HD de toan SP 20092010

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (149.41 KB, 8 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

GVHD Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao –Phú Thọ

Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà x hội chủ nghĩa việt ã
nam

Tr

ờng đại học s phạm hà nội Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc

§Ị chÝnh thøc

đề thi tuyn sinh

Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2009

Môn thi: Toán học

(Dùng cho mọi thí sinh thi vào trờng chuyên)
Thời gian làm bài :120 phút

Câu 1: Cho biĨu thøc

A=

√

20a+92+

√

a4+16a2+64

B=a4+20a3+102a2+40a+200

a-Rót gän A

b- Tìm a A+B=0

Câu 2:Hai công nhân cùng làm một công việc 18 h xong.Nếu ngời thứ nhất làm 6h

và ngời thứ 2 làm 12 h thì đợc 50% cơng việc.Hỏi nếu làm riêng mỗi ngời hồn
thành công việc trên bao lâu?

Câu 3: Cho Parabol y= x2 và đờng thẳng (d) có phơng trình y=mx+1

a- Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A;B với mọi m
b- Gọi A(x1;y1) và B(x2;y2) .Tìm giá trị lớn nhất của

M=(y1-1)(y2-1)

Câu 4:Cho tam giác ABC với AB=5;AC=35;BC=10 .Phân giác BK góc ABC

cắt

ng cao AH;trung tuyn AM của tam giác ABC tại O và T (K AC;H, M BC)
a-Tính AH

b-TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c AOT

Câu 5: Các số thực x , y thoả mãn đẳng thức :

(x+

√

1+x2)(y+

√

1+y2)=1

Chøng minh x+y=0

Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh...số báo danh

B giỏo dc đào tạo cộng hoà x hội chủ nghĩa việt namã
Tr

ờng đại học s phạm hà nội Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc

§Ị chÝnh thøc

đề thi tuyn sinh

Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2009

Môn thi: Toán học

(Dùng cho mọi thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin;Thời gian làm bài :150 phút )

Câu 1 Các số thực x, y thoả mÃn xy≠√2 vµ xy≠−√2 . Chøng minh r»ng biểu

thức

sau không phụ thuộc vào x, y
P=

(

√2 xy
x2y2−3

√4+

xy−√32

2 xy+2√32

)

2 xy
xy+√32 −

xy
xy−√32

Câu 2 1) Cho phơng trình x2+bx+c=0 , trong đó các tham số b và c thoả

m·n

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

nghiƯm ph©n biƯt x1, x2 sao cho x1=x2
2

+x2

1) Giả sử (x, y, z) là một nghiệm của hệ phơng trình:

x
3+

y
12

z
4=1
x

10+
y
5+

z
3=1
{

HÃy tính giá trị của A = x + y + z

C©u 3 Ba số nguyên dơng a, p, q thỏa mÃn các điều kiện:
i) ap + 1 chia hết cho q.

ii) aq + 1 chia hÕt cho p.
Chøng minh a>pq

2(p+q)

Câu 4 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB và điểm C thuộc đờng trịn (C không

trùng với A, B và trung điểm cung AB). Gọi H là hình chiếu vng góc của C trên
AB. Đờng trịn (O1) đờng kính AH cắt CA tại E, đờng trịn (O2) đờng kính BH cắt

CB tại F.

1) Chứng minh tứ giác AEFB là tứ giác néi tiÕp.

2) Gọi (O3) là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, D là điểm đối xứng

cña C qua O. Chøng minh ba ®iĨm H, O3, D thẳng hàng.

3) Gi S l giao ca cỏc ng thng EF và AB, K là giao điểm thứ hai của SC
với đờng trịn (O). Chứng minh KE vng góc với KF.

Câu 5 Một hình vng có độ dài bằng 1 đợc chia thành 100 hình chữ nhật có chu

vi bằng nhau (hai hình chữ nhật bất kỳ không có điểm chung). Kí hiệu P là chu vi
của mỗi hình chữ nhật trong 100 hình chữ nhật này.

1) Hãy chỉ ra một cách để chia P = 2,02.
2) Hóy tỡm giỏ tr ln nht ca P.

Đại học s phạm hà nội

Thi tuyển sinh vào khối THPT chuyên năm 2009

Môn thi: Toán học

(Dùng cho mọi thí sinh thi vào khối chuyên)
Thời gian làm bài :120 phút

H

íng dÉn

Ta cã

a2

+8¿2

¿
¿
¿
a+10¿2

¿
¿
20a+92+√¿

A=

√

20a+92+

√

a4+16a2+64=√¿

B=( a4+20a3+10a2)+2(a2+ 20a+100)=a2(a+10)2+2(a+10)2==(a+10)2(a2+2)
A=|a+10|≥0 ;B=(a+10)2(a2+2) 0;A+B 0 dÊu “=” khi a=-10

C©u 1: Cho biĨu thøc

A=

√

20a+92+

√

a4+16a2+64
B=a4+20a3+102a2+40a+200

a-Rót gän A

b- Tìm a để A+B=0

Câu 3: ( 2 điểm) Giải hệ phơng trình

x2+y2+2(x+y+xy)=0(1)

x2

+y2+4x −2y+4=0(2)

¿{

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

H

íng dÉn

Gọi thời gian ngời thứ nhất làm một mình xong cả cơng việc là x (h) x>18
Gọi thời gian ngời thứ hai làm một mình xong cả cơng việc là y (h) x>18
1 h ngời thứ nhất làm đợc 1

x (CV); 1 h ngời thứ hai làm đợc
1

y (CV)
1 h cả hai ngời làm đợc 1

18 (CV) ta cã PT:
1
x+

y=

1
18 (1)

ngời thứ nhất làm 6h và ngời thứ 2 làm 12 h thì đợc 50% cơng việc.ta có PT:
6

x+
12

y =
1
2 (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ

¿
1

x+
1

y=
1
18
6

x+
12

y =
1
2
⇔
¿1

x+
1
y=

1
18
1

x+
2

y=
1
12
⇔
¿1

x=
1
36
1
y=

36
⇔
¿x=36

y=36

¿{

Vậy mội đội đội là riêng 36 h xong

H

íng dÉn

a-xÐt hƯ PT:

¿
y=x2

y=mx+1

⇔
¿y=x2

x2−mx−1=0

¿{

Câu 2:Hai cơng nhân cùng làm một công việc 18 h xong.Nếu ngời thứ nhất
làm 6h và ngời thứ 2 làm 12 h thì đợc 50% cơng việc.Hỏi nếu làm riêng mỗi
ngời hồn thành công việc trên bao lâu?

Câu 3: Cho Parabol y= x2 và đờng thẳng (d) có phơng trỡnh y=mx+1

a- Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A;B với mọi m
b- Gọi A(x1;y1) và B(x2;y2) .Tìm giá trị lớn nhất của

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

xét PT x2-mx-1=0 cã Δ

=m2+4>0

b-y1=mx1+1;y2=mx2+1;M=m2.x1x2 mµ x1;x2 lµ nghiÖm PT x2-mx-1=0 theo ViÐt

x1x2=-1 nªm M=-m2 0 Max(M)=0

H

íng dÉn

H

íng dÉn

a-Đặt CH=x thì BH=10-x ta có áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông
ABH;ACH AH2 =AB2 -BH2 =25-x2 ; AH2 =A2C -H2C =45-(10-x)2

Ta cã PT : 25-x2 =45-(10-x)2 ⇔ 25-x2 =45-100+20x-x2 20x=80 x=4

nên AH=3

b-áp dụng tính chất phân giác AO
OH=

AB
BH=

5
4

AO
AH=

9 ; SAOB=

9SAHB=

10
3 ;
SABT=1

2SABM=

15
4 ;
SAOT=SABT− SAOB=

15
4 −

10
3 =

12 (®vdt)

H

íng dÉn

Ta cã :

2

1+x

x (x+

1+x2)(y+

1+y2)(x

1+x2)=(|)

2

1+x

x (y+

1+y2)=(|)(1)

Câu 4:Cho tam giác ABC với AB=5;AC=35;BC=10 .Phân giác BK góc

ABC cắt

ng cao AH;trung tuyn AM của tam giác ABC tại O và T (K AC;H, M
BC)

a-TÝnh AH

b-TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c AOT

O T

M
H

B C

Câu 5: Các số thực x , y thoả mãn đẳng thức :

(x+

√

1+x2)(y+

√

1+y2)=1

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

T¬ng tù

2
¿
1+x❑¿❑

x+√¿2
¿
1+y❑¿❑
y −√¿−(|)=(|)(2)

Céng (1) vµ (2) Ta cã

− y −

√

1+y2− x −

√

1+x2=x −

√

1+x2+y −

√

1+y2⇔− y − x=x+y⇔x+y=0

VËy x+y=0 (đpcm)

Đại học s phạm hà nội

Môn thi: Toán học

(Dùng riêng cho thí sinh thi vào lớp chuyên toán và chuyên tin)
Thêi gian lµm bµi :150 phót

H

íng dÉn

P=

(

2
3

√2 xy

x2y2−3

√4+
xy−3

√2
2 xy+2√32

)

2 xy
xy+√3 2−

xy
xy−3

√2

(xy−√32)

(xy+√32)( +xy−
3

√2
2(xy+√32)¿).

2 xy
xy+√32 −

xy−√32
xy+√32¿2

¿
¿
¿
2√32 xy

¿ P=

432 xy+x2y2232 xy+34
2(xy+32)(xy32) .

2 xy
xy+32

xy32=
P=

Câu 1 Các số thực x, y thoả mÃn xy2 và xy≠−√2 . Chøng minh r»ng
biĨu thøc

sau kh«ng phụ thuộc vào x, y
P=

(

2 xy

x2y23

4+
xy3

2
2 xy+232

)

2 xy
xy+32

xy
xy3

Câu 2

1) Cho phơng trình x2

+bx+c=0 , trong ú cỏc tham số b và c thoả mãn

đẳng thức b + c = 4. Tìm các giá trị của b và c để phơng trình có hai
nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1=x22+x2

1) Giả sử (x, y, z) là một nghiệm của hệ phơng trình:

x
3+

y
12

z
4=1
x

10+
y
5+

z
3=1
{

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

H

íng dÉn

a)Theo gi¶ thiÕt ta cã
Δ=b2−4c>0

¿
x1+x2=− b

b+c=4

x1.x2=c

x1=x22+x2

⇔
¿Δ=b2−4c ≥0

x1.x2− x1− x2=4

x1.x2=c

x1=x22+x2

⇔
¿Δ=b2−4c>0

x1.=x2+4

x2−1
x1.x2=c

x2+4

x2−1=x2
2

+x2

⇔
¿Δ=b2−4c>0

b+c=4

x1.x2=c

x2+4

x2−1=x2
2

+x2

¿
⇔
¿Δ=b2−4c>0

b+c=4

x1.x2=c

x2
3

−2x2−4=0

⇔
¿Δ=b2−4c>0

b+c=4

x1.x2=c

(x2−2)(x22−2x2+2)=0

⇔
¿Δ=b2−4c>0

b=−8

c=12

x1.=6

x2=2

¿{ { { {

¿
¿ ¿

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

¿
x
3+

y
12−

z

4=1
x

10+
y
5+

z
3=1
⇔

¿4x+y −3z=12

3x+6y+10z=30

⇔7(x+y+z)=42⇔A=6

¿{

H

íng dÉn

xÐt pq=1 ta cã ®pcm
xÐt :pq>1

(ap+1)(aq+1)⋮pq⇔a2pq+ap+aq+1⋮pq⇔a(p+q)+1⋮pq⇔a ≥pq−1

p+q

xÐt hiƯu pq−1
p+q −

2(p+q)=

pq−1

2(p+q)>0 (v× pq>1) nên a>

pq
2(p+q)

Cách khác :

(ap+1)(aq+1)pqa2pq+ap+aq+1pqap+aq+1pqap+aq+1pq

Ta có 2 ap+2 aq>ap+aq+1pq2a(p+q)>pqa>pq

2(p+q) (đpcm)

H ớng dẫn

Câu 3 Ba số nguyên dơng a, p, q thỏa mÃn các điều kiện:
i) ap + 1 chia hÕt cho q.

ii) aq + 1 chia hÕt cho p.

Chøng minh a>pq

2(p+q)

Câu 4 Cho đờng trịn (O) đờng kính AB và điểm C thuộc đờng trịn (C khơng
trùng với A, B và trung điểm cung AB). Gọi H là hình chiếu vng góc của C trên
AB. Đờng trịn (O1) đờng kính AH cắt CA tại E, đờng trịn (O2) đờng kính BH ct

CB tại F.

1) Chứng minh tứ giác AEFB là tứ giác nội tiếp.

2) Gi (O3) l tõm ng tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, D là điểm đối xứng

cđa C qua O. Chøng minh ba ®iĨm H, O3, D thẳng hàng.

3) Gi S l giao ca các đờng thẳng EF và AB, K là giao điểm thứ hai của SC
với đờng tròn (O). Chứng minh KE vng góc với KF.

O3
I

F
E

O1 H

A B

C a) ta cã tø giác CEHF là hình chữ nhật

Ta có CFE= EAB ( cùng bằng

CHE) nên tứ giác AEFB nội tiếp
b)Kẻ trung trực EF cắt HD tại O3 chøng

minh O3 là tâm đờng trịn ngoại tiếp

tø gi¸c AEFB

Chứng minh đợc CD EF trong tam
giác CHD cú IO3l ng trung bỡnh

Nên O3O AB mà OA=OB nên O3O là

trung trc ca AB nờn O3 l tâm đờng

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

c) ∠ BFS= ∠ BKS (cùng bù EFB) nên tứ giác BFKS nội tiÕp suy ra ∠

FKS= ∠ FBA

mµ ∠ FBA= ∠ CEF nªn ∠ FKS= ∠ CEF nên tứ giác CEFK nội tiếp suy ra
 EKF= ECF=900 hay FK vu«ng gãc víi EK

H

íng dÉn

a-cách chia 1 cạnh thành 100 phần bằng nhau qua các điểm chia kẻ các đờng
thẳng // cạnh kia ta đợc 100 hình vng có chu vi bằng nhau khi ú P=2,02

Chia 1 cạnh thành x phần bằng nhau cạnh còn lại là y phần bằng nhau (x,y N*)

Ta có xy=100 gọi kích thớc mỗi hình chữ nhật là a,b thì
a=1

x, b=
1

y khi ú P=
2
xy=

2(x+y)

xy =

x+y

50 ; P (max )khi x+y (max)
Mà (x;y)=(1;100);(2;50);(4;25);(5;20);(10;10) chỉ có cặp (1;100) thoả mãn
Khi đó P(max)=2,02

Câu 5 Một hình vng có độ dài bằng 1 đợc chia thành 100 hình chữ nhật có chu
vi bằng nhau (hai hình chữ nhật bất kỳ khơng có điểm chung). Kí hiệu P là chu vi
của mỗi hình chữ nhật trong 100 hình chữ nhật này.

</div>