Ti le thuc va tinh chat day ti so bang nhau

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

-Tơ Văn Giáp

TỈ LỆ THỨC

TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

TIỂU LUẬN

Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Mục lục

Mở đầu 2

1 Các kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Tỉ lệ thức . . . 3

1.1.1 Định nghĩa . . . 3

1.1.2 Tính chất . . . 3

1.2 Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau . . . 3

2 Các dạng tốn và phương pháp giải 5
2.1 Tìm giá trị của biến trong các tỉ lệ thức . . . 5

2.1.1 Phương pháp giải toán . . . 5

2.1.2 Bài tập tương tự . . . 8

2.2 Chứng minh tỉ lệ thức . . . 9

2.2.1 Phương pháp giải toán . . . 9

2.2.2 Bài tập tương tự . . . 10

Kết luận . . . 13

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Mở đầu

Tỉ lệ thức - tính chất của dãy tỉ số bằng nhau là kiến thức cơ bản trong chương
trình tốn THCS. Việc nắm vững những kiến thức về phần này giúp các em học
sinh có kiến thức nền tảng để giải một số bài toán ở cấp THCS một cách dễ dàng.
Tuy nhiên, trong q trình dạy học tơi nhận thấy việc giải các bài toán liên quan
đến tỉ lệ thức - dãy tỉ số bằng nhau của các em học sinh cịn gặp khá nhiều khó
khăn, lúng túng do chưa định hình, hệ thống được phương pháp giải.

Trong bài tiểu luận này, tôi đã hệ thống lại một cách tương đối đầy đủ và chi tiết
lý thuyết về tỉ lệ thức - tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, phương pháp giải các
bài toán liên quan giúp các em học sinh hệ thống được phương pháp giải cũng như
định hướng tìm lời giải cho các bài tốn này.

Bài tiểu luận gồm hai chương:
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày tổng hợp những kiến thức cơ bản về tỉ lệ thức và tính chất
của dãy tỉ số bằng nhau.

Chương 2. Các dạng toán và phương pháp giải

Dựa trên cơ sở lý thuyết của chương 1 tôi trình bày hai dạng tốn liên quan đến
tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau, đồng thời trình bày các phương pháp
giải thơng qua các ví dụ cụ thể. Ngồi ra, cịn hệ thống các bài tập tương tự giúp
các em vận dụng phương pháp giải đã nêu ở trên.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Chương 1

Các kiến thức chuẩn bị

1.1

Tỉ lệ thức

1.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.1. Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số. Trong tỉ lệ thức a_b = _dc

(hoặc a:b=c:d) các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là
các số hạng ngoài hay ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ.

Chú ý 1.1. Khi viết tỉ lệ thức a_b = c_d, ta luôn giả thiết rằng b6= 0, d6= 0.
1.1.2 Tính chất

Tính chất 1.1. Nếu a_b = c_d thì ad=bc

Tính chất 1.2. Nếu ad =bc và a, b, c, d6= 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau:

a
b =

c

d;

a
c =

b
d;

d
b =

c
a;

b
a =

d
c

Nhận xét 1.1. Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức
cịn lại.

1.2

Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Tính chất 1.3. Nếu có tỉ lệ thức:

a
b =

c
d

thì:

a
b =

c
d =

a+c
b+d =

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Tính chất 1.4. Nếu có dãy tỉ số bằng nhau:

a
b =

c
d =

e
f

thì:

a
b =

c
d =

e
f =

a+c+e
b+d+f =

a−c+e
b−d+f =...

Tính chất 1.5. (Tính chất mở rộng) Nếu có n (n ≥2) tỉ số bằng nhau:

a1

b1

= a2

b2

= a3

b3

=....= an

bn

thì:

a1

b1

= a2

b2

= a3

b3

=....= an

bn

= a1+a2+....+an

b1+b2+....+bn

= a1−a2+....(−1)

(n−1)_a

n
b1−b2+....(−1)(n−1)bn

=...

Chú ý 1.2. Khi có dãy tỉ số

a
b =

c
d =

e
f

ta nói các số a, c, e tỉ lệ với các số b, d, f.
Ta cũng viết a : c : e = b : d : f

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Chương 2

Các dạng toán và phương pháp giải

2.1

Tìm giá trị của biến trong các tỉ lệ thức

2.1.1 Phương pháp giải tốn

Ví dụ 2.1. Tìm hai số x và y biết

x

2 =

y

3

và x+y=20.
Giải:

*Cách1: (Đặt ẩn phụ)
Đặt

x

2 =

y

3 =t ⇒

x= 2t
y= 3t

Ta có

x+y = 20⇒2t+ 3t = 20⇒5t = 20⇒t= 4

Vậy

x= 2.4 = 8

y= 3.4 = 12

*Cách2: (Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x

2 =

y

3 =

x+y

2 + 3 =
20

5 = 4

Vậy

x

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

và

y

3 = 4⇒y= 12

*Cách3: (Phương pháp thế)
Ta có

x

2 =

y

3 ⇒y=
3x

2

Theo giả thiết:

x+y= 20⇒x+3x

2 = 20⇒5x= 40⇒x= 8

⇒y= 3.8
2 = 12

Ví dụ 2.2. Tìm x, y, z biết:

x
3 =
y
4;

y
3 =
z
5

và 2x - 3y + z = 6.
Giải:

*Cách1: (Đặt ẩn phụ)
Ta có:
_x
3 =
y
4 ⇒
x
9 =
y
12
y
3 =
z
5 ⇒
y
12 =
z
20
⇒ x
9 =
y
12 =

z

20 =t⇒

( _x_{= 9}_t

y= 12t
z = 20t

Theo giả thiết: 2x−3y+z = 6⇒18t−36t+ 20t = 6⇒2t= 6⇒t = 3

Vậy

( _x_{= 27}

y = 36

z = 60

*Cách2: (Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
Từ x₉ = ₁₂y = ₂₀z

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x
9 =
y
12 =
z
20 =

2x
18 =
3y
36 =
z
20 =

2x−3y+z

18−36 + 20 =
6
2 = 3

Vậy

( _x_{= 27}

y = 36

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

x

3 =

y

4 ⇒x=
3y

4

y

3 =

z

5 ⇒z =
5y

3

Theo giả thiết:

2x−3y+z= 6 ⇒ 3y

2 −3y+
5y

3 = 6 ⇒y= 36

x= 3.36

4 = 27;z =
5.36

3 = 60

Ví dụ 2.3. Tìm hai số x, y biết rằng

x

2 =

y

5

và x.y = 40

Giải:

*Cách1: (Đặt ẩn phụ)
Đặt

x

2 =

y

5 =t ⇒

x= 2t
y= 5t

Ta có

x.y = 40⇒2t.5t = 40⇒t2 = 4⇒t =±2

Với t= 2⇒

x= 4

y= 10

Với t=−2⇒

x=−4

y=−10

*Cách2: (Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
Ta có:
x
2 =
y
5 ⇒
x
2
2
= x.y
2.5 =

40

10 = 4⇒x

2 _{= 16}_k _⇒

x= 4 ⇒y = 10

x=−4⇒y =−10

*Cách3: (Phương pháp thế)
Ta có

x

2 =

y

5 ⇒x=
2y

5

Theo giả thiết:

x.y = 40⇒ 2y

5 .y = 40 ⇒y

2_{= 100}_⇒

y= 10⇒x= 4

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

2.1.2 Bài tập tương tự

Bài tập 2.1. Tìm các số x, y, z biết rằng:

a) ₁₀x = y₆ = ₂₁z và 5x+y−2z = 28 b) x₃ = y₄;y₅ = ₇z và 2x+ 3y−z = 124

c) 2₃x = 3₄y = 4₅z và x+y+z = 49 d) x₂ = y₃ và xy= 54

e) x₅ = y₃ và x2−y2= 4 f) _y₊x_z₊₁ = _z₊y_x₊₁ = _x₊_yz₋₂ =x+y+z

Bài tập 2.2. Tìm các số x, y, z biết rằng:

a) 3x= 2y,7y= 5z và x−y+z = 32 b) x−₂1 = y−₃2 = z−₄3 và 2x+ 3y−z = 50

c) 2x= 3y = 5z và x+y−z = 95 d) x₂ = y₃ = z₅ và xyz = 810

e) 10x= 6y và x2−y2 = 4 f) y+z_x+1 = z+_yx+2 = x+_zy−3 = _x₊1_y₊_z

Bài tập 2.3. Tìm các số x, y, z biết rằng:

1 + 2y

18 =

1 + 4y

24 =

1 + 6y

6x

Bài tập 2.4. Cho các số a,b,c,d sao cho: a+b+c+d6= 0 và

a

b+c+d =
b

c+d+a =
c

d+a+b =
d
a+b+c

Tính giá trị của biểu thức A= a_c₊+_db +_db₊+_ac +c_a+₊d_b +d_b+₊a_c

Bài tập 2.5. Tìm các số x, y, z biết rằng:

a) x_y = 7₃ và 5x−2y= 87 b) ₁₉x = ₂₁y và 2x−y= 34

c) x₈3 = y₆₄3 = ₂₁₆z3 và x2+y2+z2= 14 d) 2x₅+1 = 3y₇−2 = 2x+3₆_xy−1

Bài tập 2.6. Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Bài tập 2.9. Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với
9;10;11;8. Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tính
số học sinh của trường đó.

Bài tập 2.10. Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức:

ab(ab−2cd) +c2d2.[ab(ab−2) + 2(ab+ 1)] = 0

thì chúng lập thành một tỉ lệ thức.

2.2

Chứng minh tỉ lệ thức

2.2.1 Phương pháp giải toán

Để chứng minh tỉ lệ thức a_b = _dc ta thường dùng một số phương pháp sau:
*Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng a.d=b.c

*Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số a_b = _fe và c_d = _fe ⇒.a_b = c_d

*Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.
Một số kiến thức cần chú ý:

a
b =

na

nb;

a
b =

c
d ⇒.(

a
b)

n _{= (}c
d)

n

Ví dụ 2.4. Cho tỉ lệ thức a_b = c_d .Chứng minh rằng: a_a₋+b_b = c_c+₋d_d

Giải:

*Cách1: (Phương pháp 1)
Ta có:

(a+b)(c−d) = ac−ad+bc−bd

(a−b)(c+d) = ac+ad−bc−bd

Theo giả thiết: a_b = _dc ⇒ad=bc

Vậy

(a+b)(c−d) = (a−b)(c+d)⇒ a+b

a−b =
c+d
c−d

*Cách2: (Phương pháp 2)
Đặt a_b = _dc =k⇒a=bk, c=dk

Ta có:

a+b
a−b =

bk+b
bk−b =

k+ 1

k−1

c+d
c−d =

dk+d
dk−d =

k+ 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Vậy

a+b
a−b =

c+d
c−d

*Cách3: (Phương pháp 3)
Theo giả thiết: a_b = _dc ⇒ a_c = _db

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

a
c =

b
d =

a+b
c+d =

a−b
c−d ⇒

a+b
a−b =

c+d
c−d

Ví dụ 2.5. Cho tỉ lệ thức a_b = c_d .Chứng minh rằng: ab_cd = a_c22₋−_db22
Giải:

*Cách1: (Phương pháp 1)
Ta có:

(ab)(c2−d2) = abc2−abd2 =acbc−bdad

(cd)(a2−b2) = cda2−cdb2 =acad−bdbc

Theo giả thiết: a_b = _dc ⇒ad=bc

Vậy

(ab)(c2−d2) = (cd)(a2−b2)⇒ ab

cd =

a2−b2
c2₋_d2

*Cách2: (Phương pháp 2)
Đặt a_b = _dc =k⇒a=bk, c=dk

Ta có:
ab
cd =
bkb
dkd =

b2
d2

a2−b2
c2₋_d2 =

b2k2−b2
d2_k2₋_d2 =

b2
d2

Vậy

ab
cd =

a2−b2
c2₋_d2

*Cách3: (Phương pháp 3)
Theo giả thiết: a_b = _dc ⇒ a_c = _db

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

ab
cd =

a2
c2 =

b2
d2 =

a2−b2
c2₋_d2 ⇒

ab
cd =

a2−b2
c2₋_d2

2.2.2 Bài tập tương tự

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

c) a_a−₊b_b = c_c−₊d_d d) ab_cd = (₍a_c₋−_db)₎22
e) _a₊a_b = _c₊c_d f) ₇7a_a22+5₋₅ac_ac =

7b2₊₅_bd

7b2₋₅_bd

g) 2₃a_a+5₋₄b_b = 2₃c_c+5₋₄d_d h) 2005₂₀₀₆a_c₊₂₀₀₇−2006_db = 2005₂₀₀₆c_a−₊₂₀₀₇2006d_b

i) ₁₁7a_a22+3₋₈ab_b2 =

7c2₊₃_cd

11c2₋₈_d2 k)

2008a−2009b

2009c+2010d =

2008c−2009d

2009a+2010b

Bài tập 2.12. Cho tỉ lệ thức a_b = b_c = _dc .Chứng minh rằng:

(a+b+c

b+c+d)

3

= a

d

Bài tập 2.13. Cho tỉ lệ thức ₂₀₀₃a = ₂₀₀₄b = ₂₀₀₅c .Chứng minh rằng:

4(a−b)(b−c) = (c−a)2

Bài tập 2.14. Cho a1

a2 =

a2

a3 =

a3

a4 =...=

a2008

a2009 .Chứng minh rằng:

a1

a2009

=

a1+a2+a3+...+a2008

a2+a3+a4+...+a2009

2008

Bài tập 2.15. Cho a1

a2 =

a2

a3 =...=

a8

a9 =

a9

a1 và a1+a2+...+a96= 0.
Chứng minh rằng:

a1 =a2 =...=a9

Bài tập 2.16. Cho a2 =bc .Chứng minh rằng:

a+b
a−b =

c+a
c−a

Bài tập 2.17. Cho a_c22₊+_db22 =

ab

cd. Chứng minh rằng:
a

b =
c

d

Bài tập 2.18. Cho u_u+2₋₂ = v_v+3₋₃. Chứng minh rằng:

u

2 =

v

3

Bài tập 2.19. Cho

a(y+z) =b(z+x) =c(x+y)

trong đó a, b, c khác nhau và khác 0 .
Chứng minh rằng:

y−z
a(b−c) =

z−x
b(c−a) =

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Bài tập 2.20. Cho

a
b =

c
d

trong đó các số x,y,z,t thỏa mãn: xa+yb6= 0 và zc+td6= 0

Chứng minh rằng:

xa+yb
za+tb =

xc+yd
zc+td

Bài tập 2.21. Cho a,b,c,d là4số khác 0 thỏa mãn: b2 =ac;c2=bdvàb3+c3+d36= 0

Chứng minh rằng:

a3+b3+c3
b3₊_c3₊_d3 =

a
d

Bài tập 2.22. Chứng minh rằng nếu _aa
1 =

b
b1 =

c

c1 thì giá trị của

P = ax

2₊_bx₊_c

a1x2+b1x+c1

không phụ thuộc vào x.

Bài tập 2.23. Cho

a
a0 +

b0
b = 1;

b
b0 +

c0
c = 1

.

Chứng minh rằng:

abc+a0b0c0= 0

Bài tập 2.24. Cho

2a+ 13b

3a−7b =

2c+ 13d

3c−7d

. Chứng minh rằng:

a
b =

c
d

Bài tập 2.25. Cho

bz−cy

a =

cx−az

b =

ay−bx

c

. Chứng minh rằng:

x
a =

y
b =

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Kết luận

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Tài liệu tham khảo

[1] Phan Đức Chính, Tơn Thân, Vũ Hữu Bình, SGK Tốn 7 - Tập một, NXB
Giáo Dục Việt Nam, 2001.

</div>

<!--links-->