Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 cấp trường năm 2020-2021 có đáp án - Trường THPT Phùng Khắc Khoan, Hà Nội

SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC
KHOAN-THẠCH THẤT

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2020 – 2021
MƠN THI: TỐN 10
Thời gian làm bài: 150 phút
(Khơng kể thời gian phát đề)
Đề thi gồm: 01 trang

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1 (2,5 điểm)
Cho parabol (P): y = x 2 – 2 x + 4 và các đường thẳng (dm): y = 3 x + 2m + 1 (m là
tham số)
Biện luận số giao điểm của (P) và (dm) theo tham số m.
Câu 2 (4,5 điểm)
Giải các bất phương trình sau :
a/ f ( x ) =

1
1
− 0
x −3 2

b/ x 2

5x

4

5 x2

5x

28

Câu 3 (5 điểm)
1/ Cho lục giác ABCDEF có AB vng góc với EF và hai tam giác ACE và BDF có
cùng trọng tâm. Chứng minh rằng AB2 + EF 2 = CD 2 .
2/ Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn hệ thức: cot A + cot C =  cot B .
a.Chứng minh rằng cot A =

b2 + c2 − a 2
4s
1
2

b. Xác định góc giữa hai đường trung tuyến AA1 và CC1 của tam giác ABC khi  = .
Câu 4 (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, BE và CD là các đường cao
của tam giác.Giả sử D(2;0), E(1;3) và đường thẳng BC có phương trình : y = 1 - 2x
a/ Tìm tọa độ của M biết M là trung điểm của BC
b/ Tìm tọa độ của điểm B biết B có hồnh độ dương
Câu 5 (2 điểm)
Tìm m để phương trình: 4 + x + 4 − x + 2 16 − x 2 = m có nghiệm duy nhất.
Câu 6 (3điểm)
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = 8. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức S = x + y + z
--------------------HẾT-------------------Thí sinh khơng mang tài liệu và máy tính vào phịng thi

Giám thị khơng cần giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: ................................................Số báo danh: ............................
Họ và tên, chữ kí CBCT 1: ..................................................................................
Họ và tên, chữ kí CBCT 2: ..................................................................................


SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC
KHOAN-THẠCH THẤT

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2020 – 2021
ĐÁP ÁN MƠN THI: TỐN 10

Lưu ý: Điểm tồn bài lấy điểm lẻ đến 0,25; thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm
tối đa.
Nội dung
Điểm
2
Cho parabol (P): y = x – 2 x + 4 và các đường thẳng (dm): 2,5
y = 3 x + 2m + 1 (m là tham số)
1) Biện luận số giao điểm của (P) và (dm) theo tham số m.
Xét phương trình hồnh độ: x2 – 2x + 4 = 3x + 2m + 1
1
2
 x – 5x + 3 – 2m = 0 (1). Ta có:  = 8m + 13
Câu
0,5
13

( >0) thì (1) có hai nghiệm phân biệt, do đó (dm) cắt (P)
1 (2,5 +) Nếu m  −
8
điểm)
tại hai điểm phân biệt.
0,5
13
+) Nếu m = −
(  = 0 ) thì (1) có 1 nghiệm kép, do đó (dm) cắt (P) tại
8
một điểm.
0, 5
13
+) Nếu m  −
(   0 ) thì (1) vơ nghiệm, do đó (dm) khơng cắt (P).
8
1
1
Câu
− 0
Giải bất phương trình:
1/ f ( x ) =
2(5,
x −3 2
2,0
điểm)
Ta có

5− x
1

1
1
1
− 0
−  0.
0
x −3 2
x −3 2
2. ( x − 3)

Đặt t = x , bpt trở thành

0,5

5−t
 0 . Cho 5 − t = 0  t = 5 Cho
2 ( t − 3)

t −3 = 0  t = 3

0,5

Bảng xét dấu
a

0,5

Căn cứ bảng xét dấu ta được x  3 hay x  5 .
0,5
Đáp án thi HSG mơn Tốn 10 - Năm học 2020-2021

Trang 1/4 trang


b

x2

b) Bất phương trình

x2

Đặt t

5x

28 , t

5x
x2

0

Bất phương trình trở thành t 2

t2

5t

Suy ra

x2

24

0

5x

3

28

t

8

5 x2

4
5x
24

5x
t2

4

28

2,5

24

0,5

5t

1

8

x2

5x 36

0

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S

9

x

4

0,5

9; 4

0,5

a/ Cho lục giác ABCDEF có AB vng góc với EF và hai tam giác ACE
và BDF có cùng trọng tâm. Chứng minh rằng AB2 + EF 2 = CD 2 .

Câu
3 (5
điểm)

(

Ta có AB ⊥ EF  AB.EF = 0 suy ra AB2 + EF 2 = AB + EF

)

2,00

2

(1)

0,5

Mặt khác ACE và BDF có cùng trọng tâm nên AB + CE + EF = 0 (2) có
chứng minh
Từ (1) và (2) suy ra AB2 + EF 2 = CD 2

1
0, 5

b/ Tam giác ABC có các góc thoả mãn hệ thức: cot A + cot C =  cot B .
Câu 3
(5 điểm)

b2 + c2 − a 2
4s
2. Xác định góc giữa hai đường trung tuyến
1.Chứng minh rằng cot A =

3đ
AA1

và CC1 của tam giác

ABC khi  = 1 .
2

b2 + c2 − a 2
Chứng minh được rằng cot A =
4s
Ta có:
cot A =

1, 0
0, 5

b +c −a
a +c −b
b +a −c
;cot B =

;cot C =
4s
4s
4s
2

2

2

2

2

2

Khi  = 1 . Ta có:

2

2

2

0, 5

2

1
cot A + cot C = cot B

2



b2 + c 2 − a 2 a 2 + b2 − c 2 1 c 2 + a 2 − b2
+
=
4s
4s
2
4s

0, 5

 5b 2 = a 2 + c 2

Ta có:
Đáp án thi HSG mơn Tốn 10 - Năm học 2020-2021

0, 5
Trang 2/4 trang


AG 2 =

4 2 4  b2 + c 2 a 2 
4
4  a 2 + b2 c2 
AA1 = 
−  ; CG 2 = CC12 = 

− 
9
9 2
4
9
9 2
4
4

Suy ra AG 2 + CG 2 =  b2 +
9


a 2 + c 2  4  5b 2 + 4b 2  2
= 
 = b  AA1 ⊥ CC1 .
4  9
4


Vậy góc giữa AA1 và CC1 bằng 90°.
Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, BE và CD là các
đường cao của tam giác.Giả sử D(2;0), E(1;3) và đường thẳng BC có
Câu 4
phương trình
(3,0điểm) 2 x + y - 1 = 0.
a/ Tìm tọa độ của M biết M là trung điểm của BC
b/ Tìm tọa độ của điểm B biết B có hồnh độ dương
Gọi M là trung điểm của BC, tứ giác BCDE nội tiếp ta có MD = ME

vẽ hình minh họa

3,0

1

0,5

Gọi M ( m; −2m + 1) , ta có MD = ME nên
 5m2 − 8m + 5 = 5m 2 − 10m + 5  m = 0  M ( 0;1) ,

Ta có B ( b; −2b + 1) , b  0.MB =

( b − 0 ) + ( −2b + 1 − 1)
2

2

0,5

= 5b 2

MB = MD = 5  5b 2 = 5, b  0  b = 1  B (1; −1)

Câu
Tìm m để phương trình:
5 (2
nhất.
điểm)

4 + x + 4 − x + 2 16 − x 2 = m có nghiệm duy

2

4 + x + 4 − x + 2 16 − x 2 = m (điều kiện −4  x  4)
Điều kiện cần. Giả sử hệ có nghiệm duy nhất là x0

Ta có

1,0

0, 5

4 + x0 + 4 − x0 + 2 16 − x02 = m

4 + ( − x0 ) + 4 − ( − x0 ) + 2 16 − ( − x0 ) = m
2

0, 5

 − x0 là một nghiệm của phương trình

Vì phương trinh duy nhất nên x0 = − x0  x0 = 0  m = 12
Đáp án thi HSG mơn Tốn 10 - Năm học 2020-2021

Trang 3/4 trang


Điều kiện đủ: Xét m = 12 phương trình đã cho trở thành
2 16 − x 2  2 16 = 8

(

4+ x + 4− x

)

2

0, 5

= 8 + 2 16 − x 2 = 12

4 + x + 4 − x + 2 16 − x 2  16
 4 + x + 4 + x + 2 16 − x 2  4 + 8 = 12
Đẳng thức xảy ra  x = 0 . Phương trình có nghiệm duy nhất x = 0,

0, 5

vậy m = 12.
Câu 6 Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = 8. Tìm giá trị
(3điểm) nhỏ nhất của biểu thức S = x + y + z

3

S 2 = ( x + y + z ) = x2 + y 2 + z 2 + 2 ( x y + y z + z x )
2

S 2 = x2 + y 2 + z 2 + x ( y + z ) + y ( z + x ) + z ( x + y )

0, 5

Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có
y + z  y + z = −x = x  x ( y + z )  z2

Chứng minh tương tự y ( z + x )  y 2 , z ( x + y )  z 2
Vì vậy S 2  2 ( x 2 + y 2 + z 2 )

1

Thay x 2 + y 2 + z 2 = 8  S 2  16  S  4
Dấu bằng có thể xảy ra, khi ( x, y, z ) = ( 2; −2;0 ) hoặc các hốn vị, ta có
S=4
Vậy min S = 4

1

Đáp án thi HSG mơn Tốn 10 - Năm học 2020-2021

0, 5

Trang 4/4 trang