ON VAO 10 TOAN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (86.88 KB, 3 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chủ đề 5: TOÁN NÂNG CAO

Hoạt động Nội dung

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức sau:

P =

x

+

1 x

− x+

1

HD: Ta coù: x2 – x + 1 =

(

x -

1

2 )

+

3

4 >

0

với mọi x
=> P =

3x

+3

3 (

x

− x+

1 )

=

2 (

x

− x+

1 )

+

x

+

2 x+

1

3 (

x

− x

+1

)

=









2
2

x 1

2 3 3 x x 1







3

2

Giá trị nhỏ nhất của P là

2

3

khi x + 1 = 0

⇒

x = -1
P =

2 2

2x -2x+2-x +2x-1

x -x+1

=

2 (

x

− x+1

)

−

(

x −

1)

x

− x+1

=

2 −

(

x −1

)

x

− x+

1



2

Giá trị lớn nhất của P là 2 khi x – 1 = 0

⇒

x = 1

Bài 2 Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y)
thoả mãn:

12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y)

HD: Ta coù: 12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y)

<=> 3y2 + 2(3x – 14)y + 12x2 – 28x = 0 (1)

Xem (1) là phương trình bậc hai ẩn y thì (1) có nghiệm nguyên
khi và chỉ khi

Δ

’ là số chính phương.

Ta có: Δ ’ = (3x – 14)2 –36x2 + 84x = k2



0

–27x2 + 196 = k2



0 ⇒ 27x2 196 ⇒ x2



7 ⇒ x



0; 1 ; 2 



Nếu x = 0 thì y = 0; x = 1 thì y = 8; x = -1 thì y = 10; 
x =

±

2 thì y Z

Vậy các cặp số (x; y) thoả mãn đề bài là (0; 0); (1; 8); (-1; 10) 
Bài 3: Cho hai số a và b khác 0 thoả mãn:

1 a

+

1 b

=

1

2

. Chứng minh phương trình ẩn x
sau ln có nghiệm

(x2 + ax + b)(x2 + bx + a) = 0

HD: Xét phương trình (x2 + ax + b) = 0 (1) có

Δ

1= a2– 4b

Xét phương trình (x2 + bx + a) = 0 (2) coù Δ

2 = b2 – 4a

Δ

1+

Δ

2 = a2 + b2 – 4(a + b).

maø

1 a

+

1 b

=

1

2

⇔ 2(a + b) = ab

⇒ Δ 1+ Δ 2 = a2 + b2 – 4(a + b) = a2 + b2 – 2ab

= (a – b)2 0

⇒ Có ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm.

Do đó phương trình (x2 + ax + b)(x2 + bx + a) = 0 luôn luôn có

nghiệm
Bài 4: Chứng minh rằng tích của 4 số ngun

dương liên tiếp không thể là số chính phương

HD: Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp là x; x + 1; x + 2; x + 3
với x nguyên dương

Giả sử x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = k2

<=> (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = k2

<=> (x2 + 3x + 1)2 – 1 = k2

(x2 + 3x + 1)2 và k2 là hai số chính phương hơn kém nhau 1 đơn vị

nên

(x2 + 3x + 1)2 = 1 và k2 = 0

⇒

x = 0; x = -3 trái với giả thiết

Vậy tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không thể là số chính
phương

Bài 5: Cho 3 số dương x; y; z thoả mãn x + y +
z = 1. C.minh:

HD: Từ x + y + z = 1 suy ra

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

3 xy

+

yz+zx

+

2 x

+

y

+

z

2 > 14

2 2 2

3 3(

x

y

z

) 6(

xy yz zx

)

xy yz zx







=

3 (

x

+

y

+

z

)

xy

+

yz+

zx

+6



2 2 2







2 2 2 2 2 2

2

4

2 x

y

z

xy yz zx

x

y

z

x

y

z







= 2 +

4 (

xy+

yz+

zx

)

x

+

y

+

z

Áp dụng bất đẳng thức CauChy ta cho hai số dương ta có:

3 xy

+

yz+zx

+

2 x

+

y

+

z

2 6 + 2 +

2

√

3 (

x

+

y

+

z

)

xy+

yz+

zx

⋅

4 (

xy

+yz

+zx

)

x

+

y

+

z

2
= 8 + 2

√

12

> 8 + 2

√

9

= 14

Bài 6: Biết







2 2

x

 

5 x

y

 

5 y



5

Tính x + y HD: Ta có:



x

5 x



y

5 y



5

 



(1)
Nhân cả hai vế của (1) với

x

 

5 x

ta được:

5

(

√

y

+5+

y

)

= 5

(

√

x

+5

− x

)

hay x + y =

(

√

x

+5

)

–

(

√

y

+5

)

(2)
Nhân cả hai vế của (1) với

√

y

+

5 − y

ta được:

5





x

 

5 x

= 5





y +5-y

hay x + y =

(

√

y

+5

)

–

(

√

x

+

5 )

(3)
Cộng (2) và (3) vế theo vế ta được: 2(x + y) = 0 
Vậy x + y = 0

Baøi 8: Cho tam giác ABC cân có: A = 1080 . 
Tính

BC

AC

HD: Lấy trên cạnh BC điểm D sao cho CD = AC = AB



ABC



DBA ⇒

AB

DB

=

BC

BA

=

BD+

DC

BA

=1+

BD

BA

Đặt

AB

DB

= x > 0 ⇒ x = 1 +

1 x

⇒ x2 – x – 1 = 0

⇒ x =

1 +

√

5

2

Vaäy

BC

AC

=

1 +

√

5

2

Bài 10 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của y =

x

−5

x+

7

HD: Ta coù: y =

x

−5

x+7

⇔ (y – 1)x

2 – 5yx + 7y = 0 (1)

(1) có nghiệm khi

Δ

= –3y2 + 28y



0

⇔

0 y



28

3

Vậy GTNN của y là 0 kh x = 0; 
GTLN của y là

28

3

khi x =

14

5

Bài tập về nhà

Bài 1: Tính: 3

√

20+14

√

√

320−14

√

HD: Đặt x = 3

√

20+14

√

2+

√

20 −

14 √

2

=> x3 = 20 + 14

√

2

+ 20 – 14

√

2

+ 3x 3

√

20+14

√

320−14

√

2 = 40 + 6x
<=> x3 – 6x – 40 = 0 <=> x3 – 4x2 + 4x2 – 16x + 10x – 40 = 0

<=> x2(x – 4) + 4x(x – 4) + 10(x – 4) = 0 <=> (x – 4)(x2 + 4x + 10) = 0

36 0

36 0 360

D C

B

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Vì x2 + 4x + 10 = (x + 2)2 + 6 > 0 neân x – 4 = 0

⇒

x = 4

Bài 2: Giải phương trình:

(

√

9 −

4 √

5 )

x

+

(

√

9+

4 √

5 )

x

=18

Ta coù:

√

9+4

√

5

=

1 9 4 5



. Đặt



9 4 5



x



= t > 0

⇒

t +

1 t

= 18

⇒

t = 9

±

4

√

5 ⇒

x =



2

Bài 3: Cho 2a + 3b = 5. Chứng minh: 2a2 + 3b2



5

HD: Ta coù: 2a + 3b = 5

⇒

a =

5-3b

2 ⇒

2a2 + 3b2 =

15

2

(b – 1)2 + 5 5

Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1

Bài 4: Tìm các số nguyên x; y thoả mãn: x2y2 – x2 – 8y2 = 2xy
HD: Ta có: x2y2 – x2 – 8y2 = 2xy (1)

Ta có: x = y = 0 là một nghiệm của phương trình (1)

Xét x; y 0 . Từ (1)

⇔

y2(x2 – 7) = (x + y)2

⇒

x2 – 7 là số chính phương

⇒ x2 – 7 = a2 ⇒ (x – a)(x + a) = 7

Kết quả: (x; y) = (0; 0) ; (4; -1) ; (4; 2) ; (-4; 1) ; (-4; -2)

Baøi 5: Cho hai số dương x; y. Biết tổng của chúng bằng 6 lần trung bình nhân của chúng. Tính tỉ số

x

y

HD: Ta có: x + y = 6

√

xy

. Chia cả hai vế cho y ta được:

x

y

+ 1 = 6

x

y

. Đặt t =

√

xy > 0 ta có

phương trình:t2 – 6t + 1 = 0. Giải phương trình ta được hai nghiệm t

1 = 3 + 2

√

2

và t2 = 3 – 2

√

2

Vậy

x

</div>

ON VAO 10 TOAN

<i>x</i>

+

1

<i>x</i>

<i>− x+</i>

1

(

x -

1

2

)

+

3

4

>

0

3x

+3

3

(

<i>x</i>

<i>− x+</i>

1

)

2

(

<i>x</i>

<i>− x+</i>

1

)

+

<i>x</i>

+

2

<i>x+</i>

1

3

(

<i>x</i>

<i>− x</i>

+1

)









x 1

2

3 3 x x 1









<sub>3</sub>

2

2

3

<i>⇒</i>

2x -2x+2-x +2x-1

x -x+1

2

(

<i>x</i>

<i><sub>− x+1</sub></i>

<sub>)</sub>

<i><sub>−</sub></i>

<sub>(</sub>

<i><sub>x −</sub></i>

<sub>1)</sub>

<i>x</i>

<i><sub>− x+1</sub></i>

2

<i>−</i>

(

<i>x −1</i>

)

<i>x</i>

<i><sub>− x+</sub></i>

<sub>1</sub>