Dự thảo tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Xấp xỉ Và khôi phục hàm số bằng phương pháp thích nghi và không thích nghi trong không gian Besov

MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây, các phương pháp xấp xỉ hiện đại của toán học
được ứng dụng một cách triệt để và có hiệu quả vào trong lĩnh vực xử lý tín hiệu,
xử lý ảnh và thị giác máy tính. Bài tốn khơi phục tín hiệu (hàm số) là một bài
toán hết sức quan trọng trong lĩnh vực xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, vì trong thực
tế khơng có một loại máy nào có thể cho ta thơng tin chính xác của tín hiệu.
Một trong những vấn đề nền tảng được đặt ra là tìm phương pháp tối ưu để
khơi phục tín hiệu hoặc nén tín hiệu từ một số hữu hạn giá trị lấy mẫu. Lý thuyết
sóng nhỏ được hình thành và phát triển trong những năm 90 của thế kỷ trước, là
một trong những công cụ biểu diễn hiệu quả nhất trong xử lý tín hiệu, đặc biệt là
trong bài tốn khơi phục hoặc nén tín hiệu từ giá trị lấy mẫu. Trong các bài tốn
xử lý tín hiệu, xử lý ảnh và thị giác máy tính, tín hiệu được mơ hình hóa như một
hàm số một biến hoặc nhiều biến.
Trước tiên chúng ta xét một số bài tốn truyền thống về khơi phục hàm số từ
giá trị lấy mẫu. Vấn đề đặt ra là chúng ta cần khơi phục gần đúng tín hiệu nhiều
chiều f từ n giá trị lấy mẫu. Trên cơ sở thông tin này chúng ta xây dựng một
phương pháp để khôi phục. Trong các cách tiếp cận truyền thống thông tin về
giá trị lấy mẫu và phương pháp khôi phục khơng thích nghi với hàm số, nghĩa là
các điểm lấy mẫu và phương pháp khơi phục tín hiệu được chọn giống nhau cho
mọi tín hiệu. Các phương pháp khơi phục khơng thích nghi với hàm số từ giá
trị lấy mẫu tối ưu được nghiên cứu bởi các tác giả từ Đại học Quốc gia Hà Nội,
Đại học Tổng hợp South Carolina, Hoa Kỳ, Đại học Tổng hợp Jena, CHLB Đức. . .
Các tác giả của các cơng trình này đã tính được tốc độ hội tụ của các đại lượng
đặc trưng cho các phương pháp khơi phục khơng thích nghi với hàm từ giá trị
lấy mẫu tối ưu. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp các phương pháp khơi phục
khơng thích nghi khơng mềm dẻo linh hoạt vì dáng điệu của các tín hiệu rất khác
nhau.
Đề tài Luận án sẽ nghiên cứu một cách tiếp cận mới cho bài tốn khơi phục tín
hiệu nhiều chiều từ giá trị lấy mẫu bằng cách buộc thông tin về giá trị lấy mẫu và
1

phương pháp khơi phục phải thích nghi với tín hiệu. Cách tiếp cận này do Giáo
sư Đinh Dũng đề xuất và nghiên cứu. Cụ thể là các điểm lấy giá trị thử và phương
pháp khơi phục tín hiệu được chọn sao cho chúng thích nghi với từng tín hiệu.
Đề tài sẽ tập trung nghiên cứu các phương pháp khôi phục thích nghi với tín
hiệu từ giá trị lấy mẫu tối ưu bằng các tín hiệu đơn giản từ các tập hợp có dung
lượng hữu hạn được đo bằng số các phần tử hay giả chiều (pseudo-dimension)
của chúng, hoặc bằng các tín hiệu đơn giản là tổ hợp tuyến tính của n số hạng từ
một từ điển. Đề tài sẽ nghiên cứu những đại lượng đặc trưng cho những phương
pháp khôi phục tối ưu có liên quan đến -entropy, các độ dày phi tuyến và xấp xỉ
bằng n số hạng. Ngoài ra đề tài luận án cũng nghiên cứu các phương pháp xấp xỉ
và khơi phục khơng thích nghi tốt nhất, trong đó có phương pháp tuyến tính. Để
xây dựng phương pháp khơi phục thích nghi và khơng thích nghi với tín hiệu từ
giá trị lấy mẫu tối ưu Đề tài Luận án sẽ xây dựng các biểu diễn sóng nhỏ giả nội
suy của hàm số. Các phương pháp khôi phục thích nghi với hàm số từ giá trị lấy
mẫu tối ưu sẽ cho bậc tiệm cận của sai số xấp xỉ tốt hơn các phương pháp khơi
phục khơng thích nghi đã được nghiên cứu. Tuy nhiên, độ phức tạp tính tốn của
phương pháp thích nghi đơi khi lớn hơn các phương pháp khơng thích nghi, đặc
biệt là các phương pháp tuyến tính.
Ngồi phần Mở đầu, luận án gồm 3 chương, Kết luận và kiến nghị, Danh mục
cơng trình của tác giả liên quan đến luận án, và Tài liệu tham khảo.
Chương 1: Nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản liên quan đến luận
án. Phát biểu và chứng minh các định lý biểu diễn: Định lý biểu diễn giả nội suy
qua giá trị lấy mẫu và Định lý biểu diễn qua đa thức lượng giác.
Chương 2: Nghiên cứu Khôi phục và xấp xỉ hàm số bằng phương pháp tuyến
tính.
Chương 3: Nghiên cứu vấn đề khơi phục và xấp xỉ hàm số bằng phương pháp
phi tuyến.
Các kết quả của luận án này đã được báo cáo tại:
- Xêmina bộ mơn Giải tích, xêmina bộ mơn Tốn giải tích, Khoa Toán - Cơ Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội.

- Xêmina tại phòng thư viện, Viện nghiên cứu cao cấp về Toán.
2


-Xêmina tại bộ mơn Tốn giải tích, Khoa KHTN, Trường ĐH Hồng Đức.
Các kết quả chính của luận án đã được đăng trên các tạp chí Acta Mathematica
Vietnamica , Journal of Computer Science and Cybernetics, Southeast Asian Bulletin of
Mathematics.

3


Chương 1
CÁC ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN BẰNG GIÁ TRỊ LẤY MẪU

Chương này tơi trình bày một định lý và một bổ đề là một trong những kết
quả mới của luận án, đó là định lý biểu diễn một hàm số thuộc không gian Besov
thành chuỗi bởi các B-spline và đa thức lượng giác, chứng minh tương đương
chuẩn.

1.1

Không gian Besov

Định nghĩa 1.1. Cho f ∈ L p (Id ), toán tử sai phân cấp l được định nghĩa bởi
∆lh f ( x )

l

:=

∑ (−1)l− j

j =0

l
f ( x + jh).
j

Định nghĩa 1.2. Nếu f ∈ L p (Id ), thì
ωl ( f , t) p := sup ∆lh f
|h|
p,Id (lh)

được gọi là modul trơn cấp l của f , ở đây Id (lh) :=

x : x, x + lh ∈ Id .

Cho hàm số Ω : R+ → R+ thỏa mãn các điều kiện
(i) Ω(t) > 0, ∀t > 0,
(ii) Ω(t) ≤ c.Ω(t ), ∀t, t ∈ R+ , t ≤ t ,
(iii) ∀γ ≥ 1, ∃C = C (γ) sao cho Ω(γt) ≤ C .Ω(t), t ∈ R+ .
Định nghĩa 1.3. Cho 0 < p, θ ≤ ∞, không gian Besov BΩ
p,θ được định nghĩa là tập
hợp các hàm f ∈ L p (Id ) sao cho chuẩn Besov sau là hữu hạn
f

BΩ
p,θ

:= f
4

p

+ | f | BΩ ,
p,θ


ở đây | f | BΩ là nửa chuẩn Besov, xác định bởi
p,θ

| f | BΩ : =
p,θ








1
θ

ωl ( f , t ) p Ω ( t )

I

θ<∞

θ dt
t





sup ωl ( f , t) p Ω(t)

θ = ∞.

t ∈I

Định nghĩa 1.4. Hàm số tuần hồn trên Rd có chu kỳ 2π theo từng biến được
định nghĩa như hàm số trên hình xuyến d chiều Td := [0, 2π ]d với các điểm mút
đồng nhất.
Định nghĩa 1.5. Cho f là một hàm số tuần hồn thuộc khơng gian Lq (Td ), e là
tập con bất kỳ của [d] := {1, 2, . . . , d}, toán tử sai phân bậc (l, e) của hàm số nhiều
biến xác định trên Td kí hiệu là ∆l,e
h và được xác định bởi
∆l,e
h :=

∏ ∆lhi ,
i ∈e

∆l,Ø
h = I,

ở đây toán tử ∆lh là toán tử sai phân tương ứng với hàm số khi xem f là hàm số
i

một biến của biến xi với các biến còn lại cố định. Đặt
ωle ( f , t) p :=

sup
|hi |
∆l,e
h f

p

, t ∈ Td ,

là modun trơn hỗn hợp bậc (l, e) của f . Đặc biệt, ωlØ ( f , t) p = f

p.

Cho 1 ≤ p ≤ ∞, 0 < θ ≤ ∞, a = ( a1 , a2 , . . . , ad ) ∈ Rd+ . Chúng ta xây dựng
nửa chuẩn | f | Ba,e của hàm số f ∈ L p (Td ) xác định bởi
p,θ

| f | Ba,e :=
p,θ









∏

Td





 sup

t ∈Td

i ∈e

−a
ti i ωle ( f , t) p
− ai

∏ ti

i ∈e

Trường hợp đặc biệt, | f | Ba,Ø =

f

p,θ

Không gian

B ap,θ

θ

1/θ

∏ ti−1 dt

i ∈e

l là một số tự nhiên thỏa mãn l > max ai .
1≤ i ≤ d

là tập hợp tất cả các hàm số f ∈ L p

(Td )

đây là hữu hạn
f

B ap,θ

θ < ∞,
θ = ∞.

ωle ( f , t) p ,
p,

,

∑

:=

e⊂[d]

5

| f | Ba,e .
p,θ

sao cho chuẩn Besov sau


Trong suốt luận án này chúng ta luôn giả thiết rằng A là một tập con hữu hạn
A là không gian Besov của tất cả các hàm trên Td , với chuẩn
của Rd+ . Kí hiệu B p,θ

f

A
B p,θ

∑

:=

a∈ A

f

B ap,θ

A là hình cầu đơn vị của B A .
hữu hạn. Kí hiệu U p,θ
p,θ

1.2

Biểu diễn giả nội suy qua giá trị lấy mẫu
d

Cho x = ( x1 , x2 , . . . , xd ), y = (y1 , y2 , . . . , yd ) ∈ Rd , ký hiệu ( x, y) = ∑ xi yi và
i =1

d

| x |1 = ∑ | xi |. Cho một tập con A ⊂ Rd , ký hiệu Ao+ := { x ∈ Rd+ : ( a, x ) ≤ 1, a ∈
i =1

A} và α = α( A), s = s( A), ở đây 1/α := sup{| x |1 : x ∈ Ao+ }, s := dim{ x ∈ Ao+ :

| x |1 = 1/α}. Đặt S( A, x ) := sup( a, x ) là hàm giá của A.
a∈ A

Ký hiệu An ( f )

Bn ( f ) nếu An ( f ) ≤ C.Bn ( f ) ở đây C là hằng số độc lập

với n và f ∈ W; An ( f )

Bn ( f ) nếu An ( f )

Bn ( f ) và Bn ( f )

A n ( f ).

Định nghĩa 1.6. Ký hiệu Nr là B-spline bậc r với các nút tại các điểm 0, 1, . . . , r
được xác định như sau: N1 là hàm đặc trưng trên nửa khoảng [0, 1); với r ≥ 2, Nr
được định nghĩa bởi tích chập
∞

Nr−1 ( x − y) N1 (y)dy.

Nr ( x ) :=
−∞

Đặt Mr ( x ) := Nr ( x + r/2) được gọi là B-spline trung tâm bậc r.
Cho một số nguyên dương r, gọi M là một B - spline trung tâm bậc 2r với giá

[−r, r ] và các nốt là các điểm nguyên −r, . . . , 0, . . . r,. Định nghĩa d-biến B-spline
như sau

d

M( x ) :=

∏ M ( x i ),

x = ( x1 , x2 , . . . , x d ),

(1.1)

i =0

và định nghĩa B - spline sóng nhỏ
Mk,s ( x ) := M (2k x − s),
cho một số không âm k và s ∈ Zd . Ký hiệu M là tập hợp tất cả Mk,s không triệt
tiêu trên Id . Cho λ = {λ( j)} j∈ P(µ) là dãy chẵn hữu hạn, tức là λ( j) = λ(− j), ở
6


đây Pd (µ) := { j ∈ Z : | j| ≤ µ} và µ ≥ r − 1. Chúng ta định nghĩa tốn tử tuyến
tính Q cho hàm f trên Rd bởi

∑

Q( f , x ) :=

Λ ( f , s ) M ( x − s ),

(1.2)

s ∈Zd

ở đây
Λ( f , s) :=

∑

λ ( j ) f ( s − j ).

(1.3)

j∈ Pd (µ)

Khi đó, từ định nghĩa của B-spline suy ra toán tử Q bị chặn trên C (Rd ) và
Q( f )
trong đó Λ =

∑

C (Rd )

≤ Λ

f

C (Rd ) ,

|λ( j)|.

j∈ Pd (µ)

Một tốn tử Q được xác định từ (1.2 − 1.3) tái tạo lại P2r−1 , tức là

Q( p) = p, p ∈ P2r−1 ,
được gọi là một toán tử giả nội suy trong C (Rd ).
Giả sử Q là một toán tử giả nội suy từ (1.2 − 1.3), cho h > 0 và một hàm f xác
định trên Rd , chúng ta xác định toán tử Q(.; h) bởi
Q( f ; h) := σh ◦ Q ◦ σ1/h ( f ),
ở đây σh ( f , x ) = f ( x/h). Từ định nghĩa của Q( f ; h), ta có
Q( f , x; h) =

∑ Λ( f , k; h) M(h−1 x − k),
k

với Λ( f , k; h) =

∑

λ( j) f h(k − j) .

j∈ Pd (µ)

Tốn tử Q(.; h) có các tính chất tương tự như tốn tử Q, cũng được gọi là một
toán tử giả nội suy trong C (Rd ). Nhưng Q(.; h) không được định nghĩa cho f
trên Id , và do đó khơng khôi phục được hàm số f với các điểm lấy mẫu trong Id .
Một cách tiếp cận để xây dựng toán tử giả nội suy cho một hàm số trên Id là mở
rộng nó bằng các đa thức nội suy Lagrange.
Cho một số nguyên không âm k, đặt x j = j2−k , j ∈ Z. Nếu f là một hàm
số trên I, Ký hiệu Uk ( f ) và Vk ( f ) lần lượt là các đa thức nội suy Lagrange tại 2r

7

điểm bên trái x0 , x1 , . . . , x2r−1 và 2r điểm bên phải x2k −2r+1 , x2k −2r+3 , . . . , x2k trên
đoạn I được xác định bởi:
2r −1

Uk ( f , x ) := f ( x0 ) +

∑

2sk ∆2s −k f ( x0 ) s−1

s =1

Vk ( f , x ) := f ( x2k −2r+1 ) +

∏ ( x − x j ),

s!

j =0

2r −1 2sk ∆s
2− k

∑

f ( x2k −2r+1 ) s−1
s!

s =1

∏ (x − x2k −2r+1+ j ).
j =0

Hàm số f được định nghĩa là hàm số mở rộng của f trên R như sau:



Uk ( f , x ), x < 0,



f k ( x ) = f ( x ),
0 ≤ x ≤ 1,




V ( f , x ), x > 1.
k
Nếu f liên tục trên I thì f liên tục trên R. Giả sử Q là một toán tử giả nội suy

(1.2 − 1.3) trong C (R). Chúng ta xây dựng toán tử Qk xác định bởi
Qk ( f , x ) := Q f k , x; 2−k , x ∈ I,
với hàm f trên I. Khi đó,
Qk ( f , x ) =

∑

ak,s ( f ) Mk,s ( x ), ∀ x ∈ I, J (k ) := s ∈ Z, −r < s < 2k + r

s∈ J (k)

và
ak,s ( f ) := Λ f k , s; 2−k =

∑

λ ( j ) f k 2− k ( s − j ) .

| j|≤µ

Chúng ta nhận thấy Qk cũng là tốn tử giả nội suy trên C (I).
Cho f là hàm số trên Id . Giả sử Q là một toán tử giả nội suy có dạng (1.2)-(1.3)
trong C (Rd ). Chúng ta xây dựng toán tử đa biến Qk xác định bởi
Qk ( f , x ) =

∑

ak,s ( f ) Mk,s ( x ), ∀ x ∈ Id ,

s∈ J (k)

ở đây J (k ) :=

s ∈ Zd , −r < si < 2k+k0 + r, i = 1, 2, . . . , d là tập hợp các giá trị

của s sao cho Mk,s không đồng nhất bằng 0 trên Id . Chú ý rằng
ak,s ( f ) = ak,s1 (( ak,s2 (. . . ak,sd ( f ))),
8

(1.4)


ở đây các hàm hệ số ak,si được áp dụng tương tự cho hàm số một biến khi xem f
là hàm số một biến xi với các biến còn lại cố định.
Tương tự như toán tử Q và Q(.; h), thì tốn tử Qk là tuyến tính bị chặn trên
C (Id ) và tái tạo P2r−1 . Đặc biệt, chúng ta có:
Qk ( f )

≤C Λ

C (Rd )

f

C (Rd ) ,

(1.5)

với mỗi f ∈ C (Id ), với hằng số C không phụ thuộc k và,
Qk ( ϕ∗) = ϕ,

∀ ϕ ∈ P2r−1 ,

ở đây ϕ∗ là hạn chế của ϕ trên Id . Toán tử nhiều biến Qk được gọi là toán tử giả
nội suy trên C (Id ).
Cho k ∈ Z+ , đặt qk := Qk − Qk−1 với quy ước Q−1 ( f ) = 0. Ta định nghĩa Qk
bởi

∑

Qk =

qk .

k ≤k

Bổ đề 1.1. Giả sử f ∈ C (Id ). Khi đó, ta có
f − Qk ( f )

∞

≤ Cω2r ( f , 2−k )∞ .

(1.6)

→ 0, k → ∞.

(1.7)

Do đó,
f − Qk ( f )

∞

Cho bất kỳ f ∈ C (Id ), từ (1.7), f có thể biểu diễn thành chuỗi
f =

∑

k ∈Z+

q k ( f ), q k ( f ) =

∑

ck,s ( f ) Mk,s ,

(1.8)

s∈ J (k)

chuỗi này hội tụ theo chuẩn trong L∞ (Id ), ở đây ck,s là các hàm hệ số của f , được
xác định như dưới đây. Đầu tiên xác định ck,s cho hàm số một biến (d = 1). Cụ
thể,
ck,s ( f ) := ak,s ( f ) − ak,s ( f ), k ≥ 0,
ak,s ( f ) := 2−2r+1

∑

(m,j)∈Cr (k,s)

2r
ak−1,m ( f ), k > 0, a0,s ( f ) := 0,
j

ở đây
Cr (k, s) := {(m, j) : 2m + j − r = s, m ∈ J (k − 1), 0 ≤ j ≤ 2r } ,
9

với k > 0, Cr (0, s) := {0} .
Trong trường hợp hàm nhiều biến, chúng ta xác định ck,s tương tự như (1.4)
cho ak,s , tức là,
ck,s ( f ) = ck,s1 ((ck,s2 (. . . ck,sd ( f ))),
ở đây các hàm hệ số ck,si áp dụng cho hàm số một biến f khi xem f là hàm số với
biến xi với các biến còn lại cố định.
Cho k ∈ Z+ , ký hiệu Σ(k ) là không gian các B-splines Mk,s , s ∈ J (k ). Nếu
0 < p ≤ ∞, thì g ∈ Σ(k ) được biểu diễn bởi

∑

g=

as Mk,s ,

s∈ J (k)

và
g

2−dk/p { as }

p

p,k

(1.9)

,

ở đây
1/p



{ as }

p,k

:= 

∑

| as | p 

,

s∈ J (k)

với vế phải thay bằng supremum khi p = ∞.
Từ (1.9) cho hàm số liên tục f trên Id , chúng ta có các nửa chuẩn sau đây tương
đương với nhau
1/θ

B2 ( f ) :=

∑

qk ( f )

k ∈Z+

p /Ω (2

−k

)

θ

,
1/θ

B3 ( f ) :=

∑

k ∈Z+

2

−dk/p

ck,s ( f )

p,k /Ω (2

−k

)

θ

.

Định lý 1.1. Cho 0 < p, θ ≤ ∞ và hàm số Ω sao cho tồn tại các hằng số µ, ρ > 0 và
C1 , C2 thỏa mãn
Ω(t).t−µ ≤ C1 Ω(t ).t −µ , t ≤ t ; t, t ∈ I,

(1.10)

Ω(t).t−ρ ≥ C2 Ω(t ).t −ρ , t ≤ t ; t, t ∈ I.

(1.11)

Khi đó, chúng ta có

10


(i) Nếu µ >

d
p

và ρ < 2r thì một hàm số f ∈ BΩ
p,θ có thể biểu diễn thành chuỗi (1.8)

và

B2 ( f )

f

(1.12)

.
BΩ
p,θ

(ii) Nếu ρ < min(2r, 2r − 1 + 1p ) và g là một hàm số được biểu diễn bởi
g=

∑

gk =

k ∈Z+

∑ ∑

k ∈Z+ s ∈ J ( k )

ck,s Mk,s

thỏa mãn

1/θ

∑

B4 ( g) :=

gk

k ∈Z+

p

Ω (2

−k

)

θ

< ∞,

thì g ∈ BΩ
p,θ và
g
(iii) Nếu µ >

d
p

B4 ( g).

BΩ

p,θ

và ρ < min(2r, 2r − 1 + 1p ) thì một hàm số f xác định trên Id thuộc

BΩ
p,θ khi và chỉ khi f có thể biểu diễn thành chuổi có dạng (1.8) thỏa mãn điều kiện

(1.12). Hơn nữa, chuẩn f

1.3

BΩ
p,θ

là tương đương với chuẩn B2 ( f ).

Biểu diễn lượng giác qua giá trị lấy mẫu

Trong phần này chúng ta sẽ biểu diễn một hàm số thuộc không gian Besov
A thành chuỗi các đa thức lượng giác và chứng minh đẳng thức tương đương
B p,θ

chuẩn. Cho f ∈ L p (Td ), như đã biết, f (k ) là hệ số Fourier thứ k của f ∈ L p với
1 ≤ p ≤ ∞. Cho k ∈ Zd+ . Đặt Pk := {s ∈ Zd : 2k j −1 ≤ |s j | < 2k j , j = 1, ..., d},
ở đây a là phần nguyên a ∈ R+ . Cho k ∈ Zd+ , chúng ta định nghĩa toán tử δk
như sau
δk ( f ) :=

∑

f (s)ei(s,·) .

s∈ Pk

Chúng ta nhắc lại tương đương chuẩn đã biết. Cho 1 < p < ∞ và θ ≤ ∞. Khi đó,
1/θ

f

A
B p,θ

∑

2

S( A,k)

k ∈Z+

δk ( f )

θ
p

,

trường hợp θ = ∞ thì vế phải đẳng thức trên được thay bằng supremum.

11

(1.13)


Cho số nguyên không âm m, nhân de la Vallée Poussin Vm bậc m được xác
định như sau:
1 2m−1
sin(mt/2) sin(3mt/2)
Vm (t) :=
D
(
t
)
=
,
∑
k
3m2 k=m
3m2 sin2 (t/2)
ở đây

∑

Dm ( t ) : =

eikt

|k|≤m

là nhân Dirichlet một biến bậc m. Đặt V0 = 1.

Cho hàm số một biến f ∈ L p (T). Chúng ta định nghĩa hàm số Um ( f ) bởi
Um := f ∗ Um = 3πm

T

f (t) Vm (· − t)dt,

và hàm số Vm ( f ) bởi

∑

Vm ( f ) :=

f (hk ) Vm (· − hk ),

(1.14)

k ∈ Pm

ở đây h = 2π/3m và Pm := {k ∈ Z : 0 ≤ k < 3m}. Nếu m ∈ Zd+ , toán tử Vm của
hàm số nhiều biến f ∈ L p (Td ) được xác định bởi
d

Vm ( f ) :=

∏ Vmj ( f ),
j =1

ở đây toán tử một biến Vm j áp dụng tương tự khi xem f là một hàm số biến x j với
các biến còn lại cố định. Chú ý rằng Vm ( f ) là đa thức lượng giác bậc không vượt

quá 2m j − 1 với mỗi biến x j , và
Vm ( f , hk) = f (hk ), k ∈ Pmd ,

(1.15)

1
d
d
ở đây h = (2π/3)(m1−1 , . . . , m−
d ), Pm : = { k ∈ Z : 0 ≤ k j < 3m j , j = 1, . . . , d }.

Chúng ta nhận được
d

Vm ( f )

p

−1/p

∏ mj

{ f (hk)}

l νp ,

1 ≤ p ≤ ∞,

(1.16)

j =1

ở đây ν = | Pmd | = 3d ∏dj=1 m j . Ký hiệu Tm là không gian các đa thức lượng giác
bậc không vượt quá m j với mỗi biến x j , j = 1, . . . , d. Dễ dàng kiểm tra được
Vm ( f ) = f , ∀ f ∈ Tm .
12

(1.17)


Tiếp theo, cho hàm số một biến f ∈ L p (T), chúng ta định nghĩa
v0 ( f ) := V1 ( f ),
vk ( f ) := V2k ( f ) − V2k−1 ( f ), k = 1, 2, . . . .
Cho k ∈ Zd+ , định nghĩa toán tử vk cho hàm nhiều biến trong L p (Td ) tương tự
như toán tử Vm . Toán tử uk , k ∈ Zd+ là tương tự khi thay Vm ( f ) bởi Um ( f ).
Bổ đề 1.2. Cho 1 < p < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và α( A) > 1/p. Chúng ta có
1/θ


f

A
B p,θ



∑

2S( A,k) vk ( f )

θ
p



,

k ∈Zd+

với vế phải được thay bằng supremum cho trường hợp θ = ∞.
Đặt ϕk,s := Vmk (· − shk ), và
Qk := {s ∈ Zd : 0 ≤ s j < 3.2k j , j = 1, . . . , d}.
ở đây mk := (2k1 , . . . , 2kd ), hk := (2π/3)(2−k1 , . . . , 2−kd ).
Từ Bổ đề 1.2 và (1.14)-(1.17) chúng ta suy ra được biểu diễn bằng đa thức lượng
A như sau. Đặt 1 ≤ p ≤ ∞, 0 < θ ≤
giác với giá trị lấy mẫu trong khơng gian B p,θ
A có thể biểu diễn thành chuỗi
∞, và α > 0. Thì mỗi f ∈ B p,θ

f =

∑ ∑

k ∈Zd+

(1.18)

f k,s ϕk,s

s∈ Qk

trong đó có tương đương chuẩn sau đây
f

A
B p,θ

∑

2S( A,k)−|k|1 /p

k ∈Z+

θ

f k,s

| Qk |

lp

1/θ

(1.19)

cho θ < ∞, với tổng ở vế phải được thay bằng supremum khi θ = ∞. Dựa trên
biểu diễn (1.18)-(1.19), chúng ta có thể mở rộng của không gian Besov với độ trơn
hỗn hợp cho một tập hợp hữu hạn A ⊂ Rd và 0 < p, θ ≤ ∞, là không gian tất
cả các hàm số f xác định trên Td có thể biễu diễn thành chuỗi (1.18) sao cho nửa
A

chuẩn rời rạc vế phải của (1.19) hữu hạn. Chúng ta cũng dùng ký hiệu B p,θ = B p,θ

cho A = {(0, . . . , 0)}.
13


Chương 2
KHƠI PHỤC HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TUYẾN
TÍNH

Trong chương này chúng ta nghiên cứu khôi phục và xấp xỉ hàm số trong
không gian Besov BΩ
p,θ bằng phương pháp tuyến tính, xây dựng được phương
pháp tuyến tính và đánh giá được tốc độ hội tụ của phương pháp đó qua đại
lượng ρn . Đây cũng là kết quả mới được cơng bố và là một trong những nội dung
chính của luận án.

2.1

Định nghĩa

Định nghĩa 2.1. Đặt Xn = { x j }nj=1 là n điểm của Id , Φn =

ϕj

n
j =1

là họ n hàm

số thuộc không gian Lq (Id ). If f ∈ Lq (Id ), để khôi phục hàm số f từ các giá trị
lấy mẫu f ( x1 ), . . . , f ( x n ), chúng ta định nghĩa phương pháp tuyến tính dựa trên
giá trị lấy mẫu Ln ( Xn , Φn , .) bởi công thức sau đây
L n ( Xn , Φ n , f ) : =

n

∑ f (x j ) ϕj.

(2.1)

j =1

Cho W ⊂ Lq (Id ). Chúng ta nghiên cứu tính tối ưu của phương pháp tuyến tính
có dạng (2.1) để khôi phục hàm số f ∈ W từ n giá trị lấy mẫu trên bằng đại lượng
sau
ρn (W, Lq (Id )) := inf sup f − Ln ( Xn , Φn , f ) q .
Xn ,Φn f ∈W

Định nghĩa 2.2. Cho số nguyên không âm m, đặt K (m) := {(k, s) : k ∈ Z+ , k ≤
m, s ∈ I d (k )}, ở đây I d (k ) = {s ∈ Zd+ : 0 ≤ si ≤ 2k , i = 1, . . . , d} và ký hiệu
M (m) là tập hợp gồm các B-splines Mk,s , k ≤ m, s ∈ J (k ). Chúng ta định nghĩa
14


toán tử Rm của các hàm số f ∈ BΩ
p,θ bởi
Rm ( f ) :=

∑

qk ( f ) =

k≤m

∑ ∑

ck,s ( f ) Mk,s ,

k≤m s∈ J (k)

và các lưới G (m) của các điểm trong Id ,
G (m) := {2−k s : (k, s) ∈ K (m)}.

2.2

Khôi phục hàm số bằng phương pháp tuyến tính

Định lý 2.1. Cho 0 < p, q, θ ≤ ∞, Ω thỏa mãn các điều kiện của định lý 1.1 và
µ > d/p, ρ < min(2r, 2r − 1 + 1/p). Giả sử với mỗi n ∈ Z+ , m là số lớn nhất thỏa
mãn

| G (m)| ≤ n

(2.2)

Ω , L ) như
Thì Rm xác định phương pháp tuyến tính lấy mẫu tối ưu cho ρn := ρn (U p,θ
q

sau
Rm ( f ) = Ln ( Xn∗ , Φ∗n , f ) =

∑

f (2−k s)ψk,s ,

(2.3)

(k,s)∈K (m)

ở đây Xn∗ := G (m) = {2−k s : (k, s) ∈ K (m)}, Φ∗n := ψk,s

(k,s)∈K (m) ,

và chúng ta có

đánh giá tiệm cận sau đây
sup
Ω
f ∈U p,θ

f − Rm ( f )

q

ρn

15

Ω(n−1/d )n(1/p−1/q)+ .

(2.4)


Chương 3
XẤP XỈ VÀ KHÔI PHỤC HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP
THÍCH NGHI

3.1

Các đại lượng xấp xỉ và khơi phục hàm số

Định nghĩa 3.1. Cho B là một tập hợp con trong Lq , chúng ta sẽ định nghĩa
phương pháp khôi phục với các điểm giá trị lấy mẫu và hàm để khơi phục thích
nghi từ B theo từng hàm f ∈ W. Cụ thể là đối với từng hàm f ∈ W ta chọn
n điểm x1 , . . . , x n , dựa trên thông tin về giá trị lấy mẫu f ( x1 ), . . . , f ( x n ) ta chọn
hàm g = SnB ( f ) để khôi phục hàm f . Khi đó SnB là một phương pháp khơi phục
thích nghi.
Tốn tử SnB ( f ) được định nghĩa chính xác như sau. Đặt I n là tập hợp bao gồm
các tập hợp con ξ trong Id có số phần tử không quá n, V n là tập hợp mà mỗi phần
tử là một bộ các số thực aξ = { a( x )} x∈ξ , ξ ∈ I n , a( x ) ∈ R. Gọi In là một ánh xạ
từ W đến I n và P là ánh xạ từ V n đến B. Khi đó cặp ( In , P) xác định một ánh xạ
SnB từ W đến B cho bởi công thức
SnB ( f ) := P { f ( x )} x∈ In ( f ) .

(3.1)

Định nghĩa 3.2. Cho một tập hợp B các hàm số xác định trên tập Ω, khi đó giả
chiều của B được định nghĩa là số nguyên n lớn nhất sao cho tồn tại các điểm

a1 , a2 , . . . , an trong Ω và b ∈ Rn để số phần tử của tập hợp
sgn (y) : y =

f ( a1 ) + b1 , f ( a2 ) + b2 , . . . , f ( an ) + bn , f ∈ B

là 2n , ở đây sgn ( x ) = 1 với t > 0, sgn ( x ) = −1 với t ≤ 0 và cho x ∈
Rn , sgn ( x ) = ( sgn ( x1 ), sgn ( x2 ), . . . , sgn ( xn )).
16


Định nghĩa 3.3. Cho B là một họ các tập con B trong Lq , khi đó sai số của phương
pháp khơi phục thích nghi tối ưu được đo bằng đại lượng
Rn (W, B)q := inf inf sup f − SnB ( f ) q ,
B∈B SnB f ∈W

(3.2)

trong đó SnB là tất cả các ánh xạ được định nghĩa ở (3.1).
Ký hiệu Rn (W, B)q bằng en (W )q nếu B là họ tất cả các tập hợp con B trong Lq
sao cho | B| ≤ 2n , và bằng rn (W )q nếu B là họ tất cả các tập hợp con B trong Lq có
giả chiều khơng quá n.
Định nghĩa 3.4. Giả sử B và W là các tập hợp con của Lq . Chúng ta xấp xỉ các
phần tử trong W từ B bởi
E(W, B, Lq ) := sup inf

f ∈W ϕ ∈ B

f − ϕ q.

Cho họ B các tập con trong Lq , chúng ta xem xét xấp xỉ tốt nhất của B ∈ B qua

đại lượng sau
d(W, B , Lq ) := inf E(W, B, Lq ).
B∈B

(3.3)

Nếu B trong (3.3) là họ tất cả các tập con B của Lq thỏa mãn | B| ≤ 2n , thì
d(W, B , Lq ) ký hiệu là

n (W, Lq ).

Nếu B trong (3.3) là họ tất cả các tập con B

của Lq sao cho dim p ( B) ≤ n, thì d(W, B , Lq ) kí hiệu là ρn (W, Lq ).

3.2

Khơi phục hàm số khơng tuần hồn bằng phương pháp
thích nghi

Trong phần này, chúng ta sẽ xây dựng phương pháp xấp xỉ và khơi phục thích
nghi giá trị lấy mẫu tối ưu hàm số một biến(d = 1) thuộc không gian Besov BΩ
p,θ .
Hơn nữa chúng ta đánh giá tiệm cận được tốc độ hội tụ của phương pháp thông
qua các đại lượng en , rn . Từ kết quả chính vừa nêu trên, chúng ta có thể tổng quát
cho trường hợp nhiều biến bằng kỹ thuật tương tự. kết quả chính được trình bày
thơng qua các định lý sau đây.
Định lý 3.1. Cho 0 < p, q, θ ≤ ∞, Ω thỏa mãn các điều kiện của định lý 1.1, ρ <
min(2r, 2r − 1 + 1/p). Thì chúng ta có
n

Ω
U p,θ

q

Ω
≥ ρn U p,θ

17

q

Ω(1/n).


Sau đây là các kết quả chính nhận được khi chúng tôi nghiên cứu xấp xỉ và
khôi phục hàm số bằng phương pháp thích nghi với giá trị lấy mẫu tối ưu.
Định lý 3.2. Cho 0 < p, q, θ ≤ ∞, Ω thỏa mãn các điều kiện của định lý 1.1. Nếu
µ > 1/p, ρ < min(2r, 2r − 1 + 1/p), thì
Ω
rn (U p,θ
)q

Ω(1/n).

(3.4)

Ngồi ra, chúng ta xây dựng được tập hợp B trong Σn (M) sao cho dim p ( B) ≤ n và một
phương pháp SnB thỏa mãn

sup
Ω
f ∈U p,θ

f − SnB ( f )

q

Ω(1/n).

(3.5)

Định lý 3.3. Cho 0 < p, q, θ ≤ ∞, Ω thỏa mãn điều kiện của định lý 1.1. Nếu
µ > 1/p, ρ < min(2r, 2r − 1 + 1/p), chúng ta có
Ω
en U p,θ

Ω(1/n).

q

(3.6)

Đặc biệt, chúng ta xây dựng được tập hợp B trong Σn (M) có | B| ≤ 2n và một phương
pháp SnB dạng (3.1) sao cho
sup
Ω
f ∈U p,θ

f − SnB ( f )

q

Ω(1/n).

(3.7)

Bằng cách chứng minh tương tự, chúng ta có thể tổng quát các kết quả cho
trường hợp hàm số nhiều biến f ∈ Łq (Id ), d > 1, cụ thể có thể phát biểu dưới
các định lý sau đây.
Định lý 3.4. Cho 0 < p, q, θ ≤ ∞, Ω là hàm số thỏa mãn điều kiện của Định lý 1.1.
nếu µ > d/p, ρ < min(2r, 2r − 1 + 1/p), thì
Ω
rn (U p,θ
)q

Ω(n−1/d ).

Hơn nữa, chúng ta xây dựng được tập hợp con B trong Σn (M) sao cho dim p ( B) ≤ n
và một phương pháp khôi phục giá trị lấy mẫu SnB thỏa mãn
sup
Ω
f ∈U p,θ

f − SnB ( f )

18

q

Ω(n−1/d ).


Định lý 3.5. Cho 0 < p, q, θ ≤ ∞, Ω thỏa mãn điều kiện của Định lý 1.1. Nếu
µ > d/p, ρ < min(2r, 2r − 1 + 1/p), thì chúng ta có
Ω
en U p,θ

Ω(n−1/d ).

q

Ngồi ra, chúng ta xây dựng được một tập hợp con B trong Σn (M) có | B| ≤ 2n và một
phương pháp khôi phục giá trị lấy mẫu SnB của (3.1) sao cho
sup
Ω
f ∈U p,θ

3.3

f − SnB ( f )

q

Ω(n−1/d ).

Xấp xỉ và khơi phục hàm số tuần hồn có độ trơn hỗn hợp
bằng phương pháp thích nghi

Trong phần này, chúng ta nghiên cứu một trong những phương pháp khơi

phục thích nghi đó là phương pháp phi tuyến, lớp hàm số mà chúng ta xét đến là
A (xem Định nghĩa 3.12). Chúng ta xây dựng được phương
lớp các hàm số f ∈ B p,θ

pháp xấp xỉ và khôi phực hàm số, đồng thời đánh giá tiệm cận được tốc độ hội tụ
qua các đại lượng entropy

A
n (U p,θ , Lq )

A , L ). Trường
và độ dày phi tuyến ρn (U p,θ
q

hợp A = { a} chúng ta đề xuất được cách chứng minh đơn giản hơn so với trường
hợp tổng quát.
Đặt Φ = { ϕk }k∈Q là một họ các phần tử trong Lq . Ký hiệu Mn (Φ) là một đa tạp
phi tuyến tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính có dạng ϕ = ∑ ak ϕk , trong đó K là
k∈K

một tập hợp con của Q có số phần tử là n. Chúng ta gọi n-term Lq -approximation
của một phần tử f ∈ Lq liên quan đến họ Φ là xấp xỉ Lq -approximation của f
bởi các phần tử từ Mn (Φ). Để đánh giá cận trên cho các ước lượng tiêm cận của
A
n (U p,θ , Lq ), chúng ta sử dụng một xấp xỉ phi tuyến

n-term Lq -approximation đối

với họ
V := { ϕk,s }s∈Q

d
k ,k ∈Z+

.

Chú ý rằng họ V được xây dựng từ tịnh tiến bản ngun của các cặp đơi tích hỗn
hợp tensor nhân nhiều biến de la Vallée Poussin.

19


3.3.1

Xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương pháp phi tuyến
trong khơng gian B ap,θ

Các kết quả chính khi chúng tôi nghiên cứu phương pháp xấp xỉ và khôi phục
hàm số bằng phương pháp phi tuyến trong không gian Besov B ap,θ được phát biểu
các định lý sau đây.
Định lý 3.6. Cho 1 < p, q < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và r > 1/p. Thì chúng ta có rằng
a
n (U p,θ , Lq )

a
, Lq )
≤ en (U p,θ

(n/ logs n)−r (log n)s(1/2−1/θ ) .

(3.8)

Ngoài ra, chúng ta có thể xây dựng được một tập con hữu hạn V∗ của V, một tập hợp
a → B có dạng (3.1) thỏa mãn
con B trong Mn (V∗ ) có | B| ≤ 2n , và một ánh xạ SnB : U p,θ

f − SnB ( f )

a
, B, Lq ) ≤ sup
E(U p,θ

a
f ∈U p,θ

q

(n/ logs n)−r (log n)s(1/2−1/θ ) .

Định lý 3.10 được suy ra từ định lý sau đây.
Định lý 3.7. . Cho 0 < p, q, θ ≤ ∞, 0 < τ ≤ θ và r > 1/p. Thì, chúng ta có
a
n (U p,θ ,

a
Bq,τ ) ≤ en (U p,θ
, Bq,τ )

Eθ,τ (n),

(3.9)

ở đây Eθ,τ (n) = (n/ logs n)−r (log n)s(1/τ −1/θ ) .
Ngoài ra, chúng ta có thể xây dựng một tập hợp con V∗ trong V, một tập hợp con B
a → B có dạng (3.1) thỏa mãn
trong Mn (V∗ ) có | B| ≤ 2n và một ánh xạ SnB : U p,θ
a
E(U p,θ
, B, Bq,τ ) ≤ sup

a
f ∈U p,θ

f − SnB ( f )

Bq,τ

Eθ,τ (n).

(3.10)

a , L ) nhận được từ định lý sau đây.
Cận dưới của ρ(U p,θ
q

Định lý 3.8. Cho 1 < p, q < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và r > 1/p. Thì chúng ta có
a
ρ(U p,θ
, Lq )

(n/ logs n)−r (log n)s(1/2−1/θ ) .

Sau đây chúng ta phát biểu và chứng minh kết quả chính của phần này.
Định lý 3.9. Cho 1 < p, q < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và r > 1/p. Thì
a
n (U p,θ , Lq )

a
ρn (U p,θ
, Lq )

n−r (log n)s(r+1/2−1/θ ) .

Hơn nữa, chúng ta cũng đánh giá tiệm cận của phương pháp khôi phục thích nghi với
giá trị lấy mẫu tối ưu
a
en (U p,θ
, Lq )

a
rn (U p,θ
, Lq )

20

n−r (log n)s(r+1/2−1/θ ) .


3.3.2

A
Xấp xỉ và khôi phục hàm số trong không gian B p,θ

Trong phần này chúng ta nghiên cứu xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương
A với A là một tập con
pháp phi tuyến trong không gian Besov tổng quát hơn B p,θ

hữu han trong Rd+ , không gian này có thể xem là giao của các khơng gian B ap,θ .
Kết quả chính nhận được là chúng ta xây dựng được các phương pháp phi tuyến
và đánh giá được tốc độ hội tụ thông qua các đại lượng -entropy

A
n (U p,θ , Lq )

và

A , L ). Ngoài ra chúng ta cũng nhận được các ước lượng
độ dày phi tuyến ρn (U p,θ
q

tiệm cận sai số của phương pháp khơi phục thích nghi giá trị lấy mẫu tối ưu qua
A , L ) , r (U A , L ) .
các đại lượng en (U p,θ
q
n
p,θ q

Định lý 3.10. Cho 1 < p, q < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và α = α( A) > 1/p, s = s( A). Khi đó
chúng ta có
A

n (U p,θ , Lq )

A
≤ en (U p,θ
, Lq )

(n/ logs n)−α (log n)s(1/2−1/θ ) .

(3.11)

Ngồi ra, chúng ta có thể xây dựng tường minh một tập con hữu hạn V∗ của V, một tập
A → B có dạng (3.1) sao cho
con B trong Mn (V∗ ) có | B| ≤ 2n , và một ánh xạ SnB : U p,θ
A
E(U p,θ
, B, Lq ) ≤ sup

f − SnB ( f )

A
f ∈U p,θ

E ( n ),

q

trong đó E(n) là ký hiệu vế phải của (3.11).
Chứng minh của định lý này sẽ được suy ra từ định lý sau.
Định lý 3.11. . Cho 0 < p, q, θ ≤ ∞, 0 < τ ≤ θ và α = α( A) > 1/p, s = s( A). Khi
đó,

A
n (U p,θ ,

A
Bq,τ ) ≤ en (U p,θ
, Bq,τ )

Eθ,τ (n),

(3.12)

trong đó Eθ,τ (n) = (n/ logs n)−α (log n)s(1/τ −1/θ ) .
Ngoài ra, chúng ta có thể xây dựng tường minh một tập con hữu hạn V∗ của V, một
A → B có dạng (3.1) sao
tập con B trong Mn (V∗ ) có | B| ≤ 2n , và một ánh xạ SnB : U p,θ

cho
A
E(U p,θ
, B, Bq,τ ) ≤ sup

A
f ∈U p,θ

f − SnB ( f )

Bq,τ

Eθ,τ (n).

(3.13)

Định lý 3.12. Cho 1 < p, q < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và α > 1/p. Khi đó chúng ta có
A
ρ(U p,θ
, Lq )

(n/ logs n)−α (log n)s(1/2−1/θ ) .
21

(3.14)


Chứng minh của định lý này sẽ được suy ra từ định lý sau đây.
Định lý 3.13. Cho 0 < p, q < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và α > 1/p. Khi đó chúng ta có
A
ρ(U p,θ
, Bq,τ )

(n/ logs n)−α (log n)s(1/τ −1/θ ) .

Từ các Định lý 3.10, 3.12 chúng ta suy ra một trong những kết quả chính của luận
án:
Định lý 3.14. Cho 1 < p, q < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và α = α( A) > 1/p, s = s( A). Đặt
γn là một trong số các đại lượng en , rn ,

n

và ρn . Thì chúng ta có ước lượng tiệm cận sau

đây
A
γn (U p,θ
, Lq )

n−α (log n)s(α+1/2−1/θ ) .

22


KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Các kết quả chính của luận án bao gồm:
1. Phát biểu và chứng minh các định lý biểu diễn: Định lý biểu diễn giả nội
suy qua giá trị lấy mẫu và Định lý biểu diễn qua đa thức lượng giác.
2. Nghiên cứu khôi phục và xấp xỉ hàm số bằng phương pháp tuyến tính:
Chúng tơi xây dựng được phương pháp tuyến tính, đánh giá được tốc độ
hôi tụ, đồng thời xây dựng được phương pháp khôi phục thích nghi giá trị
lấy mẫu tối ưu và ước lượng tiệm cận mức độ sai số của phương pháp trong
không gian Besov BΩ
p,θ .
3. Xây dựng được phương pháp phi tuyến để xấp xỉ và khôi phục hàm số,
đánh giá tốc độ hội tụ của phương pháp phi tuyến trong khơng gian Besov
A .
B p,θ

Có thể phát triển các kết quả của luận án như sau:
A mà tập hợp A
1. Nghiên cứu vấn đề trên đối với các không gian Besov B p,θ

compact trong Rd+ .

23


DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ
LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

1. N. M. Cuong and M. X. Thao, Adaptive sampling recovery of functions with
bounded modulus of smoothness, Acta Math. Vietnamica. 42(2017), 113-127.
2. N. M. Cuong and M. X. Thao, Quasi-interpolation representation and sampling recovery of multivariate functions, Acta Math. Vietnamica. 43(2018),
373-389.
3. N.M. Cuong, Nonlinear approximations of functions having mixed smoothness, Journal of Computer Science and Cybernetics, V.35, N.2 (2019), 1{DOI
10.15625/1813-9663/35/2/13578}.
4. N.M. Cuong, Adaptive sampling recovery and nonlinear approximations
of multivariate functions in Besov-type spaces, Southeast Asian Bulletin of
Mathematics, accepted 30-4-2019.

24