Chuyen de can bac hai on thi vao 10 THPT

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (179.79 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chuyên đề 1: phép toán căn
Bổ xung lí thuyết

thay đổi cách viết của hằng đẳng thức- kết hợp với lập công thức truy hồi dạng đơn
giản:

1/ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2  a2 + b2 = (a + b)2-2ab
2/ (a-b)2 = a2-2ab + b2  a2 + b2 = (a-b)2 + 2ab

3/ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

 a3 + b3 = (a + b)3 -3ab(a + b)

Và tơng tự ta cã: a3- b3 = (a-b)3 + 3ab(a-b)

Nhận xét : khi biết tổng, tích hoặc hiệu và tích của hai số thực ta sẽ tính đợc giá trị của
biểu thức an  bn mà khơng cần tính giá trị của a hoặc b; hoặc không cần khai trin

Niutơn

ví dụ áp dụng :

cho a; b là hai số thực thoả mÃn: a + b = 2 và ab =-2 , tÝnh :
a2 + b2 ; a3 + b3; a5 + b5

giải:

chứng minh công thức ở phần 1 vµ 3  a2 + b2 = 8 ; a3 + b3 = 20

a5 + b5 = (a2 + b2)(a3 + b3)-a2b2(a + b) = 8.20 – 4.2 = 152

Bài tập :

cho a; b là hai số thực thoả m·n: a + b = 4 vµ ab = 1 , tÝnh :
a2 + b2 ; a3 + b3; a5 + b5; a7 + b7

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định f x( ) có nghĩa f(x) 0

chú ý : hàm hợp thông thờng kèm theo điều kiện có nghĩa của hàm phân, vì vậy
khi kết hợp phảI dùng trục số, với hàm vô tỉ có căn nhiều lớp thì tìm điều kiƯn tõ
trong ra ngoµi

 Ví dụ: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa:
1/ A =

1
1

x
x
 

 2/ B = 3 x 3/ C = x24x5

Gi¶i:

1/ A cã nghÜa 

1 0

3 0

x
x

 



 

  1 x 3

2/ B cã nghÜa

0 0 0

0 9

3 0 3

x x x

x
x

x x

 

   

 

        



  

  

 

3/ V× x2 + 4x + 5 = (x + 2)2 + 1 > 0 víi mäi x nªn C cãnghÜa víi mọi x

* Đặc biệt trong công thức A B.  A B. ( A 0;B 0) hc

A A

B  B

(A 0; B>0) thì (A 0;B 0) hoặc (A 0; B>0) là giao của hai tập xác định, nên có 
thể có bài tập nh sau:

Cho A = (x1)(x 3) và B = x1. x 3 tìm x để
a/ A có nghĩa; B cú ngha

b/ chỉ A có nghĩa còn B vô nghĩa
c/ A = B

Gi¶i:

a/ A cã nghÜa (x – 1)(x – 3) 0 
th1:

1 0 1

3 0 3

x x

x

x x

  

 

  

 

  

  th2:

1 0 1

3 0 3

x x

x

x x

  

 

  

 

  

 

B cã nghÜa 

1 0 1

3 0 3

x x

x

x x

  

 

  

 

  

 

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

c/ Tõ kÕt quả phần a A = B x3

Hc sinh sẽ sai lầm là coi nh câu hỏi c là thừa vì học sinh nghĩ A = B là sách giáo 
khoa đã khẳng định

Bµi tËp:

1/ Tìm x để các biểu thức sau đây có nghĩa:

A =

1
5

x

x
 

 B = 2008 2 x 1 C =

2008
4

x
2/ Tìm x để các biểu thức sau đây có căn bậc hai:

A = 3x – 5 B = x2 – x + 2 C = 5 x1

3/ Cho A =

3
1

x
x


 vµ B =

3
1

x
x


 tìm x để 
a/ Chỉ A có nghĩa cịn B vơ nghĩa

b/ A = B

D¹ng 2: Chứng minh một số là số vô tỉ

V phng pháp: trong R chỉ có hai tập số Q và I do vậy dùng lí thuyết phản chứng để 
chứng minh, với giả sử đó là số Q đã tối gin

Ví dụ: chứng minh rằng 2; 5là các số vô tỉ và dựng các điểm này trên trục số
Giải:

* Giả sử 2 là số Q 2

m
n

víi m; n  Z+ vµ (m ; n) = 1 m2 = 2n2 m2 là số

chẵn  m = 2m1(m1 Z+)  n2 =

2
1

2m n chẵn n = 2n1(n1 Z+)

(m ; n) 1 tráI với giả thiết giả sử sai 2là số I

Vì ( 2)2 = 12 + 12 2là độ dài cạnh huyền của tam giác vng có độ dài hai cạnh

góc vng là 1 và 1. hình đợc dựng nh sau và điểm B là điểm 2trên trục s

* Giả sử 5 là số Q 5

m
n

víi m; n  Z+ vµ (m ; n) = 1  m2 = 5n2 m2 lµ sè cã

tận cùng là 0 hoặc 5 m = 5m1(m1 Z+)  n2 =

2
1

5m n cã tËn cïng lµ 0 hc 5 n 
= 5n1(n1 Z+)

(m ; n) 1 trái với giả thiết giả sử sai 5là số I

Vì ( 5)2 = 22 + 12 cách dựng tơng tự

Dạng 3:

Tỡm cỏc s hu tỉ trong một phơng trình có cả hệ số vơ tỉ (thơng thờng có ở phần 
ph-ơng trình bậc hai, hiện cho đến nay chỉ có kỳ thi học sinh giỏi của huyện đã đề cập 
đến)

Chú ý rằng : nếu a là số vô tỉ ; b là số hữu tỉ thì tích a.b hoặc tổng (a + b) ln là số 
vơ tỉ do đó trong đẳng thức a.b = c với a; c hữu tỉ cịn b vơ tỉ thì ắt a = c = 0

Ví dụ: cho phơng trình bậc hai : x2 + bx-c + 2 = 0 víi b ; c lµ các số hữu tỉ.

A
1

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Tìm b và c biết phơng trình có một nghiệm là 2 và 2 là số vô tỉ
Giải:

Thay x = 2 vào phơng trình ta có: b 2-c + 4 = 0 b 2 = c 4

Vì c là số hữu tỉ; 4 là số nguyên c 4 là số hữu tỉ b 2 phảI là số h÷u tØ

c – 4 = 0 đồng thời b = 0 (vì 2 là số vơ tỉ) c = 4 v b = 0

Bài tập:

Tìm các số hữu tỉ a và b biết phơng trình x2 + bx + a – 1 = 0 cã mét nhgiƯm lµ

1 + 2 và 2 là một số vô tỉ

Dạng 4: Các tính toán thông thờng

Phng phỏp: dựng cỏc công thức biến đổi thông thờng mà sgk đã nêu là quy tắc khai 
phơng một tích nhân các căn bậc hai; quy tắc khai phơng một thơng chia hai căn bậc 
hai; biến đổi đơn giản căn bậc hai. Do đó khi nhìn vào một biểu thức tính phảI khoanh
vùng các phép tốn, hay nói cách khác là xác định cơng việc phảI làm trong phép tốn
đó để đa các căn trong biểu thức về các căn đồng dạng sau đó đơn giản các căn đồng 
dạng với nhau. Sau đây là một ví dụ:

TÝnh A =

2 10

24 6

3 6 1

Nhìn vào đây ta thấy hạng tử đầu là đa thừa số chính phơng ra ngoài dấu căn bậc hai;
hạng tử thứ hai là khử mẫu của biểu thức lấy căn bậc hai; hạng tử thứ ba là trục căn
thức ở mẫu

A = 2 6 2 6 2 6 2   nhìn vào đây ta thấy chỉ có các hạng tử 6 đồng dạng

A = 6 6 2

* Chú ý: trong phép trục căn ở mẫu nếu một phân thức cả tử và mẫu đều có căn bậc hai
và cùng là tổng hoặc hiệu các căn thì rất nhiều khả năng là có nhân tử chung

( với để ý này thì tránh đợc khó khăn khi thực hiện trục)
Ví dụ: Tính A =

2 15 10 5(2 3 2) 5 35

84 6 7(2 3 2) 7

 

 

Dạng 5: phá căn hai lớp A m B (B không còn chứa thừa số chính phơng)

Phơng ph¸p:

TH1: m chẵn m B là hai lần tích hai số; A là tổng bình phơng hai số đó
TH2: m lẻ thì nhân cả tử và mẫu với 2 và bin i nh TH1

Trong cả hai trờng hợp thì căn nhỏ ở trong luôn là hai lần tích do vậy có thể phảI sử

dụng tính chất kết hợp của phép nhân. Ví dụ: m B 12 6 thì

Vì 12 6 2.(6 6).1 2.6. 6 2.(6 2). 3 2.(6 3). 2 2.(2 3).(3 2) 2.(2 2).(3 3)     

Do vËy A cã thĨ lµ 217; 42; 75; 110; 30; 35

VÝ dô:





2 2

5 2 6  3 2. 3. 2 2  3 2

= 3 2  3 2
( v× 3 2>0)

2/ 4 7 =

2 2

8 2 7 7 2. 7.1 1 7 1

2 2 2

 

   

   

 

  =

7 1 7 1 14 2

2 2 2

  

 

V× 7 > 1  7- 1 > 0 

7 1
2



</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>









2 2

31 12 3  3 3  2.3 3.2 2  3 3 2 3 3 2 3 3 2

v× 3 3 > 2 nªn 3 3-2 > 0

Chú ý : khi sắp xếp hằng đẳng thức (a  b)2 thì cố gắng xếp a > b để a  b > 0 tránh

khi sót điều kiện bỏ dấu trị tuyệt đối mà khơng bị trừ điểm

TH3: nếu biểu thức tính có liên hợp thì có thể bình phơng hai vế, nhng trớc khi bình 
phơng phảI xét dấu của biểu thức, để lấy dấu khi khai phơng trở lại

( Do x2 = a ; a 0 x =  a)

VÝ dô: TÝnh A = 4 7 - 4 7
Ta cã 4 7 < 4 7  A < 0
Ta cã A2 =





2 2

4 7 4 7  4 7 4  7 2 4  7

=8 2 9 2 

 A =- 2 (vì A < 0)

TH4: với căn nhiều lớp thì nguyên tắc là nh TH1 và TH2 với chú ý rằng phảI phá từ

trong ra và từ phảI sang trái

Dạng 6: So sánh

Phng phỏp: gi s A B sau đó bình phơng hai vế khi cả hai vế cùng khơng âm, nếu 
dẫn đến điều đúng thì giả sử đúng cịn nếu dẫn đến điều vơ lí thi kết luận ngợc lại
Ví dụ: So sánh: 13 15 với 2 14(1)

Gi¶ sư: 13 15  2 14  ( 13 15)2  (2 14 )2  13 15 2 13.15 4.14  





 



2 2

2 13.15 2.14 13.15 14  14 1 14 1 14 1 0

vô lí giả sử sai
VËy 13 15 < 2 14

Chú ý bài toán có thể thay đổi

C1: So s¸nh 15 14 víi 14 13 ph¶I gi¶ sư 15 14  14 13
và đa về (1)

C2: So sỏnh 13 15 với 57 thì vẫn làm nh ví dụ và sau đó khẳng định

2 14< 57 để suy ra 13 15< 57

NhËn xÐt r»ng : tổng hai căn lẻ liên tiếp luôn nhỏ hơn 2 lần căn chẵn xen giữa

Bài tập áp dụng :

So sánh: 2009 2011 và 2 2010

Dạng 7: Bài toán có quy luật

Thông thờng là các bài toán tính tổng của nhiều phân thức mẫu là tổng các căn liên
tiếp; hoặc bài toán có nội dung hình học

Chú ý r»ng nÕu n < S < n + 1 ( với n tự nhiên ) thì S không tự nhiên (lý thuyết kẹp)
Các ví dụ:

1/ Tính A =

1 1 1 1

...

1 2  2 3  98 99 99 100

1 2 2 3 98 99 99 100

...

1 2 2 3 98 99 99 100

   

   

   

1 2 2 3 ... 98 99 99 100

       

 =

1 100



</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

2/ TÝnh A =

1 1 1 1

...

2 1 1 2 3 2 2 3    99 98 98 99 100 99 99 100  

Ta cã :





















2 2

( 1) 1

1 1

( 1)

1 1 1 1

n n n n

n n n n

n n

n n n n n n n n

  
  
 


     
=





1 1

( 1) 1

n n

n n n n

 



(1) với n tự nhiên khác 0
¸p dơng (1) ta cã

A =

1 1 1 1 1 1 1 1

...

1 2  2 3  98 99 99  100 =

1 1 1 9

10 10

1 100   

Quy luật là bao giờ cũng bằng nghịch đảo căn thứ nhất trừ nghịch đảo căn cuối cùng
( khơng tính hệ số căn hay hệ số căn là 1 )

3/ cho a; b; c và m; n; t thứ tự là độ dài các cạnh tơng ứng của hai tam giác đồng dạng.
CMR: am bn ct 



a b c m n t

GiảI : theo bài ra ta cã: k =

a b c a b c
m n t m n t
 
  

  ( k > 0)

 a = km ; b = kn ; c = kt 





2 2 2

am bn ct  km  kn  kt  k m n t 











 



2 a b c 2

k m n t m n t a b c m n t

m n t
 

         

 

4/ Cho S =

1 1 1 1

1 ...

2 3 99 100

    

. Chøng minh rằng S không phảI là số tự nhiên
Giải:

Ta có : 2( n n1) =





2 1
1
n n
n n
 
 

 
  =

2 2 2 1

1 2

n n  n n  n  n (1)

Ta cã :









2 1 2 2 2 1

2 1

1 1 2

n n

n n n n n n n n

 

      

     (2)

¸p dơng (1) ta cã:





2 2 1

2   ;





2 3 2

3   ;...;





2 99 98

99   ;





2 100 99

100  



1 1 1 1

1 ...

2 3 99 100

    

<1 + 2



2 1 3 2 ...  99 98 100 99





1 1 1 1

1 ...

2 3 99 100

    

< 1 + 2



100 1



= 19 (3)
¸p dơng (2) ta cã:





2 3 2

2   ;





2 4 3

3   ; ...;





2 100 99

99   ;





2 101 100

100  



1 1 1 1

1 ...

2 3 99 100

    

>1 + 2



3 2 4 3 ...  100 99 101 100



= 1 + 2( 101 2) > 1 + 2( 100 2) =21-2 2> 21- 9 = 18 (4)

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Nhận xét : trong áp dụng (2) đã sử dụng biện pháp làm trội giữa 101với 100; 
giữa2 2 với 9

5/ Chøng minh r»ng :





2
2 2

1 1 1 1 1 1

a b  a b a b a b  
(1)

¸p dơng tÝnh: A =

2
2

999 999

1 999

1000 1000

  

Gi¶i:

 Vì cả hai vế của (1) đều dơng nên bình phơng hai vế của (1) ta đợc điều phảI
chứng minh

 A =

2 2 2

1 1 1 999

999

999 1 1000 1000

 

  

 

  =

1 1 1 999

999

999 1 1000 1000

 

  

 

 

=1000

6/ Trục Đa nô ( hay còn gọi là nhân với biểu thức liên hợp ) dạng tổng quát:
Tìm quan hƯ x vµ y biÕt:







2 2

x x a y y a a

(1) với a khác 0
Giải:

nhân cả hai vế víi



 



2 2

x x a y y a

ta cã:



x2 x2 a y

 

2 y2 a



a

    



x x2a y

 

 y2a







 



2 2

x x a y y a

= a (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã:







2 2

x x a y y a



 



2 2

x x a y y a

2x y a 2y

   2

x a
TH1: x = y = 0

TH2: x và y là hai số trái dấu nhau







2
2

x y a 

(- y x2a)2  x2 y2  x y x y vì x và y i nhau

Bài tập áp dụng :

Cho hai số thực x và y thoả mÃn:

x x2 2008

y y2 2008

2008

Tính A = x2009 + y2009

Giải:

nhân c¶ hai vÕ víi



 



2 2008 2 2008

x x  y y 

ta cã:



x2 x2 2008

 

y2 y2 2008



2008

    



x x2 2008

 

y y22008







 



2 2008 2 2008

x x  y y 

= 2008 (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã:



 



2 2

2008 2008

x x  y y 







2 2

2008 2008

x x  y y 

2x y 2008 2y

   x2 2008



TH1: x = y = 0

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>







2
2 2008

x y  

(- y x22008)2  x2 y2  x y x y vì x và y đối nhau
Nên A = 0 + 0 = 0 ; hoặc A = (- y)2009 + y2009 =-y2009 + y2009 = 0

VËy A = 0

Bµi tËp :

Cho hai số thực x và y thoả mÃn:





2 2009 2 2009 2009

x x  y y  
tÝnh E = x + y

7/ Cho A =

1 1 1 1

...

1 2  99  100 chøng minh r»ng A > 10

Gi¶i:
Ta cã

1 1 1 1

...

1 2   99  100

V×:

1 1

100  nªn

1 1

10
99  ; ...;

1 1

2  ;

1 1

1 

Cộng các bất đẳng thức cùng chiều ta có:

1 1 1 1

...

1 2   99  100 > 100.
1

10 = 10. Vậy A > 10

Quy luật là căn cuối bao già cũng là của một số chính phơng; các phân thức có tử bằng
nhau mẫu tăng dần nên giá trị của phân thức giảm dần.

Bài tập áp dụng:

Chứng minh rằng:

1 1 1 1

...

1 2  63 64 > 8

D¹ng 8: Phép toán với căn bậc cao:

B xung lớ thuyt : nâng chỉ số căn thức củana (cũng hạ đợc chỉ số căn nhng để cho
dễ nhớ chỉ giới thiệu một chiều nâng chỉ số căn)

1/ n a nkak với mọi n và k là các số tự nhiên khác 0 và a không âm
2/ nếu n là tự nhiên lẻ; a < 0 thì có hai trờng hợp

TH1: k lẻ thì ta vẫn có na nkak
TH2: k chẵn thì na nkak

3/ khi tớnh tng cỏc cn bậc 3 trong trờng hợp có biểu thức liên hợp thì có thể đặt ẩn
phụ để đa về phơng trỡnh tớch s lớ

Ví dụ: Tính giá trị của các biểu thức sau đây:

A = 35 2 7 35 2 7 B =





101 19 6 10 . 3 2 2 5

Giải:

a/ Đặt 35 2 7 = a ; 35 2 7 = b A = a – b  A3 = (a – b)3

 A3 = a3 – b3 – 3ab(a – b) = a3 – b3 – 3ab.A

 A3 =



 



5 2 7 5 2 7 3 5 2 7 5 2 7     

 A3 = 14 – 3A  A3 + 3A – 14 = 0  (A – 2)(A2 + 2A + 7) = 0  A – 2 = 0

 A = 2 ( v× A2 + 2A + 7 = (A + 1)2 + 6 > 0 víi mäi A)

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

b/ B =









2
10

10 1 19 6 10 . 3 2 2 5

 

   

  v× 3 2 < 2 5 nªn 3 2-2 5< 0

B =-



 



10 19 6 10 19 6 10 

=-1

Một số các bài tập

1.Tính giá trị các biểu thøc sau:

A = 2 40 12 2 75 3 5 48 ; B =

1
4 20 3 125 5 45 15

  

C =



3 8 2 12  20 : 3 18 2 27

 

  45



D =

















2 2

2 3 1 3 5 4

3 1 5 1

   

 

; E =

2 2 2 5 1

3 12

3  3  6

F =





7 5 2 35

; G =





15 4 12

6 11

6 1 6 2 3 6

 

  

 

  

 

2. TÝnh :
A =

6 14 3 45 243

2 3 28 5 3

 



  ; B =

1 1

7 24 1  7 24 1

C =

1 1 2

2 3 3 3  3 ; D =



 



2 2

8 8

5 3 5 3



 

E =

3 5 3 5

2 2 3 5 2 2 3 5

 



    ; F =









1 1

9 4 5   9 4 5 

3. TÝnh:

A = 3 2 2  6 4 2 ; B = 40 2 57  40 2 57

C = 4 10 2 5  4 10 2 5 ; D = 35 12 6  35 12 6

E = 8 8 20 40 ; F =



4 15

 

10 6



4 15
G = 2 3 5 13 48 ; H = 6 2 5  13 48

K = 2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3

4. TÝnh: A = 326 15 3  326 15 3 ; B =





3 3

26 15 3 2 3

9 80 9 80

 

  

C = x3 + 3x + 2 t¹i x =

1
2 1

2 1

 


D = 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

1 1 ... 1

2 3 3 4 99 100

        

E =

1 1 1 1

...

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

5. Cho 16 2 x x 2  9 2 x x 2 1 tÝnh: S = 16 2 x x 2  9 2 x x 2
6. Cho



 



2 2

1 1

xy x y a

tÝnh S =

2 2

1 1

x y y x theo a
7. T×m tÊt cả các số nguyên dơng x và y thoả mÃn: x y 1980
8. Cho 3 số dơng thoả m·n: xy + yz + zx = 1 tÝnh gi¸ trÞ cđa

A =



 





 





 



2 2 2

1 1 1 1 1 1

1 1 1

y z x z x y

x y z

     

 



9. tìm tất cả các số nguyên dơng thoả m·n:

1 1 1
1

a b c a b c
a b c

     




  




10. Cho c¸c sè thùc tho¶ m·n:



 



2 3 2 3 3

x x  y y  

tÝnh E = x + y
11. Cho các số thực thoả mÃn: x y  y z  z x chøng minh r»ng:

1 1 1
0

x yz 
12. Chøng minh r»ng víi 3 sè thùc không âm thì:

a b c ab bc ca  a b c 
13. Cmr: nÕu x y z 0 th×:

1 1 1

y z x  z x y  x y z  
14. Cho các số thực đôI một khác nhau. CMR:













1 1 1

a b  b c  c a

là một số hữu tỉ

15. Cho các số thực tho¶ m·n: ab + bc + ca = k (k h÷u tØ)
CMR:



 



2 2 2

k a k b k c

lµ mét số hữu tỉ
16. Đặt :

1 1 1

; ;

x y z

b c c a a b

  

   CMR: a + c = 2b  x + z = 2y

17. Cho P =

2 3 3 2 2

: 1

3 3 3

x x x x

x

x x x

     

  

   

       

   

a/ Rút gọn và tìm x để P <-0,5
b/ tìm giá trị nhỏ nhất của P
18.Cho P =





2 2 2 1

1 1

x

x x x x



 



a/ Rút gọn và tìm giá trị nhỏ nhất cđa P

b/ Tìm x ngun dơng thích hợp để giá trị của biểu thức

2 x

P nguyªn

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

a/ CMR: am bn ct 



a b c m n t 

 

 



b/ Với giả thiết rằng tam giác đó vng có a và t là độ dài các cạnh huyền thì ta ln
có: am = bn + ct

21. Cho A = a a ab vµ B = b b abchøng minh r»ng nếu a bvà ab hữu tỉ
thì A + B và AB cũng hữu tỉ

22. Cho P = x 2 x1 x 3 4 x1 hãy xác định đoạn



a b;



để với mọi x



a b;



thì
P là một hằng số. Xác định giá tr ú ca P

23.Cho các số thực dơng thoả mÃn abc = 1 tÝnh tæng
S =

1 1 1

1 a ab 1 b bc 1 c ca

24. Cho A =

3 3 3 1 2

2 2 1

x x x x

   

 

   

a/ Rót gän A

b/ Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên

25. Cho P =









1 1 1 1

2 1

x x x

x

 

    

 

 

 
a/ Rót gän P

b/ Tìm  để Sin = P
26.

a/CMR: nÕu 3a3b3 c3 a b c  thì với mọi số nguyên dơng lẻ n ta luôn cã:

nanbnc na b c 

b/ CMR: nếu a; b; c hữu tỉ và ( a + b + c) hữu tỉ thì a ; b ; c đều là các số
hữu tỉ.

27. Cho B = 1 1
x

x
 
a. Rót gän B

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của B

28. Chng minh rng trong một tam giác vng có độ dài cạnh huyền a; bán kính đờng
trịn nội tiếp là r ta ln có:



2 1 : 2



r

a 

29. Chứng minh rằng trong tam giác vng có R là bán kính đờng trịn ngoại tiếp; r là
bán kính đờng trịn nội tiếp; S là diện tích ta ln có R r 2S

30. Tìm tất cả các số nguyên dơng n tho¶ m·n:





1 1 1 4 4

...

1.2 2.3 . 1 5 5

n

n n n

 

   

</div>