Một số định hướng giải phương trình vô tỉ bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán cấp THCS

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU ……………………………………………………………
1.1. Lí do chọn đề tài …………………………………………………..
1.2. Mục đích nghiên cứu ……………………………………………...
1.3. Đối tượng nghiên cứu ……………………………………………..
1.4. Phương pháp nghiên cứu ………………………………………….
1.5. Những điểm mới của SKKN ………………………………………
2. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI ……………………………………........
2.1. Cơ sở lí luận ……………………………………………………….
2.2. Thực trạng của vấn đề ……………………………………………..
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề …..………………..
2.3.1. Một số định hướng sử dụng các phương pháp cơ bản …………..
2.3.1.1. Định hướng giải lớp bài toán sử dụng phương pháp nâng lên
luỹ thừa …………………………………………………………………………
2.3.1.2. Định hướng sử dụng phương pháp đưa về phương trình chứa
ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối …...………………………………………
2.3.1.3. Định hướng sử dụng phương pháp đưa về phương trình
tích ....
2.3.1.4. Định hướng sử dụng phương pháp vận dụng hằng đẳng thức..
2.3.1.5. Định hướng giải lớp bài toán sử dụng phương pháp đánh giá..
2.3.1.6. Định hướng sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ……....................
2.3.2. Một số định hướng giải phương trình vơ tỉ bằng máy tính Casio
FX570plus, FX580VN…………………………………………………..
2.3.2.1. Định hướng phương pháp liên hợp 1 nghiệm hữu tỉ đơn ……...
2.3.2.2. Định hướng phương pháp liên hợp 2 nghiệm hữu tỉ ………….
2.3.2.3. Định hướng phương pháp liên hợp nghiệm xấu (nghiệm vô tỉ)..
2.3.3. Một số định hướng giải một số lớp phương trình vơ tỉ…………..
2.3.3.1. Định hướng giải lớp phương trình có dạng:
…………….
2.3.3.2. Định hướng giải lớp phương trình có dạng:
…………..

2.3.3.3. Định hướng giải một số phương trình vơ tỉ chứa căn bậc ba….
2.4. Hiệu quả của đề tài ……………………………………………….…
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ………………………………………….
3.1. Kết luận …………………………………………………………….
3.2. Kiến nghị ………………………………………………...………….
TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………………………..

Tran
g
1
1
1
1
2
2
3
3
3
4
4
4
5
6
6
6
9
12
12
13
14

14
14
15
18
19
20
20
20


2

1. MỞ ĐẦU.
1.1. Lí do chọn đề tài.
Phương trình vơ tỷ là một đề tài lý thú của đại số, đã lôi cuốn nhiều người
nghiên cứu say mê và tư duy sáng tạo để tìm ra lời giải hay, ý tưởng phong phú
và tối ưu. Tuy đã được nghiên cứu từ rất lâu nhưng phương trình vơ tỷ mãi mãi
vẫn cịn là đối tượng mà những người đam mê tốn học ln tìm tịi học hỏi và
phát triển tư duy.
Mỗi loại bài tốn phương trình vơ tỷ có những cách giải riêng phù hợp.
Điều này có tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng
tạo. Bên cạnh đó, các bài tốn giải phương trình vơ tỷ thường có mặt trong các
kỳ thi học sinh giỏi tốn ở các cấp THCS. Khi gặp các phương trình có chứa
dấu căn phức tạp, học sinh thường lúng túng, khơng tìm ra cách giải và hay
mắc sai lầm khi giải. Nhiều phương trình vơ tỉ khơng thể giải được ngay bằng
các phương pháp quen thuộc thông thường là nâng lên luỹ thừa hai vế để làm
mất dấu căn. Có một số phương trình sau khi làm mất dấu căn sẽ dẫn đến
những phương trình bậc cao mà việc nhẩm nghiệm để đưa về phương trình bậc
nhất và bậc hai để giải là rất khó khăn. Để khắc phục những tồn tại trên, khi
dạy cho học sinh giải phương trình vô tỉ, giáo viên cần trang bị cho các em các

kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa và các kiến thức mở rộng thì mới hình
thành được cho các em các phương pháp cũng như định hướng cho các em các
kĩ thuật giải cụ thể cho từng loại phương trình. Với mỗi dạng phương trình,
giáo viên cần để cho học sinh phát hiện ra cách giải và tìm ra cách giải phù hợp
nhất. Qua mỗi dạng phương trình, từ cách giải tổng quát, hướng dẫn học sinh
đặt ra các đề tốn tương tự, từ đó khắc sâu cách giải cho học sinh. Nếu biết
phân dạng, chọn các ví dụ tiêu biểu, hình thành lối tư duy cho học sinh thì sẽ
tạo nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu và nâng cao kỹ
năng thực hành giải tốn cho các em. Chính vì thế nên tơi chọn đề tài:
“Một số định hướng giải phương trình vơ tỉ bồi dưỡng học sinh giỏi mơn
tốn cấp THCS” để nghiên cứu.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Nghiên cứu về “Một số định hướng giải phương trình vơ tỉ trong chương
trình tốn THCS” giúp giáo viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu, đồng thời
vận dụng tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết.
Nghiên cứu vấn đề này để nắm được những thuận lợi, khó khăn khi dạy học
phần phương trình vơ tỉ trong bồi dưỡng học sinh giỏi, từ đó định hướng nâng
cao chất lượng dạy và học mơn tốn.
Nghiên cứu vấn đề này cịn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo và dạy
thành cơng về phương trình vơ tỉ. Thấy được vai trị của việc tư duy giải phương
trình vơ tỉ từ đó có ý thức rèn luyện và phát triển kỹ năng tư duy lôgic của bản
thân, tăng sự hứng thú và niềm đam mê toán học.


3

1.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Nghiên cứu về mặt lý luận các khái niệm, phương pháp và định hướng
một số kĩ thuật giải phương trình vơ tỉ.
- Tìm hiểu mối quan hệ giữa kỹ năng giải phương trình vơ tỉ và kết quả học tập

mơn Tốn, kết quả thi học sinh giỏi đội tuyển tốn. Từ đó rút kinh nghiệm, lựa
chọn và sử dụng các phương pháp cũng như kĩ thuật giải phương trình vơ tỉ sao
cho hiệu quả nhất.
- Nghiên cứu trên đối tượng giáo viên giảng dạy và học sinh THCS. Học
sinh lớp 9A0, đội tuyển HSG cấp Huyện, cấp tỉnh của huyện Như Xuân.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Để hồn thành đề tài tơi đã sử dụng kết hợp nhiều phương pháp cụ thể là:
* Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu về mặt lý luận khái
niệm, các phương pháp, kĩ thuật giải phương trình vơ tỉ.
* Phương pháp thực nghiệm.
- Nghiên cứu qua việc giảng dạy thực tế ở trường THCS TT Yên Cát.
- Qua việc đánh giá kết quả học tập của học sinh, đội tuyển học sinh giỏi.
* Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Một số giải pháp phù hợp, hiệu quả
trong việc phát triển kỹ năng giải tốn thơng qua giải phương trình vơ tỉ.
1.5. Những điểm mới của SKKN.
Trong q trình áp dụng đề tài “Một số định hướng giải phương trình vơ tỉ
bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn cấp THCS” vào thực tiễn công tác giảng dạy
và ôn thi học sinh giỏi cấp huyện, tỉnh trong hai năm gần đây đã đạt được kết
quả tương đối khả quan, học sinh đã hiểu bản chất của vấn đề, nhận dạng được
các phương trình và có định hướng sử dụng phương pháp phù hợp vào giải
quyết vấn đề.
Tuy nhiên, trong thực tế ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh, các em
học sinh khi gặp các bài toán lạ và khó thì thường hay lúng túng khơng nhận
diện được dạng tốn hoặc khó biến đổi để có thể áp dụng các phương pháp giải
từ đó khơng tìm được hướng đi đúng đắn dẫn đến nản và bỏ qua.
Ngày nay, trong cuộc sống máy tính Casio đã được ứng dụng rộng rãi, đặc
biệt ứng dụng trong giải toán đối với nhà trường phổ thơng, nó đem lại hiệu quả
thiết thực giúp người học tìm ra đáp số nhanh chóng, chính xác của những bài
tốn khá phức tạp, trong đó có dạng tốn về phương trình vơ tỉ.
Là người trực tiếp đứng đội tuyển bản thân tôi đã trăn trở rất nhiều làm sao

để các em có thể tiếp cận một cách chính xác và hiệu quả khi đứng trước các bài
tốn vơ tỉ đặc biệt là các bài tốn hay, lạ và khó.
Từ những cơ sở trên, bên cạnh định hướng các phương pháp tối ưu, bản
thân tôi cũng luôn trăn trở, tìm tịi, học hỏi các phương pháp mới để tạo sự tự tin
trong q trình giải tốn của các em học sinh. Trong đề tài này tôi đã điều chỉnh,
cải tiến các phương pháp truyền thống phù hợp và dễ tiếp cận hơn đồng thời bổ
sung một số phương pháp tiếp cận mới đặc biệt là phương pháp giải tốn
phương trình vơ tỉ bằng máy tính. Đây là phương pháp khá hiệu quả khi mà các


4

em có thể nhẩm tìm được nghiệm của phương trình để từ đó có định hướng giải
phù hợp đặc biệt với các bài tốn khó thì đây là một phương án khá tối ưu từ đó
giúp các em đam mê hơn với nội dung này, đồng thời phát huy tư duy và sự sáng
tạo của các em.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Như chúng ta biết phương trình là một mảng kiến thức quan trọng trong
chương trình tốn phổ thơng. Giải phương trình là bài tốn có nhiều dạng và giải
rất linh hoạt, với nhiều học sinh kể cả học sinh khá giỏi nhiều khi còn lúng túng
trước việc giải một phương trình, đặc biệt là phương trình vơ tỉ. Phương trình vơ
tỉ là một đề tài thú vị của đại số, đã lôi cuốn nhiều người nghiên cứu say mê, tư
duy sáng tạo để tìm ra lời giải hay, ý tưởng phong phú và tối ưu. Tuy đã được
nghiên cứu từ rất lâu nhưng phương trình vơ tỉ vẫn ln là đối tượng mà những
người đam mê Tốn học ln tìm tịi, học hỏi và phát triển tư duy.
Mỗi loại bài tốn về phương trình vơ tỉ có những cách giải riêng phù hợp.
Điều này có tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo.
Bên cạnh đó, các bài tốn giải phương trình vơ tỉ thường có mặt trong các kỳ thi
học sinh giỏi Toán ở các cấp THCS, thi tuyển sinh vào lớp 10. Vì vậy, việc trang

bị cho học sinh những kiến thức liên quan đến phương trình vơ tỉ là rất quan
trọng. Trong đề tài, tôi đưa ra một số phương pháp giải, cũng như định hướng
giải một số lớp phương trình vơ tỉ hay và khó,chọn lọc một số bài tập hay, phù
hợp cho từng phương pháp giải, cách biến đổi. Vận dụng giải các bài tốn có
liên quan đến phương trình vơ tỉ. Tơi hy vọng đề tài này sẽ giúp ích cho học sinh
ở trường THCS TT Yên Cát nói riêng các trường THCS nói chung trong việc
học và giải phương trình trong đó có giải phương trình vơ tỉ. Qua đó các em có
phương pháp giải đúng, tránh được tình trạng định hướng giải bài tốn sai hoặc
cịn lúng túng trong việc trình bày lời giải, giúp học sinh làm việc tích cực hơn
đạt kết quả cao trong các kì thi.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Qua nhiều năm giảng dạy cũng như ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi cấp
Huyện, Tỉnh mơn tốn thì đề thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh cũng như đề
thi tuyển sinh vào lớp 10 chun thì phương trình vơ tỉ ln có và khá khó. Tuy
nhiên, thời lượng dành cho phần này này rất ít, học sinh khơng được tiếp cận
nhiều dạng tốn khác nhau. Trong thực tế phương trình vơ tỉ rất đa dạng và
phong phú lên khi gặp phải những bài tốn về phương trình vơ tỉ, đa số học sinh
lúng túng, giải sai và thậm chí khơng biết cách giải. Vì vậy, tích hợp kỹ năng
giải phương trình vơ tỉ là rất cần thiết nhằm đáp ứng nhu cầu thực tế hiện nay.
Trên thực tế, với kinh nghiệm bản thân trong nhiều năm giảng dạy tốn 9,
ơn thi học sinh giỏi, ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên tôi thấy học sinh thường
không giải được hoặc mắc một số sai lầm khi giải phương trình vơ tỉ như:
- Khi bình phương hai vế của phương trình để làm mất căn bậc hai thường các
em khơng tìm điều kiện để cả hai vế đều dương.


5

– Ở dạng phức tạp hơn thì kĩ năng giải cịn rất hạn chế, các em thường khơng có
cơ sở kiến thức cũng như định hướng phương pháp giải.

- Không đồng đều về nhận thức trong một lớp nên việc phát triển kiến thức về
phương trình vơ tỉ trong các tiết dạy là rất khó.
Cụ thể kết quả khảo sát học sinh lớp 9 năm học 2018 – 2029 được mô tả
trong bảng thống kê sau:
Tỉ lệ HS nắm vững Tỉ lệ HS hiểu và tư
Tỉ lệ HS giải được các
Lớp
kiến thức và tư duy
duy sai bản chất
phương trình trong đề
đúng trong giải toán
trong giải toán
HSG cấp Huyện, tỉnh
9A0
25%
75%
7%
9B0
10%
90%
5%
Nhận thức được tầm quan trọng của phương trình vơ tỉ trong bồi dưỡng
học sinh giỏi cũng như thi vào lớp 10 chuyên, cùng với những tồn tại hạn chế
nêu trên, bản thân tôi mạnh dạn nêu ra đề tài: “ Một số định hướng giải phương
trình vơ tỉ bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn cấp THCS” giúp học sinh nâng
cao kết quả học tập và phát triển tư duy lôgic.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
* Khái niệm: Phương trình vơ tỉ là phương trình đại số chứa ẩn trong dấu căn
thức.
2.3.1. Một số định hướng sử dụng các phương pháp cơ bản.

2.3.1.1. Định hướng giải lớp bài toán sử dụng phương pháp nâng lên luỹ
thừa
a) Định hướng phương pháp giải: Thông thường khi phương trình vơ tỉ mà hai
vế có cùng bậc. Để làm mất căn bậc n thì ta nâng cả hai vế của phương trình lên
luỹ thừa bậc n. Nếu n chẵn thì ta chỉ thực hiện được khi cả hai vế khơng âm. Ví
dụ như các phương trình dạng (với n = 2;3;…)
b) Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)
Lời bàn: Phương trình có dạng . Ta tiến hành lập phương hai vế:
và ta sử dụng phép thế ta được phương trình:
Lời giải: ĐKXĐ: . Lập phương hai vế của phương trình ta được:
(1) 25 + x + 3 - x + 3. (2)
Vì (theo 1) nên
(2) 28 + 12
12 (3)
Lập phương hai vế của (3) ta được: (25 + x)(3 - x) = 27
- x2 - 22x + 75 = 27 x2 + 22x - 48 = 0 x1 = 2; x2 = -24
Vậy nghiệm của phương trình là x1 = 2; x2 = -24
Ví dụ 2: Giải phương trình: (2) (ĐKXĐ: )
Lời giải: Ở phương trình (2), VP 0 , nhưng vế trái chưa chắc đã khơng âm, vì
vậy ta nên chuyển vế để đưa phương trình về dạng có cả hai vế đều khơng âm.
(2)


6

Bình phương hai vế ta được:
Đến đây, học sinh có thể sẽ tiếp tục bình phương hai vế của phương trình.
Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
a)

b)
2.3.1.2. Định hướng sử dụng phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn
trong dấu giá trị tuyệt đối.
a) Định hướng phương pháp giải: Khi gặp phương trình mà biểu thức trong căn
có thể viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức thì sử dụng hằng
đẳng thức để làm mất dấu căn và đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
b) Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Giải phương trình: (1)
Lời giải: ĐKXĐ:
(1)
(Thoả mãn). Vậy phương trình có nghiệm x = 15
Ví dụ 2. Giải p.trình: (2)
Lời giải: ĐKXĐ: . Ta có:
(2) + = 5
+ =5
+ = 5 (*)
Vì 1 ln dương chỉ cần xét dấu .
- Nếu
thì .
Giải ra ta có ( khơng thỏa mãn điều kiện).
- Nếu
thì
Vậy phương trình có vơ số nghiệm thỏa mãn
Bài tập tương tự:
Giải các phương trình sau:
a);
b
2.3.1.3. Định hướng sử dụng phương pháp đưa về phương trình tích:
a) Định hướng phương pháp giải: Khi các căn trong phương trình có xuất hiện
nhân tử chung hoặc xuất hiện hằng đẳng thức ta có thể khéo léo chuyển về

phương trình tích hoặc dùng hằng đẳng thức. Và thông thường ta hay sử dụng
các đẳng thức:
u + v = 1 + uv (u – 1)(v – 1) = 0
au + bv = ab +uv (u – b)(v – a) = 0
b) Ví dụ minh họa: Giải phương trình:
(1) (ĐKXĐ: x ≥ 1).
Hướng dẫn: Ta thấy: x4 – 1 = (x – 1)(x3 + x2 + x + 1). Như vậy:
(1) ⇔ x = 2.
Bài tập tương tự: Giải phương trình:


7

a)
b)
c) .
2.3.1.4. Định hướng sử dụng phương pháp vận dụng hằng đẳng thức:
a) Định hướng phương pháp giải: Đối với các phương trình vơ tỉ khơng mẫu
mực mà chứa nhiều ẩn số thì một trong các cách giải hay sử dụng là biến đổi để
đưa về dạng tổng bình phương của nhiều biểu thức chứa ẩn A2 + B2 + C2 = 0.
b) Ví dụ minh họa:
Ví dụ. (Trích đề thi vào lớp 10 Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm 2009-2010)
Giải phương trình: + + = (2)
Lời giải: ĐK: x ≥ 2, y ≥ - 2009, z ≥ 2010. Ta có:
(2) x + y + z = 2 +2 +2
(- 1)2 + (- 1)2 + (- 1)2 = 0
Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là ( x; y; z) = ( 3; -2008; 2011).
Bài tập tương tự: Tìm x ,y, z thỏa mãn:
a) x + y + z + 4 = 2
b)

2.3.1.5. Định hướng giải lớp bài toán sử dụng phương pháp đánh giá.
a) Sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc.
* Bất đẳng thức Bunhiakôpxki:
Cho hai bộ số : (a, b), (x, y) thì ta có: (ax + by)2
Dấu ‘‘=’’ xảy ra
* Bất đẳng thức côsi:
- Với hai số a, b 0 thì ta có:
Dấu ‘‘=’’ xảy ra
- Với ba số a,b,c 0 thì ta có: Dấu ‘‘=’’ xảy ra = c
- Với a,b,c,d 0 thì:. Dấu ‘‘=’’ xảy ra = c = d
- Với n số a1, a2,…, an 0 thì ta có:
Dấu ‘‘=’’ xảy ra
* Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Giải phương trình:. ĐK:
Hướng dẫn: Ta biến đổi phương trình:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
Áp dụng bất đẳng thức Cơsi:
Dấu bằng
Ví dụ 2. Giải phương trình: . (Tác giả: AD Page “Tài liệu tốn học”
03/12/2017)
Lời giải: Với ab ≥ 1 ta có:
2
ab − 1) ( a − b ) ≥ 0
(
Thật vậy, biến đổi tương đương (*) ta được:
Đẳng thức xảy ra khi a = b hoặc ab = 1. Bất đẳng thức này đúng với mọi ab
Biến đổi và áp dụng BĐT (*) ta được:


8

Dễ thấy > 1với mọi x nên phương trình có nghiêm khi và chỉ khi . Giải phương
trình này ta được nghiệm
Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
a).
b) .
b) Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế:
* Định hướng phương pháp giải: Dự đoán giá trị của biến để hai vế xảy ra dấu
bằng với một số hoặc biểu thức. Khi đó ta sẽ chứng minh: ( với m là hằng số)
=> VT = VP = m rồi nhận định kết quả để trả lời.
* Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Giải phương trình: (1). Lời giải: ĐKXĐ: . Ta có:
(1)
Vế trái ≥ . Vế phải ≤ 5. Dấu “=” xảy ra x = –1 (t/m ĐKXĐ). Vậy:
phương trình đã cho có một nghiệm x = –1.
Ví dụ 2. Giải phương trình: .
Lời giải: ĐKXĐ: . Áp dụng bất đẳng thức: ta có:
VT =
VP = 3x2 -12x + 14 = 3( x2 – 4x + 4) +2 = 3( x - 2)2 + 2 2
Hai vế cùng bằng 2 khi và chỉ khi x – 2 = 0  x = 2( Thỏa mãn điều kiện)
Vậy, nghiệm của phương trình là x = 2.
c) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, khi đó phương trình vơ nghiệm:
* Định hướng phương pháp giải: Nhận định ban đầu hai vế của phương trình
lớn hơn (bé hơn) một số, một biểu thức, từ đó ta sẽ chứng minh: ( với m là
hằng số) => VT > VP (hoặc VT < VP) suy ra tập nghiệm của hai vế rời nhau hay
phương trình vơ nghiệm.
* Ví dụ minh họa: Giải phương trình
Lời giải: ĐKXĐ: x ≥ 1. Với điều kiện này ta có:
Xét vế trái: =>
Xét vế phải: ≥ 1 Vậy: phương trình đã cho vơ nghiệm.

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số (tìm một nghiệm, chứng minh nghiệm đó là
duy nhất).
* Định hướng phương pháp giải: Nhẩm được một ngiệm của phương trình. Lấy
các giá trị tùy ý lớn hơn (nhỏ hơn) nghiệm đó và chỉ ra khơng phải là nghiệm.
Từ đó ta sẽ chứng minh nghiệm tìm được đó là duy nhất.
* Ví dụ 1: Giải phương trình:
Lời giải: (1)
Nhận thấy là nghiệm của phương trình (1)
+)
Phương trình vơ nghiệm.
+)
Phương trình vơ nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x =1


9

Ví dụ 2. Giải phương trình:
(2)
Lời giải: Ta có:
(2)
Nếu 3x = – (2x + 1) ⇔ x = thì các biểu thức trong căn ở hai vế
bằng nhau. Vậy x = là một nghiệm của phương trình. Hơn nữa nghiệm của (2)
nằm trong khoảng . Ta chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Với thì 3x < –2x – 1 < 0
(3x)2 > (2x + 1)2 ⇒
Suy ra:
(2) khơng có nghiệm trong khoảng này.
Tương tự, ta cũng có kết luận (2) khơng có nghiệm khi
2.3.1.6. Định hướng sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ.

a. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường.
* Định hướng phương pháp giải:
- Nếu bài tốn có chứa và thì khi đó đặt t = ( với t ≥ 0)
- Nếu bài tốn có chứa , và . = k ( hằng số), khi đó có thể đặt t =
.
- Nếu bài tốn có chứa ; . và f(x) + g(x) = k (k là hằng số), khi đó có thể đặt:
suy ra .
- Nếu bài tốn có chứa thì ta đặt với hoặc .
- Nếu bài tốn có chứa thì ta đặt với
* Ví dụ minh họa: Giải phương trình:
Hướng dẫn: Điều kiện:
Đặt thì . Thay vào ta có phương trình sau:
Ta tìm được bốn nghiệm là:
Do nên chỉ nhận các gái trị
Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l:
Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
a)
b)
b. Định hướng đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến.
* Định hướng: Chúng ta đã biết cách giải phương trình:
Xét phương trình trở thành: ( thử trực tiếp)
* Phương trình dạng :
Như vậy phương trình có thể giải bằng phương pháp trên nếu:
Ví dụ 1. Giải phương trình : (ĐKXĐ: ).
Hướng dẫn: Đặt
phương trình trở thành : Tìm được:
Ví dụ 2. Giải phương trình : (*)
Dễ thấy:

10

Ta viết
Đồng nhất vế trái với (*) ta được :
Đặt:
Phương trình trở thành :-3u+6v = - Từ đây ta sẽ tìm được x.
* Phương trình dạng:
Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện’’ hơn dạng trên, nhưng nếu
ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên.
Ví dụ 1. Giải phương trình sau :
Hướng dẫn: Đk . Bình phương 2 vế ta có:
Ta có thể đặt : khi đó ta có:
Do .
Ví dụ 2. Giải phương trình :
Hướng dẫn: ĐKXĐ: . Chuyển vế bình phương ta được:
Nhận xét: Không tồn tại số để : vậy ta không thể đặt :.
Nhưng may mắn ta có:
Ta viết lại phương trình:
.
Đến đây bài tốn được giải quyết .
c. Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn.
* Định hướng: Việc sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành
một phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn ẩn ban đầu.
* Ví dụ minh họa: Giải phương trình :
HD: Đặt ;,ta có:
d. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích.
* Định hướng phương pháp giải: Xuất phát từ đẳng thức .
Ta có
Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vơ tỉ có chứa căn bậc ba .
* Ví dụ minh họa: Giải phương trình sau:

Ta đặt : , khi đó ta có :
Bài tập tương tự: Giải phương trình sau:
e. Đặt ẩn phụ đưa về hệ:
* Định hương phương pháp giải: Đặt và tìm mối quan hệ giữa và từ đó tìm
được hệ theo u,v
* Ví dụ minh họa:


11

Ví dụ 1. Giải phương trình:
Hướng dẫn: Đặt
Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: , giải hệ này ta tìm được .
Tức là nghiệm của phương trình là
Ví dụ 2. Giải phương trình:
Hướng dẫn: Đặt
Ta có hệ phương trình sau:
Giải phương trình thứ 2: , từ đó tìm ra rồi thay vào tìm nghiệm của phương
trình.
2.3.2. Một số định hướng giải phương trình vơ tỉ bằng máy tính Casio
FX570plus, FX580VNX…
* Cơ sở và định hướng phương pháp giải: Như ta đã biết nếu phương trình f(x)
= 0 có nghiệm x1, x2, x3, …thì f(x) sẽ chứa các nhân tử (x - x1), (x - x2), (x - x3)…
Vì vậy việc sử dụng phím chức năng SOLVE của máy tính Fx 570plus,
580VNX để tìm được một vài nghiệm của phương trình từ đó ta dự đốn được
nhân tử của phương trình.
2.3.2.1. Định hướng phương pháp liên hợp 1 nghiệm hữu tỉ đơn.
a) Định hướng phương pháp giải:
* Bước 1: - Nhập phương trình vào máy tính: f(x) = 0
- Chọn giá trị x thỏa mãn điều kiện xác định.

- SOLVE x = x0
- Lưu ý: + Dấu “=” : ALPHA + CALC
+ SOLVE = SHIFT + CALC
* Bước 2: Kiểm tra xem phương trình cịn nghiệm khơng. (trường hợp này chỉ
có 1 nghiệm nên phương trình khơng cịn nghiệm).
Thao tác như sau: - Nhập f(x):(x – x0) = 0. (x0 là nghiệm đã tìm được ở bước 1).
- SOLVE No solve (khơng cịn nghiệm).
* Bước 3: Liên hợp: f(x) = (x – x0)g(x) = 0.
* Bước 4: Chứng minh g(x) vô nghiệm.
b) Ví dụ minh họa: Giải phương trình:
(ĐK: )
- Bước 1: Nhập phương trình vào máy tính SOLVE x = 5
- Bước 2: Kiểm tra: nhập f(x):(x – 5) = 0 SOLVE No solve.
- Bước 3: Liên hợp từng căn:
Với x = 5 biểu thức liên hợp:
Với x = 5 biểu thức liên hợp:
Khi đó:

Chứng minh biểu thức trong ngoặc vơ nghiệm,Vì nên
và


12

Suy ra
Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình.
2.3.2.2. Định hướng phương pháp liên hợp 2 nghiệm hữu tỉ.
a) Định hướng phương pháp giải:
Xét phương trình:
- Bước 1: Nhập phương trình SOLVE x = x1; x =x2.

- Bước 2: Kiểm tra: Phương trình : (x – x1)(x – x2) =0 SOLVE No SOLVE
- Bước 3: Liên hợp:
+) a,b
biểu thức liên hợp:
+) c,d
biểu thức liên hợp:
b) Ví dụ minh họa:
Giải phương trình: (ĐK: )
- Bước 1: Nhập phương trình SOLVE x = 1; x =2
- Bước 2: Kiểm tra: No SOLVE
- Bước 3: Liên hợp:
+)
Biểu thức liên hợp:
+)
Biểu thức liên hợp:
Khi đó phương trình

(vì với thì
x = 1 hoặc x= 2.
2.3.2.3. Định hướng phương pháp liên hợp nghiệm xấu (nghiệm vô tỉ).
a) Định hướng phướng pháp giải:
Xét biểu thức liên hợp
- Bước 1: Nhập phương trình SOLVE nghiệm xấu STO A (lưu biến A).
- Bước 2: Xét
MODE 7: Nhập F(X) = ( Thay a = X; x =A)
Start: -5 , End: 5, step: 1
Khi đó chọn X làm F(X) hữu tỉ a = X; b = F(X)
b) Ví dụ minh họa:
Giải phương trình:
- Bước 1: Nhập phương trình SOLVE xSTOA(lưu biến A)

- Bước 2: Xét: F(X) = ; G(X) =
MODE 7: Nhập F(X), G(X), star: -5, End: 5, Step: 1
X
1

F(X)
2

G(X)
1


13

và
Lời giải: ĐKXĐ:
PT

(vì với x thì:
x = 2 + hoặc x = 2 –
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x1 = 2 + ; x2 = 2 –
* Lưu ý: ta có thể kiểm tra dấu của biểu thức bên trong dấu ngoặc bằng cách
dùng phím CALC như sau: Nhập biểu thức vào máy tính
CALC nhập giá trị x tùy ý Giá trị của biểu thức (>0; <0).
2.3.3. Một số định hướng giải các lớp phương trình vơ tỉ khác.
2.3.3.1. Định hướng giải phương trình dạng:
* Phương pháp chung:
Đặt đưa về hệ đối xứng loại II. Việc chọn thông thường chúng ta chỉ cần viết
dưới dạng: .
Ví dụ 1: Giải phương trình:

(Điều kiện: )
Hướng dẫn: Ta có phương trình được viết lại là:
Đặt thì ta đưa về hệ sau:
Trừ hai vế của phương trình ta được
Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là:
Ví dụ 2: Giải phương trình: 7x2 + 7x = .
Hướng dẫn: Đặt
Chọn ta được:
Kết hợp với đầu bài ta được hệ phương trình:
Giải hệ phương trình trên ta tìm được nghiệm.
Bài tập áp dụng: Giải phương trình:
2.3.3.2. Phương trình có dạng: (*) (Với A và A’ không đồng thời bằng 0).
* Định hướng: Mục tiêu của ta là:
Muốn vậy chúng ta sử dụng phương pháp phân tích ngược như sau:
Để giải phương trình: ta thực
hiện theo phương pháp phân tích ngược như sau:
- Chuyển vế :
Hoặc
Khi đó phân tích nhân tử dạng: .
Làm nháp nhân phá ngoặc và cân bằng hệ số. Đảm bảo hệ số có nghiệm.
* Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Giải phương trình: .
Hướng phân tích:
Làm nháp: chuyển vế thành (*).


14

Mục tiêu là: (**). Bây giờ ta phân tích ngược trở về:
(***).

Cân bằng các hệ số từ (***) và (*) ta có hai hệ sau: .
Ta chọn a = 3, c = -2 và hệ sau có nghiệm .
Hướng dẫn giải:
.
+ TH1: Với .Ta có phương trình : (vơ nghiệm)
+ TH2: Với .
Ta có phương trình:
(Thỏa mãn) (loại nghiệm -1).
Kết luận: phương trình có một nghiệm là
Nhận xét:
Cách nhẩm của chúng ta mặc dù hơi chậm khi làm nháp, nhưng ưu điểm là
rèn luyện tư duy, ít ra cũng có hướng để mị, ngồi ra lời giải tương đối ngắn
gọn. Hơn nữa khơng q khó cũng như khơng q lệ thuộc máy tính Casio, chủ
động trong giải toán dạng này.
Ví dụ 2. [Toán Học & Tuổi Trẻ số 420].
Giải phương trình: . (ĐKXĐ:)
Hướng phân tích: Ta làm nháp:
Ta có và
Hướng dẫn giải:
(*).
Vì nên
Kết luận: Phương trình có 1 nghiệm là
Ví dụ 3. (Tuyển sinh lớp 10 chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa 2014).
Giải phương trình: .
Hướng phân tích:
Ta làm nháp:
Ta có và
Hướng dẫn giải:
.
Kết luận: Phương trình có hai nghiệm .

Ví dụ 4. Giải phương trình: .
Hướng phân tích:
Bài này tổng hai số a + c = 54 khá lớn so với tích nên nhân cả hai vế với 5 và đặt
.
Ta cần:
Ta có và có nghiệm .


15

Hướng dẫn giải:
+ TH1: .
+ TH2: (Vô nghiệm).
x = 2, x =

27
×
16

Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm là
Chú ý 1: Câu hỏi đặt ra là: tại sao ta không nhân với 2; 4; 6; .. mà ta nhân với
5?. Như trên đã nói: và nên ta chọn k để hai hệ có nghiệm đẹp một tí. Ta có thể
hình dung như sau tách 54 = 2 + 52 = 4 + 50 = 6 +
48 .. và thử nhân các cặp xem sao?
Hay là = …và ta cũng chọn tổng a + c âm?
Như thế ta vừa chọn được a, c, b, d vừa biết cần nhân như thế nào để thử.
Để củng cố ta xét thêm vài ví dụ nhân thêm.
Ví dụ 5. Giải phương trình: .
Hướng phân tích:
Nếu để ngun thì a + c = -20 và ac = 14, tách -20 = -2 + -18 = -4 +

-16 ... và tích lại thì bằng 36, 64, ...
Khi đó nhân thêm cả hai vế với k và đưa vào căn thì như thế: thử tích 36
trước: .
Nên PT .
Ta cần
Nên và
hệ có nghiệm .
Hướng dẫn giải:
PT
+ TH1: (Vơ nghiệm).
+ TH2:
Kết luận: Phương trình có 1 nghiệm là .
Chú ý 2: Chúng ta cũng có thể xét một vài ví dụ mà sự phân tích thành hệ số vơ
tỉ. Các ví dụ này khơng nhiều nhưng khơng có nghĩa là không làm được, với lưu
ý các số và có tổng bằng 2p và tích bằng đều là các số hữu tỉ.
Bài tập tương tự:
Bài 1: Giải phương trình .
Bài 2: Giải phương trình .
Bài 3: Giải phương trình .
2.3.3.3. Định hướng giải một số phương trình vơ tỉ chứa căn bậc ba.
* Cơ sở và định hướng giải: Đối với học sinh THCS thì chúng ta khơng sử dụng
đạo hàm, nên có một kiến thức quan trọng và hay thường sử dụng là "Bình
phương thiếu":


16

Như thế biểu thức là không âm và nếu cộng thêm số dương thì ln dương. Mở
rộng hơn khi giải một số phương trình vơ tỉ thì ta sẽ định hướng đưa về dạng
hàm số bậc ba lẻ như: . Nếu dùng đạo hàm thì đây là hàm đồng biến trên R. Như

trên đã nói, chúng ta đưa về phương trình và sau đó là chuyển vế đưa về bình
phương thiếu:
.
Tổng quát: Đặt (Hoặc ).
Suy ra .
Cộng thêm cả hai vế một lượng để biến đổi vế trái (vế còn lại) theo hằng đẳng
thức bậc ba, hệ số a này cũng là hệ số của .
* Ví dụ minh họa: Giải phương trình: (1)
Ta nhận thấy phương trình có chứa hai căn thức nên trước hết chuyển vế
Phương trình sau đó cộng thêm một lượng v3.
(1), ta cần giảm hệ số
trước căn nên đưa bớt vào căn: , rõ ràng xuất hiện số 4 nên tách ra theo hằng
đẳng thức:
.
Đặt ta có phương trình: .
Lời giải: ĐKXĐ : Ta có: (1)
Đặt ta có phương trình:
. Đặt suy ra lập phương hai vế ta có:
.
Thay trở về ta được là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
2.4. Hiệu quả của đề tài.
Qua nghiên cứu và thử nghiệm nhiều năm trên nhiều đối tượng học sinh
THCS thuộc các lớp tôi giảng dạy cũng như ôn luyện học sinh giỏi cấp Huyện,
cấp Tỉnh cho thấy kết quả rất khả quan. Trước một vấn đề, một bài toán đặt ra,
học sinh bước đầu biết "cách suy nghĩ" biết định hướng, lựa chọn phương pháp
phù hợp. Khi tìm ra cách giải quyết vấn đề các em đã khắc phục dần những sai
lầm trong cách suy nghĩ cũng như khi trình bày bài do kỹ năng tư duy lơgic
được rèn luyện tốt. Qua đó hình thành thói quen xem xét vấn đề ở các góc độ
khác nhau theo các chiều hướng khác nhau, các khả năng khác nhau, từ đó có
thể tìm ra một phương pháp hay kĩ thuật khi đứng trước một phương trình vơ tỉ

đặc biệt là các phương trình hay và khó trong ôn thi học sinh giỏi. Hơn thế
nữa, khi khả năng tư duy lôgic của học sinh được nâng lên cũng góp phần
đáng kể trong việc hình thành các phương pháp học tập phù hợp với các bộ
môn khác kể cả năng lực tư duy lôgic trong đời sống hằng ngày.


17

Cụ thể: đây là kết quả thu được sau khi vận dụng đề tài này trong năm học
2020 – 2021. Kết quả khảo sát rất khả quan: tỉ lệ học sinh nắm vững phương
pháp, kĩ thuật và giải được cơ bản các phương trình vơ tỉ được tăng lên.
Tỉ lệ HS nắm vững Tỉ lệ HS hiểu và có
Tỉ lệ HS giải được các
Lớp kiến thức và tư duy tư duy nhưng chưa
phương trình trong đề
đúng trong giải tốn
đi đến kết quả
HSG cấp Huyện, tỉnh
9A0
85,7%
14,3%
35,7%
9B0
70%
30%
15%
Như vậy kết quả trên chứng tỏ rằng: Việc vận dụng những kinh nghiệm nêu
trên, trong thời gian chưa dài nhưng kết quả tương đối khả quan mặc dù kết quả
chưa cao, chưa được theo mong muốn của bản thân nhưng dù sao cũng đã có
khởi sắc về chất lượng học tập. Và hơn thế nữa là kiến thức đã được khắc sâu

hơn, các em dần biết tự suy luận khi đứng trước một vấn đề nào đó, từ đó các
em có thể tự tin vận dụng kiến thức đã học vào giải toán cũng như tự tin hơn
trong cuộc sống hàng ngày.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
3.1. Kết luận.
Học sinh là nhân tố giữ vai trò quan trọng quyết định sự thành công hay
thất bại của mỗi giáo viên trong cơng tác giảng dạy. Do đó, để giúp cho học sinh
có thể thành cơng trong học tập bộ mơn Tốn, ngồi tố chất thơng minh, địi hỏi
các em phải có một sự nỗ lực rất lớn, sự quyết tâm học tập hết khả năng của bản
thân mình. Bên cạnh đó, người giáo viên giảng dạy tốn cần phải nắm chắc kiến
thức bộ mơn tốn trong bậc học của mình, phải là người giải tốn thường xun,
cập nhật thường xuyên thủ thuật giải toán hiệu quả. Trên đây là một số phương
pháp và định hướng giải phương trình vơ tỉ lớp 9 mà tơi đã trình bày. Trong qua
trình nghiên cứu đề tài, tơi đã rất cố gắng trong việc tham khảo các sách nâng
cao và phát triển bộ mơn Tốn lớp 9, đề cương ơn tập thi vào lớp 10, giáo án bồi
dưỡng học sinh giỏi của các bạn đồng nghiệp trong trường cũng như các đồng
nghiệp trong tồn tỉnh.
3.2. Đề xuất.
Trong q trình giảng dạy các dạng tốn liên quan đến chun đề phương
trình vơ tỉ đặc biệt là trong công tác ôn thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh,
giáo viên phải biết tích luỹ kinh nghiệm cho mình. Thường xuyên học tập kinh
nghiệm của đồng nghiệp, tham gia nghiêm túc việc tự học, tự bồi dưỡng và
nghiên cứu các chuyên để bổ sung một cách hợp lí chắc chắn và việc nâng cao
chất lượng học sinh qua các bộ mơn nói chung và mơn Tốn nói riêng là một
việc làm có thể. Đây là một vấn đề đầy khó khăn vì vậy cần thực hiện trong thời
gian dài và đòi hỏi rất nhiều vào sự phối hợp chặt chẽ của các cấp, các ngành.
Trong khuôn khổ đề tài này, tôi hy vọng trang bị cho các em các phương
pháp cũng như những định hướng và phát triển các kỹ năng suy luận, tư duy
trong giải phương trình vơ tỉ giúp các em tự tin hơn khi giải toán. Tuy nhiên,

18

trong khi trình bày đề tài của mình khơng tránh khỏi những khiếm khuyết, mong
bạn đọc và đồng nghiệp đóng góp ý kiến bổ sung để đề tài hồn chỉnh và đạt
hiệu quả cao góp phần nâng cao chất lượng giáo dục, đáp ứng nhu cầu ngày
càng cao của xã hội.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
Yên Cát, ngày 25 tháng 4 năm 2021
ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.
Người viết

Nguyễn Thanh Hà
XÁC NHẬN CỦA PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TÀI LIỆU THAM KHẢO.
1. Chinh Phục Phương Trình, Bất Phương Trình Vơ Tỷ, Trần Minh Dũng –
Trần Anh Dũng, NXB Quốc gia Hà Nội.
2. Sáng tạo & giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình,
Nguyễn Tài Chung, NXB Tổng hợp TP HCM.
3. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán - Bùi Văn Tuyên (NXBGD).
4. Ơn luyện tốn trung học cơ sở - Vũ Hữu Bình (NXBGD).
5. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS phần “Đại số”
-Nguyễn Vũ Thanh (NXBGD).
6. Nguyễn Bá Kim - Phương pháp giảng dạy mơn tốn, NXB Đại học sư
phạm, 2004.
7. Sách "Một số vấn đề về đổi mới PPDH ở trường THCS mơn tốn" của

Bộ giáo dục và Đào tạo.
8. Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho GV THCS mơn tốn của Bộ giáo
dục và Đào tạo.
9. SGK và SGV toán 6, 7, 8, 9 (BGD & ĐT).
10. Công phá kỹ thuật casio – Nguyễn Ngọc Nam.


19

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Nguyễn Thanh Hà
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS TT Yên Cát.
Cấp đánh giá Kết quả
xếp loại
đánh giá
T
Tên đề tài SKKN
(Ngành GD
xếp loại
T
cấp huyện/tỉnh; (A, B,
Tỉnh...)
hoặc C)
Một số phương pháp phân tích đa
1
thức thành nhân tử và ứng dụng
Cấp Huyện

C
của nó
Vận dụng linh hoạt những hằng
2
Cấp Huyện
C
đẳng thức vào giải một số bài tốn.
Nâng cao kỹ năng
3
giải phương trình bậc nhất một ẩn
Cấp Huyện
C
và các dạng toán liên quan
Một số ứng dụng của định lí Vi-ét
4
Cấp Huyện
B
trong giải tốn bậc THCS
Hướng dẫn học sinh lớp 9 phát
hiện và tránh sai lầm khi giải toán
5
Cấp Huyện
B
về căn bậc hai
6 Phát triển kỹ năng tư duy lôgic cho
Cấp Huyện
C
học sinh THCS thông qua dạy học

Năm học

đánh giá
xếp loại
2009
2010
2011
2012
2016
2018


20

7

toán chứng minh
Một số phương pháp và định
hướng giải phương trình vơ tỉ bồi
dưỡng học sinh giỏi mơn tốn
THCS

Cấp Huyện

B

2020