De thi DHSP1 nam 20112012

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà x hội chủ nghĩa việt nam<b>ã</b>
<b>Tr</b>

<b> ờng đại học s phạm hà nội</b> <b> Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc</b>

<b>Đề chính thức</b>
<b>đề thi tuyển sinh</b>

<b>Vµo khèi trung học phổ thông chuyên năm 2011</b>
<b>Môn thi: Toán học</b>

<i>(Dùng cho mọi thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)</i>
<i>Thêi gian lµm bµi :150 phót </i>

<b>Câu 1</b> Cho <i>a</i>=1
2

√

√2+

1
8<i>−</i>

√2
8

1.Chứng minh rằng 4<i>a</i>2+√2<i>a−</i>√2=0

2. Tính giá trị của biểu thức <i>S</i>=<i>a</i>2+

√

<i>a</i>4+<i>a</i>+1
<b>Câu 2</b>

1.Giải hệ phương trình
¿
<i>x</i>2

+<i>y</i>2+2 xy

<i>x</i>+<i>y</i>=1

√<i>x</i>+<i>y</i>=<i>x</i>2<i>− y</i>

¿{

¿

2. Cho 2 số hữu tỷ a,b thỏa mãn đẳng thức :
<i>a</i>3<i>_b</i>

+ab3+2<i>a</i>2<i>b</i>2+2<i>a</i>+2<i>b</i>+1=0

Chứng minh rằng 1-ab là bình phương của một số hưũ tỷ.

<b>Câu 3 </b>Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng <i>p</i>=<i>a</i>2+<i>b</i>2+<i>c</i>2 với a, b, c là các số nguyên
dương sao cho <i>a</i>4+<i>b</i>4+<i>c</i>4 chia hết cho p

<b>Câu 4</b> Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) , BE và CF là các
đường cao .Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại S các đường thẳng
BC và OS cắt nhau tại M

1.Chứng minh AB_AE=BS
ME

2. Chứng minh tam giác AEM đồng dạng với tam giác ABS

3.Gọi N là giao điểm của AM và EF ,P là giao điểm của AS và BC .
Chứng minh NP vng góc với BC

<b>Câu 5</b> Trong một hộp có chứa 2011 viên bi màu ( mỗi viên bi có đúng 1 màu) ,trong đó
có 655 viên bi màu đỏ ,655 viên bi màu xanh , 656 viên bi màu tím và 45 viên bi còn lại
là viên bi màu vàng hoặc màu trắng ( mỗi màu ít nhất 1 viên). Người ta lấy ra từ hộp 178
viên bi bất kì .Chứng minh rằng trong số các viên bi lấy ra ln có ít nhất 45 viên bi cùng
màu .Nếu người ta chỉ lấy ra 177 viên bi bất kì thì kết quả bài tốn cịn đúng khơng ?

<b>---HÕt---Ghi chó : C¸n bé coi thi không giải thích gì thêm</b>

<i><b>Họ và tên thí sinh...sè b¸o danh</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

2 2

1

1

2

8 2

1

2

8 2

1 1

a

2

2a

(*)

2

8

8

4 2

8

4

8 2

2

2 8 2

1

1

8 2

1

2a

4a

2

16

4

4



 















 

















a)

2 1 8 2 1 8 2 1 1

xÐt 4a 2a 2 ( 2 ) ( ) 2 0

4 4 4 4

 

        

b) theo c©u a) ta cã

2

2 2 2(1 a) 4 (1 a)

4a 2a 2 0 a a a 1 a 1

4 8

 

          

2 2

4 a 6a 9 (a 3)

a a 1

8 8

  

    

Theo (*) th× a>0

2 2

2 4 2 2

2

(a 3) a 3 4a 2a 3 2

a a a 1 a a

8 2 2 4

(4a 2a 2) 4 2

2
4

   

        

  

 

C©u 2:

1.

¿
<i>x</i>2+<i>y</i>2+2 xy

<i>x</i>+<i>y</i>=1

√<i>x</i>+<i>y</i>=<i>x</i>2<i>− y</i>

¿{

¿

®k:



2

x y 0

x y 0

 
 

2.

3 3 2 2 2

a bab 2a b 2a2b 1 0   ab(ab) 2(ab) 1 0; (a   b 0)

2
2 2

2 2 2

1 2(a b) 1 2(a b) a b 1 2ab 2a 2b a b 1

ab 1 ab 1

(a b) (a b) (a b) a b

             

       _ _

   _  _

C©u 3:

2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2

2 4 4 4 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4

2 2

gi ¶ sö a b c p 3(do a,b,c ).

xÐt p (a b c ) (a b c ) 2(a b b c c a )

do p p vµ (a b c ) p vµ p 3 (a b b c c a ) p

xÐt (a b b c c a ) c p (a b b c c a ) (a c b c c ) a b c

(ab c )(ab c ) p

p a



    

        

     

          

  





  





2 2 2 2 2 2 2 2

0
2

2

b c 2ab c ab c ab c 0 ab c k chia hÕt cho p (ab c ) p

a b c ab c

a b c

p 3(do p là số nguyê n tố).

p 3c 3

         _



    _

  

 

 





C©u 5:

Tổng số viên bi của 3 màu đỏ, xanh và tím bốc đợc ít nhất là 178-45=133 (viên)

Vì 133:3=44 d 1(số bi bốc đợc luôn nguyên dơng), nên số bi bốc đợc của một trong ba màu
đỏ, xanh hoặc tím phải là 44+1=45 (viên).

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

a)

 

 

 

0

0

BEC BFC 90 BCEF nội tiếp đ ờng tròn tâm M đ ờng kính BC
ME=MB (1)

BEA=BMS 90

xột ABE và BSM có 1 ABE và BSM đồng dạng (g.g).

BAE SBM( s®BC)

2

AB AE AB BS

(2)

BS BM AE BM

AB BS

tõ (1),(2)

AE ME

  





 _




  _



   

 

   

b)

BCEF néi tiÕp 

0

ME MC MCE cân tại M MEA 180 2C A B ABS (3)

        

L¹i cã

AB BS

(4)

AE ME

Từ (3), (4) suy ra AEM và ABS đồng dạng (c.g.c).
c)

   

 

 

AM AE

(5)

AEM và ABS đồng dạng _AS _AB

MAE SAB NAE BAP

NAE BAP

xét ANE và APB có ANE và APB đồng dạng (g.g)

AEN ABP (do BCEF ntiÕp)

AN AE

(6)

AP AB

AN AM

tõ (5), (6) PN // SM PN // OS PN BC

AP AS _{mµ OS} _BC



 

 

 _ _ _





 _



 _

 




    _ 

 _

 

</div>

<!--links-->