Một số vấn đề về số học trong miền nguyên

Luận văn tốt nghiệp

GVHD: TS. Đậu Thế Cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TP. HỒ CHÍ MINH

KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

  

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

ĐỀ TÀI

MỘT SỐ VẤN ĐỀ
VỀ SỐ HỌC TRONG MIỀN NGUYÊN

GVHD

: TS. ĐẬU THẾ CẤP

SVTH

: NGUYỄN THỊ THANH

KHÓA

: 2000 – 2004

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 05/ 2004

SVTH : Nguyễn Thị Thanh

Trang

1


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: TS. Đậu Thế Cấp

MỤC LỤC
Lời nói đầu

1
CHƯƠNG I
LÝ THUYẾT VÀNH

I. Vành

2

1. Định nghóa và tính chất

2

2. Vành con

4

II. Ideal. Vành thương

6

1. Định nghóa và tính chất của Ideal

6

2. Ideal sinh bởi một tập

6

3. Vành thương

8

III. Miền nguyên

8

1. Định nghóa miền nguyên

8

2. Ideal nguyên tố và Ideal tối đại

9

IV. Trường

10

1. Định nghóa và tính chất

10

2. Trường con

11
CHƯƠNG II

SỐ HỌC TRONG MIỀN NGUYÊN
I. Khái niệm số học trong miền nguyên

12

1. Khái niệm chia hết

12

2. Phần tử nguyên tố và phần tử bất khả quy

14

II. Vành chính

14

1. Định nghóa vành chính

14

2. Vành nhân tử hóa

15

SVTH : Nguyễn Thị Thanh

Trang 2


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: TS. Đậu Thế Cấp

III. Vành Euclide

16

1. Định nghóa vành Euclide

16

2. Thuật toán tìm ước chung lớn nhất.

17

IV. Tính chất chia hết trong vành Euclide

18

Tài liệu tham khảo

21

SVTH : Nguyễn Thị Thanh

Trang

3


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: TS. Đậu Thế Cấp

Lời Nói Đầu

Luận văn “Một số vấn đề về số học trong miền nguyên” của
chúng tôi muốn xem xét một số khái niệm và tính chất số học trong
miền nguyên tương tự như trong vành số nguyên Z.

Kiến thức chuẩn bị là lý thuyết vành, đặc biệt là các tính chất
của Ideal. Trong luận văn, phần lý thuyết vành đã cung cấp đầy đủ các
tính chất cần thiết về sau.

Kết quả chính của luận văn là các định lý 8 − 12 về tính chất số
học trong vành Euclide tương tự như đối với vành số nguyên Z.

Vì vành đa thức R[x] trên trường số thực là vành Euclide, do đó
các định lý 8 − 12 hiển nhiên là đúng trong R[x].
Do gấp gáp về thời gian và độ khó của luận văn đối với chúng
tôi nên chúng tôi chỉ mới khảo sát được các tính chất chia hết có liên hệ
hệ đến các phần tử nguyên tố cùng nhau. Còn nhiều tính chất số học
khác trong Z cũng sẽ được mở rộng một cách tương tự trong vành Euclide.

SVTH : Nguyễn Thị Thanh

Trang

4


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: TS. Đậu Thế Cấp

CHƯƠNG I
LÝ THUYẾT VÀNH

I. VÀNH
1. Định nghóa và tính chất
Vành là một tập X cùng hai phép toán trên X, thường kí hiệu
cộng(+) và nhân (.) thỏa mãn các tính chất
1) (X, +) là một nhóm Abel
2) (X, .) là một nửa nhóm
3) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là mọi x, y, z
∈ X ta có x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx

Một cách tương đương, ta có thể định nghóa (X, +, .) là một vành
nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau
(R1) Mọi x, y, z ∈ X, (x + y) + z = x + (y + z)
(R2) Moïi x, y ∈ X, x + y = y + x
(R3) Tồn tại 0X ∈ X, mọi x ∈ X, x + 0X = x
(R4) Mọi x ∈ X, tồn tại –x ∈ X, x + (-x) = 0X
(R5) Mọi x, y, x ∈ X, (xy)z = x(yz)
(R6) Moïi x, y, z ∈ X, x (y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx
Nếu phép toán nhân của vành là giao hoán thì vành gọi là vành
giao hoán. Nếu phép toán nhân có đơn vị thì vành gọi là vành có đơn vị.

Ví dụ 1
a) (Z, +, .), (Q, +, .), (R, +, .) laø các vành giao hoán, có đơn vị.
b) (Zk, +, .) với mọi k ∈ N* là một vành giao hoán có đơn vị.

SVTH : Nguyễn Thị Thanh

Trang

5


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: TS. Đậu Thế Cấp

c) Cho (X, +) là một nhóm Abel, kí hiệu End(X) là tập các đồng
cấu nhóm từ X và X ( gọi là tự đồng cấu ). Trên End(X) xác định
phép + và . như sau
f + g được xác định bởi

(f + g) (x) = f(x) + g(x) với mọi x ∈
X f . g được xác định bởi
f . g(x) = f(g(x)) với mọi x ∈ X
Dễ dàng kiểm tra (End(X), +, .) là một vành có đơn vị là ánh xạ đồng
nhất IX nhưng không giao hoán nếu X có nhiều hơn môt phần tử. Ta gọi vành

này là vành các tự đồng cấu của nhóm Abel X.
d)

Cho (X, +) là một nhóm Abel. Trên X xác định phép
toán nhân x.y = 0X với mọi x, y ∈ X

Dễ dàng kiểm tra (X, +, .) là một vành giao hoán, không có đơn vị
nếu X có nhiều hơn một phần tử. Ta gọi vành không của nhóm Abel X.
Trong vành bất kì X ta định nghóa phép
trừ x – y = x + (-y) với mọi x, y ∈ X

 Định lí 1. Với mọi x, y, z của vành X ta coù
1) x.0X = 0X.x = 0X
2) (-x)y = x(-y) = -xy
3) (-x)(-y) = xy
4) x(y – x) = xy – xz; (y – z)x = yx – zx

Chứng minh.
1) Ta coù x.0X = x(0X + 0X) = x.0X + x.0X. Do đó x.0X = 0X. Tương

tự cũng có 0X.x = 0X
2) Vì xy + (-x)y = (x +(-x)) y = 0X .y = 0X nên (-x)y = -xy

Tương tự ta cũng có x(-y) = -xy

SVTH : Nguyễn Thị Thanh

Trang

6


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: TS. Đậu Thế Cấp

3) Theo 2) ta coù (-x)(-y) = -x(-y) = - (-xy) = xy
4) Theo 2) ta coù x(y – z) = x(y + (-z)) = xy + x(-z) = xy – xz Tương
tự ta cũng có : (y – z)x = (y + (-z))x = yx + (-z)x = yx – zx Hệ
quả. Với mọi m ∈ Z và mọi phần tử x, y của vành X ta có

m(xy) = (mx)y = x(my)
2. Vành con
Cho X là một vành và tập con A của X ổn định đối với hai phép toán

của vành X, nếu với phép toán cảm sinh, (A, +, .) là một vành thì
vành A gọi là vành con của X.

Ví dụ 2
a) Cho X là một vành. Khi đó {0X} và X là vành con của X.
Các vành con này gọi là các vành con tầm thường của X.
b) Vành Z các số nguyên là vành con của vành Q các số hữu tỉ.

d) Tập 2Z là vành con của vành Z các số nguyên.
 Định lý 2. Tập con A của một vành X là vành con của vành
X khi và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện sau
1) A≠Ø
2) x, y ∈ A ⇒ x + y ∈ A vaø xy ∈ A
3) x ∈ A ⇒ -x ∈ A
Chứng minh.
(A, +) là nhóm Abel

⇔

A ≠ Ø ; x, y ∈ A thì x + y ∈ A, -x ∈ A. (A, .)

là nửa nhóm ⇔ x, y ∈ A thì xy ∈ A. Nếu A ổn định với các phép toán
thì trong A phép nhân phân phối với phép cộng. Như vậy A là vành
con ⇔ A có các tính chất 1), 2), 3).
 Định lý 3. Tập con A của một vành X là vành con của vành
X khi và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện sau
1) A≠Ø
SVTH : Nguyễn Thị Thanh

Trang

7


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: TS. Đậu Thế Cấp

2) x, y ∈ A ⇒ x – y ∈ A, xy ∈ A
Định lý 3 được chứng minh tương tự định lý 2.
Cho S là một tập con của vành X. Ta gọi vành con của X sinh
bởi tập S là vành con nhỏ nhất chứa S, kí hiệu là [S]. Như vậy, vành
con [S] sinh bởi tập S có hai tính chất đặc trưng
1) [S] là vành con
2) Nếu A là vành con và A ⊃ S thì A ⊃ [S]
 Định lý 4. Với mọi tập con S của vành X đều tồn tại và duy
nhất vành con [S] sinh bởi tập S.
Chứng minh.
Gọi B là họ tất cả các vành con của vành X chứa S. Vì X ∈ B
nên B ≠ Ø. Ta sẽ chứng minh
[S] =Error! Bookmark not defined. Error! Bookmark not
defined.Error! Bookmark not defined. I

B
B∈B

tức là chứng minh A =

I B là vành con của X. Thật vậy, 0X ∈ B với mọi B

B∈B

nên 0X ∈ A. Nếu xy ∈ A thì x, y ∈ B với mọi B. Vì B là vành con nên x
– y ∈ B và xy ∈ B với mọi B. Điều đó có nghóa là x – y ∈ A và xy ∈
A. Theo định lý 3, A là vành con.

Ví dụ 3.
Với mọi k ∈ N, kN là vành con của Z sinh bởi tập một phần tử {k}.

Thật vậy, kZ ⊂ Z và kZ ≠ Ø, mọi x, y ∈ kZ thì tồn tại n1, n2 ∈ Z,

x = kn1, y = kn2. Từ đó x − y = k(n1 − n2) ∈ kZ, xy = k(n1.n2.k) ∈ kZ. Vậy
kZ là vành con của Z. Hơn nữa, nếu A là vành con của Z, chứa k thì A
chứa ±k và do đó A chứa kn với mọi n ∈ Z tức là A chứa kZ.

SVTH : Nguyễn Thị Thanh

Trang

8


Luận văn tốt nghiệp

II.

GVHD: TS. Đậu Thế Cấp

IDEAL. VÀNH THƯƠNG
1. Định nghóa và tính chất của Ideal
Cho X là một vành. Vành con A của X gọi là ideal trái (phải)

nếu mọi x ∈ X, a ∈ A đều có xa ∈ A (ax ∈ A). Vành con A gọi là ideal
nếu nó vừa là ideal phải, vừa là ideal trái.
Nếu vành giao hoán thì mọi ideal trái hay phải của X đều là ideal.

Ví dụ 4
a) Với mọi vành X thì {0X} và X là hai ideal của X, gọi là các
ideal tầm thường.

b) Với mọi k ∈ N, kZ là ideal của Z.
c) Z là vành con của Q nhưng Z không là ideal của Q.
Từ định lý 2 và 3 ta có hai định lý sau
 Định lý 5. Tập con A của vành X là ideal trái (phải) của X khi
và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện sau
1) A ≠ Ø
2) a, b ∈ A ⇒ a + b ∈ A
3) a ∈ A ⇒ -a ∈ A
4) x ∈ X, a ∈ A ⇒ xa ∈ A (ax ∈ A)
 Định lý 6. Tập con A của vành X là ideal trái (phải) của X khi
và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện sau
1) A ≠ Ø
2) a, b ∈ A ⇒ a – b ∈ A
3) x ∈ A, a ∈ A ⇒ xa ∈ A (ax ∈ A)
2. Ideal sinh bởi một tập
Cho S là một tập con của vành X. Tương tự như chứng minh định lý 4 dễ
dàng thấy rằng giao của tất cả các ideal trái (phải, hai phía) của X chứa S cũng

SVTH : Nguyễn Thị Thanh

Trang

9


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: TS. Đậu Thế Cấp

là một ideal trái (phải, hai phía). Ideal này là ideal trái (phải, hai phía)

nhỏ nhất chứa tập S, nên gọi là ideal trái (phải, hai phía) sinh bởi tập S.

Ideal (hai phía) sinh bởi tập S kí hiệu là <S>.
Chú ý rằng nói chung <S> ≠ [S], <S> ⊃ [S].
Ideal sinh bởi tập một phần tử {a} gọi là ideal sinh bởi phần tử a, kí hiệu
<a>. Nếu tồn tại phần tử a sao cho ideal A = <a> thì ideal A gọi là ideal chính.

Dễ dàng thấy rằng nếu vành X có đơn vị và a là phần tử khả
nghịch của X thì <a> = X.
 Định lý 7. Nếu X là một vành có đơn vị thì ideal trái sinh bởi phần tử

a ∈ X là
Xa = {xa | x ∈ X}
và ideal phải sinh bởi a là
aX = {ax | x ∈ X}

Chứng minh.
Ta chỉ chứng minh Xa là ideal trái sinh bởi a. Việc chứng minh aX là
ideal phải hoàn toàn tương tự. Trước hết, ta chứng tỏ Xa là ideal trái chứa a.
Thật vậy a = 1Xa ∈ Xa. Với mọi b, c ∈ Xa, tồn tại b’, c’ ∈ X sao cho b = b’a,

c = c’a, từ đó
b – c = (b’ – c’) a ∈ Xa
Với mọi x ∈ X và b = b’a ∈ Xa ta có
xb = x(b’.a) = (xb’)a ∈ Xa
Vậy Xa là ideal trái của X, chứa a.
Bây giờ ta sẽ chỉ ra mọi ideal trái At chứa a đều chứa Xa. Thật vậy,
vì a ∈ At và At là ideal trái nên mọi x ∈ X ta có xa ∈ At. Vậy Xa ⊂ At.

SVTH : Nguyễn Thị Thanh

Trang 10


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: TS. Đậu Thế Cấp

3. Vành thương
Cho X là một vành và A là một ideal của nó. Vì phép cộng giao hoán nên A
là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm (X, +). Từ đó ta có nhóm thương X/A

với phép toán cộng
(x + A) + (y + A) = (x + y) + A.
Rõ ràng (X/A, +) là một nhóm Abel. Trên X/A ta đặt
(x + A).(y + A) = xy + A
Neáu x + A = x’ + A, y + A = y’ + A thì x’ – x = a ∈ A
y' – y = b ∈ A. Vì A là ideal neân
x'y – xy = (a + x)(b + y) – xy = xb + ay + ab ∈ A
Từ đó x'y' + A = xy + A
Vậy cách đặt trên cho ta một phép toán nhân trên X/A
Dễ dàng kiểm tra (X/A, +, .) là một vành.
Vành này được gọi là vành thương của X theo ideal A.
Nếu vành X có đơn vị thì vành X/A có đơn vị là 1X + A. Nếu vành X

giao hoán thì vành X/A cũng giao hoán.

Ví dụ 5.
Với mọi k ∈ N, kZ là ideal của Z. Vành thương Z/kZ chính là vành Zk .

III. MIỀN NGUYÊN
1. Định nghóa miền nguyên
Phần tử x ≠ 0 của một vành X gọi là ước của không nếu tồn
tại y ∈ X, y ≠ 0 sao cho xy = 0

SVTH : Nguyễn Thị Thanh

Trang 11


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: TS. Đậu Thế Cấp

Một vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử,
không có ước của không gọi là miền nguyên.
 Định lý 8. Trong miền nguyên mọi phần tử khác không đều
thỏa mãn luật giản ước
Chứng minh.
Giả sử a ≠ 0 và ab = ac. Khi đó ab – ac = 0 ⇒ a(b – c) = 0. Vì a ≠ 0
nên b – c = 0 ⇒ b = c.
2. Ideal nguyên tố và ideal tối đại
Cho X là một vành và A là một ideal của X. Khi đó ideal A gọi là
nguyên tố nếu mọi x, y ∈ A, xy ∈ A thì x ∈ A hoặc y ∈ A; ideal A gọi là
tối đại nếu A ≠ X và mọi ideal M của X chứa A thì M = A hoặc M = X

 Định lý 9. Cho X là một vành giao hoán có đơn vị 1 ≠ 0. Khi đó
1) {0} là ideal nguyên tố ⇔ X là miền nguyên
2) {0} là ideal tối đại ⇔ X là một trường
3) Ideal P của X nguyên tố ⇔ X/P là miền nguyên

Chứng minh.
1) {0} nguyên tố ⇔ xy = 0 thì x = 0 hoặc y = 0
⇔X là miền nguyên
2) {0} tối đại ⇔ mọi ideal A của X, A ≠ {0} thì A = X
⇔X chỉ có hai ideal là {0} và X
⇔X là trường
3) P nguyên tố ⇔ xy ∈ P thì x ∈ P hoaëc y ∈ P
⇔ (x + P).(y + P) = 0 + P thì x + P = 0 + P
hoaëc y + P = 0 + P

⇔ X/P là miền nguyên

SVTH : Nguyễn Thị Thanh

Trang 12


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: TS. Đậu Thế Cấp

IV. TRƯỜNG
1. Định nghóa và tính chất
Ta gọi trường là một vành giao hoán, có đơn vị có nhiều hơn
một phần tử và mọi phần tử khác không đều khả nghịch.
Cho X là một trường, kí hiệu 0 là phần tử không, 1 là phần tử đơn vị.
Trước hết ta nhận xét rằng 0 ≠ 1. Thật vậy, trong X tồn tại x ≠ 0, do đó
-1

-1

tồn tại x . Từ đó x.x ≠ 0.x

-1

⇒

1 ≠ 0.

Ta nhận xét rằng : Mọi trường X đều không có ước của không.
-1

-1

Thật vậy, mọi x ∈ X, x ≠ 0, neáu y ∈ X sao cho xy = 0 thì x xy = x 0 ⇒ y =
0. Do đó, x không là ước của không.
Đặt X* = X\{0}. Theo các nhận xét trên, X* ổn định với phép toán nhân
-1

và 1 ∈ X*. Nếu x ∈ X* thì tồn tại x ∈ X*. Do đó (X*, .) là một nhóm Abel.

Như vậy, một cách tương đương, có thể định nghóa: (X, +, .) là
một trường nếu
1) X cùng phép toán cộng là một nhóm Abel
2) X* = X\{0} cùng với phép nhân là một nhóm Abel
3) Phép nhân phân phối đối với phép cộng

Ví dụ 6.
a) Với phép cộng và nhân thông thường (Q, +, .), (R, +, .) là các trường.
b) (Zp, +, .) với p nguyên tố là trường.

Chứng minh.
Zp = {0,1, ..., p −1}, dễ kiểm tra Zp với phép toán + và . là vành giao

hoán có đơn vị. Ta sẽ chứng minh mọi m ∈ Zp, m ≠ 0 đều có nghịch đảo.
Thật vậy do (m, p) = 1 nên tồn tại u, v ∈ Z sao cho mu + pv = 1 ⇒ m . u =1
 Định lý 10. Vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử
X là một trường khi và chỉ khi X có đúng hai ideal tầm thường là {0} và X.

Chứng minh.
SVTH : Nguyễn Thị Thanh

Trang 13


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: TS. Đậu Thế Cấp

Giả sử X là một trường và A là một ideal bất kỳ cuả X, A ≠
-1

{0}. Khi đó tồn tại a ∈ A, a ≠ 0. Suy ra 1 = a .a ∈ A. Với mọi x ∈ X ta có
x = x.1 ∈ A nên A = X. Vậy X chỉ có đúng hai ideal.
Ngược lại, giả sử X là vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn
một phần tử và có đúng hai ideal. Với mọi x ∈ X, x ≠ 0 theo định lý 7,
xX là ideal của X sinh bởi x.

Vì xX ≠ {0} nên xX = X. Từ đó tồn tại y ∈ X để xy = 1. Vì vành
X giao hoán nên x có phần tử nghịch đảo là y.

2. Trường con
Cho X là một trường. Tập con A của X gọi là trường con của X
nếu A ổn định đối với hai phép toán trong X và A cùng với hai phép
toán cảm sinh tạo thành một trường.

Ví dụ 7.
Q là trường con của trường con cuả trường số thực R.
Ta có hai địng lý sau
 Định lý 11. Tập con A của trường X có nhiều hơn một phần
tử là trường con của trường X khi và chỉ khi thỏa mãn các điều kieän
1) x, y ∈ A ⇒ x + y ∈ A, xy ∈ A
2) x ∈ A ⇒ -x ∈ A
-1

3) x ∈ A, x ≠ 0 ⇒ x ∈ A
 Định lý 12. Tập con A của trường X có nhiều hơn một phần
tử là trường con của trường X khi và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện
1) x, y ∈ A ⇒ x – y ∈ A
-1

2) x, y ∈ A, y ≠ 0 ⇒ xy ∈ A

SVTH : Nguyễn Thị Thanh

Trang 14


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: TS. Đậu Thế Cấp

CHƯƠNG II
SỐ HỌC TRONG MIỀN NGUYÊN

I. KHÁI NIỆM SỐ HỌC TRONG MIỀN
NGUYÊN 1. Khái niệm chia hết
Cho X là một miền nguyên a, b ∈ X và b ≠ 0. Nếu tồn tại c ∈ X
sao cho a = bc thì ta viết
b | a hoặc a Μ b
và gọi là a chia hết cho b. Thay cho cách gọi “a chia hết cho b” ta còn
gọi là một trong các cách sau đây : “a là bội của b”, “b chia hết a”
hoặc “b là ước của a”.
Hai phần tử a và b của một miền nguyên gọi là liên kết nếu
đồng thời có a | b và b | a.
 Định lý 1. Hai phần tử a, b của một miền nguyên X liên kết
khi và chỉ khi a ≠ 0, b ≠ 0 và tồn tại u ∈ X, u khả nghịch sao cho a = bu.
Chứng minh.
Nếu a | b và b | a thì a ≠ 0, b ≠ 0 và tồn tại u, v ∈ X sao cho a = bu
và b = av. Từ đó
a = auv ⇒ uv = 1 ⇒ u, v khả nghịch
Ngược lại, nếu a = bu thì b | a. Mặt khác, do u khả nghịch nên b =
-1

a.u , tức là cũng có a | b. Vậy a và b liên kết.
Từ định lý 1 suy ra quan hệ liên kết là một trong quan hệ tương
đương trên tập X* = X\{0}. Cũng do định lý 1 ta còn gọi hai phần tử
liên kết là hai phần tử khác nhau một phần tử khả nghịch.

SVTH : Nguyễn Thị Thanh

Trang 15


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: TS. Đậu Thế Cấp

Nếu b | a, b không khả nghịch, b không liên kết với a thì b gọi là
ước thực sự của a, kí hiệu là b || a.
Liên hệ giữa tính chất chia hết và ideal sinh bời một phần
tử ta có  Định lý 2. Cho X là miền nguyên, a, b ∈ X
và b ≠ 0. Khi đó 1) b | a ⇔ <b> ⊃ <a>
2) b || a ⇔ <b> ⊃ <a>
≠

Chứng minh.
1) b | a⇔ ∃x ∈ X, a = bx ⇔ a ∈ <b> ⇔ <a> ⊂ <b>
2) b || a ⇔ ∃x ∈ X, x không khả nghịch, không liên kết với a, a = bx ⇔
a ∈ <b>, b ∉ <a> ⇔ <a> ⊂ <b>.
≠

Cho mieàn nguyên X và a, b ∈ X. Phần tử d ∈ X gọi là ước chung
lớn nhất của a và b, kí hiệu là ƯCLN (a, b), nếu d | a, d | b và với mọi
c ∈ X, c | a, c | b thì c | d.
Hai phần tử a và b của một miền nguyên X gọi là nguyên tố
cùng nhau nếu ƯCLN(a, b) = u là một phần tử khả nghịch.
Khi a và b nguyên tố cùng nhau thì ta cũng có ƯCLN(a, b) = 1, do
đó : a và b nguyên tố cùng nhau ⇔ ƯCLN(a, b) = 1
 Định lý 3. Nếu d là ƯCLN (a, b) thì tập các ước chung lớn
nhất của a và b trùng với tập các phần tử liên kết với d.

Chứng minh.
Giả sử d' là một ước chung lớn nhất bất kì của a và b. Theo
định nghóa ta có d’| d và d | d’. Vậy d’ liên kết với d.
Bây giờ giả sử d’ liên kết với d, theo định lý 1 tồn tại u khả nghịch để
-1

d = d’u ⇔ d’ = du . Do ñoù, d | a, d | b, c | d thì cũng có d’| a, d’| b, c | d’. Vậy
d’ cũng là ước chung lớn nhất của a và b.

SVTH : Nguyễn Thị Thanh

Trang 16


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: TS. Đậu Thế Cấp

2. Phần tử nguyên tố và phần tử bất khả quy
Phần tử p của một miền nguyên X gọi là nguyên tố nếu p ≠ 0,
p không khả nghịch và với mọi a, b ∈ X, p | ab thì p | a họăc p | b.
Phần tử p gọi là bất khả quy nếu p ≠ 0, p không khả nghịch và
với mọi a, b ∈ X, p = ab thì a khả nghịch hoặc b khả nghịch, nói cách
khác là p không có ước thực sự.
 Định lý 4. Trong mọi miền nguyên X mỗi phần tử nguyên tố
đều là phần tử bất khả quy.
Chứng minh.
Giả sử p là nguyên tố vaø a, b ∈ X sao cho p = ab. Vì p | ab nên p |
a họăc p | b. Xét trường hợp p | a. Khi đó tồn tại u ∈ X, a = pu. Từ đó,
p = p(ub), suy ra ub = 1. Vậy b là khả nghịch.

II. VÀNH CHÍNH
1. Định nghóa vành chính
Một miền nguyên X gọi là một vành chính nếu mọi ideal của X
đều là ideal chính.

Ví dụ 1.
Mọi ideal của vành số nguyên Z đều có dạng mZ = <m>, do đó
đều là ideal chính. Vậy Z là vành chính.
 Định lý 5. Trong vành chính X không tồn tại dãy vô hạn các phần tử

a1, a2, …, an, …, trong đó ai+1 là ước thực sự của ai với mọi i = 1, 2, …, n, …

Chứng minh.
Nếu có một dãy như thế thì theo định lý 2 ta có dãy các ideal loàng nhau

< a1> ⊂ < a2> ⊂ < a3> ⊂ …
≠

≠≠

SVTH : Nguyễn Thị Thanh

Trang 17


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: TS. Đậu Thế Cấp

Dễ dàng kiểm tra A = ∪ < ai> là một ideal của X, do dó tồn tại a ∈ X
i

sao cho <a> = A. Vì a ∈ A nên a ∈ < ai0> với i0 nào đó.
Với n > i0 theo định lí 2 ta có
< ai0> ⊂ < an> ⊂ < an+1> ⊂ A ⊂ < ai0>
Vaäy < an > = < an+1> mà điều này mâu thuẫn với an+1 là ước
thực sự của an.
2. Vành nhân tử hóa
Cho X là một miền nguyên. Phần tử a ∈ X gọi là phân tích được một
cách duy nhất thành tích các phần tử bất khả quy nếu tồn tại các phần tử
bất khaû quy p1, p2, ..., pn sao cho a = p1.p2 …pn và sự phân tích đó là duy nhất,
nếu không kể đến thứ tự và các nhân tử khả nghịch. Nói cách khác,
nếu cũng có a = q1.q2…qm với các qi bất khả quy thì m = n và với một
cách đánh số thích hợp ta có pi liên kết với qi với mọi i = 1, 2, .., n.

Miền nguyên được gọi là vành nhân tử hóa hay vành Gauss
nếu mọi phần tử khác không, không khả nghịch của nó đều phân
tích được một cách duy nhất thành tích của các phần tử bất khả quy.
 Định lý 6. Mọi vành chính đều là vành nhân tử hóa.
Chứng minh.
Giả sử a là một phần tử khác không, không khả nghịch của vành chính
X. Trước hết ta chứng minh a có một ước bất khả quy. Thật vậy, nếu trái lại a

không có ước bất khả quy nào thì a không bất khả quy và có một ước thực
sự a1 cũng không bất khả quy, a1 lại có một ước thực sự không bất khả quy a2,
… Ta được dãy a1, a2, … vô hạn các phần tử mà phần tử đứng sau là ước
thực sự của phần tử đứng liền trước, theo định lý 5 là một điều mâu thuẫn.

SVTH : Nguyễn Thị Thanh

Trang 18


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: TS. Đậu Thế Cấp

Giả sử p1 là một ước bất khả quy của a. Khi đó a = p 1a1. Nếu
a1 không bất khả quy thì tồn tại ước bất khả quy p 2, a1 = p2a2, a =
p1p2.a2, … Theo định lý 5, sau n bước ta sẽ có a n bất khả quy, đặt pn =
an ta được a = p1p2 …pn là tích của các phần tử bất khả quy.
Bây giờ giả sử a có hai cách phân tích thành tích của các
phần tử bất khả quy
a = p1p2 … pn = q1q2 … qm
Ta có thể giả thiết n ≤ m. Vì trong vành chính mọi phần tử bất
khả quy đều nguyên tố và p i | q1q2 … qm nên tồn tại qj sao cho pi | qj.
Nếu cần thì đánh số lại, ta có thể giả thiết p i | qi. Vì pi và qi bất khả
quy nên tồn tại phần tử ui khả nghịch sao cho qi = pi.ui. Từ đó
q1.q2 … qn = p1.p2 … pn .u = a.u
Với u = u1.u2 … un là một phần tử khả nghịch. Nếu
m > n thì a = q1.q2 … qn .qn+1… qm = auqn+1… qm
Suy ra qn+1… qm = u

-1

là một phần tử khả nghịch, ta gặp mâu thuẫn.

Vậy m = n và qi = pi.ui với mọi i = 1, 2, …, n.
III. VÀNH EUCLIDE

1. Định nghóa vành Euclide
Cho X là một miền nguyên. Kí hiệu X* = X/{0}
Miền nguyên X gọi là vành Euclide nếu có một ánh xạ
δ :X*→N
thỏa mãn các điều kiện
1) Nếu b | a và a ≠ 0 thì δ(b) ≤ δ(a)
2) Với mọi a, b ∈ X, b ≠ 0, tồn tại q, r ∈ X sao cho a = bq + r trong
đó r = 0 hoặc δ(r) < δ(b)

SVTH : Nguyễn Thị Thanh

Trang 19


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: TS. Đậu Thế Cấp

Ví dụ 2.
Theo định lý phép chia có dư trong Z, với ánh xạ
δ :Z*→N,
n α |n|
vành số nguyên Z là một vành Euclide.
 Định lý 7. Mọi vành Euclide đều là vành chính.
Chứng minh.
Giả sử X cùng ánh xạ δ : X* → N là vành Euclide, A là ideal tùy ý của

X. Nếu A = {0} thì A là ideal chính sinh bởi 0. Xét trường hợp A ≠ {0}.
Tập {δ(a) | a ∈ A, a ≠ 0} ⊂ N coù số nhỏ nhất, do đó có a ∈ A sao cho
δ(a) là số nhỏ nhất nói trên.

Ta sẽ chứng minh A = <a>. Thật vậy, với mọi x ∈ A vì X là vành
Euclide nên x = aq + r, trong đó r = 0 hoặc δ(r) < δ(a). Nếu r ≠ 0 thì r = x –
aq ∈ A, δ(r) < δ(a) mâu thuẫn với cách chọn phần tử a. Vậy r = 0 và x
= aq ∈ <a>. Từ đó A = <a> là ideal chính.
Nhận xét 1. Theo định lý 6 và 7 ta có : mọi vành Euclide đều
là vành nhân tử hóa.
2. Thuật toán tìm ước chung lớn nhất
Tương tự như đối với số nguyên, có thể sử dụng thuật toán
Euclide để tìm ước chung lớn nhất của hai phần tử trong vành Euclide.
Nhận xét 2. Dễ dàng thấy rằng
1) Nếu a | b thì ÖCLN (a, b) = a
2) Neáu a = bq + r, b ≠ 0 thì ƯCLN(a, b) cũng là ƯCLN(b, r).
Giả sử a, b ∈ X, b ≠ 0. Khi đó tồn tại q0, r0 ∈ X sao cho

a = bq0 + r0, r0 = 0 họăc δ(r0) <
δ(b) Nếu r0 ≠ 0 thì ta có
b = r0q1 + r1, r1 = 0 hoặc δ(r1) < δ(r0)

SVTH : Nguyễn Thị Thanh

Trang 20


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: TS. Đậu Thế Cấp

Nếu r1 ≠ 0 thì ta có
r0 = r1q2 + r2, r2 = 0 hoặc δ(r2) < δ(r1)
……………

Vì δ(b) > δ(r0) > δ(r1) > … nên sau một số hữu hạn bước ta phải
có rn+1 = 0 tức là
r n-1 = rn qn+1

1)

ƯCLN (rn , rn-1) = rn-1. Từ đó theo nhận xét 2, 2)

2)

Ta có ƯLCN (a, b) = rn-1

IV. TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRONG VÀNH EUCLIDE.
 Định lý 8. Cho a và b là các phần tử của một vành Euclide
X và ƯCLN (a, b) = d. Khi đó tồn tại u, v ∈ X sao cho
au + bv = d
Chứng minh.
Nếu một trong hai phần tử chia hết cho nhau, chẳng hạn a Μ b thì
d = εb, ε là phần tử khả nghịch.
Khi đó :
d = au + bv với u = 0, v = ε
Nếu không có phần tử nào trong hai phần tử chia hết cho phần
tử kia thì trong thuật toán Euclide (xem 2, III) tồn tại các r i ≠ 0. Ta sẽ
chứng minh rằng với mọi i = 0, 1, …, n-1 :
ri = au + bv

(*)

Thaät vaäy, r0 = a – bq = a.1 + b.(–q)
r1 = b – r0q1 = b – (a – bq)q1

= a.(q1) + b.(q.q1 + 1)

SVTH : Nguyeãn Thò Thanh

Trang 21


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: TS. Đậu Thế Cấp

nên (*) đúng với i = 0, i = 1. Bây giờ giả sử (*) đúng với i – 1 và
i (i ≥ 1), tức là :
r i-1 = aui -1 + bvi -1

ri = aui + bvi
Khi đó, ta có :
r i+1 = ri -1 – ri.qi -1

= aui -1 + bvi -1 – (aui + bvi)qi+1
= a(ui-1 – ui qi+1) + b(vi-1 – vi qi+1)
tức là (*) đúng với i + 1. Theo phương pháp quy nạp, (*) được chứng minh. Từ
đó ∃ u*, v* ∈ X để au* + bv* = rn-1. Vì d = εrn-1, ε là phần tử khả

nghịch nên d = εrn-1 = au + bv.
 Định lý 9. Cho a và b là các phần tử của một vành Euclide.
Khi đó a và b nguyên tố cuøng nhau ⇔ ∃u, v ∈ X sao cho
au + bv = 1
Chứng minh.
Nếu a và b nguyên tố cùng nhau tức (a, b) = 1 thì theo định lý 8 có u, v

để
au + bv = 1
Ngược lại, giả sử có u, v để đẳng thức trên xảy ra . Khi đó
nếu d là ước chung tùy ý của a và b thì d là ước của au + bv nên d
là ước của 1, tức d là phần tử khả nghịch. Vậy
(a, b) = 1
 Định lý 10. Cho a, b, c là các phần tử của một vành Euclide X.
Nếu phần tử c là ước của tích a.b và ƯCLN (a, c) = 1 thì c là ước của b.

Chứng minh.

SVTH : Nguyễn Thị Thanh

Trang 22


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: TS. Đậu Thế Cấp

Giả sử c | ab, (c, a) = 1 ta cần chứng minh c | b
Vì (c, a) = 1 nên theo định lý 9 tồn tại u, v ∈ X sao
cho cu + av = 1 ⇒ bcu + abv = b
Hieån nhiên c | bc, theo giả thiết c | ab, nên
c | bcu + abv ⇒ c | b
 Định lý 11. Cho a, b, c là các phần tử của một vành Euclide X. Khi

đó
(ab, c) = 1 ⇔ (a, c) = 1 và (b, c) = 1

Chứng minh.
Giả sử (a, bc) = 1. Khi đó tồn tại u, v : au + (bc)v = 1
⇒au + b(cv) = 1 vaø au + c(bv) = 1
⇒ (a, b) = 1 và (a, c) = 1
Ngược lại, (a, b) = 1 và (a, c) = 1 thì tồn tại u1, v1, u2, v2 sao
cho au1 + bv1 = 1 , au2 + cv2 = 1
⇒ (au1 + bv1) (au2 + cv2) = 1
⇒ a(au1u2 + bu2v1 + cu1u2) + (bc)(v1.v2) = 1
⇒ (a, bc) = 1
 Định lý 12. Cho a, b, c là các phần tử của một vành Euclide X. Khi đó
nếu a và b là ước của c, a và b nguyên tố cùng nhau thì ab là ước của c.

Chứng minh.
Do a | c nên tồn tại q∈ X, aq = c. Từ đó, b | c suy ra b | aq. Vì (a, b)
= 1 nên theo định lý 10, b | q tức là tồn tại q’∈ X để q = bq’. Suy ra abq’
= c hay ab | c.

SVTH : Nguyễn Thị Thanh

Trang 23


Luận văn tốt nghiệp

GVHD: TS. Đậu Thế Cấp

Tài liệu tham khảo
1.

Đậu Thế Cấp, Cấu trúc đại số, NXB Giáo dục, 2003

2.

Đậu Thế Cấp, Số học, NXN Giáo dục, 2003

3.

Mỵ Vinh Quang, Đại số Đại cương, NXB Giáo dục, 2001

SVTH : Nguyễn Thị Thanh

Trang 24