Toan kD co loi giai

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (145.9 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SỞ GD VÀ ĐT PHÚ THỌ
TRƯỜNG THPT THANH THUỶ

www.MATHVN.com

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẠI HỌC LẦN II NĂM 2012 
Mơn: Tốn – Khối B- D-T

( Thời gian 180 phút, không kể thời gian giao đề )

I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I ( 2,0 điểm) Cho hàm số : y = 1

x
x

+
− (C)

1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2.Tìm tất cả các điểm M ∈(C) để tiếp tuyến tại M tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.

Câu II ( 2,0 điểm)

1. Giải phương trình:

3 3

cos sin

2 cos 2
cos sin

x x

x

x x

=

2. Giải hệ phơng trình:

3 2

4 3 2 2

1 0
1

x y x xy
x x y x y

 − + + =



− + =



Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I =

(

)

3
0

2 sin cos
sin cos

x x

dx

x x

−
+

∫

Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = 1, CC’ = m (m > 0). Tìm m biết
rằng góc giữa hai đường thẳng AB’ và BC’ bằng 600, khi đó hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’
và CC’

Câu V (1,0 điểm) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
10x2+ + =8x 4 m

(

2x+1

)

x2+1

II.PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm)Thí sinh chỉ được là một trong hai phần(phần A hoặc phần B) 
A.Theo chương trình chuẩn

Câu VI.a (2,0 điểm)

1. Trong mặt phẳng với hệ toạđộ Oxy, Cho đường tròn (C): x2 + y2 -2x – 2my + m2 – 24 = 0 có tâm I và đường thẳng
(d): mx + 4y = 0. Tìm m đểđường thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB
bằng 12.

2. Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz , cho hai đường thẳng có phương trình :

(d1):

2 1

1 1 2

x− = y− = z

− ; (d2):

2
3

x t

y
z t

= −






 =



.Viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vng góc

chung của (d1) và (d2).

Câu VII.a (1,0 điểm) Giải phương trình: x

(

3log2x− >2

)

9 log2x−2

B.Theo chương trình nâng cao. 
Câu VI.b (2,0 điểm)

1.Trong mặt phẳng với hệ toạđộ Oxy, Cho tam giác ABC có A(4; 6) , Phương trình đường cao CH và trung
tuyến CK lần lượt là: 2x – y + 13 = 0 và 6x – 13y + 29 = 0. Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam

giác ABC.

2. Trong không gian Oxyz, cho hình vng ABCD có A(5; 3; -1), C(2; 3; -4). Tìm toạ độ đỉnh D biết rằng
đỉnh B nằm trên mặt phẳng (P): x + y - z – 6 = 0.

Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm phần thực của số phức z = (1 + 3 i)n ,biết n ∈N thoả mãn :

(

)

(

)

2 2

log n− +9 log n+ =6 4

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

ĐÁP ÁN ĐỀ KSCL ĐH KHỐI B – D - T NĂM 2012

Câu Nội dung Điểm

I 1.(1,0 điểm) Cho hàm số : y = 1

x
x

− (C)

(2,0 điểm) * TXĐ: D = R\{ 1}

* Sự biến thiên:

- Giới hạn và tiệm cận: lim lim 1

x→+∞y=x→−∞y= ; tiệm cận ngang: y = 1

1 1

lim ; lim

x→− y= −∞ x→+ y= +∞; ti

ệm cận đứng: x = 1

0,25

- Bảng biến thiên:

Ta có: ' 2 2 0

( 1)

y
x

−

= <

− với mọi x≠ 1

x -∞ 1 +∞

y’ - -

y 1 +∞

-∞ 1

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 1) và ( 1; +∞)

0,5

* Đồ thị

8
6
4
2

2
4
6
8

15 10 5 5 10 15

0,25

2. (1,0 điểm) Tìm tất cả các điểm M ∈(C) để tiếp tuyến tại M tạo với hai tiệm

cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.

G/s: M(x0; y0)

- Viết PTTT tại M, cắt tiệm cận tại A, B. E là giao của hai tiệm cận

EAB

S∆ = ;AB2 = EA2 + EB2 ≥2EA.EB=16 nên AB ≥4;

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

EA+EB≥2 EA EB. =4 2

Vậy chu vi nhỏ nhất khi EA = EB ⇔x0= ±1 2⇒ y0 =?

1.(1,0 điểm) Giải phương trình:

3 3

cos sin

2 cos 2

cos sin
x x
x
x x
− =
+

(2,0 điểm)

Đk: cosx≥0, sinx≥0

Phương trình có dạng:

(

cos sin

)(

1 sin cos

) (

)(

)

2 cos sin cos sin
cos sin

x x x x

x x

− +

= − +

TH1: cosx – sinx = 0 suy ra: x =

4 k
π + π

Th2: 1 sin cos+ x x=2 cos

(

x+sinx

)

( cosx+ sin )(*)x

VP(*) 2 2 2 2

2(sin x cos x)(sin x cos x) 2

≥ + + = ; VT(*)≤ + =1 1 2, dấu bằng

không xảy ra⇒ vô nghiệm.

0,25

0,25
0,25

0,25

2. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:

3 2

4 3 2 2

1 0

x y x xy
x x y x y

 − + + =



− + =



Đưa hệ về dạng:

(

)

2 3

( ) 1

x y x y x

x y x x y

 + − = −



− + =
 
 


; Đặt u = x3y, v = x(y – x)

Giải hệđược 0 1

1 0
u x
v y
= = ±
 
⇒
 
= − =
 
3
2
u
v
= −


=

 (vô nghiệm)

Vậy hệ phương trình có nghiệm: 1

0
x
y
= ±


=

0,25
0,5
0,25
III

Tính tích phân: I =

(

)

3
0

2 sin cos
sin cos
x x
dx
x x

π
−
+

∫

(1,0 điểm) Đặt: x =

π – t, đổi cận: x = 0 thì t =

π Kh x =

π thì t = 0

dx = -dt

⇒I =

(

)

(

)

2 2

3 3

0 0

2 cos sin 2 cos sin
sin cos sin cos

t t x x

dt dx

t t x x

π π
− = −
+ +

∫

⇒2I=

(

)

2 2
3
2
0 0

sin cos 1

tan 2 1

2 4

sin cos 2 cos 0

x x dx

dx x

x x x

π π π
π
π
+  
=  =  −  =
 
+  − 
 

∫

vậy I = 1/2

0,25

0,75

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

(1,0 điểm) -Kẻ BD//AB’nên:

(AB’,BC’) = (BD, BC’) = 600

0 0

' 60 or ' 120

DBC DBC

⇒ = =

*Nếu: 0

' 60

DBC = , vì lăng trụ đều

nên BB'⊥

(

A B C' ' '

)

. ADĐL cosin

và định lý pitago ta có:

' 1; ' 3

BD=BC = m + DC =

Kết hợp với 0

' 60

DBC = ta suy ra

DBC

∆ đều do đó: m2 +1 = 3

m

⇒ = (tm)

Với 0

' 120

DBC = được m = 0(loại)

*d(AB’,CC’)=d(CC’,(ABB’A’))

=d(C,(ABB’A’)= 3

C'
A'

B

A

C

B'

D

0,25

Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:

(

)

10x +8x+ =4 m 2x+1 x +1

(1,0 điểm)

Phương trình tương đương với:

2 2

2 1 2 1

2 2 0

1 1

x x

m

x x

 +   + 

− + =

   

+ +

    ; Đặt t = 2

2 1
1

x
x

 + 

 

 , − < ≤2 t 5

Rút m =

2t 2

t

+ lập bẳng biến thiên ta được: 12

4 ; 5 4

m m

< ≤ − < < −

0,5
0,5
VI. a

(1,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạđộ Oxy, Cho đường tròn (C): x2 + y2

-2x – 2my + m2 – 24 = 0 có tâm I và đường thẳng (d): mx + 4y = 0.

Tìm m đểđường thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao

cho diện tích tam giác IAB bằng 12.

Đường trịn (C) có tâm I(1; m), BK :R = 5. Gọi H là trung điểm của

dây cung AB nên IH là đường cao của tam giác IAB.

Ta có IH = d(I, d) =

5
16

m
m +

; AH =

20
16

m +

SIAB = 12 nên SIAH = 6 nên d(I, d).AH = 12.

Giải được: 3; 16

m= ± m= ±

0,25
0,25
0,25
0,25

2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng có phương trình :
(d1):

2 1

1 1 2

x− = y− = z

− ; (d2):

2
3

x t

y
z t

= −







 =



</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

đường kính là đoạn vng góc chung của (d1) và (d2).

G/s đoạn vng góc trung là AB với A thuộc d1; B thuộc d2

Dễ tìm được A 5 4; ; 2 ;

(

2;3; 0

)

3 3 3 B

 

−

 

 

Vậy phương trình mặt cầu là:

2 2 2

11 13 1 5

6 6 3 6

x y z

     

− + − + + =

     

     

0,5

VII. a Giải phương trình: x

(

3log2x− >2

)

9 log2x−2

(1,0 điểm) Đk: x > 0

(

)

(

)

3 3 log 2 1

BPT ⇔ x− x> x− (1) (x =3 không là nghiệm)

TH1: x > 3 BPT(1) 3log2 1

2 3

x
x

x

−

⇔ >

− (2)

Với x > 4 ta có: VT(2) > 3 > VP(2) (đúng)

Với 3 < x < 4 ta có: VT(2) < 3; VP(2) > 3 (vô nghiệm)

TH2: 0 < x < 3, tương tự ta có 0 < x < 1

Vậy bất phương trình có hai nghiệm x > 4; 0 < x < 1

0,25
0,25
0,25

0,25

VI. b 1.Trong mặt phẳng với hệ toạđộ Oxy, Cho tam giác ABC có A(4; 6) ,

Phương trình đường cao CH và trung tuyến CK lần lượt là: 2x – y

+ 13 = 0 và 6x – 13y + 29 = 0. Viết phương trình đường trịn ngoại

tiếp tam giác ABC.

(1,0 điểm) Tìm được B(8; 4); C(-7; -1)

Giả sử pt đường tròn là: x2 + y2 + ax + by + c = 0

Thay tọa độ của A, B, C ta được hệ phương trình :

52 4 6 0

80 8 4 0

50 7 0

a b c

a b c

+ + + =




+ + + =



 − − + =



giải được: a = -4; b = 6; c = -72

Vậy phương trình đường trịn là:

x2 + y2 – 4x + 6y – 72 =0 hay (x -2 )2 + (y + 3)2 = 85

0,25
0,25

0,25

0,25
2. Trong khơng gian Oxyz, cho hình vng ABCD có A(5; 3; -1), C(2; 3; -4). Tìm

toạđộđỉnh D biết rằng đỉnh B nằm trên mặt phẳng (P): x + y - z – 6 = 0.

(1,0 điểm) G s B x y z/ ( ;0 0; 0),do B∈( )P ⇒x0+ − − =y0 z0 6 0(1)

ABCD là hình vng nên:∆ABC vng cân tại B

. 0

AB BC

AB BC



⇔



(

)(

) (

)(

)

0 0

0 0 0 0 0

1 0(2)

5 2 3 1 4 0 (3)

x z

x x y z z

+ − =



⇔

− − + − + + + =



Từ (1), (2) và (3) ta có: N(2; 3; -1); N(3; 1; -2)

0,25
0,25
0,25
0,25

VII. b Tìm phần thực của số phức z = (1 + 3 i)n ,biết n ∈N thoả mãn :

(

)

(

)

2 2

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

(1,0 điểm) Giải pt: log2

(

n− +9

)

log2

(

n+ =6

)

4 ta được n = 10

Đưa z về dạng: z =

10 10 10 10 9

2 cos sin 2 cos sin 2

3 i 3 3 i 3

π π π π

   

+ = + = −

   

   

0,5
0,5

</div>

Toan kD co loi giai

(

)

∫

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

<sub>) (</sub>

<sub>)(</sub>

<sub>)</sub>

(

)

(

)

(

)

∫

(

)

(

)

∫

∫

(

)

∫

∫

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

) (

) (

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về