Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 cấp trường năm 2019-2020 có đáp án - Trường THPT Trần Phú, Hà Tĩnh

NHĨM TỐN VD – VDC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10

THPT TRẦN PHÚ

NĂM HỌC 2019 - 2020

(Đề thi có 01 trang)

MƠN: TOÁN –THPT
Thời gian: 120 phút

ĐỀ BÀI
Câu 1:

(5,0 điểm) Cho hàm số y  m  2 x 2  2 m 1 x  m  2 ( m là tham số).

NHĨM TỐN VD – VDC

SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH

ĐỀ THI HSG TỐN

a) Biết đồ thị là một đường parabol có tung độ đỉnh bằng 3m . Xác định giá trị của m .
b) Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng ; 2 .
Câu 2:

(4,0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AB và CD cắt
nhau tại điểm M , tọa độ điểm A(−2; −2), B(0; 4) và C (7;3) .
   

  
a) Tìm tọa độ điểm E để EA + EB + 2 EC =
0 và tìm giá trị nhỏ nhất của PA + PB + 2 PC
biết P là điểm di động trên trục hoành.
b) Biết diện tích hình thang ABCD gấp 3 lần diện tích tam giác MBC . Tìm tọa độ đỉnh D

Câu 3:

2 x 3 + mx 2 + 2 x − m =x + 1 ( m là tham số).

(5,0 điểm) Cho phương trình

a) Giải phương trình với m = −3 .
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 4:

(4,0 điểm) Cho tam giác ABC đều cạnh 3a . Lấy các điểm M , N lần lượt trên các cạnh
BC , CA sao cho BM = a , CN = 2a .
 
a. Tìm giá trị của tích vơ hướng AM ⋅ BC theo a .
b. Gọi P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AM vng góc với PN . Tính độ dài PN
theo a .

Câu 5:

(2,0 điểm) Cho hàm số f ( x ) = x 4 − 4 x 2 + 5 + m ( m là tham số). Tìm m để giá trị lớn
nhất của hàm số đã cho trên đoạn  −2; 5  đạt giá trị nhỏ nhất.
----------------HẾT----------------

/>

Trang 1


NHĨM TỐN VD – VDC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10

THPT TRẦN PHÚ

NĂM HỌC 2019 - 2020

(Đề thi có 01 trang)

MƠN: TOÁN –THPT
Thời gian: 120 phút
HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1:

(5,0 điểm). Cho hàm số y  m  2 x 2  2 m 1 x  m  2 ( m là tham số).

NHĨM TỐN VD – VDC

SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH

ĐỀ THI HSG TOÁN

a) Biết đồ thị là một đường parabol có tung độ đỉnh bằng 3m . Xác định giá trị của m .
b) Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng ; 2 .
Lời giải:

a) Để đồ thị là một đường parabol thì m  2  0  m  2 .
2m  5
Đồ thị có tung độ đỉnh bằng 3m 
 3m  2m  5  3m m  2
m2
m  1

2
 3m  8m  5  0  
5 tm .
m 

3

m  1

Vậy 
5.
m 

3
b) Để hàm số nghịch biến trên ; 2 thì m  2 .

m 1 
Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng ;


m  2 
m 1
 2  m 1  2 m  2do m  2  0 .

m2
 m 1  2 m  4  m  3

Ta được:

Vậy 2  m  3 .
Câu 2:

Trong hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AB và CD cắt nhau tại
điểm M , tọa độ điểm A(−2; −2), B(0; 4) và C (7;3) .
   
  
a) Tìm tọa độ điểm E để EA + EB + 2 EC =
0 và tìm giá trị nhỏ nhất của PA + PB + 2 PC
biết P là điểm di động trên trục hồnh.
b) Biết diện tích hình thang ABCD gấp 3 lần diện tích tam giác MBC . Tìm tọa độ đỉnh D
.
Lời giải

/>
Trang 1


NHĨM TỐN VD – VDC

ĐỀ THI HSG TỐN

NHĨM TỐN VD – VDC

a) Ta gọi E ( x; y ) ,




EA = ( −2 − x; −2 − y ) ,EB = ( − x; 4 − y ) ,EC = ( 7 − x; 3 − y )

   
0
−2 − x − x + 2 ( 7 − x ) =
x = 2
.
nên EA + EB + 2 EC =0 ⇔ 
⇔
3
y
=
2
4
2
3
0
y
y
y
−
−
+
−
+
−
=

(
)


Vậy E (2;3) .
  

Ta có: PA + PB + 2 PC= 4 PE= 4 PE .
 

Nên PA + PB + 2 PC đạt giá trị nhỏ nhất khi P là hình chiếu của E lên trục hoành.

Vậy P ( 2; 0 ) .
b) Gọi

M ( a;b )

và D(c; d )

Diện tích hình thang ABCD gấp 3 lần diện tích tam giác MBC nên

4 S ∆MBC = S ∆MAB
1
1
⇔ 4. MH .BC =
MK .DA
2
2
⇔ 4 MH .BC =
MK . AD

⇔

4BC MK
=.
AD MH

Mà ABCD là hình thang nên
Do đó

MK AD
.
=
MH BC

AD 4 BC
.
=
BC
AD



Suy ra AD 2 = 4 BC ⇒ AD = 2 BC ⇒ AD = 2 BC .

 AD =(c + 2; d + 2) c =
12
.
⇒
 
= (7; −1)

d = −4
 BC

Vậy D (12;−4 ) .
Câu 3:

(5,0 điểm) Cho phương trình

2 x 3 + mx 2 + 2 x − m =x + 1 ( m là tham số).

a) Giải phương trình với m = −3 .
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Lời giải
/>
Trang 2


NHĨM TỐN VD – VDC

 x + 1 ≥ 0
Ta có phương trình đã cho ⇔  3
2 .
2
2 x + mx + 2 x − m = ( x + 1)

ĐỀ THI HSG TỐN

NHĨM TỐN VD – VDC

 x ≥ −1

 x ≥ −1
⇔ 3
⇔
( *) .

2
2


−
+
+
+
+
=
x
1
2
x
m
1
x
m
1
0
(
)
(
)
2 x + ( m − 1) x − m − 1 =0





 x ≥ −1
a) Với m = −3 thì (*) ⇔ 
2
0
( x − 1) ( 2 x − 2 x − 2 ) =
 x ≥ −1
x = 1

 x = 1
⇔ 
⇒
.
x = 1± 5
1± 5

x=

2
2
 
 1 ± 5 
Vậy tập nghiệm của phương trình S = 1;
.
2 


 x ≥ −1

b) Ta có (*) ⇔   x = 1
.
  2 x 2 + ( m + 1) x + m + 1 =
0 (**)


Xét phương trình (**) : 2 x 2 + ( m + 1) x + m + 1 =
0
Có ∆=

( m + 1)

2

− 8 ( m + 1=
)

( m + 1)( m − 7 ) .

Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (**) có 2 nghiệm phân
biệt x1 , x2 khác 1 và −1 ≤ x1 < x2
∆= ( m + 1)( m − 7 ) > 0
m +1

 2
−
 x1 + x2 =
2.1 + ( m + 1) .1 + m + 1 ≠ 0

2 ).
(với 
⇔
x x = m +1
( x1 + 1) + ( x2 + 1) > 0
 1 2
 x +1 . x +1 ≥ 0
2
(
)
(
)
2
 1

( m + 1)( m − 7 ) > 0

m ∈ ( −∞; − 1) ∪ ( 7; + ∞ )
 2m + 4 ≠ 0

 m +1
m ≠ −2
⇔ −
⇔
⇔ m ∈ ( −∞; − 2 ) ∪ ( −2; − 1) .
+2>0
3
m
<
2



 m +1 m +1
2 ≥ 0 ( ld )

−
+2≥0

 2
2
Vậy m ∈ ( −∞; − 2 ) ∪ ( −2; − 1) .
Câu 4:

Cho tam giác ABC đều cạnh 3a . Lấy các điểm M , N lần lượt trên các cạnh BC , CA
sao cho BM = a , CN = 2a .
 
a. Tìm giá trị của tích vơ hướng AM ⋅ BC theo a .
b. Gọi P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AM vng góc với PN . Tính độ dài PN
theo a .
Lời giải

/>
Trang 3


NHĨM TỐN VD – VDC

ĐỀ THI HSG TỐN

(

)

9
3
= 3a ⋅ 3a ⋅ cos120° + a ⋅ 3a ⋅ cos 0° =
− a 2 + 3a 2 =
− a2 .
2
2
        1    
b. Ta có AM ⋅ PN = AB + BM AN − AP =  AB + BC  AN − AP
3


    1   1  
1
1
1 1
 1
= AB ⋅ AN − AB ⋅ AP + BC ⋅ AN − BC ⋅ AP = 3a ⋅ a ⋅ − 3a ⋅ x + ⋅ 3a ⋅ a ⋅ − ⋅ 3a ⋅ x  − 
3
3
2
3
2 3
 2

(

)(

)

(

NHĨM TỐN VD – VDC

        
a. Ta có AM ⋅ BC = AB + BM ⋅ BC = AB ⋅ BC + BM ⋅ BC

)

5
5 

=2a 2 − ax =a  2a − x  .
2
2 

 
5 
4

Theo đề, vì AM ⊥ PN nên AM ⋅ PN = 0 ⇔ a  2a − x  = 0 ⇔ x = a .
2 
5


Câu 5:

Cho hàm số f ( x ) = x 4 − 4 x 2 + 5 + m ( m là tham số). Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm
số đã cho trên đoạn  −2; 5  đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
Xét hàm số g ( x ) = x 4 − 4 x 2 + 5 + m trên đoạn  −2; 5  .
Ta có g ( x ) =

(x

2

− 2) + m + 1 .
2

(

Do −2 ≤ x ≤ 5 ⇒ 0 ≤ x 2 ≤ 5 ⇒ −2 ≤ x 2 − 2 ≤ 3 ⇒ 0 ≤ x 2 − 2

(

)

)

2

≤9

Suy ra m + 1 ≤ x 2 − 2 + m + 1 ≤ 10 + m hay m + 1 ≤ g ( x ) ≤ m + 10, ∀x ∈  −2; 5 
2

Suy ra g ( x ) ∈ [ m + 1; m + 10] , ∀x ∈  −2; 5  .
 Trường hợp 1: 0 ≤ m + 1 ⇔ m ≥ −1 , suy ra max f ( x =
) m + 10 .
 −2; 5 



m ≥ −10
 Trường hợp 2: m + 1 < 0 ≤ m + 10 ⇔ 
⇔ −10 ≤ m < −1 ,
m < −1
suy ra max f=
( x ) max {m + 10; −m − 1} .
 −2; 5 



 Nếu m + 10 > −m − 1 ⇔ m > −

11
 11

, suy ra max f ( x =
m + 10 khi m ∈  − ; −1 .
)


2
 2


 −2; 5 

 Nếu m + 10 < −m − 1 ⇔ m < −

11
11 

, suy ra max f ( x ) =−m − 1 khi m ∈  −10; −  .
 −2; 5 
2
2




/>
Trang 4


NHĨM TỐN VD – VDC

 Trường hợp 3: m + 10 < 0 ⇔ m < −10 , suy ra max f ( x ) =−m − 1 .

ĐỀ THI HSG TỐN

 −2; 5 



NHĨM TỐN VD – VDC

11

−m − 1, m < − 2
.
Tóm=
lại h ( m ) max
f ( x) 
=
 −2; 5 


m + 10, m ≥ − 11

2

Suy ra được đồ thị của hàm số h ( m )

Vậy: Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn  −2; 5  đạt giá trị nhỏ nhất khi
11
9
m = − khi đó max f ( x ) = .
 −2; 5 
2
2


----------------HẾT----------------

/>
Trang 5