Rèn luyện kỹ năng giải toán và phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh miền núi qua việc luyện tập cho học sinh một số bài toán thể tích khối đa diện

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT TƯƠNG DƯƠNG 2


ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Tên đề tài:
“RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
SÁNG TẠO CHO HỌC SINH MIỀN NÚI QUA VIỆC LUYỆN TẬP CHO HỌC
SINH MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN”

MƠN: TỐN

Nhóm tác giả: 1) Nguyễn Đình Tứ
2) Trần Đình Mạnh
Tổ bộ mơn: Tốn – Lý – Tin – CN

0


NĂM HỌC: 2020 - 2021

MỤC LỤC
TT
1

Nội dung
A. ĐẶT VẤN ĐỀ

Trang
2

B. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
2

I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.
II. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI

4

4

1. Tính trực tiếp thể tích khối đa diện và bài
tốn liên quan.

10

5

2. Tính thể tích bằng phương pháp gián tiếp

22

6

3. Vận dụng bài tốn thể tích để giải các bài
tốn khác

26

7

4. Thực nghiệm sư phạm

30

7

C. KẾT LUẬN

34

8

Tài liệu tham khảo

35

3

9

1


A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài
- Nghị Quyết số 29-NQ/TW của Trung ương Đảng ban hành ngày
4/11/2013 về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo có nêu rõ nhiệm vụ,
giải pháp: ‘‘Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện
đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng

của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập
trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự
cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực. Chuyển từ học chủ
yếu trên lớp sang tổ chức hình thức học tập đa dạng…”.
- Luật giáo dục sửa đổi năm 2019, tại Điều 29. Yêu cầu về phương pháp
giáo dục Phổ thơng có ghi: “ Phương pháp giáo dục phổ thơng phát huy tính tích
cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc trưng từng môn
học, lớp học và đặc điểm đối tượng học sinh; bồi dưỡng phương pháp tự học,
hứng thú học tập, kỹ năng hợp tác, khả năng tư duy độc lập; phát triển toàn diện
phẩm chất và năng lực của người học; tăng cường ứng dụng công nghệ thông tin
và truyền thơng vào q trình giáo dục”.
- Đất nước chúng ta đang trên đà đổi mới và phát triển đòi hỏi cấp bách phải
nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo. Trong cơng cuộc đổi mới đó Tốn học
là môn khoa học cơ bản và chiếm một vị trí rất quan trọng giúp các em học sinh
phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo. Để làm được điều đó mỗi Giáo viên
cần “ Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để
người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực sáng
tạo…”.
- Trong chương trình mơn Hình học 12, thể tích khối đa diện là một trong
những chủ đề trọng tâm, đa dạng, có tính ứng dụng thực tiễn khá cao. Các bài
toán liên quan đến chủ đề này có thường tính trừu tượng. Vì vậy, nó gây khơng
ít khó khăn cho các em học sinh đặc biệt là các học sinh miền núi nơi có tỷ lệ
đầu vào thấp; các bài tốn chủ đề này xuất hiện nhiều trong các kỳ thi chọn học
sinh giỏi tỉnh lớp 12 và kỳ thi THPT quốc gia ở nhiều cấp độ khác nhau. Thực tế
dạy học cho thấy nhiều giáo viên khi dạy học còn nặng về khâu truyền thụ kiến
thức, các kiến thức đưa ra hầu như là sẵn có, ít yếu tố tìm tịi phát hiện, chưa chú
trọng nhiều về việc dạy học sinh cách học, do đó chưa phát triển được tư duy
sáng tạo cho học sinh. Thơng thường thì các em học sinh mới chỉ giải quyết trực
tiếp các bài tập toán mà chưa khai thác được tiềm năng của bài tốn đó. Học
sinh chỉ có khả năng giải quyết vấn đề một cách rời rạc mà ít có khả năng xâu

chuỗi chúng lại với nhau thành một hệ thống kiến thức lớn. Chính vì vậy việc
rèn luyện kỹ năng giải bài tập kết hợp bồi dưỡng, phát triển tư duy tương tự hóa,
khái quát hóa,… là rất cần thiết đối với học sinh phổ thông. Việc làm này giúp
2


các em tích lũy được nhiều kiến thức phong phú, khả năng nhìn nhận, phát hiện
vấn đề nhanh và giải quyết vấn đề có tính lơgic và hệ thống cao. Để học tốt chủ
đề này người học ngoài việc nắm vững hệ thống kiến thức cơ bản thì cần có
thêm nhiều kỹ năng giải, có khả năng tưởng tượng, có tư duy độc lập và tư duy
sáng tạo. Với đối tượng học sinh miền núi, nếu trong quá trình dạy học người
dạy biết cách tạo cho học sinh có niềm tin để chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kỹ
năng, khai thác và sáng tạo ra các bài toán về thể tích khối đa diện từ những kiến
thức cơ bản, bài tập đơn giản thì khơng những giúp các em học tập có hiệu quả
mà cịn tạo hứng thú học tập cho các em học sinh, và cịn góp phần quan trọng
trong việc rèn luyện và bồi dưỡng năng lực tư duy sáng tạo cho người học.
Từ thực trạng và những lý do nêu trên, với sự chỉ đạo trực tiếp của thầy hiệu
trưởng nhà trường, chun mơn tốn chúng tơi quyết định chọn đề tài nghiên
cứu (SKKN) là: “Rèn luyện kỹ năng giải toán và Phát triển năng lực sáng
tạo cho học sinh miền núi qua việc luyện tập cho học sinh một số bài tốn
thể tích khối đa diện”
2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu, phân tích, đánh giá tình hình thực tế trong giảng dạy bộ mơn
tốn ở trường THPT Tương Dương 2. Trên cở sở những ưu khuyết điểm đề ra
giải pháp thực hiện. Đồng thời rút ra bài học kinh nghiệm từ thực tế.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Tìm hiểu phương pháp dạy của giáo viên, cách học của học sinh ở các lớp
đại trà , lớp ôn thi TN THPT QG và ôn thi học sinh giỏi mơn tốn tại trường
THPT Tương Dương 2.
4. Mục tiêu đề tài:

Đối với giáo viên:
+Phục vụ giảng dạy.
Đối với học sinh:
+ Ôn tập cho học sinh thi TN THPT QG.
+ Ơn thi học sinh giỏi mơn Tốn.
+ Biết cách nhìn nhận phân tích các vấn đề trong tốn cũng như
trong cuộc sống ở nhiều khía cạnh khác nhau một cách năng động và sáng tạo
hơn.
5. Nội dung nghiên cứu của đề tài
Ngoài phần đặt vấn đề và kết luận đề tài gồm các phần chính như sau
I. Cơ sở lý luận và thực tiễn.
II. Nội dung của đề tài.
3


1. Bài tốn tính trực tiếp thể tích khối đa diện
2. Bài tốn tính gián tiếp thể tích khối đa diện
3. Vận dụng thể tích để giải các bài tốn khác
4. Thực nghiệm sư phạm
6. Các phương pháp nghiên cứu chính
+ Điều tra tìm hiểu việc dạy và học ở các lớp ôn thi TN THPT QG.
+ Dự giờ rút kinh nghiệm giảng dạy.
+ Tham khảo các bài viết, các ý kiến trao đổi về việc dạy và học toán
trong các cuộc thảo luận về đổi mới phương pháp giảng dạy, trong các tài liệu và
sách tham khảo về bộ mơn tốn.
7. Tổng quan về đề tài và tính mới của đề tài
7.1. Tổng quan về đề tài
Từ một số bài toán đơn giản xây dựng được các bài toán mới, bài tốn thực
tiễn nhằm giúp học sinh khơng những ơn tập tốt phần thể tích khối đa diện mà
cịn biết vận dụng vào các bài toán thực tế trong cuộc sống.

7.2. Tính mới của đề tài
Đề tài đã tạo cho đối tượng học sinh yếu, trung bình và khá non có niềm tin
để chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kỹ năng, khai thác và sáng tạo ra các bài tốn
về thể tích khối đa diện từ những kiến thức cơ bản, bài tập đơn giản. Ngồi ra đề
tài cịn góp phần bồi dưỡng cho đối tượng học sinh khá giỏi cách tư duy độc lập,
phát triển năng lực sáng tạo từ đó góp phần nâng cao chất lương dạy học mơn
Tốn và rút ngắn khoảng cách giữa miền núi với miền đồng bằng.
B. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
I.1. Cơ sở lý luận
I.1.1. Khái niệm kỹ năng
Kỹ năng là khả năng thực hiện một hành động với kết quả được xác định
thường trong một khoảng thời gian cùng năng lượng nhất định hoặc cả hai.
I.1.2. Kỹ năng giải toán

4


Kỹ năng giải tốn là khả năng vận dụng có mục đích những tri thức và kinh
nghiệm đã có vào giải những bài tốn cụ thể, thực hiện có kết quả một hệ thống
hành động giải toán để đi đến lời giải của bài toán một cách khoa học.
Khi dạy học để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh cần:
- Giúp học sinh biết cách tìm tịi để tìm ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và
mỗi quan hệ giữa chúng;
- Giúp học sinh hình thành một mơ hình khái qt để giải quyết bài tập, các
đối tượng cùng loại;
- Xác lập được mối liên hệ giữa bài tập mơ hình với khái qt với kiến thức
tương ứng.
I.1.3. Khái niệm về năng lực
Theo moddun3 bồi dưỡng giáo viên Tốn THPT, chương trình giáo giáo

dục phổ thơng năm 2018“Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát
triển nhờ tố chất sẵn có và q trình học tập , rèn luyện, cho phép con người huy
động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng
thú, niềm tin, ý chí,…thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, kết quả
mong muốn trong những điều kiện cụ thể”.
Như vậy nói đến năng lực là nói đến cái gì đó tiềm ẩn bên trong một cá
nhân, một thứ phi vật chất. Song nó được thể hiện qua hành động và đánh giá
được nó thơng qua kết quả của hoạt động.
Thơng thường một người được gọi là có năng lực nếu người đó nắm vững
tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt kết quả cao hơn,
tốt hơn so với trình độ trung bình của những người khác cùng tiến hành hoạt
động đó trong những điều kiện tương đương.
I.1.4. Năng lực Toán học
Năng lực Toán học được đánh giá trên hai phương diện: Năng lực nghiên
cứu toán học và năng lực học tập toán học.
Như vậy, năng lực tốn học là các đặc điểm tâm lí cá nhân đáp ứng được
các yêu của của hoạt động toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng,
kĩ xảo trong lĩnh vực toán học tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc trong những
điều kiện ngang nhau.
Cấu trúc của năng lực toán học:
- Về mặt thu nhập thơng tin.
- Chế biến các thơng tin đó.
- Lưu trữ thông tin.
- Thành phần tổng hợp chung.
Năng lực sáng tạo thể hiện ở những khả năng sau:
- Khả năng phát hiện ra những điểm tương đồng, khác biệt cũng như
mối liên hệ giữa nhiều sự vật, hiện tượng khác nhau trong đời sống.
5

- Khả năng tìm tịi, phát hiện ra những vấn đề mới, những giải pháp
mới dựa trên những kiến thức, kinh nghiệm đã có hay những hạn chế, bất cập
đang tồn tại hiện hữu.
- Khả năng giải quyết vấn đề bằng nhiều con đường, cách thức khác
nhau; phân tích, đánh giá vấn đề ở nhiều phương diện, góc nhìn khác nhau.
- Khả năng phát hiện ra những điều bất hợp lí, những bất ổn hay
những quy luật phổ biến trong những hiện tượng, sự vật cụ thể dựa trên sự tinh
tế, nhạy cảm và khả năng trực giác cao của chủ thể.
Để phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh có nhiều cách, tuy nhiên ở đây
chúng tơi chú trọng phát triển cho học sinh ở khả năng: Năng lực tư duy, Năng
lực tìm tịi cách giải, năng lực tìm tịi để sáng tạo ra bài tốn mới (Bài toán
tương tự, bài toán đảo, bài toán tổng quát, bài tốn đặc biệt… )
I.1.5. Cơ sở lý thuyết
1) Cơng thức tính thể tích.
1.1. Thể tích khối chóp:
1
V  Sđáy .h
3

+ Sđáy : Diện tích mặt đáy.
+ h: Độ dài chiều cao khối chóp.
1
VS.ABCD  d  S. ABCD   .SABCD
3

1.2. Thể tích khối lăng trụ: V  Sđáy .h
+ Sđáy : Diện tích mặt đáy.
+ h: chiều cao khối chóp.
* Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao chính là cạnh bên.

1.3. Thể tích khối hộp chữ nhật: V  a.b.c
1.4. Thể tích khối lập phương: V  a 3

6


* Chú ý:
 Đường chéo của hình vng cạnh a là a 2
 Đường chéo của hình lập phương cạnh a là a 3
 Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là: a 2  b 2  c 2
 Đường cao của tam giác đều cạnh a là

a 3
2

2) Cơng thức hình phẳng
2.1. Hệ thức lượng trong tam giác
a) Cho Δ ABC vuông tại A, đường cao AH.

 AB2  AC2  BC 2
 AC2  CH.BC

 AB2  BH.BC
 AH.BC  AB.AC

1
1
1



2
2
AH
AB AC2
 AB  BC.sin C  BC.cos B  AC.tan C  AC  cot B

 AH 2  BH.HC



b) Cho có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là ma , m b , m c ;
bán kính đường trịn ngoại tiếp R; bán kính đường trịn nội tiếp r; nửa chu vi p.
 Định lí hàm số cosin:
a 2  b 2  c2  2bc.cos A; b 2  c 2  a 2  2a.cos B; c 2  a 2  b 2  2ab.cos C
a
b
c


 2R
 Định lí hàm số sin:
sin A sin B sin C

2.2. Các cơng thức tính diện tích
a) Tam giác:
1
2

1
2

1
2

 S  a.h a  b.h b  c.h c ( h a , h b , h c : ba đường cao)
7


1
2
abc
 S
4R
S

pr


1
2

1
2

 S  bc.sin A  ca.sin B  ab.sin C

 S  p  p  a   p  b  p  c
AB.AC BC.AH

2

2
2
  ABC đều, cạnh a: AH  a 3 , S  a 3
2
4

  ABC vuông tại A: S 

Ở đây:
+) a, b, c là các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng A, B, C.
+) ha; hb; hc là các đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh A, B, C.
+) R là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác
+) r là bán kính đường trịn nội tiếp tam giác
+) ra; rb; rc là bán kính đường trịn bàng tiếp (tiếp xúc ngồi tam giác)
+) P 

abc
là nửa chu vi của tam giác
2

b) Hình vng: S  a 2
(a: cạnh hình vng)
S

ab
c) Hình chữ nhật:
(a, b: hai kính thước)
S

đáy


ch
.cao  AB. AD. sin BAD
d) Hình bình hành:
1
S  AB. AD. sin BAD  AC.BD
2
1
S   a  b h
f) Hình thang:
(a, b: hai đáy, h: chiều cao)
2
1
g) Tứ giác có hai đường chéo vng góc: S  AC.BD
2

e) Hình thoi:

I.2. Cơ sở thực tiễn
I.2.1. Thuận lợi
- Ban giám hiệu có 3 người thì có 2 người là chun mơn Tốn, ln quan
tâm, chỉ đạo sát sao việc dạy học bộ mơn Tốn của nhà trường.
- Chúng tôi thường xuyên trao đổi về phương pháp dạy học nhằm nâng cao
chất lượng học tập của học sinh.
I.2.2. Khó khăn
- Trường THPT Tương Dương 2 đóng trên địa bàn huyện miền núi cao
Tương Dương. Tương Dương là một huyện nghèo, người dân chủ yếu đang lo
kiếm cái ăn chứ chưa thực sự chăm lo đến việc học của con cái. Giao thông
không thuận lợi, đa số học sinh đi học xa nhà phải ở trọ nên việc quản lý các em
học cũng gặp nhiều khó khăn.

8


- Song song với điều kiện về hoàn cảnh, vị trí địa lý thì Thể tích khối đa
diện là một chủ đề trừu tượng, nhiều em cảm thấy khơng thích học chủ đề này.

I.2.3. Thực trạng của đề tài
- Tỷ lệ đầu vào của trường thấp, khả năng tiếp thu cảu học sinh khơng
đồng đều, một số giáo viên cịn ngại đưa vào yếu tố sáng tạo khi dạy học luyện
tập toán cho các em.
- Trong giảng dạy nếu đơn thuần chỉ truyền thụ kiến thức cơ bản mà quên
đi hoạt động tìm tịi, sáng tạo, nghiên cứu thì bản thân người giáo viên sẽ bị mai
một kiến thức và học sinh cũng bị hạn chế khả năng suy luận, tư duy sáng tạo.
- Một số học sinh mang khuynh hướng học đối phó để thi nên khơng hiểu
sâu, hiểu rộng vấn đề nào đó của tốn học.
I.2.4. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải
quyết vấn đề.
- Để các em học tốt phần thể tích trước hết phải làm cho các em có niềm
tin, hứng thú để học tập. Muốn vậy, trước hết hãy bám sát đối tượng để dạy kiến
thức phù hợp.
- Giáo viên phải khéo léo dẫn dắt, hướng dẫn để học sinh tìm tịi, sáng tạo
trong việc tìm lời giải cũng như sáng tạo bài toán mới từ những bài toán đơn
giản, quen thuộc.
- Biết khai thác các kiến thức cơ bản để rèn luyện kỹ năng giải toán và phát
triển năng lực sáng tạo cho học sinh.
II. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
Chúng ta hãy bắt đầu với bài toán tính thể tích khối chóp có đáy là tam giác đều
đơn giản
Bài tốn 1: Tính thể tích khối chóp S. ABC biết tam giác ABC đều cạnh a,
SA   ABC  và SAa 2 .

Lời giải.
Cách 1. Ta có
h SA a 2 ; B S ABC 

a2 3
4

1
1 a2 3
a3 6
VS . ABC  Bh  .
.a 2 
3
3 4
12

9


Cách 2.
Kẻ đường cao BH của tam giác ABC .
Suy ra BH   SAC  . Do đó xem B là đỉnh
thì BH là đường cao của khối chóp.
Ta có
BH 

a 3
a2 2
a3 6
, S SAC 

 VB.SAC 
.
2
2
12

Cách 3.
Gọi M là trung điểm cạnh BC suy ra
BC   SAM 

Ta có
VS . ABC 2.VB.SAM
1
1 a2 6 a a3 6
VB.SAM  .S SAM .BM  .
. 
3
3 4 2
24
 VS . ABC 

a3 6
.
12

Nhận xét. Với học sinh khá, giỏi thì bài tốn trên chẳng có vấn đề gì. Tuy nhiên,
với đối tượng học sinh của trường đầu vào đa số có học lực yếu và trung bình
thì lại là vấn đề khác, đôi khi ta phải cầm tay chỉ việc nhưng khơng phải vì thế
mà bỏ qua việc dạy học định hướng phát triển năng lực sáng tạo cho người học.
Chẳng hạn với bài toán trên giáo viên nên đặt các câu hỏi kích thích suy nghĩ

của học sinh: Để tính thể tích khối chóp ta cần biết yếu tố nào? Hãy chỉ ra
chiều cao và đáy? Có những cách nào để tính diện tích đáy?Em có thể giải bài
tốn bằng cách khác được khơng?Từ bài tốn trên em hãy giải bài sau.
Từ bài toán trên giáo viên khéo léo kết hợp với các kiến thức cơ bản về
quan hệ song song, quan hệ vng góc và các tính chất hình học của các hình
quen thuộc ta có thể sáng tạo ra các bài tốn phù hợp với từng đối tượng học
sinh.
10


1. Tính trực tiếp thể tích khối đa diện và bài toán liên quan.
Định hướng 1. Thay đổi giả thiết về chiều cao để sáng tạo bài tốn thể tích
mới
Bài 1.1. Tính thể tích khối chóp S. ABC biết tam giác ABC đều cạnh a và chiều
cao SA vng góc với đáy và góc giữu SB với mặt đáy bằng 60 0 .
Lời giải.

Ta có

 SB;  ABC   SBA 60 0
 SA a. tan 60 0 a 3
1
1 a2 3
a3
VS . ABC  .S ABC .SA  .
.a 3 
3
3 4
4

Bài 1.2. Tính thể tích khối chóp S. ABC biết tam giác ABC đều cạnh a và chiều
cao SA vng góc với đáy và góc giữu mặt phẳng (SBC ) với mặt đáy bằng 60 0 .
Lời giải:
Gọi M là trung điểm của BC,vì tam giác
ABC đều nên AM  BC � SM  BC ( Định
lý 3 đường vng góc) .
Vậy góc ((SBC);(ABC)) =  SMA 60 0 .
Ta có V =

1
1
B.h  SABC .SA
3
3

Tam giác SAM vng tại A có  SMA 600
 SA  AM . tan 60 0 

Vậy V =

3a
2

1
1
a3 3
B.h  SABC.SA 
3
3
8

Bài 1.3. Tính thể tích khối chóp

S. ABC

biết các tam giác

ABC

và

SBC đều cạnh a và mặt bên  SBC    ABC  .

11


Lời giải.
+ Gọi H là trung điểm cạnh AB . Suy ra SH là
đường cao của khối chóp( do  SAB    ABC  ).
+ Các tam giác SAB và ABC đều cạnh a nên ta
có
1 a2 3 a 3 a3
VS . ABC  .
.

3 4
2
8

Bài 1.4. Tính thể tích của khối chóp S. ABC biết tam giác ABC đều cạnh a, cạnh

bên SB a 3 hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vng góc với mặt đáy (ABC).
Hướng dẫn:
  SAB    ABC 
 h SA

  SAC    ABC 

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác SAB
ta tính đươc SA a 2 . Từ đó ta tính được
1
1 a2 3
a3 6
VS . ABC  Bh  .
.a 2 
3
3 4
12

Nhận xét. Các bài 1.1; 1.2; 1.3 và 1.4 vừa giúp các em ôn tập các kiến thức cơ
bản vừa giúp các em nhìn nhận ban đầu về việc trực tiếp tính đường cao để tính
thể tích khối chóp.
Bài 1.5. Tính thể tích khối chóp tam giác đều S. ABC có tất cả các cạnh bằng a.
( Bài tập 1, SGK hình học 12, trang 25)
Nhận xét. Bài toán này với đối tượng học sinh trung bình và yếu thì có thể đặt
các câu hỏi sau nhằm giúp học sinh nhớ lại kiến thức về đường cao trong hình
chóp đều: Em hãy nêu tính chất của hình chóp đều?(Mặt đáy, cạnh bên, chiều
cao?).
Khi đã giúp học sinh nhớ lại các tính chất cơ bản về hình chóp đều giáo
viên u cầu học sinh xác định và tính chiều cao của khối chóp, từ đó tính được
thể tích của khối chóp.

Lời giải.

12


Cách 1. Gọi H là chân đường cao của khối chóp
kẻ từ S thì H là trọng tâm của tam giác ABC
2
2 a 3 a 3
AH  . AM  .

.
3
3 2
3

Xét tam giác SAH vuông tại H , áp dụng định lý
Pitago, suy ra
SH  SA 2  AH 2 
1
3

a 2
3

Do đó VS . ABC  .S ABC .SH 

a3 2
.
12

Giáo viên có thể đặt thêm câu hỏi: Em có thể giải cách khác được
khơng? Hãy thử tìm hình vẽ liên quan mật thiết đến hình đã cho. Nếu học sinh
khơng giải được thì giáo viên có thể vẽ hình, phân chia lắp ghép khối đa diện từ
đó gợi ý để học sinh sáng tạo các cách giải khác.
Cách 2.
Dựng hình chóp S . ABC  sao cho
A,B,C lần lượt là trung điểm của BC  ,
C A, AB . Khi đó dễ thấy hình chóp
S . AB C  có các cạnh SA, SB , SC  đơi một
vng góc và SA SB SC  .
1
1
VS . ABC  VS . ABC  .SA.SB .SC 
4
24
Ta có SA2  SC 2 4a 2
 SA SB  SC  a 2
a3 2
Vậy VS . ABC 
12

13


Cách 3.
Dựng hình lăng trụ SMN. ABC như hình
vẽ bên.
Từ giả thiết ta có: MNCB là hình
vng; Các tam giác MSC, NSB là các

tam giác vuông cân, suy ra:
SH  BM , SH  MC và SH   MNBC 
BM a 2

2
2
1
a 2 a3 2
VS .MNCB  .a 2 .

3
2
6
3
1
a 2
VS . ABC  VS .MNCB 
2
12
SH 

Cách 4.
Dựng hình lập phương SMBN.PAQC như hình
bên.
Ta có:
1
VP. ACS VM . ABS VQ. ABC V N .BCS  VMBNS . AQCP . Suy ra
6
3

VS . ABC

1
1
1 a 
a3 2
 VMBNS . AQCP  .SM 3  
 
.
3
3
3 2 
12

Cách 5.
Với đối tượng học sinh khá giỏi giáo viên
có thể yêu cầu học sinh chứng minh công
1
6

thức: VSABC  ..d .SA.BC.sin SA; BC  trong đó d
là khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và
BC (ở đây d MN ),  SA; BC  là góc giữa 2
đường thẳng SA và BC . Từ đó ta cũng dễ
dàng tính được VS . ABC 

a3 2
.
12

Cách 6.

14


Gọi M , N , P, Q, I , J lần lượt là trung điểm của SB,AC,SC,AB,SA,BC và G là giao
điểm của PQ,MN,IJ
Ta thấy tứ giác MINJ là hình vng. Dễ dàng chứng minh được PQ là đường
vuuong góc chung của SC và AB nên PQ   MINJ  suy ra P.MINJ là hình chóp tứ
a
. Ta có
2
1
1
1
VPMINJQ 2VP.MINJ 2. .PG. .MN .IJ  .PQ.MN .IJ
3
2
6
1
Vì VSMPI V ANQI VCNPJ VBMQJ  VS . ABC Nên
8
1
VPMINJQ VS . ABC  VSMPI  V ANQI  VCNPJ  VBMQJ   VS . ABC
2
1
 VS . ABC 2VPMINJQ  PQ.MN .IJ
3
a
Ta tính được: PQ MN IJ 

2

giác đều có tất cả các cạnh đều bằng

Do đó VS . ABC

a3 2

.
12

Nhận xét.
Như vậy chúng ta thấy rằng việc tính thể tích khối đa diện có thể tính trực
tiếp theo cơng thức tính thể tích, tuy nhiên đơi khi chúng ta có thể phân chia, lắp
ghép khối đa diện để tính, hoặc có thể dùng tỷ số thể tích
Từ bài 1.5 với học sinh khá giỏi chúng ta có thể yêu cầu học sinh giải bài
toán sau nhằm sáng tạo trong việc tìm lời giải bài tốn.
Bài 1.6. Tính thể tích của khối chóp S. ABC biết SA BC a , SB  AC b ,
SC  AB c .
Đáp số: VS . ABC 

1
6

a

2







 c2  b2 b2  c2  a2 a2  b2  c2
.
2

15


Nhận xét.
- Rõ ràng bài tập 1.6 là tình huống có vấn đề khi các em cố gắng tìm chiều cao
của khối chóp. Tuy nhiên, giáo viên có thể định hướng để các em giải theo các
cách giải còn lại của bài 1.5.
- Từ bài toán 1.5 giữ nguyên cạnh đáy, cạnh bên bằng a thay bởi b ta có bài 1.7:
Bài 1.7. Tính thể tích của khối chóp đều S. ABC . Biết cạnh đáy bằng a, cạnh bên
bằng b.
Hướng dẫn: Với cách giải tương tự cách 1 bài 1.4 ta có kết quả
1
VS . ABC  a 2 3b 2  a 2 .
12

1

Vẫn cho khối chóp đều lúc đó đáy vẫn là tam giác đều nhưng ẩn đi bằng
cách giữ nguyên cạnh bên bằng b , cho chiều cao SH x . Ta có bài tốn 1.8
Bài 1.8. Tính thể tích của khối chóp đều S. ABC . Biết cạnh bên bằng b, chiều cao
SH  x .
Nhận xét. Giáo viên có thể đặt các câu hỏi gợi ý: Giả thiết cho chúng ta biết

những gì?(Câu trả lời mong đợi: Cạnh bên và chiều cao) Cần tính cái gì để tính
được thể tích? (Câu trả lời mong đợi: Diện tích đáy) Hãy tìm mỗi liên hệ giữa
các đại lượng của giả thiết để tính diện tích đáy? (Câu trả lời mong đợi: Từ giả
thiết tính AH  AM . Từ đó tính cạnh đáy và diện tích đáy).
Hướng dẫn giải.
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SAH tính
được
AH  b 2  x 2
3
 AM  b 2  x 2
2

Đặt cạnh đáy bằng a , áp dụng định lý Pytago ta
tính được



a  3 b2  x2
 S ABC 






3 3 b2  x2
3
 VS . ABC  .x. b 2  x 2 .
4
4



  2

Nhận xét. Giữ nguyên cạnh bên bằng b, cho góc giữa cạnh bên và đường cao,
hoặc góc giữa cạnh bên và mặt đáy, hoặc góc giữa mặt bên và mặt đáy ta có
các bài tốn 1.9; 1.10; 1.11 như sau:
Bài 1.9. Tính thể tích của khối chóp đều S. ABC . Biết cạnh bên bằng b, góc giữa
cạnh bên và chiều cao bằng  .

16


Hướng dẫn giải.
Tam giác AHS vng tại H có ASH 
nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác
vuông ta tính được:
3
SH b. cos  ; AH b.sin   AM  .b. sin  .
2

Từ đó tính được:
BC  3.b. sin   S ABC 
VS . ABC 

3 3 2
b . sin 2 
4

3 3
b 1  cos 2  cos .
4





(3)

Bài 1.10. Tính thể tích của khối chóp đều S. ABC . Biết cạnh bên bằng b, góc
giữa cạnh bên và mặt đáy bằng  .
Hướng dẫn giải.
Tương tự như trên áp dụng công thức
Hệ thức lượng trong tam giác vng SAH ta
tính được
SH b. sin 
3
AH b. cos   AM  b cos   BC  3b cos 
2
3 3 2
b cos 2 
4
3
 b 3 1  sin 2  sin  .
4

S ABC 
VS . ABC





(4)

Bài 1.11. Tính thể tích của khối chóp đều S. ABC . Biết cạnh bên bằng b, góc giữa
mặt bên và mặt đáy bằng  .

Lời giải.
17


Gọi M là trung điểm cạnh BC. Do S. ABC là hình chóp đều nên chân đường
cao H của hình chóp trùng với trọng tâm của tam giác đều ABC
Đặt SH h , AB a
h

2h

3h

Ta có HM  tan   AH  tan   AM  tan   
(do H là trọng tâm của tam giác ABC )
Xét tam giác SAH vng tại H , ta có
SH 2 SA 2  AH 2

 h b   2h
 tan 
b. tan 

 h
4  tan 2 
2

AM 
 a

2

3b
4  tan 2





2

thay vào   ta được



a 3 (đường cao trong tam giác đều)
2

2 3b
4  tan 2 

 S ABC 

3 3b 2
4  tan 2 
1

3b 3 tan 

Vậy VS . ABC  3 .S ABC .h 
(5)
4  tan 2   4  tan 2  .
Ngoài ra đối với đối tượng học sinh khá, giỏi để phát huy kỹ năng giải toán và
năng lực sáng tạo trong giải tốn giáo viên có thể định hướng tiếp: Từ bài 1.7
nếu cố định cạnh bên bằng b, còn cạnh đáy cho bằng x thay đổi. Tìm x để thể tích
VS . ABC đạt giá trị lớn nhất, ta có bài 1.12:
Bài 1.12. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh bên bằng b, cạnh đáy bằng x thay
đổi thỏa mãn x  0; b 3  . Tìm x để thể tích của khối chóp đã cho đạt giá trị lớn
nhất.
Hướng dẫn giải.
1 2
x 3b 2  x 2
12

Từ kết quả bài 1.7 ta suy ra VS . ABC 

1 2
x 3b 2  x 2 với x  0; b 3 .
12

Đặt f  x  





Khảo sát hàm số f  x  ta được đạt giá trị lớn nhất bằng

b3
khi x b 2 .
6

Từ bài các bài 1.8; 1.9; 1.10 cho cạnh bên bằng b cố định, các yếu tố còn lại
thay đổi và u cầu tìm thể tích lớn nhất ta cho học sinh rèn luyện thêm các bài
toán sau:
Bài 1.13. Cho khối chóp đều S. ABC . Biết cạnh bên bằng b cố định, chiều cao
SH  x thay đổi. Tìm x để thể tich khối chóp đã cho đạt giá trị lớn nhất.

18


Bài 1.14. Cho khối chóp đều S. ABC . Biết cạnh bên bằng b cố định, góc giữa
cạnh bên và chiều cao bằng  thay đổi. Tìm  để thể tích của khối chóp lớn
nhất.
Bài 1.15. Cho khối chóp đều S. ABC . Biết cạnh bên bằng b, góc giữa cạnh bên và
mặt đáy bằng  .
1
12

Tiếp tục khai thác kết quả bài 1.7: VS . ABC  a 2 3b 2  a 2 

1
2a 2 .2a 2 . 3b 2  a 2

24





Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
3

 2a 2  2a 2  3b 2  a 2 
  a 2  b 2
2a .2a . 3b  a 
3


2

2



2

2







3

Từ đó ta có bài tốn 1.16
Bài 1.16. Cho khối chóp đều S. ABC . Biết cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Gọi
V là thể tích của khối chóp đã cho. Chứng minh rằng: V 

1
24

a

2

 b2



3

.

Tương tự bài 1.16 cho học sinh rèn luyện thêm các bài toán sau:
Bài 1.17. Cho khối chóp đều S.ABC có cạnh đáy AB = a các cạnh bên bằng
b có thể tích là V . Chứng minh rằng V 

2
60

a

2

 2b 2



3

.

Bài 1.18. Cho khối chóp đều S.ABC có cạnh đáy AB = a các cạnh bên bằng
1
120

b có thể tích là V . Chứng minh rằng V 

3a

2

 b2



3

.

Định hướng 2. Thay đổi giả thiết về đáy, hoặc kết hợp thay đổi giả thiết cả đáy

lẫn chiều cao để tạo ra bài toán mới
Nhận xét. Từ bài toán 1 nếu thay đáy thành tam giác vuông, tam giác cân, tam
giác thường, hoặc thay tam giác bởi tứ giác, ngũ giác… chúng ta có thể sáng tạo
ra một lớp bài toán nhằm phát triển tư duy và năng lực sáng tạo cho học sinh.
Chẳng hạn trong bài tốn 1 nếu chúng ta thay đáy là hình vng cạnh a ta có bài
tốn 1.19
Bài 1.19. Tính thể tích khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a,
cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA a 2 .
Lời giải.
h SA a 2
B a 2
3
VS . ABCD  a 2
3

19


 BC   SAB 
 BC  SB
 
và SC tạo với mặt đáy
 CD   SAD 
 CD  SD

Nhận xét: Từ bài tốn 1.19 ta có 

SCA 45 0 . Ta có bài tốn 1.20:
Bài 1.20. Cho khối chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB a ,
các tam giác SAB, SAC lần lượt vuông tại B và C , SA tạo với đáy một góc bằng

45 0 . Tính thể tích của khối chóp S. ABC .

Lời giải.
Kẻ đường cao SH . Suy ra
 AB  SH
 AB   SHB   AB  BH

 AB  SB

(1)

Tương tự ta chứng minh được
AC   SHC   AC  CH
(2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABHC là hình vng cạnh
a. Từ đó tính được: SH a 2
Do đó VS . ABC 

a3 3
6

Từ bài 1.20 thay góc giữa SA với mặt đáy bởi góc giữa 2 mặt phẳng ta có bài
1.21:
Bài 1.21. Cho khối chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại A, AB a ,
các tam giác SAB, SAC lần lượt vng tại B và C , góc giữa 2 mặt bên  SAB  và
 SAC  bằng 60 0 . Tính thể tích của khối chóp S. ABC .
( Trích từ câu 49, đề minh họa, BGD, 2020)
Hướng dẫn.
Cách 1. Dựng đường cao SD và DH, DK lần lượt vng góc với SB và SC (hình
 DH   SAB 

 Góc giữa 2 mặt bên  SAB  và
 DK   SAC 

vẽ). Dễ dàng chứng minh được 

 SAC  chính là góc 

HDK 60 0 . Đặt SD h , từ đó biểu diễn được DH, DK theo h
a3
và a và tính cos  HDK . Suy ra h=a. Tính được VS . ABC 
6

20


Cách 2. Dựng BM vng góc với SA. Suy ra SA cũng vng góc với CM. Chứng
minh được góc BMC 120 0 . Tính được SA a 3  SD a . Từ đó tính được thể
tích

Từ bài tốn 1.19 ta thay hình vng ABCD bởi hình chữ nhật có chiều dài
bằng 2a , chiều rộng bằng a ta có bài tốn 1.22, từ đó ta có bài 1.23 như sau:
Bài 1.22. Tính thể tích khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có
chiều dài bằng 2a, chiều rộng bằng a. Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng
đáy và SA a 2 .
Bài 1.23. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại A, AB a,
AC 2a ,  ABS  ACS 90 0 , SA tạo với đáy một góc 60 0 . Tính thể tích của khối
chóp S. ABC .

21

Hướng dẫn giải.
Hồn tồn tương tự bài tốn 2.2
bằng cách dựng đường cao SH. Từ đó
chứng minh được tứ giác ABHC là hình
chữ nhật. Suy ra
AH a 5 , SH a 15
 VS . ABC 

a 3 2 15
3

Tiếp tục thay đáy bởi hình thoi cạnh a, góc  BAD 60 0 , SA a ta có bài 1.24:
Bài 1.24. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi a. Biết
góc  BAD 60 0 , cạnh SA vng góc với đáy và SA a .

Từ bài 1.24 ta có thể sáng tạo bài tốn khó hơn như sau:
Bài 1.25. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SB SC , SB
tạo với đáy một góc 450 , SA tạo với đáy một góc 30 0 . Tính thể tích khối chóp
S. ABC biết SA SB .
Hướng dẫn. Dựng đường cao SH ta đưa bài toán về bài toán 1.24
Bằng cách tương tự chúng ta có thể giúp các em sáng tạo ra bài tốn từ các bài
tốn như: Hình lập phương, hình hộp chữ nhật, lăng trụ đứng, lăng trụ xiên…
2. Tính thể tích bằng phương pháp gián tiếp
Bài tốn 2. Cho hình chóp S.ABC. Lấy A’, B’, C’ tương tứng trên cạnh SA, SB,
V

SA ' SB ' SC '

S.A 'B'C'


.
.
SC. Khi đó V
.
SA SB SC
S.ABC

(Bài 4, SGK, trang 25, hình học 12-CB)
Chứng minh:
22


1
1
1
d  A,  SBC  . SB .SC . sin  B SC 
d A ',  SB'C '  .SSB'C'
VS.A 'B'C' VA 'SB'C 3 
2


3
Ta có
1
1
1
VS.ABC
VASBC
d  A,  SBC   .SSBC

d  A,  SBC  . .SB.SC. sin  BSC
3
3
2
SA ' SB' SC '
.
.
� (đpcm)
SA SB SC
Trong đó:  B SC BSC
d  A ',  SBC   SA '
A' K

Vì AA '� SBC   S �
(=
)
d  A,  SBC   SA
AH


Chú ý:
- Bài toán 2 chỉ áp dụng được cho khối chóp tam giác, các khối chóp khác ta
phải phân chia lắp ghép khối đa diện để tính.
- Kết quả trên vẫn đúng nếu như trong các điểm A’, B’, C’ có thể có điểm
A �A ', B �B', C �C ' . Thông thường, đối với loại này, đề thường cho điểm chia
đoạn theo tỉ lệ, song song, hình chiếu, …
Trong cơng thức (1), đặc biệt hố, cho B’ �B và C’ �C ta được
VS . A ' B ' C ' SA '

VS . ABC

SA

(1’)

Ta lại có

VS . ABC  VS . A ' BC  VA '. ABC

SA '
.VS . ABC  VA '. ABC
SA
V
SA ' A ' A
� A '. ABC  1 

VS . ABC
SA
SA
VA '. ABC A ' A

Vậy:
(2)
VS . ABC
SA
(1') � VS . ABC 

Trở lại bài toán 1, bằng cách thêm giả thiết và yêu cầu học sinh làm bài tập sau:
Bài 2.1. Cho hình chóp S. ABC biết tam giác ABC đều cạnh a, SA   ABC  và
SAa 2 . Gọi K là trung điểm cạnh SC. Tính thể tích khối chóp S.ABK.
23

Lời giải.
Cách 1. Ta có
VS . ABK VB.SAK và S SAK S CAK
1
a3 6
 VB.SAK VB. AKC  .VB.SAC 
.
2
24

Cách 2.
Gọi H là trung điểm của cạnh AC. Suy ra
1
a 2
KH // SA và KH  .SA 
. KH là
2
4
đường cao của khối chóp K. ABC

1
a3 6
a3 6 .
 VK . ABC  .VS . ABC 
 VS . ABK VS . ABC  VK . ABC 
2
24
24

a3 6
.
12
Xét 2 khối chóp C.SAB và K.SAB có chung
đáy SAB . Dựng KE   SAB  , CF   SAB  . Dễ
thấy ba điểm S , E , F thẳng hàng, từ đó suy ra
1
KE  CF ( Do KSE ~ CSF )
2

Cách 3. Ta có VS . ABC VC .SAB 

1
a3 6
 VS . ABK VK .SAB  VC .SAB 
2
24

Cách 4. Sử dụng kết quả bài toán 2 ta có
VS . ABK SK 1
1
a3 6

  VS . ABK  VS . ABC 
VS . ABC SC 2
2
24

Thêm điểm P thuộc cạnh SB ta có bài tốn sau:
Bài 2.2. Cho hình chóp S. ABC biết tam giác ABC đều cạnh a, SA   ABC  và

SAa 2 . Gọi K là trung điểm cạnh SC, điểm P thuộc cạnh SB sao cho SP 4 PB .
Tính thể tích khối chóp S.APK.

24