Khai thác các tính chất số học liên quan đến bài toán về dãy số trong các kì thi Olympic sinh viên

No.16_June 2020|Số 16 – Tháng 6 năm 2020| p. 110-115

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC TÂN TRÀO
ISSN: 2354 - 1431
/>
KHAI THÁC CÁC TÍNH CHẤT SỐ HỌC LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TỐN
VỀ DÃY SỐ TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC SINH VIÊN

Dương Thị Hồng Hảia,, Lê Thiếu Tránga,*
Trường Đại học Tân Trào

a

*

Email:

Thơng tin bài viết
Ngày nhận bài:
2/5/2020
Ngày duyệt đăng:
10/6/2020

Tóm tắt
Dãy số là một trong những chủ đề nằm trong chương trình giải tích của chương
trình Đại học Sư phạm Tốn, là một chuyên đề cơ bản trong nội dung dạy học cho
các đội tuyển Olympic dành cho sinh viên toán các trường Đại học và Cao đẳng.
Bài toán về dãy số giúp sinh viên hiểu sâu sắc hơn về hàm số, về qui luật phân bố
các số, về tính chất các vô cùng bé, vô cùng lớn... Bài viết này, tác giả tổng hợp

Từ khóa:

Dãy số, giới hạn, số học, số
chính phương, sinh viên.

một số bài toán liên quan đến dãy số nhằm phát triển năng lực học tập và nghiên
cứu của sinh viên.

1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong bài báo này, tác giả dựa trên các ý tưởng đã có

cần thiết phải trang bị cho các em các kiến thức về dãy

về số học và dãy số của một số tác giả như GS.TS Phan

số thơng qua một số bài tốn cơ bản.

Huy Khải (Viện Toán học Việt Nam), một số bài tốn

2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

trong Tạp chí Tốn Học và Tuổi trẻ và một số chuyên đề

Trong phần nội dung, do chuyên đề này là ứng dụng

về dãy số, làm sáng tỏ một số vấn đề học sinh và sinh

số học vào dãy số, nên kiến thức cơ sở sẽ được đề cập

viên cịn chưa rõ khi giải tốn dạng này, hình thành

trong từng bài cụ thể.

phương pháp chung giải các dạng tốn đó.
Thực tế giảng dạy, sinh viên tham gia dự thi Olympic
tại Trường Đại học Tân Trào năm 2018- 2019 tác giả
nhận thấy, sinh viên đội tuyển toán chưa nắm được hệ
thống các ứng dụng số học vào dãy số hiệu quả, chưa có
cái nhìn tổng thể, nguồn gốc các bài tốn và chưa có tính
chủ động, sáng tạo trong thực tiễn. Do đó, để các đội
tuyển sinh viên đạt kết quả cao trong các kì thi Olympic

2.1. Bài tốn 1. Tính tổng

Sk 1k 2k ...nk,n¥*,k¥.
2.1.1. Xây dựng cơng thức tính:
Ta đã biết:

S0 10 20 ...n0 n
S1 11 21 ...n1  n(n1)
2


L.T.Trang et al/ No.16_June 2020|p.110-115

S2 12 22 ...n2  n(n1)(2n1) ,
6
Đã có nhiều cách để tính các tổng trên, nhưng để tổng

xn 14 24 ...n4 12 22 ...n2 
Đây chính là tổng

xn  (n 1)n(n 1)(2n 1)(n 2)
10

quát được, ta có thể làm như sau:
Ta đã có cơng thức:

S4 và S2 ở trên. Thay vào ta được:

Cknankbk .
a bn k
0
n

un  (n1)(2n1),n¥ *.
10(n1)

Áp dụng vào các khai triển sau:

Nhận xét: Bài tốn trên là loại dãy sai phân tuyến tính
1
2
n12 -1=CS
2 1 CS
2 0
với hệ số biến thiên: Tìm số hạng tổng quát của dãy
3
1
2
3
(n+1) -1= n 1 -1=CS

1)...(nk) u 1 ,n¥ *.
3 2 CS
3 1 CS
3 0 ...
un biết u a; u (nn(nk1)...(n
 
2k1)
Tổng qt ta có cơng thức truy hồi cho Sk :
2.1.3. Bài tập tương tự
k
1
2
k
k1
n1 -1=Ck1Sk Ck1Sk1 ...Ck1S1 Ck1S0 Bài 1.1. Cho dãy số (u ) biết:
3

n1

1

n

n

2.1.2. Ví dụ 1. Tìm số hạng tổng qt của dãy số (un),
biết:

u1 0,un1  n(n1) un 1,n¥ *.
(n2)(n3)

Giải: Phương trình dãy được viết lại: un+1=
2
un1  n(n1) (n22) un 1
(n1)(n2) (n3)

un 

2.1 3.2 ...n1.n . Tính limu ?
n
n4
2

2

Bài 1.2. Tính các giới hạn sau:
5
5
5
lim1 2 6...n ;
n
k
k
k
2) lim1 2 ... n .
k1
n

1)

Bài 1.3. Tìm

n1n22n3un1 nn12n2un nn12n2.
Đặt
và

nn12 n2un xn

nn12 n2 fn , ta có phương trình:
xn1 xn  fn, x1 0.

Cho

n1,2,..., ta có:

xn xn1 n1.n2.n 1
xn1 xx2 n2
. n12.n

xn x1 1.2.32.3.4...n1.n
 .n1.
Thay x1 0ta có:
2
2
xn 1.2.3
2.3.4
...n1.n2.n1.
2

n1.n .n1 n n .
2

Do đó:

4

2

2.2. Bài tốn 2. Tìm điều kiện hoặc chứng minh các số
hạng của một dãy số khơng đổi dấu.
2.2.1. Ví dụ: Cho dãy

an biết a0 a, a1 bvà

an2 an1 2an 6. Tìm điều kiện của a, b để
an> 0,n¥ .

an vn wn , với vn là dãy tuyến tính thuần
nhất, wn  là dãy đa thức của n. Phương trình đặc

Cộng các đẳng thức và rút gọn ta được:

Ta hãy tìm cách tính tổng trên, ta có:

u1 1,un1  n1(un 2),n¥ *.
n2

+ Tìm số hạng tổng qt của dãy: Đặt

...

2

un biết

Giải:

2
x2 x1 1.2.3

2

2

trưng của dãy là

x2 x20,

có nghiệm

x1 1, x2 2, nên ta có:

vn A.1n B.2n AB.2n và
wn C.n.
Thay vào dãy ta có:

Cn2 Cn1 2Cn6C2


L.T.Trang et al/ No.16_June 2020|p.110-115

Do đó:

wn 2n. Vậy:
2.3.2. Các bài tập tương tự

an AB.2n 2n, n¥.
Thay n 0,1ta có:

Bài 3.1. Cho dãy

x1 1,xn1 3xn  8xn2 1,n¥ *.

an (2)n 2abn2 2nn ab2,n¥ .
3 
 (2) (2)

Chứng minh mọi số hạng của dãy đều nguyên.
Bài 3.2. Cho dãy

Từ đó ta thấy:
- Nếu

a b2 0
3

thì với

n2k1

có

liman , loại.
-

Nếu

thì

với

n2k

liman , loại.

a, b là b a 2 và a 0.
Xác

định

các

dãy

an biết:

a0 1, an2 an1 a

nmà an  0,n¥ .

Bài 2.2. Chứng minh có duy nhất 1 dãy số dương

un  thoả mãn điều kiện:

u0 1, un un1  un2,n¥.
2.3. Bài tốn 3. Lập luận để các số hạng của một
dãy số là số nguyên.
2.3.1. Ví dụ: Cho dãy

an biết: a1 a2 1,

2
a
an  n1 2,n 3. Chứng minh mọi số hạng của
an2

dãy đều là số nguyên.
Giải: Trước hết ta đưa dãy về dạng tuyến tính. Ta

a 3, a4 11, a5 41. Giả sử
an an1 an2 .Thay n 1,2,3ta được
có: 3

3  
 4
hệ: 
.

113    1
4111 3   0
Vậy:

an  biết:

an 4an1 an2, n3.

Do a1 a2 1Â an Â,nƠ *.

Tỡm

k

nguyờn dng để mọi số hạng của dãy đều nguyên.
Bài 3.4. Bài toán tổng quát 1: Cho

an biết:

2.2.2. Bài tập tương tự
2.1.

Bài 3.3. Cho dãy

a1 1,an1 5an  kan2 8,n¥ *.

a b2 0 thoả mãn và điều kiện cần tìm của
3

Bài

u,1 u2 để dãy có vơ số số hạng

ngun.
có

un thoả mãn:

un2  un.un1 ,n 1,2,....Tìm điều kiện
2un un1
cần và đủ đối với

a b2 0
3

xn biết:

a, bZvà dãy

a1 1, an1 a.an  k.a2n b. Tỡm k nguyờn
dng

an Â,nƠ *.

Bi 3.5. Bi toỏn tổng quát 2: Cho các số nguyên

a, b, c thoả mãn: a2 b1. Dãy un 
được xác định như sau:

u0  0, un1  aun  bu2n c2 ,n¥ .

Chứng

mọi số hạng của dãy đều nguyên.
Bài 3.6. Chứng minh tồn tại đúng một dãy

un 

nguyên thoả mãn:
u1=1, u2 > 1,

u1 1,u2 1,u3n1 1unun2,n 1,2,...

2.4. Bài toán 4. Chứng minh, phát hiện các đẳng thức
về dãy số, số chính phương và số lập phương.
2.4.1. Ví dụ: Cho dãy

an  với

a0 1, a1 13, an2 14an1 an, n¥.
Chứng minh với mọi số tự nhiên
1)

nta có:

a an.an2 120.
2
n1

4a2n 1 là số chính phương. Từ đó suy
3
2an 1và 2an 1 cũng là các số chính phương.
3

2)

a

ra số

3) n là tổng của hai số chính phương liên tiếp và a2n
là hiệu của hai số lập phương liên tiếp.


L.T.Trang et al/ No.16_June 2020|p.110-115

Điều này đúng vì
Giải:
1) Câu hỏi 1) có thể làm bằng phương pháp qui nạp

2a 1, 2an 1 1
 n
3 

(các tài liệu đều giải theo cách này). Nhưng vấn đề đặt ra

Mặt khác

là: Nếu không yêu cầu chứng minh đẳng thức trên, mà

2an 33
M.

hỏi các câu hỏi sau thì học sinh sẽ xử lí như thế nào? Ta

hãy hướng dẫn học sinh tự xây dựng được đẳng thức

3) Vì

an 1mod3(chứng

3

lẻ nên ta có:

này:
Từ giả thiết dễ thấy an 0,n¥ và a2 181.

an2 14an1 an an2 an 14.
an1

Thay

2.4.2. Bài tập tương tự

nbởi n1ta được:

Bài 4.1. Cho dãy số

an1 an1 14an2 an  an1 an1
an
an1
an

a2n1 an.an2 an2 an1.an1.

Truy hồi biểu

thức trên ta được:

a2n1 an.an2 a12 a0.a2 12=-12.

an Â,nƠ . Theo 1) thỡ

a2n1 an.an2 120.
a2n1 an.14an1 an  120

phương trình:

a2n1 14an1.an a  120
x an1 ¢ ' 48a2n 12

với

n¥ *.

un  biết
u1 1, u2 3, un1 n2un n1un1, n 2,3,...Tìm n
để un là số chính phương.
Bài 4.3. Cho dãy số nguyên un  với
Bài 4.2. Cho dãy

u0 1, u1 45, un2 45un1 7un,¥ .

phải có nghiệm

1) Tìm số ước số tự nhiên của số

phải là số chính

Mu2n1 un.un2.

phương.
Ta có

an 

a0 2, an1 4an  15a2n 60,n¥ . Tìm an
và chứng minh: 1a 8 bằng tổng bình phương 3
5 2n
số nguyên liên tiếp,

Vậy:

a2n1 an.an2 120,¥ .
2) Từ giả thiết dễ thấy

2an 12k12 an 2k2 2k1k2 k12.
4a2n 1 2k1 2 a 3k23k1 k1 3 k3.
 
 
3

Nên đẳng thức:

2) Chứng minh với mọi số tự nhiên
2
2
' 36. 4an 1 chính phương  4an 1 là
 3 
 3 

số chính phương.

2an 1 2an31

Ta cũng có:  4a2n 1


 3 



chính

phương.
Để hai số

2an 1và 2an 1 chính phương thì phải
3

có:

minh quy nạp)

2
2an 1và 4an 1 là những số chính phương

phần 1), đó cũng là cách khác để chứng minh đẳng thức



2an 1, 2an 1 1nên

2a 1, 2an 1 1.
 n
3 


M
2an 13

n

An 1997.4.7n1 là số chính phương.
Bài
4.4.
Cho
dãy
un 

thì số

biết

u0 3, u1 17, un 6un1 un2,n2,3,...Chứng minh
n¥ thì u2n 12
Mvà thương là số chính phương.
Bài 4.5. Cho dãy un  biết

u1 1, u2 1, un un1 2un2, n3.
Lập dãy

vn  với

vn 2n1 7un21,n2,3,...Chứng
hạng của dãy

vn 

là số chính phương.

minh mọi số


L.T.Trang et al/ No.16_June 2020|p.110-115

2.5. Bài toán 5. Các bài tốn liên quan đến tính chất
chia hết và có dư
2.5.1. Ví dụ: Cho dãy

un  biết:

u0 u1 1, un1 un 2un1,n1,2...;
v0 1, v1 7, vn1 2vn 3vn1,n1,2...

Tìm

S ui2 . Tìm số dư khi chia S cho 8,
1999
i0

cho 5 và cho 40.
Giải:
+
Từ
giả

u2n2 u2n1 9u2n 
u 9u 5u
 2n1 2n 2n1
u2n2 u2n1 u2n (mod4)
u u u
 2n1 2n 2n1
Khai triển dãy :
u3
u4

u0
u5 .....

ta

tính

Chứng minh trong 2 dãy trên chỉ có 1 hạng tử chung,

ngồi ra khơng cịn hạng tử nào chung khác.

được:

un 

xác định như sau:

2 3 2 3 ,n0,1,2,...
n

un=

n

23

Chứng minh

un ¢,n 0, 1, 2... Tìm tất
dãy chia hết cho 3.
u1

1
12
123
121
2794
Do đó u0
u1

u2
u4
u5
u6
u7
u9 ... lần lượt đồng dư
1
0
3
3
2
3
0
3 (mod4)
 Dãy số dư tuần hoàn chu kỳ 6 (mod4),

u2
Bài 5.4. Cho dãy

an 

cả các số hạng của

với

a0 19, a1 98, an2 an an1.

3

Sai2 cho 8.

1998

u3
u8
3
1

Tìm số dư khi chia

0

Bài 5.5. Cho dãy

un , n¥ * với

u1 2, un 3un1 2n3 9n2 3, n 2,3,...

n2.

Vậy:

S12 32 33302 32 32 22 12 32  106662

(mod4) 

un và vn ?

Bài 5.3. Cho dãy
thiết

un  và vn  xác định như

sau:

u0 1, u1 3 và
u 9u :n 2k
un2 
9un1 5un :n2k1,n¥ .
 n1 n
Tính tổng

Bài 5.2. a) Cho hai dãy

Chứng minh với mỗi số p nguyên tố ta có:
p1

2000uiM
p.

S2 (mod8).

i1

+ Tương tự trên ta có:

3. KẾT LUẬN

u2n2 u2n1 u2n (mod5). Khai triển được
u u
 2n1 2n

Qua một số bài tốn cơ bản nêu trên, sẽ góp phần giúp

un 

tuần hoàn chu kỳ 8 (mod5),

n2,

các em sinh viên rút ra được định hướng tư duy và
phương pháp giải bài toán số học liên quan đến dãy số
nên

S=12+32+24922+32+...+12  3(mod5)
+ Từ hai ý trên do

8,5 1 nên ta có S18

(mod40).
2.5.2. Bài tập tương tự
Bài 5.1. Cho dãy

bn  với

b1 0, b2 14, b3 18, bn1 7bn1 6bn2,n¥ *.
Chứng minh nếu plà số nguyên tố thì bpM
p.

trong các kì thi Olympic Tốn. Với những đánh giá và
bổ sung về lí luận và phương pháp giải sẽ giúp sinh viên

củng cố vững hơn về dạng toán và giải quyết những bài
toán khó hơn. Tuy nhiên, bài tốn về dãy số là một chủ
đề rất rộng nên rất cần tiếp tục có nghiên cứu, tổng hợp
chuyên sâu đến những dạng toán thường gặp trong các
kì thi Olympic Tốn của học sinh, sinh viên, đặc biệt là
những bài toán giúp phát triển năng lực tư duy Tốn học
cho học sinh, sinh viên, góp phần nâng cao chất lượng
dạy học mơn tốn theo hướng tập trung vào phát triển
năng lực người học.


L.T.Trang et al/ No.16_June 2020|p.110-115

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Phan Huy Khải, Các chuyên đề số học bồi dưỡng
học sinh giỏi Toán - Chuyên đề Số học và dãy số, Nxb
Giáo dục, 2016 (tái bản).
[2]. Bộ Giáo dục và Đào tạo - Hội Toán học Việt
Nam, Tuyển tập 30 năm Tạp chí Tốn học và Tuổi trẻ,
Nxb Giáo dục, 2013 (tái bản).
[3] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích tập 1, Nhà
xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

[4] Trần Đức Long - Nguyễn Đình Sang - Nguyễn
Viết Triều Tiên - Hồng Quốc Tồn (2008), Bài tập giải
tích tập I, Nhà xuất bản ĐHQG Hà Nội, Hà Nội.
[5] Trần Đức Long - Nguyễn Đình Sang - Hồng
Quốc Tồn (2009), Bài tập giải tích tập II, Nhà xuất bản
ĐHQG Hà Nội, Hà Nội.
[6] Nguyễn Đình Trí (chủ biên) - Tạ Văn Đĩnh Nguyễn Hồ Quỳnh (2001), Bài tập toán cao cấp tập hai,

Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
[7]. W.J.Kaczkor - M.T.Nowak (Người dịch: Đoàn
Chi), Bài tập Giải tích 1, Nxb Đại học Sư phạm, 2003.

Exploiting arithmetical properties related to numeral mathematical
problems in student olympic exams
Le Thieu Trang, Duong Thi Hong Hai

Article info
Recieved:
2/5/2020
Accepted:
10/6/2020

Abstract
The sequence of numbers is one of the subjects in the analytic program of the
Mathematics Pedagogical University, it is a basic subject in teaching contents for the
Olympic of Maths students in colleges and universities. The problems of sequence’s
number helps students understand more about the functions, the distribution rules of
numbers, the properties of the infinitely small, infinitely great,... In this article, the

Keywords:
Sequence of numbers,
limit, arithmetics, square
number, student.

author summarizes a number of problems related to the sequence of number to develop
students' learning and research capacity.