Một số kinh nghiệm về dạy học các bài toán về hàm ẩn cho học sinh trung học phổ thông

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:
MỘT SỐ KINH NGHIỆM VỀ DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN
VỀ HÀM ẨN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG
LĨNH VỰC: TỐN HỌC

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT NGHI LỘC 3



SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:

MỘT SỐ KINH NGHIỆM VỀ DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN
VỀ HÀM ẨN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG

Lĩnh vực
(mơn )

: Tốn
Họ và tên
: Nguyễn Thị Quỳnh Hoa (A)
Phạm Thị Thanh Thủy
Tổ
: Toán - Tin
Năm thực hiện
: 2020 - 2021
Số điện thoại

: 0968 923 238


MỤC LỤC
Trang

Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Phần II. NỘI DUNG
1. Tầm quan trọng và ý nghĩa của việc dạy và học hàm ẩn
2. Thực trạng dạy và học về các bài tốn về hàm ẩn.
3. Cơ sở lí luận
4. Dạy học các bài toán về hàm ẩn
4.1. Các bài tốn hàm ẩn về tính đơn điệu của hàm số
4.2 Các bài toán hàm ẩn về cực trị của hàm số
4.3. Các bài toán hàm ẩn về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
4.4. Các bài toán hàm ẩn về tiệm cận của đồ thị hàm số
4.5. Các bài toán hàm ẩn về bài toán liên quan đến sự biến thiên của hàm số
4.6. Các bài tốn hàm ẩn về tích phân
5. Một số kinh nghiệm về dạy học hàm ẩn
5.1. Các biện pháp dạy học bài toán về hàm ẩn đạt hiệu quả.
5.2 Một số sai lầm thường gặp khi dạy học các bài toán về hàm ẩn
6. Kiểm tra thực nghiệm đề tài
6.1. Phương pháp kiểm tra thực nghiệm
6.2. Kết quả kiểm tra thực nghiệm
7. Giáo án thực nghiệm
Phần III. KẾT LUẬN
1. Kết luận
2. Kiến nghị

TÀI LIỆU THAM KHẢO

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT
Viết tắt
GV
HS
NXB
SGK
THCS
THPT
ĐC
TN

Viết đầy đủ
Giáo viên
Học sinh
Nhà xuất bản
Sách giáo khoa
Trung học cơ sở
Trung học phổ thông
Đối chứng
Thực nghiệm

1
1
2
3
3
3
4

5
5
10
16
22
26
31
39
39
42
43
43
43
44
50
50
50


GTLN, GTNN

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất


Phần I. Đ/ẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình mơn Tốn ở trường THPT, các bài tốn về hàm ẩn đóng
vai trị hết sức quan trọng. Đây là dạng bài tập khá trừu tượng dối với HS. Thường
khi giải toán HS đã quen với việc cho trước một hàm số nào đó sau đó HS xét các
bài tốn liên quan đến hàm số đó. Tuy nhiên các bài tốn về hàm ẩn HS lại chỉ có

được một số tính chất của hàm số mà chưa có hàm số. Để giải được bài tập HS có
thể phải đưa về việc tìm hàm số hoặc sử dụng các định nghĩa và tính chất của hàm
số để giải quyết vấn đề. Học sinh thường gặp khó khăn khi làm các bài tập dạng
này. Thơng thường các bài tốn về hàm ẩn có trong đề thi THPT Quốc Gia thường
là các bài tập ở các mức độ: nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao. Để
HS học tốt và thi THPT đạt điểm cao, GV cần phải định hướng được các dạng bài
tập về hàm ẩn tốt từ đó giúp HS có tư duy tốt để giải quyết các bài tập dạng này.
Dạy các bài toán về hàm ẩn không chỉ cung cấp cho học sinh kiến thức, kỹ năng
giải tốn mà cịn rèn luyện cho học sinh tính linh hoạt, đức tính cẩn thận, chính xác
và tính sáng tạo. Học tốn ln phải gắn liền với sự sáng tạo mà tốn học đã mang
lại vì vậy các HS thường u thích học mơn Tốn nếu người GV tạo được niềm say
mê, hứng thú và có tác động tích cực đến việc học và giải toán. Một trong những
phần mà học sinh thích thú trong tốn học THPT là các bài tốn liên quan đến hàm
ẩn. Thích thú ở đây không chỉ là HS chưa dễ dàng giải quyết ngay được mà mỗi
bài giải cịn có nhiều cách giải khác nhau, ấn tượng ở đây là giải toán rất dễ mang
lại sai lầm. Về bài tập thì việc lựa chọn cách giải nào, phương pháp nào thì nhiều
học sinh cịn mơ hồ và khó diễn đạt theo ý mà mình muốn nói. Trong các bộ mơn
tốn, học sinh thường học chưa hiệu quả về các bài toán về hàm ẩn.
Ngày nay, trong những kỳ thi quốc gia, quốc tế thường khơng vắng bóng các
bài tốn về hàm ẩn. Khi giải các bài toán này, các học sinh thường gặp một số khó
khăn với nguyên nhân: Học sinh chưa hiểu được, chưa linh hoạt sử dụng các định
nghĩa, tính chất, quy tắc nên đã gặp một số sai lầm khi giải tốn. Qua q trình
giảng dạy chúng tơi nhận thấy nhiều học sinh khi gặp bài toán về hàm ẩn cịn lúng
túng, khơng phân loại được các dạng tốn, chưa định hướng được cách giải. Tuy
nhiên các bài tập trong SGK hầu như khơng có các dạng bài tập này, vì thế với
hình thức thi trắc nghiệm đổi mới so với hình thức thi tự luận như trước thì việc bổ
các bài toán về hàm ẩn là hết sức quan trọng đối với HS. Qua nhiều năm giảng dạy
ôn thi THPT Quốc Gia chúng tôi đã đúc rút được một số kinh nghiệm khi dạy các
bài tốn này, nhờ đó mà kết quả dạy học cho học sinh được nâng cao. Vì sự thiết
yếu đó, chúng tơi đã nghiên cứu, hệ thống hóa các kiến thức, tổng hợp các phương

pháp nghiên cứu viết thành đề tài: “Một số kinh nghiệm về dạy học các bài toán
về hàm ẩn cho học sinh trung học phổ thông”. Với mong muốn chia sẻ sáng
kiến kinh nghiệm (SKKN) với đồng nghiệp, góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy
và kết quả học tập của học sinh ở trường THPT.
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
1


+ Đề tài này áp dụng cho học sinh lớp 12
+ Phạm vi nghiên cứu của đề tài là: “Các bài tập liên quan đến hàm ẩn với các
chuyên đề về hàm số và tích phân” Sách giáo khoa Giải tích lớp 12 ban cơ bản.
+ Đề tài áp dụng cho HS ôn thi THPT
* Kiến thức vận dụng: Giải tích Lớp 12.
+ Một số các tính chất về hàm số: Tính đơn điệu của hàm số, cực trị của hàm
số, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
+ Đạo hàm, nguyên hàm và tích phân
* Bài tập: + Trong đề tài sử dụng một số bài tập sách giáo khoa, sách bài tập
Giải tích lớp 12 trích một đề trong kì thi THPT Quốc Gia và đề thi thử THPT của
các trường trong Tỉnh Nghệ An và một số tỉnh khác, một số sách tài liệu tham
khảo.
+ Trên cở sở của phương pháp, trong mỗi ví dụ có nêu nhận xét, cách giảng
dạy của giáo viên, hướng phân tích lời giải, gợi mở hướng mới và bài tập phát
sinh.

2


Phần II. NỘI DUNG
1. Tầm quan trọng và ý nghĩa của việc dạy và học hàm ẩn
Chuyên đề hàm ẩn là chun đề trong chương trình Tốn đặc biệt trong các đề

thi THPT Quốc Gia mà HS gặp nhiều trong các bài tập về hàm ẩn. Chuyên đề này
cung cấp cho học sinh kiến thức, kỹ năng giải toán mà còn rèn luyện cho học sinh
vận dụng kiến thức sáng tạo và góp phần giúp học sinh phát triển được năng lực tư
duy, khả năng quan sát, trí tưởng tượng. Từ đó bồi dưỡng cho học sinh tư duy sáng
tạo, tạo nên phẩm chất của con người lao động mới. Vì đa số HS chỉ mới biết vận
dụng kiến thức đã học khi có hàm số cụ thể nên việc giải bài tập hàm ẩn rất khó
khăn dối với HS. HS thường sẽ thấy khó vì sự trừu tượng hơn của các bài tập dạng
này. Hiện nay với hình thức thi THPT là trắc nghiệm, các bài toán về hàm ẩn được
đưa vào đề thi tương đối nhiều với các bài tập ở các mức độ. Trong đề thi THPT
Quốc Gia thường xuất hiện nhiều câu có liên quan hàm ẩn và ở tất cả các mức độ:
nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao. Việc dạy học cho HS nắm được các
khái niệm cũng như các công thức và áp dụng trực tiếp được các công thức này
không khó khăn. Tuy nhiên khi chưa có hàm số HS thấy khó khăn. khó định hướng
được và bài tập về hàm ẩn các dạng bài rất đa dạng. Đối với các bài tốn này, HS
thường có những cách giải khác nhau cách nào cũng thấy có lý nhưng lại có những
kết quả khác nhau. Như vây các bài toán về hàm ẩn lại dễ mắc sai lầm cho HS khi
giải. Chính vì vậy việc dạy học hàm ẩn GV cần khắc phục được những sai sót
thường gặp cho HS. Yêu cầu của giáo dục hiện nay đòi hỏi đổi mới PPDH mơn
tốn để phát huy tính tích cực , chủ động sáng tạo cho HS, vì vậy GV cần phải gây
được hứng thú cho các em bằng cách thiết kế bài giảng khoa học, hợp lý, phải gắn
liền với thực tiễn và phù hợp với chương trình thi cử hiện nay của các em.
Vì vậy, chuyên đề này nhằm giúp GV giảng dạy để HS có cách tiếp cận tốt
hơn, hiệu quả hơn đối với các bài tập về hàm ẩn. Chuyên đề cung cấp một số kiến
thức cho học sinh từ đó nâng cao kĩ năng giải tốn cho HS đặc biệt là tăng cường
sự vận dụng kiến thức nâng cao tư duy cho HS THPT.
2. Thực trạng của việc dạy và học về các bài toán về hàm ẩn
Trong chương trình GDPT hiện nay, việc thay đổi hình thức thi THPT từ tự
luận sang trắc nghiệm, các bài tập trong SGK không đủ các dạng bài để HS có thể
ơn luyện đầy đủ được, đặc biệt các bài tập về hàm ẩn là một trong các dạng bài tập
mà HS cần được bổ sung. Trong đề thi tự luận thường đề thi ít ra với các bài tốn

về hàm ẩn nhưng với hình thức thi trắc nghiệm rất nhiều bài tập về dạng này mà
HS cần biết đến. Với đối tượng học sinh trung bình và yếu ở Trường THPT nơi
chúng tôi giảng dạy chiếm đa số, việc học các bài tốn về hàm ẩn gặp khó khăn.
Đối với các bài tốn về hàm ẩn HS trung bình, yếu thường khơng muốn học và
làm bài, cịn đối với các HS khá giỏi khi làm các bài tập dạng này vẫn gặp khó
khăn đối với các bài tập vận dụng. Vì thế kết quả học của HS chưa tốt ở phần bài
tập này. Sau các buổi dạy về chuyên đề về hàm ẩn, chúng tôi đã cho HS làm bài về
dạng hàm ẩn và thấy kết quả HS thấp chiếm đa số và đối với kiểm tra trắc nghiệm
rất nhiều HS khoanh mị đáp án. Chúng tơi xin trích kết quả bài kiểm tra kiến thức
3


chun đề về hàm ẩn mơn Giải tích lớp 12 của một số lớp 12 ở Trường THPT nơi
chúng tôi công tác những năm gần đây như sau:
2.1. Năm học 2016 – 2017
STT
1
2

Lớp
12A1
12B1

Sĩ
số
40
40

Đạt điểm
loại giỏi

Đạt điểm
loại khá

Đạt điểm
trung bình

Đạt điểm
loại yếu

Đạt điểm
loại kém

SL
2
1

SL
4
2

SL
12
11

SL
10
10

SL

8
10

%
5
2.5

%
10
5

%
30
27,5

%
25
25

%
20
25

Đạt điểm
TB, Yếu,
Kém
SL
%
4
10

6
15

b. Năm học 2017 - 2018.
STT

Lớp

1
2

12A1
12B3

Đạt điểm Đạt điểm
Sĩ
loại giỏi
loại khá
số
SL % SL
%
41
2 4,8 3
7,3
38
1 2,6 2
5,3

Đạt điểm
trung bình

Đạt điểm
loại yếu

Đạt điểm
loại kém

SL
10
12

SL
8
10

SL
9
4

%
24,4
31,6

%
19,5
24,4

%
22
10,5

Đạt điểm
TB, Yếu,
Kém
SL
%
8 19,5
7 18,4

Tác giả đã lấy ngẫu nhiên kết quả kiểm tra chuyên đề của các lớp 12 trong 02
năm học 2016 - 2017; năm học 2017- 2018. Từ kết quả đó cho thấy: đa số học sinh
có kết quả cịn ở mức trung bình.
3. Cơ sở lý luận
Đối với chương trình tốn THPT, thơng thường các học sinh đều có khả năng
tiếp thu kiến thức. Đối với HS năng lực học khá và giỏi nếu GV khơi dậy được
năng lực thì HS sẽ có thể phát triển tư duy tốt hơn và từ đó có thể làm các bài tốn
mức dộ vận dụng và vận dụng cao đạt hiệu quả. Để học sinh có lực học trung bình
và yếu về mơn tốn lĩnh hội được kiến thức, địi hỏi nhiều cơng sức và thời gian
hơn so với các học sinh khác. Đối với các HS khá và giỏi thường HS thích thú khi
làm các bài tập về hàm ẩn nhưng chưa có định hướng phù hợp nên vẫn gặp khó
khăn, cịn các HS trung bình và yếu thường khơng muốn làm các bài tập về hàm ẩn
vì thấy các bài tập này trừu tượng hơn các bài tập đã có hàm số cụ thể . Vì vậy
người GV cần lựa chọn bài tập phù hợp để HS giải phù hợp với năng lực học tập
của HS. Để có biện pháp phù hợp giúp đỡ học sinh trung bình và yếu và các HS
khá, giỏi giải toán, giáo viên thường phân loại đối tượng học sinh khá , giỏi, trung
bình, yếu dựa vào các nguyên nhân giải toán của học sinh. Từ đó có biện pháp phù
hợp để dạy HS.
- Đối với các học sinh hổng kiến thức cơ bản, nên việc tiếp thu kiến thức mới
gặp nhiều khó khăn. GV cần lập kế hoạch trong thời gian lâu dài, bằng nhiều
phương pháp nhằm lấp dần lỗ hổng kiến thức. Giáo viên tìm ra các kiến thức cũ có

liên quan và tái hiện lại kiến thức cũ và hướng dẫn học sinh sử dụng kiến thức mới
một cách linh hoạt.
- Đối với học sinh khơng tích cực trong học tốn, giáo viên cần phát hiện
năng lực của mỗi em, tạo điều kiện để cho các em có cơ hội để phát huy năng lực
của mình. Đối với các HS này, GV cần tạo cho HS niềm say mê học Toán. Giáo
4


viên nên động viên kịp thời, phù hợp để các em tự tin trong học tập mơn tốn bằng
cách ra các bài tập vừa sức, khen ngợi khi các em biết hướng giải, giải đúng, cố
gắng làm bài. Đối với các HS này giáo viên cũng cần nghiêm khắc và có sự kết
hợp với gia đình để có sự quan tâm của phụ huynh trong việc học tập của học sinh
hơn.
- Với các HS tiếp thu bài nhanh nhưng kỹ năng làm bài chưa tốt, GV cần định
hướng cách giải rồi để HS tìm ra hướng giải quyết và lời giải. GV phân các dạng
phù hợp để HS có thể làm các bài tập từ dễ đến khó. Đa số HS kỹ năng làm bài
chưa tốt nên GV cần phải có định hướng cụ thể về các dạng bài tập về hàm ẩn. Đặc
biệt đối với bài tập trắc nghiệm, GV cần hướng dẫn HS cách giải phù hợp nhanh và
chính xác khơng để nhầm lẫn các phương án, có nhứng bài giải có thể giải bằng
cách chọn hàm đặc biệt. Đề xuất quy trình để giải tốn để HS có thể hiểu rõ và rèn
luyện kĩ năng giải tốn tốt. Đối với các HS khá giỏi, GV cần tạo các tình huống có
vấn đề để tạo cho HS phát triển tư duy giúp HS làm được các bài tập vận dụng, từ
đó hướng đến khả năng vận dụng. GV hướng dẫn HS khá giỏi tổng quát các kết
quả bài toán.
4. Dạy học các bài toán về hàm ẩn
Trong mục này SKKN đã hệ thống cách dạy học các bài tốn hàm ẩn về: Tính
đơn điệu của hàm số, cực trị của hàm số, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số, bài toán liên quan đến sự biến thiên của hàm số, các bài toán về tích phân.
Chúng tơi hệ thống kiến thức và đưa các bài tập theo các mức dộ: nhận biết, thông
hiểu, vận dụng, vận dụng cao. Mỗi bài tập đều có phân tích và hướng dẫn cho HS

cách giải các bài tập và bài tập phát sinh, một số các kết quả được tổng quát, dấu
hiệu khi giải toán trắc nghiệm. Một số bài tốn có hướng giải hình thức trắc
nghiệm như chọn hàm đặc biệt.
4.1. Các bài toán hàm ẩn về tính đơn điệu của hàm số
4.1.1. Các kiến thức cơ bản
a. Định nghĩa : Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên K
* Hàm số y = f ( x) đồng biến trên K nếu x1 , x2 �K : x1  x2 � f ( x1 )  f ( x2 )
* Hàm số y = f ( x) nghịch biến trên K nếu x1 , x2 �K : x1  x2 � f ( x1 )  f ( x2 )
Chú ý : K là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng
b. Định lý : Cho hàm số y = f ( x) đạo hàm trên K
a) Nếu f '( x)  0, x �K thì hàm số f ( x ) đồng biến trên K
b) Nếu f '( x)  0, x �K thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên K
c. Định lý mở rộng : Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên K
+ Nếu f '( x) �0, x �K và f '( x)  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số
đồng biến trên K
5


+ Nếu f '( x) �0, x �K và f '( x)  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số
nghịch biến trên K
+ Nếu f '( x)  0, x �K thì f ( x ) không đổi trên K
4.1.2. Các dạng bài tập
Bài 1. Cho hàm số y  f  x  xác định trên

� và

có đồ thị là đường cong trong

hình bên. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.Hàm số f  x  đồng biến trên khoảng mỗi

khoảng ( -

�;0) ; ( 2; +�) .

B. Hàm số f  x  nghịch biến trên khoảng  0; 2  .
C. Hàm số f  x  đồng biến trên khoảng mỗi
khoảng ( -

1;1) ; ( 3; +�) .

D. Hàm số f  x  nghịch biến trên khoảng  1; 2  .
Nhận xét: Để giải bài tập này, GV cho HS nhắc lại mối quan hệ giữa tính
đơn điệu và đồ thị của hàm số. “Nếu đồ thị hàm số trên khoảng (a;b) là một đường
đi lên từ trái sang phải thì hàm số đó đồng biến trên khoảng (a;b). Nếu đồ thị hàm
số trên khoảng (a;b) là một đường đi xuống từ trái sang phải thì hàm số đó nghịch
biến trên khoảng (a;b)” Bài tập này, GV gọi HS yếu và trung bình lên giải rồi chốt
lại kiến thức cho HS.
Lời giải: Từ đồ thị hàm số ta có: Hàm số f  x  đồng biến trên khoảng mỗi khoảng
( - �;0) ;( 2; +�) . vì trên khoảng này khi x tăng thì y tăng và hàm số f  x  nghịch biến

trên khoảng  0; 2  . do trên khoảng này khi x tăng thì y giảm. Như vậy các mệnh đề
A, B, D đúng. Ta có nhận xét: Mệnh đề C sai vì trên khoảng (-1;0) hàm số đồng
biến do đồ thị đi lên từ trái sang phải, trên khoảng (0;1) hàm số nghịch biến vì đồ
thị đi xuống từ trái sang phải trên khoảng này nên mệnh đề C là sai. Chọn C.
Bài 2. (Đề minh họa THPT năm 2020)
Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trong khoảng nào dưới đây?
A.  1; � .

 1;0  .

B.
C.

6


 1;1 .
D.  0;1 .
Lời giải: Hàm số đã cho đồng biến khi và chỉ khi f '  x  không âm. Từ bảng
biến thiên ta thấy: f '  x  có dấu dương trên mỗi khoảng  �; 1 và  0;1 . Vì vậy,
trên khoảng (0;1) hàm số đồng biến nên ta chọn phương án D.
Nhận xét : Ở bài tập 2, HS sẽ dễ dàng làm được sau khi đã làm được bài tập
sau khi hiểu về kiến thức về tính đơn điệu của hàm số. GV cho gia tăng các bài tập
tương tự để HS yếu và trung bình luyện tập trong phần bài tập tự luyện và bài tập
về nhà. Bài tập này mức độ thơng hiểu, GV gọi HS trung bình giải rồi chốt lại kiến
thức.
Bài 3. Cho hàm số y  f  x  xác định trên

� và

có đồ thị hàm số y  f '  x  là

đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số f  x  nghịch biến trên khoảng  1;1 .
B. Hàm số f  x  đồng biến trên khoảng  1; 2  .
C. Hàm số f  x  đồng biến trên khoảng  2;1 .
D. Hàm số f  x  nghịch biến trên khoảng  0; 2  .

Lời giải: Chọn D. Cách 1: Sử dụng bảng biến thiên. Từ đồ thị của hàm số
ta có bảng biến thiên như sau:

y  f ' x

Từ bảng biến thiên hàm số f  x  nghịch biến trên khoảng  0; 2  .
Cách 2: Quan sát đồ thị hàm số y  f '  x 
Nếu trong khoảng

K

đồ thị hàm số f '  x  nằm trên trục hồnh (có thể tiếp

xúc) thì hàm số f  x  đồng biến trên

K.

7


Nếu trong khoảng

K

đồ thị hàm số f '  x  nằm dưới trục hồnh (có thể tiếp

xúc) thì hàm số f  x  nghịch biến trên
Nếu trong khoảng

K

K.

đồ thị hàm số f '  x  vừa có phần nằm dưới trục hồnh

vừa có phần nằm trên trục hồnh thì loại phương án đó.
Trên khoảng  0; 2  ta thấy đồ thị hàm số y  f '  x  nằm bên dưới trục hoành,
nên hàm số f  x  nghịch biến trên khoảng  0; 2  .
Nhận xét: Ở bài tập này, GV nhấn mạnh mối liên quan giũa dấu đạo hàm với
đồ thị của đạo hàm. Bài tập này ở mức độ thông hiểu. Ở bài tập này GV sẽ hỏi HS
trung bình trả lời để hướng dẫn điều chỉnh kết quả. Sau đó chốt phương án cho tất
cả HS hiểu. Bài tập này mức độ thông hiểu, GV gọi HS trung bình giải rồi chốt lại
kiến thức.
Bài 4. ( Trích đề THPT minh họa năm 2018 Câu 39). Cho hàm số y  f ( x) .
( x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hàm số y  f (2  x) đồng biến
Hàm số y  f �
trên khoảng
B. (2; �) .

A. (1;3) .

C. (2;1) .

D. (�; 2) .

Lời giải: Cách 1: Hàm số y  f (2  x) đồng biến
���
۳�y
0 �
f�

(2 x)

0

f�
(2 x)

0 . Từ

đồ thị

f�
(2  x)  0 � 2  x  1 hoặc 1  2  x  4 � x  3 hoặc 2  x  1 . Vì vậy ta chọn

phương án D.
Cách 2: GV có thể yêu cầu HS lập bảng biến thiên để giải toán.
Nhận xét: Đây là câu mức độ vận dụng nhưng khi đã hiểu cách giải HS sẽ
khơng cịn thấy khó khăn khi chọn đáp án kể cả HS mức độ trung bình.
Nhận thấy các nghiệm của g�( x) là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.
Như vậy, dấu của g�( x) còn có thể được xác định bằng cách: Trên mỗi khoảng
lấy một giá trị rồi thay trực tiếp vào. Đây cũng là cách xác định dấu của đạo hàm
mà HS cần linh hoạt sử dụng. Sau khi làm bài tập 4 về hàm số hợp, khi đã hiểu HS
khá sẽ dễ dàng làm được dạng bài tập xét tính đơn điệu của hàm số hợp.
Bài 5.( Trích đề minh họa THPT năm 2020, câu 50)
Cho hàm số f  x  . Đồ thị y  f '  x  cho như hình bên.

8


Hàm số g  x   f  1  2 x   x 2  x nghịch biến trong

khoảng nào dưới đây?
A. � 3 �.
1;

B. � 1 �.
0;

� �
� 2�

� �
� 2�

C.

 2;1

.

D.  2;3 .
Lời giải: Cách 1: Đặt 1  2 x  t ta có g '  x   2 f '  t   t ;
Hàm số

g  x

nghịch biến khi và chỉ khi: g '  x  �۳
0  f ' t 

1 .
t

2

Vẽ đường thẳng d: y   1 t và đồ thị
trên cùng một hệ trục.
f ' t 
2
d đi qua các điểm (-2; 1) và (4; -2) . Từ đồ thị ta có: f '  t    1 t trên (-2; 0)
2

3 � �1 3 �Vì vậy hàm số g(x) nghịch
hay ta có: 2  1  2 x  0 � x ��1 ; 3 �, mà �
1; ��� ; �
� �
�
�2 2 �
� 2 � �2 2 �
biến trên � 3 �. Chọn A. GV có thể hướng dẫn HS giải cách khác

1; �
�
�2�

Cách 2: Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi g '  x  �۳
0  f ' t 

1 . Ta có:
t
2

1

3
�
 x
�
2  t  0
2  1  2 x  0
�
�
1
2
2
g '  x   0 � 2 f '  t   t  0 � f '  t    t � �
��
��
t

4
1

2
x

4

3
2
�
�
�x 
�

2
Vì thế hàm số g(x) nghịch biến trên � 3 �. Nên chọn phương án A.
1; �
�
�2�

Cách 3: Lập bảng biến thiên.
Nhận xét: Ở bài tập này HS dễ mắc sai lầm nhiều HS chọn phương án C vì
khơng giải ra tìm kết quả x mà chỉ xét đến t=1-2x. Ở bài tập này HS được luyện tập
lại bài toán đơn điệu của hàm số hợp. Qua đây giúp HS rèn luyện kĩ năng giải toán
và phát triển tư duy. Để xét dấu đạo hàm GV có thể hướng dẫn HS lấy giá trị cụ thể
xét trên từng khoảng. Bài tập này ở mức độ vận dụng cao nên GV sẽ gọi HS khá
giỏi lên rồi chốt kiến thức cho các HS.
Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho hàm số y  f ( x) . có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

9


Mệnh đề nào sau đây sai? A. (1;3) .

B..

C. (2;1) .

D. (�; 2) .
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (2; �)
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (�;1)
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (3; �)
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0;3)

Bài 2. Cho hàm số f  x  xác định trên R và có đồ
thị y  f '  x  cho như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (�; 2)(0; �)
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (2;0)
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (3; �)
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (�; 0)
Bài 3. Cho hàm số y  f  x  . Hàm số

y  f '( x )

có đồ thị như hình bên. Hàm số y  g  x   f (2  x)
đồng biến trên khoảng
A.  1;3

B.  2; �
\

C.  2;1

D.  �; 2 

( x) có đồ thị
Bài 4. Cho hàm số y  f ( x) xác định trên tập R và hàm số y  f �
như hình vẽ dưới đây. Hàm số y  f (3  2 x) nghich biến trên khoảng

B. (�; 1) .

A. (0; 2) .

C. (1;3) .

D. (1; �)

Bài 5. Trích đề THPT năm 2018, mã đề 103.
10


Cho hai hàm số y  f  x  , y  g  x  . Hai hàm số y  f �
 x  và y  g �
 x  có đồ
thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số y  g �
 x .

Hàm số h  x   f  x  4   g �2 x  3 �đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
�
�
�

2�

A. �5; 31 �.
�
�
� 5 �

B. �9 ; 3 �.
� �
�4 �

C. �31 ;  ��.

�
�
�5

�

D. �6; 25 �.
�
�
� 4 �

4.2. Các bài toán hàm ẩn về cực trị của hàm số
4.2.1. Các kiến thức cơ bản
a. Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a ; b), x0 ( a; b). nếu
h > 0 sao cho:
+) x ( x0 - h ; x0 + h) và x ≠ x0 mà ta có f(x) > f(x0) ,ta nói rằng f(x) đạt
cực đại tại x0
+) x ( x0 - h ; x0 + h) và x ≠ x0 mà ta có f(x) < f(x0) ,ta nói rằng f(x) đạt
cực tiểu tại x0
Các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số gọi chung là các điểm cực trị
b. Các định lý :
* Định lý 1: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K= ( x0 - h ; x0 + h) và
có đạo hàm trên K hoặc trên K trừ điểm x0
+ Nếu f’(x) < 0 khi x < x0 và f’(x) > 0 khi x > x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0
+ Nếu f’(x) < 0 khi x > x0 và f’(x) > 0 khi x < x0 thì hàm số đạt cực đại tại x0
Chú ý: Nếu f’(x) không đổi dấu khi x đi qua x0 thì hàm số khơng đạt cực trị
tại x0
* Định lý 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm bậc 2 trong khoảng
K= ( x0 - h ; x0 + h) và f’(x0 ) = 0

+ Nếu f”(x0) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x0
+ Nếu f”(x0) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0
4.2.2. Các dạng bài tập
Bài 1. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình bên. Tìm số cực trị của hàm
số y  f  x 
11


A. 3 .
B. 4 .
C. 2 .
D. 1
Lời giải: Từ đồ thị hàm số, theo định nghĩa cực trị hàm số có 3 điểm cực trị
nên đáp án đúng là A.
Nhận xét: Sau khi HS học định nghĩa về cực trị, HS trung bình có thể giải
được bài tập này dựa vào mối liên hệ giữa đồ thị của hàm số và cực trị của hàm số.
Ở bài này với mức độ nhận biết HS sau khi hiểu bài dễ dàng làm được. Sau khi
làm bài tập này, GV có thể hỏi thêm: Hàm số có bao nhiêu điểm cực đại, điểm cực
tiểu? Qua đó HS nắm được cách tìm điểm cực đại, cực tiểu bằng đồ thị. GV gọi HS
yếu và trung bình lên làm bài.
Bài 2. (Trích đề minh họa THPT 2020 Câu 8) Cho hàm số

có bảng biến

thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
B. 3 .

A. 2 .

D. 4 .

C. 0 .

Lời giải: Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x=3 và giá trị cực
tiểu là: f (3)= -4. Chọn D.
Nhận xét: Ở bài tập này dù mức độ nhận biết nhưng HS vẫn có thể bị nhầm
lẫn và chọn phương án B nên GV cần nhắc HS giá trị cực tiểu là giá trị của hàm số
tại điểm cực tiểu, còn điểm cực tiểu của hàm số là x cực tiểu. Đây là hai khái niệm
mà HS hay nhầm lẫn. Bài tập này mức độ nhận biết, GV gọi HS yếu và trung bình
giải bài.
Bài 3. Cho hàm số y  f  x  . Hàm số

y  f '( x)

có đồ thị như hình bên.
12


Tìm số điểm cực trị của hàm số y  f  x  .

A. 2.
B.3.
C.4.
D.5.
Lời giải: Ta thấy đồ thị hàm số y  f '( x) có 4 điểm chung với trục hồnh tại
các điểm có hồnh độ là: x1; 0; x2; x3 .Ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số y  f  x  . có 2 điểm cực trị . Chọn phương án A.
Nhận xét: Sau khi HS học định lý về cực trị, GV nhấn mạnh điều kiện để

hàm số đạt cực trị tại điểm x0 là x0 thuộc tập xác định của hàm số và đạo hàm qua
điểm này phải đổi dấu. Như vậy qua bảng xét dấu của đạo hàm ta thấy hàm số có 2
điểm cực trị. HS trung bình có thể giải được bài tập này dựa vào mối liên hệ giữa
dấu của đạo hàm của hàm số và cực trị của hàm số. Ở bài này với mức độ nhận biết
Sai lầm phổ biến của HS khi giải bài này: HS chọn phương án C vì thấy đạo hàm
bằng 0 tại 4 điểm. GV cần hướng dẫn HS nắm chắc định lý điều kiện đủ để hàm số
có trị. Bài tập này mức độ thông hiểu, GV gọi HS trung bình giải bài.
Bài 4. Cho hàm số: y  f  x  có đồ thị như hình vẽ

Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) là

13


A.
3
B. 4 .
C. 2 .
Lời giải: Từ đồ thị hàm số đã cho, vẽ đồ thị hàm số: y = f ( x )

D. 7 .

Từ đồ thị và theo định nghĩa cực trị của hàm số, ta có: hàm số y = f ( x ) có 3
điểm cực trị. Chọn A
Nhận xét: Ở bài tập này, GV hướng dẫn HS vẽ đồ thị hàm số chứa giá trị
tuyệt đối, sau đó từ đồ thị xác định số điểm cực trị của hàm số. Đây là bài tập về số
cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối đơn giản. Tuy nhiên HS khá và trung
bình nếu chưa được hướng dẫn sẽ gặp khó khăn. GV có thể hướng dẫn HS tổng
quát cách tìm số điểm cực cực trị của hàm số y = f ( x )
Tổng quát: Số điểm cực cực trị của hàm số y = f ( x ) bằng 2m+1 với m là số

điểm cực trị dương của hàm số f(x).
Nhận xét: Như vậy trong bài 4, số điểm cực trị dương của hàm số f(x) bằng 1
nên số điểm cực cực trị của hàm số y = f ( x ) bằng 2.1+1=3.
Bài 5. Cho hàm số bậc bốn có bảng biến thiên như hình vẽ:

Số điểm cực trị của hàm số g  x   f ( x)  1 là: A. 10 .
C. 8 .

B. 9 .

D.7

Lời giải: Về cách giải, GV có thể hướng dẫn HS cách vẽ đồ thị hàm số
g  x   f ( x )  1 từ đó xác định số điểm cực trị của hàm số g(x). Đáp án D.

Chú ý: GV có thể hướng dẫn HS cách giải nhanh:Hàm số y  f  x  đã cho có
3 điểm cực trị nên hàm số y  f ( x)  1 cũng có 3 điểm cực trị. Từ bảng biến thiên

14


của hàm số suy ra phương trình f  x   1  0 � f  x   1 có 4 nghiệm đơn phân
biệt. Suy ra số điểm cực trị hàm số g  x   f ( x )  1 là 3  4  7 .
Nhận xét: GV bổ sung kiến thức sau cho HS ghi nhớ khi giải nhanh các bài
tập trắc nghiệm sau khi giải bài 5, GV có thể hướng dẫn cho HS tổng quát về số
điểm cực trị của đồ thị của hàm số y = f ( x)
Bài 6. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f �
 x  như hình vẽ.

Biết f  a   0 . Hỏi đồ thị hàm số y  f  x   2021m có tối đa bao nhiêu điểm

cực trị? A. 3 .

B. 4 .
C.5
D.

7

Lời giải: Từ đồ thị của hàm số ta có bảng biến thiên:

x

�


f�
 x
f  x

a
0





0

�

c

b
0



�

�
f  a

f  b
f  c

Hàm số y  f  x  có 3 điểm cực trị. Để đồ thị hàm số y  f  x   2021m có số
điểm cực trị lớn nhất thì y  f  x  cắt trục hoành tại số điểm là nhiều nhất
� f  c  0

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y  f  x  cắt
điểm nên hàm số y  f  x   2021m có tối đa

5

Ox tại

nhiều nhất

2

số điểm cực trị � Chọn C.

Nhận xét: Đây là bài tập về số điểm cực trị của hàm số có tham số và chứa
dấu giá trị tuyệt đối. Đối với bài tập trắc nghiệm, GV có thể hướng dẫn HS đưa ra
nhận xét.
15


Tổng quát: Số điểm cực trị của đồ thị của hàm số y = f ( x) là m+n với m là
số điểm cực trị của hàm số f ( x) còn n là số giao điểm của đồ thị hàm số f ( x)
không trùng với điểm cực trị của đồ thị hàm số đó.
Chú ý: 1) Số điểm cực trị của hàm số y=f(x) bằng số điểm cực trị của hàm số
y=f(x+m), bằng số điểm cực trị của hàm số f(x-m) với m là tham số
2) Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) bằng số điểm cực trị của hàm số
y = f ( x + m ) ; y = f ( x - m ) với m là tham số

Bài tập tự luyện
Bài 1. Trích đề minh họa THPT năm 2018
Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đạt cực đại tại điểm: A. x  1 .
x  5.

B. x  0 .
D. x  2 .

C.

Bài 2. Cho hàm số y = f ( x) . Đồ thị hàm số
y= f �

( x) như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm
số g( x) = f ( x - 3) .
2

A.
C.

2.

B.

4.

3.

D.

5.

Bài 3. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm y  f �
 x  liên tục trên � và có đồ thị
như hình dưới.

Có bao nhiêu số nguyên m � 2019; 2019 để hàm số y  f  x  1  m  có nhiều
điểm cực trị nhất? A. 2024 .
C. 2017

2025 .
B.
D. 2016 .

16


Bài 4. Cho hàm số

xác định trên R và hàm số

như hình bên dưới. Đặt
để hàm số

A.

có đồ thị

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

có 5 điểm cực trị?

B.
- 2 < m< 2.

C.

D.
m�2.

m> 2.

�

m�- 2
�
.
�
m�2
�

Bài 5. Cho y  f ( x) là hàm bậc 3 có đồ thị như hình vẽ ở bên. Tìm tập hợp các
giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  f  x   m có 7 điểm cực trị.

A.

0 m2.

.
D.
Bài 6. Cho hàm số bậc bốn

Tìm tất cả các giá trị của
A.

m

y = f ( x)

- 2 < m< 2.

f (x) - m

C.

m> 2.

4  m  0
m  0.

có đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới

để hàm số g( x) =

B.

2  m  0 .

B.
C.

có

5

điểm cực trị.
D.

m�2.

�
m�- 2
�
.
�

m�2
�

4.3. Các bài toán hàm ẩn về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
4.3.1. Các kiến thức cơ bản
a.Định nghĩa: Cho hàm số
xác định trên
1.Nếu tồn tại một điểm
sao cho
được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên D,
ký hiệu

thì số

17


2. Nếu tồn tại một điểm
sao cho
được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên D,
ký hiệu

thì số

;

b. Phương pháp tìm GTLN,GTNN của hàm số :
Cho hàm số
xác định trên
Bài tốn 1.Nếu

thì ta tìm GTLN,GTNN của hàm số như sau:
1.Tìm tập xác định của hàm số ,giới hạn hai biên
2.Tính
và giải phương trình
tìm nghiệm thuộc tập xác định
3.Lập bảng biến thiên
4 Dựa vào BBT.kết luận
Bài toán 2. Nếu
thì ta tìm GTLN,GTNN của hàm số như sau:
1.Tìm tập xác định của hàm số
2.Tính
và giải phương trình

Tìm nghiệm

thuộc tập xác

định
3.Tính
4.Kết luận
∙ Đặc biệt:
Nếu f(x) đồng biến trên đoạn [a;b] thì
Nếu f(x) nghịch biến trên đoạn [a;b] thì
4.3.2. Bài tập
Bài 1. (Trích đề minh họa bộ giáo dục năm 2018-2019) . Cho hàm số y  f  x  liên
tục trên đoạn  1;3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi

và m lần lượt là giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn  1;3 . Giá trị của M  m bằng
M

18