de HSG

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

UBND huyện Vĩnh Bảo Hải phòng

trng THCS Nguyễn bỉnh khiêm <b>đề kiểm tra học sinh giỏi</b>_{năm hc 2010- 2011}

<b>Môn: Toán 8</b>

<i>Thời gian làm bài: 120 phút</i>
<b>Bài 1(2 điểm). </b>

a, Phân tích đa thức thành nhân tử : x4_{+ 2011x}2_{+2010x+ 2011.}

b, Cho ®a thøc f(x)= ax3_{+ bx}2_{+ cx+ d. T×m a,b,c,d biÕt r»ng khi chia đa thức lần lợt}

cho cỏc nh thc (x-1); (x-2); (x-3) đều có số d là 6 và tại x=-1 thỡ a thc nhn giỏ
tr -18.

<b>Câu 2 (2 điểm).</b>

a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = 3<i>x</i>
2

<i></i>8<i>x</i>+6

<i>x</i>2<i></i>2<i>x</i>+1 .

b, Rót gän :

2 1 2 1 2 1

1 1 1

<i>xy</i> <i>x</i> <i>yz</i> <i>y</i> <i>zx</i> <i>z</i>

<i>xy x y</i> <i>yz y z</i> <i>zx z x</i>

     

 

         _.

<b>Bài 3(2 ®iĨm).</b>

a, Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị
vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào
chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta vẫn được một số chính
phương.

b, Chøng minh rằng với mọi n_{N thì n}5_{và n luôn cã chò sè tËn cïng gièng nhau.}

<b>Bài 4 (2,5 điểm).</b>

Cho tam giác cân ABC đỉnh A, O là trung điểm của đờng cao AH. Đờng thẳng BO
gặp AC ở E, đờng thẳng CO gặp AB ở F. Biết diện tích tứ giác AEOF là S.

a, TÝnh diƯn tÝch cđa tam giác ABC theo S.

b, Đờng thẳng song song với BC kẻ qua O cắt AB ở M và cắt AC ở N. Tính diện
tích của hình ENMF .

<b>Bài 5(1,5 điểm). </b>

Cho hình vng ABCD, trên cạnh AB lấy điểm M, hai đờng thẳng DM và CB cắt
nhau tại K, CM cắt AK tại N. Chứng minh rằng BN DK.

UBND huyện Vĩnh Bảo Hải phòng

trờng THCS Nguyễn bỉnh khiêm <b>Biểu điểm kiểm tra học sinh giỏi</b>_{năm học 2010- 2011}

<b>Môn: Toán 8</b>

<i>Thời gian làm bài: 120 phút</i>

Bài1

<b>(2 </b>
<b>điểm)</b>

Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, x4_{+ 2011x}2_{+2010x+ 2011}

= x4_+x2_{+ 1+2010x}2_{+2010x+ 2010}

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

=[(x2₊₁₎2_-x2_{] + 2010(x}2_{+x+ 1)}

=(x2_{+ x+1) ( x}2_-x+2011)

Ta cã f(x) -6 chia hÕt cho x-1; x-2; x-3

Vì đa thức bậc 3 nên có dạng f(x)-6= m(x-1)(x-2)(x-3) m là hằng số
Lại có f(-1) =-18=> -18-6=m(-2)(-3)(-4)<=> m=1

VËy f(x)-6= (x-2)(x-3)(x-4)=> f(x)= x3_-6x2_+11x

1

2

a, A = 3<i>x</i>
2

<i></i>8<i>x</i>+6

<i>x</i>2<i></i>₂<i>_x</i>

+1 =

<i>x </i>12

<i>x </i>12

3(<i>x</i>2<i></i>2<i>x</i>+1)<i></i>2(<i>x </i>1)+1

Đặt y = 1

<i>x −</i>1 => A = y2 – 2y + 3 = (y – 1)2 + 2 2

=> min A = 2 => y = 1 <i>⇔</i> 1

<i>x −</i>1=1 => x = 2

VËy min A = 2 khi x = 2

(1/2
®iĨm)

(1/2

b, A=

2 1 2 1 2 1

1 1 1

<i>xy</i> <i>x</i> <i>yz</i> <i>y</i> <i>zx</i> <i>z</i>

<i>xy x y</i> <i>yz y z</i> <i>zx z x</i>

     

 

        

2 1 ( 1) ( )

* 1 1

1 1 ( 1)( 1) 1 1

<i>xy</i> <i>x</i> <i>xy x y</i> <i>x y</i> <i>x y</i> <i>x</i> <i>y</i>

<i>xy x y</i> <i>xy x y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>

       
     
         
*
2 1
1

1 1 1

<i>yz</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>z</i>

<i>yz y z</i> <i>y</i> <i>z</i>

 
  
    
*
2 1
1

1 1 1

<i>zx</i> <i>z</i> <i>z</i> <i>x</i>

<i>zx z x</i> <i>z</i> <i>x</i>

 

  

    

VËy A= 3

Bµi 3 _Gọi abcd _{là số phải tìm a, b, c, d} _N, 0<i>≤ a , b , c , d ≤</i>9<i>, a ≠</i>0
Víi k, m N, 31<k<m<100

Ta có: abcd=<i>k</i>2

(<i>a</i>+1)(<i>b</i>+3)(<i>c</i>+5)(<i>d</i>+3)=<i>m</i>2
abcd=<i>k</i>2

abcd+1353=<i>m</i>2

Do đó: m2_–k2_{= 1353}

<i>⇒</i> (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 )
m+k = 123 hc m+k = 41

m–k = 11 m–k = 33
m = 67 m = 37

k=56
k=4

(lo¹i)

Kết luận đúng abcd = 3136
(0,25điểm)

Cần chứng minh: n5_{– n}_₁₀

- Chứng minh : n5 _{- n}_₂

<i>⇔</i>

<i>⇔</i>
<i>⇒</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

n5 _{– n = n(n}2_{– 1)(n}2_{+ 1) = n(n – 1)(n + 1)(n}2_{+ 1)}__{2 ( vì n(n – 1)}

là tích của hai số nguyên liên tiếp)
- Chứng minh: n5_{– n}_₅

n5 _{- n = ... = n( n - 1 )( n + 1)( n}2_{– 4 + 5)}

= n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 )
lý luận dẫn đến tổng trên chia hết cho 5

- Vì ( 2 ; 5 ) = 1 nên n5_{– n}__{2.5 tức là n}5_{– n}_₁₀

Suy ra n5_{và n có chữ số tận cũng giống nhau.}

Bµi 4

Bài 5
(1,5
điểm).

a, K HD//BO Ta thy OE,HD l đờng trung bình của các tam giác
AHD, CBE Suy ra AE=ED=DC

Từ đó suy ra AE/AC=1/3 nên SAOE=1/3 SAOC=1/3 SCOH. Do đó

SAOE=1/6 SAHC=> SABC=6S

b, EN=1/2 AE=> SOEN=1/2SOAE;

SOEK=1/3 SOEA => SONEK=(

1 1 5

( )

2 3 <i>SOEA</i> 6<i>SOEA</i>
SMNEF =2SONEK=

5

6_(S_OEA_+S_OEA₎₌
5
6_S

Trên tia đối tia AB lấy điểm E sao cho AE= BK. CE cắt KA kéo dài tại
H, Nối CH, DE, EK

Ta cã <i>Δ</i> BCE= <i></i> CDK=> CE DK (1)
ABCD là hình vuông => CK EB (2)

Ta cã <i>Δ</i> ADE= <i>Δ</i> BAK=> DE AK (3)
=> M là trực tâm tam giác CEK=> CM EK

Tõ 1 vµ 3 => H lµ trực tâm <i></i> ADE => DH EK
Từ 2 và 4 => CM//DH=> NK/HK=MK/DK

AB//CD=> MK/DK=BK/CK

</div>

<!--links-->