de thi HSG

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>§Ị thi häc sinh giái cÊp tr êng</b>
<b>Thêi gian 150 phót</b>
Bài 1:(3 điểm<b>)</b>

a) Thực hiện phép tính:









12 5 6 2 10 3 5 2

6 3 ₉ ₃

2 4 5

2 .3 4 .9 5 .7 25 .49
A

125.7 5 .14
2 .3 8 .3

 

 




b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :

2 2

3<i>n</i> 2<i>n</i> 3<i>n</i> 2<i>n</i>

   _{chia hết cho 10}

<b>Bài 2.(2điểm).</b> Với mọi số tự nhiên n 2 h·y so s¸nh:
a. A= 1

22+
1
32+

1

42+. .. .+
1

<i>n</i>2 víi 1 .

b. B = 1

22+
1
42+

1
62+. ..+

1

(2<i>n</i>)2 với 1/2

<b>Bài 3: (2điểm)</b> Tìm các số x, y nguyên biết rằng:

x 1 1

8 y 4

<b>Bài 4: ( 2 điểm</b> )<b> </b>

a. T×m GTLN cđa biĨu thøc: A = <i>x</i>1004 - <i>x</i>1003.
b. Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc: P = 14<i>− x</i>

4<i>− x</i> <i>;</i>⟨<i>x∈Z</i>⟩ . Khi đó x nhận giá trị

nguyên nào?

<b>Bài 5 (2điểm)</b> Chứng minh r»ng: Tæng A=7 +72₊₇3₊₇4_+...+74n_{chia hÕt cho 400 (n}

N).

<b>Bài 6 :(2điểm)</b> Tìm tỉ lệ ba cạnh của một tam giác biết rằng nếu cộng lần lợt độ dài từng
hai đờng cao của tam giác đó thì tỉ lệ các kết quả là

:5 : 7 : 8.

<b>Bài 7: (3 điểm) </b>

Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo

2 3 1

: :

5 4 6_{. Biết rằng tổng các bình phương ca ba s}

ú bng 24309. Tỡm s A.

<i><b>Bài 8(2 điểm).</b></i> Tìm đa thức bậc hai sao cho : <i>f x</i>

 

 <i>f x</i>



1



<i>x</i>..

¸p dơng tÝnh tỉng : S = 1 + 2 + 3 + + n.

<b>Câu 9: (2 điểm) </b>Từ điểm O tùy ý trong tam giác ABC, kẻ OM, ON , OP lần lợt vuông
góc với các cạnh BC, CA, Ab. Chứng minh rằng:

AN2_{+ BP}2_{+ CM}2_{= AP}2_{+ BM}2_{+ CN}2

...(Hết)...

Đáp án

<b>Bi 1:</b>(3 điểm):

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

a) (2 điểm)





























10

12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 4

6 3 ₉ ₃ 12 6 12 5 9 3 9 3 3

2 4 5

12 4 10 3

12 5 9 3 3

10 3

12 4

12 5 9 3

2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7
2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7
125.7 5 .14

2 .3 8 .3

2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7
2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 2

5 .7 . 6
2 .3 .2

2 .3 .4 5 .7 .9

1 10 7

6 3 2

<i>A</i>       

 


 
 
 

 

  

b) (1 điểm)

3

n + 2

_-

_{Với mọi số nguyên dương n ta có:}

3<i>n</i>2 2<i>n</i>23<i>n</i> 2<i>n</i>₌3<i>n</i>23<i>n</i> 2<i>n</i>2 2<i>n</i>

=3 (3<i>n</i> 21) 2 (2 <i>n</i> 21)

=3 10 2 5 3 10 2<i>n</i>  <i>n</i>  <i>n</i>  <i>n</i>110

= 10( 3n_-2n₎

Vậy 3<i>n</i>2 2<i>n</i>2 3<i>n</i> 2<i>n</i>

   _{10 với mọi n là số nguyên dương.}

0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm

C©u 2: ( 2 ®iĨm )
a. Do 1

<i>n</i>2<

1

<i>n</i>2<i>₋</i>₁ víi mäi n 2 nên . ( 0,2 điểm )
A< C = 1

22<i>−</i>1+
1
32<i>−</i>1+

1

42<i>−</i>1+.. . ..+
1

<i>n</i>2<i>−</i>1 ( 0,2 điểm )

Mặt khác:
C = _{1 . 3}1 + 1

2 . 4+
1

3 . 5+.. ..+

1

(<i>n −</i>1).(<i>n</i>+1) ( 0,2 ®iĨm)
= 1

2

(

1
1<i>−</i>
1
3+
1
2<i>−</i>
1
4+
1
3<i>−</i>
1
5+.. . .+

1
<i>n −</i>1<i>−</i>

1

<i>n</i>+1

)

( 0,2 ®iĨm)
= ❑

❑

(

1+

1
2<i>−</i>

1
<i>n−</i>

1
<i>n</i>+1

)

<

1
2.

3
2=

3

4<1 (0,2 ®iĨm )

VËy A < 1

b. ( 1 ®iĨm ). B = 1

22+
1
42+

1
62+. ..+

1

(2<i>n</i>)2 ( 0,25 ®iÓm )
= 1

22

(

1+
1
22+

1
32+

1

42+. .. . .+
1

<i>n</i>2

)

( 0,25 ®iĨm )
= 1

22(1+<i>A</i>) ( 0,25 ®iĨm )

Suy ra P < 1

22(1+1)=

1

2 ; Hay P <
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Bài 3:<i>(2điểm)</i> Tõ:

x 1 1 1 x 1

8 y  4 y  8 4

Quy đồng mẫu vế phải ta có :

1 x - 2

y  8 _{. Do đó : y(x-2) =8.}

Để x, y nguyên thì y và x-2 phải là ớc của 8. Ta có các số nguyên tơng ứng cần tìm trong
bảng sau:

Y 1 -1 2 -2 4 -4 8 -8

x-2 8 -8 4 -4 2 -2 1 -1

X 10 -6 6 -2 4 0 3 1

C©u : ( 1 ®iĨm)

áp dụng bất đẳng thức: <i>x y</i>  <i>x</i> _- <i>y</i> _{, ta có:}

A = <i>x</i>1004 - <i>x</i>1003  (<i>x</i>1004) ( <i>x</i>1003) _{= 2007}
Vậy GTLN của A là: 2007.

Dấu = xảy ra khi: x _-1003
b-(1 ®iĨm )

P =

4 10 10

1

4 4

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 

 

  _{P lín nhÊt khi}

10

4 <i>x</i>_{lín nhÊt}

XÐt x > 4 th×

10
4 <i>x</i>_{< 0}

XÐt x< 4 th×

10
4 <i>x</i>_{> 0}



10

4 <i>x</i>_{lín nhÊt}__{4 x là số nguyên dơng nhỏ nhất}

4 – x = 1  x = 3
khi đó

10

4 <i>x</i>_{= 10}__P_{lín nhÊt}_{= 11.}

C©u 5. A=(7 +72₊₇3₊₇4_{) + (7}5₊₇6₊₇7₊₇8_{) + ...+ (7}4n-3_{+ 7}4n-2₊₇4n-1₊₇4n_).

= (7 +72₊₇3₊₇4_{) . (1+7}4₊₇8_+...+74n-4_).

Trong đó : 7 +72₊₇3₊₇4_{=7.400 chia hết cho 400 . Nên A} ⋮ ₄₀₀

Bài 6 : Gọi 3 cạnh của tam giác ABC là a, b, c và 3 đờng cao tơng ứng là ha, hb, hc . Theo

đề bài ta có. (ha+ hb): (hb + hc) : (hc + ha ) = 5 :7 :8 hay ha + hb =5k ; hb + hc=7k

hc + ha = 8k ; ha + hb +hc =10k . (k lµ hƯ sè tØ lƯ ) . (0,5)

Suy ra hc =( ha + hb +hc) – (ha + hb) = 10k –5k =5k.

T¬ng tù : ha =3k , hb= 2k . A

DiƯn tÝch tam gi¸c : 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Suy ra <i>a</i>
<i>b</i>=

<i>h_b</i>
<i>ha</i>

=2<i>k</i>

3<i>k</i>=

2

3. T¬ng tù :

<i>a</i>
<i>c</i>=
5
3<i>;</i>
<i>b</i>
<i>c</i>=
5

2<i>;</i> (0,5)

a.ha = b.hb =c.hc <i>⇒</i>
<i>a</i>
1
<i>h_a</i>
= <i>b</i>
1
<i>h_b</i>
= <i>c</i>
1
<i>h_c</i>

B C

<i>⇒</i> a:b:c = <i>_h</i>1
<i>a</i>

: 1
<i>h_b</i>:

1
<i>h_c</i>=

1
3:

1
2:

1

5 . Hay a:b:c = 10: 15 :6 . (0,5)
<b>Bài 7: </b>(3 điểm)

Đáp án Thang điểm

a) (2,5 điểm)

Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A.
Theo đề bài ta có: a : b : c =

2 3 1
: :

5 4 6₍₁₎

và a2_+b2_+c2_{= 24309 (2)}

Từ (1) 

2 3 1

5 4 6

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

 

= k 

2 3

; ;

5 4 6

<i>k</i>
<i>a</i> <i>k b</i> <i>k c</i>

Do đó (2) 

2₍ 4 9 1 _{) 24309}

25 16 36

<i>k</i>   

 _{k = 180 và k =}180

+ Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30.

Khi đó ta có số A = a + b + c = 237.

+ Với k =180_{, ta được: a =}72_{; b =}135_{; c =}30

Khi đó ta có só A =72₊₍135_{) + (}30_{) =}237_.

=

( )

( )

<i>a a b</i> <i>a</i>

<i>b a b</i> <i>b</i>




0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 im
0,5 im

<i>Bài 5.</i> -Dạng tổng quát của đa thức bậc hai lµ :

 

2

<i>f x</i> <i>ax</i> <i>bx c</i>

(a_0).

- Ta cã :













2

1 1 1

<i>f x</i> <i>a x</i> <i>b x</i> <i>c</i>

.

- <i>f x</i>

 

 <i>f x</i>



1



2<i>ax a b x</i>  

2 1
0
<i>a</i>
<i>b a</i>


 
 

1
2
1
2

<i>a</i>
<i>b</i>
 

 




VËy ®a thøc cần tìm là :

2

1 1

2 2

<i>f x</i> <i>x</i> <i>x c</i>

(c là hằng số).
áp dụng :

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

 _{S = 1+2+3+}_…_{+n =} <i>f n</i>

 

 <i>f</i>

 

0 ₌





2 ₁

2 2 2

<i>n n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>c c</i> 

   

.

Câu 8: áp dụng định lí Pi ta go vào tam giác vng NOA và NOC ta có:

AN2 _=OA2_{– ON}2_{; CN}2_{= OC}2_{– ON}2__CN2_{– AN}2_{= OC}2_OA2_{(1) ( 0, 5 điểm)}

Tơng tự ta còng cã: AP2 _{- BP}2_{= OA}2_{– OB}2_{(2); MB}2_{– CM}2_{= OB}2_{– OC}2_{(3) ( 0, 5}

®iĨm)

</div>

<!--links-->