Tính xấp xỉ tích phân bằng phương pháp monte carlo

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG
KHOA TỐN

ĐINH THỊ KIM HƯƠNG

TÍNH XẤP XỈ TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP
MONTE CARLO

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Đà nẵng-2012


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN

ĐINH THỊ KIM HƯƠNG

TÍNH XẤP XỈ TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP
MONTE CARLO

Chuyên ngành: Xác suất thống kê

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

G.V hướng dẫn:
TS. LÊ VĂN DŨNG

Đà Nẵng-2012

LỜI CẢM ƠN

Để hồn thành khóa luận này, tơi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người
thầy, người hướng dẫn khoa học của tôi, Th.S. Lê Văn Dũng, người đã
đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt q trình nghiên cứu của
tơi.
Tơi xin chân thành cảm ơn q Thầy, Cơ trong khoa tốn, Trường
Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng đã tận tình truyền đạt kiến thức
trong 4 năm học tập. Với vốn kiến thức được tiếp thu trong q trình
học khơng chỉ là nền tảng cho q trình nghiên cứu khóa luận mà cịn là
hành trang q báu để tơi bước vào đời một cách vững chắc và tự tin.
Do thời gian và trình độ cịn hạn chế, chắc chắn bản luận văn khơng
thể tránh khỏi những thiếu sót, tơi rất mong nhận được sự chỉ bảo tận
tình của các thầy cơ và bạn bè, tôi xin chân thành cảm ơn!
Đà Nẵng, 2012
Sinh viên
Đinh Thị Kim Hương

1


MỤC LỤC

Mở đầu

4

Chương 1. Kiến thức cơ sở

1.1 Không gian xác suất . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Phép thử . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Không gian mẫu . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Độ đo xác suất . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Đại lượng ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Hàm phân phối xác suất . . . . . . . . . .
1.2.3 Đại lượng ngẫu nhiên độc lập . . . . . . .
1.2.4 Các số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên
1.3 Vectơ ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Hàm phân phối xác suất đồng thời . . . .
1.3.3 Hàm mật độ xác suất đồng thời . . . . . .
1.4 Phân phối đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Phân phối chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Các định lý quan trọng . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Định lý Luật số lớn . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Định lý giới hạn trung tâm . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

7
7
7
7
8
8
8
8
9
9
11
11
11
12
12
12
13
13
13

Chương 2. Tính xấp xỉ tích phân bằng phương pháp ngẫu
nhiên Monte Carlo
15
2.1 Phương pháp Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2

2.2
2.3
2.4

Tích phân 1 lớp . . . . .
Tích phân n lớp (n ≥ 2)
Ví dụ áp dụng . . . . . .
2.4.1 Tích phân 1 lớp .
2.4.2 Tích phân 2 lớp
2.4.3 Tích phân 3 lớp .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

16
16
17
17
22
26

Kết luận

30

Tài liệu tham khảo

31


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Phương pháp Monte Carlo là một phương pháp mô phỏng ngẫu nhiên
phổ biến nhất, có tính hiệu quả cao trong các phép tính gắn liền với
các đại lượng ngẫu nhiên(như tính độ tin cậy của máy, độ bền của máy)
và tính các đại lượng khơng ngẫu nhiên(như tính giá trị số π, tính tích
phân).Ví dụ như ta cần tính tích phân n lớp dạng:
...

f (x1 , x2 , . . . , xn )dx1 , dx2 , . . . , dxn ,

(1.1)

D

Nếu trong trường hợp hàm f đủ trơn, miền D có biên đơn giản, dễ
phân tích theo các biến thì (1.1)có thể tính bằng cách áp dụng cơng thức
tích phân một chiều cho từng biến hoặc công thức cầu phương Gauss
nhiều chiều.
Nếu trong trường hợp hàm f khơng liên tục hoặc có biểu thức khơng
đơn giản, hoặc miền D có biên phức tạp thì phương pháp Monte Carlo
có thể là lựa chọn duy nhất để tính tích phân (1.1)
Ý tưởng dẫn đến phương pháp Monte Carlo đã có từ lâu và cũng rất
đơn giản dễ hiểu. Tuy vậy, chỉ khi xuất hiện các máy tính điện tử với tốc

độ xử lý nhanh thì phương pháp này mới phát huy được tính ứng dụng
thực tế cao của nó. Ngày nay, phương pháp Monte Carlo gần như là một
công cụ đa năng trong công nghệ mơ phỏng số các q trình hay hiện
tượng xảy ra trong khoa học kỹ thuật cũng như khoa học xã hội, nhất
là các quá trình hay hiện tượng bị chi phối bởi các yếu tố ngẫu nhiên.
Không những thế, đối với rất nhiều bài toán của khoa học và cơng nghệ,
tuy khơng liên quan gì đến các yếu tố ngẫu nhiên, chẳng hạn như tính
tích phân n lớp với hàm số dưới dấu tích phân hồn tồn xác định bằng
4


5

một biểu thức giải tích như trong trường hợp chúng ta đang xét ở trên,
thì phương pháp Monte Carlo vẫn cho phép chúng ta giải quyết được
bằng cách tạo ra một mơ hình xác suất tương ứng.
Do tính đa dạng của phương pháp Monte Carlo trong việc tính tốn
hoặc mơ phỏng các bài tốn tính tích phân. Xuất phát từ nhu cầu phát
triển và ứng dụng tôi quyết định chọn đề tài với tên: "Tính xấp xỉ tích
phân bằng phương pháp Monte Carlo" để tiến hành nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
- Hệ thống lại các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất, và các
tính chất của chúng.
- Vận dụng phương pháp Monte Carlo một cách chặt chẽ, chi tiết để
tính gần đúng tích phân. Đồng thời đưa ra các ví dụ áp dụng thực tế.
- Phát huy khả năng tư duy, say mê sáng tạo và tự tin khi giải các
bài tốn liên quan đến việc tính gần đúng tích phân bằng phương pháp
Monte Carlo.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu về tính xấp xỉ tích phân

bằng phương pháp Monte Carlo.
- Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu các tài liệu về xác suất, phương
pháp Monte Carlo trong và ngoài nước.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Thu thập các bài báo khoa học, các tài liệu của các tác giả nghiên
cứu liên quan đến việc tính xấp xỉ tích phân bằng phương pháp Monte
Carlo .
- Tham khảo các tài liệu trên mạng Internet.
- Sử dụng phần mềm R tại ( và phần mềm
Mathcad Professional để tính tốn.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Luận văn được trình bày có hệ thống với các mục rõ ràng chặt chẽ
về tính xấp xỉ tích phân bằng phương pháp Monte Carlo. Bên cạnh đó,
luận văn cịn đưa ra ví dụ áp dụng thực tế của việc tính xấp xỉ tích


6

phân bằng phương pháp Monte Carlo. Nên luận văn này, góp phần tạo
ra được một tài liệu tham khảo cho sinh viên trong chuyên ngành toán.
6. Cấu trúc của luận văn
Bản luận văn gồm 2 chương.
Chương 1 Nhắc lại một số kiến thức cơ bản của lý thuyết xác suất
liên quan đến phương pháp mô phỏng Monte Carlo .
Chương 2 Tính xấp xỉ tích phân bằng phương pháp ngẫu nhiên
Monte Carlo.


CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1
1.1.1

Khơng gian xác suất
Phép thử

Trong tốn học có những khái niệm khơng có định nghĩa mà chỉ có thể
mơ tả chúng bằng những hình ảnh hoặc tư duy trực quan. Chẳng hạn
trong hình học các khái niệm điểm, đường thẳng, mặt phẳng là những
khái niệm không có định nghĩa. Trong xác suất, khái niệm phép thử là
khái niệm cơ bản khơng có định nghĩa. Ta có thể hiểu phép thử là việc
thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản nào đó để quan sát một hiện
tượng có xảy ra hay khơng. Phép thử được gọi là ngẫu nhiên nếu ta
khơng thể dự báo trước chính xác kết quả nào sẽ xảy ra khi ta thực hiện
phép thử đó.
1.1.2

Khơng gian mẫu

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử ngẫu
nhiên. Ta thường kí hiệu là Ω.
Cho khơng gian mẫu Ω có hữu hạn hoặc vơ hạn biến cố sơ cấp. Ta
chỉ xét 1 lớp F các tập con của Ω thỏa mãn 3 điều kiện:
+∅∈F
+ Nếu A ∈ F thì Ac ∈ F
+ Nếu A1 , A2 , ... , An , ... ∈ F thì ∞
n=1 An ∈ F
Lớp F như vậy được gọi là σ-đại số các tập con của Ω

7


8

1.1.3

Độ đo xác suất

Một hàm tập hợp P : F → R được gọi là độ đo xác suất nếu thỏa
mãn 3 điều kiện sau:
+ Với mọi A ∈ F, 0 ≤ P(A) ≤ 1
+ P(Ω) = 1
+ Nếu A1 ,A2 ,... ,An ,... đôi một không giao nhau (Ai ∩ Ai = ∅ với
∞

mọi i = j) thì P (

∞
n=1 An )

P (An )

=
n=1

Khi đó mỗi phần tử của F được gọi là biến cố và P(A) được gọi là xác
suất xảy ra biến cố A. Bộ ba (Ω, F, P )

1.2
1.2.1

Đại lượng ngẫu nhiên
Định nghĩa

Định nghĩa 1.2.1. Cho không gian xác suất (Ω, F, P ). Hàm số X :
Ω → R được gọi là đại lượng ngẫu nhiên nếu X là hàm đo được, tức là
với mọi a ∈ R, {ω ∈ Ω : X(ω) < a} ∈ F.
1.2.2

Hàm phân phối xác suất

Cho đại lượng ngẫu nhiên X, hàm số F (x) = P (X < x), x ∈ R được
gọi là hàm phân phối xác suất của X.
Định nghĩa 1.2.2. Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là đại lượng ngẫu
nhiên rời rạc nếu hàm phân phối của nó là hàm bậc thang.
Đại lượng ngẫu nhiên X là rời rạc khi và chỉ khi X có miền giá trị
là tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được. Khi đó, ta có thể lập được bảng
sau gọi là bảng phân phối xác suất của X.
X x1 x2 ... xn ...
P p1 p2 ... pn ...
Hàm phân phối xác suất của X lúc này được xác định bởi
F (x) =

P (X = xi ) =
xi
pi .
xi

9

Định nghĩa 1.2.3. Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là đại lượng ngẫu
nhiên liên tục nếu hàm phân phối của X có đạo hàm, tương đương với
tồn tại một hàm số f : R → R khả tích khơng âm sao cho với mọi y ∈ R,
y

F (y) =

f (x)dx,
−∞

trong đó F (y) là hàm phân phối của X. Khi đó, f (x) được gọi là hàm
mật độ của X.
1.2.3

Đại lượng ngẫu nhiên độc lập

Định nghĩa 1.2.4.
1. Hai đại lượng ngẫu nhiên X1 và X2 được gọi là độc lập nếu với mọi
a1 , a2 ∈ R ta có
P ({X1 < a1 } ∩ {X2 < a2 }) = P ({X1 < a1 })P ({X2 < a2 }).
2. Nhóm n (n ≥ 2) đại lượng ngẫu nhiên X1 , X2 , ..., Xn được gọi là độc
lập nếu với mọi a1 , a2 , ..., an ∈ R ta có
n

P(

n

{Xk < ak }) =

k=1

P ({Xk < ak }).
k=1

3. Dãy các đại lượng ngẫu nhiên {Xn .n ≥ 1} được gọi là độc lập đôi một
nếu 2 đại lượng ngẫu nhiên bất kì của dãy độc lập.
4. Dãy các đại lượng ngẫu nhiên {Xn .n ≥ 1} được gọi là độc lập nếu mọi
tập con hữu hạn các đại lượng ngẫu nhiên của dãy độc lập.
1.2.4

Các số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên

Kỳ vọng toán
Định nghĩa 1.2.5. Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên, ta gọi kỳ vọng
toán của đại lượng ngẫu nhiên X là một số ký hiệu E(X) và được xác
định như sau:
- Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất:


10

X x1 x2 ... xn ...
P p1 p2 ... pn ...
trong đó: xi < xj nếu i < j, pi = P (X = xi ),

pi = 1.
i

Khi đó,

n

E(X) =

x i pi
i=1

- Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x).
Khi đó,
∞

E(X) =

xf (x)dx
−∞

với điều kiện tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối.
Như vậy, kỳ vọng tốn học là giá trị trung bình của X lấy theo tỷ
trọng là xác suất suất hiện pi của các giá trị xi .
Tính chất của kỳ vọng
a) E(C) = C với C là hằng số
b) E(CX) = CE(X) với C là hằng số
c) E(X ± Y ) = E(X) ± E(Y )
d) E(X · Y ) = E(X) · E(Y ) với X, Y độc lập
Phương sai

Định nghĩa 1.2.6. Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng E(X).
Ta gọi phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X là một số ký hiệu D(X)
được xác định như sau:
D(X) = E[(X − E(X))2 ]
với điều kiện tồn tại kỳ vọng
Như vậy:
- Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất
X x1 x2 ... xn ...
P p1 p2 ... pn ...


11

Khi đó:

n

x2i pi − (E(X))2 .

D(X) =
i=1

- Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x)
Khi đó:
∞
D(X) =
x2 f (x)dx − (E(X))2 .
−∞

Tính chất của phương sai

a) D(C) = C với C là hằng số
b) D(CX) = C 2 D(X) với C là hằng số
c) D(X) = E(X 2 ) − (E(X))2
d) X,Y độc lập : D(X ± Y ) = D(X) + D(Y )
Định lý 1.2.7. Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ p(x),
ϕ : R → R là hàm liên tục. Khi đó,
+∞

E[ϕ(X)] =

ϕ(x).p(x)dx
−∞

1.3
1.3.1

Vectơ ngẫu nhiên
Định nghĩa

Giả sử X1 , X2 , . . . , Xn là n biến ngẫu nhiên xác định trên cùng một
không gian mẫu Ω.
Ánh xạ X : Ω → Rn xác định bởi X(ω) = (X1 (ω), X2 (ω), . . . , Xn (ω)), ω ∈
Ω. Khi đó X được gọi là vectơ ngẫu nhiên n chiều
1.3.2

Hàm phân phối xác suất đồng thời

Hàm phân phối của vectơ ngẫu nhiên X là một hàm số n biến được
xác định như sau:
F (x1 , x2 , . . . , xn ) = P (X1 < x1 , X2 < x2 , . . . , Xn < xn ),

với (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn .


12

1.3.3

Hàm mật độ xác suất đồng thời

Cho vectơ ngẫu nhiên X = (X1 , X2 , . . . , Xn ) có hàm phân phối
F (x1 , x2 , . . . , xn ). Nếu tồn tại hàm số f (x1 , x2 , . . . , xn ) ≥ 0 với mọi
(x1 , x2 , . . . xn ) ∈ Rn sao cho:
x1

x2

−∞

−∞

xn

F (x1 , x2 , . . . , xn ) =

...

f (x1 , x2 , . . . , xn )dx1 dx2 . . . xn
−∞

Khi đó hàm số f (x1 , x2 , . . . , xn ) được gọi là hàm mật độ của vectơ ngẫu

nhiên X
Định lý 1.3.1. Cho X = (X1 , X2 , . . . , Xn ) là vectơ ngẫu nhiên có hàm
mật độ đồng thời p(x1 , x2 , . . . , xn ), ϕ : Rn → R là hàm liên tục. Khi đó,
+∞

+∞
−∞

1.4

ϕ(x1 , . . . , xn ).p(x1 , x2 , . . . , xn )dx1 . . . dxn

...

E[ϕ(X)] =

−∞

Phân phối đều

Định nghĩa 1.4.1. Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác
suất:
f (x) =

1
b−a

0

nếu x ∈ [a, b]

nếu x ∈
/ [a, b]

được gọi là có luật phân phối đều trên đoạn [a, b].
Kí hiệu là : X ∼ U [a, b].

1.5

Phân phối chuẩn

Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X gọi là có phân phối chuẩn nếu có
hàm mật độ:
2
1
− (x−µ)
2
f (x) = √ e 2σ , x ∈ R
σ 2π


13

trong đó, −∞ < µ < +∞, σ > 0.
Khi đó, E(X) = µ, V (X) = σ 2 .
Kí hiệu X ∼ N (µ, σ 2 ).
Đại lượng ngẫu nhiên phân phối chuẩn với µ = 0 và σ = 1 được gọi là
phân phối chuẩn hóa và kí hiệu là Z. Khi đó,
hàm mật độ xác suất được kí hiệu là ϕ(x),
1 − x2
ϕ(x) = √ e 2

2π
hàm phân phối xác suất được kí hiệu là Φ(x),
x

Φ(x) =
−∞

1.6
1.6.1

x

1
ϕ(t)dt = √
2π

t2

e− 2 dt
−∞

Các định lý quan trọng
Định lý Luật số lớn

Định lý 1.6.1. Cho X1 , X2 , . . . , Xn là một dãy các đại lượng ngẫu
nhiên độc lập, cùng phân phối xác suất với kỳ vọng E(Xi ) = µ và
D(Xi ) = σ 2 < ∞ với mọi n ≥ 1.Khi đó,
1
n
1.6.2

n

Xk → µ (h.c.c)
k=1

Định lý giới hạn trung tâm

Định lý 1.6.2. Cho X1 , X2 , . . . , Xn là một dãy các đại lượng ngẫu nhiên
độc lập, cùng phân phối xác suất với kỳ vọng E(Xi ) = µ và D(Xi ) =
σ 2 < ∞ với mọi n ≥ 1. Đặt X = n1 nk=1 Xk . Khi đó,
lim P (

n→∞

X −µ
√ < x) = Φ(x)
σ/ n

Hệ quả 1.6.3. Cho X1 , X2 , . . . , Xn là một dãy các đại lượng ngẫu nhiên
độc lập, cùng phân phối xác suất với kỳ vọng E(Xi ) = µ và D(Xi ) =


14

σ 2 < ∞ với mọi n ≥ 1. Khi đó,với n đủ lớn ta có
P

1
n

n

σ
Xk − µ < ε √
n
k=1

≈ 2Φ(ε) − 1 với mọi ε > 0

Ở hệ quả trên nếu lấy ε = 3 ta được
P

1
n

n

σ
Xk − µ < 3 √
n
k=1

≈ 0, 997.


CHƯƠNG 2

TÍNH XẤP XỈ TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP
NGẪU NHIÊN MONTE CARLO

2.1

Phương pháp Monte Carlo

Giả sử ta cần tính một đại lượng có giá trị A nào đó . Ta sẽ cố
gắng xây dựng một đại lượng ngẫu nhiên X nào đó có kỳ vọng tốn học
E(X) = A. Giả thiết phương sai của X là D(X). Lấy N đại lượng ngẫu
nhiên Xi (i = 1 ÷ N ) và giả thiết rằng {X1 , ..., XN } độc lập và có cùng
phân bố xác suất của X.
Theo Định lý giới hạn trung tâm ta suy ra được:
P

1
N

n

D(X)
N

Xi − A < 3
i=1

≈ 0, 997.

Cơng thức trên có nghĩa là nếu ta lấy N giá trị ngẫu nhiên và độc lập
của đại lượng ngẫu nhiên X: x1 , x2 , ..., xN thì với N đủ lớn,
1
A≈

N

N

xi .
1

với xác suất rất lớn.
với sai số của xấp xỉ đó khơng vượt q 3 D(X)
N
Như vậy, sai số của phương pháp không chỉ phụ thuộc vào N mà còn
vào phương sai D(X) của đại lượng mà ta chọn. Đó là điểm khác nhau
cơ bản của các phương án khác nhau của phương pháp Monte Carlo.Vì
vậy để sai số xấp xỉ thấp ta cần chọn được đại lượng ngẫu nhiên với
phương sai càng nhỏ càng tốt.
Trước khi đi vào mô tả bản chất và nội dung của phương pháp Monte
Carlo, trong việc tính xấp xỉ tích phân chúng ta nêu lên hai nhận xét
15


16

sau:
- Bằng cách này hay cách khác ta phải tạo ra được dãy điểm ngẫu nhiên
trong miền đã được xác định từ bài tốn.
D
trong
- Độ chính xác của kết quả thơng thường tỷ lệ với đại lượng N
đó D là một hằng số nào đó.

2.2

Tích phân 1 lớp

Giả sử ta cần tính tích phân
b

f (x)dx.

I=
a

Xét đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ p(x) thỏa mãn
b

p(x)dx = 1.
a

Đặt g(x) = f (x)/p(x), khi đó ta có
b

E(g(X)) =

b

g(x)p(x)dx =
a

f (x)dx = I.
a

Như vậy để tính I ta tính E(g(X)). Lấy ngẫu nhiên n giá trị độc lập
của g(X): x1 , x2 , ..., xn . Khi đó ta có
I = E(g(X)) ≈

2.3

1
(x1 + x2 + ... + xn )
n

Tích phân n lớp (n ≥ 2)

Giả sử ta cần tính tích phân
I=

...

f (x1 , x2 , . . . , xn )dx1 dx2 . . . dxn

D

Xét vectơ ngẫu nhiên X = (X1 , X2 , ..., Xn ) có hàm mật độ đồng thời
p(x1 , x2 , ..., xn ) thỏa mãn
...
D

p(x1 , x2 , . . . , xn )dx1 dx2 . . . dxn = 1.

17

Đặt g(x1 , x2 , ..., xn ) = f (x1 , x2 , ..., xn )/p(x1 , x2 , ..., xn ), khi đó ta có
E(g(X1 , X2 , ..., Xn )) =

...

g(x1 , ..., xn )p(x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn

...

f (x1 , x2 , . . . , xn )dx1 dx2 . . . dxn

D

=
D

=I
Lấy ngẫu nhiên n giá trị độc lập của đại lượng ngẫu nhiên Y = g(X1 , ..., Xn ):
y1 , y2 , ..., yn . Khi đó ta có
I = E(g(X1 , X2 , ..., Xn )) ≈

1
(y1 + y2 + ... + yn )
n

Nếu ta chọn Y = (X1 , X2 , . . . , Xn ) là vectơ ngẫu nhiên có phân bố đều
trong hình hộp n chiều thể tích V với các cạnh ai ≤ xi ≤ bi (i = ÷n)
với mọi X(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ D, chứa tồn bộ miền lấy tích phân D. Hàm

mật độ xác suất đồng thời trong trường hợp này có dạng:
p(x1 , x2 , . . . , xn ) =

1
V

nếux ∈ D
0 nếu x ∈
/D

Khi đó ta có
E(g(X1 , X2 , . . . , Xn )) =

...

g(x1 , . . . , xn ).p(x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn

D

1
...
V D
1
= I.
V
=

f (x1 , x2 , . . . , xn ).dx1 dx2 . . . dxn

Suy ra:

I = V.E(g(X1 , X2 , . . . , Xn )).

2.4

Ví dụ áp dụng

2.4.1

Tích phân 1 lớp

Ví dụ 2.4.1. Tính tích phân
π
2

I=

x. sin xdx.
0


18

Ta tính được giá trị chính xác của I = 1.
Bây giờ sử dụng phương pháp Monte Carlo để tính gần đúng tích phân
trên với sự hỗ trợ của phần mềm R.
a) Nếu chọn đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối đều trên [0; π2 ], X có
hàm mật độ xác suất
p(x) =

nếu x ∈ [0, π2 ]

0 nếu x ∈
/ [0, π2 ]
2
π

Khi đó:
π
2

I=

x. sin xdx
0
π
2

=
0
π
2

=
0

x.sinx 2
. dx
2/π π
x.sinx
.p(x)dx
2/π

π

π 2
=
x.sinx.p(x)dx
2 0
π
= E[X.sin(X)]
2
Để tính gần đúng E(X.sin(X)) ta lấy N giá trị đại lượng ngẫu nhiên
Y = X.sin(X) : y1 , y2 , . . . , yn .
Khi đó,
1
E(X.sin(X)) ≈ y = (y1 + y2 + . . . + yn ).
N
Các giá trị ngẫu nhiên của đại lượng ngẫu nhiên X có thể tìm theo cơng
thức
xk
p(x)dx = zk ,
(2.1)
0

trong đó, zk được lấy ngẫu nhiên trên đoạn [0; 1].
Từ (2.1) suy ra xk = 0, 5.π.zk .
Ta có thể sử dụng phần mềm R để tính xấp xỉ I như sau
Bước 1. Lấy ngẫu nhiên n giá trị của X trên đoạn [0; 1]:
> a<-0;b<-1;n=1000
> z<-runif(n,a,b)

19

Bước 2: Tính các giá trị xk = 0, 5.π.zk .
>x<-0,5*pi*z
Bước 3. Tính các giá trị yk = xk sin xk :
> y=x*sin(x)
Bước 4. Tính xấp xỉ tích phân:
> I=mean(y)*pi/2
>I
[1] 0.9788156
Suy ra phương sai trong trường hợp này là:
π
D( Xsin(X)) ≈ 0.632
2
b) Nếu chọn đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ
24x2
π3

p(x) =

0

nếu x ∈ [0, π2 ]
nếu x ∈
/ [0, π2 ]

Khi đó:
π
2

x.sinxdx

I=
0
π
2

x.sinx 24x2
=
.
dx
2
3 π3
0 24x /π
π
2 x.sinx
=
.p(x)dx
2
3
0 24x /π
π
π 3 2 sinx
=
.p(x)dx
24 0
x
π 3 sin(X)
= E[
]

24
X
Để tính gần đúng E( sin(X)
X ) ta lấy N giá trị đại lượng ngẫu nhiên
sin(X)
Y = X : y1 , y2 , . . . , yn .
Khi đó,
sin(X)
1
E(
) ≈ y = (y1 + y2 + . . . + yn ).
X
N
Các giá trị ngẫu nhiên của đại lượng ngẫu nhiên X có thể tìm theo cơng
thức
xk
p(x)dx = zk ,
(2.2)
0


20

trong đó, zk được lấy ngẫu nhiên trên đoạn [0; 1].
√
Từ (2.2) suy ra xk = 0, 5.π. 3 zk .
Ta có thể sử dụng phần mềm R để tính xấp xỉ I như sau
Bước 1. Lấy ngẫu nhiên n giá trị của Z trên đoạn [0; 1]:
> a1<-0;b1<-1;n=1000
> z<-runif(n,a,b)

√
Bước 2: Tính các giá trị xk = 0, 5.π. 3 zk .
> x<-numeric(n)
> for(i in 1:n){if(z[i]>0){x[i]<-0.5*pi*z[i]ˆ(1/3)}else
{x[i]<- -0.5*pi*(-z[i])ˆ(1/3)}}
k)
Bước 3. Tính các giá trị yk = sin(x
xk :
> y<-numeric(n)
> k<-0
> for(i in 1:n){if(x[i]!=0){k<-k+1;y[k]<-sin(x[i])/x[i]}}
Bước 4. Tính xấp xỉ tích phân:
> I=mean(y)*piˆ3/24
>I
[1] 0.9950907
Suy ra phương sai trong trường hợp này là:
D(

π 3 sin(X)
) ≈ 0.015
24X

Nhận xét 2.4.2. Ở trường hợp 1 ta có phương sai D( π2 Xsin(X)) =
3
0.632 còn ở trường hợp 2 ta có phương sai D( π sin(X)
24X ) = 0.015. Vì
3
π
D( π sin(X)
24X ) < D( 2 Xsin(X)) nên ta có sai số của trường hợp 2 sẽ thấp

hơn sai số của trường hợp 1.
Ví dụ 2.4.3. Tính tích phân
+∞

I=

2

e−x dx.

0

√
Ta có thể tính chính xác tích phân trên : I = 12 π.
Bây giờ sử dụng phương pháp Monte Carlo để tính gần đúng tích phân


21

trên với sự hỗ trợ của phần mềm R.
Xét đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ
e−x
0

p(x) =

nếu x ≥ 0
nếu x < 0.

Khi đó:

+∞

I=

2

e−x dx

0
+∞

=
0
+∞

=

2

e−x −x
.e dx
e−x
e−x

2

+x

.p(x)dx

0

= E(e−X

2

+X

)

2

Để tính gần đúng E(e−X +X ) ta lấy N giá trị đại lượng ngẫu nhiên
2
Y = e−X +X : y1 , y2 , . . . , yn .
Khi đó,
1
2
I = E(e−X +X ) ≈ y = (y1 + y2 + . . . + yn ).
N
Các giá trị ngẫu nhiên của đại lượng ngẫu nhiên X có thể tìm theo cơng
thức
xk
p(x)dx = zk ,
(2.3)
0

trong đó, zk được lấy ngẫu nhiên trên đoạn [0; 1].
Từ (2.3) suy ra xk = −log(1 − zk ).
Ta có thể sử dụng phần mềm R để tính xấp xỉ I như sau

Bước 1. Lấy ngẫu nhiên n giá trị của Z trên đoạn [0; 1]:
> a<-0;b<-1;n=100
> z<-runif(n,a,b)
Bước 2. Đặt t = 1 − zk
> t<-numeric(n)
> t<-1-z
2
Bước 3. Tính giá trị xk = −log(tk ) và yk = e−xk +xk
> x<-numeric(n)


22

> for(i in 1:n){if(t[i]!>0){x[i]<- -log(t[i])}}
> g<-numeric(n)
> k<-0
> for(i in 1:n){k<-k+1;y[k]<-exp(-x[i]ˆ2+x[i])}
Bước 4. Tính xấp xỉ tích phân
> I=mean(y)
>I
[1] 0.8613915
Suy ra phương sai là:
2
D(e−X +X ) ≈ 0.196
2.4.2

Tích phân 2 lớp

Ví dụ 2.4.4. Tính tích phân
I=

x2
+ y 2 ≤ 1.
xydxdy; D =
0, 04
D

Ta tính được tích phân trên có giá trị chính xác :I = 0
Bây giờ sử dụng phương pháp Monte Carlo để tính gần đúng tích phân
trên với sự hỗ trợ của phần mềm R.
a) Nếu chọn g(x, y) = xy, và vectơ ngẫu nhiên H = (X, Y ) có phân phối
đều trên miền K = [−0, 2; 0, 2] × [−1; 1] có hàm mật độ xác suất là:
p(x, y) =
Ta có
I=

4
5

5
4

0

nếu (x, y) ∈ K
nếu (x, y) ∈
/K

x.y.p(x, y)dxdy
D

4
4
= E[g(X, Y )] = E(X.Y )
5
5
Ta có thể sử dụng phần mềm R để tính xấp xỉ I như sau
Bước 1. Lấy ngẫu nhiên n giá trị của vectơ ngẫu nhiên H trên K:
> a1<- -0.2;b1<-0.2;a2<- -1;b2<-1;n=20
> x<-runif(n,a1,b1)


23

> y<-runif(n,a2,b2)
Bước 2. Tính các giá trị gk = f (xk , yk ) với những giá trị (xk , yk ) ∈ D:
> g<-numeric(n)
> k<-0
> for(i in 1:n){if(x[i]ˆ2/0.04+y[i]ˆ2<=1){k<-k+1;g[k]<-x[i]*y[i]}}
Bước 3. Tính xấp xỉ tích phân:
> I=mean(g)*4/5
>I
[1] 0.001327068
Suy ra phương sai trong trường hợp này là:
4
D( XY ) = 0.002884
5
b) Nếu chọn g(x, y) = xy , và vectơ ngẫu nhiên H = (X, Y ) có hàm mật
độ xác suất đồng thời:
15 2

4y

p(x, y) =
Ta có

0

nếu (x, y) ∈ K
nếu (x, y) ∈
/K

x
.p(x, y)dxdy
y
D
4
X
= .E( )
15
Y
Các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên X, Y có thể tìm theo cơng thức sau:
I=

xk
−0.2

4
15

yk

15/4y 2 dxdy = pk

−1

⇔ yk =

3

4pk
−1
5xk + 1

Trong đó pk được lấy ngẫu nhiên trên [0.1]
Ta có thể sử dụng phần mềm R để tính xấp xỉ I như sau
Bước 1. Lấy ngẫu nhiên n giá trị của vectơ ngẫu nhiên H trên K:
> a1<- -0.2;b1<-0.2;a2<-0;b2<-1;n=20
> x<-runif(n,a1,b1)