Giúp học sinh lớp 11 phát triển tư duy giải một số bài toán HHKG dựa vào sự tương tự giữa hình học phẳng và hình học không gian

1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài………………………………………………………….........2
1.2. Mục đích nghiên cứu……………………………………………………..........3
1.3. Đối tượng nghiên cứu…………………………………………………….........3
1.4. Phương pháp nghiên cứu………………………………………………............3
1.5. Những điểm mới của SKKN…………………………………..…………........3
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của đề tài…………………………………………………...........3
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN ……………………..............4
2.3. Giải pháp thực hiện ………………………………………………....................4
2.4.Hiệu quả của SKKN………………………………………………...................14
3. Kết luận,kiến nghị
3.1. Kết luận .…….…………………………………………………........... ..........15
3.2. Kiến nghị …….…………………………………………………........... .........16
Tài liệu tham khảo………………………………………………….....................18


1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài.
Nhiệm vụ trọng tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt
động học của trò,xuất phát từ mục tiêu đào tạo“Nâng cao dân trí,đào tạo nhân
lực,bồi dưỡng nhân tài”.Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông,đặc
biệt là mơn tốn,mơn học rất cần thiết và khơng thể thiếu được trong đời sống mỗi
người.
Mơn Tốn trong trường phổ thơng giữ một vai trị,vị trí hết sức quan trọng là
mơn học cơng cụ nếu học tốt mơnTốn thì những tri thức trongToán cùng với
phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học
khác.
Môn Tốn góp phần phát triển nhân cách, ngồi việc cung cấp cho học sinh hệ
thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết mơn Tốn cịn rèn luyện cho học sinh
đức tính,phẩm chất của người lao động mới như cẩn thận,chính xác, có tính kỉ luật,

tính phê phán, tính sáng tạo,bồi dưỡng óc thẩm mĩ. Một trong các phân mơn cung
cấp cho học sinh nhiều kỹ năng,đứctính,phẩm chất của con người lao động mới là
mơn hình học khơng gian.Để học mơn này học sinh cần có trí tưởng tượng, kỹ năng
trình bày,vẽ các hình trong khơng gian và giải nó.
Như mọi người đều bỉết,hình học khơng gian là mơn học có cấu trúc chặt chẽ,
nội dung phong phú hơn so với hình học phẳng.Trong quá trình dạy học ở trường
phổ thơng để giải quyết một vấn đề của hình học khơng gian nhiều giáo viên đã
chuyển vấn đề đó về hình học phẳng hoặc chia kiến thức của hình khơng gian thành
những phần đơn giản hơn mà có thể giải nó trong các bài tốn phẳng.Đó là một
việc làm đúng đắn, nhờ nó làm cho q trình nhận thức,rèn luyện năng lực lập luận,
sự sáng tạo,tính linh hoạt khả năng liên tưởng từ hình học phẳng sang hình học
khơng gian của học sinh.
Trong mối liên hệ giữa hình học phẳng và hình học khơng gian,với cơ sở là mặt
phẳng là một bộ phận của không gian ta chú trọng tách các bộ phận phẳng ra khỏi
khơng gian bằng các hình vẽ, các phần được tách ra thường là thiết diện,giao
tuyến...nhằm giúp học sinh liên tưởng đến các bài tốn hình học phẳng để từ đó giải
quyết được bài tốn ban đầu.
Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy học sinh rất e ngại học mơn hình học
khơng gian,đặc biệt là các em học sinh lớp 11 đã được làm quen với HHKG từ lớp
8,lớp 9.Các em nghĩ rằng nó rất trừu tượng,thiếu tính thực tế khách quan.Chính vì
thế có rất nhiều học sinh học yếu môn học này,về phần giáo viên cũng gặp khơng ít
khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức.Qua nhiều năm giảng dạy môn học này
tôi cũng đúc kết một số kinh nghiệm nhằm giúp các em học tập được tốt hơn, từ đó
mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên.
Để giải bài tập hình học khơng gian một cách thành thạo thì một trong yếu tố
quan trọng là biết kết hợp các kiến thức của hình học khơng gian và hình học
phẳng, phải tìm ra mối liên hệ của chúng sự tương tự giữa HHP và HHKG,giúp học
sinh ghi nhớ lâu các kiến thức hình học,vận dụng tốt các kiến thức đã học .
2

Vì vậy để giúp học sinh học tốt mơn hình học lớp 11 tôi đã chọn đề tài :
“ Giúp học sinh lớp 11 phát triển tư duy giải một số bài tốn HHKG dựa vào
sự tương tự giữa hình học phẳng và hình học khơng gian".
1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học
sinh, từ đó củng cố các kiến thức đã học ở THCS,nhằm giúp học sinh thấy được
mối liên quan của HHP và HHKG.Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh
trong các tiết học.
- Hệ thống hóa kiến thức, kĩ năng và nhận dạng một số bài toán về HHP và HHKG
ở mức độ vận dụng,để từ đó có hướng giải quyết bài toán.
- Nâng cao khả năng tự học,tự bồi dưỡng,khả năng tương tự hóa.
- Việc đưa ra hướng giải cho một số bài tốn đó giúp cho học sinh có cái nhìn sâu
hơn, phát triển tư duy tưởng tượng cho hoc sinh THPT.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Đề tài nghiên cứu,tổng kết về vấn rèn luyện tư duy cho học sinh lớp 11 thông qua
mối liên hệ giữa HHP và HHKG.
- Học sinh khối lớp 11 mà tôi được phân cơng trực tiếp giảng dạy.
-Một số bài tốn HHP có liên quan đến HHKG và một số bài tốn HHKG trong
giải tốn hình học lớp 11.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Sử dụng phương pháp sưu tầm, điều tra,nghiên cứu chương trình, phân tích các tài
liệu, các đề thi thử THPTQG và TNTHPT,xây dựng cơ sở lí thuyết.
- Nghiên cứu về cấu trúc và nội dung chương trình Tốn 11,12 phần HHKG.
- Gặp gỡ,trao đổi,đàm thoại,tiếp thu ý kiến của các đồng nghiệpvà học sinh thông
qua trao đổi trực tiếp làm cơ sở cho việc nghiên cứu đề tài.
- Thông qua thực tế dạy học trên lớp,quan sát,giao bài tập,củng cố bài học,hướng
dẫn học sinh chuẩn bị bài kết hợp với kiểm tra,đánh giá,tổng hợp, sosánh,đúc rút
kinh nghiệm.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.

- Đưa ra sự tương tự hóa giữa HHP và HHKG,phát triển trí tưởng tượng cho HS.
- Phát triển tư duy hình học mới mẻ.
- Rút ra kết luận và đề xuất một số biện pháp khi tiến hành giúp đỡ từng đối tượng
học sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy HHKG trong nhà trường THPT.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1.Cơ sở lí luận của đề tài.
Mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thơng là hình thành những cơ sở ban đầu và
trọng yếu của con người mới: phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu và điều kiện
hoàn cảnh đất nước và con ngườichúng ta.
Mơn Tốn ở trường THPT là một môn độc lập,chiếm phần lớn thời gian trong
chương trình học của học sinh.MơnTốn có tầm quan trọng to lớn,nó là bộ mơn
khoa học nghiên cứu có hệ thống,phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiên của
con người.Nó có khả năng giáo dục rất lớn trong việc rèn luyện tư duy,suy luận
3


logic, đem lại niềm vui, hứng thú, hình thành nhân cách tốt đẹp cho người lao động
trong thời đại mới.Bài tốn rèn tư duy giúp học sinh tư duy hình học tốt hơn,hình
thành phẩm chất của người lao động năng động,sáng tạo,làm chủ tương lai.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trong quá trình dạy học mơnTốn,nhất là mơn Hình học thì q trình học tập
của học sinh còn khá nhiều em học tập chưa tốt. Đặc điểm cơ bản của môn học là
môn yêu cầu các em có trí tưởng tượng phong phú.Cách trình bày chặt chẽ,suy luận
logic của một bài hình học làm cho học sinh khó đạt điểm cao trong bài tập hình
khơng gian.
Ở trường các em học sinh được học sách hình học cơ bản, các bài tập tương đối
đơn giản so với sách nâng cao nhưng khi làm các bài tập trong đề thi khảo sát chất
lượng thì bài tập có yêu cầu cao hơn nên cũng gây một phần lúng túng cho học
sinh.Nhiều em khơng biết cách trình bày bài giải,sử dụng các kiến thức hình học đã
học chưa thuần thục,lộn xộn trong bài giải của mình.Cá biệt có một vài em vẽ hình

q xấu,khơng đáp ứng đươc u cầu của một bài giải hình học.Vậy thì nguyên
nhân nào cản trở quá trình học tập của học sinh ?
Khi giải các bài tốn hình học khơng gian các giáo viên và học sinh thường gặp
một số khó khăn với nguyên nhân như là :
+) Học sinh cần phải có trí tưởng tượng khơng gian tốt khi gặp một bài tốn hình
khơng gian.
+) Do đặc thù mơn hình khơng gian có tính trừu tượng cao nên việc tiếp thu, sử
dụng các kiến thức hình khơng gian là vấn đề khó đối với học sinh.
+) Học sinh quen với hình học phẳng nên khi học các khái niệm của hình khơng
gian hay nhầm lẫn,khó nhìn thấy các kết quả của hình học phẳng được sử dụng
trong hình khơng gian,chưa biết vận dụng các tính chất của hình học phẳng cho
hình khơng gian.
+) Một số bài tốn khơng gian thì các mối liên hệ của giả thiết và kết luận chưa rõ
ràng làm cho học sinh lúng túng trong việc định hướng cách .
+) Bên cạnh đó cịn có ngun nhân như các em chưa xác định đúng đắn động cơ
học tập,chưa có phương pháp học tập cho từng bộ mơn,từng phân môn hay từng
chuyên đề mà giáo viên đã cung cấp cho học sinh.Cũng có thể do chính các thầy cơ
chưa chú trọng rèn luyện cho học sinh, hay phương pháp truyền đạt kiến thức chưa
tốt làm giảm nhận thức của học sinh...v.v.
Để hiểu rõ các nguyên nhân yếu kém tôi đã tiến hành trắc nghiệm khách quan
bằng 20 câu hỏi cho mỗi phiếu (gồm 02 phiếu)về khả năng học tập mơn tốn và
mơn hình học ở trường phổ thơng.
Từ một số nguyên nhân trên tôi mạnh dạn đưa ra một hướng giải quyết nhằm
nâng cao chất lương dạy,học của thầy và trị ở bộ mơn HHKG,tạo hứng thú cho học
sinh trong q trình học hình ở trường phổ thơng bằng cách “Giúp học sinh lớp 11
phát triển tư duy giải một số bài toán HHKG dựa vào sự tương tự giữa hình học
phẳng và hình học khơng gian" .
2.3. Giải pháp thực hiện.
4

-Để giải được bài hình học tốt theo tơi nghĩ có một số giải pháp tăng cường kỹ
năng kiến thức cho học sinh đó là:
-Hướng dẫn học sinh vẽ hình trong khơng gian,giải thích các vẽ nhằm giúp học
sinh vẽ hình đẹp,dễ dàng giải quyết các bài tập.
-Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh hiểu rõ các khái niệm trong hình khơng
gian như quan hệ song song của hai đưòng thẳng;hai mặt phẳng,đường thẳng và
mặt phẳng..vv...
-Sử dụng đồ dùng dạy học một cách hợp lý như các mơ hình trong không gian,các
phần mềm giảng dạy như Cabir, GSPS,Geogebra….
-Dạy học theo các chủ đề,mạch kiến thức mà đã được giáo viên phân chia từ khối
lượng kiến thức cơ bản của chương trình nhằm giúp học sinh hiểu sâu các kiến thức
mà mình đang có,vận dụng chúng một cách tốt nhất.
-Trong q trình dạy học tơi đề ra một hướng giải quyết là “Giúp học sinh lớp 11
phát triển tư duy giải một số bài toán HHKG dựa vào sư tương tự giữa hình học
phẳng và hình học khơng gian".
BÀI TẬP MINH HỌA .
Bài 1.
Trong mặt phẳng cho tam giác ABC vuông tại A,
AB = c, BC = a, AC = b, AD = ha, BD = c', CD = b'.
Nêu các hệ thức lượng trong tam giác vuông đã học ở lớp 9.
Hướng dẫn:
Cho tam giác ABC vuông tại A ta có:
A

b

c

ha

b'

c'

B

a) c2 = a.c’; b2 = b’.a

b) ha2 = c’.b’

c)

D

a

1
1 1
 2 2
2
ha b c

d) a2 = b2 + c2
e) b.c = a.ha
Lưu ý:
Bài toán này rất quen thuộc với học sinh từ lớp 9 cả về nội dung và cách giải,với
cách nhìn mở rộng trong khơng gian ta có thể đặt vấn đề về kiến thức và cách
chứng minh mở rộng của bài toán 1 thành bài toán 1' một cách dễ dàng, vấn đề này
SGK lớp 11 đã đề cập qua các bài tập, từ đó đưa ra vấn đề và chứng minh tương tự.

Các hệ thức này rất haydùng trong các bài toán HHP,HHKG, giúp việc chứng
minh, tính tốn nhanh chóng hơn.GV u cầu HS ghi nhớ các hệ thức này.Chứng
minh dựa vào các tam giác đồng dạng.Hãy mở rộng ý c) và d) của bài tốn trong
khơng gian.
Bài 1'.
Cho hình chóp tam diện vng SABC đỉnh S. Đặt SA =
a; SB = b; SC = c, hạ SH  (ABC); SH = h Chứng minh
rằng
a)

1
1
1 1


 2
2
2
2
h
a
b
c
5

C


b) S ABC  S SAB  S SBC  S SAC
Hướng dẫn:

a)Yêu cầu HS chứng minh ý này.
b)Tính theo a,b,c tỉ số
2

2

2

2

S SCB
SF
bc
 cos((SCB),(ABC))=cos(SFA)=

S ABC
AF
a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2
Tương tự ta được: (

S SCB 2
S
S
)  ( SAB ) 2  ( SCA )2  1
S ABC
S ABC
S ABC

Lưu ý:
Ta phát triển thành bài toán sau: Gọi x , y , z lần lượt là các góc giữa ba mặt

(SAB), (SBC), (SCA) với (ABC). Chứng minh rằng: cos 2 x  cos 2 y  cos 2 z  1 .
Bài 2.
Trong mặt phẳng, cho ∆ABC thì diện tích tam giác
S  p(p  a)(p  b)(p  c) (p 

a bc
) (Công thứcHê-rông).
2

Lưu ý:
HS thừa nhận công thức này. Phát triển bài tốn này trong khơng gian.
Bài 2'.
Trong khơng gian,cho tứ diện S.ABC có SA; SB; SC đơi một vng góc.Tính thể
tích tứ diện theo AB =a; AC = b; BC = a.
Hướng dẫn:
Ta có
SA2  SB 2  a 2 ; SC 2  SB 2  b2 ; SA2  SC 2  c 2
1
Vậy : VSABC  .SA.SB.SC
6
1 (a 2  b 2  c 2 )(a 2  c 2  b 2 )(b 2  c 2  a 2 )
� VSABC  .
6
8
1
hay VSABC  . ( p  x)( p  y)( p  z )
6
2
a  b2  c2
p


, x  a2 , y  b2 , z  c2
với
2

Công thức này gần giống Hê rông.
Bài 3.
Trong mặt phẳng,cho ∆ABC các đường trung
tuyến của tam giác đồng qui tại G và G chia
các đoạn trung tuyến theo tỉ số 1:2 .
Bài 3'.
6


Trong không gian, cho tứ diện ABCD, gọi Ga; Gb; GC; Gd lần lượt là trọng tâm các
mặt (BCD), (ACD), (ABD), (ABC). Chứng minh rằng các đường thẳng AGA; BGB;
AG

BG

CG

DG

3

CGC; DGD đồng qui tại G và AG  BG  CG  DG  4 .
A
B
C

D
Hướng dẫn:
Ta có các đoạn MN; PQ; RS đồng qui tại G.Ta chứng tỏ AGa qua G và chia theo ty
số như trên. Nối AG cắt BM tại X Kẻ NP //AG cắt BM tại P Ta chứng minh X là Ga
Trong ∆ NMP có XG // NP qua trung điểm của MN nên XP = XM; trong ∆ ABX có
NP // AX qua trung điểm của AB nên BP = PX hay BP = PX = XM.
1

1

AG

BG

CG

DG

3

VậyX là trọng tâm ∆BCD và NP  AX ; GX  NP nên AG  BG  CG  DG  4
2
2
A
B
C
D
(đpcm)
Lưu ý:
Các khái niệm và tính chất trọng tâm của tam giác,trọng tuyến của tứ diện,chuyển

dịch từ HHP sang HHKG, từ ngôn ngữ HHKG thông thường sang ngơn ngữ hình
học véc tơ, để HS tiếp cận dần với hình học tọa độ trong khơng gian.
Bài 4.
Trongmặt phẳng,cho∆ABC đường thẳng bất kỳ cắt hai cạnh AB;AC tại M; N thì
SAMN AM AN

.
SABC
AB AC
Lưu ý:
Đây là kết quả quan trọng, HS tự chứng minh.
Bài 4'.
Trong khơng gian,cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Mặt phẳng (P)
cắt các cạnh SA; SB; SC; SD lần lượt tại M;N;P;Q thì
SA SC SB SD



SM SP SN SQ
Hướng dẫn:
Ta có I là giao điểm của MP và QN thì I nằm trên SO.
S

SM SP

S

SM SI

S

SI SP

SMP

.
; SMI 
.
; SIP 
.
Trong tam giác SAC ta có: S
SA
SC
S
SA
SO
SSOC SO SC
SAC
SAO

Mà SSOA  SSOC (O là trung điểm AC)
Do đó
SSMP SM SI SI SP SI �SM SP �

.

.

� 
�

SSAO SA SO SO SC SO �SA SC �

Do đó :

7


SI �SM SP � SM SP
SI
.
� 2SM.SP 
(SM.SC  SA.SP)
� 
� 2
SO �SA SC � SA SC
SO
2SO SC SA
�


(1)
SI
SP SM
2SO

SB

SD

Tương tự trong ∆ SBD : SI  SN  SQ (2)

từ (1) và (2) ta có đpcm.
Lưu ý: Từ bài tốn này có rất nhiều bài tốn liên quan đến tỉ số thể tích được rút ra.
Có thể dùng phương pháp véc tơ để chứng minh hệ thức, coi đó là bài tập cho HS.
Bài 5.
Trong mặt phẳng, cho ®êng thẳng d và hai điểm A, B cố định
không thuộc d. Tìm điểm M trên d sao cho tổng MA + MB nhá
nhÊt.
Hướng dẫn:
- NếuA;B khác phía với d thì MA + MB nhá nhÊt khi M là giao điểm của AB và
d.
(vì MA  MB �AB ).
- Nếu A;B cùng phía với d thì gọi C là điểm đối xứng của B qua d...
Đây là bài toán cực trị hình học cơ bản hay dùng.
Bài 5'.
Trong khơng gian, cho mặt phẳng (  )và hai điểm A; B.Tìm M trên (  )
sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
- Nếu A;B khác phía đối với mặt phẳng(  )thì điểm M xác định
như thế nào?
- Nếu A;B cùng phía đối với mặt phẳng (  )thì điểm M xác định
như thế nào?
+)Xác định điểm đối xứng của B qua mặt (  )
+) Lập mặt phẳng (ABC) cắt (  ) giao tuyến Ex.
+)Nối AC cắt Ex tại M. Khi đó M là điểm cần tìm.
Bài 6.
Trong mặt phẳng cho góc xOy, trên Ox lấy điểm A, trên Oy lấy điểm B sao cho
1
1
1


 (d là hằng số). Chứng minh rằng AB luôn đi qua điểm cố định.
OA OB d

Hướng dẫn:
+) Dựng phân giác góc AOB
+) Kẻ DC // OB sử dụng định lí Ta lét tìm các tỉ số
Ta có ∆ ODC cân đỉnh D. Theo Ta lét

8


AD DC
AO  OD OD

�

(do OD  DC )
AO OB
AO
OB
1
1
1
�


� OD  d
OA OB OD

Vậy C là điểm cố định cần tìm.

Lưu ý:
Ta có thể mở rộng ra khơng gian được khơng?
Vẽ hình, kẻ hình phụ để chứng minh, hướng dẫn HS chứng minh để rút ra kết quả
của bài tập này.
Bài 6'.
Trong không gian, cho hai đường thẳng chéo nhau a; b.Trên đường thẳng a lấy hai
điểm A, B, trên đường thẳng b lấy hai điểm C; D sao cho B; D nằm cùng phía so
với A; C (A; C cố định) và

1
1
1

 .Chứng minh rằng
AB CD k

mặt phẳng đi qua BD và song song với AC luôn đi qua một
điểm cố định.
Hướng dẫn:
+) Qua C dựng đường thẳng Cc // a
+) Trong mp (a,c) dựng BK//AC
+) Mặt phẳng (BKD) là mặt phẳng cần dựng.
Theo các dựng ta có AB = CK nên
1
1
1
1
1
1


 �

 và H là điểm cố định.
AB CD k
CI CD k

Bài 7.
Trong mặt phẳng, cho tứ giác ABCD có M;N;P;Q lần lượt là trung điểm các cạnh
AB; BC; CD; DA. Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành.
Bài 7'.
Trong khơng gian, cho tứ diện ABCD, gọi M,N,P,Q,R,S lần lượt
là trung điểm của các cạnh AB,CD,BD,AD,BC.Chứng minh rằng
các đoạn thẳng MN,PQ,RS đồng qui tại một điểm.
Hướng dẫn:
Ta có tứ giác MRNS;NPMQ;PRQS là hình bình hành.
Vậycácđườngchéođồngquitạimột điểm,cácđoạn thẳng MN;PQ;RS
đồng qui tại một điểm.
Lưu ý:
Điểm G gọi là trọng tâm của tứ diện và GA  GB  GC  GD 0 .
Đậy là cách xác định thứ hai ngoài G là giao điểm của các đường trọng tuyến của
tứ diện.
Bài 8.

9


Trong mặt phẳng cho tam giác ABC,trọng tâm G. Lấy M là điểm nằm trong tam
giác.Đường thẳng MG cắt các đường thẳng BC,AC,AB theo thứ tự tại A',B',C'.
Chứngminh rằng:

A'M B 'M C ' M


 3.
A 'G B 'G C 'G

Hướng dẫn:
MK  BC ( K �BC )
�
MA ' MK

theo Ta lét ta có:
.Gọi I;J lần lượt là chân đường
GH  BC ( H �BC )
A ' G GH
�

Hạ �

cao hạ từ M xuống các cạnh AB; AC, CA.Khi đó ta có:
MB ' MJ MC ' MI

;

B ' G GH C ' G GH
A'M B 'M C 'M 3
�


 ( MK  MJ  MI )

A 'G B 'G C 'G h

Lại có : S ABC  S MBC  S AMC  S ABM

1
1
1
1
� .h.BC  .MI . AB  .MK .BC  .MJ . AC
2
2
2
2

� MK  MI  MJ  h Suyra:

A'M B ' M C 'M


3
A 'G B 'G C 'G

Lưu ý:
Tổng khoảng cách từ M xuống các cạnh BC, CA, AB không đổi khi M thay đổi
trong tam giác.
Bài 8'.
Trong không gian, cho tứ diện đềuABCD, trọng tâm G. Một điểm M trong tứ diện,
đường thẳng MG cắt các mặt phẳng(BCD),(ACD),(ABD),(ABC) lần lượt tại các
điểmA',B',C',D'.Chứngminhrằng:
A'M B 'M C 'M D 'M




4
A 'G B 'G C 'G D 'G
Hướng dẫn:
�MK  ( BCD )( K �( BCD ))
GH  ( BCD )( H �( BCD ))
�

Hạ �

Ta thấy A’;H;K thẳng hàng �

MA ' MK

A ' G GH

Gọi I, E, F lần lượt là hình chiếu của M xuống các mặt
phẳng (ABD), (ACD), (ABC).Tương tự như trên ta có:
MB ' ME MC ' MI MD ' MF



;
;
.
B ' G GH C ' G GH D ' G GH

�

A'M B 'M C 'M D 'M 4



 ( ME  MF  MK  MI ) .
A 'G B 'G C 'G D 'G h

Ta có: VABCD  VABC  VACD  VABD  VBCD

10


1
1
1
1
1
� .S BCD .h  .S BCD .MK  .S ACD .ME  .S ABD .MI  .S ABC .MF
3
3
3
3
3

Vì : S ABC  S ABD  S DBC  S ADC � ME  MK  MI  MF  h
nên

A' M B ' M C 'M D ' M




4
A 'G B 'G C 'G D 'G

Bài 9.
Cho hình bình hành ABCD, gọi E; F lần lượt là trung điểm AD; BC.Đường thẳng
AC cắt BD tại O; đường thẳng AC cắt BE; DF lần lượt tại H; I. Chứng minh rằng:
a) AH = HI = IC
b) 2(AD2 + AB2) = AC2 + BD2
Lưu ý: Đây là bài tập cơ bản, chứng minh khơng khó ta
có thể mở rộng kết quả này sang khơng gian.
Bài 9'.
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng :
a) Các mặt chéo (AD’B’); (C’BD) cắt A’C tại G1; G2 có
các tính chất sau G1; G2 là trọng tâm ∆ AD’B ; ∆ C’BD
và A’G1= G1G2 = CG2.
b)Tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương
các đường chéo.
Hướng dẫn:
a) Nối A’C’ cắt B’D’ tại T, AC cắt BD tại U. Trong mặt ACC’A’ nối A’C cắt AT;
C’U tại G1; G2.Ta thấy G1; G2 là giao của hai mặt chéo (AD’B’); (C’BD) với A’C
Để chứng minh G1; G2 là trọng tâm ∆ AD’B’ ; ∆ C’BD, A’G 1 = G1G2 = CG2, ta xét
hình bình hành ACC’A’.
b) Lại xét hình bình hành ACC’A’ thì : 2(AA’2 + A’C’2) = A’C2 + AC’2 (1)
Xét hình bình hành BDD’B’ thì : 2(D’D2 +DB2) = B’D2 + BD’2 (2)
Cộng theo vế (1) và (2) ta có :2(AA’2 + A’C’2) +2(D’D2 +DB2) = B’D2 + BD’2 +
A’C2 + AC’2 .
Mà 2(A’C’2+ DB2) = 2(2(AD2 + AB2) = 4(AD2 + AB2).
Vậy 4(AD2 + AB2 +AA’2 )= B’D2 + BD’2 + A’C2 + AC’2 (đpcm).

MỘT SỐ BÀI TOÁN CUNG CẤP CHO HỌC SINH KĨ NĂNG GIẢI BÀI
TẬP HHKG
Tôi chủ động đưa ra cho học sinh một số bài tốn hình học phẳng và mở rộng kết
quả đó trong khơng gian.Các bài tốn sau đây khai thác một vài mở rộng của một
số bài toán phẳng sang bài tốn trong khơng gian và sự vận dụng phương pháp giải
bài toán phẳng để giải bài toán mở rộng đó.
Bài 1.
Cho  ABC vng tại A, M là một điểm bất kì trên BC.
Đoạn AM tạo với AB, AC các góc theo thứ tự là  và  .
11


Chứng minh cos2  + cos2  = 1.
Bài 1’.
Cho hình chóp tam diện vng SABC đỉnh S, M là điểm thuộc
miền trong  ABC. SM hợp với các cạnh SA, SB, SC các góc theo
thứ tự  ,  ,  .Chứng minh cos2  + cos2  + cos2  = 1.
Bài 2.
Trong tam giác ABC gọi G là giao điểm của 3 đường trung tuyến.
Chứng minh GA  GB  GC 0 .
Bài 2’.
Cho tứ diện ABCD.Gọi G là giao điểm các đường trọng tuyến của tứ diện. Chứng
minh GA  GB  GC  GD 0 .
Bài 3.
Cho tam giác ABC và M là một điểm thuộc miền trong tam giác.Gọi S 1,S2,S3 lần
lượt là diện tích MBC , MAC , MAB .Chứngminh: S1 MA  S 2 MB  S 3 MC 0 .
Bài 3':
Tương tự bài toán trong mặt phẳng ta cũng biến đổi đẳng thức cần chứng minh về
dạng AO =

V3
V2
V4
AC +
AB +
AD (Với V là thể tích của tứ diện).
V
V
V

Bài 4. Cho tam giác ABC trọng tâm G.
a) Chứng minh rằng:
MA2 +MB2 + MC2 = 3MG2 +GA2 + GB2 + GC2 (Với mọi điểm M).
b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA2 +MB2 + MC2 = k2 (k cho trước).
Bài 4'. Cho tứ diện ABCD trọng tâm G.
a) Chứng minh rằng :
MA2 +MB2 + MC2 + MD2 = 4MG2 +GA2 + GB2 + GC2 +GD2 (mọi điểm M).
b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA2 +MB2 + MC2+ MD2 = k2 (k cho trước).
Bài 5.
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ diện ABCD có hình cầu tiếp xúc với tất
cả các cạnh của tứ diện là : AB + CD = AC + BD = AD + BC.
Bài 5'.
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tồn tại hình cầu tiếp xúc với tất cả các
cạnh của tứ diện ABCD là AB + CD = AC + BD = AD + BC.
Bài 6.
S

a) Chứng minh rằng trong ∆ ABC thì r  p .
b) Chứng minh rằng nếu trong hình chóp tồn tại hình cầu nội tiếp bán kính r thì
r

3V
Stp .

Bài 6'.

12


Trong ∆ ABC ta có

a
b
c


Chứng minh trong chóp tam giác ta có
sin A sin B sin C

a
b
c


với a;b;c là độ dài ba cạnh tam giác đáy,  ;  ;  là góc tạo bởi các
sin  sin  sin 

mặt bên của chóp tam giác với tam giác đáy.
Bài 7.
a

b

 1 , trong đó
OM ON
a , b là các độ dài cho trước. Chứng minh rằng MN luôn đi qua 1 điểm cố định.
Bài 7'.
Hai điểm M, N thứ tự thay đổi trên 2 nửa đường thẳng chéo nhau Ax, By sao cho
a
b

 1 ( a, b là 2 độ dài cho trước ). Chứng minh rằng MN luôn cắt 1 đường
AM BN
thẳng cố định .
Bài 7''.
Trên các tia Ox ,Oy ,Oz tương ứng có các điểm M , N , P thay đổi sao cho ln có
a
b
C


 1 , trong đó a, b, c là các độ dài cho trước. Chứng minh rằng
OM ON OP
mp(MNP) luôn đi qua 1 điểm cố định.
Trên 2 cạnh của góc xOy có 2 điểm M , N thay đổi sao cho

ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT VÀ ĐÁP ÁN TRƯỚC THỰC NGHIỆM
ĐỀ 1.
Cho hình hộp ABCDA’B’C’D.Chứngminh rằng tổng bình phương
các cạnh bằng tổng bình phương các đường chéo.
ĐÁP ÁN

- Vẽ hình đúng đẹp.
Xét hình bình hành ABCD học sinh chứng minh được
AC2 + BD2 = 2(AD2 +AB2)
tương tự đối với hình bình hành AA'C'C
Hình bình hành BB'D'D
- Kết luận.
ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT VÀ ĐÁP ÁN SAU THỰC NGHIỆM.
ĐỀ 2:
Trong không gian cho 3 tia Ox; Oy; Oz không đồng phẳng đôi một
vuông góc với nhau.Trên Ox lấy điểm A; Oy lấy điểm B; Oz lấy
điểm C. Chứng minh rằng ∆ ABC là tam giác nhọn.
ĐÁP ÁN
- Hình vẽ đúng, đẹp
- Đặt OA = a; OB =b; OC = c
Ta có
AB2 = a2 + b2 (định lí Pi ta go trong tam giác AOB)
13


CB2 = c2 + b2 (định lí Pi ta go trong tam giác COB)
AC2 = a2 + c2 (định lí Pi ta go trong tam giác AOC)
- Xét AB2 + BC2 = a2 + b2 +c2 + b2 = a2 + c2 +2b2 �a2 + c2 = AC2
Vậy góc B là góc nhọn, tương tự góc A, C là góc nhọn
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,với bản
thân,đồng nghiệp và nhà trường.
Để thấy rõ vai trò, ý nghĩa và sự tác động khác nhau lên quá trình lĩnh hội kiến
thức,sự phát triển năng lực tư duy sáng tạo, hình thành kĩ năng của học sinh khi
giáo viên không sử dụng và sử dụng đề tài, tôi đã tiến hành kiểm nghiệm kết quả
kết quả học tập của học sinh,tôi đã thu thập các dữ liệu qua một số học sinh nhằm
kiểm chứng chất lượng học tập của học sinh. Sau đây là các kết quả nghiên cứu

-Tôi so sánh kết quả thực nghiệm của 11 HS lớp 11A 6 năm học 2018 – 2019 khi
chưa áp dụng đề tài với cùng hai bài kiểm tra.
Điểm kiểm tra
Điểm kiểm tra sau
Họ tên
STT
trước tác động
tác động
1
Nguyễn Thị Chiến
7
8
2
Lê Đình Cương
8,5
8,5
3
Phạm Ngọc Bình
9,5
9
4
Phan Anh Đức
8
9
5
Nguyễn Thị Hoàng Hà
6
8
6
Vũ Trọng Hậu

7
8
7
Lê Phương Huyền
9
8,5
8
Trần Thị Lan
7
7
9
Mai Thị Khánh Linh
7,5
8
10 Lê Thị Ly
8
7
11 Đỗ Trà My
7,5
9
12 Hoàng Văn Nghĩa
6,5
8,5
13 Nguyễn Nho Phong
7.5
9
14 Lê Thanh Sơn
9
8
- Từ kết quả kiểm tra tại lớp, phần làm bài của 14 học sinh khi học bồi dưỡng ôn

thi THPTQG, tốt nghiệp THPT tôi nhận thấy việc đưa đề tài vào giảng dạy là thiết
thực,phát huy hiệu quả cao.Từ đó nâng cao chất lượng thi học sinh giỏi, thi
THPTQG,TNTHPT hàng năm.Từ đó tăng cường điểm số ở phần câu hỏi phân loại
thí sinh, góp phần làm nổi bật thành tích mũi nhọn HSG tỉnh của nhà trường.
- Trong q trình giảng dạy tơi đưa ra hệ thống các bài toán để học sinh nhận
dạng và lựa chọn phương pháp làm bài phù hợp.Các bài toán này được thực hiện
trên một số học sinh trung bình khá trở lên tiếp thu và vận dụng tốt đảm bảo yêu
cầu chính xác, tiết kiệm được thời gian.
Mặt khác đây cũng là tập tài liệu mà các thành viên trong tổ Toán học hỏi và bổ
sung kiến thức cho bản thân nhằm nâng cao chất lượng dạy và học trong nhà
trường.
14


Qua kết quả và đánh giá tổng quan quá trình trên có ý nghĩa. Kết quả các bài
kiểm tra cho ta thấy trước tác động vẫn còn một số em điểm thấp, sự chênh lệch
khi có tác động là khá cao.Sau khi tác động với phương pháp phù hợp kết quả của
các em có nâng lên ít điểm thấp sụ chênh lệch về điểm số khơng cịn nhiều.Ngồi
ra, điểm trung bình của các em có nâng lên.Kết quả học tập của học sinh được nâng
cao sau khi kết hợp một số kết quả của các bài tốn hình học phẳng sang hình học
khơng gian, học sinh đã cảm thấy hứng thú hơn với mơn hình học, khơng bị áp lực
phải ngồi học trong các giờ hình học, tạo được niềm tin và sự hứng thú trong học
tập .
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận.
Trên đây chỉ là một số bài tập minh họa, hướng dẫn và lưu ý giúp cho việc rèn tư
duy HHKG cho HS lớp 11 qua mối liên hệ giữa HHP và HHKG nhằm giúp HS
phát hiện tìm ra sự tương tự hóa giữa chúng, giúp cho việc dạy và học tốn có hiệu
quả hơn, kiểu tư duy này được áp dụng trong thực tế giảng dạy và học tập tùy theo
yêu cầu của chương trình,của người học, người dạy mà ta lựa chọn bài tập phù hợp.

Sau khi thực hiện đề tài này, tơi thấy có một số vấn đề cần rút ra như sau:
- Thứ nhất là qua cách định hướng các em tự hệ thống hoá được để giải quyết cho
cùng một lớp bài tập.
- Thứ hai là nâng cao tính sáng tạo trong học tập, bước đầu giúp các em có phong
cách nghiên cứu khoa học. Đặc biệt biết phát triển vào giải các bài toán khác.
Qua thời gian viết SKKN và vận dụng chuyên đề này vào giảng dạy, tôi thấy việc
làm này đã thu được kết quả đáng kể từ phía các em học sinh. Đây thực sự là một
công cụ hiểu hiệu giúp học sinh giải quyết bài toán nhanh gọn và chính xác. Điều
này phần nào tạo cho các em học sinh có tâm thế tốt khi bước vào các kì thi quan
trọng.
Qua việc ứng dụng đề tài này vào giảng dạy cho học sinh, tôi nhận thấy đây là
chuyên đề có thể tiếp tục áp dụng vào các năm học tiếp theo, đặc biệt rất phù hợp
với mọi đối tượng học sinh. Tất nhiên là phải tiếp tục hồn thiện đề tài này hơn
nữa.
Đã hình thành phương pháp tư duy ,suy luận toán học cho học sinh THPT, bước
đầu khẳng định tính khả thi, tính hiệu quả qua việc kiểm nghiệm thực nghiệm. Bên
cạnh đó sáng kiến này cũng giúp cho giáo viên, học sinh những yêu cầu nhằm thúc
đẩy q trình giảng dạy và học tập mơn HHKG được tốt hơn.
GV đã tạo ra tâm thế hứng thú, sẵn sàng lĩnh hội tri thức môn học để thúc đẩy
tính tích cực tư duy của học sinh, khắc phục tâm thế ngại, sợ khi tiếp cận nội dung
môn học. Nếu có nhiều hình thức tổ chức dạy học kết hợp môn học sẽ trở nên hấp
dẫn và người học thấy được ý nghĩa của môn học.
Về phương pháp dạy học, cần chú ý hơn đến phương pháp lĩnh hội tri thức của
HS, giúp các em có khả năng tiếp thu sáng tạo và vận dụng linh hoạt tri thức trong
tình huống đa dạng.
15


Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật trong việc thực hiện các kĩ năng
giải tốn thơng qua việc luyện tập; nhằm khắc phục tính chủ quan, hình thành tính

độc lập, tính tự giác ở người học, thơng qua đó hình thành và phát triển nhân cách
của các em.
Phải thường xuyên học hỏi trau rồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạy học
phù hợp.Phải nhiệt tình, gương mẫu quan tâm tới học sinh, giúp đỡ các em để các
em không cảm thấy áp lực trong học tập.Luôn tạo ra tình huống có vấn đề, kích
thích hứng thú tìm tịi học tập ở học sinh.
Cho học sinh thấy ứng dụng của lý thuyết vào thực hành.Khi giải một bài tốn
hình KG nên đặt câu hỏi bài này đã gặp ở đâu chưa,có bài nào tương tự trong hình
học phẳng khơng? có thể phân bài này thành các bài tốn nhỏ dễ giải nó được
khơng? Đặt ra câu hỏi gợi mở phù hợp với đối tượng học sinh.
HS có khả năng tiếp thu kiến thức mới tốt hơn khi biết phân tích một bài tốn
HHKG.Các em có thể vận dụng các qui trình hay các phương pháp giải các bài tốn
khơng gian vào các bài tập cụ thể. Các em đã biết huy động các kiến thức cơ bản,
các tri thức liên quan để giải các bài tập toán,biết lựa chọn hướng giải bài tập phù
hợp.Trình bày lời giải hợp lý chặt chẽ, ngắn gọn và rõ ràng hơn .Có ý thức học
tập,hiểu vấn đề một cách sâu sắc.Liên hệ với các kiến thức đã được học.Biết
chuyển ngôn ngữ thơng thường sang ngơn ngữ Tốn.
3.2. Kiến nghị.
Qua nghiên cứu đề tài này, tôi rút ra một số kiến nghị sau:
- Khi giảng dạy hình học khơng gian giáo viên nên dành một số tiết nhắc lại các
kiến thức hình học phẳng đã học ở THCS.
- Nên có các chuyên đề tự chọn để giáo viên và học sinh có thể trao đổi thẳng thắn
với nhau về các vấn đề, từ đó có thể rút ra các phương pháp phù hợp với từng đối
tượng học sinh.
- Phải thường xuyên học hỏi, trau dồi chun mơn để tìm ra phương pháp dạy học
phù hợp.Cần phải phát huy tối đa vai trò của phương pháp dạy học tư duy gắn liền
với thực tiễn và đối với từng học sinh (phân loại học sinh trung bình,yếu,kém).
-Tronglớp giáoviên nên phân nhóm học theo trình độ nhận thức của các
em.Thường xuyên tạo ra tình huống có vấn đề kích thích sự tìm tịi học hỏi của học
sinh.

- Rất mong các thầy cô giáo quan tâm,dựa vào trình độ của khối lớp để có thể đưa
ra các dạng bài tập từ cấp độ thấp đến cấp độ cao mang tính vừa sức, giúp cho các
em quen dần với phương pháp này, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học.
-Do kinh nghiệm còn thiếu, thời gian nghiên cứu và ứng dụng chưa dài nên đề tài
của tơi khơng tránh khỏi nhiều hạn chế. Bên cạnh đó,đề tại chỉ nghiên cứu trong
phạm vi lớp 11 nên phần mặt cầu lớp 12 và đường tròn lớp 9 chưa đi bổ sung cho
nhau nhằm hoàn thiện hơn đề tài. Rất mong tiếp tục nhận được sự đóng góp khác từ
phía đồng nghiệp để tơi hồn thiện hơn đề tài của mình.

16


- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều hơn
nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng
cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Xác nhận của thủ trưởng đơn vị

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2021
Tơi cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.

Lê Trọng Hoàng

17


Tài liệu tham khảo
[1]. Sách giáo khoa,sách bài tập 11(cơ bản và nâng cao), NXB Giáo Dục Năm 2007
[2]. Phan huy Khải- Nguyễn Đạo Phương.Các phương pháp giải toán sơ cấp Hình

học khơng gian. Nhà xuất bản Hà Nội Năm 2000.
[3]. IF.Sharygin.Tuyển tập 340 bài tốn hình học khơng gian.Nhà xuất bản tổng
hợp Nghĩa Bình Năm 1988.
[4]. Phan Huy Khải .Tốn nâng cao hình học lớp 11.Nhà xuất bản Hà Nội Năm
2002.
[5]. Đỗ Thanh Sơn.Phương pháp giải tốn hình học 12 theo chủ đề.Nhà xuất bản
Giáo dục Năm 2008.
[6].Tuyển chọn theo chuyên đề chuẩn bị thi tốt nghiệp THPT và thi vào ĐH- CĐ
mơn tốn,Nhà xuất bản Giáo dục Năm 2010.
[7]. http://www. diễn dàn tốn học.net.
[8] vientailieu…
[9].vienbaigiang.
[10].nmath.
[11].Các đề thi ơn thi HSG tỉnh Thanh Hóa lớp 11 năm 2018, 2019, 2020.

18


DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO XẾP LOẠI TỪ LOẠI C TRỞ LÊN
STT Tên đề tài SKKN
1
2

Một số ứng dụng của
phương pháp lượng giác
hóa
Một số ứng dụng của phép
biến hình vào giải tốn
trắc nghiệm lớp 12

Cấp đánh giá
xếp loại

Kếtquả đánh Năm học đánh
giá xếp loại giá xếp loại

Ngành giáo dục và
đào tạo Thanh Hóa C

2013-2014

Ngành giáo dục và
đào tạo Thanh Hóa C

2018-2019

19