De thi HSG Toan 92012Quang Nam

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO</b>
<b>QUẢNG NAM</b>

<b>KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS</b>
<b>Năm học 2011-2012</b>

Môn thi :<b> TỐN</b>

Thời gian :<b> 150 phút (</b><i>khơng kể thời gian giao đề</i>)

<i>Ngày thi </i> : <b>03/4/2012</b>

<b>Câu 1 </b>

<i>( 2,0 điểm )</i>

Thực hiện phép tính :

4

√

3+2

_√

2.

√

_√

2<i>−</i>1+

√

3(<i>x</i>+12)

_√

<i>x −</i>6<i>x −</i>8

<i>x −</i>

√

<i>x</i>

√

<i>x −</i>1<i>−</i>

√

√

2+1.
4

√

3<i>−</i>2

√

2

<b>Câu 2 </b>

<i>( 4,0 điểm ) </i>

a) Chứng minh rằng: 21

39

_{+ 39}

21 _⋮

₄₅

b) Tìm a, b thuộc N

*

_{sao cho :}

1<i>_a</i>+ 1
2<i>b</i>=

2
7

<b>Câu 3 </b>

<i>( 6,0 điểm ) </i>

a) Giải phương trình:

√

<i>x −</i>2+

√

<i>y −</i>1+

√

<i>z</i>=1

2(<i>x</i>+<i>y</i>+<i>z</i>)

b) Tìm k để phương trình: x

2

_{– ( 2 + k )x + 3k = 0 có hai nghiệm phân}

biệt x

1

, x

2

, sao cho x

1

, x

2

là độ dài hai cạnh góc vng của một tam giác

vng có cạnh huyền bằng 10.

c) Cho biểu thức: A =

<i>x</i>

√

3+<i>y</i>+<i>y</i>

√

3+<i>x</i>

, với

<i>x ≥</i>0<i>, y ≥</i>0

; x+y =

2012.

Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

<b>Câu 4</b>

( 5,0 điểm )

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp (O;R). Các đường cao AD,

BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại I.

a) Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

b) Giả sử BAC = 60

0

_{. Tính diện tích tứ giác AEOF theo R.}

<b>Câu 5 </b>

<i>( 3,0 điểm )</i>

Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều ABC. Một tiếp tuyến của đường

tròn (O) cắt các cạnh AB và AC của tam giác ABC theo thứ tự ở P và Q.

Chứng minh rằng:

a) PQ

2

_{+ AP.AQ = AP}

2

_{+ AQ}

2

b)

¿
¿

AP
BP

+AQ
CQ ¿1

¿

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i><b>======================= Hết =======================</b></i>

<b>SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO</b>

<b>QUẢNG NAM</b> <b>KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCSMƠN : TỐN 9</b>
Năm học : 2011 – 2012

<b>HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC</b>
<b>MƠN : TOÁN 9</b>

<b>I. Hướng dẫn chung:</b>

1) Nếu thí sinh làm bài khơng theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì

cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định.

2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn

chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất

trong Hội đồng chấm thi.

3) Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25.

<b>II. Đáp án:</b>

<b>Câu</b>

<b>Nội dung</b>

<b>Điểm</b>

<b>1</b>

<b>(2đ)</b>

ĐK: x 0; x 1
Biến đổi:

4

√

3+2

_√

2 .

√

_√

2<i>−</i>1

=

√

4 (3+2

√

2) (

√

2<i>−</i>1)2=1
3

√

(<i>x</i>+12)

√

<i>x −</i>6<i>x −</i>8

=

3

√

(

√

<i>x −</i>2)3=

_√

<i>x −</i>2
<i>x −</i>

√

<i>x</i>

√

<i>x −</i>1<i>−</i>

√

√

2+1.
4

√

3<i>−</i>2

√

2

_{= ...=}

❑

√

<i>x −</i>1
4

√

3+2

√

2.

√

√

2<i>−</i>1+

√

3(<i>x</i>+12)

_√

<i>x −</i>6<i>x −</i>8

<i>x −</i>

√

<i>x</i>

√

<i>x −</i>1<i>−</i>

√

√

2+1.
4

√

3<i>−</i>2

√

2 =

1+

_√

<i>x −</i>2

√

<i>x −</i>1 =1

0,25
0,5
0,5
0,5
0,25

<b>2</b>

<b>(4đ)</b>

a)

2139_{+ 39}21_{= 9.3}37₇39_{+ 9.3}19_.1321

Vậy :

2139_{+ 39}21 _⋮ ₉

2139_{+ 39}21_{= (21}39_{– 1)+[ 39}21_{– (- 1)]}

Ta có (2139_{– 1)} ⋮ _{( 21-1)} ⋮ ₅

[ 3921_{– (- 1)]} _⋮ _{[ 39 –(-1)]} _⋮ ₅

2139_{+ 39}21_{= (21}39_{– 1)+[ 39}21_{– (- 1)]} _⋮ ₅

Lại có (5,9)=1 và 9.5 = 45

Vậy:

2139_{+ 39}21 _⋮ ₄₅

0,5
0,25

0,5
0,25
0,25
0,25
b) Tìm a, b thuộc N*_{; biết :}

1<i>_a</i>+ 1
2<i>b</i>=

2
7
Đặt m = 2b. ĐK: <i>a , b , m∈N</i>❑

, <i>a , m</i>>7
2<i>;b</i>>

7

4 (1);
ta được: 1<i>_a</i>+1

<i>m</i>=

2
7 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

*Giả sử : <i>a ≤ m⇒</i>1
<i>a≥</i>

1

<i>m</i> <i>⇒</i>

2

<i>a≥</i>

2

7 <i>⇒a ≤</i>7 (2).
Kết hợp ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : <i>a∈</i>{4<i>;</i>5<i>;</i>6<i>;</i>7}

a = 4; tính được m = 28 suy ra b = 14 ( chọn )
a = 5; khơng tìm được b thỏa mãn đề

a = 6; khơng tìm được b thỏa mãn đề
a = 7; khơng tìm được b thỏa mãn đề.

*Vai trò a và m bình đẳng như nhau khi m a ; được m = 4 ;
a = 28 suy ra : b = 2.

Kết luận: a = 4 ; b = 14 hoặc a = 28 ; b = 2.

0,5
0,25

0,5

0,25

<b> 3</b>

<b>(6đ</b>

)

a)

√

<i>x −</i>2+

_√

<i>y −</i>1+

_√

<i>z</i>=1

2(<i>x</i>+<i>y</i>+<i>z</i>)
ĐK: <i>x ≥</i>2<i>; y ≥</i>1<i>; z ≥</i>0

Biến đổi PT:

(x-2 -2

√

<i>x −</i>2 +1)+(y-1-2

√

<i>y −</i>1 +1) +(z -2

√

<i>z</i> +1) = 0

(

√

<i>x −</i>2 - 1)2₊₍

√

<i>y −</i>1 -1)2_{+ (}

√

<i>z</i> -1)2_{= 0}

Tính được:(x=3;y=2;z=1)

0,25
1,0
0,5
0,25

b)

Biến đổi:
<i>Δ</i>>0

¿

<i>S</i>>0
<i>P</i>>0
<i>x</i>₁2+<i>x</i>₂2=10

2

<i>⇔</i>

¿(2+<i>k</i>)2<i>−</i>12<i>k</i>>0
2+<i>k</i>>0

3<i>k</i>>0
(2+<i>k</i>)2<i>−</i>2 .3<i>k</i>=100

<i>⇔</i>. . .. ..<i>⇔</i>

¿
¿{ { {

¿
¿ ¿

¿

<i>⇔</i>

¿

<i>k</i>>2

√

3+4¿hoăc¿<i>k</i><<i>−</i>2❑

√

3+4
<i>k</i>.><i>−</i>2

<i>k</i>>0

<i>k</i>=

√

97+1¿hoăc¿<i>k</i>=<i>−</i>

√

97+1

¿{ { {

¿

Vây k =

√

97+1

(Thí sinh khơng nêu ĐK

¿

<i>Δ</i>>0
<i>S</i>>0
<i>P</i>>0

¿{ {

¿

thì khơng chấm câu 3b)

1,0

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

c)Cho A = <i>x</i>

√

3+<i>y</i>+<i>y</i>

√

3+<i>x</i> Với <i>x ≥</i>0<i>, y ≥</i>0 ; x+y = 2012
Tìm giá trị nhỏ nhất của A

A = <i>x</i>

√

3+<i>y</i>+<i>y</i>

√

3+<i>x</i> <i>− x</i>

√

3<i>− y</i>

√

3+2012

√

3
A = <i>x</i>

√

3+<i>y − x</i>

√

3+<i>y</i>

√

3+<i>x − y</i>

√

3+2012

√

3
<i>A</i>=<i>x</i>(

_√

3+<i>y −</i>

_√

3)+<i>y</i>(

_√

3+<i>x −</i>

_√

3)+2012

_√

3

* Do <i>x ≥</i>0<i>; y ≥</i>0 ; <i>A ≥</i>2012

√

3

Và do x + y = 2012 suy ra A có giá trị nhỏ nhất là 2012

√

3
khi x = 0; y = 2012 hoặc x = 2012; y = 0.

0,5
0,5

0,5
0,5

<b>4</b>

<b>(5đ</b>

)

Hình vẽ

a) Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF:
Chứng minh các tứ giác BDIF, BDEA nội tiếp, suy ra

<i>F</i>^<i>_{B I}</i>₌<i>_F</i>^<i>_{D I}</i>₌<i>_E</i>^<i>_{D I}</i> _{được DI là tia phân giác của góc EDF}
Tương tự được EI là tia phân giác của góc DEF

Kết luận I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác
DEF nên là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

1,0
0,75
0,25
0,5

b) Tính diện tích tứ giác AEOF theo R
Vẽ xy là tiếp tuyến tại A của ( O )

Chứng minh các tam giác ABE và ACF đồng dạng
Chứng minh các tam giác AEF và ABC đồng dạng

Chứng minh <i>A_{C B}</i>^ ₌<i>_A</i>^<i>_{F E}</i>₌<i>_x</i>^<i>_{A F}</i> _{, suy ra EF // xy}
Chứng minh OA EF

Tính BC = R

√

3 , chứng minh EF_BC=AE

AB=cos BAC=
1
2 ,

<i>⇒</i>EF=<i>R</i>

√

3
2

Tính đúng diện tích tứ giác AEOF : SAEOF = <i>R</i>

2

√

3
4

0,5
0,5
0,5

0,75
0,25

<b>A</b>

<b>O</b>
<b>I</b>

<b>y</b>

<b>x</b>

<b>F</b>

<b>E</b>

<b>D</b> <b>C</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>5</b>

<b>(3,0đ</b>

)

Hình vẽ

a) PQ2_{+ AP.AQ = AP}2_{+ AQ}2

Đặt: AP = x, AQ = y, PQ = z, AB = AC = BC = a
Kẻ QH AB Tính AH = ₂<i>y</i> , QH = <i>y</i>

√

3

2 , HP =

<i>x-y</i>

2
Theo định Lý Pytago:

PQ2_{= QH}2_{+ HP}2

_{= (x-}

<i>y</i>

2 )2 +(

<i>y</i>

√

3
2 )2
Biến đổi : PQ2_{= x}2_{+ y}2_{– xy}

PQ2_{+ APAQ = AP}2_{+ AQ}2

0,75

0,5
0,25

b)

Biến đổi :x + y + z = 2AF = a
Từ

¿
¿

AP
BP

+AQ
CQ ¿1

¿

hay

¿
¿

<i>x</i>
<i>a− x</i>

+<i>y</i>
<i>a − y</i>¿1

¿

<i>⇔</i>

¿
¿

<i>x</i>
<i>y</i>+<i>z</i>

+<i>y</i>
<i>x</i>+<i>z</i>¿1

¿

<i>⇔</i> ...

<i>⇔</i> z2_{= x}2_{+ y}2_{– xy ( C/m ở câu a)}

0,5

0,25

0,5
0,25

H

F

Q
P

O

C
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6></div>

<!--links-->