SKKN phát triển một số tư duy toán học cho học sinh THPT thông qua các câu hỏi, bài tập mở trong chương trình hình học 11

PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI SKKN
1. Đứng trước sự phát triển, đi lên của đất nước và để thực hiện thắng lợi
Nghị quyết 29-NQ/TW về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng
u cầu cơng nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định
hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế, đang đòi hỏi Ngành Giáo dục phải đổi
mới phương pháp để nâng cao chất lượng dạy và học. Giáo dục phải tạo nên những
con người năng động, sáng tạo có năng lực làm chủ vấn đề và giải quyết vấn đề.
Phương pháp dạy học đóng vai trị to lớn trong kết quả của quá trình giáo dục. Mỗi
phương pháp dạy học sẽ giúp nguời học phát triển trí tuệ và năng lực theo những
hướng khác nhau.
2. Trong nhà trường phổ thơng, dạy Tốn là dạy hoạt động Tốn học. Đối
với học sinh có thể xem giải bài tập Toán là một trong các hoạt động chủ yếu của
hoạt động Toán học. Theo G. Polya thì hoạt động giải Tốn phải thể hiện được:
“đặc trưng của phương pháp khoa học đó là dự đốn và kiểm nghiệm”. Cách phát
biểu bài tốn có thể chỉ ra nhiệm vụ cần thực hiện (như chứng minh mệnh đề),
cũng có thể đặt học sinh vào tình huống mị mẫm, dự đốn, thử nghiệm và tìm kết
quả tức là dạng bài toán mở. Nhưng hiện nay các bài tập trong sách giáo khoa
thường có cấu trúc dạng đóng, đồng thời vấn đề sử dụng bài tập mở như là phương
tiện giáo dục Toán học cho học sinh chưa được quan tâm và khai thác một cách
hiệu quả, vì thế người giáo viên gặp khó khăn trong việc tạo ra một mơi trường
học tập mà trong đó học sinh thực sự tích cực, chủ động, sáng tạo trong việc tiếp
nhận kiến thức.
3. Qua nghiên cứu lí luận và thực tiễn chúng tôi nhận thấy: nếu người giáo
viên biết thiết kế và cấu trúc lại các bài tập trong sách giáo khoa thành dạng bài tập
mở, phù hợp với năng lực của học sinh và xem nó như là một phương tiện để tiến
hành các phương pháp dạy học hiện đại, thì có thể phát huy được tính tích cực và
khơi dậy được những khả năng tiềm tàng của học sinh, đồng thời qua đó giáo viên
nhận được nhưng thơng tin về năng lực của học sinh một cách chính xác để kịp
thời rèn luyện, khắc phục và sửa chữa những sai lầm.
4. Một số tác giả nước ngoài như là Moon và Schulman cũng đã đề cập đến

vấn đề sử dụng câu hỏi, bài tập mở trong dạy học ở trường phổ thơng. Ở Việt Nam
đã có các cơng trình nghiên cứu về bài toán mở của các tác giả Tôn Thân, Nguyễn
Văn Bàng, Bùi Huy Ngọc, Phan Trọng Ngọ…Tác giả Trần Vui cũng đã nghiên
cứu việc “Khảo sát toán học” thông qua bài tập mở.
5. Thực trạng và yêu cầu của việc sử dụng câu hỏi, bài tập mở trong
dạy học ở các trường THPT
Trong dạy học toán ở nước ta hiện nay còn chú trọng nhiều về thuật tốn,
kiến thức truyền thụ cho học sinh cịn có tính chất áp đặt, các câu hỏi đặt ra thường
1


riêng lẻ, mang tính gợi nhớ và nhắc lại về kiến thức. Cách dạy này khơng phát huy
được tính tích cực của học sinh và không đáp ứng được mục đích: Việc giảng dạy
tốn học phải hướng tới một mục đích lớn hơn là thơng qua việc học tập để phát
triển trí tuệ chung, hình thành ở học sinh những phẩm chất tư duy cần thiết, một
nền tảng kiến thức, kỹ năng cơ bản và chắc chắn qua đó hồn thiện con người năng
động, có năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề.
Hiện nay việc xây dựng các giờ học dựa trên câu hỏi, bài tập mở ở các
trường THPT cịn có khó khăn do cấu trúc chương trình, năng lực của giáo viên và
trình độ của học sinh cịn nhiều hạn chế và khơng đồng đều trong cùng một lớp
học. Vì thế việc dạy học theo hướng sử dụng các bài tốn mở cần có sự nỗ lực và
cố gắng đồng bộ, đặc biệt giáo viên cần nhận thức vai trị, vị trí của việc dạy học
theo hướng sử dụng câu hỏi bài tập mở trong việc tích cực hoá nhận thức của
người học.
6. Khả năng áp dụng câu hỏi, bài tập mở trong dạy học toán ở trường
THPT
Hiện nay sự đổi mới về phương pháp dạy học đã có sự chuyển biến tích cực
về chiều sâu lẫn chiều rộng. Điều đó thể hiện ở cách dạy của thầy và cách học của
trò. Nhiều giáo viên đã áp dụng đồng thời các phương pháp dạy học mới và các
phương pháp “truyền thống” như dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, dạy học

khám phá... Đứng trước các tình huống dạy học, mỗi phương pháp đều có thể thực
hiện theo nhiều cách khác nhau và ta có thể xem câu hỏi, bài tập mở là một phương
tiện để thực hiện các phương pháp dạy học đó.
Tuy nhiên để câu hỏi, bài tập mở thực sự mang lại hiệu quả trong các giờ học
ta cần lưu ý nguyên tắc cơ bản trong dạy học là: phải đảm bảo tính vừa sức, dạy
học phải dựa vào vùng phát triển gần nhất. Vì vậy hệ thống câu hỏi, bài tập mở
phải phù hợp với từng đối tượng học sinh.
Qua nghiên cứu sách giáo khoa Hình học 11, tơi nhận thấy rằng ngồi các
câu hỏi, bài tập củng cố kiến thức, cịn có các bài tốn hay và khó, đặc biệt là Sách
Giáo khoa 11 Nâng cao. Vì vậy với đối tượng học sinh trung bình ta có thể sử dụng
câu hỏi, bài tập mở để củng cố các khái niệm và khắc sâu định lí, cịn đối với đối
tượng học sinh khá trở lên ta có thể sử dụng câu hỏi, bài tập mở thông qua các bài
tập bổ sung để rèn luyện năng lực tự phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề, đồng
thời phát triển năng lực giải tốn và tính sáng tạo cho học sinh.
Kết hợp với nghiên cứu đặc điểm sách giáo khoa Hình học 11 và các vấn đề
trong giảng dạy hình học khơng gian, tôi chọn đề tài SKKN là: “Phát triển một số
tư duy Tốn học cho học sinh THPT thơng qua các câu hỏi, bài tập mở trong
chương trình Hình học 11”, với đối tượng nghiên cứu là học sinh khá và giỏi.
II. NHỮNG VẤN ĐỀ ĐƯỢC NÊU TRONG ĐỀ TÀI
1. Đưa ra khái niệm về câu hỏi, bài tập mở.
2


2. Phân tích được việc sử dụng câu hỏi, bài tập mở trong dạy học là tương
thích với các lí thuyết dạy học tích cực.
3. Nghiên cứu vai trị của câu hỏi, bài tập mở trong việc phát huy tính tích
cực, phát triển tư duy sáng tạo, năng lực kiến tạo và khám phá kiến thức của học sinh.
4. Đề xuất các bước bước tổ chức dạy học Toán theo hướng sử dụng câu hỏi,
bài tập mở.
5. Đề xuất một số dạng câu hỏi, bài tập được chuyển sang dạng mở để hình

thành và củng cố khái niệm; khắc sâu các kiến thức, định lí cho học sinh; Phát triển
và nâng cao khả năng giải toán cho học sinh.
6. Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính hiệu quả khi áp dụng Đề
tài trong việc dạy cho học sinh khá, giỏi.
7. Đề tài cũng nêu lên ưu điểm, hạn chế và khả năng của việc sử dụng câu
hỏi, bài tập mở trong dạy học ở trường THPT.

3


PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
I. CƠ SỞ KHOA HỌC
1. Cơ sở lý luận
a) Câu hỏi, bài tập đóng
Câu hỏi, bài tập đóng là dạng câu hỏi có cấu trúc hồn chỉnh, ở đây một câu
trả lời đúng ln được xác định rõ ràng theo một mục tiêu cố định nào đó từ những
giả thiết cần thiết được cho trong tình huống của bài tốn.
 


Ví dụ 1. Cho u  (1;2), v  (4;2). Chứng minh u và v vng góc.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vng tại B. SA vng góc với mặt phẳng ABC tại A.
Chứng minh BC   ASB  .
b) Câu hỏi, bài tập mở
Theo Tôn Thân: “Câu hỏi, bài tập mở là dạng bài tốn trong đó điều phải
tìm hoặc điều phải chứng minh không được nêu lên một cách rõ ràng, người giải
phải tự xác định điều ấy thơng qua mị mẫm dự đốn và kiểm nghiệm”. Nghiên cứu
của Tơn Thân về câu hỏi, bài tập mở chú ý đến bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học
sinh.





Ví dụ 3. Cho u  (a; b) , tìm v sao cho u và v vng góc.
Ví dụ 4. Trong khơng gian cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (O; R). Hãy xét vị trí
tương đối của (P) và mặt cầu (O; R)?
2. Cơ sở thực tiễn
a) Dạy học sử dụng câu hỏi, bài tập mở nhìn theo quan điểm của lí thuyết dạy
học phát hiện và giải quyết vấn đề
Tình huống gợi vấn đề là một tình huống tạo ra cho học sinh những khó
khăn về lý luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt qua, nhưng
không phải là ngay tức khắc nhờ một quy tắc có tính chất thuật tốn, mà phải trải
qua một q trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động
hoặc điểu chỉnh kiến thức sẵn có. Như vậy, một tình huống có vấn đề cần thoả mãn
các điều kiện sau:
- Tồn tại một vấn đề: Tính huống phải bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn với
trình độ nhận thức, chủ thể phải ý thức được một khó khăn trong tư duy hoặc hành
động mà vốn hiểu biết sẵn có chưa đủ để vượt qua.
- Gợi nhu cầu nhận thức: Người học sinh phải cảm thấy sự cần thiết, thấy
mình có nhu cầu giải quyết. Tốt nhất là tình huống gây được "cảm xúc" làm cho
học sinh ngạc nhiên, thấy hứng thú mà mong muốn giải quyết.
- Gây niềm tin ở khả năng: Nếu một tình huống tuy có vấn đề và vấn đề tuy
hấp dẫn, nhưng nếu học sinh cảm thấy nó vượt quá xa so với khả năng của mình
4


thì họ cũng khơng sẵn sàng giải quyết. Cần làm cho học sinh thấy rõ tuy họ chưa
có ngay lời giải, nhưng đã có một số kiến thức, kỹ năng liên quan đến vấn đề đặt ra
và họ tin rằng nếu tích cực suy nghĩ thì sẽ giải quyết được.
Như vậy trong dạy học giải quyết vấn đề ta thấy:

+ Học sinh được đặt vào tình huống gợi vấn đề chứ khơng phải là thơng báo
tri thức dưới dạng có sẵn.
+ Học sinh hoạt động tích cực, chủ động, tận lực huy động tri thức và khả
năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đề.
+ Mục tiêu dạy học không phải là chỉ làm cho học sinh lĩnh hội kết quả của
quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề mà còn ở chỗ làm cho họ phát triển khả
năng tiến hành những q trình như vậy. Nói cách khác học sinh được học bản
thân của việc học.
Điều quan trọng trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề không phải
là nêu lên các câu hỏi, mà là cách đặt câu hỏi như thế nào để tạo ra các tình
huống có vấn đề.
Ví dụ 5. Sau khi học khái niệm hai véctơ cùng phương, giáo viên có thể nêu câu
hỏi sau: Cho hai vectơ u , v và hai số thực a, b thoả mãn a.u  b.v  o .
Hai vectơ u , v có cùng phương khơng?
Với câu hỏi này giáo viên có thể nhận được nhiều phản hồi từ phía học sinh
bởi qua những câu trả lời khác nhau.
Có những học sinh trả lời vectơ u , v cùng phương, cịn có những học sinh
cho rằng hai vectơ u , v không cùng phương, và có thể có những học sinh xét
được những trường hợp của các số a, b và đưa ra được kết luận đúng trong từng
trường hợp. Điều quan trọng là qua đó giáo viên đánh giá được khả năng phân tích,
suy luận của học sinh và khắc sâu được khái niệm vectơ không và hai vectơ cùng
phương.
Trong giờ luyện tập về quan hệ vng góc giáo viên có thể nêu cho học sinh
câu hỏi với độ mở lớn như sau:
Ví dụ 6. Trong một tứ diện các đường cao có đồng quy khơng?
Với câu hỏi này học sinh có thể liên tưởng tới tính đồng quy của 3 đường
cao trong tam giác và cho rằng các đường cao trong tứ diện đồng quy.
Tuy nhiên, có những học sinh đưa ra ví dụ về những tứ diện mà đường cao
khơng đồng quy. Khi đó vấn đề mới đặt ra cho học sinh là “tứ diện nào thì các
đường cao đồng quy?”

Ví dụ 7. Ta xét ví dụ về dạy học giải quyết vấn đề với câu hỏi mở.
Bài tốn 1. (Hình 1) Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vng, SA vng
góc với (ABCD). Dựng đường vng góc chung của AD và SB.
5
Hình 1


Trong bài tốn này học sinh có thể nhìn thấy

S

AD  SB . Từ A dựng AK  SB suy ra AK là đoạn vng

góc chung của AD và SB.

K

Bài tốn 2. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình

D

A

bình hành, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD). Hãy xác
C

B Hình 1

định đường vng góc chung của AD và SB. (Hình

S

2)
Trong Bài tốn 2, AD khơng vng góc với SB.
Vì vậy, không dựng trực tiếp được đoạn AK như
trong Bài tốn 1, nên tình huống gợi ra thực sự là

M

K

tình huống có vấn đề.

A

Trong Bài tốn 1 ta thấy AK   SBD  , suy ra AK
sẽ vng góc với mọi đường nằm trong mặt phẳng

D

N

B

C

B'

Hình 2

(SBD).

Từ nhận xét đó ta có thể xác định được phương của đường vng góc
chung của AD và SB trong Bài tốn 2 khơng?
Với câu hỏi này học sinh có thể sẽ nghĩ đến dựng B’ trên BC sao cho
'
AB'  BC . Gọi AK là đoạn vng góc chung của SB và AD . Khi đó đường

vng góc chung của AD và SB sẽ song song với AK.
Ta có thể dựng đoạn vng góc chung của AD và BS như thế nào?
Từ K dựng đường thẳng song song với AD cắt BS tại M. Từ M kẻ đường
thẳng song song AK cắt đường thẳng AD tại N. Khi đó MN là đoạn vng góc
chung của AD và SB.
Trong bước vận dụng bài tốn, ta có thể nêu các
câu hỏi sau:

d2
N

Xét vị trí tương đối của mặt phẳng (SAB ) và AD?
’

Đường SB và SB có mối quan hệ gì ?
Từ đó có thể nêu quy trình dựng đoạn vng góc

d1

M



Hình 3

chung của hai đường thẳng d1 , d2 chéo nhau không ?
6


Ta đi đến quy trình sau:
Trường hợp 1: Nếu d1  d2 . (Hình 3)
Gọi   là mặt phẳng qua d1 và vng góc với d2 tại M. Dựng MN vng góc
với d1 ta suy ra MN là đoạn vng góc chung của

d1

d1 và d2.

M

Trường hợp 2: d1 , d2 khơng vng góc. (Hình 4)

A

Từ Bài tốn 2, học sinh có thể nêu ra cách
dựng đoạn vng góc chung của d1 , d2 như sau.
+ Bước 1. Xác định   vng góc với d1 và

d2
N
d3
K


Hình 4

cắt d1 tại điểm A. Gọi d3 là hình chiếu của d2 lên   .
+ Bước 2. Dựng đoạn vng góc chung AK của d1 và d3 như Trường hợp 1.
+ Bước 3. Dựng đường thẳng qua K song song với d1 cắt d2 tại N. Từ N kẻ
đường thẳng song song với AK cắt d1 tại M. Chứng minh MN là đoạn vng góc
chung của d1 và d2.
Khi đó giáo viên u cầu học sinh nhìn lại Bài tốn 2 theo cách dựng vừa nêu.
Như vậy dạy học theo hướng sử dụng câu hỏi, bài tập mở tương thích với dạy
học giải quyết vấn đề. Các câu hỏi, bài tập mở thơng thường chứa đựng các tình
huống có vấn đề trong Toán học.
b) Dạy học sử dụng câu hỏi, bài tập mở nhìn theo quan điểm của lí thuyết dạy
học kiến tạo
Theo lí thuyết kiến tạo nhận thức của Jean Piaget: Học tập là quá trình cá
nhân hình thành các tri thức. Tri thức được học sinh tiếp thu một cách chủ động,
sáng tạo và phát triển chứ không phải tiếp nhận một cách thụ động từ bên ngoài.
Nhận thức là q trình thích nghi và tổ chức lại thế giới quan của mỗi người nhưng
không phải khám phá một thế độc lập tồn tại bên ngoài ý thức con người.
- Jean Piaget cho rằng: “cấu trúc nhận thức có chức năng tạo sự thích ứng
của cá thể với các kích thích của mơi trường. Các cấu trúc nhận thức có được hình
thành theo cơ chế đồng hố và điều ứng”.
+ Đồng hố là q trình chủ thể tái lập lại một số đặc điểm của khách thể
được nhận thức vào các cấu trúc đã có trước đó.
7


+ Điều ứng là q trình thích nghi và biến đổi những đặc điểm của khách thể
vào cái đã có tạo ra cấu trúc mới.

Đồng hoá dẫn đến sự tăng trưởng các cấu trúc đã có trước đó cịn điều ứng
tạo các cấu trúc kiến thức mới
Quá trình thu nhận tri thức mới của học sinh có được theo sơ đồ sau:
Tri thức đã có  Dự đốn  Kiểm nghiệm  Thích nghi (nếu thành cơng)  Kiến thức mới
Thất bại  Dự đoán khác

Ta thấy rằng những câu hỏi, bài tập mở có “độ mở ít” tạo điều kiện củng cố
các khái niệm hoặc khắc sâu kiến thức cho học sinh.
Ví dụ 8. Xác định góc giữa hai vectơ u , v biết u.v  0
Với câu hỏi này thì giáo viên sẽ cũng cố được cho học sinh khái niệm hai
vectơ vng góc và vectơ khơng.
Cịn những câu hỏi, bài tập mở với “độ mở nhiều” sẽ tạo điều kiện để học
sinh thực hiện quá trình điều ứng kiến thức và thu nhận kiến thức mới.
Ví dụ 9. Cho ABCD là tứ diện gần đều AB = CD = a, BC = AD = b, CA = BD = c.
Tìm thể tích tứ diện ABCD theo a, b, c. (Hình 5)
Rõ ràng có nhiều định hướng tìm lời giải cho bài toán trên. Tuy nhiên ta giả
sử bài toán trên được nêu lên sau khi học sinh biết cách tính thể tích của tứ diện
DMNP có 3 góc phẳng ở đỉnh D vng.
Ban đầu học sinh có thể nghĩ tới tính thể
1
3

tích ABCD theo cơng thức V  S .h nhưng sẽ

D

gặp khó khăn với việc tính đường cao buộc học
sinh phải cấu trúc lại kiến thức để tìm cách tính.

M

C

P

Khi đó giáo viên có thể nêu các câu hỏi mở
để học sinh thực hiện quá trình điều ứng kiến
thức.

B

A

Hình 5

N

Có thể tìm sự liên hệ giữa tứ diện ABCD với một hình nào đó đã tính được thể
tích hay khơng?
8


Nếu DMNP là tứ diện vng đỉnh D ta có thể dựng được một tứ diện gần đều
có quan hệ đặc biệt với tứ diện đã cho khơng?
Từ đó học sinh có thể tìm ra nhận xét.
Gọi A, B, C lần lượt là trung điểm của MN, NP, MP.
1
4

Khi đó ta có ABCD là tứ diện gần đều và V ABCD  VDMNP .

Mặt khác nếu AB = CD = a, BC = AD = b, CA = BD = c
Sử dụng hệ thức Pitago ta tính được
DM  2(a 2  b 2  c 2 ) ,

Suy ra V ABCD 

DN  2(c 2  b 2  a 2 ) , DP  2(c 2  a 2  b 2 )

1
2(a 2  b 2  c 2 )(b 2  c 2  a 2 )(a 2  c 2  b 2 ) .
12

Ta thấy câu hỏi, bài tập mở là tình huống mang tính kiến tạo, đặt ra cơ
hội kiến tạo kiến thức cho học sinh. Có thể nói rằng dạy học sử dụng câu hỏi, bài
tập mở là tương thích với dạy học kiến tạo.
c) Dạy học sử dụng câu hỏi, bài tập mở nhìn theo quan điểm của lí thuyết
dạy học khám phá
Jerome Bruner đã đễ xuất mơ hình dạy học khám phá được đặc trưng bởi
các yếu tố cơ bản sau đây:
a. Hành động tìm tịi khám phá của học sinh.
b. Cấu trúc của vấn đề
c. Đánh giá quá trình khám phá của học sinh
Khác với khám phá trong nghiên cứu khoa học, khám phá trong học tập
không phải là một quá trình tự phát mà là một quá trình có hướng dẫn của giáo
viên, trong đó giáo viên khéo léo đặt học sinh ở địa vị người phát hiện, người
khám phá lại những tri thức. Giáo viên không cung cấp những kiến thức mới bằng
phương pháp thuyết trình, giảng giải mà bằng phương pháp tổ chức các hoạt động
khám phá để học sinh tự lực khám phá tri thức mới.
Hoạt động khám phá trong học tập có nhiều dạng khác nhau, từ trình độ
thấp lên trình độ cao tùy theo năng lực tư duy của người học và được tổ chức thực

hiện theo cá nhân, nhóm nhỏ hoặc nhóm lớn, tùy theo mức độ phức tạp của vấn đề
cần khám phá.
Các dạng hoạt động khám phá trong học tập có thể là:
- Trả lời câu hỏi.
- Thử nghiệm, đề xuất giả thuyết, phân tích ngun nhân, thơng báo kết quả.
9


- Thảo luận, tranh luận một vấn đề nêu ra hoặc giải các bài toán.
Mỗi câu hỏi, bài tập mở là một tình huống tốn học và kích thích hoạt
động khám phá của học sinh và mở ra nhiều hướng của một chủ đề có ý nghĩa.
Giáo viên sử dụng câu hỏi, bài tập mở giúp học sinh phát huy được hết khả năng
tốn học của mình và cho phép học sinh tiếp cận và khám phá vấn đề theo cách mà
các em chọn.
Ví dụ 10. Ta xét ví dụ sau về dạy học khám phá nhờ các câu hỏi mở. Bài tập 72
trang 64 sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao. (Hình 6)
Cho hình chóp S. ABC và điểm M nằm trong tam giác ABC. Các đường
thẳng qua M lần lượt song song với các đường thẳng SA, SB, SC, cắt các mặt phẳng
(SBC), (SCA), (SAB) tại A1 , B1 , C1 .
a. Gọi N là giao điểm của SA1 và BC , chứng minh các điểm A, M, N thẳng
hàng, từ đó suy ra cách dựng điểm A1 .
b. Chứng minh

MA1 NM

SA
NA

c. Chứng minh

MA1 MB1 MC1
+
+
=1.
SB
SC
SA

S

Ta phát biểu bài toán trên thành bài toán
mở như sau:

C1

A1 K
C
N

Cho hình chóp S. ABC và điểm M nằm trong
tam giác ABC. Các đường thẳng qua M lần lượt

Hình 6

song song với các đường thẳng SA, SB, SC, cắt

A
E

M

B

các mặt phẳng (SBC), (SCA), (SAB) tại A1 , B1 , C1 .
a. Hãy nêu cách dựng điểm A1 , B1 , C1 , và giải thích cách dựng đó.
b. Tìm mối liên hệ giữa các hệ thức

MA1 MB1 MC1
,
,
với S MAB , S MAC ,
SB SC
SA

S MCB , S ABC ? Có nhận xét gì về tổng MA1 + MB1 + MC1 ?
SA

c. Tồn tại hay khơng điểm M để cho tích

SB

SC

MA1 MB1 MC1
.
.
đạt giá trị
SB
SC
SA

lớn nhất?
Để giải quyết bài toán trên giáo viên có thể kết hợp nhiều câu hỏi dưới các
hình thức kiến tạo, giải quyết vấn đề hoặc khám phá.
10


Do MA1 // SA nên có mp( MA1 , SA ), gọi N là giao điểm của
mp( MA1 , SA ) và BC. Từ đó suy ra cách dựng điểm A1 .
Do MA1 // SA ta suy ra điều gì ?
Khi đó học sinh có thể tìm ra được hệ thức
Tìm hệ thức liên hệ giữa

NM
với
NA

MA1 NM

SA
NA

S MAB , S MAC , S MCB và S ABC ? Hãy chứng

minh hệ thức đó.
Khi đó học sinh đưa ra và chứng minh được hệ thức

Suy ra

MA1 S MBC


. Tương tự
SA
S ABC

MB1 S MAC

.
S ABC
SB

NM S MBC

NA S ABC

MC1 S MBA

.
S ABC
SA

Từ đó học sinh đi đến kết luận
S MBC S MAC S MBA
MA1 MB1 MC1
MA1 MB1 MC1

+
+
=
+

+
+
+
=1
SA
SB
SC
S ABC S ABC S ABC
SB
SC
SA

Do tổng

MA1 MB1 MC1
MA1 MB1 MC1
+
+
=1 nên để tìm GTLN của
.
.
ta sẽ
SC
SB
SB SC
SA
SA

liên hệ đến BĐT nào?
Với câu hỏi đó học sinh có thể tìm ra cách sau nhờ BĐT Cauchy.

3

 MA1 MB1 MC1 
3



MA1 MB1 MC1  SA
SB
SC    1   1
.
.

 
SB
SC
SA

 3
3
27





Dấu = xảy ra khi
Suy ra

MA1 MB1 MC1 1

=
=
=
SC 3
SA
SB

NM
KM EM 1
 . Hay M là trọng tâm của tam giác ABC.
=
=
EC 3
NA
KB

Qua ví dụ ta thấy giáo viên có thể kết hợp câu hỏi, bài tập mở cùng với các
câu hỏi định hướng để dẫn dắt học sinh tìm tịi và khám phá kiến thức.

11


II. MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM PHÁT TRIỂN MỘT SỐ TƯ DUY TỐN
HỌC THƠNG QUA DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 11 BẰNG CÂU HỎI, BÀI
TẬP MỞ
1. Sử dụng câu hỏi, bài tập mở trong việc phát huy tính tích cực, phát triển
năng lực kiến tạo và khám phá kiến thức cho học sinh
a) Sử dụng câu hỏi, bài tập mở trong việc phát huy tính tích cực học tập của học
sinh
Người ta phân tính tích cực theo ba cấp độ khác nhau trong hoạt động nhận

thức.
- Tính tích cực tái hiện dựa vào trí nhớ và tư duy tái hiện. Tính tích cực này
chỉ phát huy trong khi hoạt động có ý thức, hoạt động này phục vụ cho sự vận
động tiếp theo nào đó.
- Tính tích cực tìm tịi được đặc trưng bằng sự bình phẩm, phê phán. cố
gắng cao về mặt nhận thức, sự khao khát hiểu biết, vươn lên trong học tập. Tính
tích cực này khơng bị hạn chế bởi yêu cầu của giáo viên trong giờ học.
- Tính tích cực sáng tạo là mức độ cao nhất của tính tích cực. Nó đặc trưng bằng
sự khẳng định con đường riêng của mình mang tính sáng tạo, không chấp nhận theo
con đường củ, phát kiến những giá trị mới trong nhận thức.
Trong dạy học tốn tính tích cực đều có thể biểu hiện ở ba cấp độ tuỳ thuộc vào
nội dung, phương pháp dạy học và đối tượng học sinh. Chúng tôi cho rằng câu hỏi, bài
tập mở có thể phát huy tốt cấp độ tìm tịi và sáng tạo.
Tính tích cực của nhận thức chỉ được bắt đầu khi mà ta đặt học sinh trước một
hình huống có vấn đề. Vì thế trong giờ học giáo viên chú ý nảy sinh thường xuyên các
vấn để kích thích tính tích cực học tập của học sinh. Nếu như bài tập đóng thường áp
dụng trực tiếp kiến thức, vận dụng các phép tính, cơng thức, hoặc dễ định hướng
lời giải thì câu hỏi, bài tập mở thường đưa học sinh đến thình huống mới lạ, kích
thích sự tìm kiếm kết quả và cách thức giải quyết vấn đề. Trong q trình dạy học
giáo viên có thể tìm cách thay đổi cấu trúc của bài toán từ bài toán từ dạng đóng
sang dạng mở để phát huy tính tích cực của học sinh.
O
Ví dụ 11. Trong hình học phẳng ta có:
Bài tốn 1. Cho tam giác OBC, đường thẳng d cắt OB, OC lần

C1

lượt tại các điểm B1, C1. (Hình 7)
Chứng minh

SOB1C1
SOBC

OB1 OC1

.
OB OC

Hãy phát biểu bài tốn tương tự trong khơng gian?

B1
C

B
Hình 7

12


Câu hỏi này sẽ kích thích học sinh đi tìm sự tương

O

ứng từ phẳng lên không gian.

C1

Đường thẳng tương ứng với mặt phẳng;
Tam giác tương ứng với chóp;

A1

Diện tích tương ứng với thể tích.

B1

A

C

Học sinh có thể nghĩ đến mệnh đề sau:
Bài tốn 2. Cho hình chóp O.ABC, nếu mặt phẳng (P)

Hình 8

B

cắt các cạnh OA, OB, OC lần lượt tại A1, B1, C1 thì
VOA1B1C1
VOABC



OA1 OB1 OC1
.
.
. (Hình 8)
OA OB OC

Ta thấy câu hỏi, bài tập mở nếu được sử dụng một cách hợp lí sẽ góp phần gợi

động cơ, tích cực hố các hoạt động học tập của học sinh .
Ví dụ 12:
Bài tốn 1. Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau.

b


Tồn tại hay không mặt phẳng ( ) , ( ) lần lượt chứa a, b
và song song với nhau ? (Hình 9).
Học sinh có thể trả lời câu hỏi này bằng cách dựng
( ) và ( ) .

a


Hình 9

Từ đó giáo viên có thể tiếp tục nêu các câu hỏi mở để phát huy tính tích cực
cho học sinh như:
Cho tứ diện ABCD, qua các cặp cạnh đối của tứ diện tương ứng vẽ các cặp
mặt phẳng song song (mỗi mặt chứa cạnh thứ nhất và song song với cạnh thứ hai
và ngược lại). Hình tạo bởi giao tuyến của 6 mặt phẳng trên là hình gì? Hãy giải
thích kết luận đó.
Nếu ABCD là tứ diện gần đều thì hình tạo thành có đặc điểm gì ?
Qua các câu hỏi mở học sinh đã chủ động và tích cực tìm kiếm và đi đến kết
quả sau:
Cho hình tứ diện ABCD với cách dựng đã nêu ta được hình hộp AEBFHDGC
và gọi là hình hộp ngoại tiếp tứ diện ABCD. Nếu ABCD là tứ diện gần đều thì
AEBFHDGC là hình hộp chữ nhật. (Hình 10)
13

Nếu ABCD là tứ diện gần đều. Hãy so sánh thể tích của ABCD và thể tích của
hình hộp?
Mặt khác ta thấy

A

F

1
VAHDC  VBDGC  VABFC  VABED  VAEBFHDGC
6

 VABCD

B

E

VABCD  VAEBFHDGC  VAHDC  VBDGC  VABFC  VABED

G

D
H

1
 VAEBFHDGC .
3

C
Hình 10

Nếu biết AB = CD = b, AC=BD=c, AD=BC=a, hãy tính thể tích ABCD?
Do AEBFHDGC là hình hộp chữ nhật nên tính được
HD 

a 2  b2  c2
b2  c2  a 2
a 2  c2  b2
, HC 
, HA 
2
2
2

Suy ra VABCD 

1
2  a 2  b 2  c 2  a 2  c 2  b 2  b 2  c 2  a 2  .
12

Học sinh có thể thấy rằng đây cũng là một phương pháp tính thể tích của tứ
diện gần đều.
Ví dụ 13. Cho hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau và vng góc với nhau, gọi AB là
đoạn vng góc chung ( A  d1 , B  d2 ). Trên d1, d2 lần lượt lấy các điểm M, N sao
cho AM  x, BN  y . Tìm mối liên hệ của MN và AB với x, y khi MN tiếp xúc với
mặt cầu đường kính AB . (Hình 11)
Giáo viên có thể định hướng cho học sinh bằng câu hỏi sau:

Khi MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB ta suy ra điều gì ?
Gọi H là tiếp điểm của mặt cầu đường kính AB
với MN.

M

Suy ra OH  OA  OB
 OAM  OHM  AM  HM .

A
d1

Tương tự NB  HN  MN  x  y .
Độ dài AB và x, y có mối liên hệ gì khơng?
Các yếu tố vng góc trong bài tốn đã sử dụng

O
d2

H

B

chưa?
Q trình tìm kiếm của học sinh có thể thu được kết quả sau.

N

Hình 11

MN 2  AN 2  AM 2 , AN 2  AB2  BN 2

14


2
2
2
 MN 2  AM 2  AB2  BN 2   x  y   x  y  AB .
2

Suy ra AB2  2xy .
b) Sử dụng câu hỏi, bài tập mở để phát triển năng lực dự đoán và phát hiện vấn
đề; khả năng liên tưởng và chuyển di các liên tưởng
Xuất phát từ cách hiểu mơ hình dạy học theo quan điểm kiến tạo:
Tri thức đã có  Dự đốn  Kiểm nghiệm  Thích nghi (nếu thành cơng)  Kiến thức mới
Thất bại  Dự đoán khác

Đồng thời căn cứ vào các yếu tố về năng lực tư duy, chúng tôi nhận thấy
rằng để phát bồi dưỡng các năng lực Toán học cho học sinh được thì cần chú trọng
phát triển các năng lực sau:
- Năng lực dự đoán và phát hiện vấn đề, khả năng liên tưởng và chuyển di
các liên tưởng.
- Năng lực định hướng và tìm tịi cách thức giải quyết vấn đề, tìm lời giải bài
tốn.
- Năng lực huy động kiến thức để giải quyết vấn đề Toán học.
Qua nghiên cứu và thực tiễn chúng tơi nhận thấy có thể sử dụng câu hỏi, bài
tập mở để phát triển các năng lực trên.
Để có năng lực này học sinh cần được rèn luyện các năng lực thành tố như
xem xét các đối tượng Toán học, các quan hệ Toán học trong mối quan hệ giữa cái

chung, cái riêng; nắm được mối quan hệ nhân quả, cần có năng lực so sánh phân
tích, tổng hợp, đặc biệt hố, tổng qt hoá, năng lực liên tưởng các đối tượng, quan
hệ tương tự.
Ví dụ 14. Khi học về tích vơ hướng của hai véctơ ta có :
a.b  a b cos(a, b) .

Nếu học sinh xét trường hợp đặc biệt: i, j là các
véctơ đơn vị i  1; j  1 và gọi  là góc tạo bởi 2 véctơ
này khi đó ta có i. j  cos .
Như vậy khi gặp giá trị lượng giác cosin của một
góc  ta cũng có thể chuyển di sự liên tưởng đến tích vô
hướng của hai véctơ đơn vị tạo với nhau một góc  .
Xét bài tốn chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC
ta có: cosA + cosB + cosC 

A
C1
B

B1
O
C

A1

Hình 12

3
.
2

15


Gợi ý: Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC; A1, B1, C1 là các điểm
tiếp xúc của đường trịn (O) với BC, CA, AB.(Hình 12)
Gọi , ,  lần lượt là các góc: (OB 1 , OC 1 ) , (OC 1 , OA 1 ) , (OA 1 , OB 1 ) .
Khi đó A    B      C  1800
Đặt: OA  e1 , OB  e2 , OC  e3 là các vectơ đơn vị.







Ta có   e2 , e3 ,    e1 , e3  ,   e2 , e1

e  e  e   0
 e    e    e   2e .e  2e .e

Rõ ràng


1

2
2

2

1

2

2



3

2

3

1

2

3

2

 2e1.e3  0

 3 + 2(cos + cos + cos)  0  3 - 2(cosA + cosB + cosC)  0
 cosA + cosB + cosC



3

2

Hãy đặt các mối quan hệ tương ứng từ phẳng lên không gian và tìm bất đẳng
thức tương tự ?
Khi đó học sinh sẽ đặt mối quan hệ tương ứng từ phẳng lên khơng gian như sau:
Tam giác

 Tứ diện.

Tâm đường trịn nội tiếp  Tâm mặt cầu nội tiếp.
Góc ở đỉnh của tam giác  Góc phẳng nhị diện cạnh là các cạnh của tứ diện.
Gọi i (i = 1,6 ) là độ lớn sáu góc nhị diện các cạnh

A

của tứ diện ABCD.
D1

Gọi O là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD; A1, B1, C1,
D1 là các điểm tiếp xúc của mặt cầu (O) với các mặt (BCD),

O

B

(CDA), (DAB), (ABC). (Hình 13)
Kẻ A1I  BC thì OI  BC (Định lý ba đường vng
góc), từ đó lại theo định lý ba đường vng góc ta có D1I BC.

D

A1

I
C

Hình 13

Vậy D1IA1 là góc nhị diện cạnh BC.
Ký hiệu (BC) là độ lớn góc nhị diện cạnh BC
0
Ta có:  BC   D1OA1  180 .

Nếu thực hiện phép biến đổi như Bài tốn 1 ta thu được điều gì?
Khi đó bằng cách chuyển di các liên tưởng đã được học qua Bài toán 1, học
sinh biến đổi như sau:
Đặt OA1  e1 , OB1  e2 , OC1  e3 , OD1  e4 là các vectơ đơn vị.
16


e  e

Khi đó:


1

2  e3  e4



2

0

4

 e i 2 +2 e1 e2 +2 e1 e3 +2 e1 e 4 +2 e2 e3 +2 e2 e 4 +2 e3 e 4

0

i 1



4+2[cos(AB)+cos(BC)+cos(CD)+cos(DA)+cos(AC)+cos(BD)]  0



4 - 2 ( cos i )  0

6

i 1



6

( cos i )  2.
i 1

Qua ví dụ ta thấy có thể sử dụng các câu hỏi, bài tập mở để rèn luyện học
sinh năng lực liên tưởng các đối tượng, khả năng tương tự hoá, di chuyển các kĩ
năng tương ứng. Đó cũng là một cách thức để rèn luyện năng lực dự đoán và phát
hiện vấn đề.
c) Sử dụng câu hỏi, bài tập mở để phát triển năng lực định hướng và tìm tịi
cách thức giải quyết vấn đề, tìm lời giải bài tốn
Theo G.Polya "Có thể coi khát vọng muốn đạt được mục đích là một nhân tố
kích thích; nó gợi cho chúng ta những hoạt động có thể dẫn đến mục đích. Kết quả
mong muốn sẽ gợi ra những phương tiện. Cho nên, bạn hãy nhằm vào kết quả,
đừng lúc nào lơi khỏi mục đích của bạn; mục đích sẽ chỉ hướng cho sự suy nghĩ
của bạn".
Trong khi ngẫm nghĩ về điểm cuối cùng (kết quả) của một bài toán, chúng ta
hy vọng sẽ nãy ra ý về những phương tiện thích hợp để giải bài tốn đó, phải vận
dụng những cố gắng, phân tích để gợi ra trong trí tưởng
A
tượng của mình những phương tiện thích hợp đó.
Ví dụ 15. Cho tứ diện ABCD, xác định mối liên hệ giữa
AB và CD khi CA2  DB2  CB2  AD2 (1).. (Hình 14)
Khi gặp bài tốn này có thể sử dụng câu hỏi mở để
học sinh tìm tịi phương pháp giải quyết vấn đề như sau:

D

B
E

Hệ thức (1) có đặc điểm gì?
Học sinh có thể nhận thấy hai vế gồm bình phương
những độ dài.

Ta có thể khai thác hệ thức (1) như thế nào?

Hình 14

C

Khi đó học sinh có thể nghĩ tới dùng hệ thức Pitago hoặc sử dụng tích vơ
hướng.
17


Sử dụng theo tích vơ hướng ta có.
CA2  DB2  CB2  AD2  CA  CB  AD  DB  0
2







 BA CA  CB  BA AD  DB



2

2

2





 BA CA  AD  CB  DB  0

 BA.DC  0 . Suy ra AB  DC .

Nếu sử dụng hệ thức Pitago ta cần tạo thêm các yếu tố nào?
Dựng AE  CD . Suy ra AC 2  AE 2  CE 2 và AD 2  AE 2  ED 2
(1)  AE 2  CE 2  BD2  AE 2  ED2  BC 2
 CE 2  ED2  BC 2  BD2 .

Hệ thức cuối chứng tỏ B, E thuộc vào quỹ tích những điểm thuộc mặt phẳng
(BCD) mà hiệu bình phương khoảng cách từ đó tới hai điểm C và D khơng đổi. Vì
quỹ tích đó là đường thẳng vng góc với CD nên BE  CD .
Suy ra CD   ABE   CD  AB .
Như vậy câu hỏi mở có thể rèn luyện cho học sinh khả năng phát hiện ý
tưởng, khả năng nhìn nhận một vấn đề theo nhiều quan điểm khác nhau; khả năng
nhận dạng các đối tượng và các phương pháp để giải toán.
d) Sử dụng câu hỏi, bài tập mở để phát triển năng lực huy động kiến thức giải
quyết vấn đề
Nhờ quá trình biến đổi vấn đề trong tình huống mới, các bài tốn lạ có thể
đưa về các vấn đề quen thuộc, các bài toán tương tự đã giải. Q trình biến đổi
chính là q trình điều ứng để học sinh thích nghi chuyển đến sơ đồ nhận thức mới
tương hợp với tình huống mới.

S

Ví dụ 16.
Bài tốn 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình chữ nhật AB = a, AD = 2a, SA = a và SA vng
góc với đáy. Tính khoảng cách từ A đến (SBD) và
khoảng cách từ trung điểm I của SC đến (SBD). (Hình
15)
Gợi ý phân tích bài tốn:
Có những cách nào có thể tính được khoảng cách
từ A đến mặt phẳng (SBD)?

A

K I

D

HO
B

C
Hình 15

Thơng thường học sinh nghĩ đến dựng điểm K là hình chiếu của A lên (SBD)
và tính đoạn AK.
Hãy nêu cách dựng điểm K và tính đoạn AK?
18


Dựng AH  BD  H  BD  dựng AK  SH .
Khi đó K là hình chiếu của A lên mặt phẳng (SBD).

1
1
1
1
1
1
. Mặt khác




2
2
2
2
2
AH
AS
AK
AH
AB
AD 2

Suy ra

1
1
1
1




2
2
2
AK
AS 2
AB
AD

 AK 

2a
.
3

Ta có thể sử dụng cơng thức thể tích để tính khoảng cách đó được khơng?
Để học sinh huy động kiến thức ta có thể nêu các câu hỏi mở như sau:
Nếu sử dụng phương pháp thể tích ta cần làm như thế nào?
Có thể tính được diện tích tam giác SBD khơng?
Ta có SB  2a , SD  5a , BD  5a .
Theo công thức Hêrông suy ra SSBD

3a 2

.
2
1
3

Gọi h là khoảng cách từ A đến (SBD) ta có VA.SBD  h.SSBD .
Mặt khác VA.SBD

2a
SA. AB. AD 2a 3
1
 2 =
.
 SA. AB. AD  h 
2.SSBD
3a
3
6

Để tính khoảng cách từ điểm I đến (SBD) giáo viên sử dụng câu hỏi để đưa
học sinh đến cấu trúc nhận thức mới .
Bài toán 2. Gọi I là trung điểm của đoạn SC, ( ) là

C

mặt phẳng qua điểm S. So sánh khoảng cách từ I, C
đến ( ) . (Hình 16)

I

Sử dụng kết quả Bài tốn 2 ta thấy khoảng cách từ
I đến (SBD) bằng một nữa khoảng cách từ C dến (SBD).
Dễ thấy khoảng cách từ C đến (SBD) bằng khoảng
cách từ A đến (SBD) và bằng



S

N

M

Hình 16

2a
a
. Suy ra khoảng cách từ I đến (SBD) bằng .
3
3

Qua đó ta thấy trong dạy học, giáo viên có thể sử dụng bài tập mở hoặc câu
hỏi mở nhằm cung cấp nhiều tình huống để học sinh tìm tịi, tự nảy sinh các câu
hỏi mới, qua đó khám phá và tìm được các nguyên tắc, các mối quan hệ cơ bản của
vấn đề và thu được kiến thức mới. Chúng tơi cho rằng đó là một cách để rèn luyện
các năng lực đã nêu.
19


2. Xây dựng câu hỏi, bài tập mở và vận dụng vào giảng dạy một số nội dung
trong chương trình Hình học 11 hiện hành
a) Đặc điểm của sách giáo khoa chương trình Hình học 11 hiện hành
* Đặc điểm về nội dung của sách giáo khoa hình học lớp 11
Phần hình học khơng gian lớp 11 được trình bày trong Chương 2 và Chương
3. Toàn bộ kiến thức được trình bày có hệ thống và được chứng minh khá chặt chẽ.

Học sinh được làm quen với các đối tượng cơ bản của hình học khơng gian
sau:
- Các khái niệm cơ bản: điểm, đường thẳng, mặt phẳng.
- Các quan hệ cơ bản:
+ Quan hệ liên thuộc: điểm thuộc đường thẳng, điểm thuộc mặt phẳng,
đường thẳng nằm trên mặt phẳng.
+ Quan hệ tương giao: giao của hai đường thẳng, giao của hai mặt phẳng,
giao của đường thẳng và mặt phẳng, thiết diện của hình khơng gian.
- Quan hệ song song và quan hệ vng góc giữa các đối tượng cơ bản.
- Các hình khơng gian, ở lớp 11 chỉ giới thiệu hai loại hình quen thuộc đó là
hình lăng trụ, hình chóp và các trường hợp riêng của chúng đặc biệt là các loại tứ
diện. Các hình đa diện nói chung cùng với mặt cầu, mặt trụ, mặt nón sẽ được giới
thiệu tiếp ở lớp 12.
- Hai chủ đề được đề cập một cách chi tiết là khoảng cách và góc: khoảng
cách giữa điểm và đường thẳng, giữa điểm và mặt phẳng, khoảng cách và góc giữa
hai đường thẳng, khoảng cách và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, khoảng cách
và góc giữa hai mặt phẳng.
* Đặc điểm liên quan đến vấn đề sử dụng câu hỏi, bài tập mở
Sách giáo khoa mới được biên soạn theo tinh thần đổi mới phương pháp dạy
học.
- Chú trọng việc xây dựng cho học sinh mơi trường học tập tích cực, chủ
động và sáng tạo, chú trọng hình thành ở học sinh năng lực tự học, tự tìm tịi khám
phá. “Làm cho “Học” là q trình kiến tạo; học sinh tìm tịi, khám phá, phát hiện,
luyện tập, khai thác và xử lí thơng tin,… tự hình thành hiểu biết, năng lực và phẩm
chất. Tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh, dạy học sinh tìm ra chân lí. Chú trọng
hình thành các năng lực tự học, sáng tạo, hợp tác, dạy phương pháp và kĩ thuật lao
động khoa học, dạy cách học”.
- Gợi ý các hình thức tổ chức dạy học làm cho việc học của học sinh trở nên
lí thú, gắn bó với thực tiễn, gắn với cuộc sống. Kết hợp việc dạy học cá nhân và
việc học theo nhóm, tăng cường sự hợp tác, giúp đỡ lẫn nhau giữa học sinh trong

quá trình giáo dục.
20


- Gợi ý cấu trúc bài soạn, cụ thể: phải xác định đúng mục tiêu bài học, xác
lập mục tiêu học cho trị trên cơ sở chương trình chuẩn và năng lực của học sinh.
- Thực hiện đổi mới đánh giá đối với học sinh: Đánh giá trong toàn bộ q
trình dạy học, trong tồn bộ giờ học. Nội dung đánh giá theo mục tiêu yêu cầu mà
chuẩn đặt ra, có đánh giá về thực hành tốn.
- Tích cực phát triển ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học, phát huy
tính trực quan trong dạy học để tăng hiệu quả giờ học.
Nhìn chung sách giáo khoa hiện hành tạo thuận lợi và cơ hội cho giáo viên
sử dụng câu hỏi, bài tập mở trong dạy học khái niệm, định lí,… Đặc biệt với đối
tượng học sinh khá và giỏi có thể sử dụng câu hỏi, bài tập mở để các em được tìm
tịi và khám phá kiến thức.
b) Các biện pháp xây dựng câu hỏi, bài tập mở trong dạy học Hình học 11
Trong sách giáo khoa có nhiều nội dung, nhiều phần các bài tập thường có cấu
trúc dạng đóng. Việc biến đổi hoặc bổ sung thêm bài tập mở là việc cần thiết để nâng
cao hiệu quả dạy học.
* Câu hỏi, bài tập mở nhằm hình thành và củng cố các khái niệm cho học sinh
Dạy học khái niệm tốn học là một tình huống điển hình của dạy học tốn ở
trường phổ thơng. Hệ thống khái niệm tốn học là nền tảng của tồn bộ kiến thức
toán học của học sinh. Nắm vững hệ thống khái niệm toán học là khâu đầu tiên, là
tiền đề quan trọng để xây dựng cho học sinh khả năng vận dụng vững chắc, có hiệu
quả các kiến thức tốn học đã học.
Có một tình trạng khá phổ biến là học sinh chỉ chú ý học thuộc các định lý,
công thức mà coi nhẹ việc nắm vững các khái niệm, các định nghĩa. Điều đó làm
cho học sinh lúng túng khi vận dụng kiến thức tốn học, gặp nhiều khó khăn khi
giải tốn, phạm nhiều sai lầm máy móc và chủ nghĩa hình thức.
Ví dụ 17. Khi dạy về khái niệm hình chóp đều ta có thể nêu câu hỏi: Phải chăng

mọi hình chóp có đáy là một đa giác đều là một hình chóp đều?
Ví dụ 18. Khi dạy về khái niệm hai đường thẳng song song trong không gian ta có
thể nêu câu hỏi. (Hình 17, Hình 18). Hai đường thẳng trong khơng gian khơng có
điểm chung có thể kết luận song song khơng?
a

Hình 17

a

Hình 18
b

b

Ví dụ 19. Khi dạy khái niệm hình chóp ta
có thể cho học sinh quan sát các hình bên
và nêu câu hỏi. (Hình 19)

S

A3

A1

Các hình bên có đặc điểm gì giống nhau?
A2

S

S

A3

A4
A1

A2

Hình 19

A4

A5

A1
A2

A3

21


Với câu hỏi này, ta hy vọng nhận được các nhận xét như: có một đỉnh khơng
nằm trong mặt phẳng chứa n-1 đỉnh cịn lại; có n miền tam giác có chung một
đỉnh; các đỉnh cùng nằm trên một mặt phẳng tạo thành một đa giác. Từ các dấu hiệu
đó ta đi đến xây dựng định nghĩa về hình chóp như sau:
Hình tạo bởi n miền tam giác SA1A2, SA2A3,…SAnA1 và miền đa giác
A1A2A3…An được gọi là hình chóp S.A1A2A3An.
* Câu hỏi, bài tập mở nhằm khắc sâu các kiến thức, định lí cho học sinh

Trong phân phối chương trình số tiết học ở trên lớp còn hạn chế, khối lượng
tri thức cần truyền đạt thì nhiều, đồng thời phải đúng lịch trình quy định, nên việc
mở rộng, khai thác, ứng dụng sáng tạo các tính chất, định lý... chưa được triệt để
sâu sắc. Điều này hạn chế đến việc huy động vốn kiến thức của học sinh, hạn chế
đến việc rèn luyện tính tích cực, độc lập của học sinh trong học tập.
Để khắc phục phần nào tình trạng trên, chúng tôi cho rằng: giáo viên phải
tận dụng tối đa giờ trên lớp, phải chuẩn bị hệ thống bài tập mới bổ sung cho sách
giáo khoa, giáo viên phải huy động mọi phương pháp để tạo ra môi trường hoạt
động tích cực, giúp học sinh nắm vững hệ thống kiến thức một cách cơ bản vững
chắc. Từ những yếu tố ban đầu, giáo viên có thể cấu trúc lại bài toán theo dạng mở
để phát huy tư duy độc lập, rèn luyện năng lực, huy động tri thức đã được học và
vận dụng tốt vào giải quyết vấn đề. Từ đó, gây được niềm tin, say mê, hứng thú
tìm tịi, nghiên cứu, độc lập suy nghĩ, tự mình phát hiện vấn đề và giải quyết vấn
đề. Khi dạy định lí về điều kiện để một đường thẳng vng góc với một mặt phẳng,
ta có thể nêu các bài tốn sau:
Ví dụ 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng. Có cạnh
SA   ABCD  . Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vng góc của A lên SB, SC, SD. Hãy
tìm các cặp đường thẳng và mặt phẳng vng góc với nhau và giải thích vì sao
chúng vng góc? (Hình 20)
Đây là bài tốn có nhiều cặp đường thẳng và mặt phẳng vng góc với nhau,
để hồn chỉnh câu hỏi trên học sinh cần nắm vững định lí về đường thẳng vng
góc với mặt phẳng và phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng.
S

Nếu học sinh nắm vững được phương pháp
chứng minh có thể nhận thấy
BC  SAB  , CD  SAD  , BD  SAC  ,

H

AH  SDC  , AK  SBC  .

Tuy nhiên để tìm ra các cặp mặt phẳng và đường
thẳng vng góc khác, học sinh phải có q trình dự đốn
và suy luận để khẳng định các dự đoán.
Từ AH  SDC  , AK  SBC  ta suy ra được điều

I

K
B

A
D

C
Hình 20

22


gì ?
SC  AH

 SC  AK

 SC   AHK 

Hãy xác định vị trí tương đối giữa HK và (SAC)?

Với câu hỏi này sẽ tìm tịi và dẫn đến xét quan hệ giữa HK và SA hoặc HK và
AC. Từ đó dẫn đến dự dốn và kiểm nghiệm HK song song với BD.
Do SAB  SAD và AH, AK là hai đường cao tương ứng suy ra BH  KD .
Từ đó ta có HK // BC  HK  AC suy ra HK  (SAC) .
Ví dụ 21. Xét bài toán sau:
Cho tam giác ABC đều cạnh a, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Trên đường
thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm M khác A. Gọi H là trực
tâm tam giác MBC. Đường thẳng OH cắt d tại N. Có nhận xét gì về tứ diện BCMN?
(Hình 21)
Ban đầu học sinh sẽ nhận thấy trong tứ diện
BCMN có MN  BC .

M

Từ đó học sinh tìm cách xác định quan hệ của
hai cặp cạnh đối còn lại, cụ thể là MC và NB.
Hãy tìm những đường thẳng vng góc với MC?

A

K

Với câu hỏi mở trên học sinh bắt đầu quá trình
huy động kiến thức và tự đặt ra các câu hỏi.

O H

Có thể MC là một cạnh của tam giác mà hai
cạnh cịn lại cùng vng với một cạnh nào đó được
khơng?

B

C
I

N
Hình 21

Xét trong tam giác MAC có KB  AC , MA  KB
suy ra KB  MC .
Trong mặt phẳng (HKB) có KB  MC , HB  MC suy ra NB  MC .
Tương tự MB  NC . Vậy BCMN là tứ diện trực tâm.
Qua những câu hỏi mở ở mức độ thích hợp người giáo viên sẽ biết được học
sinh hiểu gì, suy nghĩ như thế nào về vấn đề đặt ra, đồng thời nắm được được khả
năng tư duy của học sinh.
Điều quan trọng là qua câu hỏi, bài tập mở đó giáo viên có thể biết được
năng lực của học sinh và hình thành cho học sinh kĩ năng và phương pháp chứng
minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng.

23


Ví dụ 22. Khi dạy về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau, để khắc sâu kiến thức ta có thể sử dụng hệ thống câu
hỏi mở như sau:

S
I

- Hãy so sánh khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau a, b với khoảng cách từ đường thẳng b tới mặt phẳng
(P) đi qua a song song với b?
- So sánh khoảng cách giữa a, b với khoảng cách giữa
hai mặt phẳng (P), (Q) lần lượt qua a, b và song song với
nhau.

D

A
B

C
Hình 22

Sau khi học sinh trả lời các câu hỏi trên, giáo viên có thể lấy ví dụ áp dụng
như sau:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a,
SA = a và SA vng góc với đáy. Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng AB
và SC. (Hình 22)
Sử dụng kiến thức thu được qua các câu hỏi, học sinh nhận thấy:
d  AB, CD   d  AB,  SCD    d  A,  SCD    AI

Dễ thấy

1
1
1  AI  2a
.



2
2
AI
AS
AD 2
5

Từ các ví dụ ta thấy câu hỏi mở phù hợp sẽ giúp học sinh nắm vững những
định lí, những tính chất và quan hệ của các hình và hình thành phương pháp chứng
minh những bài toán cơ bản.
* Câu hỏi, bài tập mở nhằm phát triển khả năng giải toán cho học sinh
Câu hỏi, bài tập mở kích thích óc tị mị khoa học, đặt học sinh trước một
tình huống cần khám phá, làm cho học sinh có nhu cầu, có hứng thú và quyết tâm
huy động kiến thức, kĩ năng và năng lực tư duy sáng tạo của bản thân đề tìm tịi,
phát hiện các kết quả cịn tiềm ẩn trong bài tốn.
Câu hỏi, bài tập mở góp phần rèn luyện khả năng nhận ra vấn đề mới trong
điều kiện quen thuộc, khả năng nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết.
Câu hỏi, bài tập mở tác động rõ rệt trong việc bồi dưỡng tính mềm dẻo của tư duy,
năng lực tương tự hoá, khái quát hoá và tổng qt hố.
Để sáng tỏ những điều trình bày trên xin nêu một số

A

ví dụ.
Ví dụ 23. Trong hình học phẳng khi đã biết bài toán
I

sau:
Bài toán 1. Cho tam giác ABC, I là điểm nằm trong

tam giác, gọi S a , Sb , S c lần lượt là diện tích các tam giác

C

B
Hình 23

24


IBC, IAC, IAB. Chứng minh S a .IA  S b .IB  S c .IC  0 (1) . (Hình 23)
Trên cơ sở sự tương ứng giữa hình học phẳng và hình học khơng gian, giáo
viên có thể u cầu học sinh hãy tìm kết quả tương tự cho tứ diện.
Với sự tương ứng giữa diện tích trong hình học phẳng và thể tích trong hình
học khơng gian cùng sự gợi ý của giáo viên học sinh có thể đưa ra được dự đoán
sau:
Bài toán 2. Cho tứ diện ABCD và M là điểm nằm trong tứ diện, gọi Va ,Vb ,Vc ,Vd
tương ứng là thể tích của các tứ diện MBCD, MACD, MABD, MABC. (Hình 24)
Ta có

Va .MA  Vb .MB  Vc .MC  Vd .MD  0

(2)

Sau khi đưa ra dự đốn, học sinh có thể tiến hành kiểm nghiệm với trường
hợp M là trọng tâm của tứ diện.
D
1
4

Khi đó Va  Vb  Vc  Vd  V ABCD
Và chứng minh được

M

MA  MB  MC  MD  0

N

C

Suy ra (2) đúng trong trường hợp M là trọng
tâm, từ đó củng cố thêm sự chính xác của dự đốn
về hệ thức (2) và đi tìm cách chứng minh.

E

A

I

F

Hình 24

Lúc này giáo viên có thể sử dụng các câu
định hướng kết hợp với các câu hỏi mở để dẫn dắt học sinh tìm kiếm lời giải.

B

Ta có thể áp dụng (1) vào bài tốn trên không? Hãy làm xuất hiện mối liên
hệ giữa các hệ thức MA, MB , MC , MD
S IBC .IA  S IAC .IB  S IAB .IC  0
 S IBC .( IM  MA)  S IAC .( IM  MB)  S IAB (.IM  MC )  0
 ( S IBC  S IAC  S IAB ) IM  S IBC .MA  S IAC .MB  S IAB .MC  0


S ABC IM  S IBC .MA  S IAC .MB  S IAB .MC  0

 S IBC .MA  S IAC .MB  S IAB .MC  S ABC

IM
.MD  0 (3)
MD

Từ hệ thức (2) và (3) ta sẽ định hướng chứng minh điều gì?
So sánh hệ thức (2) và (3) học sinh sẽ nghĩ đến chứng minh các hệ thức sau:
V
S
S
Va S IBC MD
MD Vc
MD
, b  IAC .
,
 IAB .

.
Vd S ABC IM
Vd S ABC IM

Vd S ABC IM

Học sinh sẽ tìm cách chứng minh một trong các hệ thức trên

25