Xây dựng một sốcông thức giải nhanh giúp học sinh làm tốt bài tập trắc nghiệm chương 1 giải tích 12

Xây dựng một số công thức giải nhanh giúp học sinh làm tốt bài tập trắc nghiệm
chương I giải tích 12
MỤC LỤC
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ ...................................................................................... 2
I. Lý do chọn đề tài: ........................................................................................... 2
II. Đối tượng, mục đích nghiên cứu: .................................................................. 2
III. Thời gian và phương pháp nghiên cứu ........................................................ 3
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................... 3
V. Phạm vi nghiên cứu ....................................................................................... 4
VI. Dự báo xu hướng đóng góp mới của đề tài ................................................. 4
PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ............................................................. 5
I. Cở sở lý luận: .................................................................................................. 5
II. Cơ sở thực tiễn: ............................................................................................. 5
III. Xây dựng hệ thống công thức ...................................................................... 5
3.1. Xây dựng công thức giải nhanh một số bài tốn về tính đơn điệu của
hàm số bậc ba y  ax3  bx2  cx  d  a  0 ..................................................... 5
3.2. Xây dựng công thức giải nhanh bài toán về cực trị hàm số bậc ba, bậc
bốn. .................................................................................................................. 8
3.3. Xây dựng công thức và phương pháp giải nhanh một số bài toán liên
quan đến hàm số phân thức y 

ax  b
.......................................................... 26
cx  d

3.4 Bài tập ôn luyện ..................................................................................... 29
IV. Một số lưu ý rút ra từ quá trình dạy học .................................................... 38
4.1 Hiệu quả của sáng kiến ........................................................................... 38
4.2 Kết quả thực nghiệm ............................................................................... 38
4.3 Kết quả chung ......................................................................................... 42
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ....................................................... 43

1. Kết luận ........................................................................................................ 43
2. Kiến nghị ...................................................................................................... 43
MỘT SỐ HÌNH ẢNH THỰC NGHIỆM ........................................................ 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 49

1


Xây dựng một số công thức giải nhanh giúp học sinh làm tốt bài tập trắc nghiệm
chương I giải tích 12
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Đất nước ta đang trên con đường hội nhập và phát triển, từ đó cần những
con người phát triển tồn diện. Muốn vậy, phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và
đào tạo, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục phải được đổi mới một cách căn bản và toàn
diện để đáp ứng nhu cầu phát triển của xã hội. Để đổi mới sự nghiệp giáo dục và
đào tạo trước hết phải đổi mới phương pháp dạy học. Điều quan trọng của việc
dạy và học là trang bị cho người học kỹ năng cần thiết, về tư duy, nhân cách,
phẩm chất và đạo đức. Đào tạo thế hệ trẻ có đủ năng lực cơng tác thích ứng với
cuộc sống , giáo dục phát triển tồn diện trí thể mỹ. Đào tạo nguồn nhân lực có
đủ trình độ chun mơn nghiệp vụ phục vụ đắc lực cho sự nghiệp cơng nghiệp
hố - Hiện đại hoá đất nước , phù hợp với sự phát triển kinh tế tồn cầu, thời đại
phát triển cơng nghệ thơng tin.
Từ năm học 2017 đến nay hình thức thi THPT Quốc Gia của mơn Tốn đã
có sự thay đổi chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm,
đây là một sự thay đổi lớn trong việc kiểm tra đánh giá đối với bộ mơn tốn.
Làm tốn trắc nghiệm khơng chỉ địi hỏi học sinh có kiến thức mà cịn phải biết
giải bài tốn trong thời gian nhanh nhất. Vì vậy, giáo viên và học sinh cần phải
đổi mới phương pháp dạy và học để đáp ứng được hai yêu cầu: nắm được kiến
thức và giải bài tốn trong thời gian nhanh nhất có thể.

Để đáp ứng được vấn đề này, chúng tôi những giáo viên dạy tốn cần cho
học sinh tự tìm tịi cách giải các dạng tốn tổng qt và rút ra cơng thức giải
nhanh cho các dạng tốn đó, đảm bảo học sinh vừa có kiến thức sâu lại đáp ứng
được yêu cầu giải bài tốn trong thời gian nhanh nhất có thể .Với các lí do nêu
trên, chúng tơi chọn đề tài:“ Xây dựng một số công thức giải nhanh giúp học sinh
làm tốt bài tập trắc nghiệm chương 1- Giải tích 12”.
II. ĐỐI TƢỢNG, MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
2.1. Đối tƣợng nghiên cứu:
Thứ nhất về kiến thức: là kiến thức về toàn bộ chương 1 giải tích 12 như
tính đơn điệu, cực trị …, các dạng bài tập có cơng thức giải nhanh, ngắn gọn và
một số bài tập nâng cao với công thức giải tương đối phức tạp yêu cầu phải suy
luận mới có thể giải được.
Thứ hai về học sinh: là đối tượng học sinh lớp 12 chuẩn bị tham gia thi
THPT Quốc gia
2.2. Mục đích nghiên cứu:
- Từ bài tốn tự luận tìm ra các kỹ thuật, cơng thức giải nhanh cho bài
2


Xây dựng một số công thức giải nhanh giúp học sinh làm tốt bài tập trắc nghiệm
chương I giải tích 12
tốn giải theo hình thức trắc nghiệm. Làm vậy sẽ đáp ứng được hai yêu cầu học
sinh nắm chắc kiến thức và xử lý nhanh. Tạo hứng thú học tập cho mọi đối
tượng học sinh.
- Phân chia các dạng toán, mỗi dạng hệ thống các cơng thức từ đó học sinh
củng cố được kiến thức. Từ đó giúp học sinh có sự tự định hướng tốt hơn khi
đứng trước các bài toán liên quan.
III. THỜI GIAN VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
3.1. Thời gian nghiên cứu
Trong suốt thời gian giảng dạy tại trường THPT Nghi lộc 2, từ lớp 10 đến

lớp 12, chúng tôi gồm Nguyễn Giáo Ngọc và Nguyễn Thị Thủy đã nghiên cứu
đề tài này.
3.2. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Thông qua sách, vở, tạp chí, các trang
mạng…
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết.
- Tổng hợp kinh nghiệm giáo dục;
- Điều tra, khảo sát; Khảo sát học sinh khối 12 thơng qua một số tiết dạy
tốn 12.
- Lấy ý kiến chuyên gia;
- Thực nghiệm sư phạm.
Cách thực hiện:
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn
- Liên hệ thực tế trong nhà trường ra bài tập vận dụng để học sinh làm, áp
dụng đúc rút kinh nghiệm qua q trình giảng dạy.
- Thơng qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 12 trong năm học
2017 - 2018 đến nay.
IV. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Nhiệm vụ của đề tài:
Kế hoạch nghiên cứu tìm ra phương pháp giúp đỡ học sinh học tốt giải tích
lớp 12
Nghiên cứu, đánh giá tính khả thi khi vận dụng vào thực tiễn giảng dạy.

3


Xây dựng một số công thức giải nhanh giúp học sinh làm tốt bài tập trắc nghiệm
chương I giải tích 12
Rút ra kết luận và đề xuất một số biện pháp khi tiến hành giúp đỡ từng đối
tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường THPT.

- Yêu cầu của đề tài:
Để phát triển năng lực tự định hướng cho học sinh, giáo viên nên vận dụng
các phương pháp dạy học tích cực và tiến hành theo trình tự: giới thiệu phương
pháp (dạy học tường minh tri thức phương pháp được phát biểu một cách tổng
quát); đưa ra các ví dụ đa dạng vận dụng tri thức phương pháp (tập luyện những
hoạt động ăn khớp với những tri thức phương pháp) và cuối cùng là hệ thống
các bài toán tự luyện giúp học sinh khắc sâu tri thức phương pháp.
V. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Đề tài này chúng tơi tập trung vào một số bài tốn chương 1 giải tích lớp
12 trong chương trình phổ thơng.
- Dùng cơng cụ đạo hàm ở chương trình lớp 12 để giải quyết các bài toán
ứng dụng thực tế.
- Một số bài toán liên quan đến chương 1 ở trong các đề thi THPTQG.
VI. DỰ BÁO XU HƢỚNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI
Hiện nay, kỹ năng giải toán trắc nghiệm của học sinh đang còn yếu. Học
sinh giải quyết vấn đề cịn chậm và thiếu chính xác. Vì vậy, việc rèn luyện kỹ
năng giải toán trắc nghiệm của học sinh thông qua công thức giải nhanh là một
hoạt động thiết thực mang lại hiệu quả giáo dục cao đồng thời góp phần đổi mới
phương pháp dạy học
- Giúp các em hình thành tư duy giải nhanh, chính xác các bài tốn liên
quan
- Giúp các em học sinh nhìn nhận rõ hơn về ứng dụng toán học vào thực tế
đời sống.
- Có hệ thống cơng thức bài tập hay, khó và mới.
- Trình bày được một số kinh nghiệm và giải pháp trong dạy học trắc
nghiệm chương 1 nhằm khắc phục một số khó khăn của học sinh và tạo động lực
cho học sinh tính tích cực tự giác trong học tập.

4

Xây dựng một số công thức giải nhanh giúp học sinh làm tốt bài tập trắc nghiệm
chương I giải tích 12
PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
I. CỞ SỞ LÝ LUẬN:
Trong xu thế đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay của Bộ giáo dục và
đào tạo, trong quá trình dạy học để thu được hiệu quả cao đòi hỏi người giáo
viên phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa ra các
phương pháp phù hợp với kiến thức, với các đối tượng học sinh cần truyền thụ.
Với tinh thần trên chúng tôi đã nghiên cứu chương trình SGK, tài liệu tham khảo
và phân thành các dạng tốn và mỗi dạng tốn chúng tơi tìm tịi cơng thức giải
nhanh giúp học sinh tiết kiệm thời gian khi làm đề thi THPTQG.
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN:
Sau khi học xong khái niệm, tôi đã cho học sinh thực hành làm bài trắc
nghiệm 20 câu với phân loại 20 câu đủ hai phần và các câu hỏi có nhận biết,
thơng hiểu, vận dụng thấp và câu hỏi vận dụng cao.
Đặc điểm của lớp thực nghiệm là:
Đối với lớp 12A6 Số học sinh: 42
Kết quả học tập về mơn tốn năm học 2019 – 2020 là: 2 học sinh có học
lực giỏi, 9 học sinh có học lực khá, 14 học sinh có học lực trung bình, 13 học
sinh có học lực yếu và có 4 học sinh học lực kém.
Đối với lớp 12A7 Số học sinh: 42
Kết quả học tập về mơn tốn năm học 2019 – 2020 là: 3 học sinh có học
lực giỏi, 9 học sinh có học lực khá, 15 học sinh có học lực trung bình, 13 học
sinh có học lực yếu và có 2 học sinh học lực kém.
Như vậy qua khảo sát trên ta thấy đa số học sinh chưa đảm bảo với yêu cầu
kiểm tra đánh giá mới. Rất nhiều học sinh không hồn thành được bài làm của
mình trong khoảng thời gian 90 phút dành cho 50 câu nếu khơng có kỹ thuật và
“mẹo” giải nhanh.
III. XÂY DỰNG HỆ THỐNG CÔNG THỨC

3.1. Xây dựng cơng thức giải nhanh một số bài tốn về tính đơn điệu
của hàm số bậc ba y  ax3  bx2  cx  d  a  0
Kiến thức chuẩn bị
Trước hết phải cho học sinh nắm vững lý thuyết bài học liên quan đến tính
đơn điệu của hàm số.
Định lý 1. Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên  a; b  .
5


Xây dựng một số công thức giải nhanh giúp học sinh làm tốt bài tập trắc nghiệm
chương I giải tích 12
a) Nếu f '  x   0 với mọi x   a; b  và f '  x   0 chỉ tại một số điểm hữu hạn
thuộc  a; b  thì hàm số f ( x) đồng biến trên  a; b  .
b) Nếu f '  x   0 với mọi x   a; b  và f '  x   0 chỉ tại một số điểm hữu hạn
thuộc  a; b  thì hàm số f ( x) nghịch biến trên  a; b  .
Định lý 2. Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên  a; b  .
a) Nếu f '  x   0 với mọi x   a; b  , f '  x   0 chỉ tại một số điểm hữu hạn
thuộc (a;b) và f(x) liên tục trên  a; b thì hàm số f ( x) đồng biến trên  a; b .
b) Nếu f '  x   0 với mọi x   a; b  và f '  x   0 chỉ tại một số điểm hữu hạn
thuộc  a; b  và f ( x) liên tục trên  a; b thì hàm số f ( x) nghịch biến trên  a; b .
Sau khi học sinh nắm được lý thuyết trong giờ dạy của mình chúng tơi thực
hiện các bước sau:
Bước 1: Nêu vấn đề , định hướng cho học sinh giải các dạng toán thường
gặp dưới dạng tự luận để học sinh hiểu được bản chất vấn đề.
Bước 2: Giáo viên định hướng học sinh chọn cơng thức giải nhanh cho mỗi
dạng tốn đó.
Bước 3: Đưa ra một số bài tập trắc nghiệm có vận dụng cơng thức đề học
sinh rèn luyện, củng cố ghi nhớ kiến thức.
Liên quan đến tính đơn điệu hàm bậc ba các dạng tốn thường gặp:
1) Tìm điều kiện để hàm số bậc ba y  ax3  bx2  cx  d  a  0 đồng biến

trên R. Giáo viên dẫn dắt cho học sinh giải.
Hàm số đồng biến trên R  y '  3ax2  2bx  c  0, x  R và dấu bằng xảy
3a  0


a  0

 '
'
2
2

 y '  b  3ac  0
 y '  b  3ac  0


ra ở hữu hạn điểm  

2) Tìm điều kiện đề hàm số bậc ba y  ax3  bx2  cx  d  a  0 nghịch biến
trên R . Hàm số nghịch biến trên R  y '  3ax2  2bx  c  0, x  R và dấu bằng
3a  0

a  0


xảy ra ở hữu hạn điểm   '
 '
2
2
 y '  b  3ac  0

 y '  b  3ac  0



3) Tìm điều kiện để hàm số bậc ba y  ax3  bx2  cx  d  a  0 nghịch biến
trên một đoạn có độ dài bằng k cho trước
Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng k  y '  0 có hai
'
2

2 b2  3ac
 y '  b  3ac  0

k
nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho x1  x2  k  
3
a
x

x

k

 1 2

4) Tìm điều kiện để hàm số bậc ba y  ax3  bx2  cx  d  a  0 đồng biến
6


Xây dựng một số công thức giải nhanh giúp học sinh làm tốt bài tập trắc nghiệm

chương I giải tích 12
trên một đoạn có độ dài bằng k cho trước.
Hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng k  y '  0 có hai nghiệm
'
2

2 b2  3ac
 y '  b  3ac  0
phân biệt x1 , x2 sao cho x1  x2  k  

k
3
a
x

x

k

 1 2

Chọn công thức giải nhanh :
Dữ kiện

Công thức

Hàm số bậc ba y  ax3  bx2  cx  d  a  0
đồng biến trên R

́

Hàm số bậc ba y  ax3  bx2  cx  d  a  0
nghịch biến trên R

{́

Hàm số bậc ba y  ax3  bx2  cx  d  a  0
nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng k
cho trước

√

Hàm số bậc ba y  ax3  bx2  cx  d  a  0
đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng k
cho trước

√

Hàm số bậc ba y  ax3  bx2  cx  d  a  0
đồng biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn
k cho trước

√

| |

| |

| |

Một số ví dụ minh họa :
1
3

Ví dụ 1: Giá trị của m để hàm số y  x 3  2mx 2  (m  3)x  m  5 đồng biến
trên R là:
A. m  1

B. m  

3
4

3
4

C.   m  1

3
4

D.   m  1

1
3

Giải: Hàm số y  x 3  2mx 2  (m  3)x  m  5 xác định trên R .
Hàm số đồng biến trên R  {

́

⟺

.

Chọn đáp án C.

7


Xây dựng một số công thức giải nhanh giúp học sinh làm tốt bài tập trắc nghiệm
chương I giải tích 12
1
3

Ví dụ 2: Với giá trị nào của m thì hàm số y   x3  2 x 2  mx  2 nghịch
biến trên tập xác định của nó?
A. m  4

B. m  4

C. m  4

D. m  4

1
3

Giải: Hàm số y   x3  2 x 2  mx  2 xác định trên R
Hàm số nghịch biến trên R  {

⟺

Chọn đáp án A.
Ví dụ 3: Giá trị m để hàm số y  x3  3x2  mx  m giảm trên đoạn có độ dài
bằng 1 là:
A.

C. m  3

B.

D.

Giải: Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1 khi
2 b 2  3ac
k ⟺
3a

√

⟺

Chọn đáp án D
Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị thực m để f  x    x3  3x2   m  1 x  2m  3
đồng biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1 .
A. m  0 .

5
4

C.   m  0 .

B. m  0 .

5
4

D. m   .

Giải: Ta có f '  x   3x2  6 x  m 1 .
Để hàm số đồng biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1 khi và chỉ khi
f '  x   0 có hai nghiệm phân biêt x1 , x2  x1  x2  thỏa mãn x2  x1  1 .
Điều kiện  '  0  3m  6  0  m  2
Dùng công thức giải nhanh

√

⟺

kết hợp điều kiện chọn đáp án D
3.2. Xây dựng công thức giải nhanh bài toán về cực trị hàm số bậc ba,
bậc bốn.
Khái niệm cực trị của hàm số
Định nghĩa: Cho hàm số
+ Nếu tồn tại số

sao cho

xác định trên khoảng

và điểm

với mọi
8


Xây dựng một số công thức giải nhanh giúp học sinh làm tốt bài tập trắc nghiệm
chương I giải tích 12
và

đạt cực đại tại

thì ta nói hàm số

.

Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số
và

+ Nếu tồn tại số
sao cho
với mọi
thì ta nói hàm số
đạt cực tiểu tại
Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số
+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.
+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị.
Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:
Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng  a; b  chứa điểm x0 và có đạo hàm trên

các khoảng  a; x0  và  x0 ; b  .Khi đó
+) Nếu f '( x)  0 với mọi x   a; x0  và f '( x)  0 với mọi x   x0 ; b  thì hàm số
đạt cực tiểu tại x0 .
+) Nếu f '( x)  0 với mọi x   a; x0  và f '( x)  0 với mọi x   x0 ; b  thì hàm số
đạt cực đại tại x0 .
3.2.1. Bài tốn về cực trị hàm số bậc ba :
1)Tìm điều kiện để hàm số bậc ba y  ax3  bx2  cx  d  a  0 có hai cực
trị (có cực đại và cực tiểu).
Giáo viên dẫn dắt cho học sinh giải bài tốn
Hàm số có hai cực trị (có CĐ và CT)  y '  3ax2  2bx  c  0 có hai nghiệm
phân biệt và y’ đổi dấu khi x qua chúng  'y '  b2  3ac  0
2) Tìm điều kiện để hàm số bậc ba y  ax3  bx2  cx  d  a  0 không có
cực trị. Hàm số khơng có cực trị  y '  3ax2  2bx  c  0 vô nghiệm hoặc có
nghiệm kép  'y '  b2  3ac  0
3) Tìm điều kiện để hàm số bậc ba y  ax3  bx2  cx  d  a  0 có hai cực
trị . Tìm tọa độ trung điểm của hai điểm cực trị của đồ thị hàm số .
Hoành độ của hai điểm cực trị là hai nghiệm x1 , x2 của phương trình
y '  3ax 2  2bx  c  0

Theo định lý viet : x1  x2 = 

b
3a

Do đó, tọa độ trung điểm của hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là
9


Xây dựng một số công thức giải nhanh giúp học sinh làm tốt bài tập trắc nghiệm

chương I giải tích 12
2
 b  b 3

 b 
 b 
I   ; a     b     c     d  chính là điểm uốn của đồ thị hàm số
 3a  3a 

 3a 
 3a 



4) Tìm điều kiện để hàm số bậc ba y  ax3  bx2  cx  d  a  0 có hai cực
trị . Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
(phương trình đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số).
Chia y cho y’ rồi biểu diễn y theo y’ ta được :
b 
2(b2  3ac)
9ad  bc
1
y   x   . y '
x
9a 
9a
9a
3

Do x0 là điểm cực trị của hàm số thì y’(x0 )= 0 nên ta có

y CĐ

2(b2  3ac)
9ad  bc
=
xCD 
9a
9a

y CT =

2(b2  3ac)
9ad  bc
xCT 
9a
9a

Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là
y

2(b2  3ac)
9ad  bc
x
9a
9a

Ta chọn công thức giải nhanh cho các bài tốn thƣờng gặp :
Dữ kiện

Cơng thức

Hàm số có hai cực trị (có CĐ và CT)

'y '  b2  3ac  0

Hàm số khơng có cực trị

'y '  b2  3ac  0

Khi hàm số có hai điểm cực trị thì
3
2
trung điểm của hai điểm cực trị của I   b ; a   b   b   b   c   b   d 








đồ thị hàm số chính là điểm uốn của  3a  3a 
 3a 
 3a 

đồ thị hàm số
Khi hàm số có hai điểm cực trị thì
phương trình đường thẳng đi qua hai
điểm cực trị của đồ thị hàm số

y

2(b2  3ac)
9ad  bc
x
9a
9a

Một số ví dụ minh họa :
Ví dụ 5: Hàm số y  x3  3x2  mx  1 có hai cực trị khi giá trị của tham số
m là
A. m  2

B. m  3

C. m  2

D. m  3
10


Xây dựng một số công thức giải nhanh giúp học sinh làm tốt bài tập trắc nghiệm
chương I giải tích 12
Giải:
Hàm số có cực đại và cực tiểu ⟺

⟺

⟺

Chọn đáp án C
1
3

Ví dụ 6: Với giá trị nào của tham số m thì hàm số y   x3  mx 2  mx  3
khơng có cực trị?
A. 0  m  1

B. 0  m  1

C. m  1 m  0

D. m  1 m  0

Giải:
1
Hàm số khơng có cực trị  'y '  m2  3    .(m)  0  m2  m  0  0  m  1
 3

Chọn đáp án A
Ví dụ 7: Cho hàm số y  x3  3mx  m , có đồ thị  Cm  .Với m  0 thì phương
trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị  Cm  là:
A. y  2mx  m

2
3

B. y   mx 

m

3

4
3

C. y   mx 

m
3

D. y  2mx  m

Giải:
Với m  0 hàm số có cực đại và cực tiểu .Khi đó phương trình đường thẳng
đi qua cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số là
y

2(02  3.1.(3m))
9.1.m  0.( 3m)
x
 2 x  m
9.1
9.1

Chọn đáp án A
Ví dụ 8: Tìm m để hàm số y  x3  3x2  mx  2 có hai điểm cực trị và đường
thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam
giác cân ?
A. m  

3
2

B. m 

3
2

C. m  1

D. m  0

Giải :
Hàm số có cực đại và cực tiểu  'y '  (3)2  3.1.(m)  0  m  3
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa
độ một tam giác cân nên hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có
hệ số góc bằng 1

11


Xây dựng một số công thức giải nhanh giúp học sinh làm tốt bài tập trắc nghiệm
chương I giải tích 12


2 (3) 2  3.1.( m) 
9.1

 1 hoặc

2 (3)2  3.1.(m) 
9.1

 1

2(3  m)
2(3  m)
 1 hoặc
 1
3
3



 m

9
3
m
hoặc
2
2

Đối chiếu với điều kiện

m

3
thõa mãn bài toán.
2

Chọn đáp án A.
Ví dụ 9: Tìm m để hàm số y  x3  3x2  mx  2 có hai điểm cực trị và đường
thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng d : x+ 4y –
3 =0 góc   450
A. m  

1
2

B. m 

1
2

2

C. m  2

D. m  0

Giải:
Hàm số có cực đại và cực tiểu  'y '  (3)2  3.1.(m)  0  m  3
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm
số .Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng
3

1
k


5
4 
d : x+ 4y – 3 =0 góc   450 nên ta có : tan 450 
1
k   5
1 k

4
3
k




2 (3) 2  3.1.( m) 
9.1

2 (3)2  3.1.(m) 
3
5


hoặc
5
9.1
3

2(3  m) 3
2(3  m)
5

 hoặc

3
5
3
3

 m

39
1
m
hoặc
10
2

Đối chiếu với điều kiện

m

1
thõa mãn bài tốn
2

Chọn đáp án A.
Ví dụ 10: Tìm m để hàm số y  x3  3x2  mx có hai điểm cực trị và các
điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d: x – 2y – 5 = 0
A. m  2

B . m  1

C. m  0

D . m 1
12


Xây dựng một số công thức giải nhanh giúp học sinh làm tốt bài tập trắc nghiệm
chương I giải tích 12
Giải:
Hàm số có cực đại và cực tiểu  'y '  (3)2  3.1.m  0  m  3 (*)
Trung điểm của hai điểm cực trị là I (1; m-2)
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
y

2 (3) 2  3.1.m
9.1

x

9.1.0  ( 3) m 2
m
 (m  3) x 
9.1
3
3

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng d khi và
chỉ khi đường thẳng d đi qua trung điểm của hai đoạn thẳng nối hai điểm cực trị
và d vng góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

1  2(m  2)  5  0

m0
1
2
(m  3).  1

2
3

Chọn đáp án C
Ví dụ 11: Tìm m để đồ thị hàm số y  x3  3x2  mx  2 có hai điểm cực trị
cách đều đường thẳng d : y = x – 1 ?
A. m  

3
2

3
2

B. m  0;  }



C. m  1;0;  2 
3





D. m  0

Giải:
Hàm số có cực đại và cực tiểu  'y '  (3)2  3.1.(m)  0  m  3
Trung điểm của hai điểm cực trị là I (1; m)
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
y

2 (3) 2  3.1.( m) 
9.1

x

9.1.2  (3)( m)
2
m
  (m  3) x  2 
9.1
3
3

Hai điểm cực trị A,B của đồ thị hàm số cách đều đường thẳng d khi d đi
qua trung điểm I của AB hoặc AB song song (hoặc trùng ) với d
m  1  1
m  0




  2 (m  3)  1  m   9
2

 3

m = 0 thõa mãn bài toán .

Chọn đáp án D
4
2
3.2.2. Bài toán về cực trị hàm số y  ax  bx  c (a  0) :

Với hàm số bậc bốn y  ax4  2bx2  c (a  0) ta thường gặp các bài toán sau

13


Xây dựng một số công thức giải nhanh giúp học sinh làm tốt bài tập trắc nghiệm
chương I giải tích 12
1) Tìm điều kiện để hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) có ba cực trị .
2) Tìm điều kiện để hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) có 1 cực trị .
3) Tìm điều kiện để hàm số

y  ax4  bx2  c (a  0)

có 1 cực đại và 2 cực

4) Tìm điều kiện để hàm số y  ax4  bx2  c (a  0)

có 2 cực đại và 1 cực

tiểu.
tiểu.
5) Tìm điều kiện để hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) chỉ có duy nhất 1 cực trị
là điểm cực đại
6) Tìm điều kiện để hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) chỉ có duy nhất 1 cực trị
là điểm cực tiểu .
7) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) có ba cực trị tạo
thành một tam giác vng cân .
8) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) có ba điểm cực trị
tạo thành một tam giác đều .
9) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) có ba điểm cực trị
A, B, C sao cho góc ̂ =
10) ) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) có ba điểm cực
trị A, B, C sao cho BC  OA .
11) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) có ba điểm cực
trị A, B, C sao cho BC  m0 .
12) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) có ba điểm cực
trị A, B, C sao cho B, C  Ox .
13) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) có ba điểm cực
trị A, B, C sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn.
14) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) có ba điểm cực
trị A, B, C sao cho AB  AC  n0
15)Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) có ba điểm cực trị
A, B, C sao cho SABC  S0
16) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) có ba điểm cực trị
tạo thành tam giác có bán kính đường trịn nội tiếp r0
17) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) có ba điểm cực trị
14

Xây dựng một số công thức giải nhanh giúp học sinh làm tốt bài tập trắc nghiệm
chương I giải tích 12
tạo thành tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp R0
18) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) có ba điểm cực trị
A, B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm là gốc tọa độ O.
19) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) có ba điểm cực trị
A, B, C sao cho tam giác ABC có trực tâm là gốc tọa độ O.
20) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) có ba điểm cực trị
A, B, C sao cho tam giác ABC có tâm đường trịn ngoại tiếp là gốc tọa độ O.
21) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) có ba điểm cực trị
A, B, C sao cho tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp là gốc tọa độ O.
22) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) có ba điểm cực trị
A, B, C sao cho tam giác ABC cùng với điểm O tạo thành một hình thoi .
23) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) có ba điểm cực trị
A, B, C cách đều trục hồnh.
24) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) cắt trục ox tại 4
điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng.
Thành lập công thức :
Giáo viên dẫn dắt cho học sinh giải bài toán dưới dạng tổng quát:
1) Hàm số có 3 cực trị  y '  4ax 3  2bx  2x  2ax 2  b   0 có ba nghiệm
phân biệt và y’ đổi dấu khi x qua chúng  a.b  0
2) Hàm số có 1 cực trị  y '  4ax 3  2bx  2x  2ax 2  b  = 0 có 1 nghiệm và
y’ đổi dấu khi x qua chúng  a.b  0
3) Hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) có 1 cực đại và 2 cực tiểu khi và chỉ khi
a  0
a  0 và hàm số có 3 cực trị  
b  0

4) Hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) có 2 cực đại và 1 cực tiểu khi và chỉ khi

a  0
a  0 và hàm số có 3 cực trị  
b  0

5) Hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) chỉ có duy nhất 1 cực trị là điểm cực đại
a  0
b  0

khi và chỉ khi a  0 và hàm số có 1 cực trị  

6) Hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) chỉ có duy nhất 1 cực trị là điểm cực tiểu

15


Xây dựng một số công thức giải nhanh giúp học sinh làm tốt bài tập trắc nghiệm
chương I giải tích 12
a  0
b  0

khi và chỉ khi a  0 và hàm số có 1 cực trị  

Với điều kiện a.b  0 đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là: A(0; c) ,


b
b2 
b
b2 
B    ; c   , C   ; c   . Khi đó

2a
4a 
2a
4a 



AB  AC 

2b
b4  8ab
và BC  
2
16a
a

7) ABC cân tại A nên ABC phải vuông tại A  AB.AC  0  b3  8a  0
8) ABC cân tại A nên ABC đều  AB  BC 

b 4  8ab
=
16a 2



2b
a

 b3  24a  0

9) Góc ̂

  cos  

AB 2  AC 2  BC 2 b3  8a
 3
2 AB. AC
b  8a

10) BC = OA  ac2  2b  0
11) BC  m0  

2b
 m0  am02  2b  0
a

12) B, C  Ox  c 

b2
 0  b2  4ac  0
4a

13) Tam giác ABC có 3 góc nhọn ⟺
b4  8ab
 n0  16a 2 n02  8ab  b4 .
14) AB  AC  n0 
2
16a



b2 





15) Gọi H là trung điểm của BC, H  0; c   .
4a
1
2

1
2

Khi đó SABC  BC. AH  . 
Do đó SABC

b5
b5
2
 S0  
 S0  S0  
32a3
32a3

1
2

1

2

16) SABC  BC. AH  . 

SABC 

2b b 2
.
a 4a

AB  AC  BC
.r0 
2

2

2b b 2
.
a 4a

và

b4  8ab
2b

2
16a
a .r . Suy ra
0
2

r0 

b2


b3
4 a  1
 1

8a 


16


Xây dựng một số công thức giải nhanh giúp học sinh làm tốt bài tập trắc nghiệm
chương I giải tích 12

17) SABC

b 4  8ab
2
AB. AC
b3  8a
1
AB. AC.BC
 R0 
 16a2 
 BC. AH =

b
2
2 AH
8ab
4 R0
2.
8ab

18) O là trọng tâm của tam giác ABC 

cc

b2
b2
c
4a
4a  0  b2  6ac .
3

19) Vì tam giác ABC cân tại A nên OA  BC .
Do đó, O là trực tâm của tam giác ABC  OB.AC  0  b3  8a  4ac  0 .
20) Tam giác ABC có tâm đường trịn ngoại tiếp là gốc tọa độ O⟺
⟺
.
21) Tam giác ABC có tâm đường trịn nội tiếp là gốc tọa độ O ⟺
⟺
.
22) Do BC  OA nên tam giác ABC cùng với O tạo thành hình thoi ABOC
khi và chỉ khi H là trung điểm của OA 

c0
b2
c
 b2  2ac
2
4a

23) Ba điểm cực trị A, B, C cách đều trục hoành ⟺
⟺| | | |⟺
.
24) Để đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) cắt trục ox tại 4 điểm phân biệt
có hồnh độ lập thành cấp số cộng thì phương trình
có 4
nghiệm thõa mạn
và
đặt
u cầu bài tốn đưa về phương trình
có 2 nghiệm
với
√

(Vì
nên

mà
√
√
√
). Áp dụng định lý viet ta rút ra được

Ta có cơng thức giải nhanh cho bài tốn:
Dữ kiện

Cơng thức

Hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) có 3 cực trị

a.b  0

Hàm số có y  ax4  bx2  c (a  0) 1 cực trị

a.b  0

Hàm số y  ax4  bx2  c (a  0)
đại và 2 cực tiểu

a  0

b  0

có 1 cực

17


Xây dựng một số công thức giải nhanh giúp học sinh làm tốt bài tập trắc nghiệm
chương I giải tích 12
Dữ kiện

Cơng thức

có 2 cực

a  0

b  0

Hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) chỉ có duy
nhất 1 cực trị là điểm cực đại(có cực đại
mà khơng có cực tiểu )

a  0

b  0

Hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) chỉ có duy
nhất 1 cực trị là điểm cực tiểu(có cực tiểu
mà khơng có cực đại)

a  0

b  0

Hàm số y  ax4  bx2  c (a  0)
đại và 1 cực tiểu

Đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) có 3 điểm cực trị A(0; c) ,


b
b2 

b
b2 
B    ; c   , C   ; c   tạo thành :
2a
4a 
2a
4a 



Dữ kiện
Tam giác vuông cân

Tam giác đều

̂=

BC = OA

Công thức
a.b  0
 3
b  8a  0

a.b  0
 3
b  24a  0
a.b  0



b3  8a
cos



b3  8a


a.b  0
 2
ac  2b  0

BC  m0

a.b  0
 2
am0  2b  0

B, C  Ox

a.b  0
 2
b  4ac

Tam giác ABC có 3 góc nhọn

18


Xây dựng một số công thức giải nhanh giúp học sinh làm tốt bài tập trắc nghiệm

chương I giải tích 12
Dữ kiện

Công thức

AB  AC  n0

a.b  0
 2 2
4
16a n0  8ab  b

SABC  S0

a.b  0
hay

3
2
5
32a ( S0 )  b  0
a.b  0


b5
 S0  
32a 3


Tam giác ngoại tiếp đường trịn có bán kính r0

a.b  0

b2
r 
0


b3

4 a  1
 1


8a 



Tam giác nội tiếp đường trịn có bán kính R0

a.b  0

b3  8a

R

 0 8ab


Gốc tọa độ O là trọng tâm của tam giác ABC

a.b  0
 2
b  6ac

Gốc tọa độ O là trực tâm của tam giác ABC

a.b  0
 3
b  8a  4ac  0

Tam giác ABC có tâm đường trịn ngoại tiếp
là gốc tọa độ O

.

Tam giác ABC có tâm đường nội tiếp là gốc
tọa độ O

.

Tam giác ABC cùng với O tạo thành một hình
thoi

a.b  0
 2
b  2ac

Ba điểm cực trị A, B, C cách đều trục hoành
Đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) cắt trục

ox tại 4 điểm phân biệt có hồnh độ lập thành
cấp số cộng
19


Xây dựng một số công thức giải nhanh giúp học sinh làm tốt bài tập trắc nghiệm
chương I giải tích 12
Ví dụ minh họa :
Ví dụ 11: Tìm m để đồ thị hàm số
điểm cực trị ?
A.

.

có 1

B.

C.

D.

Giải:
Hàm số có 1 điểm cực trị khi

⟺

⟺

Chọn đáp án A.

Ví dụ 12: Tìm m để đồ thị hàm số
điểm cực trị ?
A.

.

có 3

B.

C.

D.

Giải:
Hàm số có 3 điểm cực trị khi

⟺

⟺

Chọn đáp án D
Ví dụ 13: Tìm m để đồ thị hàm số y   x4  2(m  2) x2  m có 2 cực đại và
1cực tiểu.
A . m2

B. m  2

C. m  2

D. m  2

Giải:
a  0
1  0

m2
b  0
m  2  0

Hàm số có 2 cực đại và 1cực tiểu  
Chọn đáp án B

Ví dụ 14: Cho hàm số y  x4  2  m  2 x2  m2  5m  5 1 . Xác định m để
đồ thị hàm số 1 có ba cực trị tạo thành tam giác vuông cân.
A. m  2

B. m 

5 5
2

C. m  1

D. m  3 3

Giải:
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân
ab  0
m  2  0


 m 1
 3
3
b  8a  0 8(m  2)  8  0

Chọn đáp án C.
Ví dụ 15: Cho hàm số y  x4  2m2 x2  1 , có đồ thị  Cm  .Tìm m để đồ thị

20


Xây dựng một số công thức giải nhanh giúp học sinh làm tốt bài tập trắc nghiệm
chương I giải tích 12

 Cm  có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.
A. m   6 3

B. m 

2 3
2

D. m   3 3

C. m  1

Giải:
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều
2


ab  0
2m  0

 m  6 3
 3
6

b  24a  0
8m  24  0

Chọn đáp án A
Ví dụ 16: Tìm m để đồ thị hàm số y  x4  2mx2  m2  m có 3 điểm cực trị
tạo thành tam giác có một góc bằng 1200
1
3

A. m  0 hoặc m   3

B. m  0 hoặc m 

1
3
3

C. m  0

1
3

D. m   3

Giải:
Tam

giác

ABC

cân

tại

A

nên

̂=

1200

a.b  0
m  0
1



b3  8a   1 8m3  8  m   3
0
3

cos120  3
 
b  8a

 2 8m3  8

Chọn đáp án D.
Ví dụ 17: Tìm m để hàm số y  m2 x4  mx2  1  m có 3 điểm cực trị A Ox
,B,C sao cho BC  2
A. m  1

B. m  0

C. m  1

D. m  0 hoặc m  1

Giải:
3

a.b  0
m  0
 2
 m 1
 2
 2m  2m  0
am0  2b  0


Chọn đáp án A

Ví dụ 18: Tìm m để hàm số y  mx4  x2  m có 3 điểm cực trị A Ox ,B,C
sao cho AC 
A. m  0

1
4

B. m  3

C. m  3

D. m  3

Giải:

21


Xây dựng một số công thức giải nhanh giúp học sinh làm tốt bài tập trắc nghiệm
chương I giải tích 12
Với a = m , b = -1 , n0 

ab  0
1
. Từ  2 2
suy ra m = 3
4
4
16a n0  8ab  b

Chọn đáp án D
Ví dụ 19: Tìm m để đồ thị hàm số y  x4  mx2  1 có ba điểm cực trị A, B, C
sao cho B,C nằm trên trục hoành?
A. m  0

B . m  2

C. m  2

D . m  2

Giải: Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A, B, C sao cho B,C nằm trên trục
hoành khi
a.b  0
m  0
 2
m2
 2
b  4ac
m  4

Chọn đáp án C
Ví dụ 20: Cho hàm số y  x4  2mx2  2m  m4 1 .Xác định m để đồ thị hàm
số 1 có ba cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 4.
A. m   6 3

B. m  5 16

C. m   5 16

D. m  3 3

Giải: Đồ thị hàm số có ba cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 4.
ab  0
2m  0

 5 16


3
2
5
5
32a ( S0 )  b  0 512  (2m)  0

Chọn đáp án B
Ví dụ 21: Tìm m để đồ thị hàm số y  x4  2(1  m2 ) x2  m  1 có 3 điểm cực
trị tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất ?
A. m  2

B. m  

1
2

C. m  0

D. m  2

Giải:

Đồ thị hàm số có 3 cực trị A,B,C : 2(1  m2 )  0  1  m  1
Diện tích tam giác ABC :
S ABC

b5
 
 (1  m2 )5  1
3
32a

Do đó MaxS ABC  1 khi m  0 . Chọn đáp án C
Ví dụ 22: Tìm m để đồ thị hàm số y  x4  2mx2  m  1 có 3 điểm cực trị tạo
thành một tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng 1?
22


Xây dựng một số công thức giải nhanh giúp học sinh làm tốt bài tập trắc nghiệm
chương I giải tích 12
A. m  1 hoặc m 

1  5
2

C. m  1 hoặc m 

B. m  1 hoặc m 

1  5
2

1  5
2

D. m  1 hoặc m 

1  5
2

Giải:
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường
trịn ngoại tiếp bằng R0  1
a.b  0
m  1
2m  0
m  0


3
3

b  8a   8m  8   3

 m  1  5
R

 m  2m  1  0
 0 8ab
1 
16m


2



Chọn đáp án B
Ví dụ 23: Tìm m để đồ thị hàm số y  x4  2mx2  m có 3 điểm cực trị tạo
thành một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1?
A. m  1

B. m  2

C. m  1

D. m  1 hoặc m  2

Giải:
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường
trịn nội tiếp bằng r0  1
2m  0
a.b  0



b2
 m  1
4m 2
m  0

r 
2

1



m


0



m  2  m  2
3




1  m3  1
b3



8
m



4 a  1
 1
4 1

 1






8a 
8






Chọn đáp án B
1
4

Ví dụ 24: Tìm m để đồ thị hàm số y  x 4  (3m  1) x 2  2m  2 có 3 điểm cực
trị tạo thành một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ O ?
A. m  

2
3

B. m  

1
3

C. m 

1
3

2
3

D. m   hoặc m  

1
3

Giải:
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm là gốc
1

 3m  1
m

0


a.b  0
1


3
4

tọa độ O(0;0).  2


m
3
b  6ac
(3m  1)2  6. 1 (2m  2)
m  1 hoac m   2


4
3
3



23


Xây dựng một số công thức giải nhanh giúp học sinh làm tốt bài tập trắc nghiệm
chương I giải tích 12
Chọn đáp án C
Ví dụ 25: Tìm m để đồ thị hàm số y  2 x4  m2 x2  m2  1 có 3 điểm cực trị A
 Ox ,B, C cùng với gốc tọa độ O tạo thành một hình thoi ?
A. m   2

B. m  2

C. m   2

D. m  

1
2

Giải:
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị A Ox ,B, C cùng với gốc tọa độ O tạo
thành một hình thoi
2


a.b  0
m  0
m  0
 4

 m   2 . Chọn đáp án A
 2

2

m  4(m  1)
b  2ac
m   2


3.2.3. Bài toán về cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
1, Số điểm cực trị của hàm số y  f  x  bằng tổng số nghiệm đơn và
nghiệm bội lẻ của pt f   x   0 .
(VD: f   x    x  1 x  2  x  3 thì x  1 là nghiệm đơn, x  2 là nghiệm

bội 3, x  3 là nghiệm kép. Vậy f  x  có 2 điểm cực trị ).
3

2

2, Số điểm cực trị của hàm số y  f  ax  b   c (a  0) bằng số điểm cực trị
của hàm số y  f  x  .
3, Số điểm cực trị của hàm số y  f  x  bằng tổng số điểm cực trị của hàm
số y  f  x  và số nghiệm đơn, nghiệm bội lẻ của pt f  x   0 .
4, Số điểm cực trị của hàm số y  f  x  bằng 2n  1 với n là số điểm cực trị
dương của hàm số y  f  x  .
5, Số điểm cực trị của hàm số y  f  x  m  bằng số điểm cực trị của hàm
số y  f  x  .
6, Số điểm cực trị của hàm số y  f  x  m  bằng 2n  1 với n là số điểm
cực trị dương của hàm số y  f  x  m  .
Một số trường hợp thường gặp cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
a. Cho hàm số y  ax4  bx2  c với a  0

24


Xây dựng một số công thức giải nhanh giúp học sinh làm tốt bài tập trắc nghiệm
chương I giải tích 12
 ab  0

c  0
4
2
► Hàm số y  ax  bx  c có 3 điểm cực trị  
.

ab  0

   0
ab  0
.
c  0

► Hàm số y  ax4  bx2  c có 5 điểm cực trị  

► Hàm số y  ax4  bx2  c có 7 điểm cực trị  ax4  bx2  c  0 có 4 nghiệm

  0

b
phân biệt    0 .
 a
c
 a  0

b. Cho hàm số y  ax3  bx2  cx  d với a  0
► Hàm số y  ax3  bx2  cx  d có 1 điểm cực trị   y  0 .
 y  0

► Hàm số y  ax3  bx2  cx  d có 3 điểm cực trị  


 yCD . yCT  0

.

► Hàm số y  ax3  bx2  cx  d có 5 điểm cực trị  ax3  bx2  cx  d  0 có 3
nghiệm phân biệt.
► Hàm số y  a x  bx 2  c x  d có 3 điểm cực trị  y  ax3  bx2  cx  d có
3

đúng 1 điểm cực trị dương  y  0 có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  0  x2
 a.c  0

 
 y  0   0 .

S  0


► Hàm số y  a x  bx 2  c x  d có 5 điểm cực trị  y  ax3  bx2  cx  d có
3

2 điểm cực trị dương  y  0 có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa mãn 0  x1  x2
 y  0

 S  0
P  0


Ví dụ 26: Tìm m để hàm số y  x4  2  m  1 x2  2m  3 có 5 điểm cực trị
3
A. 1;  .
2




3
B.  ;   \ 2 .
2



C. 1;   \ 2 .

3
D. 1;  .
 2

25