SKKN góp phần rèn luyện kĩ năng toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh khi dạy học bài bất phƣơng trình bậc nhất hai ẩn(đại số 10)

Phần I. Đặt vấn đề:
1. Lí do chọn đề tài
Về mục đích học Chủ tịch Hồ Chí Minh đã có quan điểm: “học để làm việc”.
Còn về phương pháp học tập Bác xác định: “Học phải gắn liền với hành, học tập
suốt đời, học ở mọi nơi”. Nghị quyết 29-NQ/TW ngày 4/11/2013 về đổi mới căn
bản và toàn diện giáo dục và đào tạo đã chỉ ra: “…Chuyển mạnh quá trình giáo dục
từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất
người học. Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết
hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”, “…nâng cao năng lực và kỹ năng
thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn”.
Chương trình tổng thể Ban hành theo Thơng tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày
26/12/2018 nêu rõ “Giáo dục tốn học hình thành và phát triển cho học sinh những
phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học với các thành tố cốt lõi:
năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mơ hình học tốn học, năng lực giải
quyết vấn đề toán học, năng lực giao tiếp toán học, năng lực sử dụng các công cụ và
phương tiện học toán; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học
sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn, giáo dục toán học
tạo dựng sự kết nối giữa các ý tưởng tốn học, giữa tốn học với các mơn học khác
và giữa toán học với đời sống thực tiễn’’. Tiếp tục thực hiện Công văn số
1784/SGD&ĐT-GDTrH ngày 30/9/2019 của Sở GDĐT về hướng dẫn thực hiện
giáo dục trong nhà trường gắn với thực tiễn địa phương, tăng cường các hình thức
dạy học tại di sản, trang trại, công xưởng, cơ sở sản xuất, kinh doanh, dịch vụ trên
địa bàn. Đến nay, sự đổi mới đã và đang được triển khai đồng bộ từ nội dung đến
phương pháp dạy học và giáo dục nhằm phát triển năng lực học sinh. Trong đó, hoạt
động trải nghiệm là một bộ phận trong chương trình giáo dục phổ thông mới, hoạt
động này giúp học sinh có nhiều cơ hội vẫn dụng những kiến thức đã học được vào
thực tiễn và góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực cần thiết cho học sinh.
Trong cuộc sống lao động và sản xuất chúng ta thường gặp phải các tình
huống có vấn đề về việc lựa chọn phương án nào là tối ưu nhất. Lúc này Tốn học
có vai trị rất quan trọng. Việc trang bị cho học sinh kĩ năng thích ứng và liên hệ
với thực tiễn khi còn ngồi trên ghế nhà trường là hết sức cần thiết. Vì vậy, trong

quá trình dạy học ở trường phổ thơng, tơi ln tìm tịi cách dạy sao cho phù hợp
với đối tượng học sinh. Tôi nhận thấy rõ tầm quan trọng của hoạt động ứng dụng
toán học vào thực tiễn nhằm truyền thụ kiến thức và phát triển các phẩm chất năng
lực như năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tự học, năng lực tính tốn, năng lực
sáng tạo…Bài “Bất phương trình bậc nhất hai ẩn” trong chương trình Đại số 10, có
mục “Áp dụng vào bài tốn kinh tế” nhưng chỉ có một bài toán, mặc dù cơ hội xây
dựng và giảng dạy là rất nhiều, nhất là khi thực hiện chương trình giáo dục phổ
thông 2018 từ năm học 2022-2023. Mặc dù vậy, vấn đề này hiện nay chưa có nhiều
tài liệu nghiên cứu có hệ thống và sát đối tượng để phục vụ cho việc giảng dạy.
1


Vì các lí do trên nên tơi chọn nghiên cứu đề tài: GĨP PHẦN RÈN LUYỆN KĨ
NĂNG TỐN HỌC HĨA TÌNH HUỐNG THỰC TIỄN CHO HỌC SINH KHI DẠY
HỌC BÀI BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN(Đại số 10)

Những đóng góp của SKKN:
- Hệ thống hóa và góp phần làm rõ cơ sở lí luận về kĩ năng tốn học hóa các
tình huống thực tiễn.
- Nêu ra được một số giải pháp rèn luyện kĩ năng tốn học hóa các tình huống
thực tiễn trong dạy học.
- Xây dựng một số bài toán liên quan đến thực tiễn, là tư liệu tốt phục vụ cho
dạy học bài bất phương trình bậc nhất hai ẩn, đặc biệt là khi thực hiện chương trình
GDPT 2018.
2. Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu nội dung và biện pháp tốn học hóa
tình huống thực tiễn trong dạy học mơn Tốn và áp dụng vào dạy học bài bất
phương trình bậc nhất hai ẩn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu lí luận, nội dung tốn học hóa tình
huống thực tiễn khi dạy học bài bất phương trình bậc nhất hai ẩn và đề xuất biện
pháp thực hiện.

4. Đối tƣợng nghiên cứu: Nghiên cứu thực trạng, lí luận và nội dung tốn
học hóa tình huống thực tiễn khi dạy học bài bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
5. Phạm vi nghiên cứu: nghiên cứu các tình huống thực tiễn khi dạy học bài
bất phương trình bậc nhất hai ẩn tại trường THPT Nguyễn Cảnh Chân, huyện
Thanh Chương.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu chương trình SGK và các tài liệu liên quan.
- Khảo sát thực trạng dạy học thơng qua các hình thức như sử dụng phiếu điều
tra, quan sát, phỏng vấn trực tiếp giáo viên ở trường THPT.
- Nghiên cứu và tìm hiểu các hoạt động sản xuất kinh doanh ở địa phương.

2


Phần II. Nội dung:
I. Thực trạng của vấn đề:
1.1. Phân tích thực trạng của vấn đề
Nguyên lý giáo dục đã chỉ rõ: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao
động sản xuất, lí luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo
dục gia đình và giáo dục xã hội”. Cơng văn số 1769/SGD&ĐT-GDTrH, về việc
hướng dẫn thực hiện nhiệm vụ giáo dục trung học năm học 2020-2021 của Sở Giáo
dục và Đào tạo Nghệ An, đã chỉ rõ: “Thực hiện hiệu quả các phương pháp và hình
thức dạy học, giáo dục theo định hướng phát triển năng lực học sinh”; “Tiếp tục
thực hiện Công văn số 1784/SGD&ĐT-GDTrH ngày 30/9/2019 của Sở GDĐT về
hướng dẫn thực hiện giáo dục trong nhà trường gắn với thực tiễn địa phương, tăng
cường các hình thức dạy học tại di sản, trang trại, công xưởng, cơ sở sản xuất, kinh
doanh, dịch vụ trên địa bàn”. Trong những năm gần đây, việc đổi mới phương pháp
dạy học và giáo dục đã có nhiều chuyển biến tích cực. Tuy nhiên thực trạng dạy
học tốn ở trường phổ thơng chưa thực sự chú trọng đến ứng dụng toán học và cịn
mang tính hình thức. Học sinh chưa có ý thức tốn học hóa thực tiễn, chưa có kĩ

năng tự đặt ra các bài tốn cho chính mình khi đối mặt với các tình huống trong
cuộc sống.
Tìm hiểu về tình hình dạy học mơn Tốn theo hướng liên hệ với thực tiễn ở
trường THPT, đối với HS, tôi tiến hành điều tra 80 HS lớp 10, trường THPT
Nguyễn Cảnh Chân, huyện Thanh Chương. Kết quả thu được thể hiện qua bảng
1và bảng 2 như sau:
Bảng 1: Mức độ cần thiếtcủa môn Tốn trong cuộc sống
Mức độ

Tỉ lệ(%)

Rất cần thiết

81,25

Cần thiết

12,5

Khơng cần thiết

6,25

Bảng 2: Nhu cầu muốn biết các ứng dụng thực tiễn
của mơn Tốn
Nhu cầu muốn biết ứng dụng

Tỉ lệ(%)

thực tiễn của mơn Tốn

Có

91,25

Khơng

8,75

3


Thông qua trao đổi với các giáo viên giảng dạy mơn Tốn tại các trường
THPT trên địa bàn huyện Thanh Chương tôi nhận thấy rằng, giáo viên chỉ chú
trọng rèn luyện cho học sinh các kĩ năng trong nội bộ mơn Tốn, rèn luyện kĩ năng
giải các bài tập trên sách vở mà ít chú ý đến các kĩ năng vận dụng kiến thức Toán
học vào thực tiễn đời sống cho học sinh trong quá trình dạy học. Sau khi thực hiện
khảo sát với các giáo viên Toán tại trường THPT Nguyễn Cảnh Chân. Kết quả cho
thấy rằng, ngay cả bài “Bất phương trình bậc nhất hai ẩn” trong chương trình Đại
số 10 hiện hành, 100% giáo viên được khảo sát đánh giá rất cần thiết nhưng chưa
chủ động tìm hiểu để ứng dụng vào thực tế mà chỉ sử dụng bài tập trong SGK, ít
quan tâm đến rèn luyện kĩ năng tốn học hóa khi dạy học.
Khơng thể phủ nhận vai trị của bài tập Tốn trong việc cũng cố kiến thức và
rèn luyện tư duy cũng như kĩ năng cho học sinh. Theo định hướng về phương pháp
giáo dục thì “mỗi học sinh được tạo điều kiện để tự mình thực hiện nhiệm vụ học
tâp và trải nghiệm thực tế” [2, tr.32]. Hoạt động tốn học hóa các tình huống thực
tiễn được tiến hành sẽ góp phần thu hẹp khoảng cách giữa lý thuyết và thực tế cuộc
sống, từ đó học sinh sẽ hứng thú học tập và sẽ có những sáng tạo, thu được những
kiến thức và kinh nghiệm từ thực tế để từ đó lại hỗ trợ học sinh nắm vững hơn về
kiến thức. Mặc dù vậy, qua khảo sát nhiều giáo viên chưa quan tâm đến vấn đề
này. Đây là một thực trạng đáng lo ngại và cần sớm khắc phục khi mà thời gian

triển khai Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn (2018) đã đến gần.
1.2. Ngun nhân
- Về ngun nhân thì có nhiều nhưng tựu trung lại là xuất phát từ các nguyên
nhân sau:
+ Trong những năm gần đây các bài toán thực tế đã xuất hiện trong các đề thi
nhưng còn rất ít, vì vậy giáo viên chưa thực sự quan tâm nhiều đến dạng toán này.
+ Do áp lực thi cử, nên học sinh học còn nặng về học kĩ năng giải bài tập hơn
là giải quyết các vấn đề trong thực tiễn.
+ Thời gian dành cho các hoạt động trải nghiệm của mơn Tốn rất ít, chưa
theo kịp với sự đổi mới phương pháp dạy học và giáo dục trong giai đoạn hiện nay.
+ Chương trình mơn Tốn hiện hành vẫn còn nặng về lý thuyết, nội dung chủ
yếu nằm trong nội bộ mơn tốn, cịn ít phần thực hành ứng dụng.
+ Chưa có nhiều tài liệu hướng dẫn cụ thể, theo từng đối tượng học sinh nội
dung toán học hóa các tình huống trong thực tiễn.
1.3. Thuận lợi và khó khăn khi thực hiện đề tài.
- Thuận lợi:

4


+ Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn 2018 sẽ triển khai từ năm học
2022-2023, trong đó hoạt động trải nghiệm là hoạt động bắt buộc và chiếm 7% nội
dung chương trình [3, tr.121].
+ Cơng văn số 1784/SGD&ĐT-GDTrH ngày 30/9/2019 của Sở GDĐT về
hướng dẫn thực hiện giáo dục trong nhà trường gắn với thực tiễn địa phương, tăng
cường các hình thức dạy học tại di sản, trang trại, công xưởng, cơ sở sản xuất, kinh
doanh, dịch vụ trên địa bàn.
+ Sự chỉ đạo nghiêm túc của Ban giám hiệu trong việc đổi mới phương pháp
dạy học, giáo dục hướng đến phát triển năng lực học sinh và quan tâm tạo điều
kiện để tổ chức hoạt động.

+ Tất cả các giáo viên trong tổ chuyên môn điều cho rằng tiềm năng tổ chức
các hoạt động tốn học hóa các tình huống thực tiễn là khá nhiều, trong đó có bài
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn(Đại số 10).
+ Học sinh rất hào hứng trước các bài toán xuất phát từ thực tiễn cuộc sống.
- Khó khăn
+ Chất lượng đầu vào của học sinh thấp nên một phần không nhỏ học sinh lớp
10 không nhớ, chưa hiểu kiến thức là rào cản không nhỏ cho việc liên hệ với thực
tế và rèn luyện kĩ năng tốn học hóa.
+ Trình độ tư duy cũng như ý thức tổ chức của nhiều học sinh cịn yếu nên sẽ
gây ra ít nhiều khó khăn trong tổ chức hoạt động dạy học.
+ Phải có sự hiểu biết nhất định về công việc của người sản xuất trên các lĩnh
vực, muốn vậy phải có thời gian để tìm hiểu thực tế.
+ Hiện nay chưa có nhiều tài liệu hướng dẫn nội dung tốn học hóa trong dạy
học mơn tốn ở trường phổ thơng.
II. Rèn luyện kĩ năng tốn học hóa tình huống tiễn thực cho học sinh khi
dạy học bài bất phƣơng nhất trình bậc hai ẩn(Đại số 10)
2.1. Cơ sở lí luận về tốn học hóa tình huống tiễn khi dạy học Tốn.
2.1.1. Khái niệm tình huống thực tiễn
Dựa trên quan điểm của Nguyễn Bá Kim, ta có thể hiểu:
- Tình huống thực tiễn là tình huống mà khách thể của nó chứa đựng các yếu
tố mang nội dung thực tiễn(tức là mang nội dung các hoạt động của con người)
- Bài tốn có nội dung thực tiễn là bài toán mà khách thể của nó chứa đựng
các yếu tố mang nội dung thực tiễn.
2.1.2. Tốn học hóa tình huống thực tiễn.
5


Tốn học hóa tình huống thực tiễn là chuyển một vấn đề trong thực tiễn cuộc
sống lao động, sản xuất, kinh doanh thành bài toán và sử dụng kiến thức tốn học
đã biết để giải quyết. Bản chất của nó là mơ tả một tình huống thực tiễn bằng ngơn

ngữ toán học. Khi học sinh đối mặt với những vấn để trong cuộc sống sẽ liên tưởng
đến các kiến thức đã học phù hợp để xây dựng thành bài toán và tìm lời giải đáp
ứng đúng yêu cầu thực tiễn đặt ra. Đó chính là hoạt động tốn học hóa tình huống
thực tiễn.
2.1.3. Kĩ năng tốn học hóa tình huống thực tiễn
Kĩ năng tốn học hóa tình huống thực tiễn của học sinh phổ thông là khả năng
học sinh vận dụng những hiểu biết của mình để chuyển một tình huống thực tiễn
về dạng toán học.
2.1.4. Các thành tố của kĩ năng tốn học hóa tình huống thực tiễn
- Kĩ năng thu nhận thơng tin tốn học từ các tình huống thực tiễn, bao gồm:
+ Khả năng quan sát tình huống thực tiễn.
+ Khả năng liên tưởng, kết nối các ý tưởng toán học với các yếu tố thực tiễn.
+ Khả năng ước tính, dự đốn các kết quả của tình huống thực tiễn.
- Kĩ năng sử dụng ngơn ngữ tự nhiên và ngơn ngữ tốn học, bao gồm:
+ Khả năng diễn đạt tình huống thực tiễn bằng ngơn ngữ tự nhiên ngắn gọn,
chính xác.
+ Khả năng sử dụng ngơn ngữ toán học.
+ Khả năng diễn đạt một vấn đề thực tiễn dưới nhiều hình thức khác nhau.
- Kĩ năng xây dựng mơ hình tốn học, bao gồm:
+ Khả năng phát hiện ra quy luật của tình huống thực tiễn.
+ Khả năng biểu diễn các yếu tố thực tế bằng kí hiệu, khái niệm tốn học.
+ Khả năng biểu đạt các mối quan hệ bằng các mệnh đề toán học, các biểu
thức chứa biến.
+ Khả năng biểu đạt các mối quan hệ bằng đồ thị, biểu đồ…
- Kĩ năng làm việc với mơ hình tốn học, bao gồm:
+ Khả năng giải tốn trên mơ hình.
+ Khả năng biến đổi mơ hình tốn học phù hợp với tình huống cụ thể.
+ Khả năng dùng mơ hình phán đốn tình huống thực tiễn.
6

- Kĩ năng kiểm tra, đánh giá, điều chỉnh mô hình tốn học, bao gồm:
+ Khả năng kiểm tra, đối chiếu kết quả.
+ Khả năng phê phán, phát hiện hạn chế của mơ hình.
+ Khả năng vận dụng suy luận có lý vào việc đưa ra các mơ hình tốn học cho
tình huống thực tiễn và biết so sánh tìm ra mơ hình hợp lí hơn.
2.1.5. Quy trình tốn học hóa tình huống thực tiễn
THTT

Mơ hình TH

bài tốn trong mơ hình

Áp dụng kiến thức tốn học đã biết để giải
Điều chỉnh mơ hình cho phù hợp với THTT

2.1.6. Một số kiến thức cơ bản về bất phương trình bậc nhất hai ẩn
2.1.6.1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là ax  by  c (1)
( ax  by  c; ax  by  c; ax  by  c )
trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và
y là các ẩn số.
- Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
+ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm bất
phương trình (1) được gọi là miền nghiệm của nó.
+ Quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình
ax  by  c như sau(tương tự cho bất phương trình ax  by  c ):
Bước 1. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, vẽ đường thẳng d: ax  by  c
Bước 2. Lấy một điểm M 0  x0 ; y0  không thuộc đường thẳng d (ta thường lấy

gốc tọa độ O)
Bước 3. Tính ax0  by0 và so sánh ax0  by0 với c.
Bước 4. Kết luận
 Nếu ax0  by0  c thì nửa mặt phẳng bờ d chứa M 0 là miền nghiệm của

bất phương trình ax  by  c .

 Nếu ax0  by0  c thì nửa mặt phẳng bờ d khơng chứa M 0 là miền nghiệm

của bất phương trình ax  by  c .

2.1.6.2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

7


- Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất
hai ẩn x, y mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó
được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
- Để biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn,
ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Vẽ tất cả các đường thẳng ứng với mỗi bất phương trình trong hệ
bất phương trình đã cho lên cùng một hệ trục toạ độ.
Bước 2: Xác định miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ bất
phương trình đã cho (bằng cách gạch chéo hoặc tô đậm phần không nằm trong
miền nghiệm) trên hệ trục toạ độ ban đầu. Phần không bị tơ đậm hoặc gạch chéo
chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
2.1.6.3. Bổ đề
Cho biểu thức P  ax  by , (a, b là các số thực khơng đồng thời bằng 0), trong
đó (x; y) là toạ độ của các điểm thuộc miền đa giác A1 A2 ... An thì giá trị lớn nhất

(nhỏ nhất) của P (xét trên miền đa giác đã cho) đạt được tại một trong các đỉnh của
miền đa giác trên.
Như vậy, để tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức trên miền nghiệm
của một hệ bất phương trình ta làm như sau:
Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Bước 2: Tính các giá trị của biểu thức P với (x; y) là toạ độ các đỉnh của miền
nghiệm.
Bước 3: So sánh các giá trị vừa tính được với nhau, giá trị nào lớn nhất (nhỏ
nhất) là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của P trên miền nghiệm của hệ bất phương trình
đã cho.
Ví dụ: Cho x, y là các số thực thỏa mãn hệ bất phương trình:
2 x  y  2
x  2 y  2


x  y  5
 x  0

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = y – x.
Giải:
- Vẽ 4 đường thẳng d1: 2x – y = 2, d2: x – 2y = 2, d3: x + y = 5 và d4: x = 0

8


- Xác định miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ. Miền khơng bị
gạch (hình tam giác ABC kể cả ba cạnh AB, AC, BC) trong hình vẽ (Hình 1) là
miền nghiệm của hệ đã cho.

2 2

A  d1  d 2  A  ;  
3 3
7 8
B  d1  d3  B  ; 
 3 3
C  d2  d3  C  4;1

- Bảng giá trị của P tại các đỉnh của tam giác ABC
Đỉnh
Giá trị của P

2 2
A ;  
3 3

7 8
B ; 
 3 3

C  4;1

4
3

1
3

-3



- Vậy giá trị nhỏ nhất là P = -3 khi x=4, y=1 và giá trị lớn nhất là P=

1
khi
3

7
8
x ,y  .
3
3

2.2. Một số giải pháp rèn luyện kĩ năng tốn học hóa tình huống thực tiễn cho
học sinh.
2.2.1. Rèn luyện cho học sinh sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ tốn
học để diễn đạt tình huống thực tiễn

9


Ngơn ngữ tốn học có đặc điểm diễn đạt ngắn gọn, logic, khơng mang sắc
thái biểu cảm, nhiều khi cịn thiếu đồng nhất với ngôn ngữ tự nhiên. Học sinh gặp
khó khăn khi giải bài tốn thực tiễn vì gặp khó khăn khi chuyển đổi từ ngơn ngữ tự
nhiên sang ngơn ngữ tốn học. Giáo viên cần góp phần giúp học sinh mơ tả các
tình huống thực tiễn bằng ngơn ngữ tốn học một cách chính xác.
Ví dụ 1: Một phân xưởng có hai máy đặc chủng M1, M2 sản xuất hai loại sản
phẩm I và II. Một tấn sản phẩm loại I lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm loại II lãi
1,6 triệu đồng. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại I phải dùng máy M1 trong 3
giờ và máy M2 trong 1 giờ. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại II phải dùng máy

M1 trong 1 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Một máy không thể dùng để sản xuất đồng
thời hai loại sản phẩm. Máy M1 làm việc không quá 6 giờ trong một ngày, máy M2
một ngày chỉ làm việc không quá 4 giờ. Hãy đặt kế hoạch sản xuất sao cho số tiền
lãi cao nhất.
Đây là một bài toán trong sách giáo khoa Đại số 10. Khi dạy học bài toán này
giáo viên cần chú trọng phân tích và giúp học sinh chuyển đổi ngôn ngữ từ ngôn
ngữ tự nhiên sang ngơn ngữ tốn học và ngược lại.
Khi gọi x, y theo thứ tự là số tấn sản phẩm loại I và loại II sản xuất trong một
ngày( x  0, y  0 ).
Ngơn ngữ tự nhiên

Ngơn ngữ tốn học

Một tấn sản phẩm loại I lãi 2 triệu Số tiền lãi mỗi ngày: L  2 x  1, 6 y
đồng, một tấn sản phẩm loại II lãi 1,6
triệu đồng.
Máy M1 làm ra một tấn sản phẩm loại Số giờ làm việc của máy M1: 3 x  1 y
I trong 3 giờ và một tấn sản phẩm loại II
trong 1 giờ
Máy M1 làm việc không quá 6 giờ
trong một ngày

3x  1y  6

Máy M2 làm ra một tấn sản phẩm loại Số giờ làm việc của máy M2: 1x  1 y
I trong 1 giờ và một tấn sản phẩm loại II
trong 1 giờ
Máy M2 làm việc không quá 4 giờ
trong một ngày

1x  1 y  4

Hãy đặt kế hoạch sản xuất sao cho số Tìm x và y để L  2 x  1, 6 y lớn nhất
tiền lãi cao nhất.

10


2.2.2. Khai thác tình huống thực tiễn để gợi động cơ hoặc củng cố kiến thức
trong dạy học nhằm tạo hứng thú học tập, phát huy tính tích cực chủ động của
học sinh.
Ngồi việc hình thành và khám phá tri thức, các tình huống thực tiễn cịn
giúp học sinh củng cố và khắc sâu tri thức, giáo viên có thể thực hiện theo các
bước như sau:
Bước 1: Giáo viên giao nhiệm vụ cho học sinh giải quyết một tình huống
thực tiễn.
Bước 2: Giáo viên hướng dẫn, quan sát và hỗ trợ khi cần thiết. Học sinh thảo
luận để phát hiện vấn đề Toán học và thực hiện.
Bước 3: Học sinh báo cáo kết quả, giáo viên rút ra nhận xét, đồng thời đề xuất
phương án tối ưu.
Ví dụ 2:
Bước 1:Giáo viên giao nhiệm vụ là một tình huống thực tiễn được phát biểu
thành bài tốn như sau:
Một hộ nơng dân trồng đậu và cà trên diện tích tối đa 8 sào. Nếu trồng đậu
thì cần 20 cơng và thu hoạch khoảng 5 triệu đồng trên mỗi sào. Còn nếu trồng cà
thì cần 30 cơng và thu lời khoảng 7 triệu trên mỗi sào. Biết rằng số công bỏ ra
không quá 180. Phải trồng mỗi loại cây trên diện tích bao nhiêu để số tiền thu về
là cao nhất?
Bước 2: Giáo viên hướng dẫn, quan sát và hỗ trợ khi cần thiết. Học sinh thảo
luận để phát hiện vấn đề Toán học và thực hiện.

- Gọi x và y là diện tích trồng đậu và cà của gia đình  x  0; y  0 
- Giáo viên phân tích, hướng dẫn học sinh chuyển sang ngơn ngữ tốn học, ta
có hệ bất phương trình:
 x  0; y  0
 x  0; y  0


 x  y  8
(2)
x  y  8
20 x  30 y  180
2 x  3 y  18



- Số tiền thu về là T = 5x + 7y
- Như vậy, u cầu bài tốn trở thành: tìm x, y thỏa mãn (2) để T = 5x + 7y
lớn nhất.
- Miền nghiệm của (2) là miền khơng bị gạch (hình tứ giác OABC kể cả 4
cạnh OA, AB, BC, OC) trong hình vẽ (Hình 2).

11


- Tọa độ các đỉnh là O(0;0), A(0;6), B(6;2), C(8;0)
- Bảng giá trị tiền thu hoạch:
Đỉnh

O(0;0)

A(0;6)

B(6;2)

C(8;0)

Tiền thu T

0

42 triệu

44 triệu

40 triệu

Bước 3: Học sinh báo cáo kết quả:
Như vậy, muốn số tiền thu về là cao nhất cần canh tác đậu và cà theo tỉ lệ 6
sào đậu, 2 sào cà. Khi đó lợi nhuận thu về là 44 triệu.
2.2.3. Rèn luyện kĩ năng xác định mơ hình tốn học của tình huống thực tiễn
qua dạy học bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
2.2.3.1. Tăng cường hoạt động trải nghiệm tại trang trại, công xưởng, cơ sở sản
xuất, kinh doanh, dịch vụ trên địa bàn.
Ví dụ 3:
Tình huống thực tiễn:
Ở Thanh Chương có rất nhiều hộ nơng dân làm kinh tế giỏi. Tháng 7/2019
tơi đến tìm hiểu về một mơ hình chăn ni tại xã Thanh Ngọc, chủ trang trại cho
biết: lúc mới bắt đầu, chỉ nuôi mỗi lứa 5 con heo với 2 con bị, do ni ít và tận
dụng sức lao động lúc nơng nhàn nên chi phí thức ăn cho heo cũng ít, giá bán lại
cao nên lãi cũng được, ni bị thì khá nhàn. Khi đi làm đồng có thể tranh thủ

bứt cỏ, lại tận dụng thêm nguồi thức ăn từ làm nông nghiệp nên chăn ni cũng
chẳng vất vả gì, chỉ có điều gia súc chậm lớn hơn bây giờ. Cách đây 3 năm chú
quyết định mở rộng mơ hình chăn ni, đầu tư chuồng trại ni heo và ni bị.
12


Năm ngối có lúc ni 50 con heo thương phẩm (4 chuồng) và 5 con bị. Do
chăn ni nhiều nên chủ yếu cho ăn thức ăn công nghiệp, heo nhanh lớn hơn,
nhàn hơn, nhưng chi phí bỏ ra lớn hơn nhiều so với chăn ni thơng thường.
Chủ trại cịn cho biết, để nuôi mỗi con heo sau khoảng gần 4 tháng xuất chuồng,
trừ chi phí có thời điểm lãi hơn 1 triệu đồng mỗi con. Tính ra mỗi lứa heo lãi
khoảng 45- 50 triệu đồng, một năm nuôi 3 lứa là có hơn 100 triệu từ ni heo.
Ni bị thì đầu tư nhiều hơn và cần nhiều công hơn nên ni ít. Tuy nhiên sang
năm nay giá heo nhiều biến động, chủ trang trại đang tính giảm đàn heo và tăng
thêm số lượng đàn bị để chăn ni an tồn hơn.
Giả sử chủ trang trại dành 200 triệu quay vòng cho chăn nuôi và vẫn muốn
chăn nuôi 2 loại gia súc trên thì số lượng từng loại như thế nào? Biết rằng lao
động chủ yếu là người trong nhà(không thuê nhân cơng).
Xét bài tốn như sau:
Một gia đình muốn mở rộng mơ hình chăn ni theo trang trại, dự đinh
ni 2 loại gia súc là lợn và bị. Ước tính rằng nếu ni lợn thì phải đầu tư cả
tiền giống, thức ăn khoảng 2 triệu, sau 4 tháng bán được khoảng 2,5 triệu, hết
khoảng 10 cơng mỗi con. Cịn nếu ni bị phải đầu tư 16 triệu, sau 4 tháng bán
được 18 triệu, và phải dành khoảng 25 công mỗi con. Biết rằng, gia đình đầu tư
cho chăn ni khơng quá 200 triệu đồng và số công bỏ ra không quá 450, tiền
khấu hao do đầu tư chuồng, trại… ban đầu mỗi năm khoảng 10 triệu. Hỏi số
tiền lãi nhiều nhất thu được trong một năm là bao nhiêu?
Giải:
- Gọi x và y là số lợn và bị ni trong mỗi vụ  x  0; y  0 
- Giáo viên phân tích, hướng dẫn học sinh chuyển sang ngơn ngữ tốn học, ta

có hệ bất phương trình:
 x  0; y  0
 x  0; y  0


2 x  16 y  200   x  8 y  100 (3)
10 x  25 y  450
2 x  5 y  90



- Tiền lãi mỗi vụ (chưa tính khấu hao) là T = 0,5x + 2y
- Tiền lãi thu về sau 1 năm là S = 3T – 10 = 1,5x + 6y – 10
- Như vậy, bài tốn trở thành: tìm GTLN của S với x, y thỏa mãn điều
kiện (3)
- Miền nghiệm của (3) là miền khơng bị gạch (hình tứ giác OABC kể cả 4
cạnh OA, AB, BC, OC) trong hình vẽ (Hình3).

13


- Tọa độ các đỉnh của tứ giác là: O(0;0), A(0;12,5), B(20;10), C(45;0)
- Bảng giá trị tiền lãi hằng năm tại các đỉnh là
Đỉnh

O(0;0)

A(0;12,5)

B(20;10)

C(45;0)

Tiền lãi S (triệu đồng)

0

65

80

57,5

Từ bảng giá trị trên ta thấy tiền lãi thu được sau 1 năm cao nhất là 80 triệu.
Qua ví dụ trên ta thấy với người nơng dân, việc tìm ra phương án chăn ni
tối ưu một mặt tiết kiệm được chi phí đầu tư, mặt khác nâng cao hiệu quả nguồi
vốn và giảm đáng kể rủi ro. Rõ ràng trong trường hợp này chăn ni cùng lúc
nhiều loại sẽ có hiệu quả cao hơn so với ni mình bị hay lợn. Ngồi ra nếu có
thêm ao, gia đình này hồn tồn có thể chăn ni kết hợp nhiều loại khác nữa ví dụ
nuôi cá sẽ tận dụng được đáng kể nguồi chất thải từ chăn ni heo và bị, ni gà
sẽ tận dụng rất tốt không gian và nguồi thức ăn thừa từ ni bị. Việc kết hợp như
vậy sẽ tạo thành chuỗi hỗ trợ cho nhau và giảm rủi ro khi ngành chăn ni có nhiều
biến động như giai đoạn hiện nay.
2.2.3.2. Tăng cường các ví dụ và bài tập có nội dung thực tiễn
Nội dung Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn thể hiện rõ nét ứng dụng toán
học vào đời sống thực tiễn và lao động sản xuất. Do đó cần khai thác các tình
huống trong thực tiễn để đưa vào các ví dụ nhằm minh họa kiến thức, rèn luyện kĩ
năng tốn học hóa và làm cho bài giảng sinh động hơn.
Ví dụ 4: Tìm hiểu về chi phí ni heo cơng nghiệp trên (Số liệu tham khảo
trên website và thực tiễn tại các trang trại ở địa phương)

14


- Con giống: Giá heo giống khoảng 60.000 - 65.000 /1kg, con giống khoảng
12kg sẽ có giá khoảng 750.000.
- Thức ăn của heo chia làm 3 giai đoạn. Giai đoạn 1, heo ăn thức ăn loại 1, giá
18.000/kg, mỗi con ăn hết 20kg nên chi phí hết 360.000/con. Giai đoạn 2 là giai
đoạn tăng trưởng (khoảng 2 tháng), thức ăn giai đoạn này 12.000/kg, mỗi con ăn
hết 125kg nên chi phí hết 1.500.000/con. Giai đoạn 3 xuất bán (khoảng 10-15
ngày), thức ăn giai đoạn này là 10.000/kg, mỗi con ăn hết khoảng 25kg nên hết
250.000. Do vậy, để nuôi 1 con heo từ 10kg đến khi xuất chuồng khoảng 100kg,
chi phí thức ăn hết khoảng 2,1 triệu trên tổng khối lượng thức ăn của mỗi con heo
khoảng 160-175kg/con, cộng với đầu tư con giống và các chi phí khác như chuồng
trại, điện nước, vệ sinh, thú y, mỗi con heo nuôi công nghiệp sẽ phải đầu tư khoảng
3 triệu, so với giá heo hiện tại khoảng 60.000/kg, người chăn nuôi đang bị lỗ, chưa
kể tiền lãi vay ngân hàng (chăn ni cơng nghiệp), trong đó riêng chí phí thức ăn
hết hơn 2/3.
Như vậy, muốn nuôi heo công nghiệp mà vẫn có lãi thì cần lưu ý:
- Tiết kiệm chi phí heo giống bằng cách phát triển đàn heo nái. Kinh nghiệm
từ các chủ trang trại lợn cho thấy nếu tự sản xuất được con giống thì sẽ tiết kiệm
khoảng 50% chi phí con giống.
- Giảm chi phí thức ăn, có thể cho heo ăn thức ăn hỗn hợp (giá bình quân
12.000/kg) với thức ăn truyền thống như cám gạo, cám ngơ (giá khoảng 6.000/kg)
theo tỉ lệ nhất đinh. Khi đó thời gian nuôi mỗi lứa sẽ dài hơn, khoảng hơn 4 tháng
nhưng chi phí thức ăn sẽ giảm đáng kể.
Xét bài tốn như sau: Một trang trại ni heo cơng nghiệp muốn cắt giảm chi
phí thức ăn cho heo bằng cách trộn lẫn thức ăn hỗn hợp với cám gạo theo một tỉ lệ
nhất định. Biết rằng giá cám gạo là 6000đ/ kg, thức ăn hỗn hợp là 12.000 đ/kg, tỉ lệ
cám gạo không lớn hơn 2 lần và không bé hơn 1,2 lần thức ăn hỗn hợp và tổng

khối lượng 2 loại cám mỗi con heo dùng không lớn hơn 210kg và khơng nhỏ hơn
180kg. Xác định chi phí thấp nhất và cao nhất dành cho thức ăn của mỗi con heo
cho đến khi xuất bán?
Giải:
- Gọi x và y lần lượt là số kg cám gạo và thức ăn hỗn hợp cần
dùng  x  0; y  0 
- Giáo viên phân tích, hướng dẫn học sinh chuyển sang ngơn ngữ tốn học, ta
có hệ bất phương trình:
 x  0; y  0

(4)
1, 2 y  x  2 y
180  x  y  210


15


- Chi phí dành cho thức ăn là T = 6x + 12y.
- Như vậy, bài tốn trở thành: tìm x, y thỏa mãn (4) để T bé nhất?
- Miền nghiệm của (4) là miền khơng bị gạch (hình tứ giác ABCD kể cả 4
cạnh AB, BC, CD, AD) trong hình vẽ (Hình 4).

- Trong đó: A(108;72), B(126;84), C(140;70) và D(120;60)
- Bảng giá trị chi phí thức ăn
Đỉnh

A(108;72)

B(126;84)

C(140;70)

D(120;60)

Chi phí T

1,512 triệu

1,764 triệu

1,680 triệu

1,440 triệu

Vậy chi phí thức ăn thấp nhất là 1.440.000 đ và cao nhất là 1.764.000 đ.
Từ bài toán trên ta thấy nếu kết hợp giữa thức ăn hỗn hợp với thức ăn truyền
thống, tuy thời gian tăng trưởng của heo chậm hơn nhưng chi phí thức ăn thấp hơn
đáng kể (tiết kiệm khoảng 1/3 so với cho ăn bằng thức ăn hỗn hợp). Ngồi ra có
thể kết hợp với ni lợn nái thì chi phí con giống ít nhất giảm được 1/3, do đó chi
phí chăn ni chỉ còn khoảng trên 2 triệu. Với phương án này, chi phí tối đa cho
thức ăn của heo cũng tiết kiệm hơn 400.000 so với ni hồn tồn bằng thức ăn
tổng hợp. Đây vấn đề mà mà các chủ trang trại ni heo theo cần lưu ý.
Ví dụ 5: Tại một xí nghiệp có 3 nhóm máy A, B, C dùng để sản xuất ra hai
loại sản phẩm I và II. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm mỗi loại phải lần lượt dùng
các máy thuộc các nhóm khác nhau. Biết rằng có tất cả 10 máy A, 4 máy B và 12
máy C. Để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm I cần 2 máy A, 2 máy C, còn để sản xuất 1
đơn vị sản phảm II cần 2 máy A, 2 máy B và 4 máy C. Mỗi sản phẩm loại I lãi 3
16

triệu đồng, sản phẩm loại II lãi 5 triệu đồng. Hãy tìm phương án để việc sản xuất 2
loại sản phẩm trên có lãi cao nhất?
A. 3 loại I, 2 loại II
C. 4 loại I, 1 loại II

B. 4 loại I, 2 loại II
D. 2 loại I, 2 loại II

Giải:
- Gọi x và y là số sản phẩm loại I và loại II được sản xuất  x  0; y  0  .
- Giáo viên phân tích, hướng dẫn học sinh chuyển sang ngơn ngữ tốn học, ta
có hệ bất phương trình:

 x  0; y  0
 x  0; y  0
2 x  2 y  10
x  y  5



(5)

2
y

4
y

2



2 x  4 y  12
 x  2 y  6
- Số tiền lãi thu được là: T = 3x + 5y ( triệu đồng)
- Bài tốn quy về tìm x, y thỏa mãn điều kiện (5) để T = 3x + 5y đạt GTLN.
- Miền nghiệm của (5) là miền không bị gạch (hình ngũ giác OABCD kể cả 5
cạnh OA, AB, BC, CD, OD) trong hình vẽ (Hình 5).

- Tọa độ các đỉnh của ngũ giác là: O(0;0), A(0;2), B(2;2), C(4;1), D(5;0)
- Bảng giá trị tiền lãi T tại các đỉnh:
Đỉnh
Tiền lãi T

O(0;0)

A(0;2)

B(2;2)

C(4;1)

D(5;0)

0

10

16

17

15
17


- Đáp án đúng là C: 4 sản phẩm loại I, 1 sản phẩm loại II
Ví dụ 6: Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein (chất đạm) và 400 đơn vị
lipit (chất béo) trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kg thịt bò chứa 800 đơn vị protein và
200 đơn vị lipit. Mỗi kg thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết
gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1kg thịt lợn. Giá tiền 1kg thịt
bị là 220 nghìn đồng, cịn 1 kg thịt lợn có giá 70 nghìn đồng. Số tiền tối thiểu mà
mẹ cần mang đi chợ là:
A. 181 nghìn

B. 164 nghìn

C. 143 nghìn

D. 127 nghìn

Giải:
- Gọi x, y lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn của gia đình ấy  x  0; y  0  .
- Giáo viên phân tích, hướng dẫn học sinh chuyển sang ngơn ngữ tốn học, ta
có hệ bất phương trình:

0  x  1, 6
0  x  1, 6
0  y  1,1
0  y  1,1




(6)

800
x

600
y

900
8
x

6
y

9


200 x  400 y  400  x  2 y  2
- Số tiền đã mua là: T = 220x + 70y (nghìn đồng)
- Miền nghiệm của (6) là miền khơng bị gạch (hình tứ giác ABCD kể cả 4
cạnh AB, BC, CD, AD) trong hình vẽ (Hình 6).

- Trong đó O(0;0), A(0.6;0.7), B(0.3;1.1), C(1.6;1.1), D(1.6;0.2).
- Bảng tiền mua hàng là
18

Đỉnh

A(0.6;0.7)

B(0.3;1.1)

C(1.6;1.1)

D(1.6;0.2)

Tiền mua T

181

143

429

366

- Vậy số tiền tối thiểu phải mang đi chợ là 143 nghìn đồng. Chọn đáp án B,
nghĩa là người này cần mua 3 lạng thịt bò và 1,1 kg thịt lợn.
2.2.4. Kiểm tra đánh giá học sinh thơng qua việc ứng dụng kiến thức vào các
bài tốn thực tiễn
Bài kiểm tra được lồng ghép các tình huống thực tiễn sẽ tạo sự hứng thú, thúc
đẩy học sinh tìm hiểu, nghiên cứu, huy động các kiến thức tốn học đã biết để giải
quyết bài toán. Nếu hoạt động ứng dụng toán học diễn ra thường xuyên sẽ giúp học
sinh nắm vững, củng cố, khắc sâu kiến thức hơn và góp phần rèn luyện cho các em
kĩ năng tốn học hóa các tình huống trong thực tiễn. Qua đó giáo viên cũng đánh

giá được sự hình thành và phát triển năng lực của học sinh, đồng thời phản ánh
được chất lượng giáo dục nói chung.
Ví dụ 7: Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội được dùng tối đa 24g hương
liệu, 9 lít nước và 210g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít
nước cam cần 30g đường, 1 lít nước và 1g hương liệu. Để pha chế 1 lít nước táo
cần 10g đường, 1 lít nước và 4g hương liệu. Mỗi lít nước cam pha chế được sẽ có
60 điểm thưởng, cịn mỗi lít nước táo sẽ nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha
chế mỗi loại bao nhiêu để được số điểm thưởng cao nhất.
A. 3 lít nước cam, 6 lít nước táo;
B. 2 lít nước cam, 7 lít nước táo;

C. 6 lít nước cam, 3 lít nước táo
D. 4 lít nước cam, 5 lít nước táo

Nhận xét: Đây là dạng tốn tìm phương án tối ưu rất phổ biến trong cuộc
sống. Sử dụng các đề kiểm tra như trên sẽ tạo ra hứng thú và sự tập trung rất lớn
cho học sinh, giúp giáo viên đánh giá được học sinh cả kiến thức lẫn kĩ năng.
Thông thường nếu không biết cách tính tốn để lựa chọn phương án hợp lý, học
sinh thường thử nhiều lần rồi so sánh các kết quả đó với nhau xem phương án nào
tốt hơn. Chẳng hạn ở bài tốn trên ta có thể tính số điểm thưởng cho từng phương
án rồi chọn phương án có điểm thưởng nhiều nhất làm kết quả:
- Phương án A có số điểm thưởng là 660
- Phương án B có số điểm thưởng là 680
- Phương án C có số điểm thưởng là 600
- Phương án D có số điểm thưởng là 640
Cả 4 phương án trên đều đạt được tiêu chí là pha chế đủ 9 lít nước, có vẻ như
đều hợp lý và chọn đáp án B. Tuy nhiên phương án này liệu đã chính xác chưa?!
Cần chú ý các điều kiện ràng buộc như số gam đường, hương liệu…Nếu chọn B
thì lượng đường đảm bảo nhưng hương liệu phải dùng là 30g, nghĩa là bị thiếu
hương liệu, khơng phù hợp với u cầu. Phương án A thì sao? Nếu phương án A

19


thì lượng đường cũng đảm bảo nhưng hương liệu dùng hết 27g, vần bị thiếu. Vậy
đâu là phương án tối ưu?!
Giải
- Gọi x và y là số lít nước cam và nước táo cần pha chế (ĐK x  0; y  0 )
- Giáo viên phân tích, hướng dẫn học sinh chuyển sang ngơn ngữ tốn học:
+ Số điểm thưởng thu được là T = 60x + 80y
+ Số lít nước đã dùng là: x  y  9
+ Số gam đường đã dùng là: 30 x  10 y  210 hay 3x  y  21
+ Số gam hương liệu: x  4 y  24
- Theo bài ra ta cần tìm GTLN của T = 60x + 80y với x, y là các số thực thỏa
mãn:

 x  0; y  0
x  y  9

(7)

3
x

y

21

 x  4 y  24
- Miền nghiệm của (7) là miền khơng bị gạch (hình ngũ giác OABCD kể cả 5
cạnh OA, AB, BC, CD, OD) trong hình vẽ (Hình 7).

- Tọa độ các đỉnh là: O(0;0), A(0;6), B(4;5), C(6;3), D(7;0).
- Bảng giá trị điểm thưởng tại các đỉnh:
Đỉnh

O(0;0)

A(0;6)

B(4;5)

C(6;3)

D(7;0)

Đ. thưởng T

0

480

640

600

280
20


Vậy phương án có điểm thưởng cao nhất là 4 lít nước cam, 5 lít nước táo. Vậy

đáp án là D.
2.3. Xây dựng hệ thống các bài toán xuất phát từ thực tiễn khi dạy học Bất
phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bài 1: Để tổ chức tết sum vầy cho các học sinh có hồn cảnh khó khăn và tạo
khơng khí đầm ấm, đồn kết. Đồn trường THPT Nguyễn Cảnh Chân tổ chức thi
gói bánh vào dịp cuối năm, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 20 kg gạo nếp, 2 kg
thịt ba chỉ, 5 kg đậu xanh để gói bánh chưng và bánh ống. Để gói một cái bánh
chưng cần 0,4 kg gạo nếp, 0,05 kg thịt và 0,1 kg đậu xanh; để gói một cái bánh ống
cần 0,6 kg gạo nếp, 0,075 kg thịt và 0,15 kg đậu xanh. Mỗi cái bánh chưng nhận
được 5 điểm thưởng, mỗi cái bánh ống nhận được 7 điểm thưởng. Hỏi cần phải gói
mấy cái bánh mỗi loại để được nhiều điểm thưởng nhất?
Bài 2: Một xưởng có máy cắt và máy tiện dùng để sản xuất trục sắt và đinh
ốc. Sản xuất 1 tấn trục sắt thì lần lượt máy cắt chạy trong 3 giờ và máy tiện chạy
trong 1 giờ, tiền lãi là 2 triệu. Sản xuất 1 tấn đinh ốc thì lần lượt máy cắt và máy
tiện chạy trong 1 giờ, tiền lãi là 1 triệu. Một máy không thể sản xuất cả 2 loại. Máy
cắt làm không quá 6giờ/ngày, máy tiện làm không quá 4giờ/ngày. Một ngày xưởng
nên sản xuất bao nhiêu tấn mỗi loại để tiền lãi cao nhất?
Bài 3: Một gia đình sản xuất 2 loại thắt lưng A và B bằng da. Một thắt lưng
loại A có lãi 20 nghìn, cịn thắt lưng loại B có lãi 15 nghìn. Thời gian để hồn
thành 1 thắt lưng A gấp đơi thời gian để hồn thành thắt lưng B. Nguyên liệu da
chỉ đủ sản xuất 80 thắt lưng mỗi ngày và trong mỗi ngày chỉ có tối đa 40 bút thắt
lưng gắn và loại A và 70 bút thắt lưng gắn vào sản phẩm B. Tìm số thắt lưng mỗi
loại cần sản xuất trong 1 ngày để số tiền lãi thu được nhiều nhất.
Bài 4: Một nhà khoa học nghiên cứu về tác động phối hợp của vitamin A và
B đối với cơ thể con người, kết quả như sau:
Một người có thể tiếp nhật được mỗi ngày không quá 600 đơn vị vitamin A
và không quá 500 đơn vị vitamin B
Một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1000 đơn vị cả vitamin A và B
Do tác động phối hợp của 2 vitamin nên số vitamin B khơng ít hơn 1/2 số
vitamin A nhưng khơng nhiều hơn 3 lần vitamin A

Giả sử giá 1 đơn vị vitamin A là 90 đ, 1 đơn vị vitamin B là 75 đ. Xác định
phương án dùng vitamin để số tiền chi trả là ít nhất
Bài 5: Cơng ty sơn KOVA tổ chức một cuộc thi pha chế sơn, mỗi đội chơi
được sử dụng tối đa 30 gam bột màu, 14 lít nước và 50 gam chất kết dính. Để pha
chế được 1 lit sơn đỏ cần dùng 30 gam bột màu, 1 lit nước và 2 gam chất kết dính,
pha 1 lí sơm màu xanh cần 10 gam bột màu, 1 lít nước và 5 gam chất kết dính. 1 lit
sơn đỏ được 100 điểm thưởng, 1 lit sơn xanh được 80 điểm thưởng. Hỏi phải pha
chế bao nhiêu sơn mỗi loại để số điểm thưởng nhiều nhất?
21


Bài 6: Một người thợ mộc làm những cái bàn và những cái ghế. Mỗi cái bàn
khi bán lãi 150 nghìn đồng, mỗi cái ghế khi bán lãi 50 nghìn đồng. Người thợ mộc
có thế làm 40 giờ/tuần và tốn 6 giờ để làm một cái bàn, 3 giờ để làm một cái ghế.
Khách hàng yêu cầu người thợ mộc làm số ghế ít nhất là gấp ba lần số bàn. Một cái
bàn chiếm chỗ bằng 4 cái ghế và ta có phịng để được nhiều nhất 4 cái bàn/tuần.
Hỏi người thợ mộc phải sản xuất như thế nào để số tiền lãi thu về là lớn nhất?
A. Sản xuất 16 cái bàn và 48 cái ghế trong 7 tuần.
B. Sản xuất 4 cái bàn và 32 cái ghế trong 3 tuần.
C. Sản xuất 1 cái bàn và 10 cái ghế trong 1 tuần.
D. Sản xuất 40 cái ghế trong 3 tuần.
Bài 7: Một công ty cần thuê xe để chở 140 người và 9 tấn hàng. Nơi thuê xe
có hai loại xe A và B, trong đó loại xe A có 10 chiếc và loại xe B có 9 chiếc. Một
chiếc xe loại A cho thuê với giá 4 triệu đồng, một chiếc xe loại B cho thuê với giá 3
triệu. Biết rằng mỗi xe loại A có thể chở tối đa 20 người và 0,6 tấn hàng; mỗi xe
loại B có thể chở tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi
loại để chi phí bỏ ra là ít nhất?
A. 5 xe loại A và 4 xe loại B.
B. 10 xe loại A và 2 xe loại B.
C. 10 xe loại A và 9 xe loại B.

D. 4 xe loại A và 5 xe loại B.
Bài 8: Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm. Mỗi kg sản phẩm loại I cần 2 kg
nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40 nghìn; Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4 kg
nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lời 30 nghìn. Xưởng có 200 kg ngun liệu và
1200 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lời cao nhất?
A. 30 kg loại I và 40 kg loại II.
B. 20 kg loại I và 40 kg loại II.
C. 30 kg loại I và 20 kg loại II.
D. 25kg loại I và 45 kg loại II.
Bài 9: Cơng ty sản xuất bao bì dược cần sản xuất 3 loại hộp giấy là loại B1, B2
và B3. Để sản xuất các loại hộp này, công ty dùng các tấm bìa có kích thước giống
nhau. Mỗi tấm bìa có hai cách cắt khác nhau.
Cách thứ nhất cắt được 3 hộp B1, một hộp B2 và 6 hộp B3.
Cách thứ hai cắt được 2 hộp B1, 3 hộp B2 và 1 hộp B3.
22


Theo kế hoạch, số hộp B3 phải có là 900 hộp, số hộp B1 tối thiểu là 900 hộp,
số hộp B2 tối thiểu là 1000 hộp. Cần phương án sao cho tổng số tấm bìa phải dùng
là ít nhất?
A. Cắt theo cách một 100 tấm, cắt theo cách hai 300 tấm.
B. Cắt theo cách một 150 tấm, cắt theo cách hai 100 tấm.
C. Cắt theo cách một 50 tấm, cắt theo cách hai 300 tấm.
D. Cắt theo cách một 100 tấm, cắt theo cách hai 200 tấm.
Bài 10: Một nhà máy sản xuất, sử dụng ba loại máy đặc chủng để sản xuất
sản phẩm A và sản phẩm B trong một chu trình sản xuất. Để sản xuất một tấn sản
phẩm A lãi 4 triệu đồng người ta sử dụng máy I trong 1 giờ, máy II trong 2 giờ và
máy III trong 3 giờ. Để sản xuất ra một tấn sản phẩm B lãi được 3 triệu đồng người
ta sử dụng máy I trong 6 giờ, máy II trong 3 giờ và máy III trong 2 giờ. Biết rằng
máy I chỉ hoạt động không quá 36 giờ, máy hai hoạt động không quá 23 giờ và

máy III hoạt động không quá 27 giờ. Hãy lập kế hoạch sản xuất cho nhà máy để
tiền lãi được nhiều nhất.
A. Sản xuất 9 tấn sản phẩm A và không sản xuất sản phẩm B.
B. Sản xuất 7 tấn sản phẩm A và 3 tấn sản phẩm B.
C. Sản xuất

10
3

tấn sản phẩm A và

49
9

tấn sản phẩm B.

D. Sản xuất 6 tấn sản phẩm B và không sản xuất sản phẩm A.
III. Kết quả đạt đƣợc, bài học kinh nghiệm
1. Kết quả đạt được
a. Về kết quả định tính.
- Những hoạt động ứng dụng Tốn học thực sự đã thổi một làn gió mới vào
việc đổi mới phương pháp dạy học và giáo dục, góp phần tiếp cận chương trình
giáo dục phổ thơng mới sẽ triển khai từ năm học 2022-2023. Học sinh được thấy rõ
mục đích của việc học Tốn nên đã rất tích cực, hào hứng tham gia và thu được
nhiều bài học bổ ích từ kiến thức đến kĩ năng và thái độ. Từ đó các em u thích,
chủ động, sáng tạo hơn trong học tập. Góp phần nâng cao năng lực tự học và chất
lượng học tập bộ mơn Tốn. Sau khi phát phiếu thăm dò phản hồi của học sinh thu
được kết quả như sau:
Rất hứng
thú

Hứng
thú

Bình
thường

Khơng
hứng thú

Căng
thẳng

Số học sinh trả lời

53

19

4

0

0

Tỉ lệ(%)

69,7

25

5,3

0

0

Mức độ

23


- Sáng kiến kinh nghiệm sẽ góp phần làm cho học sinh:
+ Có khả năng điều chỉnh tư duy theo hướng tích cực.
+ Thể hiện được sự chủ động trong mơi trường học tập khác.
+ Có trách nhiệm hơn trong các nhiệm vụ được giao với tập thể.
+ Nâng cao khả năng làm việc nhóm.
+ Nắm vững hơn các kiến thức đã học và nâng cao ý thức ứng dụng Toán học
trong cuộc sống lao động, sản xuất.
b. Về kết quả định lượng: Để thấy rõ sự thay đổi về kiến thức phần Các hệ
thức lượng trong tam giác, tôi đã cho học sinh hai lớp 10A2 và 10A4 làm bài kiểm
tra 45’ trước và sau khi thực hiện đề tài (Đề được xây dựng dựa trên một ma trận).
Sau khi chấm bài thu được kết quả như sau:
Bảng 1: Bảng phân bố tần số và tần suất
Lớp

10A2

10A4

Trƣớc

Trƣớc

Sau

Sau

Tần
số

Tần
suất(%)

Tần
số

Tần
suất(%)

Tần
số

Tần
suất(%)

Tần
số

Tần

suất(%)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

3

2

5,3

0

0

2

5,3

0

0

4

5

13,2

4

10,5

3

7,9

3

7,9

5

8

21

5

13,2

12

31,6

6

15,7

6

15

39,5

10

26,3

13

34,2

9

23,7

7

6

15,7

12

31,6

5

13,2

11

28,9

8

2

5,3

6

15,8

2

5,3

7

18,5

9

0

0

1

2,6

1

2,6

2

5,3

10

0

0

0

0

0

0

0

0

Tổng

38

100

38

100

38

100

38

100

Điểm

24


Bảng 2: Các tham số đặc trƣng
x (đ)

Me

Mo

S 2x

Sx

Trước

5,6

6

6

1,6

1,3

Sau

6,4

6,5

7

1,4

1,2

Trước

5,7

6

6

1,6

1,3

Sau

6,5

6,5

7

1,5

1,2

Tham số
10A2

10A4

Như vậy, một phần nào đó có thể kết luận việc tổ chức dạy học theo hướng
rèn luyện kĩ năng toán học hóa các tình huống trong thực tiễn đã góp phần làm cho
học sinh nắm vững hơn về bất phương trình bậc nhất hai ẩn và các ứng dụng của
nó trong cuộc sống lao động sản xuất.
4.2. Bài học kinh nghiệm
a. Đối với giáo viên:

- Kĩ năng tốn học hóa tình huống thực tiễn sẽ tạo điều kiện cho học sinh
vận dụng các kiến thức đã học ở trường phổ thông vào cuộc sống, giúp học sinh
nắm được bản chất kiến thức, tránh việc hiểu vấn đề một cách hình thức.
- Trong q trình dạy học Tốn, tùy vào đối tượng học sinh, giáo viên cần
chú trọng lựa chọn, xây dựng các tình huống, các bài tốn cho phù hợp và làm
tốt cơng tác hướng dẫn, định hướng, có như vậy hoạt động mới diễn ra đúng

như dự kiến. Điều này sẽ giúp các em hiểu và nhận thức được vai trị của Tốn
học, tăng cường kết nối Tốn học với thực tiễn.
- Cần nghiên cứu kĩ Chương trình giáo dục phổ thơng mơn tốn; Chương
trình giáo dục phổ thơng hoạt động trải nghiệm và Hoạt động trải nghiệm hướng
nghiệp, ban hành kèm theo Thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26 tháng 12
năm 2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo.
- Tích cực nghiên cứu và áp dụng phương pháp dạy học trải nghiệm theo
hướng: Sử dụng các phần mềm, các video, các hoạt động thực tế để hình thành
kiến thức và giải quyết các bài toán gắn với thực tiễn.
b. Đối với học sinh:
- Ngoài việc nắm vững lí thuyết và rèn luyện kĩ năng giải bài tập, ln đặt ra
câu hỏi: nội dung đang học có ứng dụng gì trong thực tiễn hay khơng? ứng dụng như
thế nào? Điều này sẽ kích thích sự khám phá, thúc đẩy q trình học tập.
- Trong cuộc sống và cơng việc thường xun tạo thói quen ứng dụng tốn
học vào cuộc sống lao động khi có cơ hội.
25