Xác suất cơ sở qua các ví dụ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO T O

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

HUỲNH THỊ KIM PHƯỢNG

XÁC SUẤT CƠ SỞ QUA CÁC VÍ DỤ

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60.46.0113

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ng

i hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Gia Định

Đà Nẵng – Năm 2014


LỜI

M ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi
Các số liệu, các kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng
được ai cơng bố trong bất kì cơng trình nào khác.

T

n

Hu nh Th Kim Ph

ng


LỤ

M

U .......................................................................................................... 1

MỞ

1. Lý do chọn đề tài ................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên c u............................................................................. 2
3. Đối t
4. Ph

ng và ph m vi nghiên c u......................................................... 2
ng pháp nghiên c

ngh a khoa h c và th c tiễn c a đề tài .............................................. 3
ấu trúc của luận văn ............................................................................ 3
ƯƠNG 1:

K T QU

1.1. PHÂN PH I
ỨC

Ừ

1.4. BIẾN NGẪU NHI
I

G

S

S. P

P TH

ĐỘ LẬP ...

ÀI TỐN LÁ PHIẾU .................................. 12
ĐI

I
C

VÀ HÌNH H

O

SU T HÀM SINH MOM
J

NH LÝ B

. KỲ VỌNG VÀ KỲ VỌ

I
1.6. B T

C ..................................................... 4

U ..................................................................................... 4

1.2. XÁ SU T ĐI U KI N.
C

I

VÀ HÀM

NG TH

BYS

. LU T S L N VÀ

. HÀM SINH XÁ

TR NG ............................ 25

VÀ MARKOV. B T

NH LÝ DE MOIVR -LAPLA

NG TH
........... 35

1.7. QUÁ TRÌNH PHÂN NHÁNH ................................................................ 42
K T QU LI N TỤC ................................................. 47

CHƯƠNG 2:
2.1. PHÂN PH I

U. HÀM M T ĐỘ XÁ SUẤT. BIẾN NGẪU NHI

.

ĐỘ LẬP ........................................................................................................ 47
2.2. KỲ VỌNG, KỲ VỌ
HÀM

ĐI

PHÂN PHỐI.
Q

ÀM SINH.

TR NG ....................................................................................... 56

2.3. PHÂN PH I HU N. S
T I

I

HỘI TỤ ỦA BIẾN NGẪU NHI

VÀ

NH LÝ GI I H N TRUNG TÂM .....................................

THAM

............................................................................ 78

T ĐỊNH GI O ĐỀ T I LUẬN ĂN (BẢN AO)


1

U

MỞ
1. L

Khoa học nghiên c u về xác suất là m t phát triển trong th i k cận đại.
Việc ch i c b c gambling
có t tr

g ta thấy r ng các ý ni m v xác suất đã

c ây hàng nghìn n m tuy nhiên các ý ni m ó

c mơ t b i to n

h c và s d ng trong th c tế thì có mu n h n rất nhiều. Ảnh h

ng chính c a

lý thuy t xác suất trong cu c s ng h ng ngày ó là vi c xác

nh r i ro và

trong bn bán hàng hóa. hính ph c ng áp d ng các ph
i u ti t môi tr

ng pháp xác suất

ng hay cịn g i là phân tích đường lối. Lý thuy t trò ch i

c ng d a trên n n t ng xác su t. M t ng d ng khác là trong xác
c y. Nhi u s n ph m tiêu dùng nh xe h i
cậ y trong thi t k s n ph m

nh

tin

i n t s d ng lý thuy t

tin

gi m thi u xác su t h ng hóc. Xác su t h

h ng c ng g n li n v i s b o hành c a s n ph m.
Hai nhà to n h c Pierre de F mat và Blaise Pascal là nh ng ng
tiên

i

u

t n n móng cho h c thuy t v xác su t vào n m 1654 C

Huygens 1657

n nh là ng

xác su t thành m t v n

i

n

u tiên có cơng trong vi c

a

nghiên c u khoa h c. Ngày nay lý thuy t xác su t

tr thành m t ngành vô cùng quan tr ng c a to n h c và các ngành khoa h c
khác.
ùng v i s phát tri n c a lí thuy t xác su t th ng kê to n h c ra

ngu n t các v n
su t

ã có nh ng b

ib t

th c ti n và d a trên nh ng thành t u c a lý thuy t xác
c ti n nhanh v i s

óng góp c a các nhà to n h c nh

Fran is Galton, Karl Pearson, Ronald Fish , Von Neuman

Th ng kê to n

h c có các ng d ng hi u qu trong nhi u l nh v c nh vậ t lý hóa h c c
h c sinh vậ t y h c d báo, khí t
h c xã h i h c

ng th y vă n vô tuy n

i nt

ngôn ng


2
ó thể nói xác suất và thống kê đóng vai trò rất quan trọng trong h u h t
m i l nh v c c a th gi i hi n

tr

n s c kh e môi tr

bi t xác su t c s

i t khoa h c công ngh

n kinh t chính

ng v.v. Vì th lý thuy t xác su t và th ng kê

c

nh ng ki n th c c b n không th thi u trong t t c các

ngành. Hi n nay xác su t c s
thông trung h c các tr

c

a vào gi ng d y trong các tr

ng trung c p ca

ng và

i h c trong n

ng ph

c c ng

nh trên th gi i.
V i s phát tri n c a khoa h c công ngh
h to n các v n

xác su t th ng kê ngày càng tr nên d dàng m t

khi ã có các s li u úng

n và mơ hình h p lý. Th nh ng b n thân máy

tính khơng bi t mơ hình nào là h p lý.
ph i hi u

ngày nay máy tính giúp c

y là v n

c a ng

i s d ng: c n

c b n ch t c a các khái ni m và mơ hình xác su t th ng kê thì

m i có th dùng

c chúng.

Xu t phát t nhu c u phát tri n và tính th i s c a vi c nghiên c u xác

su t c s

chúng tôi quy t

nh ch n

tài v i tên g i Xác suất cơ sở qua

n hành nghiên c u. húng tôi hy v ng t

các ví dụ

nh ng ng

i mu n tìm hi u v các k t qu r i r c và liên

t c c a lý thuy t xác su t cùng v i ng d ng chúng trong nhi u l nh v c khác
nhau.
2. M
M c tiêu c a

tài là nh m giúp ng

nh ng khái ni m và ph
có th áp d ng

i

c hi u úng b n ch t c a

ng pháp c b n nh t c a xác su t c s

c chúng

i sâu tìm hi u

c ph

và qua ó

ng pháp thích h p ch

nh ng tình hu ng c th .
. Đố ượ
it

ạ

ứ

ng nghiên c u c a

vi nghiên c u c a

tài là lý thuy t xác su t và th ng kê. Ph m

tài là xác su t c s và các ng d ng.


3

.

ươ

:

Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác gi nghiên c u liên
quan

n Xác su t cơ s

vấn đề quan trọng trong lý thuyết xác suất và thống

kê.
Tham gia các bu i seminar của th y h

ng d n

tra

ng nghiên c u. Tra

n gia v các

ng d ng c a lý thuy t xác suất và thống kê.
.
T ng quan các k t qu c a các tác gi

ã nghiên c u liên quan

n xác

suất c s và các ng d ng th c t qua các ví d minh h a nh m xây d ng
m t tài li u tham kh o cho nh ng ai mu n nghiên c u v Lý thuy t xác suất
và các ứng d ng.
ng minh chi ti t và làm rõ m t s m nh
ví d minh ho nh m làm cho ng

i

c ng nh

a ra m t s

c d dàng ti p cận vấn đề đ

c

c p.

ă
N i dung c a lu n v n

c chia thành 2 ch

ng

ng 1 gi i thi u các khái ni m và k t qu v xác suất c s liên quan
n ph n r i r c nh : phân ph i

u các công th c tính xác suất của m t s

ki n khái ni m v bi n ng u nhiên và các tham s

c tr ng các phân ph i

nh th c Poisson, hình h c c a bi n r i r c các d ng hàm c a bi n ng u
nhiên các bất

ng th c

hebyshev Marko , Jensen

nh lý D Moi

Laplace quá trình nhánh
ng 2 trình bày các khái ni m và k t qu v xác suất c s liên quan
n ph n liên t c nh : phân ph i
hàm sinh hàm
tham s

c tr ng

u các hàm m t

phân ph i xác suất

c tr ng khái ni m v bi n ng u nhiên và tính

c l p các

phân ph i chu n và m r ng cho nhi u bi n.

Trong m i ph n s

a vào các ví d minh h a v i m c

khác nhau.


4
ƯƠNG 1

I ẠC

K T QU
khái niệm và kết quả trong ch

ng này có th tìm thấy trong các tài

liệu [2] [3] [4] [ ] [7].
1.1. PH

PH I ĐỀU

Trong ph n này chúng tơi s d ng mơ hình xác suất

n gi n.

Định nghĩa 1.1.1. Phân phối đều Uniform distribution

Có m kết quả đồng khả năng xảy ra thường được gọi là kết quả và mỗi
kết quả có cùng một xác suất 1/m. Mỗi kết quả này được gọi là một biến cố sơ
cấp hay sự kiện sơ cấp . Một tập hợp A gồm k kết quả xảy ra, với k ≤ m được
gọi là một biến cố (hay sự kiện) và xác suất của nó ℙ(A) được tính bằng k/m:
ℙ( ) =

Số kết quả xảy ra của sự kiện A

(1.1)

Tổng s k t quả xảy ra

ng có xác suất b ng không và t p g m tất cả các tr
x y ra có xác suất b ng 1. S

này trơng có v

ng h p

n gi n nh ng trong th c

t vi c tính to n s k t qu x y ra c a m t s ki n nh t

nh ho

t ng s k t

n.

qu

V dụ 1.1.1. Gi s m t gia ình có 3 con. Khi ó xác suất

gia ình

ó có 2 con trai 1 con gái là bao nhiêu
Lời giải:
C ng ta có th l p mơ hình xác suất v i 4 s ki n thành ph n: 3 trai 2
trai 1 gái 1 trai 2 gái 3 gái. Th nh ng 4 s ki n thành ph n ó khơng cân
b ng v i nhau và b i vậy không kết luận đ

c r ng xác suất của 2 trai 1

gái là 1/4. Để có khơng gian xác suất v i phân b

u ta có th l p mơ hình

xác suất v i 8 s ki n thành ph n m = 8 nh sau
TTT TTG TGT TGG GTT GTG GGT GGG


ng hạn GGT

ngh a là con th nhất là con gái con th hai là con

gái, con th ba là con trai). S ki n “2 trai m t gái” là h p c a 3 s ki n thành
ph n trong mơ hình xác su t này: TTG, TGT,GTT (t

ng ng k = 3). Nh

vậy xác suất của nó b ng 3/8.
11

B n và tơi ch i trị ch i tung m t
c m t i m, n u m t sấp bạn đ

m t ng a tôi

ng xu: n u

c m t i m. Ban

ng xu r i
u, t s

là s khơng. Tính xác suất mà :
(1) Sau 2n l n ném i m s c a chúng tôi b ng nhau;
(2) Sau 2n +1 l n ném s

i m c a tôi nhi u h n c a b n là ba.

Lời giải:
(1) Tất cả các chu i NNN…N, SNN…N, …, SSS…S hình thành b i 2n
ch N ho c S (v i N (Ng a), S (Sấp)). T ng s k t qu x y ra là m = 2 , m i

k t qu có xác suất 1/2 . Ta c n tìm s k t qu có s l
c a k t qu

ó là (2 )!/ ! ! (s cách

ng N b ng S. S k

l a ch n v trí cho n ch N trong 2n

v trí có s n trong trình t ). Xác su t c n tìm là
(2 )!/ ! ! ×

(2) M i k t qu là m t chu i có
Xác su t s

1
2

dài 2 + 1, có 2

i m c a tôi nhi u h n c a b n là ba b ng:
(2 + 1)!/( + 2)! ( − 1)! ×

1 2.

t ng s k t qu .

T ĐIỀ

Ệ . ĐỊNH L B

1
2

.P

.

P THỬ ĐỘ LẬP

Xác su t c a m t s ki n có th ph thu c vào nhi u y u t , i u ki n
khác nhau.

ch ra m t cách c th h n v vi c xác su t c a m t s ki n A

nào ó ph thu c vào m t i u ki n B nào ó ra sao, ng
ni m xác su t i u ki n. Đi u ki n B
“có B”.

i ta

a ra khái

c hi u là m t s ki n, t c là s ki n


Đị

ĩ 12

Xác su t điều kiện

Với hai sự kiện A và B với ℙ( ) > 0, xác suất điều kiện ℙ( | ) của A
khi B đã xảy ra được định nghĩa là :
ℙ( | ) =

T

1.2

ℙ( ∩ )
ℙ( )

(1.2)

ng th c tích sau ây
ℙ(

∩

) = ℙ( | ). ℙ( )

Tấ nhi n, ta c ng có th coi B là s ki n A là i u ki n n u ℙ( ) > 0

và khi ó ta có ℙ(

∩

) = ℙ( | ). ℙ( )

Hai s ki n A và B

c g i là xung kh c n u

G i A là tập h p tất cả các biến c

∩

= ∅.

W là tập tất cả các biến cố s cấp xảy

ra và ℙ là xác suất trên A. Khi đó b ba (W, A, ℙ)

c g i là m t không gian

xác suất.
đề 1 2 1. Công thức xác suất đầy đủ

Mệ

Nếu B1, …, Bn là một phân hoạch của W, tức là có Bi ∩ Bj = ∅ với 1 ≤ i
< j ≤ n và B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn = W, và ngoài ra ℙ(Bi) > 0 cho 1 ≤ i ≤ n, khi đó
với bất kỳ sự kiện A, ta có :
ℙ( ) = ℙ( |

*

) + ℙ( |

)ℙ (

) + ⋯ + ℙ( |

)ℙ (

1.4

)

ng minh

ℙ( ) =

ℙ( ∩

12
=

)ℙ (

v i1

i

)=

ℙ( ∩ )
. ℙ( ) =
ℙ( )

ℙ ( | ). ℙ ( )

n B1, …, Bn xung kh c t ng ôi m t Bi ∩ Bj
j

n và B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn = W nh trên g i là h

y

các bi n c .
Mệ

đề 1 2 2. Định lý Bayes

Nếu B1, …, Bn là một phân hoạch của W, tức là có Bi ∩ Bj = ∅ với 1 ≤ i < j
≤ n và B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn = W, và A là sự kiện ngẫu nhiên, với ℙ( ) > 0, thì


xác su t điều kiện :
ℙ ( | ). ℙ ( )

ℙ( | ) =

ℙ

C ng th c 1.5

|

(1.5)

.ℙ

ng th c Bayes

ng minh : B ng cách ng d ng tr c ti p
xác suất

y

nh ngh a và công th c

ta c

ℙ( | ) =

12

ℙ ( ∩ ) ℙ ( | ). ℙ ( )
=
=
ℙ( )
ℙ( )

C n bình

k ch a k -1 bi màu

ℙ ( | ). ℙ ( )
ℙ

|

.ℙ

ng bi hình th c bên ngo i gi ng nhau bình th

và n - k bi màu xanh k = 1 2

n ng u nhiên

n.

m t bình và

h ó mà khơng c n thay th . Tìm xác su t

hai bi b

nha .

Lời giải :
T ng s bi màu xanh và màu
G i Bk : s ki n bình k
kh c t ng ôi và B1
ong tr

B2

trong tất cả các bình

c ch n k = 1 2
···

ng h p bi 1 màu

ng b ng nhau.

n các s ki n Bk xung

Bn = W và A là s ki n
bi 2 màu xanh.

Ta có
ℙ(

) = ℙ(

) = ⋯ = ℙ(

p d ng công th c xác su t
ℙ

ℙ

ℙ

−

−

−

−

)=

1

−
−

ℙ

y
−
−
−

−
−

−

−
−
−
−

−
−


( − 1)

−
( − 1)( − 2) 2

=

Ởđ

ng ta s dụng

ng th c ã bi t

( − 1) =

1
( + 1) ( − 1).
3

ng xác suất c n tìm

D

ℙ (2 bi

ni m v

m

nh ng tính n ng

1 1

= .
6 3

)=

∎

c l p là m t phát minh quan tr ng trong lý thuy t

xác suất. Nó có dạng lý thuyết
đo l

1
+1
= .
6
3

c bi t xác

giai đoạn

u và

c xem là m t trong

nh v trí c a lý thuy t xác suất trong lý thuyết

ng t ng quát.
ĩ 12

Đị

Hai sự kiện A và B được gọi là độc lập với nhau nếu
ℙ( ∩ ) = ℙ( )ℙ( )

n thu n ti n c a tính
ℙB
khơng làm thay

c l p là: hai s ki n A và B trong ó

ℙ AB

ậ

1.
ℙ A ngh a là s ki n B x y ra

i xác su t c a s ki n A.

ụ12
1) S ki n r ng ∅ bi n c không th

n b Ω: chúng không ph

thu c b t kỳ s ki n nào.
2) Xét b n k t qu
s ki n A = {ch s
ℙ( ) =

+

1 1 và 11 m i k t qu có xác su t 1/4. Ở ây

u là 1} và B = {ch s th 2 là } là
=

1
=
2

+

= ℙ ( ), ℙ ( ∩ ) =

Ngo i ra các s ki n {ch s
nhau} là
là

n

1 1
=
4 2

n

1
.

2

u gi ng

u là } và {t ng các ch s

} ph thu c.
nh ngh a c

=

u là } và {c hai ch s

c lập trong khi các s ki n {ch s

M r ng

c lập

c lập ta có


Đị

ĩ 1 2 3. Các sự kiện A1, …, An được gọi là độc lập với nhau

nếu với mọi tập con hữu hạn Ai1, …, Ail, (l = 1, …, n) ta có đẳng thức :
ế nh ℙ Ai

ℙ(

∩

Ak

)

) = ℙ(

∩

ℙ Ai ℙ Ak

nhau nào trong h các s ki n A1

ℙ(

i≠k

)

1.7

ấ

n khác

2

An n

n

c lập t ng ôi m t.
C

1.2.2. N u có m t h các s ki n

c lập t ng ôi m t v i nhau. Nh ng i u ng

c lập thì các s ki n trong h
c l i không úng.

V dụ 1.2.3.
1) Tung hai l n m t

ng xu cân

i

i các s ki n A = {l n 1 tung ch

ng a}, B = {l n 2 tung cho m t ng a} và

=

hai l n tung hi n th

cùng m t m t}. Thì
1

1
= ℙ ( )ℙ ( ), ℙ ( ∩ ) =
= = ℙ ( ) ℙ ( ),
4
4
1
ℙ( ∩ ) =
= = ℙ ( )ℙ ( )
4
1
ℙ( ∩ ∩ ) =
= ≠ ℙ( )ℙ( )ℙ( )
4

ℙ( ∩ ) =

=

n súc s c v i A = {súc s c m t hi n th s

2)

{súc s c hai hi n th s

i ml }

= {t ng s

i m l } và ℙ A

ℙ( ∩ ) = ℙ( ∩ ) = ℙ( ∩ ) = 1/4, nhưng ℙ( ∩

i ml } B=
ℙ

ℙ

∩ )=0

Định nghĩa 1.2.4. Dãy các phép thử độc lập
Dãy n phép thử T1, T2, …, Tn trong mỗi phép thử Ti tương ứng với không
gian mẫu Ωi gồm k sự kiện sơ cấp A1, A2, …, Ak được gọi là độc lập nếu :
ℙ

T ng ó
ng

=ℙ

ℙ

(1.8)

ℙ

: là m t s ki n b t kỳ trong k s ki n A1 A2

Ak t

ng

1
: là m t s ki n b t kỳ trong k s ki n A1

v i phép th T1
t

Ak

2

ng ng v i phép th Tn.
1 2 3. M t s tính ch t c a các sự kiện độc lập

M

1 Nếu A và B độc lập thì ̅ và B cũng độc lập

bù của A và ℙ

− ℙ

̅

̅=Ω

: sự kiện

.

Nếu (i) A1 và B là độc lập, (ii) A2 và B là độc lập, và (iii) A1 và A2 rời
nhau, khi đó A1 ∪ A2 và B là độc lập. Nếu giữ (i) và (ii) và A1 ⊂ A2 thì B và
A2\A1 cũng độc lập.
ng minh
ậ

ậ ℙ

̅∩

ℙ

∖

ℙ

− ℙ

ℙ
ậ
ℙ

∩

ế
∩

ℙ

̅ ℙ

∩

ℙ

n nℙ

ℙ

ℙ

ℙ

∩

5

∪

ℙ

ℙ

−ℙ

V d 1.2.4. B n 3 viên
là

ℙ

− ℙ

⋂

− ℙ

ℙ

ậ

∪

ℙ

ℙ

⋂

∩

ℙ

∩

ℙ
−ℙ
ℙ

ℙ

ℙ

ℙ
∩

∩

ℙ

∪

ℙ

∩

ℙ

−ℙ

∩

n vào m t m c tiêu xác suất trúng theo th t

8. Xác su t m c tiêu b phá h y n u trúng 1 phát là

phát là

3 hai

còn 3 phát thì ch c ch n b phá h y. Tính xác suất mục tiêu b

phá h y. N u m c tiêu b phá h y tính xác suất nó b trúng 1 phát.
Lời giải :
G i Ai i = 1 2 3
viên

nb n

c lập nên các Ai

n viên
cl p

n th i b n trúng m c tiêu m i
̅


11
B

=

1 2 3

n m c tiêu trúng phát

n {B B1 B2 B3}

nc .

) = 0,5 ; ℙ(

Ta có ℙ(

) = 0,6 ; ℙ(

) = 0,8 ;

ℙ( ̅ ) = 0,5; ℙ( ̅ ) = 0,4; ℙ( ̅ ) = 0,2;

) = ℙ( ̅

ℙ(

̅

) = ℙ(

ℙ(

̅

= 0,26 ;

) = ℙ(

) = ℙ(

ℙ(

̅ + ̅

̅ + ̅

̅ + ̅

+

)

̅

)ℙ( ̅ )ℙ( ̅ ) + ℙ( ̅ )ℙ(

= ℙ(

ℙ(

̅ ) = ℙ( ̅ )ℙ( ̅ )ℙ( ̅ ) = 0,04 ;

) = 0,24.

)ℙ( ̅ ) + ℙ( ̅ )ℙ( ̅ )ℙ(

)

) = 0,46 ;
̅

n m c tiêu b phá h y thì

D
ℙ( ) =
=0

ℙ

ℙ

|

0,04 + 0,3

0,26 + 0,6

0,46 + 1

0,24 = 0,594.

Áp d ng công th c xác suất Bayes
ℙ(

| )=

12
tung.

)

ℙ ( | )ℙ (

ℙ( )

=

0,3 0,26
= 0,13.
0,594

ng xu hi n th m t ng a v i xác suất p trên m i l n

h

ấ

ố

ng a xuất hiện sau n l n tung là ch n.

= (1 − 2 )

ng t r ng

+ ,n

1.

Lời giải :
Nh trong các mơ hình tung
tung khác nhau là
p

c l p.

ng xu ta cho r ng k t qu c a các l n

t An = {l n tung th n là m t ng a} v i ℙ An

ng a sau n l n tung là s ch n} v i

Bn

và ̅

ng xác suất điều kiện trên
ℙ(

) = ℙ(

∩

) + ℙ(

∩ ̅

)

= ℙ Bn


12

∩

mà

=

∩

=

∩ ̅

và

∩ ̅

. Theo quan

cl p

điểm

∩

) = ℙ(

i u này d n

n

ℙ(

) = ℙ(

ℙ(

)ℙ(

= 1 − ℙ(

= (1 − )

Ngh a l

) và ℙ(

)ℙ(

1 3. C NG TH C

)

ông th c bù-tr

)ℙ( ̅

) + ℙ(
+ ℙ(

+ (1 −

I TO

.

)(1 − )

)ℙ( ̅

)

)

) = (1 − 2 )

+ .

L P

tính xác suất ℙ A

c dùng

∪ · · · ∪ An là s ki n t ng c a các s ki n A1
N u các s ki n A1

) = ℙ(

∩ ̅

ng đó A = A1 ∪ A2

An.

An là ơi m t xung kh c thì
ℙ( ) =

ng n u các s ki n A1
tính xác su t ℙ A

ℙ( )

(1.9)

An ôi m t không xung kh c thì công th c

n. Ta có

1 3.1. Cơng thức bù-trừ

M

Cho A1,…, An tập các sự kiện đôi một không xung khắc và A = A1 ∪ A2 ∪
· · · ∪ An , khi đó :
) + ⋯ + ℙ(

ℙ( ) = ℙ(

− ℙ(

+ ℙ(

=

(−1)

n
ℙ A∪

∩
⋯

ng minh :
V

∩

) − ℙ(

) + ℙ(
∩

∩

∩

) − ℙ(

)+⋯

∩

) + ⋯ + (−1)

ℙ

.

)−⋯

∩

(

∩

∩

)
(1.10)

ng quy n p trong n
g th c là t m th

n
ℙ

∪

ng

n A và B
∪


13
= ℙ A\
ℙ
ℙ
ả

ℙ

ℙ

ℙ

ℙ

An

ủ n

ℙ

ℙ

(−1)

) b ng

)−ℙ

∩

+ ℙ(
+ ℙ(

ℙ

⋯

ng cu i cùng chúng ta có
(

−ℙ

∩

2

n, xác su t ℙ(⋃

=ℙ

∪

ℙ

C

ℙ

ng th c úng cho bất k t p c a n s ki n n

ỳ ậ A

=

ℙ

) =

(−1)

=

(−1)

)−ℙ

(

p l i gi thi t quy n p

⋯

⋯

∩

ℙ

n

ấ

c xác

.

∩

ℙ

ng ta th y r ng to n b t ng trong khai tri n ℙ(⋃

t t c các s h ng có th

) .

∩

) bao g m

nh trên v ph i c a công th c 1.1

nh xác. Điều này ho n thành ch ng minh m nh

.

1 3.1.
1) M t chàng trai vi t th cho 3 cơ b n gái vì ãng trí nên b các th
vào các phong bì m t cách ng u nhiên. Tính xác suất
nh n

có ít nhất m t cơ

c úng th vi t cho mình.
Lời gi i :
N u g i Ai i = 1 2 3

n cơ th i nhận đúng th c a mình. Khi

ó s ki n B có ít nh t m t cô nhận đ
b ng

+

ℙ( ) = ℙ(
= ℙ(

+

+

c úng th vi t cho mình bi u diễn

và áp d ng cơng th c bù tr ta có
+

) + ℙ(

)

) + ℙ(

) − ℙ(

) − ℙ(

) − ℙ(

)


14
+ℙ(

= ℙ(

−ℙ(

=

) + ℙ(
)ℙ(

)

1 1 1 1

+ + −
3 3 3 3

2) M t ng

) + ℙ(

) + ℙ(

|

1 1
−
2 3

) − ℙ(
)ℙ(

1 1
−
2 3

|

)ℙ(

)ℙ(

1 1
+

2 3

|

|

1
2

)ℙ(

) − ℙ(
)

|

)

1 2
= .
1 3

i ãng trí nói v m t nhân viên gi i quy t công vi c th t
nh n và n

n

ng bì r i ghi

cách ng u nhiên. Tính xác suất pm,n

a ch sau và anh ta làm m t

có m lá th

c ghi úng

a ch .

Lời giải :
T p g m n! các k t qu có th x p t
bì

Ak

k

ng ng các lá th vào trong phong

ng

a ch }.

ℙ

∩

∩

− !

,
!

∩

và vì v y
ℙ

⋯

∩

∩ …∩

ℙ (ít nh t m t thư ghi úng

D

=1−

=ℙ

a ch )

1 1
+ − ⋯ + (−1)
2! 3!

ℙ (không m t thư nào ghi úng
=1−ℙ

ghi đúng địa chỉ} = !
,

=

1
!

1−

ng h p {không thư nào

và d

,

)! (0, −
!

)

=

1
+ ⋯ + (−1)
1!

n còn l i c a ph n này
nó đ

1 1
1
− + ⋯ + (−1)
.
2! 3!
!

¥. S k t qu trong tr

( −

=

1
,
!

a ch )

=1−1+

n e-1 khi n

n

( − )! 1
= .
!
!

=

c p

1
!

(0, −

1
( − )!

)
!

khi

→∞

∎

n vấn đề b phiếu. Nguyên bản của

c phát bi u có h th ng là: m t c ng

ng c tri g m m ng

i phe h u

1
n ng

i phe t b phi u c

suất mà trong q trình

ng c viên c a mình trong ó m

m các lá phi u bí m t các ng c viên phe h u s

không thấp h n phe t là gì C

n y ã xuất hiện trong nhiều ho n cảnh.

Trong đề tài này chúng tôi b t
u trong s

2n ly r
bi n t i
i m
ng

a ph

ó n ly r

ng m t ng

u v i m t tr

u th t và n ly r

i tham gia b t m t u ng tất cả 2n ly tại m t th i

i chi n th ng n u say v i th tích r

suất

ng h p c th m = n. ó

u gi . Trong m t trị ch i ph

c l a ch n m t cách ng u nhiên. Ng

nhiều h n so v i r

i tham gia

b

c tuyên b là

u thật uống luôn luôn là không

u gi . húng ta s ki m tra xem i u này x y ra v i xác

n +1
ng ng u nhiên trên t p h p{- n - n +1,

ng

n. Xác

i tham gia s di chuy n lên m t b
c n u u ng r

c n u u ng ly r

u th t. Vi c i b b t

luôn tr v v trí ban

u

l

n} trong ó

u gi và s lùi m t

u t g c lúc ch a u ng
ng r

u th t = s l

ng r

n

u gi

nh 1.1
Trên hình 1.1 bao g m th i gian b
n

c iXt
n nh y lên và sang ph i ho c

xu ng và sang ph i. húng ta nhìn thấy xác suất mà các b
trên

ng X = -1.

c cịn l i

phía


1
T ng s các
ng i

các
1

n

ng i d n t

trên

n
ng i t

nhất t

1 -3

n

ng i t

1

n

n. Ti p theo, n u m t b

ct

n

n

n qua

ng X = -1 thì chúng ta có th ph n x bit

u tiên c a nó và thu

cm t

ng i t

khi

1 -3

n

n y ôi

n

c g i là nguyên lý ph n x .
D

ấ

ến th ng là

( 2 − 1) !
(2 − 1)!
−
! ( − 1)! ( + 1)! ( − 2)!

ng s ly r

(2 )!

1
=
! ! 2

( − 1)
=
+1

−

u gi là m s ly r

là không ít h n so v i r
m

n m

n

chi n th ng là luôn i lên. T ng s các
ng m
ng

n

1
PH

n

! m

nn a b

n ! m!n!

ng d n t

n

ng tiêu th r

u th t. Sau ó t ng s các

ng m

1
.
+1

u th t là n m

n th ng trò ch i có ngh a là t i m i l n s l

l

ng

n n!n!

ng th ng c ng gi ng nh t ng s các
n t ng s các

n

n

u gi

ng d n t
c

n

u tiên c a

1 1

n m

ng

n m n

ng nguyên lý ph n x chúng ta thấy r ng s

n!

ng mất đi b ng v i t ng s các

ng d n t

m

ng xác suất chiến th ng là

n

!

m

n

( + − 1)!
( + − 1)!
−
( − 1)! !
( + 1)! ( − 2)!

NG U NHI

PH I

(

. KỲ V NG

1 -3

+ )!
=
! !

K

−

n m

n m

+1
.
+1

VỌNG ĐI U KI N.

NG TH I

Định nghĩa 1.4.1. Bi n ng u nhiên BNN
Bi n ngẫu nhiên là m t hàm X trên t p h p k t quả W,
X:

W

( )

với tập giá trị ( ) là tập hữu hạn hoặc đếm được gọi là tập giá trị có
thể của BNN X.

1
1 1.
ủ

1)
th

n là m t BNN. N u A là m t s ki n thì ta có

nh ngh a hàm ch IA c a A nh sau IA

A

ng x y ra.
∈Ω↦

ế
ế

∈

IA

A

∈
∉

2) S chấm xuất hiện khi tung m t con súc s c là m t BNN. N u g i X
là s chấm xuất hiện khi tung m t con súc s c thì khi tung súc s c t p các giá
tr mà X có th nh n là {1 2 3 4 5

}.

Khi ta có m t BNN ta có th nghiên c u các tính chất
rút ra các thông tin k t lu n nà
nhất là giá tr trung bình

ng nh ng

c tr ng c a nó
c tr ng quan tr ng

v ng

Định nghĩa 1.4.2. Kỳ vọng của BNN
Kỳ vọng của một BNN X, lấy giá trị x1,…, xm với xác suất p1,…, pm được
ký hiệu là

và là tổng :
ℙ

nh ngh a này c ng có ý ngh a cho BNN

m

c nhi u giá tr x1 x2

v i xác suất p1 p2

∑

∞

n là chu i này h i t
n

i ∑

tuy t

r ng X khơng có giá tr k v ng h u h n.

∞

V dụ 1.4.2.
1) Gi tr k v ng c a hàm ch IA w

n b ng v i xác

wỴA

su t
∈

∈

ℙ

1
2) ế

ọ

ố

ấ

( )=

3) Trò ch i

ấ

ện khi tung m t con súc s c thì
) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ).

ℙ( =

t trò ánh b c

s thua. Th ng thì

ng 1

c 7 l n ti n

T

s ch có 1 s th ng

t c c. Thua thì mất tiền

t c c T ti n thì k v ng s ti n nh n l i
7.T. K v ng lãi

s

1 7
= .
6 2

T

c là

%×

T T

t c c. N u

+ 1% ×
T

n ch i

.T =
thì

k v ng là b thua 3.T.
M nh

1.4.1. M t s tính ch t của kỳ vọng

1 Nếu BNN X º b là số khơng đổi, thì (X) = b.
Giả sử các BNN X, Y có kỳ vọng, nếu X ≤ Y thì (X) ≤ (Y).
Kỳ vọng của một tổ hợp tuyến tính BNN bằng tổ hợp tuyến tính của
các kỳ vọng.
ng minh
n nhiên the
(

(3)

Th c t
r ng ch n

T ng tr
T

+

i u này

)=

nh ngh a c a k v ng.
(

c g i là tuy n tính c a kỳ v ng

ng m

ng

ng h p

c bi t n u

Xk

m

k

ch t c ng úng cho m t dãy vô h n các BNN X1 X2

∑


1
v i i u ki n là chu i
Đị
kiện

∑ |

v ph i h i t tuy t

)| < ∞

(

ĩ 1 3. Phân b xác su t đồng thời - Phân bố xác suất điều

Cho 2 BNN X và Y, với các giá trị rời rạc X( ) và Y( ). Xét sự kiện {X

= xi, Y = yj} (với bất kỳ cặp giá trị xi, yj của X, Y), phân bố xác suất đồng thời
của cặp X, Y là ℙ(

=

,

=

).

xi khi điều kiện Y

Phân bố xác suất điều kiện của X
ra là :
ℙ

=

=

=

ℙ( = , =
ℙ( = )

)

.

yj

ố định xảy
(1.14)

Trong đó, các xác suất biên ℙ X = xi và ℙ Y = yj được tính bằng :
ℙ( =
ℙ

T

=

) = ∑ ℙ( =
= ∑ ℙ( =

ng t khái ni m

,

=

),

,

=

).

c áp d ng trong tr

(1.15)

ng h p c a m t vài BNN

X1, …, Xn.
Định nghĩa 1.4.4. Kỳ vọng điều kiện
Nếu X và Y là hai BNN thì :
( )= [ ( |
ℙ

với
Ch

ℙ
ℙ

các giá trị có thể của BNN X, Y.

1.4.1. Trong công th c 1.

X

n

Y

V dụ 1.4.3. Gi s X Y là hai BNN r i r c có phân ph i
Y
y1 =
y

x1 = 1

X
x2 =

x3 =

ng th i là

i.


2
Tìm phân phối xác suất của X Y. Tìm k v ng có i u ki n ( )
Lời giải:

=∑

n ph i xác suất của BNN X là
X

1

=∑

n phối xác suất của BNN Y là
Y

ng có i u ki n
( )= [ ( |
∑

ℙ

ℙ

V
ℙ

ℙ

ℙ

ℙ

ℙ
Suy ra ( | = 1) = 0,5 ×

T

ng t

5
2 3,9
+ 0,7 × =
.
7
7
7

i X = và X = ta c

( | = 6) =

10,9
;
17

( | = 9) =

6,1
.
11

Vậ
( ) = 0,28 ×

Đị

10,9
6,1
3,9
+ 0,17 ×
+ 0,55 ×
= 0,57.
17
11
7

ĩ 1

BNN độc lập

BNN X và Y được gọi là độc lập nếu với bất kỳ cặp giá trị xi và yj:
ℙ

=

,

=

= ℙ( =

)ℙ

=

.

(1.17)


21
nh ngh a này

c m r ng cho tr

ng h p n BNN

c l p.

BNN

c l p n u ∀ x 1 , … , xn

X1, …, Xn

ℙ(

=

,

=

,

)=

=

ℙ(

n n a m t dãy vô h n các BNN X1 X2
n các bi n X1, …, Xn là
Đị

ĩ 1

=

).

c g i là

(1.18)

cl pn u∀

c l p.
Chu i các BNN độc lập phân phối giống nhau

Các BNN X1, X2, ... được gọi là chuỗi các BNN độc lập phân phối giống
nhau nếu ngoài sự độc lập ra các xác suất ℙ(Xi = x) của chúng là như nhau
cho mỗi i = 1, 2, ...
đề 1

Mệ

Kỳ vọng của tích hai BNN độc lập

Cho các BNN độc lập X, Y, kỳ vọng của tích các giá trị bằng tích của các
kỳ vọng, tức là

(

ng minh
(

)=
=
=

(

1

,

,

ℙ

=
=

ℙ
ℙ( =

= ( ) ( )

)= ( ) ( )

ng

,

=

) ( =
)

ℙ

nh ng

c l i là không úng: BNN X Y có

) = ( ) ( ) mà khơng ph i là
ụ1

(1.19)

. ho BNN X và Y

=

c l p.


22

=

X

su t

x

0,
1,

Ở đây

1
,
3
1
su t ,
3
1
su t ,
3

x

−1,

x

(

Y

2
= − +
3

)= −

( )+ (

.

) = 0, nh ng rõ

ràng X và Y là ph thu c.
ĩ 1

Đị

Phương sai của BNN
=

là m t s được ký hiệu và xác

= ( − ) ;

(1.20)

Phương sai của BNN rời r c X có
định như sau :
Var

B ng cách khai tri n bình ph

ng và s d ng các tính chất của k v ng

chúng ta có
−2

= (

Var

= (

)−2

(

=

n b c hai c a ph

)= (

+

+

)−2

( )+

) − [ ( )] .

ng sai Var

(1.21)
c g i là độ lệch tiêu chuẩn.

M t khái ni m liên quan ch t ch v i ph

ng sai là hi p ph

ng sai c a

hai BNN.
Đị

ĩ 1

Hiệp phương sai của hai BNN

Hiệp phương sai của hai BNN X và Y là một số được ký hiệu và xác định:
Cov ( , ) =

( −

i v i các bi n X Y

ng

)( −

c l p thì

)= (
o

)−

X, Y

.

(1.22)

nh ng kh ng

c l i không úng.
BNN v i o

gt

X, Y

V i ph ng sai Var X + Y
V

X

Y

V

ng quan.

ng X + Y chúng ta có bi u diễn sau đây
X

V

Y

C

X, Y

nh