NHIEU CACH GIAI MOT BAI TOAN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (75.61 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Khai thác và phát triển

mt s bi toán THCS về bất đẳng thức
 I ./. Cơ sở lí thuyết :

BĐT cơsi ( and ) Bunhiacopsky , cụ thể BĐT 
đơn giản sau : “ (a+b)

(

a+

b

)

≥4,∀a , b>0 , dÊu = x¶y ra

khi a = b “

II./. khai thác và phát triển bất đẳng thức :
 1./. chứng minh :

“ (a+b)

(

1
a+

b

)

≥4,∀a , b>0 , dÊu = x¶y ra khi a = b “

Chó ý:

+ Các cách giải dới đây đều thoả m n dấu “ = “ ã

x¶y ra khi a = b

Cách 01 : kỹ thuật nhân BĐT c«si 
 ===== Ta cã : a+b ≥2√ab (1) vµ 1

a+

b≥2

√

a.

b (2)

Lấy (1) X (2) ta đợc (a+b)

(

1
a+

b

)

≥4,∀a , b>0 (§PCM)

Bình luận : Lời giải quá đơn giản phải không bạn ?
Cách 02 : kỹ thuật Bunhiacôpsky

=====

Ta cã (a+b)

(

1
a+

b

)

=¿ [(√a)

+(√b)2]

[

(

1
√a

)

(

1
√b

)

]

≥

(

√a. 1

√a+√b.

√b

)

Bình luận : sao lại phải tạo bình phơng thế nhỉ ?
Cách 03 : kỹ thuật 01 tạo bình phơng đúng

====== Ta cã (a - b)2 0⇔(a+b)2≥4 ab⇔(a+b)2

(a+b) ≥

4 ab

(a+b)

( v× a, b > 0 ) (a+b) (a+4b)

(a+b) 4

a+

b

(a+b)

(

1
a+

b

)

4

(ĐPCM)

Bình luËn :+ T¹i sao l¹i chia hai vÕ cho ( a + b )> 
0 ?

+ Nhân cả tử và mẫu cho tích ab để làm
gì ?

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

a ≥ b⇔a b 0(a b)20a2+b22 ab0 (a2+b2)2 ab

(a2+b2)

ab 2

a
b+

b

a22+
a
b+

b

a2+2

(

1+
a

b

)

(

b
a

)

4

(

aa+

a
b

)

(

b
b+

b

a

)

4a

(

a+

b

)

+b

(

a+

b

)

4(a+b)

(

a+

b

)

4 (ĐPCM)

Bình luËn :

+ Tại sao lại cộng hai vế với 2 nhỉ ? 
+ Tách 2 = 1 + 1 để làm gì ?

Cách 05 : kỹ thuật 03 tạo bình phơng đúng 
======

Ta cã ( a – b )2 0⇔a2

+b2≥2 ab

⇔ a
b+

b
a≥2⇔

a
b+

b

a+2≥2+2⇔

(

a
b+

b

a+2

)

≥4

⇔

(

a

b+
b
a+2

)

≥42⇔

(

ab+
b
a

)

(

a
b+

b

a

)

+4≥16

⇔a2

b2+
b2

a2+

4a
b +

4b

a +6≥16

⇔a2

b2+
b2
a2+

2a
b +
2a
b +
2b
a +

2b

a +4+2≥16

⇔

(

a2

b2+1+

2a
b

)

(

2b
a +

2a
b +4

)

(

b2

a2+1+

2b
a

)

≥16
⇔

(

a

b2+
a2
a2+

2a2

)

(

2 ab

a2 +

2 ab

b2 +

4 ab .
ab

)

(

b2
a2+

b2
b2+

2b2

)

≥16

⇔a2

(

1
b2+

a2+

)

+2 ab

(

a2+

b2+

2.
ab

)

+b

(

a12+

b2+

2
ab

)

≥16

⇔(a2+2 ab+b2)

(

1
a2+

2
ab+

b2

)

≥16⇔(a+b)
2

(

1a+

b

)

≥42⇔(a+b)

(

1
a+

b

)

≥4

( §PCM)

Bình luận : Lời giải thật phức tạp , tại sao lại biến 
đổi đợc nh vậy nhỉ ?

Cách 06 : kỹ thuật 04 tạo lập phơng đúng .
====== Theo Ta có ( a – b )2 0⇔a2

+b2≥2 ab

⇔ a

b+
b
a≥2⇔

a
b+

b

a+2≥2+2⇔

(

a
b+

b

a+2

)

≥4

⇔

(

a

b+
b
a+2

)

=43⇔

(

a
b+

b
a

)

(

a
b+

b
a

)

+12

(

a
b+

b

a

)

+8≥64

⇔

(

a

b+
b
a

)

(

a

b2+

b2
a2

)

+12

(

a
b+

b

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

⇔

(

a

b+
b
a

)

−3

(

a

b+
b
a

)

(

a

b+

b
a

)

(

a
b+

b
a

)

(

a2

b2+
b2

a2

)

+20≥64

⇔

(

a

b+
b
a

)

−3

(

a

b2.
b
a+

a
b.

b2
a2

)

(

a
b+

b
a

)

(

a
b+

b
a

)

(

a2
b2+

b2

a2

)

+20≥64

⇔a3

b3+
b3
a3+6

(

a
b+

b
a

)

(

a
b+

b
a

)

(

a2
b2+

b2

a2

)

+20≥64

⇔a3

b3+
b3

a3+

3a
b +
3a
b +
3b
a +
3b
a +
9a
b +
9b
a +

3a2

b2 +

3a2

b2 +

3b2

a2 +

3b2

a2 +20≥64

⇔

(

1+a

b3+

3a
b +

3a2
b2

)

(

3b
a +

3a2
b2 +9+

9a
b

)

(

3b2
a2 +

3a
b +

9b
a +9

)

(

b3
a3+1+

3b2
a2 +

3b
a

)

64⇔

(

a3

a3+
a3

b3+

3a3

a2.b+

3a3

a.b2

)

(

3a2b

a3 +

3a2b

b3 +

3a2b. 3

a2b +

3a2b. 3

ab2

)

+¿

+

(

3 aba32+

3 ab2

b3 +

3 ab2. 3

a2b +

3a2b.3

a2b

)

(

b3
a3+

b3
b3+

3b3
a2b+

3b3

ab2

)

≥64

a3

(

1
a3+

b3+

a2b+

3
ab2

)

+3a

b

(

1
a3+

b3+

a2b+

ab2

)

+3 ab
2

(

a13+

b3+

a2b+

3
ab2

)

+¿

+ b3

(

a13+
1

b3+
3

a2b+
3

ab2

)

≥64⇔(a
3

+3a2b+3 ab2+b3)

(

a3+
3

a2b+
3
ab2+

b3

)

≥4
3

(a+b)3

(

1
a+

b

)

≥43⇔(a+b)

(

a+

b

)

≥4 ( ĐPCM)

Bình luận :

+ Quỏ trình biến đổi chứng minh trên thật khơng 
bình thờng chút nào phải khơng các bạn .

+ Liệu có cách tạo đợc 4 ; 5 ; 6 ; … ; n tơng tự nh 
trên1 không ? Xin dành cho bạn đọc .

C¸ch 07 : Kü thuËt gắn hình học.

===== Xét tứ giác ABCD có AB = 2√ab ( ®v® d)

; CD = 2

√ab (®v® d) . Một điểm M thuộc miền

trong tứ giác sao cho MA = a ( ®v® d) ; MB = b (®v 
® d) ;

MC = 1b (®v ® d) ; MD = 1a (®v® d) ( a ; b > 0 ) 
XÐt tam gi¸c MAB cã : MA+MA≥AB⇔a+b ≥2√ab (*)

XÐt tam gi¸c MCD cã : MC+MD≥CD⇔1
a+

b≥

√ab (**)

LÊy (*) X (**) ta cã : (a+b)

(

1
a+

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

dÊu “ = “ khi a = b hay MA = MB vµ MC = MD 
 (tam giác MAB cân tại M và tam giác MCD cân tại 
M )

Bình luận :

+ khỏ táo bạo , ngợc dòng nớc chuyển từ đại số 
sang hình học.

Cách 08 : Kỹ thuật biến đổi tơng đơng .
======

Ta cã : (a+b)

(

1
a+

b

)

≥4⇔2+
a
b+

b

a−4≥0⇔
a
b−2

√a
√b.

√b
√a+

b

a≥0⇔(√a −√b)

≥ 0

(ln đúng ) ( ĐPCM)

Bình luận : LG thật giản đơn phải không bạn .
Cách 09 : Kỹ thuật lng giỏc

====== Đặt a = Sin2x > 0 ; b = Cos2x > 0

nªn a + b = 1
Mµ

(a+b)

(

1
a+

b

)

≥4⇔
(a+b)2

ab ≥4⇔4 ab≤1⇔4 cos

2x. sin2x ≤1⇔

(sin 2x)2≤1

(ln đúng) vì a + b =1 (ĐPCM)
Bình luận : Các bạn thấy sao ? 
Cách 10 : Kỹ thuật đổi biến .
===== Đặt a = xy>0 ; b = y

x>0⇒a.b=1

Ta cã : (a+b)

(

1
a+

b

)

≥4⇔
(a+b)2

ab ≥4⇔

(

x
y+

y
x

)

≥4⇔

(

x

y−
y
x

)

≥0 (đúng)

(§PCM)

Bình luận : cũng có thể đặt a =

(

xy

)

n ; b =

(

xy

)

n

; n∈N❑

C¸ch 11 :

=== Kỹ thuật chuẩn hoá(biểu thức đối xng ng
bc )

Không mất tổng quát ta giả sử a + b = k > 0 
Ta cã (a+b)

(

a+

b

)

≥4⇔
(a+b)2

ab ≥4⇒k

2≥4a(k − a)⇔(k −2a

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bình luận :

Cách 12 : Kỹ thuật 01 thêm biến .

====== Không mất tính tổng ta giả sư 
0 a ≤ b⇒ tån t¹i sè K 0 sao cho a + K = b

(a+b)

(

a+

b

)

4(2a+K)

(

2a+K

a(a+K)

)

4(2a+K)

24a(a+K

)K20

(ỳng)

Cách 13 : Kỹ thuật 02 thêm biến.

====== Không mất tính tổng quát ta giả sử

0<a≤ b⇒ tån t¹i K 0 sao cho b = K.a 
(a+b)

(

a+

b

)

4(a+Ka)

(

a+

)

4(a+Ka)

4 ka2(K 1)20

(Đúng)

Cách 14 : Kỹ thuật 03 thêm biến.

====== Không mất tính tổng quát ta gi¶ sư ab = 
K > 0

(a+b)

(

1
a+

b

)

≥4⇒

(

a+
K
a

)

(

a+K
a

K

)

≥4⇔

(

a+
K

a

)

≥4K⇔

(

a −K
a

)

≥0

(§óng)

Cách 15 : Kỹ thuật đánh giá.

===== Không mất tính tổng quát ta giả sử

a b>0

a+b 2b>0
ab b2

(a+b)24b2>0

ab b2

>0
()

{

Mặt khác :

(a+b)

(

1
a+

b

)

4
(a+b)2

ab 4

4b2

b2 444 (luụn ỳng)

Cách 16 : Kỹ thuật Bunhia ngợc dÊu.
===== Ta cã :

(

1a+1

b

)

≥
(1+1)2

a+b ⇔(a+b)

(

a+

b

)

≥4 (v× a+b > 0)

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Cách 17 : Kỹ thuật 01 đổi biến .

===== Kh«ng mÊt tÝnh tỉng quát ta giả sử a + b = 
K và tồn tại t > 0 sao cho : a = t.x >0 vµ b = t.y > 0
suy ra

a+ b = t.x + t.y suy ra x+ y = Kt
Mµ (a+b)

(

a+

b

)

≥4⇔
(a+b)2

ab ≥4⇒

t2(x+y)2

t2.x.y ≥4⇔(x − y)
2

≥0 (đúng)

Bình luận : Thật không đơn giản chút nào.
Cách 18 : Kỹ thuật 02 đổi biến

Đặt a = t.x > 0 và b = K.y > 0 ( k ; t ; x ;y > 0 ) 
Do đó từ (a+b)

(

a+

b

)

≥4⇔
(a+b)2

ab ≥4⇒

(t.x+Ky)2

t.K.x.y ≥4⇔(tx−Ky)

2≥0

(đúng)

C¸ch 19: Kü tht chn ho¸ 02

===== Khơng mất tính tổng qt ta giả sử a + b =2
Do đó (a+b)

(

a+

b

)

≥4⇔
(a+b)2

ab ≥4⇔ab≤1 ln đúng

V× ab (a+b4 )2=1 ; a + b =2

Bình luận : Tại sao lại chuẩn hoá a + b = 2 ở đây ?
Cách 20 : Kỹ thuật thêm biến .

====== Đặt

a=x

z>0
b=y

z>0
{

;

không mất tính tổng quát gi¶ sư a ≥ b>0⇔x ≥ y ≥1

Do đó (a+b)

(

1
a+

b

)

≥4⇔

(

x
z+

y
z

)(

z
x+

z

y

)

≥4⇔(x+y)

≥4 xy⇔(x − y)2≥0

(ln đúng)

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

====== Đặt

s=a+b>0

p=ab>0
{

; thế thì a và b là nghiệm 
của phơng tr×nh bËc hai sau : X2 – sX + p = 0

Hay X2 – ( a+b )X + ab = 0 (*) , rõ ràng thoả m n Ã

đầu bài thì phơng trình (*) có nghiệm

⇔Δ ≥0⇔(a+b)2−4 ab≥0 ⇔(a+b)2≥4 ab⇔(a+b)

(a+b) ≥

4 ab

(a+b)

(v× a,b > 0 ) ⇔(a+b)≥ (a+4b)

⇔(a+b)≥ 4

a+

b

⇔(a+b)

(

1
a+

b

)

≥4

(§PCM)

</div>