SKKN nâng cao năng lực, phát triển tư duy toán học cho học sinh qua việc giải bài toán khoảng cách trong không gian

MỤC LỤC
Nội dung

Trang

PHẦN I. Đặt vấn đề .............................................................................................2
PHẦN II. Nội dung nghiên cứu............................................................................4
I. Cơ sở khoa học của đề tài...............................................................................4
I.1. Cơ sở lý luận của đề tài.............................................................................4
I.2. Cơ sở thực tiễn của đề tài..........................................................................5
II. Các sáng kiến và giải pháp để giải quyết vấn đề...........................................6
II.1. Sử dụng bài toán gốc để tính khoảng cách trong khơng gian..................6
II.2. Ứng dụng thể tích để tính khoảng cách trong khơng gian.....................19
II.3. Sử dụng phương pháp tọa độ để tính khoảng cách trong khơng gian . .24
II.4. Sử dụng sơ đồ tư duy để tính nhanh khoảng cách trong khơng gian....39
II.5. Kết quả thực nghiệm sư phạm...............................................................46
PHẦN III. Kết luận và kiến nghị........................................................................48
Tài liệu tham khảo...............................................................................................50

1


PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ.
I. Lí do chọn đề tài:
Sự ưu việt của phương pháp thi trắc nghiệm đã và đang được chứng minh từ
những nước có nền giáo dục tiên tiến trên thế giới, bởi những ưu điểm như: Tính khách
quan, tính bao quát và tính kinh tế.
Theo chủ trương của Bộ Giáo dục & Đào tạo, kì thi THPT quốc gia mơn Tốn sẽ
chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm, đây là một sự thay đổi lớn trong việc kiểm tra
đánh giá đối với bộ mơn tốn. Khi thi trắc nghiệm, địi hỏi học sinh phải có sự hiểu
biết thật sâu sắc về kiến thức và phải biết sắp xếp trình tự tư duy logic hơn, nhanh hơn

để đáp ứng thời gian hoàn thành một câu trả lời trong vòng 1,8 phút nhanh hơn gấp 10
lần so với u cầu kiểm tra đánh giá cũ.
Trong chương trình tốn THPT, "Hình học khơng gian" được giới thiệu trong
SGK lớp 9 và được giải quyết hồn thiện trong chương trình SGK hình học lớp 11.
Mơn học này là một trong những mơn học khó nhất đối với học sinh THPT bởi tính
trừu tượng của nó. Các bài tốn về khoảng cách trong hình học lớp 11 là một trong
những bài tốn định lượng quan trọng nhất của bộ mơn hình học không gian và hay
được sử dụng trong thi THPT Quốc gia.
Với mong muốn giúp các em học sinh THPT tiếp thu tốt các kiến thức cơ bản về
khoảng cách, đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt kiến thức đó để giải tốn và
áp dụng trong thực tiễn, tôi đã chọn đề tài:
" Nâng cao năng lực, phát triển tư duy toán học cho học sinh qua việc giải bài tốn
khoảng cách trong khơng gian."
II. Mục đính nghiên cứu:
"Các bài toán về khoảng cách" là một bài tập định lượng quan trọng và khó của
bộ mơn hình học khơng gian lớp 11. Khi chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm, học
sinh không đơn giản chỉ là "tô" vào một trong 4 đáp án, để có được câu trả lời, bắt
buộc học sinh vẫn phải thực hiện các khâu và các bước làm bài giống một bài tự luận
bình thường. Vậy để đảm bảo được thời gian của một bài thi trắc nghiệm, yêu cầu học
sinh phải nắm vững các lớp bài tốn về khoảng cách để có hướng giải quyết vấn đề
một cách nhanh nhất.
Với quan điểm đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, trước hết dạy cho học
sinh các bài toán gốc, bài tốn cơ bản để qua đó các em có thể làm được những bài
tốn khó và phức tạp hơn. Qua đó, phát triển cho các em năng lực tư duy và lập luận
tốn học; năng lực mơ hình hố tốn học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng
lực giao tiếp tốn học; năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học toán. Qua đây cũng
rèn luyện thêm cho các em năng lực ứng biến khi đối mặt với tình huống mới.
Phát triển tư duy tốn học cho học sinh thông qua việc sử dụng nhiều hướng giải
quyết bài tốn khoảng cách trong khơng gian.
Sơ đồ tư duy là một công cụ tổ chức tư duy, là con đường dễ nhất để chuyển tải

thông tin vào bộ não rồi đưa thơng tin ra ngồi bộ não. Đồng thời là một phương tiện
ghi chép đầy sáng tạo và rất hiệu quả theo đúng nghĩa của nó: "sắp xếp" ý nghĩ. Sử
dụng sơ đồ tư duy trong dạy và học mang lại hiệu quả cao, phát triển tư duy logic, khả
năng phân tích tổng hợp, học sinh hiểu bài, nhớ lâu, thay cho ghi nhớ dưới dạng thuộc
2


lịng, học vẹt, phù hợp với tâm sinh lí học sinh, đơn giản dễ hiểu thay cho việc ghi nhớ
lí thuyết bằng ghi nhớ dưới dạng sơ đồ chuyển hóa kiến thức.
III. Đối tượng nghiên cứu:
Để giải quyết các vấn đề nêu trên, trong đề tài này tôi đề xuất các ý tưởng
nghiên cứu sau:
• Từ các bài tốn cụ thể, dẫn dắt học sinh tự đúc kết ra các kinh nghiệm giải
tốn. Qua đó tự tìm ra thuật giải cho bài tốn khoảng cách.
• Cần cho học sinh tự hệ thống lại kiến thức trọng tâm của bài toán khoảng
cách dưới dạng sơ đồ tư duy để từ đó khắc sâu được kiến thức.
• Cho học sinh thấy được mối liên hệ của kiến thức đang học với thực tiễn
cuộc sống.
IV. Phương pháp nghiên cứu:
• Xuất phát từ thực tiễn, cho học sinh nhìn trực quan và tự đốc rút ra các
khái niệm cơ bản và các tính chất cơ bản.
• Thống kê số liệu để phân loại được các bài tốn về khoảng cách trong
khơng gian và rút ra được hệ thống sơ đồ tư duy trong giải các bài tập về khoảng cách.
• Điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin để biết thực trạng dạy và học
ở trường sở tại để đưa ra được thuật giải logic, ngắn gọn, dễ hiểu và dễ nhớ nhất.
• Từ các bài tốn đưa ra mối liên hệ với các khối, các hình và đồ vật trong
thực tiễn.
V. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm:
- Trong sáng kiến kinh nghiệm này tác giả sẽ giới thiệu cách sử dụng sơ đồ tư
duy trong bài toán định lượng tính khoảng cách. Lược bỏ hết các phần chứng minh

rườm rà (vì phần chứng minh hầu như khơng thay đổi đối với một lớp bài toán cố định,
và đã được tác giả hướng dẫn học sinh chứng minh trong bài toán tổng quát.) Như vậy,
học sinh chỉ cần nhận dạng bài tốn, lựa chọn phương án thích hợp và áp dụng ln
cơng thức tính cuối cùng của dạng tốn đó. Đây là bí quyết để học sinh rút ngắn thời
gian làm bài.
- Sử dụng cơng thức thể tích để tìm khoảng cách
- Sự dụng tọa độ hóa để tìm khoảng cách
- Phân loại rõ các bài toán khoảng cách và có hướng giải cụ thể, ngắn gọn, logic
dễ học và dễ nhớ. Bước đầu hướng dẫn học sinh cách làm toán trắc nghiệm. Đây là các
điểm mới so với sáng kiến kinh nghiệm cũ.

3


PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU.
I. CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI.
I.1. Cơ sở lý luận của đề tài.
I.1.1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

( H là hình chiếu của M lên (P) )

I.1.2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:

I.1.3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:

I.1.4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
+) Định nghĩa:
(

chéo nhau;

là đoạn vng góc chung)

+) Nhận xét 1:
4


+) Nhận xét 2:

Nhận xét tổng quát:
Từ hệ thống kiến thức đã nêu ở trên ta đi đến kết luận quan trọng sau “ Về mặt
lý thuyết có thể quy mọi loại khoảng cách trong không gian về khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng”
I.2. Cơ sở thực tiễn của đề tài.
Dưới sự lãnh đạo của Ban giám hiệu nhà trường, đội ngũ giáo viên chúng tôi
luôn trăn trở tìm tịi, đổi mới phương pháp giảng dạy nhằm nâng cao chất lượng giáo
dục toàn diện cho học sinh . Nhà trường không chỉ chú trọng truyền thụ tri thức mà còn
phát triển năng lực, tư duy cho học sinh thông qua các bài học, làm hành trang vững
chắc cho các em bước vào tương lai. Tuy nhiên trong các mơn học thì hình học khơng
gian nói chung và bài tốn tính khoảng trong khơng gian cách nói riêng vẫn là mơn học
khó đối với đại đa số học sinh, đặc biệt là học sinh trung bình và yếu. Khi giải các bài
tốn về khoảng trong khơng gian, nếu tiến hành theo các bước cơ bản khơng được thì
tâm lý học sinh thường nản và bỏ qua. Theo số liệu thống kê trước khi dạy đề tài này ở
hai lớp tôi trực tiếp áp dụng năm học 2020-2021 kết quả như sau:
Năm học

Lớp

Sĩ số

Số học sinh giải được trước khi thực hiện đề tài

2020-2021

12A1

45

10

5


12A2

47

8

Đứng trước thực trạng trên tôi nghĩ nên hướng cho các em tới một cách giải
quyết khác trên cơ sở kiến thức trong sách giáo khoa. Song song với việc cung cấp tri
thức tôi chú trọng rèn luyện kỹ năng giải toán, nâng cao năng lực, phát triển tư duy cho
học sinh để trên cơ sở này học sinh không chỉ học tốt phần này mà còn làm nền tảng
cho các phần kiến thức khác.
II. CÁC SÁNG KIẾN VÀ GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
Khi giải một bài toán hình học khơng gian, học sinh cần thực hiện qua các bước
cần thiết sau: đọc kĩ đề bài, phân tích giả thiết của bài tốn, vẽ hình đúng, đặc biệt cần
xác định thêm các yêu cầu khác: điểm phụ, đường phụ (nếu cần) để phục vụ cho q
trình giải tốn.
Trong hệ thống bài tập cũng như trong thực tiễn cuộc sống ta có thể chia "Bài

tốn về khoảng cách" thành các bài toán nhỏ sau: khoảng cách từ một điểm đến một
đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai
đường thẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau.
Khi chuyển sang hình thức "thi trắc nghiệm" thì bài tập khó nhất của đề có thể
nói là các bài tập về hình khơng gian bởi thời gian để thực hiện làm bài đã bị hạn chế
hơn chỉ bằng 1/10 so với thời gian cũ, trong lúc đó việc dùng máy tính để bổ trợ hoặc
các thủ thuật loại trừ các đáp án nhiễu hầu như không đáng kể. Thực chất, học sinh vẫn
phải thực hiện việc giải gần giống một bài tự luận. Vậy để đáp ứng được hình thức
kiểm tra đánh giá mới thì vấn đề đặt ra là giáo viên phải biết hướng dẫn học sinh nắm
vững được nội dung trọng tâm nhất, bài tốn mấu chốt để các bài tốn nhỏ khác có thể
đưa về nó. Và việc sử dụng sơ đồ tư duy tỏ ra có hiệu quả khi đảm bảo một lời giải
ngắn gọn nhất, logic nhất và nhanh nhất.
II.1. SỬ DỤNG BÀI TỐN GỐC ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG
KHƠNG GIAN.
Trong bài tốn tính khoảng cách thì bài tốn tính khoảng cách từ một điểm đến
một đường thẳng là mấu chốt cơ bản nhất. Các bài tốn tính khoảng cách khác đều đưa
về được bài toán cơ bản này.
II.1.1. Phương pháp giải toán:
Để giải quyết một bài toán về khoảng cách trong khơng gian nói chung theo định
hướng này ta cần giải quyết được 3 bước sau:
6


a) Bước 1: (Đối với các bài toán yêu cầu tính các loại khoảng cách)
“Chuyển đổi” khoảng cách cần tính về theo khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng. Trong bước này nhất thiết phải đạt được hai yêu cầu sau:
- Thứ nhất là chọn “điểm” nào? “mặt phẳng” nào? để có thể chuyển đổi được, để làm
được điều này giáo viên phải yêu cầu học sinh nắm vững lý thuyết và phải có tư duy
ứng biến một cách linh hoạt, trong một số trường hợp có thể phải tạo ra những cái chưa

có trong giả thuyết của bài toán như vẽ thêm đường, mặt...
- Thứ hai là “điểm” và “mặt phẳng” được chọn phải thuận lợi cho việc thực hiện các
bước 2 và 3, đây cũng là yêu cầu rất quan trọng vì nó quyết định cho việc có thể đi đến
lời giải trọn vẹn của bài tốn hay khơng.
Đến đây u cầu bài tốn trở thành “Tìm khoảng cách từ điểm (chẳng hạn là
M) đến mặt phẳng (chẳng hạn là (P))”, ta tạm gọi là bài toán cơ bản.
b) Bước 2:
Xác định điểm H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (P), từ đó đi đến kết luận:
Trong bước này khó khăn lớn nhất là xác định vị trí điểm H, khi đó giáo viên cần lưu ý
cho học sinh một số kiến thức sau:
1. (Hệ quả 1- Định lí 1-Bài: Hai mặt phẳng vng góc-Trang 109-SGK HH11)

2. (Định lí 2-Bài trên)

7


c) Bước 3:
Sử dụng các giả thiết của bài toán, các kiến thức hình học phẳng đã biết (đặc biệt là các
hệ thức trong tam giác)... để tính độ dài đoạn MH, từ đó đi đến kết luận.
Lưu ý: Nhiều khi việc tính khoảng cách từ M đến (P) khó có thể thực hiện được trực
tiếp (có thể gặp khó khăn ở một trong hai bước 2 hoặc 3), khi đó ta có thể xem xét đến khả
năng gián tiếp thơng qua việc tính khoảng cách từ điểm N nào đó đến (P). Việc làm này có
thể thu được kết quả mong muốn nếu hội đủ các điều kiện sau:
- Có thể xác định được tỉ lệ giữa khoảng cách từ M và N đến (P), nghĩa là xác định
được số
- Việc tính

, sao cho:
là có thể thực hiện được.

II.1.2. Các bài tập minh họa.
Với quan điểm đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, trước hết dạy cho học
sinh các bài toán gốc, bài toán cơ bản để qua đó các em có thể làm được những bài
tốn khó và phức tạp hơn đồng thời rèn luyện cho các em năng lực ứng biến khi đối
mặt với tình huống mới. Quan điểm này cũng giúp cho người học tiếp cận được kiến
thức một cách nhẹ nhàng và tự nhiên nhất, từ đó sẽ làm tăng hứng thú học tập cho các
em. Qua thực tiễn giảng dạy và áp dụng đề tài, tôi đã thu thập và mạnh dạn sắp xếp
theo suy nghĩ bản thân, hệ thống bài tập thành 2 dạng như sau:
+) Dạng 1: Gồm các bài tập “cơ bản” (chỉ cần thực hiện hai bước 2 và 3)
+) Dạng 2: Gồm các bài tập cần cả 3 bước như đã nêu.
Các bài toán dạng 1:
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, tâm là O. Cạnh
bên SA vng góc với đáy và

. Tính khoảng cách:

a. Từ điểm A đến mặt phẳng (SBD).
b. Từ điểm O đến mặt phẳng (SCD).
Lời giải:

8


a. Từ giả thiết của bài tốn ta có
, gọi

là hình chiếu của

Lên SO ta có:

(1)

Xét tam giác SAO (vng tại A), ta có:

Từ (1) và (2), suy ra:
b. (Sử dụng phương pháp gián tiếp)
Ta có:

Gọi K là hình chiếu của A lên SD, tương tự trên ta có:
Xét tam giác SAD (vng tại A), ta có:

Nhận xét: Qua bài tốn 1 ta có thể rút ra một số nhận xét sau:
NX1)

Để tìm hình chiếu của điểm A lên (P), ta cần xác định mặt phẳng (Q)

chứa A và vuông góc với (P). Giả sử

là giao tuyến của (P) và (Q), H là hình chiếu của A

lên . Khi đó H là hình chiếu của A lên (P).

NX2)

Giả sử

và

. Khi đó,

9


nếu

thì

(

NX3) Nếu có đường thẳng

, thỏa mãn:

khi đó ta có cách xác định hình chiếu
của điểm A lên (P) như sau:
+) Dựng B là hình chiếu của A lên b.
+) Dựng H là hình chiếu của A lên SB.
Suy ra: H là hình chiếu của A lên (P).
( Giáo viên cần nhấn mạnh và giúp học sinh nhận ra “dấu hiệu” của NX3 vì đây là
một cơng cụ khá mạnh, được sử dụng thường xuyên trong các bài toán khoảng cách, đặc
biệt là trong các đề thi THQG những năm gần đây)
Bài 2. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’, có đáy là hình vng, tam giác A’AC
vng cân, A’C = a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD’) theo a.
A.

a 6
2

B.

a
2

C. a 6

D.

a 6
4

Lời giải: Chọn A.
Theo giả thiết, ta có:
mà
của A lên A’B thì

, gọi H là hình chiếu
. Vậy:

Mặt khác tam giác A’AC vuông cân, A’C = a, nên

Xét tam giác A’AB (vng tại A), ta có:

10


Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vng
góc với đáy,

, M là trung điểm của BC và

. Tính khoảng cách từ

điểm D đến mặt phẳng (SBC) theo a.
A.

a 6
2

B. a 3

C.

a 6
4

D.

a
3

Lời giải: Chọn C.
⇒

Ta có
Từ giả thiết, suy ra

là tam giác đều,

do M là trung điểm của BC ⇒

.

Gọi H là hình chiếu của A lên SM thì:

Dễ thấy,

vng cân tại A, nên:

Nhận xét: Trong bài này ta chọn khoảng cách cần tính từ A đến (SBC) là để “lợi
dụng” giả thiết

, đây là dấu hiệu của NX3 ở trên.

Bài 4. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vng góc
của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt
đáy bằng
A.

. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’) theo a.

10a
13

B.

a 13
13

C.

3 10a
13

D.

3 13a
33

Lời giải: Chọn D
Gọi M là trung điểm của AB, N là hình chiếu của M lên AC, H là hình chiếu của M lên
A’N. Ta có:

11


Mặt khác, theo giả thiết:

Xét tam giác A’MN (vuông tại M), ta có:

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a,

,

hình chiếu vng góc của S lên (ABCD) là trung điểm cạnh AB. Tính khoảng cách từ
điểm A đến mặt phẳng (SBD).
A.
C.

10a
2

a
2

B.

a 3
2

D.

a 5
2

Lời giải: Chọn C.
Gọi M là trung điểm của AB, I là hình
chiếu của M lên BD, H là hình chiếu của

M

lên SI. Ta có:
.
Theo giả thiết ta có:

Vậy ta có:

12


Bài 5. (Mã 102 - BGD - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a,
mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy

( minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SBD) bằng
21a
.
28

A.

B.

21a
.
14

C.

2a
.
2

D.

21a
.
7

Lời giải: Chọn D.

Gọi H là trung điểm của AB ⇒ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ).
Từ H kẻ HM ⊥ BD , M là trung điểm của BI và I là tâm của hình vng.
 BD ⊥ HM

⇒ BD ⊥ (SHM)
 BD ⊥ SH

Ta có: 

Từ H kẻ HK ⊥ SM ⇒ HK ⊥ BD ( Vì BD ⊥ (SHM) )
⇒ HK ⊥ ( SBD) ⇒ d(H;(SBD)) = HK .

AI AC
2a
3a
=
=
. SH =
.
2
4
4
2
2a 3a
.
HM .HS
21a
4
2
=
=
.
2
2

14
HM 2 + HS 2
 2a   3a 

÷ +
÷
 4   2 

Ta có: HM =
HK =

d (C; ( SBD )) = d ( A; ( SBD )) = 2d ( H ;( SBD )) = 2 HK = 2.

21a
=
14

21a
.
7

21a
.
Vậy: d (C;( SBD)) =
7

Bài 6. (Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Hải Dương.)

13

Cho khối chóp S . ABC có SA = 2a, SB = 3a, SC = 4a,

,

. Gọi M, N lần lượt là các điểm nằm trên các đoạn SB và SC sao cho
. Chứng minh tam giác AMN vng. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt
phẳng ( SAB) theo a.
Lời giải:
+) Sử dụng định lí cosin trong

Xét
Xét

(vng tại S)
(vng tại A)

;
.

Từ đó, ta có:
vng tại A (đfcm).
+) Gọi I là trung điểm của MN I là tâm của đường trịn ngoại tiếp
Mặt khác hình chóp

có các cạnh

.

⇒ I là hình chiếu

của S lên mặt phẳng (AMN), hay:
Gọi J là trung điểm của AM, H là hình chiếu của I lên SJ. Khi đó:

Từ đó ta có:

Mặt khác:

14


⇒

vuông cân tại I ⇒ H là trung điểm của SJ , vậy

Nhận xét:
+) Cách giải của đáp án chính thức là sử dụng cơng thức tính thể tích, cách này theo
tôi không thực sự tự nhiên và hơi dài.
+) Trong cách giải trên tôi đã đưa khoảng cách

về theo khoảng cách

. Tại sao lại có suy nghĩ này? Thứ nhất đó là vị trí “đặc biệt” của các điểm N, I
(trung điểm); thứ hai là có

(dấu hiệu để sử dụng NX3).

+) Khi đưa bài toán này vào giảng dạy, giáo viên cần lưu ý cho học sinh cách nhận ra
những đặc điểm riêng của bài tốn như vị trí của các điểm I, J, H. Việc làm này sẽ giúp
các bước tính tốn trở nên đơn giản hơn.

Các bài tốn dạng 2:
Bài 7. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
,

,

. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a khoảng cách giữa

hai đường thẳng AM và B’C.
A.

a 10
6

B.

a 33
11

C.

a 10
3

D.

3a 11
11

Lời giải: Chọn B.

+) Gọi N là trung điểm của BB’, khi đó
. Từ đó:

+) Xét

(vng tại B), ta có:

Gọi h là khoảng cách từ B đến (AMN), do
BA, BM, BN đơi một vng góc nên:
15


Nhận xét:
Trong bài toán trên việc lựa chọn đưa khoảng cách cần tính về theo khoảng
cách từ B đến (AMN) là để lợi dụng tính chất sau của tứ diện vng:
Nếu tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi một
vng góc, H là hình chiếu của O lên (ABC), thì:

Trong một vài trường hợp, nếu có thể áp dụng
được tính chất này ta sẽ tính được khoảngcách
mà khơng cần xác định hình chiếu của nó.
Bài 8. Cho hình hộp ABCD A′B ′C ′D ′ có hình chóp A'ABD là hình chóp đều,
AA' = a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AB ′ và A′C ′ .
A.

2a 11
.
11

B.

a 22
.
22

C.

a 22
.
11

D.

AB =

a 11
.
11

Lời giải:Chọn C.
Do A / ABD là hình chóp đều nên với G là tâm ∆ ABD ⇒ A / G ⊥ (ABD) ⇒ A'G là
chiều cao của lăng trụ.
2
a 3 2 a 3
.AO=
. =
3
3
2
3

2
a
a 6
A′A 2 − AG 2 = a 2 −
=
3
3

Gọi O là giao điểm của BD và AC.Ta có: AG =
Trong tam giác vng A / AG ta có A / G =

Gọi H là giao điểm của A'C' và B'D'. Do A'C'// AC nên:
d ( AB ′, A′C ′) = d ( A′C ′, ( ACB ′ )) = d ( H , ( ACB ′ ))
16


Từ H kẻ HE // A / G , khi đó:

A′G ⊥ ( ABCD )

 ⇒ HE ⊥ ( A′B ′C ′D ′ ) ⇒ HE ⊥ A'C'
( A′B′C ′D′) //( ABCD)
Do A′B ′C ′D ′ là hình thoi nên A′C ′ ⊥ B ′D ′ (2)
Từ (1) (2) ⇒ A′C ′ ⊥ (E B ′D ′ ) ⇒ AC ⊥ (E B ′D ′ ) (3)
Từ H kẻ HK ⊥ B ′E
⇒ HK ⊥ ( ACB′) ⇒ HK = d ( H ; ( ACB′)) )
Từ (3) ⇒ HK ⊥ AC
1
1
1

4
9
11
a 2
⇒ HK =
Ta có :
2 =
2 +
2 =
2 +
2 =
2
HK
B ′H
HE
a
6a
2a
11

(1)

Bài 9. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy A’B’C’ là tam giác vng tại C’,
,

. Biết hình chiếu vng góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng

với H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, góc giữa đường thẳng AA’ và mặt
phẳng (ABC) là
A.

2a 15
5

. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BB’ theo a.
B.

a 10
2

C.

a 10
6

D.

a 15
15

Lời giải: Chọn A.
+) Tam giác ABC vuông tại C nên H là trung điểm của AB.

+) Gọi I là trung điểm của AC
Gọi K là hình chiếu của H lên A’I, khi đó:

+) Góc giữa AA’ và (ABC) là

17

Bài 10. (THPT Chuyên Lam Sơn - lần 2- Năm 2018 – 2019) Cho hình lăng trụ
ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB = a, AC = 2a . Hình chiếu
vng góc của A′ trên mặt phẳng ( ABC ) là điểm I thuộc cạnh BC . Tính khoảng
cách từ A tới mặt phẳng ( A′BC ) .
A.

2
a.
3

B.

3
a.
2

C.

1
3

2 5
a.
5

D. a .

Lời giải: Chọn C.
Xét tam giác ABC có

AB = a, AC = 2a ⇒ BC = a 5 .
Trong mp ( ABC ) kẻ AH ⊥ BC , H ∈ BC .
( ABC ) ⊥ ( A ' BC )

Ta có: ( ABC ) ∩ ( A ' BC ) = BC ⇒ AH ⊥ ( A′BC )
 AH ⊥ BC

⇒ d ( A, ( A′BC ) ) = AH =

AB. AC 2 5
2 5
=
a ⇒ d ( A, ( A′BC ) ) =
a.
BC
5
5

Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vng góc
của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho
đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng

. Góc giữa

. Tính theo a khoảng cách giữa hai

đường thẳng SA và BC.
A.

a 42

4

B.

a 42
8

C.

a 10
6

D.

a 10
3

Lời giải: Chọn B.
Từ A kẻ

⇒

(1)

Gọi N, K lần lượt là hình chiếu của H lên Ax và SN. Ta có: ⇒ d ( H, ( S , Ax ) ) = HK
Gọi D là trung điểm của AB, dễ thấy:

Mặt khác, xét

ta có:

18


Nhận xét:
Qua bài tốn trên ta nhận thấy, nếu khơng chủ động có thể học sinh sẽ thấy lúng
túng trong việc tìm hướng đi cho lời giải vì “mặt phẳng chứa một trong hai đường và song
song với đường kia” là chưa có sẵn vì vậy ta phải “tạo ra” nó. Việc tạo ra mặt phẳng đó
cũng địi hỏi người học phải “khéo léo và tinh tế”, bởi vừa phải thỏa mãn yêu cầu đặt ra
vừa phải thuận lợi cho việc tính tốn, mặt phẳng (S,Ax) ở trên là một ví dụ.
Trong q trình giảng dạy tơi hay nói với học sinh của mình rằng “Tốn học cũng
như cuộc sống, phải luôn vận động và sáng tạo, không bao giờ được bằng lịng với những
gì mình đang có. Những gì chưa có phải tìm cách để tạo ra nó”. Dạy cho học sinh điều đó
chính là dạy cho các em tư duy sáng tạo, đồng thời giúp các em có thêm hứng thú trong
hoc tập.
Bài 12. (Trích đề thi HSG lớp 12 tỉnh Hà Tĩnh) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam
giác vuông cân tại B, AB = a. Gọi I là trung uđiểm
ur của
uuu
r AC. Biết hình chiếu vng góc của S
lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thoả mãn BI = 3IH và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và
(SBC) là 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SI theo a.
Lời giải:
+) Gọi E là trung điểm của BC

. Vậy:

+) Gọi F, P lần lượt là hình chiếu của H lên EI và SF,
ta chứng minh được:
⇒

+) Gọi K là hình chiếu của I lên SB,
J là điểm thuộc SB sao cho
.
Khi đó:

19


⇒ góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng hoặc bù với

Nhận thấy
góc
. Mặt khác
các điều kiện:

Ta suy ra

vng tại I, có IK là đường cao;

cân tại K, từ đó kết hợp

, từ đó suy ra:

Xét hai tam giác đồng dạng HFI và BEI , ta có:

II.2. ỨNG DỤNG THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH.
Việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng khó khăn nhất là xác
định chân đường cao. Khó khăn này có thể được khắc phục nếu ta tính khoảng cách
thơng qua thể tích của khối đa diện, mà khoảng cách đó chính là độ dài đường cao của
khối đa diện. Sau đây ta sẽ xét một số ví dụ minh hoạ, trước mỗi bài toán học sinh tự

đặt câu hỏi:
” Với điều kiện của bài tốn thì việc dựng chân đường vng góc của điểm đã cho
xuống mặt phẳng có thực hiên được khơng? Nếu khó khăn hoặc q phức tạp thì có
thể dùng công thức ngược thông qua tỉ số thể thể tích khơng? Xác định khối chóp cần
tính thể tích.”
II.2.1. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề.
Để giải dạng bài tốn này chúng ta sử dụng cơng thức:
1
3V
V = .B.h ⇒ h =
3
B
II.2.2. Bài tập minh họa.

20


Bài 1. Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều cạnh a 3, SA ⊥ ( ABC ), SA = 2a .
Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
A.

a 5
5

B.

6a
5

C.

3a
2

D.

3a 5
2

Nhận xét:
Để tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) ta cần tính thể tích của khối chóp
A. SBC

21


Lời giải : Chọn B.

1
3 3 2
VSABC = SA.S ∆ABC mà S ∆ABC =
a
3
4
3
⇒ VSABC = a 3
2

VSABC
3

= 1 ⇒ VASBC = a 3
2
VASBC
Gọi M là trung điểm của BC, ta có:
SB = SC = 4a 2 + 3a 2 = 7a 2 ⇒ SM 2 = SB 2 − BM 2 =

Khi đó: d(A,(SBC)) =

25 2
1 5a
5 3 2
a ⇒ S ∆SBC = . .a 3 =
a
4
2 2
4

3VSABC 6a
=
S∆ABC
5

Bài 2. Cho hình chóp SABCD có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB = a 2 .
uu
r
uuu
r
Gọi I là trung điểm BC, hình chiếu vng góc của S lên (ABC) thoả mãn IA = −2 IH .
Góc giữa SC và (ABC ) bằng 600 . Tính khoảng cách từ K đến (SAH), (K là trung điểm
SB).

A.

a 3
2

B.

2a
3

C.

a
2

D.

3a
2

Nhận xét :
- Do K ∈ SB , ta tính được tỉ số thể tích

VSAHK
VSAHB

-Ta tính được thể tích khối chóp SAHB do đó ta tính được thể tích khối chóp SAHK, từ
đó ta tính được khoảng cách từ K đến mặt phẳng (SAH).
22

Lời giải : Chọn C.
Ta có
2

HC 2 = AC + AH 2 − 2. AC . AH .cos 450 ⇒ HC =
SH = HC.tan 600 =

a 5
2

15
a
2

Mà BI ⊥ ( SAH ) nên

VSAHK SK 1
=
=
VSAHB SB 2

Mặt khác:
S∆SAH

VSAHK

1 a 15 3a 3a 2 15
1 3a 2 15 a 3 15
. Khi đó:

= .
. =
⇒ VSAHB = .a.
=
2 2 2
8
3
8
8

1
a 3 15
mà VSAHK = .d ( K ,( SAH )).S ∆SAH
=
3
16

3a 3 15
a
⇒ d ( K ,( SAH )) = 16
=
2
3a 15 2
8

Chú ý: Ta nhận thấy K là trung điểm của SB nên khoảng cách từ K đến (SAH) bằng
một nửa khoảng cách từ B đến (SAH) do đó ta chỉ cần tính khoảng cách từ B đến
(SAH). Điều này ít học sinh nhận thấy được nên khi dạy giáo viên nên hướng dẫn cho
học sinh để các em vận dụng vào những bài tốn khác.
Bài 3. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi ABCD có SO vng góc với đáy và

O là giao điểm của AC và BD. Giả sử SO = 2 2, AC = 4, AB = 5 . Gọi M là trung điểm
của SC . Tính khoảng cách giữa SA và BM .
A.

5 3
2

B.

2
3

C.

3 2
2

D.

2 6
3

Nhận xét :
-Ta xác định được mặt phẳng (α ) chứa SA song song với BM.

23


-Tính khoảng cách giữa SA và BM bằng khoảng cách từ một điểm trên SA dến mặt
phẳng (α ) . Khi đó chuyển về bài tốn tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt

phẳng
Lời giải : Chọn D.
Ta có: OM / / SA ⇒ SA / /(OBM )
⇒ d ( SA, BM ) = d ( SA,( MOB )) = d ( S ,( MOB)) = d (C ,( MOB ))
1
1
8 2
2 2
VSABC = .2 2. .4.2 =
⇒ VSOBC =
3
2
3
3
V
SC
2
Ta có SOBC =
= 2 ⇒ VMOBC =
VMOBC MC
3
1
1
3
S∆MOB = .OM .OB = . 3.1 = .
2
2
2

1

Mà VMOBC = .d (C ,( MOB )).S ∆MOB ⇒ d (C ,( MOB)) =
3

3.

2
3 =2 6
3
3
2

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật, AD = 2a, AB= a, cạnh bên
SA vng góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vng góc của A lên SB và M
là trung điểm của BC. Tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SMD).
A.

a 3
2

B.

2a
3

C.

a
3

D.

3a
2

Lời giải : Chọn C.

24


Ta có

VS . HCD SH
=
.
VS . BCD SB

S

∆SAB vng tại A và AH là đường cao nên:
SH SA2 2a 2
SH 2
=
= 2 =2⇒
= .
2
HB AB
a
SB 3
2
2 1

a 2 a3 2
⇒ VS .HMD = V S .BMD = . a 2. =
.
3
3 3
2
9
1
VS .HMD = d ( H , ( SMD)).S SMD
3

H

A

D

1
1
S ∆SCD = CD.SC = .a 2.2a = a 2 2 .
2
2
1
MD.SM = a 2 2 .
2
3a 3 2 a
= .
Vậy d ( H .( SMD)) = 2
9a 2 3
⇒ S SMD =

B

C

M

Bài 5. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC =
a, AA’ = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường
thẳng AM và B’C.
A.

a 7
7

B.

2a 7
7

C.

a 7
14

Lời giải : Chọn A.

a 7
5

A'

Gọi E là trung điểm của BB’,ta có EM//CB’
Suy ra B’C //(AME) nên
d(B’C;AM) = d(B’C;(AME))= d(C;(AME))
Ta có

D.

C'
B'

a 2

VC . AEM MC 1
=
= .
VC . AEB
CB 2

H

1
1 1 a2 a 2 a3 2
⇒ VC . AEM = VEACB = . . .
=
.
2
2 3 2 2
24

3VC . AEM
Ta có d (C ,( AME )) =
.
S ∆AEM

A

E

a

B

M

a

C

Gọi H là hình chiếu vng góc của B lên AE, ta có BH ⊥ AE ,
Hơn nữa BM ⊥ ( ABE ) ⇒ BM ⊥ AE , nên ta được AE ⊥ HM
a 6
, ∆ABE vuông tại B nên
2
1
1
1
3
a 3
=

+
= 2 ⇒ BH =
2
2
2
BH
AB
EB
a
3

Mà AE =

∆BHM vuông tại B nên MH =

a 2 a 2 a 21
+
=
4
3
6

25