - 7

41)

2x - 1 > 1 - x2

42)

x - 5x - 142  2x - 1

43)

x - x - 122  x - 1

44)

x - 4x - 122  2x3

45)

-x - 8x -12 > x + 42

46)

-x + 6x - 5 > 8 - 2x2

47)

x + 4x - 5 > x2

48)

(x - x) > x - 22 2

49)

x42x21 > 1 - x

50)

x - 3x + 2 > 2x - 52

51)

x - 4x + 5 + 2x2 3

52)

(x + 1)(4 - x) > x - 2

53)

-x + 6x - 5 > 8- 2x2

54)

2x - 6x + 1 - x + 2 > 02

55)

2 - x + 4x - 3  2

56)

2x - 4

> 1
x - 3x - 10

57)

x + 5 < 1

1- x

58)

51- 2x - x
< 1
1- x

59)

1 1

>
2x - 1
2x + 3x - 5

60)

1 - 1 - 4x
< 3
x

61)

8 - 2x - x
> 1

x + 2

62)

x - 1 - x - 2 > x - 3

63)

3x + 4 + x - 3  4x + 9

64)

5x - 1 - 3x - 2 - x - 1 > 0

65)

x + 3  2x - 8 + 7 - x

66)

x + 5 - x + 4 > x + 3

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

69)

x +x -1 + x -x +14 2 4 2 2x2

70)

x+3 - x-1< x-2

71)

x+1 - x-1  x

72)

5x+1 - 4x-1 3 x

73)

x+1 > 3- x+4

74)

x+2 - 3-x < 5-2x

75)

x +x+1+ x - x+12 2  2x +6x+22

76)

6x + 1 - 2x + 3 < 8x - 4x + 2

77)

x + x + 9  x + 1 + x + 4

78)

3 12 - x + 14 + x3  2

79)

3 4 - x + 3 x + 8  2

80)

x 1 - x < 02

81)

2
2

9x - 4
0
5x - 1



82)



2x - 5



2x - 5x + 22  0

83)

(x - 4x + 3) x - 4 > 02 2

84)

(x-1)

x(x + 2) 0
(x-2)



85)

(x - 3x) 2x - 3x - 22 2 0

86)

(x2) x + 42  x - 42

87)

2
2

3(4x -9)

2x +3
3x - 3



88)

(x - 3) x + 4 x -92  2

89)

9x - 4

3x+2
5x - 1



90)

x(x - 4) 4x - x2  4 - (2 - x)2

91)

- 3x - 2 1 - x

3x - 2 

92)

2 2

x - x - 4 + 4 - x

2 - 4 - x



93)

4x+1 - 3x-2 x+3
5



94)



2 2

x
3x - 2x +1 - 25 - x

5 + 25 - x

95)

40
x + x +16

x +16



96)

3x +5x+7 -2 3x +5x+2 >12

97)

2
2

< 2x + 9
(1 - 1 + 2x )

98)

2x > 2x + 2
2x + 1 - 1

99)

4(x + 1) < (2x + 10)(1 - 3 + 2x )2 2

100)

2
2

x + 21
(3 - 9 + 2x )



101)

2
2

> x - 4
(1 + 1 + x )

102)

9(x + 1)2 (3x + 7)(1 - 3x + 4 )2

103)

(x-1) 2x - 1 3(x-1)

104)

2x > 2x + 2
2x + 1 - 1

105)

2
2

> x - 4
(1 + 1 + x )

106)

2
2

< 2x + 9
(1 - 1 + 2x )

107)

2
2

x + 21
(3 - 9 + 2x )

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:

Bài 1. Giải các pt sau:

2 2

1) 3x 5x8- 3x 5x 1 1

2 2

2) x 9- x 72

21 x 21 21

21 x 21

x
x

  



  

2 2 2

4) 3x 6x16 x 2x 2 x 2x4

5)

(x5)(x-2) 3 x x 3







0

6)

(x 1)(x 4)5 x 5x28

7)

3x25x7 - 3x25x2 1

8)

(x4)(x 1)-3 x 5x26

9)







4 x 2

x

2x

8 







10)

2 2

2x



x



5x



6 

10x 15



11)

2 2

2x



4x



3 3 2x



x



1 12)

6 (x - 2)(x - 32) x - 34x+482

13)

x(x + 3)6 - x - 3x2

14)

(x +4)(x +1) - 3 x +5x+2 <62

15)

x - 4x - 62  2x - 8x+122

16)

2x(x-1) +1 > x - x+12

17)

(x +1)(x +4) < 5 x +5x+28 2

18)

x + 2x + 52 4 2x + 4x+32

19)

2x + x -5x -6 >10x+152 2

20)

4x - x-1 >3

x-1 4x 2

21)

x - 2 x+1 >3

x+1 x

22)



6x 12x 12x
- - 2. 0
x-2 x-2 x-2

23)

x-2+2.3 x-2+6 x-2-4 0

x+1 x+1 x+1 

24)

5 1

5 x + < 2x+ +4
2x

2 x

25)

4 x + 2 < 2x+ 1 +2
2x
x

26)

3 x + 3 < 2x+ 1 -7
2x
2 x

27)

x > 1 + x-13

28)

(x + 1) + (x + 1) + 3x x+1 > 03 2

29)

x - 1 + x + 3 + 2 (x - 1)(x + 3) > 4 - 2x

30)

x + 1- x2 x. 1- x2

31)

x + 5 + -x - 3 < 1 + (x + 5)(-x - 3)

32)

x 35
x+ >

12
x -1

33)

7x+7 + 7x-6 + 2 49x +7x- 42 <181-14x2

34)

x+ >3 5

x -4

35)

2x + x + x + 7 + 2 x + 7x2  35

36)

2 2

1 3x

+1>
1-x 1-x

37)

x - 4x + 6 + x - 4x + 82 2  2x - 8x + 322

38)

2 2

5a
2(x+ x +a )

x +a



39)

x -12 2x x +2x2

40)

x -12 2x x -2x2

41)

x-1x( x-1 - x ) + x - x2

42)

2 2

1 3x

+ 1 >
1 - x 1 - x

43)

(4x - 1) x +13 2x + 2x + 13

44)

2x +12x +6 - 2x -1 > x +22

45)

x - 1 + x + 3 + 2 (x - 1)(x + 3) > 4 - 2x

46)

2x - 6x + 8 - x2 x - 2

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

49)

7x+7 + 7x-6 +2 49x +7x-42 <181-14x2

50)

2x -10x+16 - x-12 x-3

51)

2 3x -2 + x+23 (3x -2)(x+2)4

52)

1 x+1 (x+1)
x- + < 2x-1+

2 4 8

53)

x + 1- x2 x. 1- x2

54)

1 1

2 +
x
1- x



55)

x 3 5
x +

2
x - 1



56)

(1 - x ) + 2 5 x5 1

57)

x + > 3 5
x - 4

58)

2 2

2(x + x + a ) (a 0)
x + a

 

PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ:

1)

x+1 + 2x+3 > 5

2)

x+9 + 2x+4 > 5

3)

2x+1 > 7 - x

4)

1 - x < x + 53

5)

x + 11 - 2x + x - x2 3

6)

x - 2x + 3 - x - 6x + 11 > 3 - x - x - 12 2

7)

x + x - 12 1

8)

x - 1 + x - 12 (x + 1)(3 - x)

9)

3x - 7x + 3 + x - 3x + 4 > x - 2 + 3x - 5x - 12 2 2 2

PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ:

(Đánh giá bằng BĐT):

1)

x + x - 1 + x - x +12 2 x+1

2)

x
1 + x + 1 - x 2 +



3 3)

x - x -1 + x + x -12 2 2

4)

1 + x - 1 - x



x

5)

2x + 4 + 2 2 - x2 2 2 6

6)

2x - 10x + 16 - x - 12 x - 3

7)

2 x - x + x + 1 - x2 4 2 1 + 2

8)

x + 2 x - 1 + x - 2 x - 1 2

9)

(2x - 3x + 1) - 4x - 20x + 25x < 2x + 12 2 4 3 2

10)

3x - 22  2 - x3

11)

x - x > 2

1 - x + x 1 - x - x x

(Đánh giá bằng đạo hàm):

1)

(1 -x) + (1 +x)5 5 4 2

2)

x
1 + x + 1 - x 2 -



3)

3 3x +1 + 2x +4 < 3 - 2002x

189

4)

3 2

2x + 3x + 6x + 16 > 2 3 + 4 - x

5)

x + (1 - x )2 2 3 23

</div>


tài liệu phụ đạo toán 10

tài liệu phụ đạo toán 11

phu dao hoa 10

PHU DAO ANH 10 CA NAM

PP CT day phu dao Toan 7 Nam hoc 2010-2011

GA PHU DAO TOAN 9

Phụ đạo toán 9

KHDH phu dao toan 12.10

phu dao toan 9

Phu dao Toan 8.( 2 cot)

Phu dao toan 10 Dai so

PHẦN 1 HÀM SỐ BẬC NHẤT

<i>y</i>



<i>ax b</i>



<b>I.</b>

<b>Kiến thức cơ bản: </b>





<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub> </sub>

<sub> </sub>

<sub> </sub>

<sub> </sub>

 

 

 

 

<b>Bài tập ví dụ: </b>

























<sub></sub>

<sub></sub>









<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub> </sub>





<sub> </sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

BÀI TẬP

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>









<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>



