cac dang he phuong trinh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (146.71 KB, 8 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Dạng 1: Hệ gồm một pt bậc nhất và các pt bậc cao

1/ Phương pháp: Rút một ẩn từ pt bậc nhất thế vào các pt bậc cao
2/ Ví dụ

Ví dụ 1: giải các pt sau:

a/
2

2x 1

2x 4

y

x y y

ìï - + =
ïïí

ï + - =

ïïỵ b/ 3 2

5x 7
x y

x x y
ìï + =
ïïí

ï + + =

ïïỵ
Ví dụ 2: Cho hệ pt

2 2

1 0

2 x 4x 2 3 0

x y

m my m

ìï - + =
ïïí

ï - + + - =

ïïỵ

a/ Giải hệ khi m = 3

b/ Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
Giải: a/ (x ;y) = (0 ; 1) và (2/3 ; 5/3)

b/ m = 0 hoặc m = 4

Ví dụ 3: Cho hệ pt

2 2 1

x y

x y m

ìï + =

ïïí

ï - =

ïïỵ

a/ Giải hệ khi m = 2 b/ Tìm m để hệ vô nghiệm

Giải: a/ (x ;y) =

2 2
( ; )

2 - 2 b/ m> 2
Ứng dụng : Cho hệ pt

2x 2 3 0

x y m

y m

ìï - - =
ïïí

ï + - - =

ïïỵ

a/ Giải hệ khi m = 1

b/ Tìm m để hệ có 2 cặp nghiệm thõa mãn x12+y12 =x22+y22
ĐS: a/ (x;y) = (2;1) và (-2; -3)

b/ m = 2

Dạng 2: Hệ pt đối xứng loại 1
1/ Định nghĩa: Là hệ có dạng

( ; ) 0
( ; ) 0

f x y
g x y

ìï =

ïïí

ï =

ïïỵ trong đó khi hốn đổi x và y thì mỗi pt

khơng thay đổi.

Ví dụ: Các hệ pt

2 2 3

x xy y

xy x y

ìï + + =

ïïí

ï + + =

-ïïỵ và

2 2 30

11
x y yx

xy x y

ìï + =

ïïí

ï + + =

ïïỵ
2/ Cách giải:

2.1 Nhớ lại định lý Viet trong phương trình bậc hai

Cho pt

ax

+

b

x

+ =

c

0

có hai nghiệm x1; x2 thì

1 2
1 2

b
x x

a
c
x x

a

ìï
-ï + =
ïïï

íï
ï =

ïïïỵ . Ngược lại nếu có hai số

u ; v thỏa mãn

u v S
uv P

ìï + =
ïïí

ï =

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Ví dụ Tìm hai số u ;v thỏa mãn

6
8

u v
uv

ìï + =
ïïí

ï =
ïïỵ

2.2 Cách giải hệ đối xứng loại 1:

Đặt x+y = S và xy = P ( ĐK S2 > 4P); thay vào tìm S và P. Từ đó suy ra x và y.

3 / Bài tập:

Bài 1: Giải các hệ pt:

3 3

2 1 3 1 3

20 1 3 1 3

x y x x

hoac

x y y y

ì ì

ï ï

ìï + = ï = + ï =

-ïï Û ï ï

í í í

ï + = ï = - ï = +

ï ï ï

ïỵ ïỵ ïỵ

2 2

4 2 2 4
7

x xy y
x x y y

ìï + + =
ïïí

ï + + =

ïïỵ Đặt x + y = S và xy = P ta có P = 2 và S = ±3

Với P = 2; S = 3 ta có nghiệm (-1;-2) và (-2; -1)
Với P = 2 ; S = -3 ta có nghiệm (1; 2) và (2; 1)

6 6

11
11
xy

x y

xy x y
ìïï + + =
ïï

íï

ï + + =

ïïỵ . Nghiệm của hpt (-2; -3) và ( -3; -2)

Bài 2: Cho hệ pt

2 2

6
x y m
x y

ìï + =
ïïí

ï + =
ïïỵ

a. Giải hệ khi m = 26
b. Tìm m để hệ vơ nghiệm

c. Tìm m để hệ có 2 nghiệm phân biệt
Giải: Ta có

6
36

2
x y

m
xy

ìï + =
ïïï

-ï =

ïïïỵ , khi đó x; y là nghiệm của pt X2 – 6X + 
36

2
m

= 0 (1)
a. Nghiệm của pt (1;5) và (5; 1)

b. m < 18
c. m > 18

Bài 3: Cho hệ pt

5( ) 4 4x
1

x y y

x y xy m

ìï + = +
ïïí

ï + - =
-ïïỵ

a/ Giải hệ khi m = 2

b/ Tìm m để hệ có nghiệm

Giải: a. ( 4- - 7; 4- + 7) ( 4va- + 7; 4- - 7)

1
4
1
m
m
é
ê £
ê
ê ³
ê
ë

Bài 4 Tìm a để hệ pt

2 2
2

2(1 )

( ) 4

x y a

x y

ìï + = +

ïïí

ï + =

ïïỵ có đúng 2 nghiệm

Giải: Đặt x+y = S và xy = P, ĐK S2 > 4P. Ta có

2
1
S

P a

ìï = ±
ïïí

ï =
-ïïỵ

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Với S = -2 , P = 1 – a thì x, y là nghiệm của X2 + 2 X + 1 – a = 0 có D ='2 a

Để hệ có đúng 2 nghiệm thì mỗi pt có nghiệm kép, suy ra a = 0

4. Cách tìm nghiệm duy nhất của hệ đối xứng loại 1

ĐK cần

Vì (x0; y0) là nghiệm thì (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ. Để hệ có nghiệm duy nhất thì x0 =

y0, thay vào hệ để tìm m

ĐK đủ:

Thay m vừa tìm được vào hệ xem giá trị nào thỏa mãn.

Ví dụ 1: Tìm m để hệ pt

2 2
6

x y m
x y

ìï + =
ïïí

ï + =

ïïỵ có nghiệm duy nhất

Giải

ĐK CẦN Vì (x0; y0) là nghiệm thì (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ. Để hệ có nghiệm duy

nhất thì x0 = y0. Ta có hệ

2
0

0
0

18
2x

2x 6

m
m

x

ì ì

ï = ï =

ï ï

ï Û ï

í í

ï = ï =

ï ïïỵ

ïỵ

ĐK ĐỦ Thay m = 18 vào ta có nghiệm ( x; y ) = (3; 3)

Ví dụ 2: Tìm m để hệ

2 2

x y xy

m

x

y

m

ìï + +

=

ïïí

ï

+

=

ïïỵ

có nghiệm duy nhất

Đáp số: m = 0 hoặc m = 8
BÀI TẬP CŨNG CỐ

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

2 2 8

x y x y
xy x y

ìï + + + =
ïïí

ï + + =

ïïỵ b.

4
4

x y

x y xy

ìï + =

ïï

íï + - =

ïïỵ c.

2 2 30

11
x y yx

xy x y

ìï + =

ïïí

ï + + =

ïïỵ
d.

2 2

3( ) 28

x y xy

x y x y

ìï + + =
ïïí

ï + + + =

ïïỵ e. 3 3

30
( ) ( ) 35

x y y x

x y

ìï + =

ïï

íï + =

ïïỵ

Bài 2: Tìm m để hệ

2 2

2
1
x y xy m
x y yx m
ìï + + = +
ïïí

ï + = +

ïïỵ có nghiệm duy nhất

Bài 3: Tìm m để hệ

2 1

( )

x xy y m

xy x y m m

ìï + + = +

ïïí

ï + = +

ïïỵ có nghiệm duy nhất

Dạng 3: Hệ phương trình đối xứng loại 2

1/ Định nghĩa: Là hệ có dạng

( ; ) 0
( ; ) 0

f x y
f y x

ìï =

ïïí

ï =

ïïỵ trong đó hốn đổi x và y cho nhau thi phương

trình này trở thành phương trình kia.

Ví dụ: Hệ phương trình
2
2

3x 4
3 4x

x y

y y

ìï = 
-ïïí

ï =

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

2/ Cách giải

Trừ từng vế của 2 pt cho nhau để đưa về pt tích.
3/ Ví dụ

Ví dụ 1: Giải các hệ pt:

a.
2

3x 4
3 4x

x y

y y

ìï = 
-ïïí

ï =

-ïïỵ Hệ có nghiệm (x; y) = (0;0) và (-1;-1)

b.
2
2

3 0

0
3

y xy x x
y
x xy y

ì ì

ï - = ï =

ï ï

ï Û ï

í í

ï - = ï =

ï ïïỵ

ïỵ

1 3

1 2 1 3

x x x

y x

y y

y

x y

ìïï + = ì

ï ìï = ± ï = ±

ï ï ï

ï Û ï Èï

í í í

ï ï = ± ï =

ï + = ïïỵ ïï

ï ỵ

ïïỵ m

3 2

2 2

3 2

2x

3

1 2x

3yx 2

0

2

3 x

y

x y

x

y

VN

y

y x

ì

é

ï

+

=

= =

ïï

Û

ê

Û

ê

í

ê

ï

+

=

ê

+

=

ê

ï

ë

ïỵ

Ví dụ 2: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:

2 2

2 x

x y m y

y my x

ìï - = +

ïïí

ï - = +

ïïỵ

Giải: ĐK CẦN x = y suy ra m = -1

ĐK ĐỦ Thay m = -1 ta thấy thỏa mãn.
4/ Bài tập củng cố:

Bài 1: Giải các phương trình sau

3 2

0
40

40 2 5

x y

x xy y

y x y x x y

ìï + = = =

ï ê

ï Û

í ê

ï + = ê = = ±

ïïỵ ë

b.
3
3

3 8

3 8 11

x y

y y x

x x y x y

ìï = + = =

ï ê

ï Û

í ê

ï = + ê = = ±

ïïỵ ë

c.
3
3

1 2

1 2x

x

y

ìï

+ =

ïïí

ï

+ =

ïïỵ

Bài 2: Tìm m để các hệ sau có nghiệm duy nhất:

a.
2
2

(

)

2 (

)

2 x

x y

m

y

x y

m

ìï

-

+

=

ïïí

ï

-

+

=

ïïỵ

b.

2
2

(

1)

(

1)

xy x

m y

xy y

m x

ìï

+

=

-ïïí

ï

+

=

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

c.( Khối B-2003)

2 2

2 2 2

3 3x 2(1)

2 3 2(2)

y

y y y

x

x y x x

y

ìï +

ï =

ï ìï = +

ï ï

ï Û ï

í í

ï + ï = +

ï = ïïỵ

ïï

ïỵ Lấy (1) – (2) ta được

3x (

) (

)(

)

0 3x

0(3)

x

y

y x y

x y x y

x y

y

é =

ê

-

+

-

+

= Û ê + +

=

ê

ë

+ Với x = y ta có

3x

-

x

-

2 = Û

0 x

= Þ

1 y

=

1

+ Phương trình (3) vơ nghiệm vì x > 0 và y > 0.

Dạng 4: Hệ phương trình đẳng cấp

1/ Định nghĩa: Là hệ có dạng

1 1

2 2

( ; ) ( ; )
( ; ) ( ; )
f x y g x y
f x y g x y

ìï =

ïïí

ï =

ïïỵ trong đó f1 và f2 đẳng cấp và cùng bậc.

g1; g2 đẳng cấp và cùng bậc.

2/ Cách giải Bước 1: Xét x = 0 hoặc y = 0.

Bước 2: x khác 0. Đặt y = tx sau đó chia từng vế của 2 phương trình cho nhau.

3/ Ví dụ Giải hệ phương trình

3 2

40 (1)
10x (2)

x xy y

y x y

ìï + =

ïïí

ï + =

ïïỵ

Giải + Nếu x = 0 suy ra y = 0. Vậy (0;0) là một nghiệm

+ Với x ¹ 0. Đặt y = tx thay vào hệ và chia từng vế của (1) cho (2) ta được

3 2

3 3

(1 ) 1 1

4 4

( )

x t

t t t

t

x t t

= Û = Û = ±

+ Với t = ½ suy ra x = 2y thay vào (2) ta được 5y(y2 – 4) = 0 Û y2 = Û4 y= ±2

Suy ra (4; 2) và (-4; -2) là nghiệm

+ Với t = -1/2 suy ra x = -2y thay vào (2) ta được y2 = -4 VN

Kết luận: Hệ có 3 nghiệm.
4/ Bài tập

Bài 1 Giải các hệ phương trình

a. (KA-2005)

2 2

3 3

2x

15 8x

35 y xy

y

ìï

+

=

ïïí

ï

+

=

ïïỵ

b.

2 2 5

2x 5 2

x xy y

y

x y xy

ìï + - =

ïïï

-ï - =

-ïïïỵ

2 2
2 2

( )( ) 3

( )( ) 15

x y x y

ìï - - =

ïïí

ï + + =

ïïỵ d.

2 2

2x 3x 15

2 8

y y

x xy y

ìï + + =

ïïí

ï + + =

ïïỵ

ĐS a. (1; 3) ; (3/2; 2) b. (2; 1) ; (-2; -1) c. (1;2) ; (2;1) d.

11 1

( 2; 1);( ; )

14 14

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài 2: Tìm m để hệ sau có nghiệm

2 2

2
4x

3x 4

x y y m

y y

ìï - + =

ïïí

ï - =

ïïỵ
ĐS Mọi giá trị của m

Bài 3: Cho hệ
2

2 2

2 4 2

x xy

x xy y m

ìï - =
ïïí

ï + - =

ïïỵ

a. Giải hệ khi m = 14 b. Tìm m để hệ có nghiệm
ĐS a.(2;1); (-2; -1) b. mọi giá trị của m

Dạng 5: Hệ khơng có cấu trúc đặc biệt

Loại 1: Phương pháp thế và đặt ẩn phụ
Bài 1: Giải hệ

2
2

( 2 )(3 ) 18

5 9 0

x x x y
x x y

ìï + + =

ïïí

ï + + - =

ïïỵ

Giải: Đặt

2 2 ; 3 thay vào ta có 3; 6

u u

u x x v x y

u v

ìï = =

ïï

= + = + íï + =

ïïỵ

Với u = 3 và v = 6.

1 3

và

3 15

x x

y y

ì ì

ï = ï =

-ï ï

ï ï

í í

ï = ï =

ï ï

ỵ ỵ

Với u = 6 và v = 3 .

1 7 1 7

và

6 3 7 6 3 7

x x

y y

ì ì

ï = - - ï = - +

ï ï

í í

ï = + ï =

-ï ï

ï ï

ỵ ỵ

Bài 2: Giải hệ
2

(2 3 )( 1) 14

3 9

x x y x

x x y

ìï + - =

ïïí

ï + + =

ïïỵ

Giải: Đặt

7
Ta có

2x 3 7

u
v

u x x

v y u

v

éìï =
ïêïíê

ì ï

ï = - êï =

ïï ïỵê

í ì

ï = + êï =

ï ïï

ïỵ êí

êï =ïêïỵë

Với u = 2 và v = 7 ta có

1 2

và

3 1

x x

y y

ì ì

ï = - ï =

ï ï

í í

ï = ï =

ï ï

ỵ ỵ

Với u = 7 và v = 2 ta có

1 29 1 29

2 và 2

6 29 6 29

3 3

x x

y y

ì ì

ï + ï

-ï ï

ï = ï =

ï ï

í í

ï - ï +

ï ï

ï = ï =

ï ï

ỵ ỵ

Bài 3: Giải hệ

2
2

( 1) 3 0 (1)

K hôi D- 2009
5

( ) 1 0 (2)

x x y
x y

x

ìï + - - =

ïïï

íï + - + =

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Giải: ĐK 2

3 2 3

0. (1) 1 thay vào(2) ta có 1 0

x x y

x x x

¹ Û + = + + + =

Đặt

1
1

ta có 1

2
t
t

x t

é =
-ê
ê

=

-ê =
ê
ë

Với t = -1 suy ra x = -1 và y = -1
Với t = -1/2 suy ra x = -2 và y = 3/2
Bài 4: Giải các hệ

a. (Khối B- 2009)

2 2 2

1 7 (1)
1 13 (2)

xy x y

x y xy y

ìï + + =

ïïí

ï + + =

ïïỵ b.

2 3 2

4 2

5/ 4

(1 2 ) 5/ 4

x y x y xy xy

x y xy x

ìï + + + + =

-ïïí

ï + + + =

-ïïỵ

c. (Khối B- 2008)

4 3 2 2
2

2 2 9

2 6 6

x x y x y x

x xy x

ìï + + = +

ïïí

ï + = +

ïïỵ

2 2 2 2

(3x ) 3(9x ) 10(3x ) 0

3x 6

y y y

y

ìï + - - - - =

ïïï

íï + + =

ïï

-ïỵ

HD: a. Vì y = 0 khơng thỏa mãn nên chia (1) cho y và chia (2) cho y2

Đặt

1 và x

u x v

y y

= + =

Ta có

4 5

và

3 12

u u

v v

ì ì

ï = ï =

-ï ï

ï ï

í í

ï = ï =

ï ï

ỵ ỵ

Hệ có các nghiệm (3 ; 1); (1; 1/3)

b. Hệ tương đương

2 2

( 1) 5/ 4

( ) 5/ 4

x y xy x y

x y xy

ìï + + + + =

-ïïí

ï + + =

-ïïỵ

Đặt

2 và Ta có 0 và 1/ 2

5/ 4 3/ 2

u u

u x y v xy

v v

ì ì

ï = ï =

-ï ï

ï ï

= + = íï = - íï =

-ï ï

ï ï

ỵ ỵ

Hệ có nghiệm

5

3 (

;

( ) ) ; (1;

)

4 -

2

2 2

( ) 2 9 (1)

6 6

(2)
2

x xy x

x x

xy

ìï + = +

ïïï

í +

-ï =

ïïïỵ Thay (2) vào (1) ta có pt

4 13 3 48 2 64 0 0 (loai)

x

x x x x

x

é =
ê

+ + + = Û ê

=-ê

ë Hệ có nghiệm (-4; 17/4)

d. ĐK

y

¹

3x

Đặt u = 3x + y và v = 3x – y ta được

2 3 10 2 0 (1)
1

6 (2)

u uv v
u

v

ìï - - =

ïïï

íï + =
ïïïỵ

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

+ u = - 2v thay vào (2) ta có

3 7

3 7 9 3 7

2 4

u x

v y

ìï ±

ì ï

ï = ± ï

ï ï =

ïï Þ ï

í - í

ï ï

ï = ï

ï ï =

ï ï

ỵ ïỵ

m m

+ u = 5v thay vào (2) ta có

5

1 1/ 5

và

1 1/ 5

2 2/ 5

u

x

v

y

ì

ï

=

ï

=

ï

=

ï

=

ï

Þ

ï

í

ï

=

ï

=

ï

=

ï

=

ï

ỵ

Tóm lại hệ phương trình có 4 nghiệm

Loại 2 : Sử dụng phương pháp đồng biến, nghịch biến

Phương pháp: Nếu hàm số f(t) ĐB (NB) trên (a; b) thì phương trình f(x) = f(y) có nghiệm
duy nhất x = y trên (a ;b)

Bài 1: Giải hệ

1 1

(1)

(DH K hoi A- 2003)

2 1 (2)

x y

y x

ìïï - = 
-ùù

ớù

ù = +

ùùợ

Gii: K

x

ạ

0;

y

ạ

0

. t 2

1 1

( ) ; t 0 có '( ) 1 0

f t t f t

t t

= - ¹ = + >

, suy ra hàm
đồng biến. Phương trình (1) có nghiệm x = y thay vào (2) ta được

2x 1 0 1 5

2
x

x

x
é =
ê
ê

- + = Û - ±

ê =
ê
ë

Vậy hệ có 3 nghiệm (1 ; 1) và

1

5

1

5 (

;

)

2 - ±

Bài 2: Giải hệ

3 3 3 3 3 3

3 2 4 4 3 2

3

2 b.

c.

5

6

1

9 27x 27

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

ì

ï

+ =

+

ï

-

=

-

ï

+

=

+

ï

í

ï

+

=

ï

+

=

ï

=

-

+

ï

ỵ

DH a. ĐS (1 ; 1) ;

( 3

- ±

15; 3

- ±

15)

b. Ta có

x

+

y

= Þ

1 x

£ Þ - £

1 x

£ Þ

1 y

=

x

-

3 x

nghịch biến

ĐS

1
2
1

2
x

y
ìïï = ±
ïï

ïí

ïï = ±
ïï

ïỵ

</div>

cac dang he phuong trinh

ax

+

<i>b</i>

x

+ =

<i>c</i>

0

<b>4. Cách tìm nghiệm duy nhất của hệ đối xứng loại 1</b>

<b>ĐK cần</b>

<b>ĐK đủ: </b>

<i>x y xy</i>

<i>m</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>m</i>

ìï + +

=

ïïí

ï

+

=

ïïỵ

<b>Dạng 3: Hệ phương trình đối xứng loại 2</b>

2x

3

1

2x

3yx 2

0

2

3

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>VN</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>y x</i>

ì

é

é

ï

+

=

=

= =

ïï

<sub>Û</sub>

ê

<sub>Û</sub>

ê

í

<sub>ê</sub>

<sub>ê</sub>

ï

+

=

<sub>ê</sub>

+

+

=

<sub>ê</sub>

ï

<sub>ë</sub>

<sub>ë</sub>

ïỵ

1 2

1 2x

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

ìï

<sub>+ =</sub>

ïïí

ï

+ =

ïïỵ