Tài liệu Điều khiển phân cặp pptx

ĐIềU KHIểN PHÂN cặP

TS. Nguyễn Văn Giáp

KS. Phạm Thị Thúy Ngọc
Bộ môn Cơ Điện tử, Khoa Cơ khí
Đại học Bách khoa Tp Hồ Chí Minh
Email:

Tóm tắt
Các hệ nhiều ngõ vào/nhiều ngõ ra (MIMO- Multi Input Multi Output) rất khó có thể điều khiển chính xác vì
chỉ cần một ngõ vào thay đổi sẽ tác động đến nhiều, nếu không muốn nói là tất cả các ngõ ra. Bài báo này
giới thiệu về kỹ thuật điều khiển phân cặp, một phơng pháp điều khiển giúp hệ ban đầu hoạt động theo cách
dễ điều khiển hơn, trong đó tác động của các ngõ vào đợc phân cặp dẫn đến mỗi ngõ ra chỉ chịu ảnh hởng
duy nhất của một ngõ vào.

Abstract
Multi-input/multi-output system are usually difficult for human operator to control directly, since changing
any one input generally affects many, if not all, outputs of the system. Decoupling is a control method that
make the original system behave in the way easier to control manually where the input actions are
decoupled, each output is therefore affected by only one input signal.

1. giới thiệu

Trong lĩnh vực điều khiển, việc thiết kế bộ điều khiển cho các hệ MIMO đòi hỏi tốn nhiều
thời gian và công sức. Thêm vào đó, việc điều khiển các hệ này rất khó mang lại sự chính
xác do các ngõ vào và ngõ ra có mối liên hệ phức tạp, chỉ cần một ngõ vào thay đổi cũng có
thể dẫn đến sự thay đổi của nhiều ngõ ra. Để đơn giản hơn trong việc điều khiển các hệ
MIMO, ngời ta thiết kế các bộ bù nhằm làm cho hệ sau khi bù sẽ có khuynh hớng ở dạng
đờng chéo. Nếu hệ sau khi bù có dạng chéo thì có thể xem hệ là một tập hợp của các hệ
một ngõ vào/ một ngõ ra (SISO), nh vậy việc điều khiển sẽ trở nên đơn giản hơn. Một

phơng pháp khác làm việc điều khiển đơn giản là phân cặp. Phơng pháp này đa ma trận
hàm truyền của hệ về chính xác dạng đờng chéo. Nh vậy, một ngõ ra sẽ chỉ chịu tác
động của một ngõ vào, mỗi cặp ngõ vào/ ngõ ra sẽ đợc điều khiển bởi một bộ điều khiển
SISO vốn đơn giản hơn trong việc thiết kế.

Bài báo này đề cập đến vấn đề sử dụng điều khiển hồi tiếp (luật điều khiển hồi tiếp ngõ ra
hằng số, hồi tiếp trạng thái, hồi tiếp trạng thái kết hợp với bù trớc) để đa ma trận hàm
truyền về dạng chéo. Điều kiện để phân cặp ổn định, thuật toán để xây dựng luật điều khiển
này cũng sẽ đợc mô tả. Trong trờng hợp không thể thực hiện chéo hóa đầy đủ bằng các
luật điều khiển trên, phơng pháp phân cặp chéo hóa khối và tam giác sẽ đợc sử dụng. Các
phơng pháp này cũng đợc đề cập đến trong bài báo này.

2. ĐIềU KIệN phân cặp dạng đờng chéo

Dạng đơn giản nhất của phân cặp đờng chéo là phân cặp hệ có số ngõ vào và ngõ ra bằng
nhau. Để tiến hành phân cặp, ứng dụng một số luật điều khiển vào hệ thống nhằm làm cho
ngõ ra thứ i của hệ kín chỉ phụ thuộc vào tín hiệu ngõ vào thứ i của hệ. Nh vậy mỗi ngõ ra
có thể đợc điều khiển riêng biệt bởi một bộ điều khiển SISO đơn giản. Thông thờng, có
ba loại bộ điều khiển đợc sử dụng:
- Hồi tiếp ngõ ra hằng: u =Hy+Gr
- Hồi tiếp trạng thái tuyến tính: u =Fx + Gr
- Hồi tiếp trạng thái tuyến tính kết hợp với bù trớc: một hệ điều khiển động feedforward
đợc thêm vào bộ điều khiển hồi tiếp trạng thái. Trong trờng hợp này, bộ bù tơng ứng
với hồi tiếp ngõ ra động, tức là các vectơ ngõ vào r và ngõ ra y đợc nhân với các ma
trận độ lợi của hàm truyền động
ở đây u là tín hiệu điều khiển; y là ngõ ra; H, G, F là các ma trận độ lợi hằng; x là vectơ
biến trạng thái nội.

Hình 2.1: a) Hồi tiếp ngõ ra hằng
b)Hồi tiếp trạng thái tuyến tính

Đầu tiên, nghiên cứu việc phân cặp đờng chéo một hệ vuông bằng cách sử dụng hồi tiếp
trạng thái. Cần tìm một ma trận truyền sao cho tích của nó với ma trận hàm truyền hở của
hệ là một ma trận truyền vòng kín có dạng đờng chéo. Bất kỳ một hệ vuông nào có ma
trận hàm truyền hạng đầy đủ đều có thể đợc phân cặp đờng chéo. Hệ không thỏa mãn
điều kiện này, tức là không có các ngõ ra độc lập tuyến tính, thì không thể phân cặp bằng
bất kỳ dạng điều khiển nào.
Điều kiện cần và đủ để một hệ có thể phân cặp đờng chéo bằng hồi tiếp trạng thái là tồn
tại ma trận hằng số B* không suy biến. Ma trận này đợc thiết lập nh sau:
Với hệ đợc biểu diễn bằng không gian trạng thái:
Xét hệ liên tục
,BuAxx +=
&

DuCxy += ,
hoặc hệ rời rạc
() ( ) ( )
,1 kBukAxkx +=+
&
( ) ( ) ( )
kDukCxky +=
.
Với
AR
nxn
, BR
nxp
, CR
pxn
, DR
pxp
.
Giả sử hệ đã cho có thể điều khiển và quan sát đợc. Ma trận B* đợc xây dựng nh sau:
-
Nếu hàng i của D khác 0 thì sẽ thở thành hàng i của B*.
-
Nếu hàng i của D bằng 0 thì tìm số nguyên f
i
sao cho hàng i của ma trận
BCA
i
f

khác 0.

Hàng
i
này sẽ trở thành hàng
i
của
B*
.
Ví dụ 2.1 Cho hệ có








=








=

=











=
00
00
002
163
2
0
0
1
0
0

6116
100
010
DCBA

G B

C
A
H
r
u
x
&
x y
G B

C
A
F
r
u
x
&
x y
a)
r
b)
r
Tất cả các hàng của D bằng 0. Do vậy tìm f

i
nhỏ nhất (i=1:2) sao cho hàng i của
BCA
i
f

khác 0, ta có

f
1
= 1, f
2
= 3 và










=
42
21
*B
.
Ma trận B* suy biến nên hệ không thể phân
cặp bằng hồi tiếp trạng thái.

Với hệ đợc biểu diễn bằng ma trận hàm truyền: Giả sử T(s) và T(z) là ma trận hàm
truyền của hệ liên tục và hệ rời rạc (s là biến của biến đổi Laplace, z là biến của biến đổi z).
D(s) là ma trận dờng chéo, D(s) = diag
(
i
f
s
), {
f
i

}
là các số nguyên thỏa mãn tất cả các
hàng của
()()
sTsD
s
lim

là hằng số và khác
0.
Các số nguyên
f
i

là các chỉ số phân cặp.

()()
*lim BsTsD

s
=

(2.1)
D(z) cũng đợc xác định tơng tự.

Ví dụ 2.2
()












++
+
=
4
8
3
4
1
21
s

s
s
ss
sT









=
80
21
*B
vụựi f
1
= 1, f
2
= 0.
H
ệ này có thể phân cặp đơng chéo.
3.
Phân cặp dạng đờng chéo và độ ổn định

Hệ sau khi phân cặp có ổn định nội không, tức là có sự khử ẩn lẫn nhau giữa các cực và
zero không ổn định không? Những dạng mất ổn định nh thế rất nguy hiểm cho hệ vì
không thể phát hiện tra khi kiểm tra hàm truyền. Để có thể phân cặp đờng chéo và đảm

bảo sự ổn định của hệ sau phân cặp, các hệ vuông hạng đầy đủ phải có ma trận
B*
không
suy biến và các zero ghép cặp đờng chéo nằm ở phía trái mặt phẳng phức.
Giả sử hệ có phơng trình trạng thái
,BuAxx +=
&
DuCxy +=
Hàm truyền của hệ: T(s)
Thuật toán phân cặp đờng chéo hệ dùng luật điều khiển hồi tiếp trạng thái tuyến tính
(u=Fx+Gr) khi
*B
có hạng đầy đủ dựa trên qui trình tìm nghịch đảo ổn định của hệ
()() ()
sTsTsD

=

với
()
( )
i
f
sdiagsD =
nh (2.1). Hệ này có thể thực hiện ở dạng
{ }
DCBA

,

,,
. Thực tế
*

BD =
, nếu
*
B
đã đợc giả sử có hạng đầy đủ nghĩa là tồn tại ma
trận giả phải của
()
sT

. Giả sử hệ đã cho là vuông, ta có:

() ( )
11
*,

*

==
BGCBF
(3.1)

á
p
dụng vào hệ
,BuAxx
+=

&
uBxCy *

+=
,
thì

( ) ( ) ( )
pGFGF
IsTsDsT
==
,,

vaứ
() ()
sDsT
GF
1
,

=
(3.2)
()
sT
GF ,
là ma trận với các phần tử trên đờng chéo là
i
f
s
.

Ma trận hồi tiếp trạng thái F ấn
định n giá trị riêng vòng kín tại n zero của
( )
sT

; tức là zero của T(s) và D(s). Các vectơ
riêng của hệ vòng kín đợc gán giá trị tơng ứng nhằm loại bỏ tất cả các zero để
() ()
pGF
IsTsD
=
,
. Thay
D
(
s
)
bằng
( ) ( ){ }
spdiagsD
i
=

với
( )
sp
i
là các đa thức ổn định bậc
i
f

s
;
tức là

()
i
f
i
ssp
{=
+ các thành phần bậc thấp
}.
Từ đó, có thể chứng tỏ rằng
()()
*lim BsTsD
s
=

và hệ

( ) ( ) ( )
sTsTsD

=

đợc thực hiện bởi
{ }
*,

,, BCBA

. Với hồi tiếp
trạng thái, ta có hệ sau ổn định
() () ( )
{ }
spdiagsDsT
iGF
11
,

==
(3.3)
Ví dụ 3.1
()
()















+

=
1
1
1
1
0
1
2
sss
s
s
sT


()() ( )()
*
10
01
,limlim BsTssdiagsTsD
ss
=

==


Ta thấy hệ có
*B
hạng đầy đủ nên có thể áp dụng phân cặp đờng chéo dùng hồi tiếp
trạng thái u = Fx + Gr. Hệ có một zero truyền tại -1 và không có zero ghép cặp đờng chéo,
vì vậy có thể phân cặp với độ ổn định nội.
()








+
+
==
20
01

s
s
sD

() ()()
sTsDsT

=

đợc thực hiện bởi

{ }
*,

,, BCBA
là










=

=











=
313
021

1
0
0
0
1
0
001
000
010
CBA

dựa vào (3.1) và (3.3) ta có:
()

===

313
021

*
1
CCBF ,
()









==

10

01
*
1
BG
() ()












+
+
==

2
1
0
0
1
1

1
,

s
s
sDsT
GF

Các giá trị riêng vòng kín đợc định vị tại zero truyền của hệ tại -1 và tại các vị trí đợc
chọn -1, -2 là các cực của
( )
sD
1


.

Hình 3.1: Đáp ứng bớc của hệ thống
Khảo sát đáp ứng của hệ trớc và sau khi phân cặp bằng cách lần lợt đa tín hiệu bớc vào
ngõ vào thứ nhất và ngõ vào thứ hai. Có thể thấy rõ trên đáp ứng sau phân cặp, mỗi ngõ vào
chỉ làm thay đổi một ngõ ra.


4. PHâN Cặp KhốI
a)
Hệ ban đầu

b)
Hệ sau khi đã đợc phân cặp đờng chéo

Nếu không thể áp dụng phân cặp đờng chéo bằng hồi tiếp trạng thái, có thể áp dụng phân
cặp khối để đa hệ về dạng một tập hợp các hệ dạng đờng chéo nhỏ hơn, độc lập với nhau.
Đối với hệ vuông, mỗi khối đờng chéo này cũng phải vuông. Mỗi khối thứ i có p

i
ngõ vào
và i ngõ ra sao cho

= pp
i
.
Các hệ thỏa mãn điều kiện phân cặp đờng chéo thì cũng có thể phân cặp khối, tuy nhiên
chỉ nên áp dụng phơng pháp này khi không thể chéo hóa hoàn toàn, nghĩa là khi
B*
suy
biến. Điều này tơng tự với điều kiện là tất cả các hàng của
()()
sTsD
s

lim
là hữu hạn và
khác 0, trong đó có một số hàng phụ thuộc tuyến tính vào các hàng trớc đó. Tức là có thể
cộng tích các hàng từ 1, 2, ..., i-1 vào i để kết quả bằng 0, tức là làm cho vectơ hệ số chính
hàng này của
()()
sTsD
s

lim

bằng 0. Nếu hệ số chính mới của hàng này trong D(s)T(s) có
bậc s
-k

, nhân s
k
vào hàng để tạo ra giới hạn hữu hạn và khác 0 khi s tiến đến vô cực. Nếu
hàng này độc lập với các hàng trớc, tức là hạng của ma trận B* sửa đổi đã đợc tăng; nếu
không tiếp tục quá trình cho đến khi đạt đợc điều này. Quy trình này đợc biểu diễn bằng
bộ tác động X
T
(s).
Bộ tác động X
T
(s) của T(s) là ma trận đa thức duy nhất có dạng
() ()()
,ssHsX
T
=
()
( )
i
f
sdiags =
, trong đó H(s) là ma trận đa thức tam giác dới có các
số 1 nằm trên đờng chéo và các thành phần nằm dới đờng chéo chính là số khác 0 chia
cho
s
, để
()()
TT
s
KsTsX =

lim
là hữu hạn và hạng đầy đủ.
X
T
(
s
) có thể tìm từ hệ có dạng ma
trận hàm truyền hay không gian.
Một hệ vuông chỉ có thể phân cặp khối nếu và chỉ nếu bộ tác động của nó có cùng dạng cấu
trúc đờng chéo.

Ví dụ 4.1
()












++
+
=
4
8

3
4
1
21
s
s
s
ss
sT









=
80
21
*
B
vụựi
f
1
= 1,
f
2
= 0

B* không suy biến nên thỏa mãn định nghĩa của ma trận K
T
.
Vậy K
T
=B* với
()








==
10
0
,
2
1
s
ssdiagsX
f
f
T

Ví dụ 4.2

()

++
+
=
4
8
3
4
1
21
ss
ss
sT

=
84
21
*
B
vụựi
f
1
= 1,
f
2
= 1.
B* suy biến.
Trừ bốn lần hàng 1 của
( )
( )
sTsdiag
i
f
cho hàng 2 để loại các vectơ hệ số phụ thuộc tuyến
tính. Sau đó nhân kết quả hàng đa thức bậc thấp hơn với
s
để có giới hạn hữu hạn khi
s
tiến
đến vô cực.
()

=
s
s
s
sT

0
0
04
01
0
01

1
,
()
()( )












++

+

+
=
41

24
3
12
1
2
1
2
ss
s
s
s
s
s
sT