Kien thuc on tap he lop 8 len 9 mon toan

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (549.79 KB, 12 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

NỘI DUNG ƠN TẬP HÈ TỐN 8 LÊN 9

A ĐẠI SỐ :

CHƯƠNG I PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC

Phần 1 : PHÉP NHÂN VÀ CHIA CÁC ĐA THỨC

1) Nhân đơn thức với đa thức : ( áp dụng tính chất nhân một số với một tổng )

Quy tắc : Muôn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng
các tích với nhau .

Bài tập :

1 . Làm tính nhân :

a) 2x ( x2 – 7x – 3 ) b) 3 2 7 .4 2
4

2x y xy xy












 c) ( -5x3)(2x2 + 3x -5 ) d) 2 2



3 3



2x xy y  x











2. Rút gọn các biểu thức sau :

a) 3x2 – 2x ( 5 + 1,5x ) + 10 b) 7x( 4y –x ) + 4y ( y -7x ) – 2 ( 2y2 – 3,5x )
c) { 2x – 3 ( x – 1 ) – 5 [ x – 4 ( 3 – 2x) + 10 ]}. ( -2x )

3 . Tìm x biết :

a) 3 ( 2x – 1 ) – 5( x – 3 ) + 6 ( 3x – 4 ) = 24 b) 2x2 + 3( x2 -1 ) = 5x( x + 1)
c) 2x ( 5 – 3x) + 2x(3x – 5 ) – 3 ( x – 7 ) = 3 d) 3x ( x + 1 ) – 2x( x + 2 ) = -1 – x
4. Tính các gía trị biểu thức sau :

a) A = x2 ( x + y ) – y ( x2 – y ) + 2002 với x = 1 ; y = -1
b) B = 5x ( x – 4y ) – 4y ( y – 5x ) -

20
11

Với x = - 0,6 ; y = - 0,75
c) C = x( x – y + 1) – y ( y +1 – x ) Với

3
1
;
3
2





 y

x

2 )Nhân đa thức với đa thức ( Áp dụng tính chất nhân một tổng với một tổng )

Quy tắc : Muốn nhân một đa thức với một đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của
đa thức kia rồi cộng các tích với nhau .

Bài tập :

1.Thực hiện phép tính :

a) ( x2 – 2x + 3 )( x – 4 ) b) (2x – 3x – 1)(5x +2 )

c) ( 25x2 +10y + 4y2)(5x – 2y) d) (5x3 – x2 + 2x – 3)(4x2 – x + 2)
2. Tìm x biết :

a) (3x – 1)(2x +7) – (x + 1)(6x -5 ) = 16 b) (10x + 9)x – (5x – 1 )(2x + 3) = 8
c) (3x – 5)(7 – 5x ) + (5x + 2)(3x – 2 ) – 2 = 0 d) x(x + 1)(x + 6 ) – x3 = 5x

3. Chứng minh các đẳng thức sau :

a) (x + y)(x4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4) = x5 + y5 b) (x – y)(x4 + x3y +x2y2 +xy3 + y4) = x5 – y5
4 . Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì :

a) n(n + 5) – (n – 3)(n + 2) 6 b) (n1)(n1)(n7)(n5)12

Phần 2 : NHỮNG HẰNG ĐẢNG THỨC ĐÁNG NHỚ
Kiến thức cần nhớ :

1. Bình phương một tổng : ( A + B )2 = A2 + 2AB + B2
2. Bình phương một hiệu : ( A - B )2 = A2 - 2AB + B2
3 . Hiệu hai bình phương : A2 – B2 = ( A + B)(A – B)

4.Lập phương một tổng : ( A + B )3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
5.Lập phương một hiệu : ( A - B )3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
6 Tổng hai lập phương : A3 + B3 = (A + B)(A2 –AB + B2 )
7. Hiệu hai lập phương : A3 - B3 = (A - B)(A2 +AB + B2 )
Bài tập :

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Kiến thức trọng tâm lớp 8 
d)

2
4
1









x e)

2
2
1
3
1









 y

x d) 

















 y x y

x

5
2
5

2 2

2.Rút gọn các biểu thức :

a) (x + 1)2 – (x – 1)2 – 3(x +1)(x -1 ) b) 5(x + 2)(x – 2) - (6 8 ) 17
2

1 2



 x

3. Tìm x biết :

a) 25x2 – 9 = 0 b) (x + 4)2 – (x + 1)(x – 1) = 16 c) (2x – 1)2 + (x + 3)2 – 5(x +7)(x – 7) = 0
4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

a) A = x2 + 5x + 7 b) x2 – x + 1 c) x ( x – 1) d) x( x -2 ) + 5
5 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

a) A = 6x – x2 – 5 b) x – 1 – x2 c) - x ( x – 1 ) d) x( 2 – x ) +1
6. Rút gọn các biểu thức :

a) (a + b)3 + (a – b)3 – 6a2b b) (a + b)3 – (a –b)3 – 6a2b c) ( x2 – 1)3 – ( x4 +x2 +1)(x2 – 1)
d) (x4 – 3x2 + 9 )(x2 + 3) – (3 + x2) e) (x – 3)2 – (x – 3)(x2 + 3x + 9) + 6(x + 1)2

7. Tìm x biết :

a) (x + 2)(x2 – 2x + 4) – x(x2 + 2) = 15 b) (x +3)3 – x(3x + 1)2 + ( 2x + 1)(4x2 – 2x + 1) = 28
8 . Cho biểu thức A = (x2 + 2)2 – (x + 2)(x - 2)(x2 + 4)

a) Rút gọn A ;

b) Tính giá trị của A khi x = -2 ; x = 0 ; x = 2

c) Chứng minh rằng A luôn luôn dương với mọi giá trị của x

Phần 3 : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Kiến thức : Phân tích đa thức thành nhân tử ( hay thừa số ) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những
đơn thức và đa thức . Để phân tích một đa thức thành nhan tử , ta thường dùng các phương pháp sau đây :
- Đặt nhân tử chung

- Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ
- Nhóm các hạng tử

- Phối hợp các phương pháp trên

Ngồi ra cịn sử dụng : Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử , Thêm bớt cùng một hạng tử , tìm nghiệm của
đa thức v. .v.

Bài tập :

1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) 3x3y2 – 6x2y3 + 9x2y3 b) 5x2y3 – 25x3y4 + 10x3y3 c) 12x2y – 18xy2 - 30y2
d) 36 – 12x + x2 e) 4x2 + 12x + 9 f) – 25x6 – y8 + 10x3y4

g) 2 5 25 2

4
1

y
xy

x   h) (x – 5)2 – 16 i) 25 – (3 – x)2 k) 125 – x6
l) (7x – 4)2 – (2x + 1)2 n) 49(y – 4)2 – 9(y + 2)2 m )

27
1

8x3
2. Phân tích thành nhân tử :

a) xy + xz + 3x + 3y b) xy – xz + y – z c) 11x + 11y – x2 – xy d) x2 – xy – 8x + 8y
e) x2 – 6x – y2 + 9 f) 25 – 4x2 – 4xy – y2 g) x2 + 2xy +y2 – xz – yz h) x2 – 4xy + 4y2 – z2 + 4xt – 4t2
3. Phân tích thành nhân tử :

a) x5 + x3 – x2 – 1 b) x4 – 3x3 – x + 3 c) x3 – x2y – xy2 + y3 d) 3x + 3y – x2 – 2xy – y2
e) x2 + 4x + 3 f) 4x2 + 4x – 3 g) x2 – x – 12 h) 4x4 + 4x2y2 – 8y4

4. Tìm x biết :

a) 5(x + 3) – 2x(3 + x ) = 0 b) 4x(x – 2012) – x + 2012 = 0 c) (x + 1)2 = x + 1 d) (x + 8)2 = 121
e) (x – 4)2 – 36 = 0 f) x(x – 5)2 – 4x + 20 = 0 g) x2 + 8x + 16 = 0 h)4x2 – 12x = 9
i) x(x + 6) – 7x – 42 = 0 k) x3 – 5x2 + x – 5 = 0 l) x4 – 2x3 + 10x2 – 20x = 0

5. Tìm x biết :

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

6.Chứng minh với mọi số nguyên n thì :

a) n2(n + 1) + 2n(n + 1) chia hết cho 6 b) (2n – 1)3 – (2n – 1) chia hết cho 8

c) (n + 2)2 – (n – 2)2 chia hết cho 8 d) (n + 7)2 – (n – 5)2 chia hết cho 24
e) Hiệu các bình phương hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 8

Phần 4 CHIA ĐƠN THỨC – CHIA ĐA THỨC 
Kiến thức cần nhớ :

* Đơn thức A chia hết cho đơn thức B khi mỗi biến của B là biến của A với số mũ khơng lớn hơn số mũ của
nó trong A

* Muốn chia một đơn thức A cho một đơn thức B ta làm như sau :
- Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B .

- Chia từng lũy thừa của biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B
- Nhân các kết quả tìm được với nhau .

* Muốn chia một đa thức A cho một đơn thức B , ta chia mỗ hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với
nhau .

* Người ta chứng minh được rằng với hai đa thức tùy ý A và B của một biến ( B khác 0) , tồn tại hai đa thức
duy nhất Q và R sao cho A = B.Q + R

R = 0 hoặc bậc của R thấp hơn bậc của B.
Khi R = 0 phép chia A cho B là phép chia hết .
Bài tập :

1. Làm tính chia :

a) 


















 x y x y x y

y

x3 6 4 3 5 3

5
3

:
10

9
5

6
4















 3 2 2

3
1
:
3

2x x x x

c) ( 8x4 – 4x3 + x2 ) : 2x2 d) [5(x – y)4 – 3(x – y)3 + 4(x – y)2] : (y – x)2 e) ( 8.57 – 55 + 56 ): 55
2. Tìm x biết :

a) ( 4x4 + 3x3 ) : ( - x3) + (15x2 + 6x) : 3x = 0 b) :2



3 1

 

: 3 1



0
2

1 2

2    









 x x x x

x

3. Làm phép chia :

a) ( -3x3 + 5x2 – 9x + 15): (-3x + 5) b) (x4 – 2x3 + 2x – 1 ) : (x2 – 1)
c) ( 5x4 + 9x3 – 2x2 – 4x – 8 ) : ( x – 1) d) ( 5x3 + 14x2 + 12x + 8 ) : ( x + 2)
4. Với giá trị nào của x thì đa thức dư trong mỗi phép chia sau có giá trị bằng 0 :

a) ( 2x4 – 3x3 + 4x2 + 1) : ( x2 – 1 ) b) ( x5 + 2x4 + 3x2 + x - 3 ) : ( x2 + 1)
5 . Tìm giá trị nguyên của x để .

a) Giá trị của đa thức 4x3 + 11x2 + 5x + 5 chia hết cho giá trị của đa thức x + 2
b) Giá trị của đa thức x3 – 4x2 + 5x – 1 chia hết cho giá trị của đa thức x – 3
c) Giá trị của đa thức n3 – 2n2 + 3n + 3 chia hết cho đa thức n – 1

PHẦN BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG I 
1. Rút gọn các biểu thức :

a) (x – 3)(x + 7 ) – (x + 5)(x – 1) b) (x + 8)2 – 2(x + 8)(x – 2) + (x – 2)2
c) x(x – 4)(x + 4) – (x2 + 1)(x2 – 1) d) (x + 1)(x2 – x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1)

e) (a + b + c )2 + (a + b – c)2 – 2(a + b) f) (a + b + c)2 + (a – b + c)2 + (a + b - c)2 + (b + c - a)2
2. Tính giá trị của các biểu thức sau :

a) A = (2x2 + 5x + 3) : (x + 1) - (4x – 5 ) với x = -2

b) B = [ (3x – 2)(x + 1) – (2x + 5)(x2 – 1)] : ( x + 1) Với x = 2,5
c) C = (2x + 3y)(2x – 3y) – (2x – 1)2 + (3y – 1)2 với x = 1 và y = - 1
3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) x3 – x2 – 4x2 + 8x – 4 b) 4x2 – 25 – (2x – 5)(2x + 7 ) c) 4x2y2 – (x2 +y2 – z2)

d) (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12 e) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 f) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1
4. Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần rồi làm phép chia :

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Kiến thức trọng tâm lớp 8 
a) x2 – 25 – (x +5) = 0 b) (2x – 1)2 – (4x2 – 1) = 0 c) x2(x2 + 4) – x2 – 4 = 0

6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A = (x – 1)(x – 3) + 11 ; b) B = (x2 – 3x + 1)(x2 – 3x – 1) ; c) C = (x – 1)(x + 5)(x2 + 4x + 5)
7. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

a) D = 5 – 4x2 + 4x ; b) E = - 4 – x2 + 6x ; c) F = |x – 3|(2 - |x – 3|) ; d) G = - x2 – 4x – y2 + 2y
8. a) Chứng minh đẳng thức : (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2

b) Nếu a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc thì a = b = c
c) Nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 - 3abc = 0

9. Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp , biết rằng tích của chúng bằnd 24
10. Xác định các số nguyên n để :

a) Giá trị của biểu thức 10n2 + n – 10 chia hết cho giá trị của biểu thức n – 1
b) Giá trị của biểu thức 25n2 – 97n + 11 chia hết cho giá trị của biểu thức n – 4

CHƯƠNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

Phần 1 TÍNH CHẤT CƠ BẢN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

Kiến thức :

1.* Một phân thức đại số ( hay nói gọn là phân thức ) là một biểu thức có dạng
B
A

, trong đó A , B là những đa
thức và B khác 0

A được gọi là tử thức ( hay tử ) ; B được gọi là mẫu thức ( hay mẫu ) .
Mỗi đa thức cũng được coi là một phân thức cho mẫu thức bằng 1
2.* Với hai phân thức

B
A
và
D
C
Ta nói
D
C
B
A

 nếu A.D = B.C

3 . * Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được một phân thức bằng
phân thức đã cho

M
B
M
A
B
A
.
.

 ( M là một đa thức khác 0)

4. * Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng

phân thức đã cho .

N
B
N
A
B
A
:
:

 ( N là một nhân tử chung)

5. * Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho

B
A
B
A




6 .* Muốn rút gọn một phân thức ta có thể :

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử ( nếu cần ) để tìm nhân tử chung ;

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung

Bài tập :

1. Rút gọn các phân thức sau :

a)
yz
xy
y
x
y
x




2
2
2
2

; b)

xz
y
z
x
xy
z

y
x
2
2
2
2
2
2
2
2







; c) 3 2 3
2
2
)
2
(
35
)
2
(
15
y
x

y
x
y
x
y
x



; d)

)
2
1
(
12
)
1
2
(
10
3
3
2
x
y
x
x
xy



e)
3
9
4
12
6
3
8
4
2
3
2
3






x
x
x
x
x
x

; f) 3 2
2
2

)
2
(
)
2
3
(
x
x
x
x





; g)

1
1
2
3
2
3
5







x
x
x
x
x
x
h)
6
5
12
7
2
2




x
x
x
x
i)
1
1
4
2
4
6
8

10







x
x
x
x
x
x

P ;

1
...
1
5
10
35
40
45
10
20
30
40












x
x
x
x
x
x
x
x
x
Q

2.Chứng minh các đẳng thức :

















2
4
1

2
2
2
3
2







x
x
x
x
x
x
x

; b)

y
x
y
x
x
y
x
xy

y
x











1
1
2
1
1
2
2
2
2
2

; c)





2
3

1
2
3
3
3
1
2
3
2
3
x
y
x
x
x
x
xy
y










</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Phần II QUY ĐỒNG MẪU THỨC CỦA NHIỀU PHÂN THỨC

Kiến thức cần nhớ :

1.Muốn tìm mẫu thức chung của nhiều phân thức ta làm như sau :
- Phân tích các mẫu thành nhân tử ( nếu cần )

- Chọn một tích gồm một số chia hết cho các nhân tử bằng số ở các mẫu thức ( nếu các nhân tử này là những
số ngun thì số đó là BCNN của chúng ) , với mỗi cơ số của lũy thừa có mặt trong các mẫu số ta lấy lũy thừa
với số mũ cao nhất .

2. Muốn quy đồng mẫu thức của nhiều phân thức ta làm như sau :
- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung
- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức ;

- Nhân tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng .

Bài tập

1. Quy đồng mẫu thức các phân thức sau :
a)
y
z
x
y
x
z
xz
y
2
2
2 6

5
;
18
11
;
12
7


; b)

z
y
x
z
x
x
y
x
x
3
3
4
2
3 20
1
;
10
6
;

2  

; c)

)
3
(
2
;
)
2
(
1
;
1 




 x x

x
x
x
x
x
x

d) ; 1 ; 2 1

1 2 2

3 






 x x

x
x
x
x
x
x

; e)



 



2
3
1
;
1

;
y
x
y
x
xy
x
x



 ; f) 7 10; 5

3
2
;
6
5
5
2
2
2






 x x

x
x

Phần III CÁC PHÉP TOÁN CỘNG TRỪ NHÂN CHIA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

Kiến thức cần nhớ :

1. * Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau , giữ nguyên mẫu thức rồi rút gọn
phân thức vừa tìm được .

* Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức cùng mẫu
vừa tìm được .

2. *

B
A



là phân thức đối của

B
A

; ngược lại

B
A

là phân thức đối của

B
A


;
Phân thức đối của phân thức

B
A

được kí hiệu là

B
A

 ; Ta có :

B
A
B

A 



 và

B
A
B
A




* Muốn trừ phân thức

B
A

cho phân thức

D
C

, ta cộng

B
A

với phân thức đối của

D
C
: ( )

D
C
B
A
D
C
B
A





3. * Muốn nhân hai phân thức đại số ta nhân các tử số với nhau , các mẫu số với nhau , rồi rút gọn phân thức

vừa tìm được :

D
B
C
A
D
C
B
A
.
.
. 

* Phép nhân các phân thức đại số có các tính chất :

a) Giao hoán :

B
A
D
C
D
C
B
A
.
. 

b) Kết hợp : 













F
E
D

C
B
A
F
E
D
C
B
A
.
.
.
.

c) Phân phối đối với phép cộng :

F
E
B
A
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A

.
.
.  







4. * Nếu

B
A

là một phân thức khác 0 thì . 1

A
B
B
A

. Do đó

A
B

là phân thức nghịch đảo của

B

A

và ngược lại ;
* Muốn chia phân thức

B
A

cho phân thức
D
C

khác 0 ta nhân
B
A

với phân thức nghịch đảo của
D
C

C
D
B
A
D
C
B
A
.

:  với 0

D
C

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Kiến thức trọng tâm lớp 8 
1. Cộng các phân thức :

a) 2 2 2

2
4
3
2
5
yz
z
y
yz
x


 ; b)

3
3

5
9
6

2    

 x
x
x
x
x
x

; c) 2 2 2 2

4
4
2
2
2
y
x
y
xy
y
xy
x
x






d)
)
)(
(
)
)(
(
)
)(

( z x z y

z
z
y
x
y
y
z
x
y
x
x








 ; e) ( )( ) ( )( ) ( )( )

2
2
2
y
z
x
z
z
z
y
x
y
y
z
x
y
x
x








2. Thực hiện các phép tính sau :

1
2
1
2

1   2

 x x

x
x

; b)

1
6
1
2
1
1
5
3
4
2
3
2










x
x
x
x
x
x
x

; c)

1
15
1
10
1
5
3
2







 x x x

x
d)
1
3
1
2
1
1
2





 x
x
x
x

x ; e) 4 1

2
1
2
1
1

2
2
2





 x x

x ; f) 4 6

1
3
2
1
18
8
7
2

2  




 x x x

x

3. a) Chứng minh rằng :

)
1
(
1
1
1
1




x
x
x
x

b) Áp dụng tính :

)
4
)(
3
(
1
)
3
)(
2

(
1
)
2
)(
1
(
1
)
1
(
1










 x x x x x x

x
x

c) Tính :

1
20
9
1
12
7
1
6
5
1
2
3
1
1
2
2
2
2

2  















x x x x x x x x x x

x

4.Rút gọn biểu thức :

a)
)
1
)(
3
(
.
1
.
5
3
2




x
x
x
x

x
x

; b)

5
2
1
.
1
2
.
1
5
2
3
4
2
3
3
4










x
x
x
x
x
x
x
x
x

; c)

4
3
3
3
.
2
.
2
2
4
3
2
5
3
3
5








x
x
x
x
x
x
x
x

d) 4 4

2
2
2
2
2
2
2
:
y
x
y
xy
x
y

x
y
x






; e)

y
x
x
xy
x




2
2
:
y)

-y

(xy ; f)

1
:
: 2
2
2
2





x
x
y
xy
xy
x
y
xy
x

g) 









y
x
xy
x
z
y
y
x
2
2
2
:

: ; h)

y
y
x
y
x
xy
x
z 








2
2

2 : : k)

1
1
2
:
1
:
1
1
:
3
1
2
2
2
3
2
2










x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

5. Cho biểu thức

2
1
3
6
6
4
3
2






x

x
x
x
x
A

a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định ;
b) Rút gọn biểu thức A

c) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3

d) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức A bằng 2 ? bằng 1
e ) Tìm các giá trị của x để A > 0

6. Cho biểu thức

32
16
8
.
4
4
4

4 2  












 x x

x
x

M

a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức M được xác định ;
b) Tìm giá trị của x để giá trị của M bằng

3
1
c) Tìm giá trị của x để giá trị của M bằng 1

d) Tìm các giá trị nguyên của x để M có giá trị ngun

7. Tìm giá trị nguyên của x để giá trị củamỗi biểu thức sau là một số nguyên :

a)
3
1




x
x

N b)

1
2

8
2
2 3 2






x
x
x
x

Q c)

3
5
3
4





x
x
x
P

8 . Chứng minh các đẳng thức :





</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 
Kiến thức cần nhớ

1 . * Một phương trình ẩn x ln có dạng A(x) = B(x) , trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức
của cùng một biến x

* Giá trị của biến nghiệm đúng phương trình đã cho gọi là nghiệm của phương trình đó .

* Một phương trình có thể có một , hai , ba … nghiệm , nhưng cũng có thể khơng có nghiệm nào hoặc vơ
số nghiệm . Phương trình khơng có nghiệm nào được gọi là phương trình vơ nghiệm .

* Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm ( hay tập nghiệm ) của phương trình .
* Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng tập nghiệm

2. * Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó .
* Trong một phương trình ta có thể nhân ( hay chia ) cả hai vế với cùng một số khác 0

* Từ một phương trình , dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân ta được một phương trình mới tương
đương với phương trình đó .

* Phương trình dạng ax + b = 0 , với a,b là hai số tùy ý và a0được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn
* Phương trình axb0(a0) được giải như sau :

a
b
x
b
ax
b

ax 0    

* Phương trình bậc nhất ax + b = 0 có một nghiệm day nhất

a
b
x 

2.* Phương trình tích là phương trình có dạng A(x).B(x) = 0 , trong đó A(x) , B(x) là các đa thức biến x.
* Muốn giải phương trình A(x).B(x) = 0 , ta giải hai phương trình A(x) = 0 và B(x) = 0 , rồi lấy tất cả các
nghiệm thu được .

3. * Muốn giải phương trình có chứa ẩn ở mẫu thức ta thực hiện các bước sau :
Bước 1 : Tìm điều kiện xác định của phương trình .

Bước 2 : Quy đồng mẫu thức ở hai vế của phương trình rồi khử mẫu
Bước 3 : Giải phương trình vừa nhận được

Bước 5 : ( Kết luận ) . Trong các giá trị tìm được của ẩn ở bước 3 , loại các giá trị khơng thỏa mãn điều kiện
xác định , cịn các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

4. Giải bài tốn bằng cách lập phương trình gồm ba bước sau :
Bước 1 : ( Lập phương trình ): Bao gồm :

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số .

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
- Từ đó lập phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng
Bước 2 : ( Giải pưhương trình ) . Giải phương trình vừa thu được

Bước 3 : ( Trả lời ) . Kiểm tra xem các nghiệm của phương trình , nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn ,
nghiệm nào không , rồi trả lời .

Bài tập :

1. Giải phương trình :

a) 7

5
)
3
2
(
3
8

1
)
3
(
4
3

)
4
(
2









 x x x

x

9
2
)
1

(
3
2
1
6

10 x x x x

x       

4
7
,
0
9
7

5
5
,
1
3

1
,
1

7
3

5 







 x x x

x

6
2
3

5
2
10

2
3
5

4 







 x x x

x

2. Giải các phương trình :

a) 3(x – 1)(2x – 1) = 5(x + 8)(x – 1) b) 9x2 -1 = (3x + 1)(4x + 1) c) x3 – 5x2 + 6x = 0

d) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 e) (x – 7)(x – 5)(x – 4)(x – 2) = 72 f) x(x -1)(x + 1)(x + 2) = 24
3. Giải phương trình :

24
3

102
13
8
1
8

20
3
16
2









 x

x
x

x

x ; b) x

x
x

x

x 4 4

1
12
4
4

1
8
5
1
6

2 








 ;c) 16 9

7
10
4
12
9

3
9
12

5
6

2
2












x
x
x
x
x
x

x

d) 0

3
2
6
5

6
3
9
8

6
6
3
13

2
4


















x
x

x
x
x

x

3
2

)

3
)(
1
(

8
3










 x x

x
x

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Kiến thức trọng tâm lớp 8 
f)

1
4

8
1
2

1
2
1
2

1
2

2








x
x

x

; g) 1

)
1
)(
2
(

1
)

2
)(
3
(

1
)

3
)(
4
(

1
)

4
)(
5
(

2
2

2 











 x x x x x x x

x

4. Cho phương trình ẩn x : 9x2 – 25 –k2 – 2kx = 0
a) Giải phương trình với k = 0

b) Tìm các giá trị của k sao cho phương trình nhận x = - 1 làm nghiệm .

5. Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc trung bình 40km/h. Lúc đầu ơ tơ đi với vận tốc đó , khi cịn 60
km nữa thì được một nữa quãng đường AB , ô tô tăng thêm vận tốc 10 km/h trên quãng đường cịn lại , do đó
đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định . Tính quãng đường AB.

6 . Có hai loại dung dịch chứa cùng một thứ axít , loại I chứa 30% axít , loại II chứa 5% axít . Muốn có 50 lít
dung dịch chứa 10% axít thì cần phải trộn bao nhiêu lít dung dịch mỗi loại.

7.Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80 km , cả đi lẫn về mất 8 giờ 20 phút . Tính vận tốc của tàu thủy
khi nước yên lặng , biết rằng vận tốc của dịng nước là 4 km/h

B-HÌNH HỌC

CHƯƠNG I – TỨ GIÁC

Phần I - HÌNH THANG VÀ CÁC TÍNH CHẤT 
Kiến thức cần nhớ :

1. * Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song

* Hình thang vng là hình thang có một cạnh bên vng góc với hai đáy ( Hình thang có một góc vng )
* Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau

- Trong hình thang cân : + Hai cạnh bên bằng nhau
+ Hai đường chéo bằng nhau

- Dấu hiệu nhận biết + Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân
+ Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân .
2. * Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nữa cạnh ấy
* Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nữa tổng hai đáy
EF // AB , EF // CD và

CD
AB

EF 

Bài tập :

1. Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) , phân giác BD , CE .
a) Tứ giác BEDC là hình gì ? Vì sao ?

b) Chứng minh BE = ED = DC

c) Biết Â=500 . Tính các góc của tứ giác BEDC

2. Cho hình thang vng ABCD ,AˆDˆ 900 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , AD . 
Chứng minh :

a) Tam giác MAD là tam giác cân
b ) Góc MAˆBMDˆC

3. Cho tam giác vuông cân ABC , Â = 900 . Trên cạnh AB lấy điểm D , trên cạnh AC lấy điểm E sao cho
AD = AE . Từ C kẻ đường vng góc với BE cắt BA ở I .

a) Chứng minh BE = BI

b) Qua D và A kẻ đường vng góc với BE cắt BC lần lượt ở M và N . Chứng minh rằng MN = NC

4. Cho hình thang ABCD ( AB // CD) . Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AD và BC . Phân giác của góc
A và góc B cắt EF theo thứ tự ở I và K .

a) Chứng minh tam giác AIE và tam giác BKF là các tam giác cân
b) Chứng minh tam giác AID và tam giác BKC là các tam giác vuông .
c) Chứng minh IE AD

2
1

 và KF BC

2
1


</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Phần II HÌNH BÌNH HÀNH

Kiến thức cần nhớ :

1 * Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song
2 * Trong hình bình hành :

* Các cạnh đối bằng nhau
* Các góc đối bằng nhau

* Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

3. Để chứng minh một tứ giác là hình bình hành ta có thể chứng minh rằng tứ giác đó thỏa mãn một trong các
tính chất sau :

* Các cạnh đối song song
* Các cạnh đối bằng nhau
* Các góc đối bằng nhau

* Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
* Hai cạnh đối song song và bằng nhau.

Bài tập :

1. Cho hình bình hành ABCD . Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC và AD , O là giao điểm
của AC và BD . Chứng minh :

a) Tứ giác AMCN là hình bình hành
b) Ba điểm M , O , N thẳng hàng

2. Cho hình bình hành ABCD . Kẻ AEBD,CF BD

a) Tứ giác AECF là hình gì ? Vì sao ?

b) AE cắt CD ở I , CF cắt AB ở K . Chứng minh AI = CK
c) Chứng minh BE = DF .

Phần III HÌNH CHỮ NHẬT 
Kiến thức cần nhớ :

1. Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vng . Hình chữ nhật cũng là một hình bình hành , một hình thang cân.
2. Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành , của hình thang cân .

3. Dấu hiệu nhận biết tứ giác là hình chữ nhật :
* Tứ giác có ba góc vng là hình chữ nhật

* Hình thang cân có một góc vng là hình chữ nhật
* Hình bình hành có một góc vng là hình chữ nhật

* Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật

4. Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nữa cạnh huyền .Ngược lại nếu một tam giác
có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nữa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vng .

Bài tập :

1. Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ) . đường cao AH . Gọi M , P , Q lần lượt là trung điểm của BC ,
CA , AB .Chứng minh :

a) PQ là đường trung trực của AH
b) Tứ giác MPQH là hình thang cân .

2. Cho tam giác ABC vuông ở A . đường cao AH . Gọi E , F lần lượt là chân đường vng góc kẻ từ H
đến AB , AC .

a) Tứ giác EAFH là hình gì ?

b) Qua A kẻ đường vuông góc với EF cắt BC ở I . Chứng minh I là trung điểm của BC.

3. Cho tam giác ABC , các trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G . Gọi P là điểm đối xứng của M qua G ,
gọi Q là điểm đối xứng của N qua G .

a) Tứ giác MNPQ là hình gì ? Vì sao ?

b) Nếu tam giác ABC cân ở A thì tứ giác MNPQ là hình gì ? Vì sao ?
Phần IV HÌNH THOI 
Kiến thức cần nhớ :

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Kiến thức trọng tâm lớp 8 
2. Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành .

* Trong hình thoi : + Hai đường chéo vng góc với nhau

+ Hai đường chéo là đường phân giác các góc của hình thoi .
3. Dấu hiệu nhận biết :

* Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi .

* Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi .

* Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với nhau là hình thoi .

* Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.
Bài tâp :

1. Cho hình thoi ABCD , góc B = 600 . Kẻ AEBC,AFCD . Chứng minh:
a) AE = AF

b) Tam giác AEF là tam giác đều .

c) Biết BD = 16cm . TÍnh chu vi cuae tam giác AEF .

2. Cho hình thang ABCD . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC , CD , DA .
a) Tứ giác MNPQ là hình gì ? Vì sao ?

b) Chứng minh nếu ABCD là hình thang cân thì MP là tia phân giác của góc QMN.

3. Cho hình thoi ABCD . Trên các cạnh AB , BC , CD, DA lấy theo thứ tự các điểm M , N , P ,Q sao cho
AM = CN = CP = QA . Chứng minh .

a) Ba điểm M , O , P thảng hàng và ba điểm N , O , Q thẳng hàng .
b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

Phần V HÌNH VNG 
Kiến thức cần nhớ :

1. Hình vng là tứ giác có bốn góc vng và bốn cạnh bằng nhau . Hình vng là hình chữ nhật có bốn cạnh
bằng nhau . Hình vng là hình thoi có bốn góc vng . Hình vng vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi .
2. Hình vng có tất cả các tính chất cuat hình chữ nhật và hình thoi.

3. Dấu hiệu nhận biết :

* Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vng

* Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với nhau là hình vng
* Hình chữ nhật có một đường chéo là phân giác của góc là hình vng
* Hình thoi có một góc vng là hình vng

* Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vng .
Bài tập :

1.Cho hình vng ABCD . Trên tia đối của các tia AB , BC , CD, DA lấy theo thứ tự các điểm A’ , B’ , C’ ,
D’ sao cho AA’ = BB’ = CC’ = DD’ . Chứng minh :

a) A'BB'B'CC'

b) Tứ giác A’B’C’D’ là hình vng .

2. Cho tam giác ABC , trung tuyến AM . Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở E .qua M kẻ
đường thẳng song song với AB cắt AC ở F.

a) Tứ giác AEMF là hình gì ? Vì sao

b) Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AEMF là hình chữ nhật

c) Nếu tam giác ABC vuông can ở A thì tứ giác AEMF là hình gì ? Vì sao ?

3. Cho tam giác nhọ ABC , vẽ ra phía ngồi của tam giác hai hình vn ABDE và ACFH . Gọi U và K lần lượt
là tâm của hai hình vng nói trên . M là trung điểm cạng BC .

a) Chứng minh EC = BH và ECBH

b) Gọi N là trung điểm của EH , Tứ giác MINK là hình gì ? Vì sao ?

4. Cho tam giác ABC , các trung tuyến BE và CF cắt nhau ở G . Gọi M , N theo thứ tự là trugn điểm của BG
và CG.

a) Tứ giác MNEF là hình gì ? Vì sao ?

b) Tam giác ABC có điều kiện gì thì MNEF là Hình chữ nhật ? Hình thoi ?

5. Cho hình bình hành ABCD có Â = 600 , AD = 2AB . Gọi M là trung điểm của AD , N là trung điểm của BC
. Từ C kẻ đường vng góc với MN ở E cắt AB ở F . Chứng minh :

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

b) E là trung điểm của CF

c) Tam giác MCF là tam giác đều
d) Ba điểm F , N , D thẳng hàng .

CHƯƠNG III TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Phần I ĐỊNH LÍ TA LET – HỆ QUẢ - TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC 
Kiến thức cần nhớ :

1.* Định lí ta lét trong tam giác : Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh
còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ .

* Định lý đảo : Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn
thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh cịn lại của tam giác .

* Hệ quả : Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh cịn lại thì nó tạo
thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho .

2. Đường phân giác của một góc trong tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề
với hai đoạn ấy . ( Định lý vẫn đúng với đường phân giác ngoài của tam giác .)

Bài tập :

1. Cho tam giác ABC , trên cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm M và N . Biết AM = 3cm , MB = 2cm ,AN =
7,5cm , NC = 5cm .

a) Chứng minh MN // BC

b) Gọi I là trung điểm của BC , K là giao điểm của AI với MN . Chứng minh K là trung điểm của MN.
2. Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) có AB = 7,5cm , CD = 12cm . GọiM là trung điểm của CD , E là giao
điểm của MA và BD , F là giáo điểm của MB và AC .

a) Chứng minh rằng EF song song với AB
b) Tính độ dài đoạn EF .

3. Cho tam giác ABC có AB = 14cm , AC = 10cm , BC = 12cm Đường phân giác của góc BAC cắt cạnh BC ở
D.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB , DC

b) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD

4. Cho tam giác vuông ABC vuông ở A . Biết AB = 20cm , AC = 21cm
a) Tính độ dài cạnh BC

b) Đường phân giác của góc A cắt cạnh BC ở D . Tính DB , DC

c) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở E ,qua D kẻ đường thẳng song song vứoi AB cắt AC ở
F . Tứ giác AEDF là hình gì ? Tính diện tích của tứ giác đó .

Phần II TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 
Kiến thức cần nhớ :

1 * Tam giác A’B’C’ được gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu













CA
A
C
BC

C
B
AB

B

A

C
C
B
B
A
A

'
'
'
'
'
'

ˆ
'
ˆ
;
ˆ
'
ˆ
;
ˆ
'
ˆ

* Hai tam giác đồng dạng có các tính chất :
+ Mỗi tam giác thì đồng dạng với chính nó .

+ Nếu A'B'C'ABC thì ABCA'B'C'

+ Nếu A'B'C'A"B"C" và A"B"C"ABC thì A'B'C'ABC

+ Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại sẽ tạo thành một
tam giác đồng dạng với tam giác đã cho MN // BC => AMN ABC

2 . Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác :

* Nếu ba cạch của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng .
' ' '( . . )

'
'
'
'
'

' C A ABC ABC ccc

CA
C

B
BC
B

A
AB







</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Kiến thức trọng tâm lớp 8 
* Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng
nhau thì hai tam giác đó đồng dạng . ' ' ' ( . . )

ˆ
'
ˆ

'
'
'
'

c
g
c
ABC
C

B
A
A

A

AC
B
A
AB

B
A
















* Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng
Bˆ'Bˆ;Cˆ'CˆA'B'C'ABC(g.g)

3. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông .

* Tam giác vng này có một góc nhọn bằng tam giác vng kia thì hai tam giác vng đó đồng dạng
*Tam giác vng này có hai cạnh góc vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng của tam giác vng kí thì hai tam
giác vng đó đồng dạng với nhau

* Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vng của tam giác vuong này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc
vng của tam giác vng kia thì hai tam giác vng đó đồng dạng với nhau .

4. Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng
5 . Tỉ số hai diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
Bài tập :

1. Cho tam giác ABC cân ở A , có AB = AC = 100cm , BC = 120cm , hai đường cao AD , BE cắt nhau tại H .
a) Tìm các tam giác đồng dạng với tam giác BDH;

b) Tính độ dài các đoạn thẳng HD , AH , BH. HE

2. Cho tam giác ABC vuông ở A , AB = 6cm , AC = 8cm , đường cao AH , đường phân giác BD .
a) Tính độ dài các đoạn AD , DC

b) Gọi I là giao điểm của AH và BD . Chứng minh AB.BI = BD.HB
c) Chứng minh tam giác AID là tam giác cân .

3. Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD , AB < CD ) . Đường cao BH chia cạnh CD thành hai đoạn
DH = 16cm , HC = 9cm . Biết BDBC .

a) Tính đường chéo AC và BD của hình thang ;
b) Tính diện tích của hình thang ;

c) Tính chu vi hình thang

4. Cho tam giác ABC vng ở A có AB = 8cm , AC = 15cm , đường cao AH .
a) Tính BC , AH

b) Gọi M , N lần lượt là hình chiếu của H trên AB , AC . Tứ giác AMNH là hình gì ? Tính độ dài MN.
c) Chứng minh rằng AM.AB = AN. AC

5 . Cho tam giác ABC vuông ở A , trung tuyến BD . Phân giác của góc BAD và góc BDC lần lượt cắt AB , BC
ở M và N . Biết AB = 8cm , AD = 6cm.

a) Tính độ dài các đoạn BD , BM ;
b) Chứng minh MN // AC ;

c) Tứ giác MNCA là hình gì ? Tính diện tích của tứ giác đó .

6. Cho hình chử nhật ABCD có AB = 36cm , AD = 24cm . E là trung điểm của AB . Tia DE cắt AC ở F cắt
CB ở G .