Các định lý cổ điển và ứng dụng trong hình học sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ NỞ

CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN VÀ ỨNG DỤNG
TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP

Chuyên ngành : Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số:

60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG

Đà Nẵng - Năm 2013


LỜI CAM ĐOAN
Tơi cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các kết quả, số liệu nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai cơng bố
trong bất kỳ cơng trình nào khác.
Tác giả luận văn

NGUYỄN THỊ NỞ


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 1
1. Lí do chọn đề tài.................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài .......................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài ......................................................... 2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ...................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu ................................................................... 2
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài ............................................ 3
7. Cấu trúc luận văn ................................................................................ 3
CHƢƠNG 1. GIỚI THIỆU VỀ HÌNH HỌC SƠ CẤP VÀ CÁC ĐỊNH
LÝ CỔ ĐIỂN ................................................................................................. 4
1.1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÝ VÀ TÍNH CHẤT .......................... 4
1.1.1. Tứ giác toàn phần .......................................................................... 4
1.1.2. Tỉ số kép, hàng điểm điều hòa và chùm điều hòa ......................... 4
1.1.3. Đường tròn trực giao ..................................................................... 5
1.1.4. Hai điểm liên hợp .......................................................................... 6
1.1.5. Cực và đối cực của một điểm đối với đường tròn ........................ 6
1.1.6. Định lý Thales trong tam giác ....................................................... 7
1.2. CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN ....................................................................... 7
1.2.1. Định lý Menelaus .......................................................................... 7
1.2.2. Định lý Ceva ................................................................................. 9
1.2.3. Định lý Desargues ....................................................................... 11


1.2.4. Định lý Pascal ............................................................................. 13
1.2.5. Định lý Brianchon ....................................................................... 15
1.2.6. Định lý Pappus ............................................................................ 17
1.3. CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN THEO QUAN ĐIỂM CỦA HÌNH HỌC XẠ
ẢNH .............................................................................................................. 18
1.3.1. Một số kiến thức về không gian xạ ảnh và hình học xạ ảnh ....... 18
1.3.2. Các định lý cổ điển theo quan điểm của hình học xạ ảnh.......... 24

CHƢƠNG 2. ỨNG DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN VÀO GIẢI
TOÁN SƠ CẤP ............................................................................................ 32
2.1. ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ MENELAUS ........................................ 32
2.1.1. Một số bài toán minh họa............................................................ 32
2.1.2. Một số bài toán tham khảo .......................................................... 36
2.2. ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ CEVA ................................................... 36
2.2.1. Một số bài toán minh họa............................................................ 37
2.2.2. Một số bài toán tham khảo .......................................................... 41
2.3. ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ DESARGUES ...................................... 42
2.3.1. Một số bài toán minh họa............................................................ 43
2.3.2. Một số bài toán tham khảo .......................................................... 46
2.4. ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL ............................................... 46
2.4.1. Một số bài toán minh họa............................................................ 47
2.4.2. Một số bài toán tham khảo .......................................................... 51
2.5. ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ BRIANCHON....................................... 52
2.5.1. Một số bài toán minh họa............................................................ 52


2.5.2. Một số bài toán tham khảo .......................................................... 54
2.6. ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PAPPUS ................................................ 55
2.6.1. Một số bài toán minh họa............................................................ 55
2.6.2. Một số bài toán tham khảo .......................................................... 57
2.7. ỨNG DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN THEO QUAN ĐIỂM XẠ
ẢNH .............................................................................................................. 57
2.7.1. Các bài tốn của hình học sơ cấp có đặc trưng xạ ảnh ............... 58
2.7.2. Các bài tốn affine, Euclide của hình học sơ cấp ..................... 70
KẾT LUẬN .................................................................................................. 79
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 80
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (bản sao).

1

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Trong hình học sơ cấp, các định lý cổ điển đóng một vai trị rất quan
trọng trong việc khảo sát các đối tượng hình học và mối liên hệ gi a chúng,
đặc biệt là ứng dụng vào giải tốn sơ cấp.
Trong chương trình tốn phổ thơng, chúng ta thường gặp các bài tốn
như chứng minh sự thẳng hàng của các điểm, chứng minh các đường thẳng
đồng quy, bài tốn dựng hình,… Có thể sử dụng các phương pháp của hình
học phẳng để giải các bài toán trên. Chẳng hạn, để chứng minh ba điểm thẳng
hàng, ta có thể chứng tỏ các vectơ được tạo bởi ba điểm đó cùng phương. Để
chứng minh ba đường thẳng đồng quy, chúng ta có thể chỉ ra hai trong ba
đường thẳng đó cắt nhau tại một điểm và đường thẳng thứ ba đi qua giao
điểm này. Nhưng trong một số trường hợp việc sử dụng các phương pháp nêu
trên để giải gặp nhiều khó khăn.
Ở bậc phổ thơng, học sinh đã biết chứng minh ba điểm thẳng hàng, hoặc
ba đường thẳng đồng quy bằng cách áp dụng các định lý cổ điển như định lý
Menelaus, định lý Ceva [2, tr.19-24]. Ngồi các định lý trên, chúng ta cịn có
thể sử dụng các định lý cổ điển như định lý Desargues, định lý Pascal, định lý
Brianchon, định lý Pappus, …Tuy nhiên, trong khn khổ có hạn của chương
trình hình học phổ thơng, học sinh chưa có điều kiện để tìm hiểu sâu rộng về
các định lý này.
Nhằm mục đích tìm hiểu về các định lý cổ điển, về vai trị của chúng
trong hình học sơ cấp. Mong muốn bổ sung, hồn thiện kiến thức để phục vụ
trong cơng tác giảng dạy, bồi dư ng học sinh phổ thông và được sự gợi ý,

2
hướng d n của Thầy PGS.TS Trần Đạo D ng, tôi đã chọn đề tài Các định lý
cổ điển và ứng dụng trong hình học sơ cấp làm đề tài nghiên cứu cho luận
văn của mình.
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài
Mục đích của đề tài nhằm nghiên cứu về các định lý cổ điển và ứng dụng
vào giải tốn sơ cấp trong chương trình tốn phổ thơng.
Để đạt được mục đích nêu trên, luận văn tập trung khảo sát các định lý
cổ điển như định lý Menelaus, định lý Ceva, định lý Desargues, định lý
Pascal, định lý Brianchon, định lý Pappus, … và ứng dụng vào giải một số
dạng tốn trong hình học sơ cấp.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài là trình bày và chứng minh một số
định lý cổ điển theo quan điểm của hình học phẳng và hình học xạ ảnh. Từ đó
đưa ra các ứng dụng của các định lý vào giải các bài tốn của hình học sơ cấp.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các định lý cổ điển và ứng dụng các
định lý trong giải toán hình học sơ cấp.
Phạm vi nghiên cứu gồm nh ng vấn đề thuộc chương trình tốn hình học
ở bậc phổ thông. Vận dụng các định lý cổ điển vào giải các bài tốn trong
chương trình tốn phổ thơng, các đề thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Tham khảo các tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức liên quan đến nội
dung nghiên cứu của đề tài.


3
- Thu thập các dạng tốn trong chương trình phổ thơng có liên quan đến
đề tài, các bài tốn trong các kì thi học sinh giỏi, thi Olympic tốn,…
- Tổng quan tài liệu và thể hiện tường minh các kết quả đạt được trong

luận văn.
- Trao đổi, thảo luận các kết quả nghiên cứu tại các buổi seminar với giáo
viên hướng d n.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Luận văn đã trình bày các định lý cổ điển theo mạch kiến thức r ràng.
Làm sáng tỏ ứng dụng của các định lý cổ điển vào khảo sát các đối tượng
hình học, đặc biệt là ứng dụng vào giải các bài tốn sơ cấp. Luận văn có thể
làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh ở bậc phổ thơng có nhu cầu
nghiên cứu sâu về các định lý này.
7. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận và có hai chương:
- Chương 1. Giới thiệu về hình học sơ cấp và các định lý cổ điển.
Chương này giới thiệu các khái niệm, định lý và tính chất cơ bản của
hình học sơ cấp. Trình bày nội dung và chứng minh các định lý cổ điển theo
quan điểm của hình học phẳng và hình học xạ ảnh.
- Chương 2. Ứng dụng các định lý cổ điển vào giải toán sơ cấp.
Chương này trình bày các ứng dụng của các định lý cổ điển vào giải các
bài tốn hình học sơ cấp. Vận dụng các định lý cổ điển theo quan điểm của
hình học phẳng và theo quan điểm của hình học xạ ảnh để giải các bài toán sơ
cấp. Các bài toán được hệ thống mạch lạc theo từng định lý.


4
CHƢƠNG 1

GIỚI THIỆU VỀ HÌNH HỌC SƠ CẤP
VÀ CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN
Trong chương này chúng tôi giới thiệu các kiến thức về hình học sơ cấp.
Trình bày nội dung và chứng minh các định lý cổ điển theo quan điểm của
hình học phẳng và theo quan điểm của hình học xạ ảnh. Các kiến thức này có

thể tham khảo tại các tài liệu [4],[7],[8],[9].
1.1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÝ VÀ TÍNH CHẤT
1.1.1. Tứ giác tồn phần
Định nghĩa 1.1. (Tứ giác toàn phần). Tứ giác toàn phần là một hình
được tạo nên bởi bốn đường thẳng, từng đơi một cắt nhau nhưng khơng có ba
đường thẳng nào đồng quy.
Một hình tứ giác tồn phần có 4 cạnh là 4 đường thẳng, 6 đỉnh là 6 giao
điểm và 3 đường chéo là 3 đoạn thẳng đi qua hai đỉnh đối diện (hai đỉnh
khơng thuộc một cạnh).

A

Ví dụ: Trên hình ta có một tứ giác tồn phần với bốn
cạnh là AC ', B ' C ', CA, BC . Sáu đỉnh là A, B, C , A ', B ', C '.
Ba đường chéo là AA ', BB ', CC '.

B
B'
A'
C'

Hình 1.1

C

1.1.2. Tỉ số kép, hàng điểm điều hòa và chùm điều hòa
Định nghĩa 1.2. (Điểm chia đoạn thẳng với tỉ số k ). Cho hai điểm A, B
phân biệt và một số thực k 1. Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k nếu điểm
M nằm trên đường thẳng AB và

MA kMB ).

MA
MB

k (hoặc có thể viết MA kMB hay


5
Nhận xét 1.1. Với k 1 thì ta có một điểm M duy nhất chia đoạn
thẳng AB theo tỉ số k . Khơng có điểm nào chia đoạn thẳng AB theo tỉ số
k 1 nếu A

B.

Định nghĩa 1.3. (Tỉ số kép). Cho một tập hợp có thứ tự gồm bốn điểm

A, B, C, D phân biệt cùng nằm trên một đường thẳng đã được định hướng. Tỉ
số

CA DA
:
gọi là tỉ số kép của bốn điểm A, B, C, D .
CB DB

Ký hiệu: ABCD .
Định nghĩa 1.4. (Hàng điểm điều hòa). Hàng điểm A, B, C, D theo thứ
tự gọi là một hàng điểm điều hòa nếu ABCD

1.

Định nghĩa 1.5. (Chùm đường thẳng). Chùm đường thẳng là một tập
hợp gồm tất cả các đường thẳng trong mặt phẳng cùng đi qua một điểm. Điểm
đó gọi là tâm của chùm.
Kết quả dưới đây cho một tính chất quan trọng của chùm đường thẳng.
Định lý 1.1 ([7]). Một chùm bốn đường thẳng cắt một cát tuyến thay đổi
theo một hàng điểm có tỉ số kép khơng đổi.
1.1.3. Đƣờng trịn trực giao
Định nghĩa 1.6. (Đường tròn trực giao). Hai đường tròn gọi là trực giao
với nhau tại một điểm chung A của chúng, nếu hai tiếp tuyến ở A của hai
đường trịn đó vng góc với nhau.
A

O

O'
B

Hình 1.2


6
1.1.4. Hai điểm liên hợp
Định nghĩa 1.7. (Hai điểm liên hợp). Hai điểm M , N gọi là liên hợp
với nhau đối với đường tròn O nếu đường tròn đường kính MN trực giao
với đường trịn O .
Ta có kết quả sau về tập hợp các điểm liên hợp với một điểm cho trước.
Mệnh đề 1.1 ([7]). Cho đường tròn O, R và một điểm M khác O . Tập
hợp các điểm N sao cho M và N liên hợp với nhau đối với đường tròn

O, R là một đường thẳng vng góc với OM , ký hiệu d M .
1.1.5. Cực và đối cực của một điểm đối với đƣờng tròn
Định nghĩa 1.8. (Cực và đối cực của một điểm đối với đường tròn).
Cho đường tròn O, R và một điểm M khác O . Ta gọi đường thẳng d M
trong mệnh đề 1.1 là đường đối cực của điểm M và điểm M là cực của
đường thẳng d M đối với đường trịn O, R .
Ta có các kết quả sau liên quan đến cực điểm và đường đối cực.
Định lý 1.2. (Định lý La Hire) ([7]). Đối với một đường tròn cho trước,
nếu đường đối cực của điểm A đi qua điểm B thì đường đối cực của điểm B
đi qua điểm A .
Định lý 1.3. Đối với một đường tròn cho trước, các đường đối cực của
các điểm thẳng hàng thì đồng quy và các cực của các đường thẳng đồng quy
thì thẳng hàng.
Chứng minh. Theo định lý 1.2, giả sử các điểm A1 , A2 ,..., An nằm trên
đường thẳng b , nghĩa là các điểm Ai

b với i 1, 2,..., n thì điểm B thuộc

các đường thẳng ai với i 1, 2,..., n . Trong đó, điểm B là cực của đường
thẳng b , ai là các đường đối cực của các điểm Ai . Vậy các đường đối cực của
các điểm Ai đều đồng quy tại điểm B .


7
Ngược lại, giả sử các đường thẳng đồng quy ai (đồng quy tại B ) có các
cực là các điểm A1 , A2 ,..., An thì các điểm Ai

b với i 1, 2,..., n và đường

thẳng b là đường đối cực của điểm đồng quy B . Tức là, các điểm Ai thẳng

□

hàng.

a2

A1
A2

a1
B

Ai

ai

Hình 1.3
1.1.6. Định lý Thales trong tam giác
Định lý 1.4. (Định lý Thales thuận) ([4]). Nếu một đường thẳng song
song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh cịn lại thì nó định ra trên hai
cạnh đó nh ng đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Định lý 1.5. (Định lý Thales đảo) ([4]). Nếu một đường thẳng cắt hai
cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này nh ng đoạn thẳng tương
ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh cịn lại của tam giác.
1.2. CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN
1.2.1. Định lý Menelaus
Định lý 1.6. (Định lý Menelaus). Cho tam giác

ABC và các điểm

A ', B ', C ' lần lượt thuộc các đường thẳng BC, CA, AB . Điều kiện cần và đủ để

ba điểm A ', B ', C ' thẳng hàng là


8

A ' B B 'C C ' A
.
.
1.
A 'C B ' A C ' B

(1.1)

Chứng minh.
Điều kiện cần. Giả sử ba điểm A ', B ', C ' thẳng hàng thuộc đường thẳng
. Từ ba đỉnh A, B, C vẽ ba đường thẳng song song tùy ý lần lượt cắt đường

thẳng

tại A1, B1, C1 . Theo định lý Thales ta có
A' B
A 'C

BB1
,
CC1

B 'C

B' A

CC1
C'A
và
A A1
C 'B

AA1
.
BB1

Nhân các đẳng thức trên ta được

A ' B B 'C C ' A
.
.
1.
A 'C B ' A C ' B
A
B1

C'
A1

B'

C1
A'

C

B

Hình 1.4
Điều kiện đủ. Giả sử với tam giác

A

ABC ta có

hệ thức (1.1). Trước hết ta chứng minh rằng đường
thẳng B ' C ' phải cắt đường thẳng BC . Thực vậy, nếu
B ' C '/ / BC thì ta có

B 'C
B' A

C 'B
C'A

B

C'

'
B

B 'C C ' A
.

1.
B' A C 'B

So sánh đẳng thức này với hệ thức (1.1) ở trên suy ra

C

Hình 1.5
A' B
A 'C

1. Điều

này có nghĩa là điểm A ' chia đoạn BC theo tỉ số k 1 là điều không thể xảy
ra (theo nhận xét 1.1).
Vậy đường thẳng B ' C ' phải cắt đường thẳng BC .


9
Gọi A '' là giao điểm của B ' C ' và BC . Vì A '', B ', C ' thẳng hàng nên
theo phần chứng minh điều kiện cần ta có
A '' B B ' C C ' A
.
.
1.
A '' C B ' A C ' B

So sánh hệ thức này với hệ thức (1.1) của định lý ta rút ra được

A '' B

A '' C

A' B
.
A 'C

Vậy A '' và A ' cùng chia đoạn thẳng BC theo cùng một tỉ số nên A '' trùng
với A ' .
Do đó ta có ba điểm A ', B ', C ' thẳng hàng.

□

1.2.2. Định lý Ceva
Định lý 1.7. (Định lý Ceva). Cho

ABC và các điểm A ', B ', C ' lần lượt

thuộc các cạnh BC , CA, AB.
Điều kiện cần và đủ để các đường thẳng AA ', BB ', CC ' đồng quy là

A' B B 'C C ' A
.
.
A'C B ' A C ' B

1.

(1.2)

Chứng minh.

Điều kiện cần. Giả sử các đường thẳng A A ', BB ', CC ' đồng quy tại một
điểm I .
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác A A' B với ba điểm thẳng
hàng I , C, C ' và tam giác A A'C với ba điểm thẳng hàng I , B, B ' ta được

IA ' C ' A CB
.
.
1,
IA C ' B CA '
IA BA ' B ' C
.
.
1.
IA ' BC B ' A

Nhân vế theo vế hai đẳng thức này ta được


10

A' B B 'C C ' A
.
.
A'C B ' A C ' B

1.

B’

A

A

C’

B’

P’

C’

I

A’

C

B

C

B

A’

Hình 1.7

Hình 1.6

Điều kiện đủ. Giả sử đối với tam giác ABC ta có hệ thức (1.2). Cần
chứng minh các đường thẳng A A ', BB ', CC ' đồng quy.
Giả sử hai đường thẳng BB ', CC ' cắt nhau tại
C'

điểm M thì đường thẳng AM phải cắt BC . Vì nếu
AM / / BC thì theo định lý Thales ta có

M

A

B 'C
B' A

BC
C'A
và
MA
C 'B

AM
.
BC

B'

Hình 1.8

B

Nhân từng vế theo vế hai đẳng thức này ta được
B 'C C ' A
.
B' A C 'B

So sánh với hệ thức (1.2) suy ra

C

1.

A' B
1 (vô lý).
A 'C

Vậy đường thẳng AM phải cắt BC tại một điểm A1 .
Theo điều kiện cần ta có hệ thức

A1 B B ' C C ' A
.
.
AC
B
'
A
C 'B
1

Kết hợp với hệ thức (1.2) ta được

A1 B
AC
1

trùng với A ' . Vậy ta có A A ', BB ', CC ' đồng quy.

1.

A' B
, điều này chứng tỏ A1
A 'C

□


11
Định lý 1.8. (Định lý Ceva sin). Trên các cạnh BC, CA, AB của

ABC

lấy các điểm A1, B1, C1 . Các đường thẳng AA1, BB1 , CC1 đồng quy tại một điểm
khi

AC1 BA1 CB1
.
.
C1B AC
B1 A
1

sin ACC1 sin BAA1 sin CBB1
.
.
.
sin C1CB sin A1 AC sin B1BA
A

C1

B1

B

C
A1

Hình 1.9
Chứng minh.
Áp dụng định lý sin cho các tam giác ACC1 và BCC1 , ta được

AC1
C1C
tức là

AC1
C1B

Tương tự ta có

sin ACC1
CC1
và
sin A
C1B

sin B

,

sin C1CB

sin ACC1 sin B
.
sin C1CB sin A

BA1
AC
1

Từ (1.3) và (1.4) ta có

(1.3)

sin BAA1 sin C
CB1
.
và
B1 A
sin A1 AC sin B

AC1 BA1 CB1
.
.
C1B AC
B1 A
1

sin CBB1 sin A
.
.
sin B1BA sin C

(1.4)

sin ACC1 sin BAA1 sin CBB1
.
.
. □
sin C1CB sin A1 AC sin B1BA

1.2.3. Định lý Desargues
Định lý 1.9. (Định lý Desargues). Trong mặt phẳng, cho hai tam giác
ABC và A ' B ' C ' . Khi đó các đường thẳng A A ' , BB ' , CC ' đồng quy tại một

điểm khi và chỉ khi giao điểm của các cặp đường thẳng BC và B ' C ' ,

CA và C ' A' , AB và A ' B ' thẳng hàng.


12

Chứng minh.
Gọi giao điểm của các cạnh tương ứng là

A1

BC

B 'C '

B1 CA

C ' A'

C1

A ' B '.

AB

Phần thuận. Giả sử các đường thẳng A A', BB ', CC ' đồng quy tại một
điểm O . Lần lượt áp dụng định lý Menelaus cho các tam giác

OBC, OCA, OAB với các cát tuyến AC
' B ', B1 A'C ' và C1B ' A' ta có
1
B C A ' A C 'O
A1 B C ' C B ' O
C A B ' B A 'O
.
1, 1 .

.
.
1, 1 .
.
1.
B
A
A
'
O
C
'
C
AC
C
'
O
B
'
B
C
B
B
'
O
A
'
A
1
1

1

Nhân từng vế của ba đẳng thức trên và rút gọn ta được
A1 B B1C C1 A
.
.
1.
AC
B1 A C1 B
1

Hệ thức này chứng tỏ ba điểm A1 , B1 , C1 thẳng hàng và lần lượt nằm
trên các cạnh BC , CA, AB của tam giác ABC .
O

C

A

B1

A1

B
B'

C1

A'

C'

Hình 1.10
Phần đảo. Giả sử các điểm A1 , B1 , C1 thẳng hàng. Cần chứng minh các
đường thẳng A A', BB ', CC ' đồng quy.


13
Gọi O là giao điểm của A A ' và BB ' . Đường thẳng OC cắt đường thẳng
AC ' tại C '' . Xét hai tam giác ABC và A ' B 'C '' có các đường thẳng nối các

đỉnh tương ứng A A', BB ', CC ' đồng quy. Do đó theo phần thuận giao điểm
của các cặp cạnh tương ứng thẳng hàng.
Ta có, AB cắt A ' B ' tại C1 , AC cắt A ' C '' tại B1 (do A, C ', C '' thẳng
hàng), suy ra các giao điểm A1 ' của BC và B 'C '' phải thuộc B1C1 . Tức là, A1 '
là giao của B1C1 và BC , vậy A1 ' trùng với A1 . Suy ra C '' trùng với C ' , hay
các đường thẳng A A', BB ', CC ' đồng quy.

□

1.2.4. Định lý Pascal
Định lý 1.10. (Định lý Pascal). Nếu một hình lục giác nội tiếp trong một
đường tròn (các đỉnh của lục giác nằm trên đường trịn) thì ba giao điểm của
các cặp cạnh đối diện sẽ nằm trên một đường thẳng (đường thẳng này gọi là
đường thẳng Pascal).
Chứng minh.
Giả sử ABCDEF là một lục giác nội tiếp trong một đường tròn. Các cặp
cạnh đối diện là AB và DE, BC và E F , CD và FA cắt nhau theo thứ tự

A', B ', C ' .

Gọi P

AB

E F, Q

AB

CD, R CD

EF. Áp dụng định lý

Menelaus đối với tam giác PQR và các cát tuyến BCB ', DEA', C ' FA lần lượt
có các hệ thức
CQ B ' R BP
.
.
1,
CR B ' P BQ
DQ ER A ' P
.
.
1,
DR EP A ' Q
C ' Q FR AP
.
.
1.
C ' R FP AQ

14
Nhân vế theo vế của ba đẳng thức trên với nhau, kết hợp với phương
tích của các điểm P, Q, R đối với đường tròn ngoại tiếp lục giác ABCDEF
là
AP BP
.
1,
FP EP
AQ PQ
.
1,
CQ DQ
CR DR
.
1.
E R FR
B ' R A ' P C 'Q
.
.
1.
B 'Q A 'Q C ' R

Ta được,

Theo định lý Menelaus ta có A ', B ', C ' thẳng hàng.

□

P

A
B

Q

F
C
E

D
A'
R

B'

C'

Hình 1.11

Nhận xét 1.2. Định lý Pascal v n đúng trong trường hợp lục giác suy
biến thành ngũ giác, tứ giác hoặc tam giác. Khi đó, ta xem cạnh do một cặp,
hai cặp hay ba cặp đỉnh trùng nhau là tiếp tuyến tại các cặp điểm trùng nhau
đó.


15
Các trường hợp đặc biệt của định lý Pascal được minh họa trong các
hình sau:
E

A

A

E

C
B'
A'

C'

E
B

F

D
B

a)

CD
C'

A'

B'
b)

B'

C'

A'
DE
EF

F

C
B'
CD

AB
AB

c)

d)

Hình 1.12

A'

1.2.5. Định lý Brianchon
Định lý 1.11. (Định lý Brianchon). Nếu một hình lục giác ngoại tiếp
một đường tròn (các cạnh của lục giác tiếp xúc với đường trịn) thì các đường
thẳng nối các đỉnh đối diện của lục giác đó đồng quy tại một điểm. (Điểm này
được gọi là điểm Brianchon).

Chứng minh.
Giả sử ABCE F là một lục giác ngoại tiếp đường tròn.
Các cạnh AB, BC, CD, DE, E F , FA lần lượt tiếp xúc với đường tròn tại
các điểm A1, B1, C1, D1, E1, F1 .
Các đường thẳng AB
, BC
, C1D1, D1E1, E1F1, F1 A1 theo thứ tự là các
1 1
1 1
đường đối cực của các điểm B, C, D, E, F , A . Theo định lý Pascal, lục giác

ABC
D E F nội tiếp đường trịn nên có ba cặp cạnh đối diện là
1 1 1 1 1 1


16

AB
và E1D1, BC
và E1F1, C1D1 và F1 A1 cắt nhau theo nh ng giao điểm thẳng
1 1
1 1
hàng. Các giao điểm này là cực của các đường thẳng BE, CF , DA .
Theo định lý 1.3, các đường thẳng này đồng quy tại một điểm.
B

□

B1

A1

C

.

A
F1

C1

F

D
D1

E1
E

Hình 1.13
Các trường hợp đặc biệt của định lý Brianchon:
Chúng ta có thể áp dụng định lý Brianchon đối với ngũ giác, tứ giác, tam
giác ngoại tiếp đường trịn bằng cách coi nh ng hình này như nh ng lục giác
đặc biệt (suy biến) có một, hai hoặc ba cặp cạnh trùng nhau.
Khi có hai cạnh nào đó trùng nhau ta thay giao điểm của hai cạnh đó
bằng tiếp điểm của hai cạnh trùng nhau đó với đường tròn.
Chẳng hạn, đối với ngũ giác ABCDE ngoại tiếp đường tròn, ta xem ngũ
giác này được tạo nên từ lục giác ABCDEF có hai cạnh EF và FA trùng
nhau. Khi đó ba điểm E1 , F , F1 sẽ trùng nhau. Ta xem cạnh AE tiếp xúc với

đường trịn tại F . Khi đó ta có AD, BE, CF đồng quy.
B
A1

B1

A
C
E1 F1 F
C1
E
D1

Hình 1.14

D


17
Tương tự, ta có thể áp dụng định lý Brianchon đối với tứ giác và tam
giác ngoại tiếp đường trịn.
A

B

A

C
B
F

C
F

D

E
D

Hình 1.15

E

Hình 1.16

1.2.6. Định lý Pappus
Định lý 1.12. (Định lý Pappus). Trong mặt phẳng cho ba điểm A, B, C
nằm trên đường thẳng d và ba điểm A', B ', C ' nằm trên đường thẳng d ' . Khi
đó, giao điểm của cặp đường thẳng AB ' và A ' B , AC ' và A 'C , BC ' và B 'C
thẳng hàng.
Chứng minh.
Gọi giao điểm của các cặp đường thẳng AB ' và A ' B , AC ' và A ' C ,

BC ' và B 'C lần lượt là M , N , K .
d

C
B
K

A

M
A'

N
B'

C'

d'

Hình 1.17
Áp dụng định lý Pascal cho lục giác suy biến AB ' CA ' BC ' nội tiếp
đường tròn ta được


18
AB ' A ' B M ,
BC ' B ' C K ,
CA ' C ' A N .

Suy ra M , N , K thẳng hàng.

□

1.3. CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN THEO QUAN ĐIỂM CỦA HÌNH HỌC
XẠ ẢNH
1.3.1. Một số kiến thức về khơng gian xạ ảnh và hình học xạ ảnh
Định nghĩa 1.9. (Không gian xạ ảnh). Giả sử V n 1 là không gian vectơ
n 1 chiều (n 0) trên trường K và X là một tập hợp khơng rỗng tùy ý. Ta

kí hiệu P(V n 1 ) là tập hợp tất cả các không gian con một chiều của V n 1 . Nếu
có song ánh

: P(V n 1 )

X

thì bộ ba ( X , ,V n 1 ) được gọi là một không gian xạ ảnh n chiều liên kết với
không gian vectơ V n 1 trên trường K và được kí hiệu là

n

.

Định nghĩa 1.10. (Mục tiêu tọa độ xạ ảnh). Cho không gian xạ ảnh n
chiều

n

được sinh bởi không gian vectơ V n 1 . Trong không gian V n 1 ta chọn

một cơ sở

e1 ,e2 ,...,en 1 và vectơ e

n 1

ei . Gọi A1 là điểm có đại diện là

i 1

vectơ e1 , A2 là điểm có đại diện là vectơ e2 ,…, An 1 là điểm có đại diện là
vectơ en 1 . E là điểm có đại diện là vectơ e . Hệ các điểm A1, A2 ,..., An 1, E lấy
theo thứ tự đó được gọi là một mục tiêu tọa độ xạ ảnh của không gian xạ ảnh
n

cảm sinh bởi cơ sở

.

Kí hiệu: {A1, A2 ,..., An 1; E} hay

{Ai ; E}i 1,n 1 .

Định nghĩa 1.11. (Hệ điểm độc lập). Trong

n

cho hệ gồm m điểm

A1 , A2 ,..., Am . Hệ m điểm này được gọi là độc lập nếu m vectơ đại diện của


19
chúng a1 , a2 ,..., am là một hệ độc lập tuyến tính trong V n 1 . Một hệ không độc
lập gọi là phụ thuộc.
Định lý 1.13 ([8]). Trong không gian xạ ảnh

n

, mọi hệ n 2 điểm

A1, A2 ,..., An 1, E sao cho trong số đó bất cứ n 1 điểm nào cũng độc lập đều là
một mục tiêu tọa độ xạ ảnh của

n

.

Định nghĩa 1.12. (Tọa độ xạ ảnh của một điểm). Trong
tiêu tọa độ xạ ảnh {Ai ; E} , ứng với cơ sở
vectơ V n 1 . Điểm X

n

n

cho mục

{ei }, i 1, n 1 của khơng gian

có vectơ đại diện là x V n 1 . Nếu đối với cơ sở

{ei }, i 1, n 1 , vectơ x có tọa độ là ( x1 , x2 ,..., xn 1 ) thì bộ n 1 số

( x1, x2 ,..., xn 1) được gọi là tọa độ của điểm X đối với mục tiêu xạ ảnh {Ai ; E} .
Kí hiệu: X ( x1, x2 ,..., xn 1 ) .
Tính chất 1.1.(Điều kiện độc lập của một hệ 3 điểm trong
mặt phẳng xạ ảnh

2

2

). Trong

, điều kiện cần và đủ để ba điểm A(a1, a2 , a3 ) ,

B(b1 , b2 , b3 ) , C (c1 , c2 , c3 ) độc lập (không thẳng hàng) là
a1 a2 a3
b1 b2 b3

0.

c1 c2 c3

Định nghĩa 1.13. (Tọa độ của siêu phẳng xạ ảnh). Cho siêu phẳng
n 1

trong

n

u1x1 u2 x2 ... un 1xn 1 0 .
Bộ n 1 số u1 , u2 ,..., un 1 trong phương trình trên được gọi là tọa độ của
siêu phẳng

n 1

. Kí hiệu:

n 1

[u1,u2 ,...,un 1 ] .

Tính chất 1.2. Trong mặt phẳng xạ ảnh

2

với mục tiêu đã chọn. Nếu

hai điểm phân biệt A và B có tọa độ A(a1, a2 , a3 ) , B(b1 , b2 , b3 ) thì đường thẳng
AB có tọa độ


20

a2 a3 a3
,
b2 b3 b3

AB

a1 a1
,
b1 b1

Tính chất 1.3. Trong mặt phẳng xạ ảnh

a2

b2
2

.

với mục tiêu đã chọn. Nếu

hai đường thẳng phân biệt u và v có tọa độ u [u1, u2 , u3 ] , v [v1, v2 , v3 ] thì
giao điểm của chúng M0

v có tọa độ

u

u2 u3

M0

v2

v3

,

u3

u1

v3

v1

,

u1

u2

v1

v2

.

Định nghĩa 1.14. ( Ánh xạ xạ ảnh). Cho hai khơng gian xạ ảnh có cùng
số chiều là

n

Một ánh xạ f :
tuyến tính

'n lần lượt liên kết với hai khơng gian vectơ V n 1 và V 'n 1 .

và

'n được gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu có một phép đẳng cấu

n

V 'n 1 sao cho nếu a là vectơ đại diện của điểm A của

:V n 1

thì ( a ) là vectơ đại diện của điểm f ( A) thuộc

'n .

Định nghĩa 1.15. (Phép chiếu xuyên tâm trong
xạ ảnh

2

cho hai đường thẳng

Một ánh xạ f :

1

2

1

và

2

1

lên đường thẳng

2

2

khi f ( I ) I với I

1

1

2

2

2

1

được

, trong đó M ' là giao của đường

. Ta gọi f là phép chiếu xuyên tâm từ đường

với tâm chiếu O .

Định lý 1.14 ([8]). Trong
một ánh xạ xạ ảnh f :

). Trong mặt phẳng

và một điểm O không thuộc chúng.

đặt tương ứng với một điểm f (M ) M '

thẳng

2

được xác định như sau: với mỗi điểm M

thẳng OM với đường thẳng

n

2

cho hai đường thẳng phân biệt

1

,

2

và

. Khi đó f là phép chiếu xun tâm khi và chỉ

.

Định nghĩa 1.16. (Mơ hình xạ ảnh của không gian affine). Trong
không gian xạ ảnh
nh ng điểm của

n

n

, chọn một siêu phẳng

mà không thuộc

n 1

n 1

, gọi An

n

\

n 1

là tập hợp

. Ta có An là một khơng gian affine

n chiều. Đây là mơ hình xạ ảnh của không gian affine n chiều.