skkn Huong dan hoc sinh lop 9 su dung kien thuchinh hoc vao giai bai tap dai so

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (181.88 KB, 18 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Hướng dẫn học sinh lớp 9 sử dụng kiến thức hình học vào giải bài tập đại số
A - ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong trường phổ thơng mơn Tốn có một vị trí rất quan trọng. Các kiến
thức và phương pháp Tốn học là cơng cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các
mơn học khác, hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Đồng thời mơn Tốn
cịn giúp học sinh phát triển những năng lực và phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho
học sinh khả năng tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh tư
tưởng đạo đức và thẩm mỹ của người cơng dân.

Ở trường THCS, trong dạy học Tốn, cùng với việc hình thành cho học
sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lí; thì việc dạy học giải các
bài tốn có tầm quan trọng đặc biệt và là một trong những vấn đề trung tâm của
phương pháp dạy học Tốn ở trường phổ thơng. Đối với học sinh THCS, có thể
coi việc giải tốn là một hình thức chủ yếu của việc học tốn.

Trong chương trình Tốn THCS các bài toán rất đa dạng, phong phú và có
một ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh ở bậc học này. Để giải quyết
các bài tốn, người ta phải bằng các cách giải thơng minh nhất, tìm ra các biện
pháp hữu hiệu và phù hợp nhất với trình độ kiến thức ở bậc học THCS để giải
quết các bài tốn loại này. Do đó, địi hỏi người học phải có một cách suy nghĩ
logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới một cách logic có hệ
thống.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Trong một tiết ôn tập cho học sinh lớp 9, tôi đã ra bài tốn sau:
Cho phương trình : x2 – 2 (m – 1)x + 2m – 7 = 0.

Tìm m để 2 nghiệm phương trình trên là các kích thước của một hình chữ
nhật. Khi gặp bài tốn này, nhiều em rất lúng túng, bối rối và không định hướng
được cho mình phải giải bài tốn trên bắt đầu từ hướng suy nghĩ như thế nào,
dẫn đến các em khơng giải được bài tốn trên, có phải học sinh khi gặp bài toán

đại số này đã nghĩ ngay đến những kiến thức, những công cụ trong môn đại số
hay không? Nhưng ta hãy thử đơn giản nghĩ lại rằng, kích thước của hình chữ
nhật là những số dương nên câu hỏi của bài tốn có thể hiểu là: Tìm m để
phương trình trên có 2 nghiệm dương. Với câu hỏi này thì chắc chắn bài tốn
trên sẽ trở thành rất quen thuộc đối với học sinh . Như vậy chỉ cần lưu tâm đến
những kiến thức nhỏ của hình học trong bài tốn này thì mọi việc sẽ nhẹ nhàng
hơn. Khơng những bài tốn trên mà thực tế nhiều bài toán khác, học sinh gặp
cũng rất bỡ ngỡ. Nhưng nếu các em nhớ đến vận dụng những kiến thức nhỏ
trong hình học thì bài tốn sẽ trở nên dễ dàng hơn. Vì lý do đó cho nên qua một
thời gian công tác giảng dạy ,tôi đã đúc rút kinh nghiệm về “Khai thác những
kiến thức hình học vào giải một số bài tập đại số”.

Qua nhiều biện pháp điều tra về việc giải bài toán đại số bằng kiến thức
hình học ở hai lớp 9A và 9B, kết quả cụ thể thu được như sau:

Lớp Tổng số Giỏi Khá TB Yếu- kém

SL % SL % SL % SL %

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

PHẦN II: NỘI DUNG

I.Nhận thức cũ và thực trạng trong dạy học môn đại số trong nhà trường:
- Nhận thức cũ:

Đa số học sinh khi giải một bài tập đại số thông thường hay dùng các kiến
thức đại số làm cơng cụ.Trong khi đó một số bài tập đại số cần lưu ý đến các
kiến thức hình học mới giải được.

- Việc làm cũ:

Khi gặp một bài toán đại số học sinh thường sử dụng các kiến thức đại số
làm công cụ, nên dẫn tới nhiều bài tốn học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn, thậm
chí khơng giải được.

- Giải pháp mới:

Để giải quyết dễ dàng hơn khi gặp những dạng bài tốn này thì học sinh
cần biết khai thác, vận dụng các kiến của hình học , và sau đây xin giới thiệu một
số ví dụ.

II. Các giải pháp:

1. Sử dụng điều kiện một điểm nằm giữa 2 điểm còn lại.

- Ta biết rằng điểm M nằm giữa hai điểm A và B khi và chỉ khi MA + MB = AB
(tức là A, B, M thẳng hàng)

- Điểm M không nằm giữa A và B khi và chỉ khi MA+ MB AB (tức là A, B, M

khơng thẳng hàng).
Ví dụ1:

Trên mặt phẳng toạ độ cho ba điểm A(2;3), B(-1; -3), C(3;5). Chứng minh ba
điểm A, B, C thẳng hàng.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Ta có AB =

−3−3¿2

−1−2¿¯2+¿

√¿

= √45 = 3 √5

AC =

5−3¿2

3−2¿2+¿
¿

√¿

= √5

BC =

5+3¿2

3+1¿2+¿
¿

√¿

= √80 = 4 √5

Ta có : AB + AC = 3 √5 + √5 =4 √5 =BC. Vậy A, B, C thẳng hàng.

Nhận xét: Nhiều em học sinh khi gặp ví dụ này sẽ rất bỡ ngỡ, lúng túng khơng
biết chứng minh theo cách nào. Nhưng ở trong hình học học ta biết 3 điểm A, B,
C thẳng hàng khi xảy ra một trong ba trường hợp:

AC = AB + BC
AB = AC + BC

BC = AB+ AC

Từ kiến thức hình học này dẫn ta suy nghĩ theo hướng là đi tính độ
lớn các đoạn thẳng trên và so sánh tổng 2 đoạn thẳng với đoạn cịn lại. Như vậy
ta có lời giải bài trên thật là ngắn gọn.

Từ ví dụ trên ta có thể chứng minh 3 điểm khơng thẳng hàng như ví dụ sau:
Ví dụ 2:

Trên mặt phẳng toạ độ cho 3 điểm M(2;5) , N(1;2) , P(0;1) .Chứng minh ba
điểm trên không thẳng hàng.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

MN =

5−2¿2

2−1¿2+¿
¿

√¿

= √10

NP =

2−1¿2

1−0¿2+¿
¿

√¿

= √2

MP =

5−1¿2

2−0¿2+¿
¿

√¿

= √20

Từ đó ta có MN + NP MP , NP + MP MN , MN + MP NP  không có
điểm nào nằm giữa hai điểm cịn lại nên M, N, P không thẳng hàng.

Và ta chỉ cần thay đổi một chút là có bài tốn mới như ví dụ sau:

Ví dụ 3: Trên mặt phẳng cho 3 điểm A(1;-4) , B(7;8) , M(4;2). Chứng minh M
là trung điểm của AB.

Lời giải.

Ta có: MA = (1 4) 2  ( 4 2)2 = 45 = 3 5
MB = (7 4) 2(8 2) 2 = 45= 3 5
AB = (1 7) 2  ( 4 8)2 = 180 = 6 5

Ta có: 3 5 + 3 5 = 6 5 hay MA + MB = AB . Vậy điểm M nằm giữa
A và B.

Ta lại có: MA = MB = 3 5 nên M là trung điểm của AB.

Như vậy chỉ cần tính độ dài của các đoạn thẳng và sử dụng điều kiện một điểm
nằm giữa hai điểm còn lại ta đã giải quyết được rất nhiều bài toán.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

- Cho tam giác ABC ta có: AB < AC + BC.

- Nếu cho 3 điểm A, B, C bất kỳ trên mặt phẳng toạ độ thì ta ln có AB AC +
BC.

Bây giờ ta sẽ áp dụng kiến thức hình học này để giải quyết một số bài tốn.
Ví dụ 4: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác. Chứng minh:

(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc

(Đề thi chọn hsg toán 9 thành phố HCM năm học 
1999-2000)

Lời giải:

Đặt x = a + b - c

y = b + c - a
z = c + a - b

Vì a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên x, y, z > 0
Ta có: b = x+2y , c = y+2z , a = z+2x

Bất đẳng thức trên tương đương với: xyz ( x+2y )( y2+z )( z+2x )

Mà ( x+2y )( y+2z )( z+2x ) ( 2√2xy )( 2√2yz )( 2√2zx ) = xyz (áp dụng
bất đẳng thức Côsi)

Vậy: xyz ( x+2y )( y2+z )( z+2x ) hay (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc
(đpcm)

Ở bài này để áp dụng được bất đẳng thức Cơsi thì phải lý luận để x, y , z > 0 mà
điều này có được do a, b, c là 3 cạnh của một tam giác.

Ví dụ 5: Cho phương trình: x2 + (a + b + c)x + ab + ac + bc = 0

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

(Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội năm học 
2002-2003)

Lời giải:

 = (a + b + c)2 – 4(ab + ac + bc) = a2 + b2 + c2 - 2ab – 2bc – 2ca
= a[a – (b + c)] + b[b – (a + c)] + c[c – (a + b)]

Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, nên: a – (b + c) < 0
b – (a + c) < 0
c – (a + b) < 0

Vì vậy:

 = a[a – (b + c)] + b[b – (a + c)] + c[c – (a + b)] < 0 nên phương trình
trên vơ nghiệm.

Nhận xét : Bài này cũng sử dụng bất đẳng thức về cạnh trong tam giác mới
chứng minh được < 0 .

Ví dụ 6: Với a, b, c, d là những số dương , chứng minh:

√

a2+b2 +

√

c2+d2

b+d¿2

a+c¿2+¿
¿

√¿

Lời giải: y
Chọn hệ trục tọa độ xOy. Trên trục Ox ở chiều dương, Q
B

lấy ON = a, MN = c trên trục Oy ở chiều dương lấy d
OP = b, PQ = d. Ta có: P A

OA =

√

a2+b2 b
AB =

√

c2+d2

OB =

b+d¿2

a+c¿2+¿
¿

√¿

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Ta có: OA + AB OB
Nên

√

a2+b2 +

√

c2+d2

b+d¿2

a+c¿2+¿
¿

√¿

(Điều phải chứng minh)

Nhận xét: Ở ví dụ này thì ta biết với 3 điểm A, B, C bất kỳ thì AB AC + BC
nên vận dụng kiến thức hình học này ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức trên.

Ta có thể mở rộng bất đẳng thức trên thành một bất đẳng thức tổng quát
nhờ cách chứng minh tương tự như trên.

Với x1, x2…xn và y1, y2, …yn là những số dương thì ta cũng ln có bất đẳng thức
sau:

x1+y1¿2

¿
√¿

+ x2+y2¿

2
¿
√¿

+…+ xn+yn¿

2
¿
√¿

y1+y2+.. .+yn¿
2
x1+x2+.. .+xn¿2+¿

√¿

3. Sử dụng định lý Pitago.

- Cho tam giác ABC vuông tại A, ta có BC2 = AB2 + AC2 (định lý Pitago)

- Nếu BC2 = AB2 + AC2 thì tam giác ABC vng tại A( định lý đảo định lý
Pitago)

Vận dụng kiến thức này vào ta có một số bài tập sau.
Ví dụ 7: Cho 2 đường thẳng:

y = 3x- 2 ( d1)

y = −31 x + 8 (d2 )
Chứng minh 2 đường thẳng trên vng góc với nhau. (d2)

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Là tam giác vng. Từ đó ta sẽ xác định tọa độ A, B, C A B
(d1)

sau đó sẽ tính độ dài AB, AC, BC và áp dụng định lý đảo
định lý Pitago để chứng minh tam giác ABC vuông.

Lời giải:

Gọi A(x0;y0) là giao điểm của 2 đường thẳng ta có: y0 = 3x0 - 2
y0 = −31 x0 + 8
Giải ra ta được: x0 = 3 và y0 = 7. Vậy A (3;7).

Trên (d2) lấy C (6;6), trên (d1) lấy điểm B (0;-2):
AC =

6−7¿2

6−3¿2+¿
¿

√¿

= √10

AB =

−2−7¿2

0−3¿2+¿
¿

√¿

= √90

BC =

−2−6¿2

0−6¿2+¿
¿

√¿

= √100

Ta có: AC2 + AB2 = BC2 = 100 hay tam giác ABC vuông tại A (Định lý
đảo định lý Pitago), nên 2 đường thẳng trên vng góc với nhau.

Nhờ kiến thức này mà ta có thể chứng minh được rằng nếu đường thẳng y=ax+b
vng góc với đường thẳng y = cx + d thì ac =-1 và nguợc lại như ví dụ sau:

Ví dụ 8: Cho hai đường thẳng: y = ax + b (a0) (d1)
y = cx +d (c0) (d2)
Chứng minh rằng: Nếu (d1) vng góc với (d2) thì ac = -1

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Ta có y = ax + b song song hoặc trùng với y = ax (d3)
y = cx + d song song hoặc trùng với y = cx (d4)

Ta có nếu (d1) vng góc với (d2) thì ta cũng có (d3) vng góc với (d4).
(d3)

O B
(d4).

Gọi O là giao điểm của (d3) và (d4) dễ dàng ta tìm được O (0; 0). Trên (d3) lấy
một điểm bất kỳ khác O, ví dụ A(1; a).

Trên (d4) lấy một điểm bất kỳ khác O,ví dụ B(1; c)

Vì (d3) vng góc với (d4) nên tam giác OAB vng tại O, theo định lý Pitago
ta có OA2 + OB2 = AB2 hay a2 + 1 + c2 + 1 = (a – c)2 . Từ đó ta có ac = -1.
Vậy: nếu (d1) vng góc với (d2) thì ac = -1 (ĐPCM)

4. Vận dụng các định nghĩa, dấu hiệu nhận biết trong hình học để giải.

Đó là vận dụng ngay trực tiếp các định nghĩa các dấu hiệu để giải các bài tập đại
số như một số ví dụ sau:

Ví dụ 9: Trên mặt phẳng toạ độ cho điểm A(2;1), B(5;7), C(-4;4).

Chứng minh 3 điểm A, B, C tạo thành một tam giác vuông cân.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

AB =

7−1¿2

5−2¿2+¿
¿

√¿

= 3 √5

AC =

4−1¿2

−4−2¿2+¿
¿

√¿

= 3 √5

BC =

4−7¿2

−4−5¿2+¿
¿

√¿

= √90

Ta có: AB = AC = 3 √5 nên tam giác ABC cân tại A.

Ta lại có: AB2 + AC2 = BC2 = 90 nên tam giác ABC vuông tại A( định lý đảo
định lý Pitago)

Vậy tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.

Nhận xét: Để chứng minh tam giác vuông cân ta phải nhớ lại kiến thức hình
học, đó là tam giác vng có 2 cạnh bằng nhau nên ta sẽ đi tính độ dài các cạnh
để chứng minh tam giác cân và sử dụng định lý đảo, định lý Pitago để chứng
minh tam giác vng.

Ví dụ 10: Trên mặt phẳng toạ độ cho 4 điểm: A (4;2) ; B (2;-1) ; C (-4;-1) ; D
(-2;2). Chứng minh ABCD là hình bình hành.

Lời giải:

Trên mặt phẳng toạ độ ta xác định các điểm A, B, C, D như trên.
Ta có:

AB =

2+1¿2

4−2¿2+¿

√¿

= √13

CD =

−1−2¿2

−4+2¿2+¿
¿

√¿

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

AD =

2−2¿2

−2−4¿2+¿
¿

√¿

= 6

CB =

−1+1¿2

−4−2¿2+¿
¿

√¿

= 6

Ta có: AB = CD = √13 ; AD = CB = 6 nên ABCD là hình bình hành.

Như vậy ở bài này để giải được nó ta phải nhớ lại dấu hiệu nhận biết hình
bình hành. Trong các dấu hiệu nhận biết của hình bình hành, thì ở bài này ta sử
dụng tứ giác có cặp cạnh đối bằng nhau là hiệu quả nhất. Vì ở đây ta dễ dàng
tính được độ dài của các đoạn thẳng.

Ví dụ 11: Hai vật chuyển động trên một đường trịn, đường kính 20cm. Xuất
phát cùng một lúc, cùng một điểm. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ sau 20s
thì chúng gặp nhau, nếu chuyển động ngược chiều thì sau 4s chúng gặp nhau.
Tính vận tốc mỗi vật.

( Bài tập 37 trang 24 tốn 9 tập
II)

Lời giải:

Độ dài đường trịn là C = π d 3,14 x 20 62,8(cm.)
Gọi x(cm/s), y(cm/s) là vận tốc của 2 vật (x, y > 0).

Sau 20s chúng chuyển động cùng chiều gặp nhau thì quãng đường vật đi
nhanh hơn lớn hơn quãng đường đi được của vật cịn lại chính là độ dài của
đường trịn. Nên ta có: 20x – 20y = 62,8.

Sau 4s chúng chuyển động ngược chiều thì gặp nhau cho nên tổng quảng
đường đi của 2 vật là độ dài đường tròn, nên: 4x + 4y = 62,8

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

❑⃗ (thỏa mãn điều kiện)
4x + 4y = 62,8 y = 6,28

Vậy vận tốc của vật thứ nhất là 9,42 cm/s

Vận tốc của vật thứ 2 là 6,28 cm/s. (Tính gần đúng)

Như vậy để giải bài này ta phải sử dụng một kiến thức của hình học đó độ
dài đường trịn .

Ví dụ 12: Cho phương trình: x2- 2(m-1)x+2m-7 = 0. Tìm m để 2 nghiệm của
phương trình là kích thước của 1 hình chữ nhật.

(Trích ý c bài 2 đề thi KSCL lớp 9 huyện Yên Thành năm học 2004 –
2005)

Lời giải

 = (m-1)2- (2m-7) = (m-2)2 + 5 > 0 ∀ m
Nên phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt.

Để 2 nghiệm của phương trình trên là các kích thước của hình chữ nhật thì
phương trình trên phải có 2 nghiệm dương.

Hay x1+x2= 2(m-1) >0 m >1

❑⃗

x1x2 = 2m – 7 >0 m >3,5
Vậy với m > 3,5 thì 2 nghiệm của phương trình trên sẽ là các kích thước của 1
hình chữ nhật.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

hình chữ nhật là những số dương thì bài tốn sẽ đơn giản hơn. Như vậy ta chỉ
cần tìm điều kiện để phương trình trên có hai nghiệm dương là được. Từ ví dụ
trên nếu thay đổi một chút ta sẽ có bài tốn hóc búa hơn, như ví dụ 13 dưới đây:
5. Bài tập tổng hợp.

Đó là vận dụng nhiều kiến thức hình học một lúc như các định nghĩa, các dấu
hiệu, diện tích, định lý Pitago...như một số bài tập sau:

Ví dụ 13: Cho phương trình : x2- 2(m-1)x +2m-7 =0. Tìm m để hai nghiệm của
phương trình là các kích thước của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo là

√34 .

Lời giải:

Tương tự lời giải như trên, để hai nghiệm là các kích thước của hình chữ
nhật thì m > 3,5

Để hai nghiệm này là các kích thước hình chữ nhật có độ dài đường chéo là

√34

thì x12 + x22 = 34

⇔ ( x1 + x2 )2 - 2x1x2 = 34

⇔ [2(m-1)]2 - 2(2m-7) = 34

⇔ m2 – 3m – 4 = 0

giải phương trình ta có: m1 = -1 hoặc m2 = 4

Đối chiếu với điều kiện m >3,5 ta có m = 4 thỏa mãn điều kiện.

Vậy với m = 4 thì hai nghiệm của phương trình là các kích thước của hình chữ
nhật có độ dài đường chéo là √34 .

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Ví dụ 14: Cho a > c, b > c, c > 0. Chứng minh rằng:

( )

c a c + c b c(  )  ab C
(Đề thi HSG lớp 9 TP HCM năm học 2002 – 2003)

Lời giải: a b
c

A H
B

a c b c
Ta có: a – c > 0; b – c > 0

Đặt AC = a ; BC = b ; CH = c thì AH = a c và BH = b c

Ta có: 2(SACH+ SBCH) = 2SABC mà 2SABC  ab

Do đó: c a c + c b c  ab

Nên: c a c(  ) + c b c(  )  ab (điều phải chứng minh)

Như vậy ở bài toán này ta đã sử dụng định lý Pitago để khẳng định sự tồn tại của
cách dựng hình trên. Ngồi ra bài này ta cịn sử dụng đến cơng thức tính diện
tích của tam giác.

Ví dụ 15: Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (m-2)x +(m-1)y = 1 (d)
(trong đó m là tham số). Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến
đường thẳng (d) là lớn nhất.

Lời giải y A
H

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

B O
x

Gọi A là giao điểm của (d) với trục tung. Ta cho x = 0 thì y=

1
1

m nên OA =

1
1
m .

Gọi B là giao điểm của (d) với trục hồnh. Ta cho y = 0 thì x =

1
2

m nên OB =

1
2
m .

Khoảng cách từ gốc 0 đến (d) là OH . Ta có tam giác OAB là tam giác vuông
với đường cao OH nên ta có:

OH = 2

OA + 2

OB hay 2

OH = (m-1)2

+ (m-2)2

2(m-3
2)2

1
2

Nên ta có OH2

 2. Vậy giá trị lớn nhất cuả OH là: OH = 2 xảy ra khi m=

3
2

Như vậy ở bài này ta phải sử dụng kiến thức hình học là sử dụng hệ thức trong
tam giác vuông.

III.Kết quả đạt được:

Qua q trình cơng tác giảng dạy có áp dụng “ Khai thác những kiến thức

hình học để giải một số bài tập đại số” tơi đã thực hiện trên đối tượng lớp 9A ,
cịn lớp 9B thì khơng áp dụng.

Kết quả thu được sau khi áp dụng đề tài này được thể hiện ở bảng sau:

Lớp Tổng số Giỏi Khá TB Yếu- kém

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

9AB 72 06 8,3 18 25,0 48 66,7 0 0

PHẦN III.: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Như vậy khi giải một số bài toán đại số nếu ta biết khai thác và vận dụng
hợp lý một số kiến thức hình học thì cơng việc giải tốn sẽ đơn giản hơn, mang
lại hiệu quả cao hơn. Vì vậy trong khi giải toán cần nghiên cứu kỹ bài toán và
cần phải kết hợp nhuần nhuyễn giữa hình học và đại số để giải quyết. Trong khi
dạy học cần lưu ý cho học sinh biết khai thác và vận dụng các kiến thức hình học
để giải các bài tập đại số và ngược lại.

Ở đây tôi chỉ mới giới thiệu giải một số bài tập đại số có kết hợp các kiến
thức hình học, tất nhiên cịn nhiều dạng tốn nữa khi giải cũng cần kết hợp các
kiến thức hình học để giải.

Đề tài này là những kinh nghiệm của tơi đúc rút ra trong q trình giảng dạy,
rất mong được sự góp ý của Hội đồng khoa học cấp trên để có thể phát triển hồn
thiện thêm.

TÀI LIỆU THAM KHẢO.
1. Sgk toán 9 tập 2.

2. Nâng cao và các chuyên đề đại số 9 ( Nguyễn Ngọc Đạm, Nguyễn Việt

Hải, Vũ Dương Thụy).

3. Tuyển tập đề thi môn toán THCS (Vũ Dương Thụy, Lê Thống Nhất,
Nguyễn Anh Quân).

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18></div>