Giải pháp giúp học sinh tư duy logic và có hệ thống của các bài toán về chia hết trong tập hợp số nguyên

1. Mở đầu.
1.1 Lí do chọn đề tài:
Trong vài thập kỉ gần đây, do sự phát triển nhanh chóng của khoa học, kĩ thuật
và công nghệ, đặc biệt là cuộc cách mạng cơng nghiệp 4.0 cũng như q trình hội
nhập quốc tế đã dẫn đến nền kinh tế nước ta trở thành nên kinh tế - tri thức. Trong
nền kinh tế - tri thức, kiến thức và kĩ năng của con người là nhân tố quyết định sự
phát triển của xã hội. Nhiệm vụ quan trọng đặt ra cho nền giáo dục là ngoài việc
trang bị cho học sinh những kiến thức tối thiểu, cần thiết, các môn học cần tạo ra
cho học sinh các năng lực phẩm chất nhất định để khi đi vào cuộc sống các em có
thể thích ứng được với thực tiễn cuộc sống.
Bên cạnh việc dạy cho học sinh nắm vững các nội dung cơ bản về kiến thức,
giáo viên còn phải dạy cho học sinh biết suy nghĩ, tư duy sáng tạo, biết tạo cho
học sinh có nhu cầu nhận thức trong q trình học tập. Từ nhu cầu nhận thức sẽ
hình thành động cơ thúc đẩy q trình học tập tự giác, tích cực và tự lực trong học
tập để chiếm lĩnh tri thức. Những thành quả đạt được sẽ tạo niềm hứng thú, say mê
học tập, nhờ đó mà những kiến thức sẽ trở thành “tài sản riêng” của các em.
Trong quá trình dạy học tốn nói chung, người dạy và người học cần phải tạo ra
cho mình một thói quen là: Sau khi đã tìm được lời giải bài tốn, dù là đơn giản
hay phức tạp, cần tiếp tục suy nghĩ, lật lại vấn đề để tìm kết quả mới hơn. Tìm
được cái mới hơn rồi, lại tiếp tục đi tìm cái mới hơn nữa hoặc đi tìm mối liên hệ
giữa các vấn đề, . . . cứ như thế chúng ta sẽ tìm ra được những kết quả thú vị.
Việc tư duy, khai thác một bài tốn là khơng xa lạ với người dạy và học toán.
Tuy nhiên, khai thác các bài toán chia hết trong tập hợp số nguyên lớp 6 thì chúng
ta cịn ít đưa ra hệ thống, chuỗi bài tập cho học sinh tham khảo nhiều. Từ những
khó khăn và vướng mắc trong q trình hướng dẫn giải bài tập dạng này tơi đã tìm
tịi, nghiên cứu tìm ra nguyên nhân và tìm ra được các giải pháp giúp học sinh giải
quyết tốt về dạng bài tập này. Để có cách giải dạng bài tập phép chia hết trong tập
hợp số nguyên hiệu quả nhất, giúp học sinh dễ hiểu, giải quyết vấn đề nhanh,
chính xác, đầy đủ và gọn gàng hơn, đồng thời rèn khả năng tư duy độc lập trong
quá trình học tập cho học sinh tơi xin trình bày đề tài “Giải pháp giúp học sinh tư
duy logic và có hệ thống các bài toán về chia hết trong tập hợp số nguyên” hi

vọng giúp các em có kinh nghiệm trong việc giải các bài tập dạng này.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Giúp giáo viên không phụ thuộc vào các loại sách tham khảo, chủ động linh
hoạt và sáng tạo xây dựng hệ thống bài tập để giảng dạy phù hợp với các đối
tượng học sinh khác nhau.
- Giúp học sinh có cái nhìn tổng quát, thấu đáo nhiều chiều về kiến thức đang
được đề cập, từ đó tạo niềm tin, hứng thú say mê trong học tập, phát huy tính tích
cực, chủ động sáng tạo của học trò trong học tập và nghiên cứu.

1


1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng là tác động của giáo viên đến việc hình thành một đơn vị kiến thức
nâng cao về phép chia hết trong tập hợp các số nguyên cho học sinh lớp 6, 7 đồng
thời phân tích hướng dẫn học sinh giải được một số dạng bài tập cơ bản về phép
chia hết trong tập hợp các số nguyên. Sáng kiến áp dụng trong việc đổi mới
phương pháp dạy học mơn Tốn ở cấp THCS.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liệu, thu thập và xử lí các bài tập
trong tài liệu, các bài tập trên mạng.
- Phương pháp điều tra: Tiến hành dạy thử nghiệm theo phương pháp trong đề tài
đối với học sinh trong lớp thành hai, một lớp áp dụng đề tài và một lớp không thực
hiện, khái quát thành bài học kinh nghiệm.
- Tổng hợp nhận dạng các thể loại bài tập.
- Phỏng vấn.
1.5.Những điểm mới của sáng kiến:
- Xây dựng hệ thống bài tập Số học phần "Phép chia hết trong tập hợp Z" phong phú
một cách có hệ thống, có tính logic với nhau phù hợp với nhiều đối tượng học sinh
trên cơ sở một bài tập cơ bản thuộc chương 2 số nguyên lớp 6.

- Xây dựng cách tư duy phần bài tập có liên quan. Từ đó xây dựng bài tập nâng
cao.
- Phân tích một số bài tập điển hình về phép chia hết trong tập hợp các số nguyên:
+ Từ đó học sinh rèn luyện năng lực, kĩ năng nhận dạng bài tập, hình thành cách
giải. Giúp học sinh tự nghiên cứu, tìm tịi và đưa ra cách giải cho bài toán tương
tự.
+ Việc phát triển nhiều dạng toán dựa trên một bài toán giúp học sinh tiếp cận bài
toán một cách chủ động.
+ Học sinh không phải học thuộc các dạng tốn một cách thụ động khơng phải
nhớ các dạng tốn một cách máy móc.
+ Tùy theo từng đối tượng học sinh và từng nhiệm vụ cụ thể (Ôn tập đại trà, Bồi
dưỡng HSG, …) giáo viên triển khai xây dựng các dạng toán một cách phù hợp,
học sinh tiếp cận nhẹ nhàng.
+ Rèn luyện tư duy logic trong giải toán, tránh việc học tập thụ động dựa dẫm,
qua đó kích thích sự đam mê, tính tị mị từ đó tạo cho học sinh thói quen tự học,
tự tìm tũi, sỏng to.
2. NI DUNG
2.1.C s lớ lun:
ầu chơng trình toán cấp II học sinh bắt đầu lm quen vi s
nguyờn. Đây là môn học có tính hệ thống và logic rÊt cao, do vËy

2


yêu cầu việc học phải nắm thật chắc các kiến thức cơ bản, các
mối liên quan của các kiến thức ấy đồng thời luyện tập vận dụng
chúng để giải bài tập giải toán.
Đối với học sinh lớp 6 mới đợc học một số kiến thức đơn giản v
s nguyờn. Lên lớp trờn với nhiều kiến thức mới đặc biệt là c¸ch
chøng minh mét bài tốn

chia hết trong tập Z, phương trỡnh nghim nguyờn.
Đây là việc thật chẳng dễ i vi hc sinh lp 6 buc hc sinh phi
tìm tòi, các giá trị cần tìm là cha biết, để xác định nó phải
dự đoán, tìm mối liên hệ với các s đà biết, chứng minh các dự
đoán..... mới xác định đợc số nguyờn cần tìm, cho nên loại này
càng khó hơn đối với các em.
Nguyên nhân do học sinh ít học, ít nghiên cứu, phần lớn học
sinh cha say sa trong häc chương số nguyên. Trong ®ã kiến thức về phần
chia ht l khó cần học sinh phải có sự t duy, học sinh phải biết
suy luận từ kiến thức này đến kiến thức khác một cách lôgic, kể
cả bài toán chứng minh hay tính toán nên hầu hết các em học
sinh rất ngại .
Bởi vậy tôi nghĩ, bản thân là giáo viên cần phải làm gì để
nâng cao chất lợng cho học sinh, đặc biệt là học sinh i tr, tạo
ra sự hứng thú cho mỗi học sinh khi đợc häc phần chia hết trong tập
hợp số nguyên. Trong quá trình dạy người giáo viên cần xây dựng lại kiến thức có
hệ thống, phân dạng bài tập, bài tập có liên quan để cho học sinh suy luận có tính
logic một vấn đề.
2.2. Thực trạng:
a. Đối với học sinh:
- Học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc lựa chọn tài liệu tham khảo trên thị
trường sách.
- Học sinh lĩnh hội kiến thức một cách rời rạc, thiếu tính hệ thống, thiếu tính logic.
- Gặp bài tốn khó thường học sinh phải nhớ lời giải do không liên hệ được với
các dạng bài đơn giản; hoặc phải dùng kiến thức hàn lâm khó hiểu mới giải được.
- Học sinh thường nản lòng và e ngại khi giải các bài tập Số học. Do đó niềm tin,
niềm say mê hứng thú đối với bộ mơn Tốn đối với các em sẽ bị giảm sút.
- Tuy nhiên học sinh có khả năng làm được các bài tập vận dụng, bài tập tổng hợp,
bài tập phát triển và nâng cao khi được giáo viên gợi ý, hướng dẫn.
b. Đối với giáo viên:

3


- Thuận lợi: Giáo viên chủ động thiết lập các dạng tốn một cách chủ quan thơng
qua tần xuất xuất hiện các dạng toán trong các đề thi thuận lợi.
Thời gian nghiên cứu không nhiều, không nặng tư duy hệ thống và có thể áp đặt
một cách máy móc.
Học sinh dễ dàng tiếp cận các dạng toán và thực hiện lời giải nếu đúng dạng
toán đã cho.
Hầu hết học sinh có lực học từ trung bình trở lên đều có thể thực hiện lời giải
theo mẫu.
Cả giáo viên và học sinh mất ít thời gian phải nghiên cứu, giáo viên chủ động
được kiến thức vì chỉ sử dụng phương pháp thuyết trình là chủ yếu.
- Khó khăn: Trong cơng tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi các thầy cơ
thường đưa ra nhóm các bài tập khó ở một số dạng đơn lẻ rời rạc rồi hướng dẫn
các em giải theo một phương pháp do giáo viên đã định hình sẵn, phương pháp
giải các bài tập số học cũng thường gắn với mỗi kiểu bài cụ thể khơng có tính hệ
thống và logic.
- Giáo viên phụ thuộc nhiều vào các loại sách tham khảo, không sáng tạo trong
việc đưa ra các bài tập cho học sinh.
c. Kết quả của thực trạng:
Qua khảo sát khi chưa áp dụng đề tài, được điều tra như sau:
Năm học
Tổng số
Khảo sát trước khi áp dụng đề tài
học sinh
Làm được bài tập
Không làm được bài
tập

Số HS
Tỷ lệ
Số HS
Tỷ lệ
4
12,9%
27
87,1%
7
23,3%
23
76,7%
8
22,9%
29
77,15%
nhược điểm trên, tôi đưa ra giải pháp để giải quyết vấn đề

2018-2019
31
2019-2020
30
2020-2021
35
Để khắc phục những
như sau:
2.3. Giải pháp :
2.3.1. Các giải pháp:
Xuất phát từ kiến thức mức độ cơ bản nhất theo chuẩn kiến thức và kỹ năng mà
học sinh cần phải đạt được trong SGK Số học 6 phần chia hết trong Z:

Kiến thức cơ bản: Nếu có số nguyên q sao cho a = bq (a, b là 2 số nguyên, b
≠ 0) thì ta nói a chia hết cho b.Ta cịn nói a là bội của b và b là ước của a.
Tôi phát triển kiến thức này theo hướng chuyển thành 4 dạng bài tập khác nhau
theo từng mức độ nhận thức của học sinh.
*Dạng 1: Xây dựng các bài toán tìm số ngun n thỏa mãn A(n) MB(n), trong
đó A(n) và B(n) là các biểu thức nguyên.

4


*Dạng 2: Xây dựng bài toán chứng minh phân số tối giản.
*Dang 3: Xây dựng cách giải cho bài toán có dạng giải phương trình nghiệm
ngun.
*Dạng 4: Tìm ẩn số để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
2.3.2. Tổ chức thực hiện:
Dạng 1. Tìm ẩn số trong bài toán chia hết trong Z.
Xuất phát từ quan hệ chia hết ta có thể thay đổi số chia để có bài tốn dạng khác:
- Mức độ 1: Tìm số ngun n thỏa mãn điều kiện:
a ) 7 M(n − 1)

b) 12M2n − 1

d )n + 2M3

e)27n + 5M8

c)20Mn 2 + 1

* Nhận xét: Cũng là bài toán chia hết nhưng khi kết quả luôn thoả mãn với
mọi số nguyên n thì ta có bài tốn dạng khác như sau:

- Mức độ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì giá trị các biểu thức
sau là một số nguyên
a) P =

n n 2 n3
+ +
3 2 6

b) Q =

n 4 n3 11n 2 n
+ +
+
24 4
24 4

* Nhận xét: Các bài tốn trên có dạng: “Tìm số ngun n để a MA(n) với

a ∈ Z , n ∈ Z ”. Ta có thể thay a bằng một biểu thức nguyên để được một dạng toán
khác ở mức độ cao hơn:
- Mức độ 3. Tìm số nguyên n thỏa mãn điều kiện:
a ) 2n + 5M( n + 1);

b) n 2 − 2n + 5M(n − 2);

c) ( n + 5)( n + 6) M6n

* Nhận xét: Ta đã biết nếu một phân số có tử chia hết cho mẫu thì phân số
đó là một số ngun, từ đó ta có bài tốn dạng khác :
- Mức độ 4: Tìm n ∈ Z để các biểu thức sau có giá trị nguyên:

a)

3n + 9
.
n −1

b)

n2 + 6
.
n −1

Dạng 2: Xây dựng bài toán chứng minh phân số tối giản.
Từ tính chất chia hết của một tổng và tính chất chia hết của một tích, ta kết
hợp để có bài tốn dạng sau:
- Mức độ 1: Tìm số ngun x thỏa mãn điều kiện với mọi số nguyên n thì:
2n + 1 và 6n + 7 cùng chia hết cho x
*Nhận xét: Khi chỉ tồn tại 1 hoặc – 1 để là ước chung của hai biểu thức thì
ta có thể phát triển bài toán dưới dạng khác, cụ thể.
- Mức độ 2: Chứng minh các phân số sau là phân số tối giản:
a)

n+2
;
2n + 5

a)

21n + 4
;

14n + 3

* Nhận xét: Sử dụng tính chất chia hết , ta có bài tốn ở mức độ cao hơn.

5


- Mức độ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì các phân số sau là
phân số tối giản.
6 + 8n + 15n 2
a) P =
;
13 + 21n + 30n 2

1 + n2 + n7
b)Q =
1 + n + n8

*Nhận xét: Đảo lại bài toán trên ta có thể đưa ra dạng tốn về việc tìm điều
kiện để phân số tối giản.
- Mức độ 4: Tìm số tự nhiên n để các phân số sau là phân số tối giản.
a)

7n + 13
2n + 4

b)

8n + 193
4n + 3

*Nhận xét: Kết hợp giữa tính chất chia hết và kĩ thuật phân tích đa thức
thành nhân tử, ta có bài toán ở mức độ cao hơn.
Dạng 3. Xây dựng cách giải cho bài tốn có dạng giải phương trình nghiệm
nguyên.
- Mức độ 1: Tìm cặp số nguyên dương (x,y) thỏa mãn điều kiện:
a )2 x + 5 y = 14

b)3 x + 17 y = 159

c ) xy − 5 x = 7

*Nhận xét: Đưa bài tập mức độ 2 dạng 3 về bài tập mức độ 2 dạng 1 kết hợp
tính chất chia hết của một tổng.
- Mức độ 2: Tìm cặp số nguyên dương (x,y) thỏa mãn điều kiện:
a )(2 x + 1)( y − 5) = 12

b)( x − 2)(2 y + 1) = 8

c)(8 − x)(4 y + 1) = 20

*Nhận xét: Đưa bài tập mức độ 2 dạng 3 về bài tập mức độ 1 dạng 1.
- Mức độ 3: Giải phương trình nghiệm nguyên:
a ) xy = x + y

b) xy = x − y

c) x ( y + 2) + y = 1

1 1

1
1
d) + +
=
x y 2 xy 2

- Mức độ 4: Tìm cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn điều kiện:
5 y 1
a) + =
x 4 8

x 3 1
b) − =
9 y 18

Dạng 4: Tìm ẩn số để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
- Mức độ 1: Tìm số n ∈ N để biểu thức A = 15 −

12
có giá trị nguyên nhỏ nhất.
11 − n

* Nhận xét: Đưa bài toán mức độ 1 dạng 4 về bài tốn mức độ1 dạng 1, tức
là tìm n ∈ N để 12M11 − n
- Mức độ 2: Tìm số n ∈ N để các biểu thức có giá trị nguyên lớn nhất.
a) A =

14 − n
4−n

b) B =

10n − 3
4n − 10

c)C =

6n + 5
3n + 2

* Nhận xét: Đưa bài toán mức độ 2 dạng 4 về bài toán mức độ 1 dạng 4.
2.3.3.Một số dạng bài tập cụ thể:
* Dạng 1. Tìm ẩn số trong bài tốn chia hết trong Z.
Mức độ 1:
6


Tìm số nguyên n thoả mãn điều kiện:
a )7Mn − 1
b)12M2n + 1
c)20Mn 2 + 1

d )n + 2M3

* Gợi ý trả lời
a )7Mn − 1 ⇔ Ư (7) = { ±1; ±7}
⇒ ta có bảng giá trị:

n −1
n

-1
0

1
2

-7
-6

7
8

b) Tương tự
c) Tương tự

d )n + 2M3 ⇔ n + 2 ∈ B(3) ⇒ n + 2 = 3k (k ∈ Z ) ⇔ n = 3k − 2

Mức độ 2:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì giá trị các biểu thức sau là một
số nguyên:
a) P =

n n 2 n3
+ +
3 2 6

b) Q =

n 4 n3 11n 2 n

+ +
+
24 4
24 4

*Gợi ý trả lời:
a) P =

n n 2 n3
+ +
3 2 6

n n 2 n3
+ +
3 2 6
2n + 3n 2 + n3
=
6
n( n + 1)( n + 2)
=
6
Do n, n + 1, n + 2 là 3 số nguyên liên tiếp nên n(n + 1)(n + 2)M6
⇒ P là 1 số nguyên với mọi n nguyên dương.
P=

b) Tương tự:

n(n+1)(n+2)(n+3) 24

Mức độ 3:

Tìm số nguyên n thoả mãn điều kiện:
a )2n + 5Mn + 1
b)5 + n2 − 2n Mn − 2
c)n 2 − 2n − 22Mn + 3

* Gợi ý trả lời
a ) Ta có: 2n + 5 = 2n + 2 + 3 = 2( n + 1) + 3
Ta có : 2(n + 1)M(n + 1)

7


⇒ 2n + 5Mn + 1 khi 3Mn + 1
⇒ n + 1∈ Ư (3)

Ta có bảng sau:
n+1 -1
n
-2

1
0

-3
-4

3
2

b) Tương tự

c) Tương tự: (n+3)(n-5) - 7 n+3

Mức độ 4:
Tìm số nguyên n để phân số sau có giá trị là số nguyên.
3n + 9
n−4
6n + 5
b) B =
2n − 1
a) A =

* Gợi ý trả lời
a ) Ta có
3n + 9 3n − 12 + 21
21
=
= 3+
n−4
n−4
n−4
21
∈Z
Do A ∈ Z ⇒
n−4
n − 4 là Ư(21)= { ±1; ±3; ±7; ±21 }
A=

b) Tương tự : 2n – 1 là Ư(8) = { ± 1 ; ± 2 ; ± 4 ; ± 8}

Bài tập vận dụng :

Bài 1. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện:
a )15Mn + 1
b)18M2n + 1
c)55Mn 2 + 2

Bài 2. Tìm số nguyên n sao cho:
a )n + 2Mn − 1
b)n + 1Mn − 1
c)4n − 5M2n − 1
d )3n + 1M2n + 3
f ) n2 − 2Mn + 3

Bài 3. Tìm số nguyên n đề phân số sau có giá trị là số nguyên
a)

5
n−3

b)

n +1
n−2

c)

n +1
n −3

d)

12n + 1
2n + 3

e)

2n + 5
n+3

f)

n + 10
2n − 8

g)

3n + 7
n+2

h)

n2 + n + 2
n +1

*Dạng 2: Xây dựng bài toán chứng minh phân số tối giản.
Mức độ 1:

8


Tìm số nguyên x thỏa mãn điều kiện với ∀ n∈ Z thì:

a )2n + 1 và 6n + 7 cùng chia hết cho x
b)12n + 1 và 30n + 2 cùng chia hết cho x
c)2 − 3n và 3 − 4n cùng chia hết cho x
* Gợi ý trả lời
a ) Ta có
2n + 1Mx
⇒ 3(2n + 1)Mx
⇒ 6n + 3Mx
6n + 7 Mx
⇒ [(6n + 7) − (6 n + 3)]Mx

⇒ (6n + 7 − 6n − 3)Mx
⇒ 4Mx
⇒ x là Ư (4)
⇒ x ∈ { ± 1; ± 2; ± 4}

Mà với ∀n ∈ Z thì 2n + 1 là số lẻ nên nếu x = ±2 hoặc x = ±4 thì
/ x ⇒ x ≠ ±2 ⇒ x ≠ ±2; x ≠ ±4
2n + 1 M

Vậy x = ± 1
b) Tương tự
c) Tương tự
Mức độ 2:
Chứng minh phân số tối giản:
n+2
2n + 5
21n + 4
b)
14n + 3

10n − 3
c)
10n − 4
a)

* Gợi ý trả lời
a ) Gọi ƯCLN (n + 2; 2n + 5) = d ta có:
n + 2Md và 2n + 5Md
⇒ 2(n + 2)Md và 2n + 5Md
⇒ 2n + 4Md và 2n + 5Md
⇒ [(2n + 5) − (2n + 4)]Md
⇒ 1Md

⇒ d =1

Vậy

n+2
là phân số tối giản
2n + 5

b) Tương tự

9


c) Tương tự

Mức độ 3 :
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì các phân số sau là phân số tối

giản:
a) P =

6 + 8n + 15n 2
;
13 + 21n + 30n 2

b)Q =

1 + n 2 + n7
1 + n + n8

*Gợi ý trả lời
a ) Gọi d là ước chung lớn nhất của 6 + 8n + 15n 2 và 13 + 21n + 30n 2
⇒ 6 + 8n + 15n 2 Md ;13 + 21n + 30n 2 Md

Ta có:
⇒ 12 + 16n + 30 n 2 Md mà 13 + 21n + 30n 2 Md

⇒ 5n + 1Md (1)
⇒ 3n(5n + 1)Md
⇒ 15n 2 + 3n Md
⇒ 6 + 8n + 15n 2 − 15n 2 − 3n Md
⇒ 5n + 6M5(2)

Từ (1) và (2) ⇒ (5n + 6) − (5n + 1)Md
⇒ 5Md

Mà 5n + 6Md ⇒ 5n + 5 + 1Md ⇒ 1Md ⇒ d = 1
Vậy phân số P =

6 + 8n + 15n 2
tối giản với mọi số nguyên dương n.
13 + 21n + 30n 2

b) Tương tự

Mức độ 4 :
Tìm số tự nhiên n để các phân số sau là phân số tối giản:
a)

7n + 13
2n + 4

b)

8n + 193
4n + 3

*Gợi ý trả lời
a ) Giả sử phân số

7n + 13
(n∈N) có thể rút gọn được cho số nguyên tố d
2n + 4

⇒ 7 n + 13Md và 2n + 4Md

Vì 7 n + 13Md nên 2(7n + 13)Md hay14n + 26Md (1)
Và 2n + 4Md nên 7(2n + 4)Md hay 14n + 28Md (2)

Từ (1) và (2) suy ra:
(14n + 28) − (14n + 26) Md
⇒ 2Md

Mà d là số nguyên tố nên d = 2
⇒ 7 n + 13M2 ( vì 2n + 4M2 )
⇒ 7 n + 13 − 6M2 (vì 6M2 )

10


⇒ 7 n + 7 M2

⇒ 7(n + 1)M2
⇒ n + 1M2 (vì (7, 2) = 1 )
⇒ n + 1 = 2k ( k ∈ N * )

⇒ n = 2k − 1

Với n = 2k − 1(k ∈ N * ) thì phân số rút gọn được cho 2
Vậy với n ≠ 2k − 1(k ∈ N * ) thì phân số
b) Giả sử phân số

7n + 13
là phân số tối giản
2n + 4

8n + 193
(n ∈ N ) có thể rút gọn được cho số nguyên tố d
4n + 3

⇒ 8n + 193Md (1) và 4n + 3Md

Do 4n + 3Md nên 2(4n + 3)Md hay 8n + 6Md (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
(8n + 193) − (8n + 6) Md
⇒ 187 Md

Mà d là số nguyên tố ⇒ d ∈ { 11;17}
- Nếu d = 11
⇒ 4n + 3M
11
⇒ 4n + 3 = 11t (t ∈ N * )
⇒ 4n − 8t = 3t − 3
⇒ 4(n − 2t ) = 3(t − 1)
⇒ t − 1M4 vì (4;3) = 1
⇒ t − 1 = 4t1 (t1 ∈ N * )
⇒ t = 4t1 + 1

Thay t = 4t1 + 1 vào 4n + 3 = 11t suy ra : n = 11t1 + 2 (3)
- Nếu d = 17
⇒ 4n + 3M
17
⇒ 4n + 3 = 17 k ( k ∈ N * )
⇒ 4n + 4 = 16k + k + 1
⇒ k + 1M4
⇒ k + 1 = 4k1 (k1 ∈ N * )
⇒ k = 4k1 − 1

Thay k = 4k1 − 1 vào 4n + 3 = 17k suy ra n = 17k1 + 12 (4)

Từ (3) và (4) suy ra
Với n = 11t1 + 2(t1 ∈ N * ) thì phân số rút gọn được cho 11 và
với n = 17k1 + 12(k1 ∈ N * ) thì phân số rút gọn được cho 17

11


Vậy với n ≠ 11t1 + 2(t1 ∈ N * ) và n ≠ 17k1 + 12(k1 ∈ N * ) thì phân số đã cho là phân số tối
giản.
Bài tập vận dụng :
Bài 1. Chứng minh các phân số sau là phân số tối giản:
a)

6n + 5
3n + 2

b)

10n + 9
15n + 14
9n + 17
i)
3n + 4
e)

2n + 3
4n + 8

f)

3n + 6
2n + 1

n 2 − 2n − 22
n+3
4n + 3
g)
5n + 4

c)

d)

8n + 199
4n + 3

h)

n+3
24n + 5

Bài 2. Tìm số tự nhiên n để các phân số sau là phân số tối giản:
a)

4n + 3
5n + 4

b)

9n + 17

3n + 4

* Dạng 3: Phương trình nghiệm nguyên:
Mức độ 1:
Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn:
a )2 x + 5 y = 14
b)3 x + 17 y = 159
c ) xy − 5 x = 7

* Gợi ý trả lời
a ) Xét 2 x + 5 y = 14 , Ta có:
14M2; 2 x M2 ⇒ 5 y M2

Mà (5; 2) = 1 nên yM2
Ta có:
5 y < 14 ⇒ y <

14
⇒ y≤2
5

Mà y là số nguyên dương và yM2 nên y = 2
⇒ 2 x + 5.2 = 14
⇒ 2x = 4
⇒x=2
⇒ x = 2; y = 2
b) Tương tự
c) Tương tự: x(y – 5) = 7

Mức độ 2:

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
a )(2 x + 1)( y − 5) = 12
b)( x − 2)(2 y + 1) = 8
c)(8 − x)(4 y + 1) = 20

12


* Gợi ý trả lời
a )(2 x + 1)( y − 5) = 12
(2 x + 1) và ( y − 5) là ước của 12, mà 2 x + 1 là số lẻ ta có bảng giá trị:

2x+

1

3

y-5
x
y

12
0
17

4
1
9

1

Vậy ( x; y ) ∈ { ( 0;17 ) ; ( 1;9 ) }
b) Tương tự
c) Tương tự

Mức độ 3:
Tìm các cặp số nguyên (x;y) sao cho:
a ) xy = x + y
b) xy = x − y
c) x( y + 3) + y = 1
1 1
1
1
d) + +
=
x y 2 xy 2

* Gợi ý trả lời
a ) xy = x + y
⇔ xy − x − y + 1 = 1
⇔ x ( y − 1) − ( y − 1) = 1
⇔ ( x − 1)( y − 1) = 1
( x − 1) và ( y − 1) là ước của 1 ta có bảng giá trị:

Vậy ( x; y ) ∈ { ( 0;0 ) ; ( 2; 2 ) }

x-1
y-1
x

y

-1
-1
0
0

1
1
2
2

b) Tương tự
c) Tương tự
d ) Tương tự

Mức độ 4: Tìm các cặp số nguyên x,y biết rằng:
5 y 1
a) + =
x 4 8
x 3 1
b) − =
9 y 18

* Gợi ý trả lời

13


5 y 1

5 1 y 1− 2 y
a) + = ⇔ = − =
x 4 8
x 8 4
8
⇔ x (1 − 2 y ) = 40
⇒x

và 1 − 2 y là ước của 40 mà 1 − 2 y là số lẻ ta có bảng giá trị :
1-2y
-1
1
-5
x
-40
40
-8
y
-1
0
3

Vậy ( x; y ) ∈ { ( −40; −1) ; ( 40; 0 ) ; ( −8;3 ) ; ( 8; −2 ) }

5
8
-2

b) Tương tự.

Bài tập vận dụng :
Bài 1. Tìm các cặp số nguyên dương thỏa mãn điều kiện:
a )( x − 1)( y + 2) = 5
b)( x − 7)( xy + 1) = 9
c) x(2 y + 1) = 18
d )(2 x + 1)( y 2 − 5) = 12

Bài 2. Tìm các cặp số nguyên x,y sao cho:
a ) xy + x − 2 y = −1
b) x + y + xy = 4
c) xy + 3 x − 7 y = 21
d ) xy + 3 x − 2 y = 6 y + 1
e) x + y = xy + 1
f )x + 6 = y

Bài 3. Tìm các cặp số nguyên dương x,y thỏa mãn:
a )59 x + 46 y = 2004
b)2 x + 13 y = 156
c)10 x + 48 = y 2
d )2 x + 242 = 3 y
x 1 1
e) − =
5 y 10
5 y 1
f) − =
x 3 6
x 1
1
g) − =
7 2 y +3

3 y 5
h) + =
x 3 6

*Dạng 4: Tìm ẩn số để các phân số sau đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất:
Mức độ 1:
Tìm số n ∈ N để biểu thức A = 15 −

12
có giá trị nguyên nhỏ nhất:
11 − n

14


* Gợi ý cách giải:
12
∈ Z ⇒ 11 − n ∈ Ư (12)
11 − n
12
- Để A nhỏ nhất thì
lớn nhất ⇒ 11 − n nhỏ nhất
11 − n
Do n ∈ N nên 11 − n ∈ N , 0 < 11 − n ⇒ n < 11

- Để A ∈ Z thì

Vậy A nhỏ nhất khi 11 − n là ước tự nhiên nhỏ nhất của 12
⇒ 11 − n = 1 ⇒ n = 10

Mức độ 2 :
Tìm ẩn số để các phân số sau đạt giá trị lớn nhất:
10n − 3
4n − 10
6n + 5
b) B =
3n + 2
14 − n
c )C =
4−n
a) A =

* Gợi ý trả lời
a ) Ta có:
10n − 3 10n − 25 + 22 2,5(4n − 10)
22
22
=
=
+
= 2,5 +
4n − 10
4n − 10
4n − 10
4n − 10
4n + 10
22
22
Vì n ∈ N nên A = 2,5 +
đạt giá trị lớn nhất khi

đạt giá trị lớn nhất
4n + 10
4n + 10
22
Mà
đạt giá trị lớn nhất ⇔ 4n − 10 là số nguyên dương nhỏ nhất
4n + 10
- Nếu 4n − 10 = 1 thì n = 2, 75 ∉ N ( loại)
A=

- Nếu 4n − 10 = 2 thì n = 3 ∈ N ( thỏa mãn)
b) Tương tự.
c) Tương tự.
Bài tập vận dụng:
Bài 1. Cho biểu thức A =

10n + 3
5n − 1

a ) Tìm n ∈ Z để A có giá trị nguyên.
b) Với giá trị nào của n thì biểu thức A đạt GTLN. Tìm GTLN đó.
7n + 8
Bài 2. Tìm số tự nhiên n để phân số
có GTLN
8n − 3
5 x − 19
Bài 3. Tìm số nguyên x để giá trị của biểu thức sau nhỏ nhất: C =
x−4

2.4. Hiệu quả của sáng kiến đạt được.

a. Bài học kinh nghiệm :

15


- Sáng kiến này giúp giáo viên có thể khai thác tìm tịi, sáng tạo ra các bài tập
phong phú hiệu quả phù hợp với nhiều đối tượng khác nhau. Do vậy sáng kiến này
mang lại những lợi ích kinh tế thiết thực:
- Giảm được thời gian lựa chọn, tìm tòi tài liệu.Tiết kiệm tiền để mua tài liệu
giảng dạy và học tập cho cả thầy cô giáo và học sinh.
- Áp dụng các giải pháp của sáng kiến các thầy cơ giáo đều tự học tập, nghiên
cứu, tìm tịi, sáng tạo ra các bài tập hay để phục vụ cơng tác giảng dạy và bồi
dưỡng của mình.
- Sau khi áp dụng sáng kiến trong quá trình giảng dạy, đặc biệt là bồi dưỡng học
sinh giỏi, chúng tôi nhận thấy đa số học sinh học tự tin, chủ động sáng tạo tìm hiểu
kiến thức, vận dụng giải quyết tốt các bài tập từ đơn giản đến phức tạp. Từ đó học
sinh yêu quý môn học hơn, chất lượng giáo dục đại trà, giáo dục mũi nhọn bộ môn
được nâng lên.
- Việc áp dụng đề tài vào giảng dạy được tổ chuyên môn, đồng nghiệp đánh giá là
thành công. Đúng với quan điểm đổi mới hướng dẫn dạy học hiện nay.
b. Kết quả.
- Kết quả thu được sau khi áp dụng đề tài, được điều tra như sau:
Năm học
Tổng số
Khảo sát trước khi áp dụng đề tài
học sinh
Làm được bài tập
Không làm được bài
tập
2018-2019

2019-2020
2020-2021

31
30
35

Số HS
18
24
25

Tỷ lệ
58,1%
80%
71,4%

Số HS
13
6
10

Tỷ lệ
41,9%
20%
28,6%

3. Kết luận, kiến nghị.
3.1.Kết luận
Giải pháp giúp học sinh tư duy logic một bài tốn cơ bản cho trước góp phần rất

quan trọng trong việc nâng cao năng lực tư duy cho học sinh khi học mơn Tốn nhất là việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi. Qua quá trình giảng dạy và nghiên cứu,
bản thân tơi nhận thấy:
- Trong q trình học tập tốn, việc khai thác, tìm hiểu sâu thêm kết quả của bài
tốn là rất quan trọng và rất có ích. Nó khơng chỉ giúp học sinh nắm bắt kĩ kiến
thức của một dạng tốn mà nó cịn nâng cao tính khái qt hố, đặc biệt hố, tổng
qt hố một bài tốn; từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo, linh hoạt
cho học sinh; giúp cho học sinh nắm chắc, hiểu sâu rộng kiến thức hơn một cách
lơgic, khoa học; tạo hứng thú khoa học u thích bộ mơn tốn hơn.

16


Sau một thời gian kiên trì, nỗ lực thực hiện, tơi đã hồn thành đề tài " Giải pháp
giúp học sinh tư duy logic và có hệ thống của các bài toán về chia hết trong tập
hợp số nguyên ". Bước đầu, đề tài đã thu được khá nhiều kết quả tích cực, đã tạo
thói quen tốt cho nhiều học sinh tính kiên trì, độc lập suy nghĩ và có khả năng sáng
tạo khi học toán, thấy được sự phong phú, thú vị của tốn học. Các em đã ham
thích hơn với mơn tốn, đã góp phần nâng cao được chất lượng dạy và học mơn
tốn trong nhà trường. Tơi mong muốn được học hỏi, trao đổi thêm cùng tất cả
đồng nghiệp và bạn đọc quan tâm. Tuy đã cố gắng nhưng do kinh nghiệm cá nhân
còn hạn chế nên đề tài này chắc chắn cịn những khiếm khuyết. Tơi rất mong và
xin chân thành cảm ơn sự chỉ bảo, đóng góp của quý vị về đề tài này.
- Sáng kiến có tính khả thi, cụ thể từ năm học 2018-2019 bản thân tơi đã áp dụng
thí điểm sáng kiến trong q trình giảng dạy mơn Tốn lớp 6, 7, 8 cho nhiều đối
tượng đặc biệt là học sinh khá giỏi, phát huy được khả năng tư duy logic, tính sáng
tạo cho học sinh và bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 6, 7, 8 đạt nhiều kết quả tốt.
- Sáng kiến có thể làm tư liệu để giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi môn Số học
lớp 6, 7,8 ở trường THCS, có thể làm tài liệu tham khảo tốt cho học sinh lớp 6, 7,8
trong quá trình học tập, nghiên cứu.
3.2. Ý kiến đề xuất:

1. Với đối tượng học sinh trung bình trở xuống khả năng lĩnh hội kiến thức,
tư duy, nhận thức chậm nên sự chuyển tải kiến thức rất khó khăn, nhất là dạng
tốn có yêu cầu chứng minh. Do vậy cần có thời gian và phải vận dụng linh hoạt,
thường xuyên, kiên trì và cần có nhiều bài tập tương tự để học sinh tự rèn luyên.
2. Muốn dạy học sinh biết cách “tư duy logic và có hệ thống của các bài tốn
về chia hết trong tập hợp số nguyên”, bản thân giáo viên phải thường xuyên thực
hiện điều đó, liên tục tự tìm tịi, nghiên cứu, học hỏi kinh nghiệm qua đồng
nghiệp, sách, báo và đặc biệt là qua các trang Web có liên quan...; Giáo viên cần
có sự chủ động, có kế hoạch trong từng ngày, từng giờ lên lớp.
3. Việc tư duy, phát triển từ bài toán quen thuộc đã biết, giúp cho học sinh
định hướng tìm ra lời giải một bài toán là một vấn đề rất quan trọng và khơng thể
thiếu được trong cơng tác dạy học tốn nói chung và dạy học phần chia hết trong
tập hợp số nguyên nói riêng. Phong trào thi viết sáng kiến kinh nghiệm trong các
trường học là một phong trào có tác dụng tốt, rất có ý nghĩa, đặc biệt là trong xu
thế thời đại đang rất cần sự sáng tạo, chủ động, tích cực, hội nhập trên mọi lĩnh
vực cơng tác hiện nay. Vì vậy, tơi mạnh dạn và mong muốn Phịng giáo dục đào
tạo và cấp trên duy trì phong trào này, khích lệ động viên các tập thể, cá nhân có
những sáng kiến hữu hiệu, tích cực, tính khả thi cao; có hình thức phổ biến, trao
đổi về các sáng kiến hay tới đông đảo giáo viên.

17


Sáng kiến được tích lũy trong q trình giảng dạy, bản thân tự làm nếu sai tơi xin
hồn tồn chịu trách nhiệm.

Tôi xin chân thành cảm ơn !.

18