Ứng dụng của hàm ma trận vào việc giải hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn

MỤC LỤC
I. Lời mở đầu ......................................................................................................... 2
II. Đa thức đặc trưng - đa thức cực tiểu của một ma trận ...................................... 3
1.1 Phép cộng và phép nhân đa thức ma trận ................................................. 3
1.2 Phép chia phải và phép chia trái của đa thức ma trận ............................... 5
1.3 Định lí Bezout tổng quát ............................................................................ 8
1.4 Đa thức đặc trưng. Ma trận liên hợp.......................................................... 9
1.5 Đa thức cực tiểu của một ma trận ........................................................... 16
III. Hàm ma trận .................................................................................................. 23
2.1 Định nghĩa hàm ma trận ......................................................................... 23
2.2 Đa thức nội suy Lagrange-Sylvester ....................................................... 29
2.3 Các thành phần của ma trận A ................................................................. 32
2.4 Biểu diễn hàm ma trận bởi chuỗi............................................................. 39
2.5 Ứng dụng hàm ma trận vào việc giải hệ phương trình vi phân tuyến tính với
hệ số hằng ............................................................................................................. 44
III. Kết luận .......................................................................................................... 58
IV. Tài liệu tham khảo ......................................................................................... 59

SVTH: Thái Thị Bảo An

Trang 1


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn

LỜI MỞ ĐẦU
Giải tích ma trận ngày nay được ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực như tốn
học, cơ khí, lý thuyết vật lý…. Hiện nay có ít tài liệu trình bày các bài tập về lý
thuyết ma trận và các ứng dụng của chúng. Với lí do này tơi chọn luận văn “Ứng
dụng của hàm ma trận vào việc giải hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số
hằng”
Phương pháp giải trong luận văn ngoài các kiến thức cơ bản của phương
trình vi phân cần các kiến thức cơ bản của đại số tuyến tính về ma trận, hệ phương
trình tuyến tính cùng những kiến thức về giải tích như khai triển MacLaurin. Trong
trường hợp đa thức cực tiểu có nghiệm bội sử dụng kiến thức về giải tích ma trận để
giải.
Luận văn gồm 2 chương
Trong chương 1, giới thiệu đa thức đặc trưng, đa thức cực tiểu và ma trận
liên hợp của một ma trận vuông.
Trong chương 2, đề cập đến hàm ma trận, các tính chất liên quan. Ứng dụng
hàm ma trận để giải hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng.
Em chân thành cảm ơn Thầy hướng dẫn Thầy Phan Anh Tuấn đã giới thiệu
đề tài, cung cấp tài liệu và hướng dẫn em trong suốt quá trình thực hiện đề tài. Đồng
thời,em cũng gởi lời cám ơn đến Thầy Cơ, bạn bè khoa Tốn trường Đại học sư
phạm Đà Nẵng đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành luận văn.
Đà Nẵng ngày 27/05/2013
Sinh viên
Thái Thị Bảo An

SVTH: Thái Thị Bảo An

Trang 2


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn

CHƯƠNG 1
ĐA THỨC ĐẶC TRƯNG VÀ ĐA THỨC CỰC TIỂU CỦA MỘT MA TRẬN
Hai đa thức liên quan đến ma trận vuông là đa thức đặc trưng và đa thức cực
tiểu. Những đa thức này đóng vai trị quan trọng trong nhiều bài tốn khác nhau của
lý thuyết ma trận. Ví dụ khái niệm hàm ma trận sẽ được giới thiệu trong chương
sau, dựa hoàn toàn vào khái niệm đa thức cực tiểu.Trong chương này những tính
chất về đa thức đặc trưng và đa thức cực tiểu của một ma trận sẽ được nghiên cứu.
Điều kiện tiên quyết cho việc nghiên cứu là phải nắm các kiến thức cơ bản về đa
thức mà các hệ số của chúng là ma trận và các phép toán trên chúng.
1.1 Phép cộng và phép nhân đa thức ma trận.
Xét một ma trận đa thức vuông tức là một ma trận vng A( ) có các phần
tử là các đa thức theo  với các hệ số trong một trường F cho trước.

A( )   aik ( )1  aik(0)  m  aik(1) m1  ...  aikm 
1
n

n

(1)
Ma trận A(  ) có thể được biểu diễn dưới dạng một đa thức với hệ số là ma trận và
được sắp xếp tương ứng với lũy thừa của  .

A( )  A0 m  A1 m1  ...  Am
n

với Ai   aik( j )  ( j  0,1,..., m)

1

(2)
(3)

Số m được gọi là bậc của đa thức với điều kiện A0  0
Kí hiệu m  deg( A( ))
Số n được gọi là cấp của đa thức.
Đa thức (1) được gọi là chính quy nếu | A0 | 0
Một đa thức với các hệ số là các ma trận thỉnh thoảng được gọi là các đa thức
ma trận.
Trái với đa thức ma trận là đa thức thông thường với các hệ số vô hướng
được gọi là một đa thức vô hướng.
Bây giờ ta sẽ định nghĩa các phép toán cơ bản của đa thức ma trận.

SVTH: Thái Thị Bảo An

Trang 3


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn

Cho 2 đa thức ma trận A(  ) và B(  ) có cùng cấp. Ta biểu thị bậc cao nhất
của đa thức ma trận là m. Những đa thức này có thể được viết dưới dạng:

A( )  A0 m  A1 m1  ...  Am
B( )  B0 m  B1 m1  ...  Bm
Khi đó A( )  B( )  ( A0  B0 ) m  ( A1  B1 ) m1  ...  ( Am  Bm )

Nghĩa là tổng của 2 đa thức ma trận cùng cấp có thể biểu diễn dưới một dạng
của đa thức ma trận. Đa thức ma trận này có bậc bé hơn hoặc bằng bậc cao nhất của
đa thức đã cho.
Cho 2 đa thức ma trận A(  ) và B(  ) có cùng cấp và có bậc tương ứng là m
và p.

A( )  A0 m  A1 m1  ...  Am ( Ao  0)
B( )  B0 p  B1 p1  ...  Bp ( B0  0)
Khi đó

A( ) B( )  A0 B0 m p  ( A0 B1  A1B0 ) m p1  ...  Am Bp

(4)

Nếu nhân B(  ) với A(  ) ta sẽ nhận được một đa thức ma trận khác.
Phép nhân đa thức ma trận có tính chất đặc riêng biệt. Ngược với tích của 2
đa thức vơ hướng, tích của 2 đa thức ma trận (4) có thể có bậc nhỏ hơn m+p (nghĩa
là nhỏ hơn tổng bậc của các thừa số). Vì trong (4) tích A0 B0 có thể bằng ma trận O
mặc dù A0  0; B0  0 .
Tuy nhiên, nếu ít nhất 1 trong 2 ma trận A0 và B0 khơng suy biến, thì từ

A0  0; B0  0 ta có A0 B0  0 .
Thật vậy, chẳng hạn nếu A0 không suy biến tức là A0  0 .
Giả sử A0 B0  0 với B0  b1; b2 ;...; bn  (bi ; i  1; n là cột thứ i của B0 ).
Từ A0 B0  0 tương đương với A0bi  0 (i  1, n)
Do A0  0 nên phương trình A0bi  0 có nghiệm duy nhất bi  0, i  1, n
Suy ra B0  0 (vô lý).

SVTH: Thái Thị Bảo An

Trang 4


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn

Do đó tích của 2 đa thức ma trận là một đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng
tổng bậc của các thừa số. Nếu một trong 2 thừa số là chính quy thì bậc của tích ln
ln bằng tổng bậc của các thừa số.
1.2 Phép chia phải và phép chia trái của đa thức ma trận.
Cho 2 đa thức ma trận A(  ) và B(  ) cùng cấp và có bậc tương ứng là m và
p. Đa thức ma trận B(  ) chính quy.

A( )  A0 m  A1 m1  ...  Am ( Ao  0)
B( )  B0 p  B1 p1  ...  Bp ( B0  0)
Ta nói rằng đa thức ma trận Q(  ) và R(  ) là đa thức thương phải và đa
thức dư phải tương ứng của phép chia A(  ) cho B(  ) nếu

A( )  Q( ) B( )  R( )

(5)

và bậc của R(  ) nhỏ hơn bậc của B(  ).




Tương tự ta cũng gọi các đa thức Q( ) và R( ) lần lượt là đa thức thương
trái và đa thức dư trái của phép chia A (  ) cho B(  ) nếu





A( )  B( ) Q( )  R( )

(6)



và bậc của R( ) nhỏ hơn bậc của B(  ).
Người đọc nên chú ý rằng trong phép chia phải (nghĩa là khi ta tìm được đa
thức thương phải và đa thức dư phải) thì đa thức chia B(  ) nhân với đa thức
thương phải Q(  ) ở bên phải. Phép chia trái thì đa thức chia B( ) nhân với đa thức


thương Q( ) ở bên trái.




Thông thường các đa thức Q( ) và R( ) không trùng với Q( ) và R( ) .
Cả hai phép chia phải và phép chia trái của các đa thức ma trận cùng cấp
luôn luôn tồn tại và duy nhất, với điều kiện đa thức chia là đa thức chính quy.
Xét một phép chia phải của A(  ) cho B(  ).

A( )  A0 m  A1 m1  ...  Am ( Ao  0)
B( )  B0 p  B1 p1  ...  Bp ( B0  0)

SVTH: Thái Thị Bảo An

Trang 5


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn

Nếu m  p có thể xem Q(  )=0 và R(  )=A(  ).
Nếu m  p áp dụng kỹ thuật thông thường của phép chia một đa thức cho
một đa thức để tìm đa thức thương Q(  ) và đa thức dư R(  ). Chia số hạng cao
nhất A0 m của đa thức bị chia cho số hạng cao nhất B0 p của đa thức chia ta thu
được số hạng cao nhất của đa thức thương là A0 B01 m p . Nhân đa thức chia B(  )
với số hạng này vào bên phải, lấy A(  ) trừ đi tích nhận được, từ đó tìm được số dư

A(1) ( ) .
A( )  A0 B01 m p B( )  A(1) ( )

(7 )

Bậc m(1) của A(1) ( ) luôn nhỏ hơn m.

A(1) ( )  A0(1) m  ...( A0(1)  0, m(1)  m)
(1)

(8)

Nếu m(1)  p khi đó lặp lại q trình như trên và thu được

A(1) ( )  A0(1) B01

A ( )  A 
(2)

(2)
0

m( 2 )

B( )  A(2) ( ) 

 ...(m(2)  m(1) ) 

m(1)  p

(9)

Vì bậc của A(  ); A(1) ( ) , A(2) ( ) … giảm dần, tại một bước nào đó ta thu
được đa thức dư R(  ) có bậc nhỏ hơn p.
Từ (7) đến (9) ta có

A( )  Q( ) B( )  R( )
Với Q( )  A0 B01 m p  A0( 1) B01 m

(1)

p

 ...

(10)

Cần chứng tỏ tính duy nhất của phép chia phải.
Giả sử ta có đồng thời

A( )  Q( ) B( )  R( )

(11)

A( )  Q* ( ) B( )  R* ( )

(12)

và

Ở đây bậc của R(  ) và R* ( ) nhỏ hơn bậc của B(  ) (nghĩa là nhỏ hơn p).
Lấy (12) trừ đi (11) vế theo vế ta được

Q( )  Q* ( )  B( )  R* ( )  R( )

SVTH: Thái Thị Bảo An

(13)

Trang 6


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn

Nếu ta có Q( )  Q* ( )  không đồng nhất O thì bậc của vế trái (13) bằng
tổng bậc của B(  ) và Q( )  Q* ( )  . Vì | B0 | 0 do đó bậc của vế trái sẽ ít nhất
bằng p, trong khi bậc của vế phải *
*
Do vậy, ta có Q( )  Q ( )  0 và từ (13) suy ra R( )  R ( )  0 .
*
*
Nghĩa là: Q( )  Q ( ) và R( )  R ( ) .

Sự tồn tại và tính duy nhất của đa thức thương trái và đa thức dư trái được
chứng minh tương tự.
Ví dụ

 3  
2 3   2 
A( )   3

2
3
   2  1 3   
 1 2  3  0 1  2 1 0 
0 0 
 1 2







A

= 
(
với
0

 2 0
0 1 
1 0 
 1 3  )
 1 3









 2 2  3  2  1  2 1 2  3 1 
 2 1
B ( )   2
=
(với


B


 
0

 1 2
 1 1  )
2




   1   2   1 1 
1 1 
| B0 | 1; B01  

1 2
 3 5
A0 B  

 2 5
1
0

  2  4 2 2  13
A0 B B( )   2

2
   1 3  12 
1
0

 3  
2 3   2    2  4 2 2  13
A ( )   3
 2
 .
2
3
2
   2  1 3       1 3  12 
(1)

 3  
2 3   2    3  4 2 3  13 
 3
  3

2
3
3
   2  1 3        3  12 


3
 2  13 


2
11 
 2    1
 0 1  2  3 13

0 0 
 

A(1) ( )  



 2 0
 1 11
1 0 
 0 1  1 1   1 2 
A0(1) B01  



 2 0 1 2  2 2
SVTH: Thái Thị Bảo An

Trang 7


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn

1
 2  5
 1 2   2 2  3  2  1 
A B B ( )  



.  2
2
2
6 
 2 2    1   2   2  4
R( )  A(1) ( )  A0(1) B01B( )
(1)
0

1
0


3
 2  13   1
 2  5
= 
 

2
2

2




1


11

6 

  2  4
 3  1 13  5


   5 11  6 
 3 5
 1 2   3  1 5  2
Q( )  A0 B01  A0(1) B01  



 2 2   2  2 5  2 
 2 5

 

Qua ví dụ trên đã kiểm tra được rằng

A( )  Q( ) B( )  R( )
1.3 Định lý Bezout tổng quát.
Xét một đa thức ma trận có cấp n.

F ( )  F0 m  F1 m1  ...  Fm ( F0 #0)

(14)

Đa thức này có thể được viết lại như sau

F ( )   m F0   m1F1  ...  Fm

(15)

Vì  là một đại lượng vô hướng nên cả hai cách viết cho kết quả như nhau.
Tuy nhiên, nếu ta thay thế đối số  bằng một ma trận vng A có cấp n thì
kết quả của phép thế trong (14) và (15) nhìn chung sẽ khác nhau.
Vì các lũy thừa của ma trận A khơng nhất thiết phải giao hốn với các hệ số
của ma trận F0 , F1 , Fm .
Ta đặt

F ( A)  F0 Am  F1 Am1  ...  Fm

(16)

và


F ( A)  Am F0  Am1F1  ...  Fm

(17)



Và gọi F(A) , F ( A) lần lượt là giá trị phải và giá trị trái của phép thế A bằng

.

SVTH: Thái Thị Bảo An

Trang 8


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn

Chia F ( ) cho nhị thức  E  A . Trong trường hợp này, đa thức dư phải và
đa thức dư trái không phụ thuộc vào  .Để xác định đa thức dư phải, ta sử dụng kỹ
thuật chia thông thường sau

F ( )  F0 m  F1 m1  ...  Fm

 F0 m1 ( E  A)  ( F0 A  F1 ) m1  F2 m2  ...
 F0 m1 ( E  A)  ( F0 A  F1 ) m2 ( E  A)
 ( F0 A2  F1 A) m2  F2 m2  F3 m3  ...
  F0 m1  ( F0 A  F1 )  m2  .( E  A)
 ( F0 A2  F1 A  F2 ) m2  F3 m3
  F0 m1  ( F0 A  F1 )  m2  ...  F0 Am1  F1 Am2  ...  Fm1  ( E  A)
 ( F0 Am  F1 Am1  ...  Fm )
Vì vậy, ta thu được

R  F0 Am  F1 Am1  ...  Fm  F ( A)

(18)

Tương tự




R  F ( A)

(19)

Điều này chứng minh định lí sau
Định lí 1 (Định lí Bezout tổng quát)
Khi chia đa thức ma trận F ( ) cho nhị thức ( E  A) .Đa thức F ( ) chia


hết cho nhị thức ( E  A) bên phải (bên trái) khi và chỉ khi F ( A)  0 ( F ( A)  0 ).
Khi chia bằng phép chia phải ta có số dư là F ( A) . Khi chia bằng phép chia


trái ta có số dư là F ( A) .
Ví dụ Cho A   aik 1 và cho f ( ) là một đa thức phụ thuộc vào  . Khi
n

đó F ( )  f ( ) E  f ( A) chia hết cho ( E  A) cả bên phải và bên trái. Điều này


được suy ra từ định lí Bezout tổng qt, bởi vì trong trường hợp này F ( A) = F ( A)
=0.
1. 4 Đa thức đặc trưng. Ma trận liên hợp.
SVTH: Thái Thị Bảo An

Trang 9

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn

Xét một ma trận A   aik 1 .
n

Ma trận đặc trưng  E  A (E- ma trận đơn vị cùng cấp với A).
n
Đa thức đặc trưng của A là ( ) |  E  A ||  ik  aik |1

Ma trận B( )  bki ( )n x n

bki ( ) được gọi là phần bù đại số của  ik  aik .
Định thức ( ) |  ik  aik n

x

1 nêu i=k


|

ik
n với
0 nêu i # k

B( ) Ma trận liên hợp của A.
Ví dụ

Cho ma trận

 a11 a12
A   a21 a22
 a31 a32
  a11 a12

Ta có  E  A   a21   a22
 a31
a32

a13 
a23 
a33 

a13 
a23 
  a33 

( )   E  A   3  (a11  a22  a33 ) 2  ...

 b11 b12 b13 
B( )  b21 b22 b23 
b31 b32 b33 
trong đó :

b11   2  (a22  a33 )  a22 a33  a23a32
b12   a12  a12 a33  a32 a13
b13   a13  a12 a23  a13a22
b21    a23a31  a21a33

b22   2  (a33  a11 )  a11a33  a31a13
b23   2  (a33  a11 )  a11a33  a31a13
b31  a31  a21a32  a22 a31

SVTH: Thái Thị Bảo An

Trang 10


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn

b32   a32  a11a32  a12a31
b33   2  (a22  a11 )  a11a22  a12 a21

Ta có

( E  A) B( )  ( ) E

(20)

B( )( E  A)  ( ) E

(20’)

Định lý 2 (Hamilton – Cayley) Mỗi ma trận vuông A đều thỏa mãn đa thức
đặc trưng của nó, nghĩa là

( A)  0

(21)

Ví dụ

 2 1
A

 1 3
 ( ) 

 2

1
  2  5  7
 3

1

Định nghĩa Tập hợp tất cả các giá trị đặc trưng của A được gọi là phổ của A.

( )   E  A  (  1 )(  2 )...(  n )

(22)

Ký hiệu

spec ( A)  { / ( )  0}
 1; 2 ;...; n   {i }|1n

i các giá trị đặc trưng của A
Cho g (  ) là một đa thức vô hướng bất kỳ (xét trong trường F). Ta muốn tìm
các giá trị đặc trưng của g(A) ta làm như sau

g (  )  a0 (   1 )(   2 )...(   l )
l

l

i 1

i 1

 a0  (   i )  a0 (1)l  ( i   )

(23)

Thay thế ma trận A bởi  , ta được

g ( )  a0 ( A  1E )( A  2 E )...( A  l E )

(24)

Lấy định thức cả 2 vế của (24) và sử dụng (22), (23) ta có

SVTH: Thái Thị Bảo An

Trang 11

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn

g ( A)  a0n A  1E A  2 E ... A  l E

 (1)n a0n (1E  A)( 2 E  A)...( l E  A)
 (1)nl a0n (1 )(2 )...( l )
l

n

 (1)nl a0n  ( i  k )  g (1 ) g (2 )...g (n ).
i 1 k 1

Từ (22)

( )   E  A  (  1 )(  2 )...(  n )
n

  (  i )
i 1

Suy ra
n

( i )   (i  i )
i 1

Vậy g ( A)  g (1 ) g (2 )...g (n ).

(25)

Công thức đúng với mọi đa thức xét trong trường F
Ta thay đa thức g (  ) bởi   g ( ) . Ta có

 E  g ( A)    g (1 )  g (2 )...  g (n )
Định lý 3

(26)

g (1 ), g (2 ),..., g (n ) là các giá trị đặc trưng của g(A). Lấy

g ( )   k Nếu i spec ( A) suy ra i k spec ( Ak )(i  1, n) . Cụ thể là nếu A có các
giá trị đặc trưng

1 , 2 ,..., n

khi đó

Ak

có các giá trị đặc trưng

1k , 2k ,..., n k (k  0,1,2...)
Đưa ra công thức biểu diễn ma trận liên hợp B( ) bởi các số hạng của đa
thức đặc trưng ( ) .
Cho ( )   n  p1 n1  p2 n2  ...  pn

(27)

Hiệu số ( )  (  ) chia hết cho    . Hay    chia hết ( )  (  ) .
Xét đa thức thương

SVTH: Thái Thị Bảo An

Trang 12


Khóa luận tốt nghiệp

 ( ,  ) 

GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn

 ( )   (  )  n   n
 n1   n1
 n2   n2

 p1
 p2
 ...



 

 ( n1   n2    n3  2  ...)  p1 ( n2   n3   ...)  p2 ( n3   n4   ...)  ...
  n1  (   p1 ) n2  (  2  p1  p2 ) n3  ...   n1  p1 n2  ...  pn
(28)

Là một đa thức theo  và  .
Đồng nhất thức

( )  ( )   (,  )(   )

(29)

(29) vẫn đúng nếu ta thay  và  bằng ma trận  E và A. Từ định lí
Hamilton – Cayley, ta có

( ) E   ( E, A)( E  A)

(30)

B( )   ( E, A)

(31)

Từ (20’) và (30) ta có

Khi đó,thay  bằng ma trận  E và  bằng A

 ( E; A)  E n1  ( A  p1E ) n2  ( A2  p1 A  p2 E ) n3  ...
 An1  p1 An2  ...  pn E
Vậy

B( )  E n1  B1 n2  B2 n3  ...  Bn1

(32)

với

B1  A  p1E
B2  A2  p1 A  p2 E
...
Bn1  An1  p1 An2  ...  pn E
k
k 1
k 2
Tương tự Bk  A  p1 A  p2 A  ...  pk E, k  1, n  1

(33)

Ta có quan hệ truy hồi như sau

Bk  A( Ak 1  p1 Ak 2  ...  pk 1 )  pk E
Bk  ABk 1  pk E (k  1,2,..., n  1; B0  E )

(34)

Suy ra Bn  ABn1  pn E

SVTH: Thái Thị Bảo An

Trang 13


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn

Hơn nữa ABn1  pn E  0
Thật vậy, từ (20) ( E  A) B( )  ( ) E
Tương

đương

( E  A)( E n1  B1 n2  B2 n3  ...  Bn1 )  E n  p1E n1  p2 E n2  ...  pn E
Đồng nhất hệ số ma trận tự do 2 vế:
Suy ra  ABn1   pn E
Do đó ABn1  pn E  0

(35)

n 1
Nếu ma trận A không suy biến, khi đó pn  (1) A  0

Thật vậy, ta có
Cho

( )   E  A   n  p1 n1  p2 n2  ...  pn

 0

Suy ra

|  A |  pn

(1)n | A | (1) pn

pn  (1)n1 | A |
Từ (35) suy ra

pn E  ABn 1
pn A1  A1 ABn 1
pn A1  Bn1
A1 

(36)

1
Bn 1
pn

Cho 0 là một giá trị đặc trưng của A, suy ra (0 )  0 . Thay giá trị 0 vào
(20) ( E  A) B( )  ( ) E ta có

(0 E  A) B(0 )  0

(37)

Giả sử B(0 )  0 và biểu thị bởi b- cột  0 bất kìcủa ma trận B(0 ) . Từ
(37) ta có (0 E  A)b  0  Ab  0b

(38)

Với cột b  0 bất kỳ của B(0 ) xác định một vectơ tương ứng với giá trị đặc
trưng 0 .

SVTH: Thái Thị Bảo An

Trang 14


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn

Nếu ta biết được hệ số của đa thức đặc trưng, khi đó ma trận liên hợp được
tính bằng cơng thức B( )   ( E, A) .
1
Nếu ma trận A không suy biến thì ma trận nghịch đảo A được xác định bởi

1
1
A

Bn1
0 là một giá trị đặc trưng của A, thì các cột  0 của
cơng thức
pn
. Nếu
ma trận B(0 ) là vectơ đặc trưng của A tương ứng với   0 .
Ví dụ

 2 1 1
A   0 1 1
 1 1 1

 ( )   E  A 

 ( ,  ) 

 2

1

0
1

 1
1

1
1   3  4 2  5  2
 1

 ( )   (  )
  2   (   4)   2  4  5


B( )   ( E, A)   2 E   ( A  4 E )  A2  4 A  5E
B1

B2

với

 2 1 1 
B1  A  4 E   0 3 1 

 1 1 3
 0 2 2 
B2  AB1  5E   1 3 2 
 1 1 2 

SVTH: Thái Thị Bảo An

Trang 15


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn

 2  2
  2
 2 


2
B( )   1
  3  3
 2 
   1
 1
 2  3  2 


A 2


 0

1
1
1
A  B2   
 2
2
 1

 2

1
3
2
1

2


1

1


1


Hơn nữa

( )  (  1)2 (  2)
Cột đầu tiên của ma trận B(+1) cho vectơ đặc trưng là (+1,+1,0)
Cột đầu tiên của ma trận B(+2) cho vectơ đặc trưng là (0,+1,+1)
1. 5 Đa thức cực tiểu của một ma trận
Định nghĩa 1 Một đa thức vô hướng f ( ) được gọi là một đa thức triệt tiêu
của một ma trận vuông A nếu f ( A)  O .
Đa thức triệt tiêu  ( ) được gọi là đa thức cực tiểu của ma trận vng A
nếu  ( ) có bậc thấp nhất với hệ số của lũy thừa cao bậc nhất là 1.
Theo định lý Haminlton – Cayley đa thức đặc trưng là một đa thức triệt tiêu
của A (vì ( A)  0 ). Tuy nhiên nhìn chung nó không phải là đa thức cực tiểu.
Cho f ( ) là một đa thức triệt tiêu bất kỳ của A. Thực hiện phép chia f ( )
cho  ( ) , ta có f ( )   ( ) g ( )  r ( )
Khi đó deg( r ( ) )Thay  bằng A, ta được f ( A)   ( A) g ( A)  r ( A)
Suy ra r ( A)  0 ( do f ( A)  0 và  ( A)  0 )
Nếu r ( ) không đồng nhất O, thì r ( ) là đa thức triệt tiêu của A.
SVTH: Thái Thị Bảo An

Trang 16


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn

Theo định nghĩa của đa thức triệt tiêu deg( ( ))  deg(r ( )) . Nhưng
deg( r ( ) )Vậy r ( A)  0
Do đó Mọi  ( ) là đa thức triệt tiêu của A.
Ta có  ( ) / f ( )

Chứng minh tính duy nhất của  ( ) .
Giả sử  1 ( ) và  2 ( ) là hai đa thức cực tiểu của ma trậnA. Theo trên, ta
có

 1 ( ) /  2 ( ) (*) và  2 ( ) /  1 ( ) (**) (xem  2 ( ) là 1 đa thức triệt
tiêu bất kỳ).
Từ (*) ; (**) ta có  1 ( ) =a 2 ( ) , a : const
Do hệ số bậc cao nhất của  1 ( ) , 2 ( ) là 1 nên a=1.
Suy ra  1 ( ) = 2 ( ) .
Vậy  ( ) là duy nhất.
Do đó, cho trước ma trận A ln có duy nhất đa thức cực tiểu.
Ta đưa ra công thức liên hệ giữa đa thức cực tiểu và đa thức đặc trưng:
Ký hiệu Dn1 ( ) là ƯCLN của các định thức con cấp n-1 của ma trận đặc
trưng  E  A .
Khi đó Dn1 ( ) là ƯCLN của tất cả các phần tử của ma trận liên hợp

B( )  bki ( )n x n .
Suy ra

B( )  Dn1 ( )C ( )

(39)

Với C ( ) ma trận liên hợp thu gọn của  E  A .
Từ (20) và (47), ta có

( ) E  ( E  A)C ( ) Dn1 ( )

SVTH: Thái Thị Bảo An

(40)

Trang 17


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn

Dn1 ( ) / ( )

Do đó
Đặt

 ( ) 

 ( )
Dn1 ( )

(41)

Ta chứng minh  ( ) là đa thức cực tiểu của A.
Thật vậy, từ (39) suy ra

 ( ) E  ( E  A)C ( )

(42)

Thay  bằng A vào (42), ta được

 ( A) E  (   )C ( A)
Suy ra  ( A)  0
Vậy  ( ) là một đa thức triệt tiêu của A.
Ta chứng minh  ( ) là đa thức cực tiểu của A.
Đặt  ( )   *( )  ( )

(43)

*
Do  ( A)  0 nên theo định lý Bezout tổng quát ta có

(  E  A )/ * ( )E
*
*
Suy ra  ( )E = ( E  A)C ( )

(44)

Từ (42) suy ra

 ( ) E   *( )  ( )
 ( E  A)C * ( )  ( )
*
Vậy  ( ) E  ( E  A)C ( )  ( )

(45)

*
Do  ( A) / ( ) suy ra  ( )   *( )  ( )
*

Từ (41) và (44) suy ra C ( ); C ( )  ( ) là thương trái của phép chia  ( )E

cho  E  A . Hay C ( )  C *( )  ( )
Do đó  ( ) là ước chung của tất cả các phần tử của ma trận đa thức C ( ) .
Mặt khác, ƯCLN của tất cả các phần tử của ma trận C ( ) là 1 vì

C ( ) 

SVTH: Thái Thị Bảo An

B ( )
Dn1 ( )

(46)
Trang 18


Khóa luận tốt nghiệp

Suy ra

GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn

 ( ) const.

*


và
là 1 nên  ( )  1

Do hệ số bậc cao nhất của

Do  ( ) 

 ( )
 là 1.
Dn1 ( ) nên hệ số bậc cao nhất của

Suy ra  ( )   *( )

(47)

Do đó  ( ) là đa thức cực tiểu của A.
Đặt  ( ,  ) 
Thay

 ( E , A) 

 ( )   (  )


(48)

 bằng  E,  bằng A, ta có

 ( E )  ( A)
E  A

 ( E)  ( A)   ( E, A)( E  A)

Hay
Suy ra

 ( E)   ( E, A)( E  A)
Mà ta có  ( ) E  ( E  A)C ( )
Suy ra C ( )  ( E, A)
Từ

( E  A)C ( )   ( ) E

Lấy định thức 2 vế

( ) C ( )   ( )

n

( ) C ( )   ( )

n

Suy ra

 ( )

k

Vậy

/

( ) (1  k  n)

Do đó tất cả các nghiệm của

( ) và  ( ) là như nhau. Hay tất cả các giá

trị đặc trưng của A đều là nghiệm của  ( ) .
Nếu

( )  (  1 ) n1 (  2 ) n2 ...(  s ) ns
(i   j , i  j; ni  0, i, j  1, 2,..., s)

SVTH: Thái Thị Bảo An

(49)

Trang 19


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn

ms
m1
m2
Thì  ( )  (  1 ) (  2 ) ...(  s )

(50)

Khi đó 0  mk  nk (k  1,2,..., s)

(51)

Ta xét một tính chất khác của C ( ) .
Cho 0 là một giá trị đặc trưng của bất kỳ A   aik 1 . Khi đó  (0 )  0 . Vì
n

vậy từ (47)

(0 E  A)C (0 )  0

(52)

Vì nếu ngược lại tất cả các phần tử của ma trận rút gọn liên hợp chia hết cho

  0 .Ta biểu diễn c một cột bất kỳ nào đó của ma trận C (0 )  0 . Khi đó từ (52)
ta có (0 E  A)c  0
Nghĩa là Ac  0c

(53)

Hay nói cách khác, mỗi cột  0 của C (0 ) (cột đó ln ln tồn tại) xác
định 1 vectơ đặc trưng bởi   0
Ví dụ

 3 3 2 
A   1 5 2 
 1 3 0 

 3

3

1
1

 5

 ( ) 

 ( ,  ) 

3

2
2   3  8 2  20  16  (  2) 2 (  4)



 (  )   ( )
  2   (  8)   2  8  20
 

B( )  A2  (  8) A  ( 2  8  20) E
10 18 12 
 3 3 2 
1 0 0 
  6 22 12  (  8)  1 5 2  ( 2  8  20) 0 1 0 
 6 18 8 

 1 3 0 
0 0 1 
 2  5  6
3  6
2  4 


    2
 2  3  2
2  4 
   2
3  6
 2  8  2 


SVTH: Thái Thị Bảo An

Trang 20


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn

Tất cả thành phần của ma trận B( ) chia hết cho D2 ( )    2 . Từ đó ta có

2 
  3 3

C ( )   1   1 2 

 1
3
  6 
Và

 ( ) 

 ( )
 (  2)(  4)
 2

Trong C ( ) ta thay thế bởi  giá trị 0  2

 1 3 2 
C (2)   1 1 2 
 1 3 4 
Cột đầu tiên cho vectơ đặc trưng (1,1,1) bởi 0  2 . Cột thứ 2 cho vectơ đặc
trưng (-3,1,3) cũng với giá trị đặc trưng là 0  2 . Cột thứ 3 là phụ thuộc tuyến tính
2 cột đầu tiên.
Tương tự, cho 0  4 ta tìm thấy cột đầu tiên của ma trận C(4) có vectơ đặc
trưng (1,-1,-1) với giá trị đặc trưng là 0  4 .
Người đọc nên chú ý rằng  ( ) và C ( ) có thể được xác định bằng một
phương pháp khác.
Để bắt đầu, ta tìm D2 ( ) . D2 ( ) chỉ nhận 2 và 4 là nghiệm. Với   4 , ta có
định thức con cấp 2

1  5
   2
1 3
của ( ) khơng triệt tiêu. Vì vậy D2 (4)  0 . Với   2 cột đầu tiên của ( ) trở

thành số hạng đầu tiên của tỉ lệ thức. Tất cả các định thức con cấp 2 triệt tiêu khi

  2 ; D2 (2)  0 . Từ định thức con được tính tốn của bậc đầu tiên khơng thể chia
hết cho (  2)2 . Vì vậy

D2 ( )    2
Khi đó

SVTH: Thái Thị Bảo An

Trang 21


Khóa luận tốt nghiệp

 ( ) 

GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn

 ( )
 (  2)(  4)   2  6  8
 2

 ( ,  ) 

 (  )   ( )
   6
 

2 

  3 3

C ( )   ( E , A)  A  (  6) E   1   1 2 
 1
3
  6 

SVTH: Thái Thị Bảo An

Trang 22


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn

CHƯƠNG 2
HÀM MA TRẬN
2. 1 Định nghĩa hàm ma trận
Cho

n
A   aik 1

là một ma trận vuông và

f ( )

là một hàm bất kỳ với đối số 

.Bây giờ ta định nghĩa f(A). Nếu
f ( )    l    l  1  ...   thì
0
1
l

f ( A)   0 l   1 l 1  ...   l E
Xuất phát từ trường hợp đặc biệt trên ta sẽ nhận được định nghĩa của f(A)
trong trường hợp tổng quát.
Ký hiệu

 ( )  (  1 )m (  2 )m ...(  s )m
1

2

s

(1)

là đa thức cực tiểu của A (trong đó 1 , 2 ,..., s là các giá trị đặc trưng của A). Bậc
của đa thức này là
s

deg( ( s))  m   mk
k 1

Cho g ( ) và h( ) là 2 đa thức sao cho

g ( A)  h( A)

(2)

Suy ra d ( )  g ( )  h( ) là đa thức triệt tiêu bởi A
Vì vậy  ( ) / d()
Ta viết lại dưới dạng

g ( )  h( )(mod ( )

(3)

( mk 1)
'
(k )  0 (k  1,2,..., s)
Từ (1) suy ra d (k )  0, d (k )  0,..., d

( mk 1)
'
'
(k )  h( mk 1) (k ) (k=1,2,…,s
tức là g (k )  h(k ); g (k )  h (k ),..., g

(4)

m số

f (k ), f ' (k ),..., f ( mk 1) (k ) (k  1,2,..., s)

(5)

được gọi là giá trị của hàm f ( ) trên phổ của ma trận A. Ta kí hiệu tập hợp các giá
trị này là f ( A ) .

SVTH: Thái Thị Bảo An

Trang 23


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn

Nếu ta có (2) thì ta có (4)
Thật vậy, ta có d ( ) là đa thức triệt tiêu của A và  ( ) là đa thức cực tiểu
của A.
Suy ra d ( )   ( ). ( )
Với k là giá trị đặc trưng của A. Suy ra d (k )  0 .
Ta có

d ( )   ( ). ( )
'

'
'
Suy ra d ( )   ( ). ( )  ( ). ( ) (*)

ms
m1
m2
với  ( )  (  1 ) (  2 ) ...(  s )

Suy

ra

 ' ( )  m1 (  1 )m 1 (  2 )m ...(   )m  ...  ms (  1 )m (  2 )m ...(   )m 1
1

s

2

s

Thay

1

s

2

s

 ( ) và  ' ( ) vào (*) ta có

'
Suy ra d (k )  0 .
'
Tóm lại  ( )  (  1 )(  2 )...(  k ) (k )

Tiếp tục thay vào suy ra

d ( mk 1) (k )  0 .

Quy nạp ta được (2) suy ra (4).
Nếu các giá trị (5) tồn tại thì ta nói rằng hàm f ( ) xác định trên phổ của ma
trận A.
Phương trình (4) chỉ ra rằng g ( ) và h( ) có cùng giá trị trên phổ của A.
Ta kí hiệu

g ( A )  h( A )
Từ (4) suy ra (3) suy ra (2).
Chứng minh từ (4) suy ra (3)
( mk 1)
'
(k )  0 (k  1,2,..., s)
Thật vậy, từ (4) ta có d (k )  0, d (k )  0,..., d

Vì d ( ) là đa thức có bậc lớn nhất là m nên d ( ) có đạo hàm tại mọi cấp.

SVTH: Thái Thị Bảo An

Trang 24


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn

Khi đó, khai triển Taylor của d ( ) , ta có

d ' (k )
d " (k )
(  k ) 
(  k ) 2  ...
1!
2!
( mk 1)
mk
d
(k )
d (k )

(  k ) mk 1 
(  k ) mk  ...
(mk  1)!
mk !

d ( )  d (k ) 

( mk 1)
'
(k )  0 (k  1,2,..., s) .
Theo giả thiết d (k )  0, d (k )  0,..., d

d mk (k )
mk
Vậy d ( )  m ! (  k )  ...
k

mk
Suy ra (  k ) / d ( ) (k  1,2,..., s)

Do đó

d ( )  g ( )  h( )  0(mod ( ) (**)

Hay g ( )  h( )(mod ( )
Chứng minh từ (3) suy ra (2)
Trong (**) thay  bởi A. Ta có d(A)=g(A)-h(A).
Mà d ( ) là đa thức triệt tiêu của A.
Suy ra d(A)=0
Hay g(A)=h(A).
Vậy từ (4) suy ra (2).
Kết hợp chứng minh từ (2) suy ra (4) ta có (2) tương đương (4).
Do đó, cho trước ma trận A,thì các giá trị của g ( A ) trên phổ của ma trận A
xác định hoàn toàn bởi ma trận g(A). Điều này có nghĩa là với mọi đa thức h sao
cho g ( A )  h( A ) thì g(A)=h(A).
Nguyên lý để định nghĩa f(A) f ( A ) xác định hoàn toàn f(A). Tức là mọi
hàm  sao cho f ( A )   ( A ) ta có f ( A)   ( A) ( f ,  có cùng giá trị trên phổ
của A)
Định nghĩa 1 Nếu hàm f ( ) xác định trên phổ của ma trận A, khi đó

f ( A )  g ( A ) với g ( ) là đa thức bất kì có cùng giá trị với f ( ) trên phổ của A.

SVTH: Thái Thị Bảo An

Trang 25